신비한 수의 세계 2

수학 귀신을 이겨라

게임에서 이기기 위한 전략

주어진 수 중 가장 큰 소수를 고른다 .

약수의 개수가 작은 것을 고른다 .

완전제곱수를 고른다 .

소수탐구

소수란?

자연수 중에서 1 과 자기 자신만을 약수로 가지는 수

소수탐구

소수를 찾는 방법은?

내가 생각하는 소수 찾는 방법을정리하여 봅시다 .

소수탐구 ‘에라토스테네스’의 방법

1 은 소수가 아니므로 제외

2 보다 큰 2 이 배수를 지운다 .

3 보다 큰 3 의 배수를 지운다 .

5 보다 큰 5 의 배수를 지운다 .

에라토스테네스의 체

소수에 관한 여러 가지 추측

골드바흐의 추측

2 보다 큰 모든 짝수는두 소수의 합으로 나타낼 수 있다 .

확인하기

4 2+26 3+38 3+5

10 5+512 5+714 3+11 / 7+7

확인하기20 3+17 / 7+13

30 7+23 / 11+19 / 13+17

32 3+29 / 13+19

42 5+37 / 11+31 / 13+29 / 19+23

46 3+43 / 5+41 / 17+29 / 23+23

50 3+47 / 7+43 / 13+37 / 19+31

더 나아가기 ( 약수 )

0 은 소수가 아니다 .

< 이유 > 무수히 많은 수로 나누어 떨어지기 때문이다 .

0 은 소수일까 ?

더 나아가기 ( 약수 )

< 이유 1 >

천적을 피하기 위해 주기가 소수가 되도록 적응하며 살아왔다 .

매미는 왜 5, 7, 13, 17 년 주기로 살까 ?

매미주기 천적주기 만나는 주기

6 년2 년 6 년3 년 6 년4 년 12 년

5 년2 년 10 년3 년 15 년4 년 20 년

더 나아가기 ( 약수 )

< 이유 2 >

여러 종의 매미들의 출현 주기가겹치지 않아 먹이를 둘러싼경쟁이 치열해지지 않도록

매미는 왜 5, 7, 13, 17 년 주기로 살까 ?

매미주기 만나는 주기

13 년 17 년 221 년15 년 18 년 90 년

내 안에 또 내가 ?

( 프랙탈 )

시어핀스키 삼각형 특징

자기 닮음 (self-similarity)

각 부분은 원래의 전체 모습과 똑같은 복제

크기만 다를 뿐 모양은 같다 .

프랙탈

프랙탈 도형

우리 주변 속 프랙탈

땅의 갈라짐과 천둥번개

우리 주변 속 프랙탈

강줄기

우리 주변 속 프랙탈

고사리

우리 주변 속 프랙탈

우리 주변 속 프랙탈

브로컬리

우리 주변 속 프랙탈

콜리 플라워

프랙탈 아트

프랙탈 카드 만들기

1. 삼각형 그리기 : 가로 8cm, 높이 7cm 삼각형을 그린다

2. 각 꼭지점에 A,B,C 로 이름을 붙인다3. 각 꼭지점에 주사위 숫자 두 개씩을 써 넣는다 .

A(1,2)

B(3,4) C(5,6)

A(1,2)

B(3,4) C(5,6)

4. 삼각형 내부에 아무점이나 찍는다

A(1,2)

B(3,4) C(5,6)

5. 주사위를 굴린다 : 2 가 나왔다 그러면 2 에 해당하는 꼭지점 (A) 와 빨간점의 중간지점에 점을 찍는다 .( 실제 그릴때는 선분은 그리지 말것 , 점만 찍어요 )

A(1,2)

B(3,4) C(5,6)

6. 주사위를 또 굴린다 : 6 이 나왔다 그러면 6 에 해당하는 꼭지점 (C) 와 방금 찍은 녹색점 중간지점을 또 찍는다 .

A(1,2)

B(3,4) C(5,6)

6. 이젠 주황색점을 기준으로 주사위를 던진다…이과정들을 여러차레 반복한다…

20 회

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

6

7

100 회

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

6

7

500 회

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

6

7

1000 회

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

6

7

10000 회 !!!!!!!!!!!

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

6

7

20000 회 !!!!!!!!!!! 그리고 일부분 확대 ( 확대하여도 똑같은 구조 반복 )

토의 :

1. 처음 시작점 ( 빨간점 ) 이 삼각형 밖에 있다면 어떻게 될까 , 그 경우에도 시에르핀스키 삼각형이 그려지는가 ?

2. 점은 0 차원 , 선은 1 차원 , 면은 2 차원 ,

주사위를 무한횟수로 굴려서 그린 시에르핀스키 삼각형은 몇 차원일까 ?

토의 :

3. 우리가 한 것들을 되돌아 보면 우리는 무질서 ( 마음대로 주사위 던지기 ) 로 부터 어떤 질서 ( 멋진 삼각형 ) 를 창조하였다 . 이것은 무엇을 의미할까 ? 세상 모든 혼돈 속에도 알고 보면 질서가 존재한다는 것을 의미할까 ?

수학에서는 이 분야를 Chaos & Fractal 라고 한다 . Chaos: 혼돈 , 무질서Fractal: 작은 부분이 전체 부분과 비슷한 형태로 되풀이되는 구조

신은 주사위 놀이를 하지 않는다 – 아인슈타인V.S그러한 신도 주사위를 만들었다 – 닐스 보어

http://user.chol.com/~badang25/ 

시어핀스키 삼각형

시어핀스키 삼각형

남은 제거 색칠 넓이

1 3 1 3/4

2 3×3 3 3/4×3/4

3 3×3×3 3×3 3/4×3/4×3/4

10

시어핀스키 삼각형

시어핀스키 사각형

시어핀스키 삼각형 특징

자기 닮음 (self-similarity)

각 부분은 원래의 전체 모습과 똑같은 복제

크기만 다를 뿐 모양은 같다 .

프랙탈