Школа № 254 Учитель математики:

Павлова Марина Константиновна

Свойства площадей многоугольников

Равные многоугольники имеют равные площади.

Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

B

C A C1

A1

B1

Докажите, что площади треугольников равны.

Будет ли площадь данной фигуры равна

сумме площадей треугольников АВС и KLM?

A

B

CK

L

M

N

Повторим формулы площадей!

а

а

Sквадрата = а·а = а²а

а

a

bS = а·b

Повторим формулы площадей!Sквадрата = а·а = а²

a

b

Sпрямоугольника = а·b

h

Sпараллелограмма = а·h

а

Sромба = а·h d2

d1

21ромба 2

1ddS а

Повторим формулы площадей!

.2

BHADBC

S

Sпараллелограмма = а·h

hаS 2

1катреугольни

h

a

A

B C

DH

4

32аSтр

а

a a

а

b bаS 2

1тр

Что изображено?

ab2

1S

Вопросы

Чему равна сумма острых углов в прямоугольном треугольнике?

А + В = 90°

Чему равна площадь этого треугольника?

Как называются стороны АС и ВС?

C

A

B a

bс

В прямоугольном треугольнике квадрат

гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

с

b

а

c²=a²+b²Теорема, обратная теореме Пифагора:

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

«Ослиный мост»

Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда Pons Asinorum «ослиный мост» или elefuga - «бегство убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии.

Слабые ученики, заучивавшие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее так же “ветряной мельницей”, составляли стихи вроде “Пифагоровы штаны на все стороны равны”, рисовали карикатуры.

Шаржи из учебника XVI века

Ученический шарж XIX века

Дано: ∆ ABC, C=90°, B=60°, AB=12 см

AC=10 см Найти: S∆АВС

Решите устно

CA

B Дано: ∆ ABC, C=90°,

AB=18 см, ВC=9 см

Найти: B, А

1.

2.

Ответ: А=30º, B=60º

Ответ:30 см²

с² = а2 + b2

а

b с

С

А

В

№ 483 - 484

с =√ а2 + b2

8

8

136

cbа125

10

3 67

В прямоугольном треугольнике а и b – катеты, с – гипотенуза. Заполните таблицу.

b =√c²-a² а =√c²-b²

b2 =c²-a² а2 =c²-b²

Решение

3. ∆ACD прямоугольный, D=45° DAC=45° ∆ACD - равнобедренный CD = AC = 4 S∆ADC = 8. Значит площадь всей фигуры

SАВСВ = S∆ABC + S∆ADC = 8+2 3.

Дано: AB=23,BC=2, B=90АCD=90BAC=3

0, D=45Найти: SАВСВ.

Задача

30º

D

С

B

A

45

2√32

1. Площадь всей фигуры

SАВСВ = S∆ABC + S∆ADC

2. ∆ABC прямоугольный, S∆ABC=23; BAC=30° AC = 2BC = 4.

A D

СВ

№ 493Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.

Решение.

21ромба 2

1ddS

S=½·10·24=120 (cм²)

∆ABO – прямоугольный, найдем АВ по теореме Пифагора: АВ²=ВО²+АО²

O

АВ=√5²+12²

АВ=13 (см)

Ответ: 13 см и 120 см².

№ 497Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см.

A D

СВ

Дано: ABCD - параллелограмм, BD AD, РАВСD=50 см, AB-АD=1 см.

Найти: BD.Решение.

Пусть АD=х см, тогда АВ=(х+1) см.

Т.к. РАВСD=2·(АВ+AD), то50=2·(х+1+х)25=2х+1х=12, значит АD=12 см, АВ=13 см.

1.АD=12 см, АВ=13 см.

2.

Найдем ВD с помощью теоремы Пифагора: АВ²=ВD²+АD²

BD=5 (cм)

22 ADABBD

12 см

13 см

ЗадачаПлощадь прямоугольной трапеции равна 120 см², а ее высота 8 см. Найдите все стороны трапеции, если одно из ее оснований на 6 см больше другого.

D

В С

А Н

Дано: ABCD - трапеция, АВ AD, SАВСD=120 см², АВ=8 см, AD>BC на 6 см. Найти: BС, СD, АD.

Решение.

)(2

1АВСD АDВСАВS

Пусть ВС=х см, тогда АD=(х+6) смТ.к. SABCD= ·8·(x+6+x)=120, 2

1

4(2х+6)=120 2х+6 = 30

х = 12, значит ВС 12 см, АD=18 см

1. 2.

АВ=8 см, ВС=12 см, АD=18 смДополнительное построение: СН АD, тогда АВСН – прямоугольник.

СН=АВ=8 см, AH=BC=12 cм, тогда HD=AD-AH=6 cм

12 см

18 см6 см

Найдем CD по теореме Пифагора: СD²=CH²+HD²СD=√8²+6² СD=10 (cм)Ответ: АВ=8 см, ВС=12 см, СD=10 см, AD=18 см.

Домашнее задание:

• Повторить §§ 1-3• Подготовиться к контрольной работе

А В

С

М

N

Дано: ∆ABC, BС=7,5 см, АC=3,2 см, АMBC, BNAC, AM=2,4 cм Найти: BN

Решение: S∆ABC=½АМ·СВ=½·2,4·7,5=9 см² S∆ABC=½BN·AС BN=2·S∆ABC:АС=2·9:3,2=5,625 см

Ответ: 5,625 см.

Две стороны треугольника равны 7,5 см и 4 см. Высота, проведенная к большей стороне, равна 2,4 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей из данных сторон.

№ 470

Площадь прямоугольного треугольникаравна 168 см². Найдите его катеты, если отношение их длин равно 7:12.

А

С В

Дано: ∆ABC, С=90º, АC:ВС=7:12, S∆ABC=168 см² Найти: АС, BС.Решение: S∆ABC=½АС·ВС

168=½7х·12х

168=42х²

х=2

АС=14 см, ВС=24 см

Ответ: 14 см и 24 см.

№ 472