Тема 2.3. Деревья. Характеристики

графов

Тема 2.3.1. Деревья и их

свойства.

Выполните задания

НА ЗНАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО

МАТЕРИАЛА

А) граф с семью вершинами и шестью ребрами, не имеющий циклов,

Б) связный граф с семью вершинами и шестью ребрами,

В) граф с семью вершинами, в котором для любых двух вершин существует один и только один связывающий их путь,

Г) связный граф с семью вершинами, каждое ребро которого – мост.

Определение 1. Деревом называется всякий связный граф, не имеющий циклов. Граф, состоящий из одной изолированной

вершины - дерево.

Выберите из приведенных ниже графов те, которые являются деревьями. В выбранных деревьях отметьте висячие вершины. Заполните таблицу 1 2 3 4 5 6

Связность

Отсутствие циклов

Дерево

Теорема. для каждой пары вершин дерева существует единственный соединяющий их путь.

Доказать: 1) что для каждой пары вершин дерева

существует соединяющий их путь; 2) что путь, соединяющий любые две

вершины дерева, - единственный.

1) Дерево – минимальный связный граф. Из определения связности следует существование пути.

2) Предположим, что существует пара вершин данного дерева, у которых есть два соединяющих их пути. Тогда этот граф содержит цикл, то есть не является деревом.

Получили противоречие, следовательно, наше предположение было неверным, и путь, соединяющий

любые две вершины дерева, - единственный.

Определение 2. Лесом называется несвязный граф, представляющий собой объединение деревьев.

Граф, состоящий из одного дерева – лес.

Выберите из данных графов те, которые являются лесом.

v4

v1 v2

v3

v5

R12

R14

R15

R25 R23

R35 R45

R34

Подграфом графа G называется граф, у которого

все вершины и ребра принадлежат графу G.

Остовной связный подграф – это подграф

графа G, который содержит все его вершины и

каждая его вершина достижима из любой другой.

Дерево – это граф, в котором нет циклов.

Остовным связным деревом называется подграф, включающий все

вершины исходного графа G, каждая вершина которого достижима из любой

другой, и при этом не содержит циклов.

а) подгаф графа G

v2

v3

v5

R25

R23

R35 v4

v1 v2

v3

v5

R12

R14 R23

R35

R34

v4

v1 v2

v3

v5 R14 R23

R35

R34

б) остовной связный

подграф графа G

в) остовное связное

дерево

Для каждого графа обычно существует несколько остовных связных деревьев,

которые обладают различными весами.

v4

v1 v2

v3

v5

R12

R14 R15

R25 R23

R35 R45

R34

Остовные связные деревья графа G

Граф G в форме схемы

v4

v1 v2

v3

v5 R14

R25

R23

R34

v4

v1 v2

v3

v5 R14 R23

R35 R45

v4

v1 v2

v3

v5

R12

R14

R15

R34

v4

v1 v2

v3

v5

R12

R14 R15

R25 R23

R35 R45

R34

Граф G в форме схемы Матрица смежности связного взвешенного

неориентированного графа G

1 2 3 4 5

1 0 50 0 25 10

2 50 0 25 0 30

3 0 25 0 50 35

4 25 0 50 0 15

5 10 30 35 15 0

Цикломатическое число γ показывает, сколько ребер графа нужно удалить,

чтобы в нем не осталось ни одного цикла.

Цикломатическое число γ равно увеличенной на единицу разности между

количеством ребер и количеством вершин: γ = m – n +1

Для графа G: γ = m – n + 1 = 8 – 5 + 1 = 4

1

2

3

Из графа удаляются все ребра, получается остовной подграф, где все

вершины изолированы. Каждая вершина такого графа помещается в

одноэлементное подмножество.

Ребра сортируются по возрастанию весов.

Ребра последовательно, по возрастанию их весов, включаются в остовное

дерево. Существуют четыре случая:

а) обе вершины включенного ребра принадлежат одноэлементным

подмножествам, тогда они объединяются в новое, связное подмножество;

б) одна из вершин принадлежит связному подмножеству, а другая нет, тогда

включаем вторую в подмножество, которому принадлежит первая;

в) обе вершины принадлежат разным связным подмножествам, тогда

объединяем подмножества;

г) обе вершины принадлежат одному связному подмножеству, тогда

исключаем данное ребро.

4 Алгоритм заканчивает свою работу, когда все вершины будут объединены в

одно множество, при этом оставшиеся ребра не включаются в остовное

дерево.

Алгоритм Крускала 1

v4

v1 v2

v3

v5

R45

R15

v4

v1 v2

v3

v5

3

R15

v4

v1 v2

v3

v5

2 4

R23

R45

R15

v4

v1 v2

v3

v5

R25

5

R23

R45

R15

v4

v1 v2

v3

v5

6 Не включать в граф ребра R14, R12, R34, R35

7

8

9

Получено остовное (включены все вершины) связное (все

вершины можно соединить маршрутами) дерево (отсутствуют

циклы) минимального веса (последовательно включались ребра,

отсортированные по возрастанию весов)

Минимальный вес дерева: R23+R25+R15+R45 = 25+30+10+15 = 80

Циклографическое число графа G равно γ =m-n+1=8-5+1=4, что

соответствует количеству ребер, не включенных в остовное

связное дерево

v4

v1 v2

v3

v5

R12

R14 R15

R25 R23

R35 R45

R34

Граф G в форме схемы

1 2 3 4 5

1 0 50 0 25 10

2 50 0 25 0 30

3 0 25 0 50 35

4 25 0 50 0 15

5 10 30 35 15 0

Необходимо соединить пять городов (Серпухов, Коломну, Каширу, Москву и Подольск) железнодорожными линиями так, чтобы не строить лишних дорог.

Какова должна быть сеть дорог, соединяющая все города и имеющая минимальную возможную стоимость, если известно, что стоимость строительства дороги

от Серпухова до Коломны - 200, до Каширы –100, до Москвы– 75, до Подольска – 80;

от Коломны до Каширы – 150, до Москвы – 120, до Подольска – 140; от Каширы до Москвы -90, до Подольска – 105; от Москвы до Подольска – 60?