óÏ

M ∞ V

g R

i ��������

D

����

ö

÷

e +

Ä

×

Ä

f

T

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph

١ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية

المستوى ومسلماته

:المستوى

ھو سطح مكون من مجموعة غير منتھية من النقاط ليست على استقامة واحده بعض مجموعاته

الجزئية مستقيمة

اAتجاھات ھو مجموعة غير منتھية من النقط ينطبق عليھا المستقيم فى جميع

�� eeee ب ا������������فإن المستقيم. ������������ ����gggg، ب����ا��������بمعنى أنه إذا كانت النقطتان �:بحيث أن �������������� �� �� �� � ب ا = �������� �������� ب ا

� �� �� �� �� �

: مKحظة

يمثل المستوى الممتد من جميع جھاته بجزء محدود منه على شكل مثلث أو على شكل رباعي أو

ول له وP أخر له من جميع جھاته أي أن المستوى P أ

:الفراغ

ھو مجموعة غير منتھية من النقط وھو الذي يحتوي جميع اUجسام والمستويات والمستقيمات و اUشكال

ئية من وھذه اUجسام و المجسمات كل منھا عبارة عن مجموعة جز) ف(الھندسية ونرمز له بالرمز

الفراغ وبذلك يكون الفراغ ھو بمثابة المجموعة الشاملة التي نتحدث في إطارھا طالما كان حديثنا

منصبا على مجموعة النقط

:تعين المستوى في الفراغ

: يتعين المستوى فى الحاPت ا[تية

استقامة واحدهثKث نقاط ليست على )١ (

) �( P تنتمي إليهمستقيم ونقطة

مستقيمان متقاطعان )٣(

: نتيجة

على إستقامة واحدة فإنھما يتطابقان إذا أشترك مستويان فى ثKث نقط ليست

" P يمكن رسم سوى مستو واحد فقط يمر بھذه النقط الثKث "

يمثل مستويا سسالرباعي

�� eeee ب ا ←←←← �������� gggg ب ، ا ��������������

��ب ا = �������� �������� ب ا، �

ا

ب

ب ا

السطح P يمثل مستويا

gggg ب، ا يوجد : بحيث ffff با ،

�������� با } ب ،ا {=

��������

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph

٢ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية

:مستويين في الفراغ الوضع النسبي ل

: مKحظة

إذا توازى مستزيان فإن أى مستقيم فى أحدھما يوازى المستوى ا[خر

: المقابل ففى الشكل

المستوى // �������� إذا كان المستوى

�������� eeee لللل: ، و كان

المستوى // ل ل ل ل : فإن

��������

��������

لللل

��������

با

)�(

متقاطعان

�������� �������� با = لللل =

Uى يشترك المستويان فى خط مستقيم

المستويان المتقاطعان : مKحظة

سواء كان أحدھما مائK على ا[خرأو عموديا عليه إذا أشتركا فى

نقطة فKبد أن تقع ھذه النقطة على خط تقاطعھما

)٣(

متوازيان

�������� �������� = ZZZZ

أى P يشترك المستويان فى أى نقطة

��������//

)١(

متطابقان

�������� =

أى يشترك المستويان فى جميع النقط

أو

يشترك المستويان فى P مستقيم و نقطة

تنتمى إليه

��������

لللل

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph

٣ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية

:الوضع النسبي لمستقيمين

Pفي المستوى : أو

الفراغفى: ثانيا

: الوضع النسبي لمستقيم ومستوى

ZZZZ = �������� �������� لللل لللل = �������� �������� لللل �������� // لللل } ا { = �������� �������� لللل �������� eeee لللل

ب

لللل

متعامدان متطابقان متوازيان متقاطعان

المستقيم يقطع المستوى

المسستقيم يشترك مع : أن أى المستوى فى نقطة واحدة

المستقيم يقع بتمامه فى المستوى

كل نقطة من نقط : أى أن المستقيم تنتمى للمستوى

أن يكونا مستويين معا أي يقعان في مستوى :واحد في ھذه الحالة

أن يكونا غير مستويين معا أي P يمكن وقوعھما : معا في مستوى واحد في ھذه الحالة يكونا

متقاطعان متوازيان متخالفين

لللل

���� ا

ا

ل

��������

��������

لللل ـ

��������

مممم ا

لللل

مممم��������

ا

المستقيم يوازى المستوى

المستقيم P يشترك : أى أن مع المستوى فى أى نقطة

� �

سقف الحجرة

حائط حائط

ارضية الحجرة

�لللل

١لللل

ا

مممم لللل

لللل

لللل مممم

مممم

مممم

لللل

��������

ب

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph

٤ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية

:ة بين مستقيمين متخالفين الزاوي

يصنعھا أحدھما مع أى مستقيم مرسوم من نقطة عليه موازيا لmخر ھى إحدى الزوايا التى

: فى الشكل المقابل

�������� ، حـ ء متخالفان حيث حـ ء يقع فى المستوى ب ا

انقطة فى ��������المستوى يقطع ب ا ،

حـ ء // ھـ ا ��������المستوى نرسم فى ا من نقطة ھـ ھى الزاوية بين المستقيمين المتخالفين ا ب : فتكون

، حـ ءب ا

: مKحظة

حـ ء يكونان متعامدان ،ب االمستقيمين المتخالفين : فإن ٩٠) = ھـ ا ب (ق ق ق ق : إذا كان

:تعريف

: إذا و فقط إذا كان �������� gggg �لللل ، ١لللليتوازى مستقيمين

ZZZZ = �لللل �������� ١لللل أو �لللل = ١لللل

: حقيقة

المستقيمان الموازيان لثالث فى الفراغ متوازيان

: فى الشكل المقابل

�لللل // ١لللل: فإن ل ل ل ل // �لللل ، لللل // ١لللل: إذا كان

: تدريب

مكعب مممم حـ ء ھـ و ل ب ا: فى الشكل المقابل

: أكمل ما يأتى

٠٠٠٠= ب حـ �������� ب ا) ١ (

٠٠٠٠ = و ب �������� ب حـ �������� ب ا) � (

و ب )٣ (

// ٠٠٠٠ // ٠٠٠٠ // ٠٠٠٠

ل والمستوى ب حـ ) ٤ (

٠٠٠٠المستوى //

المستوى ب حـ ل و) ٥ ( ٠٠٠٠ = مممم المستوى ء حـ ل ��������

متخالفان ٠٠٠٠ ، ب االمستقيمان ) ٦ (

٠٠٠٠) = ھـ ا ب (ق ق ق ق ) ٧ (

٠٠٠٠المستوى // ب ا) ٨ (

ا ��������

ب

حـ

ھـ

ء

١لللل

لللل

�لللل

��������

ا

ب حـ

ء

ھـ

و

ل

مممم

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph

٥ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية

بعض المجسمات المشھورة

: المنشور

ھو الجسم المتولد من إنتقال سطح مضلع موازيا لنفسه فى إتجاه ثابت

و يسمى سطح المضلع فى كل من و ضعه اUول و اUخير قاعدة المنشور

: خواص المنشور

المنشور متطابقتين و متوازيتين قاعدتا *

اUحرف الجانبية متوازية و متساوية فى الطول *

ا ا /ب ب=

/حـ حـ=

/ ء ء=

/ھـ ھـ=

/

ا ا ، /ب ب//

/حـ حـ//

/ء ء //

/ھـ ھـ //

/

ع إذا كان المنشور مائل الجانبية ھى سطوح متوازيات اضKاUوجه *

، سطوح مستطيKت إذا كان المنشور قائم

ا ا " /ب

/ب ، ب ب

/حـ

/ حـ ، حـ ء ء

/ حـ/

، ء ھـ ھـ/

ء/

ا ا ، /ھـ

/ " ھـ

دتيهإرتفاع المنشور ھو طول البعد العمودى بين قاع *

م نم نم نم ن أو ككككب : مثل

نقطة فى إحدى القاعدتين نسقط منھا عمود على القاعدة ) مممم( ب : حيث

اUخرى

إرتفاع المنشور القائم يساوى طول حرفه الجانبى *

"٠٠٠ثKثى ، رباعى ، " ب عدد أضKع قاعدته يسمى المنشور حس *

اAرتفاع× محيط القاعدة = المساحة الجانبية للمنشور *

مساحة القاعدة × �+ المساحة الجانبية = المساحة الكلية للمنشور *

اAرتفاع × مساحة القاعدة = حجم المنشور *

: صة من المنشورحاPت خا

: متوازى السطوح

ھو منشور كل من قاعدتيه سطح متوازى أضKع

أحرفه الجانبية عمودية على مستوى قاعدتيه أى أن أوجھه *

الجانبية سطوح مستطيKت إذا كان قائم

ية سطوح متوازيات أضKع إذا كان مائK فإن اUوجه الجانب *

: قطر متوازى السطوح *

ھو القطعة المستقيمة الواصلة بين رأسين ليسا فى وجه واحد

٤= و عدد أقطاره

مممم اء و ، ب ل ، ھـ حـ ، : و ھى

حـ/

ا

ب

حـ

ء

ھـ

ا/

ب /

ء /

ھـ/

حـ/

ا

حـ ب

ء ھـ

ا/

ب /

ء/

ھـ/

كككك

مممم

نننن

ا

ب حـ

ء

ھـ

و

ل

مممم

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph

٦ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية

: مستطيKتمتوازى ال

ھو منشور قائم كل من قاعدتيه سطح مستطيل

متوازى المستطيKت له سته اوجه كل منھا سطح مستطيل *

قد يكون لمتوازى السطوح وجھين متقابلين كل منھما سطح مربع *

و باقى اUوجه سطوح مستطيKت

: اUبعاد الثKثة لمتوازى المستطيKت *

ھى أطوال كل ثKثة أحرف متKقية فى رأس من رؤوسه

و ھـ ، و ل ، و ل : مثل

، و تتقاطع جميعا فى نقطة واحدة ٤= عدد أقطاره *

: فإن وحدة طول ، ص ، ع ا أن أبعاده ھى إذا فرضن *

وحدة مربعة ع × ) ص + ( � = مساحته الجانبية **

وحدة مربعة ) ع + ص ع + ص ( �= مساحته الكلية **

وحدة مكعبة ص ع = حجمه **

: ::@ :ع: +: :@:ص: +: :@ [ = طول قطره **

: المكعب

ھو متوازى مستطيKت تساوت أبعاده الثKثة

اUحرف اUثنى عشر جميعا متساوية فى الطول : أى أن

قاعدتيه كل منھا سطح مربع و بالتالى أوجھه الجانبية و

: ل وحدة طول فإن = إذا فرضنا أن طول حرفه *

وحدة طول / �[ل = طول قطر أى وجه **

وحدة طول /�� � [ل = طول قطره **

ل= مساحة كل وجه ** �

مربعة وحدة

ل٤= مساحته الجانبية ** �

وحدة مربعة

ل٦" = السطحية " مساحته الكلية ** �

وحدة مربعة

ل= حجمــــــــــــــه ** ٣

وحدة مكعبة

ا

ب حـ

ء

ھـ

و

ل

مممم

ا

ب حـ

ء

ھـ

و

ل

مممم

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph

٧ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية

: ھرم ال

) تسمى رأس الھرم ( المستقيمة الواصلة من نقطة ھو إتحاد جميع القطع

) "يسمى قاعدة الھرم ( P تنتمى إلى المستوى الذى يحوى سطح مضلع "

إلى نقطة تنتمى لقاعدة الھرم

الھرم حسب عدد أضKع مضلع قاعدته يسمى *

ع المستقيمة الواصلة بين رأسه و رؤوس قاعدتهأحرفه الجانبية ھى القط *

أوجھه الجانبية ھى سطوح المثلثات التى رأسھا ھى رأس الھرم *

و قواعدھا ھى أضKع قاعدة الھرم و ضKعھا ا[خران أحرف جانبية للھرم

توى قاعدته إرتفاع الھرم ھو العمود الساقط من رأسه على مس *

: ھرم الثKثى المنتظم ال

ھو ھرم ثKثى تساوت أحرفه الستة

مثلثات متساوية أضKع سطوح أوجھه اUربعة أو ھو ھرم

إرتفاعه ھو القطعة الواصلة بين رأسه و نقطة تKقى متوسطات قاعدته *

: ل نKحظ = ذا كان طول حرفه من الشكل إ *

ل = حـ ء **

ل = ن ن ن ن ، ء ل = ن ن ن ن حـ **

ل= إرتفاعه **

: ھرم القائم ال

العمود المرسوم من رأس الھرم عليه ھو ھرم قاعدته مضلع منتظم مركزه موقع

: أى أن

٠٠٠٠مثلث متساوى اUضKع ، مربع ، " قاعدة الھرم مضلع منتظم *

إرتفاع الھرم يKقى القاعدة عند مركزھا *

جميع اUحرف الجانبية له متساوية فى الطول*

جميع اUوجه الجانبية له سطوح مثلثات متساوية الساقين و متطابقة*

متساوية فى الطول" إرتفاعات اUوجه الجانبية " إرتفاعاته الجانبية *

الھرم الثKثى القائم قاعدته مثلث متساوى اUضKع *

و إرتفاعه يمر بمركز المربعالقائم قاعدته سطح مربع الھرم الرباعى *

أى نقطة تقاطع قطرى المربع

ا

حـ ب

ء

ھـ

مممم

نننن

نننن

ا

ب

حـ

ء

مممم

]� ��/

�

]� ��/

� ]� ��/

�

]� ��/

�

نننن

ا

ب

حـ

ء

مممم

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph

٨ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية

: توازي مستقيم ومستو

في أي نقطة � ���P يشترك مع المستوى�ل�إذا كان المستقيم

��كما ھو موضح في الشكل ������يوازي المستوى�ل� أن المستقيمففي ھذه الحالة يقال ���������� // �ل :ونكتب ��������� �������� Z = �� ��� ل: �أي أن �

: )١ (نظرية

ع ھذا المستوى مع المستويات تنشأ عن تقاط فإنه يوازى جميع المستقيمات التىإذا وازى مستقيم مستويا

يمتحتوي ذلك المستق التى

:المعطيات

��، ��� يوازي المستوى ب ا �

� دحـ = �� ���،��ب ا �ىأي مستو يحتو �

:المطلوب

� دحـ // ب ا �ثبات ان إ �� �� �� � :البرھان

A ب ا // �������� BBBB ب ا �� �� = Z ������

A دحـ e �� B دحـ �� ب ا = Z �������������������������������)١(� �� �� �� ����א������������������ دحـ ، ب ا ������������������������������������ ���א�������������� ���א�������������� ���א�������������� �������������������� )�(� �� �� �� �

� دحـ // ب ا������������)�(����و) ١(من �� �� �� �

:ملحوظه ھامه

:Aثبات توازي مستقيمين في الفراغ يجب توفر شرطين ضروريين معا وھما

� المستقيمان P يلتقيان – ١ �� �� �� ��يجمعھما مستو واحد������������–����������������������������������������������������������������������������������������� �� �� �� �

� �� �� �� �

نتائج ھامهحقائق

إذا وازى مستقيم خارج مستو مستقيما فى المستوى فإنه يوازى ذلك المستوى ) ١(

: فى الشكل المقابل

يحتوى حـ ء ��������المستوى ، دحـ // ب ا: إذا كان

ب ا ، P يحتوى

�������� // ب ا : فإن

إذا وازى مستقيم مستويا فالمستقيم المار بأي نقطة من نقط ھذا ) �(

المستوى وموازيا للمستقيم المعلوم يقع بتمامه في ھذا المستوى

: ل فى الشكل المقاب

�������� gggg، حـ �������� // ب ا: إذا كان

ب ا// ، و رسمنا حـ ء BBBB حـ ء : أى أن �������� حـ ء يقع فى المستوىeeee المستوى ��������

��

لللل

ب

��

ج د

ب

��

ج د

ء ـح

ا ا ا ا ب

��

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph

٩ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية

)٣(

إذا توازى مستقيمين ومر بكل منھما مستوى

تقاطعھما موازي لھذين المستقيمينوتقاطع المستويان كان خط

��א���א���������� ��א���א���������� ��א���א���������� ��א���א�����������W�W�W�W� �� �� �� � eeee �لللل ، �������� eeee ١لللل ، �لللل // ١لللل�����������W�W�W�Wא���������������א���������������א���������������א�����

�������� ��������: ، كان لللل =

�لللل ، ١للللكK من // لللل: فإن

)٤ (

ه يوازي خط تقاطعھما إذا وازى مستقيم كK من مستوين متقاطعين فإن

��א���א���������� ��א���א���������� ��א���א���������� ��א���א�����������W�W�W�W� �� �� �� ����������������������������������������� �������� � ب ا = �� �� �� �

، ��������كK من // لللل�������،�א��������������،�א��������������،�א��������������،�א�������

����������������������������BBBBب ا // لللل�������� � �� �� �� �

)٥(

إذا قطع مستقيم أحد مستويين متوازيين فإنه يقطع ا[خر

: فى الشكل المقابل

���������������������������������������� // فى نقطة حـ �������� يقطع لللل ،

BBBB يقطع لللل �� فى نقطة ء��

)٦(

فخطا تقاطعه معھما يكونان متوازيين مستويين متوازيين إذا قطع مستو

: فى الشكل المقابل

���������������������������������������� // ، حـ ء ب ا فى ععععقطعھما المستوى

BBBB حـ ء/ / ب ا

١لللل

��

ل

�لللل

ب

��

ل

��

ل ء حـ

ب

حـ

ء

عععع

����

ا

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph

١٠ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية

: تدريب

���������������������������������������� ، حـ ء ، مممم ، بام م م م نقطة P تنتمى Uى منھما رسمت المستقيمات مممم مستويان متوازيان ،

، حـ ، ھـ و المستوى ا فى النقط �������� ھـ و غير المستوية معا لتقطع المستوى مممم فى النقط

ب ء و ∆ eeee حـ ھـ ا ∆: و أثبت أن ب ، ء ،

الحلـــــــــــــ

// ��������: المعطيات

ب ء و ∆ eeee حـ ھـ ا ∆: أثبت أن : المطلوب

، �������� ب و يقطع المستويين المتوازيين م م م م المستوى AAAA: البرھان

ھـ ، ب و ا فى

BBBB ب و// ھـ ا

BBBB ب و يكون م م م م ∆ فى :

= ١ (٠٠٠٠ = ٠٠٠٠(

ب ء// حـ ا ، بالمثل

BBBB = ٠٠٠٠ = ٠٠٠٠) �(

)٣ (٠٠٠٠ = ٠٠٠٠ = BBBB ء و // ھـ ، حـ

BBBB ٠٠٠٠ = ٠٠٠٠: = ينتج ) ٣(، ) �(، ) ١( من

BBBB ∆ حـ ھـ ا eeee ∆ ب ء و

:" اغ نظرية تاليس فى الفر" تمرين مشھور

إذا قطعت عدة مستويات متوازية بمستقيمين فإن أطوال القطع المستقيمة المحصورة بينھا تكون متناسبة

// ��������: المعطيات قاطعان لھا�لللل ، ١لللل ، عععع //

: = إثبات أن : المطلوب

و يقطع انرسم : ـلـــالعمـ ھـ ، حـ و م م م مب ، م م م م ء ، ا نرسم ،� � � � فى

AAAA :البرھـان ، حـ و مممم حـ و قطعھما فى ب ا، المستوى عععع //

BBBB حـ و // مممم بBBBB) = ١(

)� ( = : بالمثل

: = ينتج ) �(، ) ١( من

: مKحظة

ھـ و = ء ھـ : ب حـ فإن = با : فى ھذا التمرين إذا كان

��

ب

ء

و

حـ

ا ھـ

مممم

بمممم ا مممم

بمممم ا مممم

و مممم ھـمممم

و ب ھـا

عععع

����

ب

ا

حـ

ء

و

ھـ

�لللل ١لللل

�ـب ب ا

هـ و ء ھـ

�ـب ���� ب ا

ومممم مممم ا

هـ و ء ھـ

ومممم مممم ا

�ـب ب ا

هـ و ء ھـ

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph

١١ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية

، �������� : تدريب : ب ، حـ على الترتيب و كان فى نقطتى با مستويان متوازيان قطعھما

، ��������مستقيم يقطع ا و رسم من ٥ : ٣: �= حـ ء : ب حـ : با على الترتيبم م م م ، ننننفى

، �������� و رسم من ء مستقيم يقطع ��@�� % =: أثبت أن فى ھـ ، و على الترتيب الحلــــــــــــــــ

AAAA �������� // ، ء ھـ قاطع لھما

BBBB ٠٠٠٠ // ٠٠٠٠

٠٠٠٠ // ٠٠٠٠ بالمثل

BBBB = ٠٠٠٠= ، ٠٠٠٠

: = بالضرب ينتج

:)�(نظرية

إذا تقاطع مستقيمان في مستو وكان موازيين لمستقيمين متقاطعين في مستو آخر كان مستو

المستقيمين ا[خرينالمستقيمين اUولين موازيا لمستوى

حـ مستقيمان فى ا ، با : الشكل المقابل فى بحيث ����

، ء ھـ ، ء و مستقيمان فى } ا { = حـ ا �������� با بحيث

: فإذا كان } ء { = ء و �������� ء ھـ

: ء و فإن // حـ ا ء ھـ ، // ب ا

�������� //

حـ فى ء ، ھـ ، و على مممم ب ، مممم ، ا مممم يقطع اUحرف �������� ب حـ ھرم ثKثى ، المستوى ا مممم : يبتدر ب حـ االمستوى // �������� المستوى : أثبت أن= = : الترتيب فإذا كان

الحلـــــــــــــ

AAAA =

BBBB ١ (٠٠٠٠ // ٠٠٠٠(

، AAAA =

BBBB ٠٠٠٠ // ٠٠٠٠) �(

ب حـ االمستوى // ��������المستوى : ينتج ) �(، ) ١( من

ب هـ٠ بن ن ن ن حـ ء٠ حـ مممم

ب هـ٠ بن ن ن ن حـ ء٠ حـ مممم

ب هـ حـ ء

بن ن ن ن حـ مممم

����

ب

ا

حـ

ء

و

ھـ

مممم

نننن

��

ب

جـ

��

ء

ھـ

و

ام م م م ء مممم

بم م م م ھـ مممم

حـ م م م م و مممم

ا

ب

حـ

ء

مممم

ام م م م ء مممم

بم م م م ھـ مممم

بم م م م ھـ مممم

حـ م م م م و مممم

ھـ

و

��������

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph

١٢ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية

:المستقيم العمودى على مستو

ى كل مستقيم فى المستوى يقال لمستقيم أنه عمودى على مستو إذا كان ھذا المستقيم عموديا عل

و يمكن القول بأن المستوى عمودٮة على المستقيم

: فى الشكل المقابل

�������� المستوى MMMM للللالمستقيم : إذا كان

} ب { = �������� �������� لللل ،

٠٠٠٠ ، ٣لللل ، �لللل، ١لللل: ديا على كل من يكون عمول ل ل ل : فإن

و المارة بنقطة ب �������� الواقعة فى المستوى

" موقع العمود " و تسمى نقطة ب

٤لللل و غير مار بنقطة ب مثل �������� عموديا على أى مستقيم فى المستوى لللل كما يكون

:)٣(نظرية

المستقيم العمودى على كل من مستقيمين متقاطعين من نقطة تقاطعھما يكون عموديا على مستويھما

: فى الشكل المقابل

حيث ��������مستقيمان فى المستوى �لللل، ١لللل: إذا كان

عمودى على لللل، المستقيم } ا{ = �لللل �������� ١لللل

�������� MMMM لللل: فإن ا كل منھما من نقطة

: نتائج و مKحظات

المستقيم العمودى على كل من مستقيمين مستويين معا *

و غير متوازيين يكون عموديا على مستويھما

: فى الشكل المقابل

حيث �لللل، ١للللوديا على كل من عملللل: إذا كان

و غير متوازيين �������� مستقيمان فى المستوى �لللل، ١لللل

١لللل : Pحظ أن" �������� MMMM لللل: فإن /

�لللل، ١لللل /// �لللل//

Aثبات أن مستقيما ما عموديا على مستو معلوم نثبت أن أن ھذا المستقي * م يكون عموديا على أى

مستقيمين غير متوازيين فى المستوى

جميع المستقيمات العمودية على مستقيم معلوم من نقطة تنتمى لھذا *

المستقيم تقع جميعھا فى مستو واحد عمودى على المستقيم المعلوم

: فى الشكل المقابل

عمودية على ٠٠٠٠ ، ٣لللل ، �لللل، ١لللل المستقيمات : إذا كان

ا عند لللل المستقيم

تقع جميعا فى ٠٠٠٠ ، ٣لللل ، �لللل، ١للللالمستقيمات : فإن

ا من النقطة ل ل ل ل عمودى على المستقيم �������� مستو واحد

لللل التى تنمتى للمستقيم ا من النقطة لللل يوجد مستوى واحد و واحد فقط عمودى على المستقيم *

وحيد �������� بمعنى أن المستوى

����

لللل

١لللل

٣لللل

٤لللل

�لللل

����

لللل

�لللل

ب

لللل ١

ا

����

لللل

لللل �لللل ١

ا

�لللل /

لللل ١

/

����

لللل

لللل �لللل ١

ا

لللل ٣

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph

١٣ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية

: إذا كان مستقيم عموديا على كل من مستويين فإنھما يكونان متوازيين كما أنه *

موديا على أحد مستويين متوازيين فإنه يكون عموديا على المستوى إذا كان مستقيم ع

: فى الشكل المقابل

�� MMMM لللل، �������� MMMM لللل: إذا كان �� // ��������: فإن

// ��������، �������� MMMM لللل: كذلك إذا كان

�� MMMM لللل: فإن ��

* P يمكن رسم أكثر من مستو واحد يكون عموديا على مستقيم معلوم و يمر بنقطة معلومة

P تنتمى لھذا المستقيم

المستقيم العمودى عليھا من منتصفھا : محور القطعة المستقيمة ھو *

: فى الشكل المقابل

ء ھـ gggg ب ، حـ ا MMMM ب ، ء ھـ احـ منتصف : إذا كان

ب اء ھـ يكون محورا : فإن

بانقطة على ء ھـ على بعدين متساويين من طرفى " " و تكون أى

: مستوى محاور القطعة المستقيمة *

: فى الشكل المقابل

ب ا عموديا على �������� ب ثم رسم المستوى احـ منتصف : ذا كان إ

بشرط أنه يمر بنقطة حـ

ب ا MMMMحـ ھـ : تكون �������� ggggأى نقطة مثل ھـ : فإن

ھـ ب = اھـ : ب و بالتالى ا أى أن حـ ھـ محور

ب ا و تكون كل نقطة تنتمى للمستوى على بعدين متساويين من طرفى

إرتفاع الھرم مممم رسم من ٩٠) = ب م م م م حـ ( ق ق ق ق ) = ام م م م حـ ( قققق ب حـ ھرم ثKثى فيه ا مممم : )١( تدريب

ء حـ مممم المستوى MMMM ب ا: ب حـ فى نقطة ء أثبت أن االقاعدة قطع

الحلـــــــــــــــــ

AAAA حـ مممم MMMM ب م م م م ، ا مممم كل من

BBBB حـ مممم MMMM ٠٠٠٠ المستوى

، AAAA ب ا eeee ٠٠٠٠ المستوى

BBBB حـ مممم MMMM با

، AAAA ء مممم MMMM ب حـا المستوى

BBBB ء مممم MMMM با

BBBB ب ا MMMM ٠٠٠٠ كل من

BBBB ب ا MMMM ء حـمممم المستوى

����

لللل

ب

حـ

ھـ

ء

// // ا

/ \

����

حـ ب

ھـ

// // ا

ا

ب

حـ

ء

مممم

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph

١٤ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية

عمودى على م ك م ك م ك م ك سم ، رسم ٦ول نصف قطرھا و طمممم حـ وتران فى دائرة مركزھا ا ب ، ا : )�( تدريب

حـن ن ن ن ، ب ن ن ن ن سم أوجد طول٨ = م ن م ن م ن م ن بحيث م ك م ك م ك م ك gggg ن ن ن ن و أخذت نقطة حـ ا ب ، ا كل من

الحلـــــــــــــــــــ

حـ مممم ب ، م م م م نصل

AAAA ن م ن م ن م ن م MMMM حـ ا ب ، ا كل من

BBBB ن م ن م ن م ن م MMMM م م م م مستوى الدائرة BBBB ن م ن م ن م ن م MMMM ٠٠٠٠ كل من

BBBB ب يكون ن م ن م ن م ن م من المثلث :

) ب نننن ( �

= ٠٠٠٠ + ٠٠٠٠

= ٠٠٠٠ = ٠٠٠٠ + ٠٠٠٠

BBBB سم ٠٠٠٠= ب نننن

سم٠٠٠٠= حـ نننن: بالمثل

ب حـ أخذت نقطة ء منتصف ب حـ ا المستوى MMMM ھـ ا رسم ، حـ ا= ب ا ب حـ فيه ا : )٣( تدريب

ھـ ء اثبت أن ب حـ المستوى أ

الحلـــــــــــــــ

AAAA حـ ، ء منتصف ب حـ ا= ب ا

BBBB ء ا MMMM ٠٠٠٠

، AAAA ھـ ا MMMM ب حـ ا المستوى

BBBB ھـ ا MMMM ب حـ

BBBB ب حـ MMMM ٠٠٠٠ كل من

BBBB ب حـ MMMM ھـ ءا المستوى

، ب حـ ل و م م م م ء ھـ ا ب عمودى على كل من امكعب أثبت أن م م م م ل ء ھـ و ب حـ ا : )٤( تدريب

الحلـــــــــــــــ

ا

ب

حـ

مممم

نننن

كككك

ا

ب حـ

ء

ـھ

و

ل

مممم

ا

حـ

ب

ء

ھـ

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph

١٥ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية

اAسقاط العمودى

:مسقط نقطة على مستو

ا ا منارس ا و من �������� المستوى hhhh ا إذا كانت نقطة /

: فإن

ا /

�������� على المستوى ا تسمى المسقط العمودى لنقطة

: فإن �������� المستوى gggg أما إذا كانت نقطة ب

مسقط النقطة ب ھو نفسھا

ودية المسقط العمودى لنقطة معلومة على مستو معلوم ھو النقطة التى ھى موقع القطعة المستقيمة العم**

المرسومة من النقطة المعلومة على المستوى

: على مستو قطعة مستقيمة مسقط

ا ھو �������� ب على المستوى ا مسقط /

ب/

ا: حيث /

، با مسقط /

�������� مسقط ب على المستوى

�������� ب يكون مسقطھا على المستوى ا أى نقطة تنتمى إلى

ا نقطة تنتمى إلى /

ب/

: اUشكال ا[تية توضح مسقط قطعة مستقيمة فى أوضاع مختلفة

" ��������على مستوى ب اإرسم شكل يوضح مسقط " مسقط مستقيم على مستو ھو مستقيم **

ب و مسقطه يسمى مستوى اAسقاطا يسمى مستوى المسقط بينما المستوى الذى يتكون منه ��������المستوى **

زاوية ميل مستقيم على مستو ھى الزاوية بين ھذا المستقيم و مسقطه على المستوى **

قطھا على المستوى الزاوية بين قطعة مستقيمة و مستو ھى الزاوية بين القطعة المستقيمة ومس **

" ھى الزاوية بين المستقيم الحامل للقطعة المستقيمة و المستوى "

٩٠ ھـ ٠: فإن ) ھـ ( إذا كان قياس الزاوية بين القطعة المستقيمة و المستوى ھو **

ب تمام زاوية ميل المستقيم الحامل جي× طول القطعة المستقيمة = طول مسقط القطعة المستقيمة على مستو **

لھا على المستوى

ا: فى الشكل الثانى /

ب/

ب حتا ھـ ا =

صفر = إذا كانت القطعة المستقيمة عمودية على المستوى فإن مقطھا على المستوى نقطة ، و طولھا **

كما فى الشكل اUول

طول مسقطھا على المستوى كما فى الشكل الرابع = مة توازى المستوى فإن طولھا إذا كانت القطعة المستقي**

ا

ا/ ��������

ب

ح

ب

ب/

ء/

حـ /

ا/

ا

ء

��������

ب

��������

ب ا

ب/

نننن

��������

ھـ ا

ا

ا/

��������

ب

ب/

ا

ا/

��������

ب

ب/

ا

ا/ ��������

ب

بحـ /

ھـ

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph

١٦ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية

:متوازى مستطيKت فيه م م م م ب حـ ء ھـ و ل ا : تدريب

: سم أكمل ما يأتى ١٠= ھـ ا سم ، ٨= سم ، ب حـ ٦= ب ا

٠٠٠٠مسقط ب على المستوى حـ ء ل ھو ) ١ (

٠٠٠٠ل ھى مسقط حـ على المستوى ) � (

٠٠٠٠ ھو مممممسقط و ل على المستوى ء ھـ ) ٣ (

٠٠٠٠ ب ھى مسقط ھـ و على المستوى ا) ٤ (

٠٠٠٠ ھى ممممزاوية ميل ء و على المستوى ھـ و ل ) ٥ (

٠٠٠٠ = مممم المستوى ھـ و ل قياس زاوية ميل ء و على) ٦ (

: "نظرية اUعمدة الثKثة ) " ٤(نظرية

إذا رسم مستقيم مائل على مستو و كان عموديا على مستقيم فى المستوى فإن مسقط المستقيم المائل

على المستوى يكون عموديا على ھذا المستقيم

و عمودى على حـ ء �������� المستوى ب مائل علىا : المعطيات

�������� المستوى MMMM نننن ا ، �������� الواقع فى المستوى

حـ ء MMMM ننننب : إثبات أن : المطلوب

�������� المستوى MMMM نننن ا AAAA : انـالبرھـ

BBBB نننن ا MMMM حـ ء الواقع فى المستوى ��������

، AAAA ب ا MMMM معطى " حـ ء"

BBBB حـ ء MMMM با ، نننن ا عمودى على كل من

BBBB حـ ء MMMM مستويھما أى أن حـ ء MMMM بنننن ا

BBBB حـ ء MMMM بنننن ا أى مستقيم يقع فى المستوى

BBBB حـ ء MMMM نننن ب

: )٤(نظرية عكس

عموديا على مستقيم فيه كان ھذا على المستوىمسقطه إذا رسم مستقيم مائل على مستو و كان

المستقيم المائل عموديا على ذلك المستقيم

�������� المستوى MMMM نننن ا ، �������� ب مائل على المستوى ا : المعطيات

��������المستوى ع فى حـ ء الواق MMMM نننن ب

حـ ء MMMM ب ا: إثبات أن : المطلوب

�������� المستوى MMMM نننن ا AAAA : انـالبرھـ

BBBB نننن ا MMMM حـ ء الواقع فى المستوى ��������

، AAAA ننننب MMMM معطى " حـ ء"

BBBB حـ ء MMMM با ، نننن ا عمودى على كل من

BBBB حـ ء MMMM مستويھما أى أن حـ ء MMMM بنننن ا

BBBB حـ ء MMMM بنننن ا أى مستقيم يقع فى المستوى

BBBB حـ ء MMMM ب ا

ا

ب حـ

ء

ھـ

و

ل

مممم

ا

��������

ب

حـ

ء

ا

��������

ب

ح

ء

ن

ن

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph

١٧ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية

: فى الشكل المقابل : )١ (مثال

ب ء MMMM سم ، ھـ و ��= سم ، ب حـ ��= المستوى ب حـ ء ، حـ ھـ MMMM حـ ھـ

أوجد طول ھـ و ��$ ) = حـ ب و ( حا ،

الحلــــــــــــــــــ

AAAA حـ ھـMMMMالمستوى ب حـ ء

BBBB ھـ و مائل على المستوى ب حـ ء

، AAAA ھـ و MMMMب ء

BBBB حـ و ھو مسقط ھـ و على المستوى ي حـ ء

BBBB حـ و MMMM ب ء

BBBB ق ق ق ق ) ٩٠) = ب و حـ

BBBB ب حـ و ∆فى :

) حـ ب و ( حا ×ب حـ = حـ و

سم ١٦ = ��$× �� =

، AAAA حـ ھـ MMMM المستوى ب حـ ء

BBBB حـ ھـ MMMM حـ و

BBBB ھـ حـ و ∆ فى :

" فيثاغورث " سم ��= ھـ و

: فى الشكل المقابل : )�(مثال

حـ ا ��! = ب ، حـ ء ا MMMM ، حـ ھـ ٣٠) = ب ا حـ ( قققق ب حـ ، ا المستوى MMMM حـ ء

) ھـ ء حـ ( قققق أوجد

الحلــــــــــــــــــــ

AAAA حـ ء MMMM ب حـ ا المستوى

BBBB ب حـ ، مسقطه ھو حـ ھـ اء ھـ مائل على المستوى

، AAAA حـ ھـ MMMM ب ا

BBBB ء ھـ MMMM ب ا

: ب حـ ا ∆ فى

٩٠) = ھـ حـ ا ( قققق ، ٣٠) = ب ا حـ ( قققق

BBBB حـ ا ��! = حـ ھـ

، AAAA حـ ا ��! = حـ ء

BBBB حـ ء = حـ ھـ

، AAAA قققق ) ٩٠) = ء ھـ حـ

BBBB قققق ) ٤٥) = ھـ ء حـ

ب

حـ

ھـ

و

ء

ب

حـ

ھـ

ء

ا

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph

١٨ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية

الزوايا الزوجية

: نعلم أن

الزاوية فى المستوى ھى إتحاد شعاعين لھما نفس نقطة البداية

ھذان الشعاعان ھما ضلعا الزاوية ، نقطة البداية ھى رأس الزاوية

حـ ا �������� ب ا= ب ا حـ : أى أن

: الزاوية الزوجية

ھى إتحاد نصفى مستويين مع حدھما المشترك

�������� ��������= ب االزاوية الزوجية : أى أن ب ا ��������

: كما تكتب الزاوية الزوجية بإحدى الصور

) �������� – ب ا – ) ء – ب ا – حـ )أو (

�� gggg ، ء �������� ggggحـ : حيث ��

: الزوايا الزوجية الناتجة عن تقاطع مستويين

إذا تقاطع مستويان نتج عن تقاطعھما أربع زوايا زوجية

وجية متجاورة ، و زوايا زوجية متقابلة بالحرف منھا زوايا ز

: فى الشكل المقابل

) ھـ – ب ا – حـ ( ،) متجاورة) ھـ – ب ا – ء

) ھـ – ب ا – حـ ( ،) متقابلة بالحرف) و – ب ا – ء

: لزاوية زوجيةمستويةالزوايا ال

ھى الزاوية التى تنشأ عن تقاطع ھذه الزاوية الزوجية بمستو عمودى على حرفھا

: فى الشكل المقابل نKحظ

��������و يقطع المستوى ب ا عمودى على الحرف عععع المستوى

ء ، المستوى حـ فى ب ا gggg حيث حـ ھـ حـ فى

�� gggg ، ھـ �������� gggg ، ء �� ب ا MMMM ب ، حـ ھـ ا MMMM ، حـ ء

ء حـ ھـ ھى الزاوية المستوية: و بالتالى

) ھـ – ب ا – ء ( للزاوية الزوجية

: حقيقة

جميع الزوايا الزوجية لزاوية زوجية تكون متساوية فة القياس

: قياس الزاوية الزوجية

قياس الزاوية الزوجية ھو قياس أى زاوية من زواياھا المستوية

ب

حـ

ا

ا

ب

ء حـ

�������� ����

ا

ب

حـ

ـھ

ء

و

��������

ا

ب

ء حـ

�������� ����

عععع

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph

١٩ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية

: تدريب

ب حـ ا المستوى MMMM مممم ، ب ٣٠) = حـ ا ب ( ق ق ق ق ب حـ فيه ا ∆: فى الشكل المقابل

) ب – حـ ا – مممم ( سم أوجد قياس ٥ = مممم سم ، ب ١٠= ب ا حـ ، ا MMMM ، ب ھـ

الحلــــــــــــــــــــــــ

AAAA ممممب MMMM ب حـ ا المستوى

BBBB ٠٠٠٠ ، مسقطه ھو ٠٠٠٠ ھـ مائل على المستوى م م م م

، AAAA ب ھـ MMMM حـ ا

BBBB ٠٠٠٠ MMMM حـ ا

، AAAA م م م مgggg ب ٠٠٠٠المستوى ، gggg ٠٠٠٠ المستوى

BBBB ھى زاوية مستوية٠٠٠٠

) ب – حـ ا – مممم ( للزاوية الزوجية

، AAAA ب حـ ا ∆ فى :

٠٠٠٠) = ھـ ب ا (قققق ، ٣٠) = ـ ح ا ب (قققق

BBBB سم ٠٠٠٠ = ٠٠٠٠ × ١٠ = ٣٠حا × ٠٠٠٠= ب ھـ

، AAAA ب ھـ مممم ∆ فى :

سم ٠٠٠٠= ب ھـ = ب مممم ، ٠٠٠٠) = ب ھـ م م م م (قققق

BBBB قققق) ٠٠٠٠) = ھـ ب م م م م

BBBB قققق) ٠٠٠٠ ) = ب – حـ ا – مممم

: المستويات المتعامدة

يقال لمستويين متقاطعين انھما متعامدان إذا كانت إحدى الزوايا الزوجية الناشئة عن تقاطعھما قائمة

: )٥(نظرية

كان مستقيم عموديا على مستو فكل مستو يمر بھذا المستقيم يكون عموديا على ذلك المستو إذا ى

و يقطعه فى حـ �������� المستوى MMMMحـ ء : المعطيات

، مستوى يمر بالمستقيم حـ ء و يقطع

با فى �������� المستوى

: Aثبات أن : المطلوب MMMM ��������

�������� ب فى المستوى ا MMMMنرسم حـ ھـ : العمـــــل

��������ى المستوMMMM حـ ء AAAA : البرھـان

BBBB حـ ء MMMM حـ ھـ الذى يقع فى المستوى ��������

BBBB قققق) ٩٠) = ء حـ ھـ

AAAA حـ ھـMMMM ب و يقع فى المستوى ا ��������

�� ب و يقع فى المستوى ا MMMM ، حـ ء �� BBBB حدى الزوايا الزوجية الناتجة عن تقاطع ء حـ ھـA ھى زاوية مستوية �������� ،

AAAA قققق) ٩٠) = ء حـ ھـ

BBBB MMMM ��������

حـ

ب

ھـ

مممم

ا

حـ

ب

ھـ

ا

ء

��������

����

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph

٢٠ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية

: تدريب

الدائرة gggg مستوى الدائرة ، ء MMMM حـ ا ب قطر فى دائرة ، ا: فى الشكل المقابل

متعامدان ، حـ ء ب ا أثبت أن المستويين حـ ء

الحلــــــــــــــ

AAAA ب قطر فى دائرة ا BBBB قققق) ٠٠٠٠) = ء ب ا

BBBB ب ء MMMM ٠٠٠٠

AAAA حـ ا MMMM مستوى الدائرة

BBBB حـ ا MMMM رة الواقع غى مستوى الدائ٠٠٠٠

BBBB ب ء MMMM ٠٠٠٠ ، ٠٠٠٠ كل من

BBBB ب ء MMMM ٠٠٠٠ المستوى

BBBB المستوى حـ ب ء المار ب ء MMMM ٠٠٠٠ المستوى

BBBB حـ ء ب متعامدانا المستويين حـ ء ،

: )٦(نظرية

ستقيم عمودى على خط التقاطع إذا تعامد مستويان و رسم فى أحدھما م

المستوى ا[خركان ھذا المستقيم عموديا على

إذا كان : فى الشكل المقابل ���� MMMM �� �� ، ���� �������� �� ب ا = ��

eeee ، حـ ء ب ا MMMM ، حـ ء

MMMMحـ ء : فإن ���� eeeeكذلك إذا كان حـ ھـ ب ا MMMM ، حـ ھـ ����

MMMMحـ ھـ : فإن

: حقيقة

إذا كان كل من مستويين متقاطعين عموديا على مستو ثالث

كان خط تقاطع ھذين المستويين عموديا على المستوى الثالث

: فى الشكل المقابل

كل من : إذا كان ���� ، �� عععع عموديا على المستوى ��

، ���� �������� �� ب ا = ��

عععع ب يكون عموديا على المستوى ا: فإن

: فى الشكل المقابل : مثال

حـ ا ء منتصف حـ ،مممم = امممم فإذا كان حـ ان متعامدان و متقاطعان فى مستوياب ا، حـ ب امممم

ب حـ ا المستوى MMMM ء مممم أثبت أن

الحلــــــــــ

AAAA حـ مممم ا ∆ فى :

حـ ا حـ ، ء منتصف مممم = امممم

BBBB ء مممم MMMM حـ ا

AAAA مستويان متعامدانب ا، حـ ب امممم

" خط تقاطعھما " حـ ا MMMM ء مممم ،

BBBB ء مممم MMMM ب حـ ا المستوى

ا

ب

حـ

ء

ھـ حـ

ا ء

��������

����

��������

����

عععع

ا

ب

ب ا

حـ

ء

مممم

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph

٢١ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية

تمــــــــــــارين

: أكمل ما يأتى ) ١(

٠٠٠٠حد يسمى إذا كان لنصفى مستويين حد مشترك فإن إتحاد نصفى المستويين مع ذلك ال – ١

٠٠٠٠ المستقيم العمودى على كل من مستقيمين متقاطعين من نقطة تقاطعھما يكون – �

٠٠٠٠الزاوية بين مستقيمين متخالفين ھى – ٣

على مستقيم فيه كان ھذا و كان مسقطه على المستوى عمودياإذا رسم مستقيم مائل على مستو – ٤

٠٠٠٠يم المائل المستق

٠٠٠٠المستقيمان العموديان على مستو واحد – ٥

٠٠٠٠ إذا تعامد مستويان و رسم فى أحدھما مستقيم عمودى على خط التقاطع كان ھذا المستقيم – ٦

٠٠٠٠إذا وازى مستقيم خارج مستو مستقيما فى المستوى فإنه – ٧

٠٠٠٠ متقاطعين عموديا على مستو ثالث كان خط تقاطع ھذين المستويين يينإذا كان كل من مستو – ٨

٠٠٠٠الزاوية المستوية لزاوية زوجية ھى الزاوية الناشئة من – ٩

٠٠٠٠الزاوية بين قطعة مستقيمة و مستو ھى الزاوية بين القطعة المستقيمة و – ١٠

٠٠٠٠متقاطعين فإنه إذا وازى مستقيم كK من مستويين – ١١

٠٠٠٠إذا قطع مستو مستويين متوازيين فخطا تقاطعه معھما يكون – ��

٠٠٠٠إذا كان مستقيم عموديا على مستوى فكل مستو يحوى ھذا المستقيم يكون – ١٣

٠٠٠٠إذا أشترك مستويان فى ثKث نقط ليست على إستقامة واحدة فإنھما – ١٤

ذا قطعت عدة مستويات متوازية بمستقيمين فإن أطوال القطع المستقيمة المحصورة بينھاإ – ١٥

٠٠٠٠ تكون

٠٠٠٠الھرم القائم ھو – ١٦

٠٠٠٠أقطار متوازى السطوح ھى القطع المستقيمة الواصلة بين – ١٧

٠٠٠٠ ء و حـ ھو ا ب و مع المستوى اب حـ ء ھـ و منشور ثKثى خط تقاطع المستوى ا – ١٨

٠٠٠٠ على مستوى فإن ذا أحد مستقيمين متوازيين عمودياإ – ١٩

٠٠٠٠= جيب تمام الزاوية الزوجية بين أى وجھين من أوجه الھرم الثKثى المنتظم – ��

٠٠٠٠= طول قطر أى وجه فيه : * سم فإن ٦إذا كان طول حرف مكعب – ��

٠٠٠٠= مساحته الجانبية * ٠٠٠٠= طول قطر المكعب *

٠٠٠٠= حجمه * ٠٠٠٠= مساحته الكلية *

سم٩٦مكعب إذا كانت مساحة سطح – �� � ٠٠٠٠= فإن طول قطره

٠٠٠٠= مساحته الجانبية فإن سم /�� �[ ٧طول قطر مكعب إذا كان – ��

سم ٦٤إذا كان حجم مكعب – �� ٣

٠٠٠٠= فإن طول قطر أى وجه من أوجھه

: سم فإن ٥ سم ، ٤ سم ، ٣إذا كانت أبعاد متوازى مستطيKت ھى – ��

٠٠٠٠= مساحته الجانبية * ٠٠٠٠= طول قطره *

٠٠٠٠= حجمه * ٠٠٠٠= مساحته الكلية *

سم ١٠٠إذا كان حجم متوازى مستطيKت – �� ٣

سم و قاعدته مربعة الشكل ٤ و طول إرتقاعه

٠٠٠٠= فإن طول ضلع قاعدته

على ا ب ، ب حـ ، حـ ھـ ، ھـ ا ل منتصفات ، ص ، ع ، ب حـ ء ھـ و منشور ثKثى مائل ، ا) �(

ص ع ل متوازى أضKع الترتيب أثبت أن الشكل

و ، ب ھـ على ا منصفى مممم ب ھـ و فى مستويين مختلفين فإذا كانت ل ، ا ب حـ ء ، ا المستطيKن ) ٣(

مستطيل مممم الترتيب أثبت أن الشكل ل ء حـ

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : mco.7yoo.shantory://ttph

٢٢ الثانوية العامة للمرحلة الثانية من الھندسة الفراغية

فى صمممم ، ء ھـ فى ا متوازى مستطيKت رسم مستو يمر بالضلع ب حـ و يقطع مممم حـ ء ھـ و ل با )٤(

مستطيل أثبت أن الشكل ب حـ ص

)٥ (�������� ، �������� ھـ فقطعت المستوى م م م م حـ ، م م م م ، ام م م م نقطة خارجھما رسمت مممم مستويان متوازيان ،

، حـ ، ھـ و المستوى ا فى : أوجد ٣ : ١= ب ا : ام م م م فى ب ، ء ، و على الترتيب و كان

) حـ ھـ ا ∆ ( مممم ١٦) = ب ء و ∆ ( مممم: ب ء ثم أثبت أن : حـ ا

، رسم مستو يمر بالنقطة ٤ : ١ = ام م م م : م م م م بحيث ام م م م gggg ب حـ ھرم ثKثى أخذت ام م م م )٦(

ب حـ ا ∆ eeee ص ع ∆: حـ فى ع أثبت أن م م م م ب فى ص ، م م م م حـ و يقطع با موازيا المستوى

سم ٨٠) = ب حـ ا ∆ ( مممم و إذا كانت �

) ص ع ∆ ( مممم أوجد

: بحيث حـ م م م م ب ، م م م م ، ام م م م ب حـ ھرم ثKثى أخذت النقط ء ، ھـ ، و على اUحرف ام م م م ) ٧(

ب حـ ، إذا كانت النقطة اأثبت أن المستوى ء ھـ و يوازى المستوى = =

ك ك ك ك ا // نننن أثبت أن ء نننن بحيث تقطع ھـ و فى النقطة م ك م ك م ك م ك ب حـ ، رسم gggg ك ك ك ك

)٨ (�������� ، يوازى المستوى بحيث حـ ء�������� ب ، رسم حـ ء فى المستوى ا مستويان متقاطعان فى

، رسم ھـ و فى المستوى ھـ و // حـ ء : أثبت أن �������� بحيث ھـ و يوازى المستوى

ا ، حـ ب ، ء ا منصفات حـ نننن ، كككك ، مممم ب مثلثان فى مستويين مختلفين ، إذا كان ل ، ا ب ، ء ا حـ ) ٩(

م ن ك م ن ك م ن ك م ن ك المستوى ل // ب ا ، ك ن ك ن ك ن ك ن // مممم ل : ، ء ب على الترتيب أثبت أن

ھـ ل حـ ، ا ب حـ ء معين أثبت أن المستويين ا متوازى سطوح قائم قاعدته مممم ب حـ ء ھـ و ل ا) ١٠(

ء متعامدان مممم ب و

سم١٠= ب حـ = ب ا سم ، ��= ء اب حـ ، // ء ا ب حـ ء شبه منحرف متساوى الساقين فيه ا) ١١(

ب حـ ء كما رسمتا ء المتساوى اUضKع بحيث كان مستواه عموديا على المستوى ا مممم رسم المثلث

– ب ا – مممم ب ، ظل الزاوية ممممطول : ء أوجد ا gggg ء حيث ا MMMM مممم

: مستوى المثلث أثبت أن MMMM ء ا ب حـ مثلث قائم الزاوية فى ب ، رسم ا )�١(

ب ءا المستوى MMMM ب حـ ، ب حـ MMMM ء ب

: حـ ، ء منتصف ب حـ أثبت أن م م م م = ب م م م م حـ ، ا= ب ا ب حـ ھرم ثKثى فيه ام م م م ) ١٣(

ب حـ ، إذا كان االمستوى MMMMھـ م م م م : ء أثبت أن ا MMMMھـ م م م م ء ، إذا رسم ام م م م المستوى MMMM ب حـ

ب حـا ب حـ ، مممم سم أوجد قياس الزاوية الزوجية بين المستويين ٤= ء ممممسم ، /�� �[ �= ھـ مممم

سم ��عه ب حـ الذى طول ضلا و قاعدته المثلث المتساوى اUضKع مممم ب حـ ھرم ثKثى رأسه ام م م م ) ١٤(

: سم ، ء منصف ب حـ أثبت أن ٦ = ام م م م ، ٩٠) = حـ ام م م م ( قققق) = ب ام م م م ( قققق ،

ب حـاب حـ ، م م م م ء ثم أوجد قياس الزاوية الزوجية بين المستويين ام م م م المستوى MMMM ب حـ

ب حـ متعامدان مممم ء ، ام م م م و أثبت أن المستويين

ء ، المستويان مممم ا المستوى MMMMء حـ : ء أثبت أن ا ب ، ا كل من MMMM مممم ا ب حـ ء مربع رسم ا )١٥(

ا – ء حـ – مممم ء أوجد قياس الزاوية الزوجية ا = ام م م م ء متعامدان ، إذا كان ام م م م ب ، ام م م م الجانبى سم و طول حرفه/�� �[ ٤ ب حـ ء طول ضلعه ا ب حـ ء ھرم رباعى قائم قاعدته المربع ام م م م ) ١٦(

ب حـ ء ، ظل الزاوية بينا على مستوى القاعدة ام م م م إرتفاع الھرم ، قياس زاوية ميل : سم أوجد ٨

ب حـ ءا ب ، ام م م م المستويين

سم أوجد اAرتفاع الجانبى للھرم ، إرتفاع الھرم ، ٦ ب حـ ھرم ثKثى منتظم طول حرفه ام م م م ) ١٧(

ب حـا على مستوى القاعدة ام م م م قياس زاوية ميل الحرف

ام م م م ء مممم

بم م م م ھـ مممم

حـ م م م م و مممم

óÏ

Ä

×

Ä

f

T

g R

i ��������

D

����

ö

÷

e +

M ∞ V