10

Лабораторная работа №2

Тема: Пределы последовательностей

Литература: [ИП] – гл.3, с.58-88; [Ф] – гл. 1, с.43-92; [ИCC] - гл. 3, §§ 1-3;

[ЕД] – гл.1, § 3, с.27-30; [К] – гл. 2, §§ 181-232.

Содержание заданий:

1. Найдите supnx , inf

nx , lim n

x , lim nx , а также min x n и max x n , если они

существуют.

2. Докажите равенство, пользуясь определением предела числовой

последовательности.

3-10. Вычислите пределы числовых последовательностей х n .

Варианты заданий:

Вариант №1 Вариант №2

1. х n = n

)1(

2

1ncos nπ 1. х n =

n

3

n2cos2

3 π

2. 2

1

n21

1nlimn

2. 2

1

n42

n212

2

nlim

3. х n = 2 2

2 2

(3 ) (3 )

(3 ) (3 )

n n

n n 3. х n =

4 4

4 4

(3 ) (2 )

(1 ) (1 )

n n

n n

4. х n = 2n2n

2n2n4 4

4

4. х n =nn

nn1251n35

3 3

5. х n = 2 2( 1 1)n n n 5. х n = 3 3( 5)n n n n

6. х n = 4n

5n

3n 6. х n = 3n2

1n3

1n3

7. х n = n

1k2 8k21k9

9 7. х n =

)3n5(...1272

1nn2

8. х n = ;72...727,0n2

8. х n = n2

21...21213,0

9. n

1n1x4

53x,3x 9.

4

5xx,0x n

1n1

10. х n = n

1k )2k)(1k(k

1k 10. х n =

n

1k )2k)(1k(k

2k3

11

Вариант №3 Вариант №4

1. х n = 1n

34

nsinn2

π

1. х n =

1

(1 cos ) ( 1)πn

nn n

n

2. 51n

n5limn

2. 2

1

n21

n93

3

nlim

3. х n = 4 4

3 3

(3 ) (2 )

(1 ) (1 )

n n

n n 3. х n =

4 4

3 3

(1 ) (1 )

(1 ) (1 )

n n

n n

4. х n = 3 44 4

2

1n1n4

2n2n 4. х n = n1nn

n71n4 12

33 2

5. х n = 2( ( 2) 3)n n n n 5. х n = 9n)4n)(1n( 422

6. х n =

2n

2

2

1n3n2

1n7n2 6. х n = n

2

2

3n5n2

7n5n2

7. х n = n

0k2 3k8k4

2 7. х n =

n

1k2 5k12k9

6

8. х n = n3

108...108108,0 8. х n = n3

234...234234,0

9. n

1n1x

12x,2x 9.

n

1n1x

45x,3x

10. х n = n

1k )3k)(1k(k

k1 10. х n =

n

1k )3k)(2k(k

6k

Вариант №5 Вариант №6

1. х n = 2

1 ( 1) cos3

πn

n n 1. х n =

n

112

ncos3n

π

2. 23n

n212

2

nlim 2.

2

1

n21

n32

2

nlim

3. х n = 22

22

)n1()n6(

)n6()n6( 3. х n =

3 2

3 3

( 1) ( 1)

( 1) ( 1)

n n

n n

4. х n = 4 53

2

1n3n3

1n1n 4. х n = 2

4 83 2

nn7)nn(

1n9n5n

12

5. х n = n2n3n2 5. х n = 3 3n4n

6. х n =

2n

2

2

1nn

1nn 6. х n =

5n2

2

2

7n2n3

1n4n3

7. х n =

3n

)3n2(n2...52 7. х n = n

1k2 2k3k9

3

8. х n = n2

45...4545,0 8. х n = n2

18...18183,0

9. n

1n1x4

74x,3x 9.

2

x

8

3x,

8

3x

2

n

1n1

10. х n = n

1k )3k)(1k(k

3k5 10. х n = n

1k )2k)(1k(k

2

Вариант №7 Вариант №8

1. х n = 21 2( 1) sin

3 3

π n

n n 1. х n =

1n

32n 3

n2cos

π

2. 2

1

n43

n22limn

2. 2n2

n212

2

nlim

3. х n = 3 3

2 2

(1 2 ) 8

(1 2 ) 4

n n

n n 3. х n =

2

3 3

(3 4 )

( 3) ( 3)

n

n n

4. х n = 5 57

3 3

2n2n

2n2n 4. х n = 1n1n

1n1n3 3

3

5. х n =

n

)5n(nn8n 25

5. х n = 3 32 3 3( 5 3 )n n n

6. х n = 2n3

4n6

7n6 6. х n = 2n

1n

1n

7. х n =

)1n2(...31

n2...42 7. х n = n

2k2 5k12k9

24

8. х n = n2

24...24241,0 8. х n = n3

213...213213,0

9. n

n

1n1x3

xx,1x 9.

n

1n1x

34x,2x

13

10. х n = n

1k )3k)(2k(k

1 10. х n = n

1k )2k)(1k(k

8k3

Вариант №9 Вариант №10

1. х n = 2

(cos 1)3 1

π nn

n

1. х n =

12

2

ncos

n

1

π

2. 3n6

n31limn

2. 5n6

n515limn

3. х n = 3

2 3

(3 )

( 1) ( 1)

n

n n 3. х n =

2 2 3

3

( 1) ( 1) ( 2)

(4 )

n n n

n

4. х n = 5 23

3 6

n11)nn(

9n64n71n 4. х n =

1nnn

n52n4

23 2

5. х n = 3n2n)2n(n 2 5. х n = )1n)(3n()2n)(1n(

6. х n = 1n

1n2

5n2 6. х n = 2n

3n

1n

7. х n = n

nn

6

23...

36

13

6

5 7. х n =

n

n

4

21...

16

5

4

3

8. х n = n2

63...63635,0 8. х n = n3

405...405405,0

9. n

1n1x4

11x,1x 9. )

x

9x(

2

1x,

2

9x

n

n1n1

10. х n = n

1k )2k)(1k(k

6k 10. х n =

n

1k )3k)(1k(k

9k5

Вариант №11 Вариант №12

1. х n = 2 1

cos ( 1)4

π nn n

n

1. х n = 1n2

nsinn2

π

2. 3n2

n32

2

nlim 2.

5

3

4n5

n322

2

nlim

14

3. х n = 3 3

2

2( 1) ( 2)

2 3

n n

n n 3. х n =

3 3

3 3

( 1) (2 )

( 4) ( 5)

n n

n n

4. х n = 5n5n

5n5n7 7

7

4. х n = 5 7

3 22

n1n

n5n

5. х n = 2 4 5( ( 1) 8)n n n n 5. х n = 3 3( 5 8 2 )n n n

6. х n =

4n

2

2

n

1n 6. х n = 2n

2

2

1n2

2n2

7. х n = n

1k2 5k24k36

6 7. х n = 1nn5

)2n3(...414

8. х n = n2

54...54547,0 8. х n = n

3...3312,0

9. n

n

1n1x4

xx,2x 9. )x2(xx,

2

1x

nn1n1

10. х n = n

1k )3k)(1k(k

1 10. х n =

n

1k )2k)(1k(k

2k3

Вариант №13 Вариант №14

1. х n = 1n

nsinn3 2

3π

1. х n = (-1)n

1n

narccos

2

2

2. 21n2

3n4limn

2. 3n4

n322

2

nlim

3. х n = 4 4

3 3

( 1) ( 1)

( 1) ( 1)

n n

n n 3. х n =

3

4 4

8 2

( 1) ( 1)

n n

n n

4. х n = 4 4

5

25 81 11

( 7 ) 1

n n n

n n n n 4. х n =

5 54

3 3

5n4n

3n83n

5. х n = 3n2n3n 22 5. х n = n

)3n)(1n(n)1n( 3

6. х n = 2

n

2

2

1n5n

6n3n 6. х n = n1

2

2

1n20n3

7n6n3

7. х n = n

n2)1n2(...21 7. х n = n

1k2 12k7k49

7

15

8. х n = n2

36...36362,0 8. х n = n3

378...378378,0

9. n

n1n1x

1x2

3

1x,1x 9.

n

n1n1x

4x

2

1x,3x

10. х n = n

1k )2k)(1k(k

4k3 10. х n = n

1k )2k)(1k(k

k4