Upload
others
View
9
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Ростовский-на-Дону колледж радиоэлектроники,
информационных и промышленных технологий
Алексеева Е.В.
ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛЫ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Учебно-методическое пособие
по дисциплине «Математика»
для студентов 1 курса всех специальностей
и студентов 2 курса специальностей: 11.02.01 «Радиоаппаратостроение»
11.02.02 «Техническое обслуживание и ремонт
радиоэлектронной техники (автотранспорт)»
15.02.07 «Автоматизация технологических процессов
и производств (по отраслям)»
15.02.08 «Технология машиностроения»
38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)»
по дисциплине
«Элементы высшей математики»
для студентов 2 курса специальностей: 09.02.01 «Компьютерные системы и комплексы»
09.02.03 «Программирование в компьютерных системах»
ББК 22.11
А-47
Рекомендовано к изданию Методическим советом РКРИПТ
Рецензенты: Гайдай Е.В. – председатель городского методического объединения,
преподаватель математики
Алексеев В.В. – преподаватель математики РКРИПТ
Функция. Пределы. Непрерывность: учебно-методическое пособие по дисциплинам «Математи-
ка» и «Элементы высшей математики» / сост.: Алексеева Е.В. – Ростов-на-Дону: РКРИПТ, 2012. – 40 с.
Учебно-методическое пособие разработано:
- в соответствии с Разъяснениями по реализации федерального государственного образова-
тельного стандарта среднего (полного) общего образования (профильное обучение) в пределах ос-
новных профессиональных образовательных программ начального профессионального или среднего
профессионального образования, формируемых на основе федерального государственного образова-
тельного стандарта начального профессионального и среднего профессионального образования по
дисциплине «Математика» для студентов 1 курса всех специальностей;
- в соответствии с требованиями ФГОС СПО для студентов студентов 2 курса специальностей:
11.02.01 «Радиоаппаратостроение», 11.02.02 «Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектрон-
ной техники (автотранспорт)», 15.02.07 «Автоматизация технологических процессов и производств
(по отраслям)», 15.02.08 «Технология машиностроения», 38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет
(по отраслям)» и по дисциплине «Элементы высшей математики» для студентов 2 курса специально-
стей: 09.02.01 «Компьютерные системы и комплексы», 09.02.03 «Программирование в компьютер-
ных системах».
В учебное пособие вошли теоретические сведения из темы «Функция. Пределы. Непрерыв-
ность», приведены основные методы, связанные с вычислением пределов функций различных типов,
исследованием функций на непрерывность, а также включены задания для самостоятельного реше-
ния по теме.
Учебное пособие носит практический характер и может быть использовано как на занятиях, так
и во время внеаудиторной подготовки.
© Ростовский-на-Дону колледж радиоэлектроники, информационных
и промышленных технологий, 2014
ОГЛАВЛЕНИЕ
РАЗДЕЛ 1. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 4
1.1. Определение числовой последовательности 4
1.2. Способы задания числовой последовательности 4
1.3. Графическое изображение последовательности 4
1.4. Арифметические действия над последовательностями 5
1.5. Свойства последовательностей 5
1.5.1. Ограниченные и неограниченные последовательности 5
1.5.2. Монотонные последовательности 6
1.6. Сходящиеся последовательности. Предел последовательности 6
1.7. Необходимое и достаточное условия существования предела
последовательности 8
1.8. Основные теоремы о пределах 9
1.9. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Связь
между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями 9
РАЗДЕЛ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 14
2.1. Определение предела функции 14
2.2. Основные теоремы о пределах функции 15
2.3. Вычисление пределов функций 15
2.3.1. Раскрытие неопределенности типа .
16
2.3.2. Раскрытие неопределенности типа .0
0 17
2.3.3. Раскрытие неопределенности типа 23
2.3.4. Раскрытие неопределенности типа 1 25
2.4. Сравнение бесконечно малых величин. Принцип замены эквивалентными
величинами 27
2.5. Непрерывность функции 31
2.5.1. Приращение аргумента и приращение функции 31
2.5.2. Непрерывность и точки разрыва 32
2.5.3. Односторонние пределы 33
2.5.4.Точки разрыва функции, их классификация 35
Приложение 39
4
РАЗДЕЛ 1. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1.1. Определение числовой последовательности
Определение 1. Если каждому натуральному числу nN поставлено в соответствие
вещественное число nx , то множество вещественных чисел ......,,321 n
xxxx образуют чис-
ловую последовательность.
Определение 2. Числовая последовательность – это функция, заданная на множе-
стве натуральных чисел
nn xfx ,
где nx – обозначение числовой последовательности;
...,...,,, 321 nxxxx – элементы числовой последовательности;
nx – общий (n-й член) последовательности;
n – номер члена последовательности.
1.2. Способы задания числовой последовательности
1. Аналитический.
Последовательность задаётся формулой общего члена. Например,
nxn
1 .
2. Рекуррентный.
В этом случае задаётся способ вычисления последующих членов последовательности
через предыдущие, и задаются несколько первых членов последовательности. Например,
3,2,2 2121 xxxxx nnn .
1.3. Графическое изображение последовательности
1. На числовой прямой.
В этом случае на числовой прямой изображаются точки, координаты которых равны
значениям членов последовательности.
X 0 x3 x4
0,5 1 1,5 2
1x 2x
5
2. На координатной плоскости.
В этом случае члены последовательности изображаются как точки с координатами
nxn; .
1.4. Арифметические действия над последовательностями
1. Произведением последовательности nx на число m называется последовательность
nxm
2. Суммой (разностью) последовательностей nx и ny называется последовательность
nn yx .
3. Произведением последовательностей nx и ny является последовательность nn yx
4. Частным последовательностей nx и ny ( 0ny ) является последовательность
n
n
y
x
1.5. Свойства последовательностей
1.5.1. Ограниченные и неограниченные последовательности
1. Последовательность nx называется ограниченной сверху, если существует число M,
такое, что для любого n выполняется неравенство nx M.
Например, последовательность, заданная формулой общего члена nxn
;1;2;3;4;5... ограничена сверху числом 1M .
2. Последовательность nx называется ограниченной снизу, если существует число m, та-
кое, что для любого m выполняется неравенство nxm .
Например, последовательность, заданная формулой общего члена nxn (1; 2; 3; 4; 5; …)
ограничена снизу числом 1m .
x
y
2
1,5
1
0,5
1 2 3 4
6
3. Последовательность nx называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу.
Например, последовательность
n
1=
...
4
1;
3
1;
2
1;1 является ограниченной, т.к. снизу она
ограничена числом 0m , а сверху числом 1M .
4. Последовательность nx называется неограниченной, если для любого числа A суще-
ствует элемент nx , такой, что выполняется неравенство AAxAxnnn x , .
Например, последовательность n)1( n = ;...5;4;3;2;1 не ограничена.
1.5.2. Монотонные последовательности
1. Последовательность nx называется возрастающей, если каждый последующий её
член больше предыдущего nn xxn 1 . Например,
nxn
2. Последовательность nx называется убывающей, если каждый
последующий её член меньше предыдущего nn xxn 1 . Например,
nxn
1 .
1.6. Сходящиеся последовательности. Предел последовательности
Определение. Окрестностью точки a на числовой прямой называется интервал, со-
держащий эту точку aa ; .
На чертеже изображена – окрестность точки a .
Рассмотрим последовательность n
xn
1 .
Изобразим члены последовательности на числовой прямой:
На чертеже легко увидеть, что с увеличением номера n все точки, обозначающие чле-
ны последовательности, «сгущаются» около точки 0.
X a a+
a
-
7
Определение 1. Точка, в любой окрестности которой содержится бесчисленное мно-
жество членов последовательности, называется точкой сгущения членов последовательно-
сти, или пределом последовательности.
Определение 2. Постоянное число a называют пределом последовательности nx ,
если для любого положительного числа существует число N , зависящее от выбора числа
, такое, что как только номер n членов последовательности nx превосходит число N ,
то все члены последовательности nx попадают в – окрестность точки a .
( N 0 как только Nn , то сразу выполняется неравенство axn ).
Обозначение предела:
axnn
lim
n
n ax .
Пример 1. Доказать, что 3
2
23
12lim
n
n
n.
Решение. Согласно определению предела число 3
2 будет пределом последовательно-
сти
23
12
n
n, если 0 найдётся номер NN , такой, что выполняется условие:
3
2
23
12
n
n, при Nn .
69
7
233
7
3
2
23
12
nnn
n
Решим полученное неравенство относительно n :
769 n
769 n
679
n
9
67n , где
9
67 – целая часть числа
9
67 ,
таким образом
9
67N .
Найдём номер N для 001,0;01,0;1,0 , для этого в выражение
9
67N вместо подставим:
8
1. 1,0 : 79
17
9,0
4,6
9,0
6,07
N , т.е., начиная с 8-го номера, все члены по-
следовательности
23
12
n
n попадают в – окрестность точки
3
2, равную 0,1;
2. 779
177
09,0
94,6
09,0
06,07:01,0
N , т.е., начиная с 77-го номера все чле-
ны последовательности
23
12
n
n попадают в – окрестность точки
3
2, равную 0,01;
3. 7739
7773
009,0
994,6
009,0
006,07:001,0
N , т.е., начиная с 773-го номера,
все члены последовательности
23
12
n
n попадают в – окрестность точки
3
2, равную 0,001.
Таким образом, на данном примере мы убедились в следующем:
1. если число a есть предел последовательности nx , то в – окрестность точки a –
не попадает только конечное число членов последовательности.
2. количество членов последовательности, не попадающих в – окрестность числа a ,
зависит от выбора самого числа .
Определение. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; после-
довательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
1.7. Необходимое и достаточное условия существования предела
последовательности
Теорема (необходимое условие существования предела последовательности):
Для того чтобы последовательность имела предел, необходимо, чтобы она была
ограничена.
Данное условие не является достаточным для существования предела последовательно-
сти. Например, последовательность nxn
n 1 ограничена снизу числом 1 , сверху
числом 1, но предела она не имеет, т.к. для членов данной последовательности
...1;1;1;1;1;1 не существует точки сгущения.
Если же условие теоремы не выполняется (последовательность не ограничена), то этого
достаточно, чтобы утверждать, что последовательность расходится.
Теорема Вейерштрасса (достаточное условие существования предела последователь-
ности):
Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Теорема (о единстве предела последовательности):
Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
9
1.8. Основные теоремы о пределах
Пусть byax nn
nn
lim,lim .
1. Предел постоянной величины равен этой величине.
CCn
lim .
2. Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разно-
сти) пределов каждой из них.
.limlimlim bayxyx nn
nn
nnn
3. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению пре-
делов каждой из них.
.limlimlim bayxyx nn
nn
nnn
4. Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному пределов
каждой из них.
.lim
limlim
b
a
y
x
y
x
nn
nn
n
n
n
5. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
nn
nn
xCCx
limlim .
1.9. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Связь
между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями
Определение. Последовательность n называется бесконечно малой, если
0lim
nn
.
Определение. Последовательность n называется бесконечно большой, если
.lim
nn
1. Если последовательность n – бесконечно малая, то последовательность
n
n
1
–
бесконечно большая.
2. Если последовательность n – бесконечно большая, то последовательность
n
n
1
–
бесконечно малая.
10
Пример 1. Вычислить .2
1lim
nn
Решение. Подставим в предельное выражение предельное значение переменной n :
.02
1
2
1lim
nn
Пример 2. Вычислить .2
12lim
nn
Решение.
2022
12
2
12lim
nn.
Пример 3. Вычислить .13
12lim
2
2
n
nn
n
Решение. В данном примере при n числитель и знаменатель дроби стремятся к
бесконечности, поэтому применить теорему о пределе дроби нельзя. Для вычисления преде-
ла выполним в выражении, стоящем под знаком lim , следующее преобразование: вынесем за
скобки множитель, содержащий старшую степень числителя и старшую степень знаменате-
ля, и сократим дробь:
2
2
2
2
2
2
13
112
lim13
12lim
nn
nnn
n
nn
nn=
2
2
13
112
lim
n
nnn 3
2
13
112
.
Пример 4. Вычислить 12
235lim
2
3
n
nn
n.
Решение. Как в предыдущем примере, при n числитель и знаменатель дроби стре-
мятся к бесконечности, поэтому вынесем за скобки старшую степень числителя и старшую
степень знаменателя:
12
235
12
235
lim1
2
235
lim
2
32
2
2
32
3
n
nnn
nn
nnn
nn.
22
5
Пример 5. Вычислить .14
23lim
4
2
n
nn
n
Решение.
.02
14
23
14
23
lim1
4
23
lim
4
2
4
4
2
nn
n
nn
nn
nn
11
В примерах 3, 4 и 5 при вычислении пределов в случаях, когда и числитель, и знамена-
тель дроби стремятся к бесконечности, можно заметить следующее:
1. если старшие степени числителя и знаменателя имеют одинаковый порядок, то пре-
дел дроби равен отношению коэффициентов при старших степенях;
2. если степень числителя старше степени знаменателя, то предел дроби равен ∞.
3. если степень знаменателя старше степени числителя, то предел дроби равен 0.
Указанные закономерности позволяют вычислять пределы типа
устно.
Пример 6. Вычислить n
nn
n
22 41lim
.
Решение. При n числитель и знаменатель дроби также стремятся к , поэтому
вынесем за скобки старшую степень числителя:
n
nn
n
22 41lim
=
n
nn
nn
n
14
11
lim2
2
2
2
n
nnn
n
nn
nn
nn
14
11
lim
14
11
lim
2222
21114
11
.
Пример 7. Вычислить 13lim 2
nnnx
.
Решение. В данном случае каждое слагаемое при x также , поэтому приме-
нить теорему о пределе разности нельзя (неопределённость ). Для вычисления преде-
ла умножим и разделим предельное выражение на выражение, сопряжённое с ним:
13
13lim
13
1313lim13lim
2
22
2
222
nnn
nnn
nnn
nnnnnnnnn
xxx
=13
13lim
2
nnn
n
x.
В последнем пределе имеет место неопределённость
, поэтому вынесем за скобки в
числителе и знаменателе дроби старшую степень переменной:
12
.2
3
11
3
1311
13
n
1
n
311n
n
13n
lim
n
1
n
31nn
n
13n
lim
n
1
n
31nn
n
13n
lim1n3nn
1n3lim
2
x
2
x
2
2x2x
Упражнения
Вычислить пределы последовательностей:
1.
n
x
3
1lim Ответ: 0 .
2. n
x2lim
Ответ:
3. 13
12lim
n
n
n Ответ:
3
2.
4. n
n
x
13lim
Ответ: 3
5. 12
1153lim
3
2
nn
nn
x Ответ: 0 .
6. 54
87lim
2
n
n
x Ответ: 0
7. n
n
n 32
35lim
Ответ: 1 .
8. 28
116lim
2
n
n
x Ответ:
9. 191
191lim
22
22
nn
nn
n Ответ: 2
10. 2
2lim
2
x
x
n Ответ: 1
11. 15lim
nnn
Ответ: 0
12. nnnnn
22 3lim Ответ: 2
13
Контрольные вопросы
1. Дайте определение числовой последовательности.
2. Какими способами задаётся числовая последовательность?
3. Как геометрически изобразить числовую последовательность?
4. Какие арифметические действия можно выполнять над последовательностями?
5. Сформулируйте правила выполнения арифметических действий над последователь-
ностями.
6. Какие последовательности называются монотонными?
7. Дайте определение последовательности, ограниченной снизу; сверху; ограниченной;
неограниченной.
8. Сформулируйте определение предела последовательности.
9. Какая последовательность называется сходящейся?
10. Сформулируйте необходимое условие существования предела последовательности.
11. Сформулируйте достаточное условие существования предела последовательности.
12. Сформулируйте основные теоремы о пределах последовательностей.
13. Какие последовательности называются бесконечно малыми; бесконечно большими;
какова связь между ними?
14
РАЗДЕЛ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
2.1. Определение предела функции
Пусть функция xyy определена во всех точках промежутка cb; , за исключени-
ем, быть может, некоторой точки .;cba Составим последовательность значений аргу-
мента функции xyy :
axNnxxx nn ,...,...,, 21 ,
таким образом, чтобы все члены последовательности принадлежали промежутку cb; , и по-
следовательность сходилась к точке a , т.е.
axnn
lim .
Тогда значения функции xyy также образуют числовую последовательность
,......,,, 2211 nn xyyxyyxyy
Определение 1. Число A является пределом функции xyy при x , стремящемся
к a , если для любой последовательности аргументов, сходящейся к числу a , последова-
тельность значений функции сходится к числу A .
Обозначение предела функции при ax :
Axyax
lim .
Это определение предела функции называют определением предела по Гейне.
Определение 2. Число A является пределом функции xyy при x , стремящемся
к a , если для любого положительного числа существует такое положительное число ,
зависящее от , что при всех cbx ; , удовлетворяющих неравенству
ax
выполняется неравенство
Axy .
Это определение предела функции называют определением предела по Коши.
А
А
A
a aa
15
2.2. Основные теоремы о пределах функции
Пусть функции xf и xg имеют пределы при x , стремящемся к a , т.е.
BxgAxfaxax
lim,lim ,
тогда справедливы следующие теоремы:
1. Предел суммы (разности) двух (или более) функций равен сумме (разности) преде-
лов каждой из этих функций.
BAxgxfxgxfaxaxax
limlimlim
2. Предел произведения двух (или более) функций равен произведению пределов каж-
дой из этих функций.
BAxgxfxgxfaxaxax
limlimlim
Следствие.
Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
xfCxfCaxax
limlim
3. Предел частного двух функций равен частному пределов каждой из этих функций.
B
A
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
lim
limlim .
(в этом случае предполагается, что функция 0xg в достаточно малой окрестности точки
a и 0lim
xgax
).
4. Если существует xax
lim и xy – элементарная функция, то
.limlim xyxyaxax
2.3. Вычисление пределов функций
Замечание. Число, к которому в пределе функции стремится переменная x , называется
предельным значением переменной; выражение, стоящее под знаком lim , называется пре-
дельным выражением.
Пример 1. Вычислить 32lim 2
4
xx
x.
Решение. Предельное выражение является многочленом, для вычисления предела вос-
пользуемся соответствующими теоремами:
16
7lim3lim2lim5lim7325lim22
2
2
3
2
23
2 xxxxxxxxxxx
4972322257lim3lim2lim5 23
2
2
2
3
2
xxx
xxx
Таким образом, для вычисления предела многочлена xf при ax достаточно
вместо переменной x подставить значение a , к которому она стремится, и выполнить соот-
ветствующие действия, т.е.
.lim afxfax
Если в результате получится конечное число или бесконечность, предел функции счи-
тается вычисленным.
Пример 2. Вычислить .2lim 3
xx
Решение:
222lim 33xx
.
Пример 3. Вычислить .24
53lim
1
x
x
x
Решение.
Воспользуемся теоремой о пределе частного:
.4
2
8
214
513
24lim
53lim
24
53lim
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
В большинстве случаев при вычислении пределов функций подстановка предельного
значения переменной в предельное выражение приводит к так называемым неопределённо-
стям, т.е. не даёт в результате конечного числа или . Тогда предел функции вычисляют с
помощью различных специальных приёмов в зависимости от типа неопределённости.
Типы неопределённостей:
0,0,,1,0
0,
2.3.1. Раскрытие неопределенности типа .
В предельном выражении выносят за скобки старшую степень числителя и старшую
степень знаменателя, в результате сокращения дроби на степень переменной неопределён-
ность уходит.
Пример. Вычислить .53
725lim
2
2
xx
xx
x
17
Решение. Вынесем в числителе и знаменателе за скобки старшую степень переменной:
2
2
2
2
2
2
2
2
531
725
lim53
1
725
lim53
725lim
xx
xx
xxx
xxx
xx
xx
xxx
.5001
005
531
725
Вычисление пределов с неопределённостью типа
подробно рассматривалось при
вычислении пределов последовательностей, все сделанные там замечания справедливы и при
вычислении пределов функций с данным типом неопределённости.
Упражнения
Вычислить пределы:
1. 5
34lim
2
x
xx
x Ответ: . 2.
73
52lim
3
2
xx
xx
x Ответ: 0
3. 23
34
2100
12lim
xx
xx
x
Ответ: . 4.
653
172lim
2
2
xx
xx
x Ответ:
3
2
5. xxx
xx
x
23
23
25
843lim Ответ:
5
3 6.
12
24lim
5
35
x
xxx
x Ответ: 2
7. 210
325lim
4
24
xx
xx
x Ответ:
2
1 8.
32
3
24
365lim
xx
xx
x
Ответ: 5
9. 4
24
225
134lim
xx
xx
x
Ответ: 2 10.
253
726lim
23
3
xx
xx
x Ответ: 2
11. 459
352lim
x
x
x Ответ:
9
2 12.
13
13lim
x
x
x Ответ: 1
2.3.2. Раскрытие неопределенности типа .0
0
I В числителе и знаменателе дроби стоят многочлены.
В этом случае числитель и знаменатель дроби раскладывают на множители, в результа-
те сокращения дроби неопределённость уходит.
18
Пример 1. Вычислить .2
lim2
23
0 xx
xxx
x
Решение. Вынесем за скобки в числителе и в знаменателе дроби общий множитель x :
1
2lim
1
2lim
2lim
2
0
2
02
23
0 x
xx
xx
xxx
xx
xxx
xxx.2
10
200
Пример 2. Вычислить .2
4lim
2
2
x
x
x
Решение. Разложим числитель дроби на множители по формуле сокращённого умно-
жения разности квадратов:
.4222lim
2
22lim
2
4lim
22
2
2
x
x
xx
x
x
xxx
Пример 3. Вычислить .32
54lim
2
2
1
xx
xx
x
Решение. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители по формуле:
:212 xxxxacbxax
.3132;1554 22 xxxxxxxx
2
11
4
6
31
51
3
5lim
31
15lim
32
54lim
112
2
1
x
x
xx
xx
xx
xx
xxx.
Упражнения.
Вычислить пределы:
1. x
xx
x
1
154lim
2
1 Ответ: 3 2.
253
1lim
21
xx
x
x Ответ: 1
3. 654
2lim
22
xx
x
x Ответ:
11
1 4.
4
823lim
2
2
2
x
xx
x Ответ:
2
12
5. 2
2
2 4
672lim
x
xx
x
Ответ:
4
1 6.
2
2
1 1
165lim
x
xx
x
Ответ: 2
7. 3134
9lim
2
2
3
xx
x
x Ответ:
11
6 8.
374
1lim
2
2
1
xx
x
x Ответ: 2
9. 253
2lim
22
xx
x
x Ответ:
7
1 10.
3103
3lim
23
xx
x
x Ответ:
8
1
11. 212
6lim
2
2
3
xx
xx
x Ответ:
13
5 12.
143
23lim
2
2
1
xx
xx
x Ответ:
4
11
19
13. 6
2lim
2
2
2
xx
xx
x Ответ:
5
3 14.
45
12lim
2
2
1
xx
xx
x Ответ: 1
15. 253
86lim
2
2
2
xx
xx
x Ответ:
7
2 16.
56
5143lim
2
2
5
xx
xx
x Ответ: 4
17. 64
16lim
3
2
4
x
x
x Ответ:
6
1 18.
127
123lim
3
2
3
1
x
xx
x
Ответ: 9
4
19. 22
33
limxa
ax
ax
Ответ:
2
a 20.
44
22
limxa
ax
ax
Ответ:
22
1
a
II В числителе или (и) в знаменателе дроби присутствует иррациональность.
В этом случае числитель и знаменатель дроби умножают на выражение, сопряжённое
выражению, содержащему иррациональность.
Пример 1. Вычислить .3
332lim
3 x
x
x
Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение 332 x , со-
пряжённое числителю:
3323
332332lim
3
332lim
33 xx
xx
x
x
xx
3323
932lim
3323
332lim
3
22
3 xx
x
xx
x
xx
=
3323
32lim
3323
62lim
33 xx
x
xx
x
xx
332
1lim2
3323
3lim2
33 xxx
x
xx
=
.2
1
4
12
3312
12
Пример 2. Вычислить .37
62lim
2
x
x
x
Решение. В данном случае иррациональность содержится и в числителе и в знаменателе
дроби. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое числителю, и
выражение, сопряжённое знаменателю:
20
xxx
xxx
x
x
xx 623737
376262lim
37
62lim
22
xx
xx
xx
xx
xx 6297
3764lim
6237
3762lim
222
22
2
22
33
262
327
62
37lim
622
372lim
22 x
x
xx
xx
xx.
2
11
2
3
4
6
Упражнения.
Вычислить пределы:
1. 2
11lim
2
x
x
x Ответ:
2
1 2.
x
xx
x
8
8lim
8 Ответ:
2
1
3. 5112
7lim
7
x
x
x Ответ: 5 4.
7
2 3lim
7x
x
x
Ответ:
6
1
5. 0
1 1lim
3x
x x
x
; Ответ:
3
1 6.
xx
x
x
51
2lim
2 Ответ: 3
7. x
x
x
1
32lim
1 Ответ:
32
1 8.
xx
x
x
35
1lim
1 Ответ: 2
9. 2
20
1 1limx
x
x
Ответ:
2
1 10.
20lim
1 3 1x
x
x Ответ:
11. 2
73lim
2
x
xx
x Ответ:
5
5 12.
x
xx
x 4
44lim
0
Ответ:
8
1
13. 21
limx
x x
x x
Ответ:
2
1 14.
21 42
1lim
xx
x
x
Ответ: 4
15. 21
25lim
2
5
x
x
x Ответ: 40 16.
xx
x
x
31
1lim
2
1 Ответ: 28
17. 16
26lim
24
x
xx
x Ответ:
16
2 18.
26 36
39lim
x
xx
x
Ответ:
36
3
19. 312
16lim
2
4
x
x
x Ответ: 24 20.
25
1 3 2 6lim
5x
x x
x x
Ответ:
40
1
21. 20
1 3 1 2limx
x x
x x
Ответ:
2
1 22.
2
2 30
1 3 1limx
x
x x
Ответ:
2
11
23. 734
21lim
3
x
x
x Ответ:
3
11 24.
43
413lim
5
x
x
x Ответ:
4
12
25. 37
62lim
2
x
x
x Ответ:
2
11 26.
22
314lim
2
x
x
x Ответ:
3
22
27. 364 4
8lim
x
x
x
Ответ: 3 28.
1
1lim
3
1
x
x
x Ответ:
3
2
21
III В предельном выражении присутствуют тригонометрические функции.
В этом случае для раскрытия неопределённости 0
0 используется
I специальный (замечательный) предел
.1sin
lim0
x
x
x
Этот предел позволяет заменять функцию синус при достаточно малых значениях ар-
гумента самим аргументом, т.е. xx sin при 0x .
Для более общего случая I специальный (замечательный) предел имеет вид:
0lim,1sin
lim
xuгдеxu
xu
axax
Пример 1. Вычислить .7sin
5sinlim
0 x
x
x
Решение. Т.к. при 0x , аргументы также стремятся к 0, то можно заменить тригоно-
метрические функции, стоящие в предельном выражении, их аргументами:
.7
5
7
5lim
7
5lim
7sin
5sinlim
000
xxx x
x
x
x
Пример 2. Вычислить .8sin
6lim
0 x
xtg
x
Решение. Выполним преобразование предельного выражения:
xx
x
xx
x
x
xtg
xxx 8cos8
6lim
8sin
1
6cos
6sinlim
8sin
6lim
000
.4
31
4
3
0cos
1
4
3
x8cos
1lim
4
3
0x
Пример 3. Вычислить .6
3cos1lim
20 xtg
x
x
Решение. Выполним в предельном выражении следующие преобразования
,6cos
6sin6,
2
3sin23cos1
2
22
x
xxtg
xx
тогда
2
2
020 6sin
6cos
2
3sin2lim
6
3cos1lim
x
xx
xtg
x
xx
22
=
2
22
02
22
0
6coslim
36
1
4
92
6
6cos
2
3lim2
x
xx
x
xx
xx.
8
11
8
16coslim
8
1 2
0
x
x
Пример 4. Вычислить .4
5
8lim 22
0
xtg
xctg
x
Решение. Применим в предельном выражении определение тригонометрических функ-
ций тангенс и котангенс, а затем I специальный предел:
4
5cos
8
8cos
4
5
lim
4
5cos
4
5sin
8sin
8cos
lim4
5
8lim
2
2
2
2
02
2
2
2
0
22
0 xx
xx
x
x
x
x
xtg
xctg
xxx
.1001100
4
5cos
8cos
lim6416
252
0
x
x
x
Пример 6. Вычислить .12arcsin
4lim
0 x
x
x
Решение. Сделаем замену ,12arcsin xy тогда yx sin12 , yx sin3
14 .
.3
11
3
1lim
3
1sin
3
1
lim12arcsin
4lim
000
y
y
y
y
x
x
yyx
Упражнения
Вычислить пределы:
1. x
x
x 3sin
4sinlim
0 Ответ:
3
4 2.
0
sin3lim
7x
x
tg x Ответ:
7
3
3. tgx
x
x
sinlim
0 Ответ: 1 4.
0
2lim
sin3x
tg x
x Ответ:
3
2
5. 2
0
5sin 3lim
2x
x
x tg x Ответ: 5,22 6.
xctg
xctg
x 4
2lim
0 Ответ: 2
7. 2
2
0
4sin
limx
x
x Ответ:
16
1 8.
xtg
x
x 2
2sin
lim3
2
0 Ответ:
9. 3
3
0 2
3sin
limx
x
x Ответ:
54
1 10.
x
x
x 3cos1lim
2
0 Ответ:
9
2
23
11. 20
cos1lim
x
x
x
Ответ:
2
1 12.
tgxx
x
x
2cos1lim
0 Ответ: 2
13. x
x
x 2cos1
4cos1lim
0
Ответ: 4 14.
xx
x
x sin
cos1lim
0
Ответ:
2
1
15. 2
20
cos coslimx
x x
x
Ответ:
2
1 16.
0
sin 2lim
sin3x
x x
x x
Ответ:
4
1
17. 0
lim 22x
ctg x ctg x
Ответ:
2
1 18. xctgx
x25sinlim
0
Ответ:
2
12
19. 4
5
8lim 22
0
xtg
xctg
x Ответ:100 20.
2
32lim 22
0
xxctgtg
x Ответ:
9
8
21. 0
sin5 sinlim
5x
x x
tg x
Ответ:
5
4 22.
0
sin 6 sin 2lim
5x
x x
x
Ответ:
5
4
23. x
x
x 5sin
cos22lim
20
Ответ:
50
1 24.
20
1 coslimx
x
x
Ответ:
4
1
25.
23
1sinlim
21
xx
x
x Ответ: 1 26.
1
1sinlim
21
x
x
x Ответ:
2
1
27. 20
5cos3coslim
x
xx
x
Ответ: 8 28.
1
1sinlim
1
x
x
x Ответ: -2
2.3.3. Раскрытие неопределенности типа
При раскрытии неопределённости типа применяют различные алгебраические
преобразования предельного выражения, в результате чего получают неопределённости типа
0
0 или
, которые раскрываются описанными выше способами.
Пример 1. .3lim 2
xxx
Решение. Умножим и разделим предельное выражение на 32 xx :
3
33lim3lim
2
222
xx
xxxxxx
xx
3
3lim
3
3lim
3
3lim
22
22
2
222
xxxx
xx
xx
xx
xxx
.03
24
Пример 2. Вычислить .1
2
1
1lim
21
xxx
Решение. Выполним в предельном выражении вычитание дробей, приведя их для этого
к общему знаменателю:
11
21lim
11
2
1
1lim
1
2
1
1lim
1121 xx
x
xxxxx xxx
.
2
1
11
1
1
1lim
11
1lim
11
xxx
x
xx
Упражнения.
Вычислить пределы:
1.
1lim
2
3
x
xx
x Ответ: 0
2.
x
x
x
x 3lim
2
Ответ: 3
3.
9
6
3
1lim
23 xxx Ответ:
6
1
4.
1
2
1
1lim
21 xxx Ответ:
2
1
5.
1
1
1
3lim
31 xxx Ответ:
7
4
6.
8
12
2
1lim
32 xxx Ответ:
2
1
7. xxxx
4lim 2
Ответ: 2
8. xxx
5lim Ответ: 0
9. xxxx
2lim 2 Ответ: 1
10. 32lim
xxx
Ответ:
11. 212lim
xxx
Ответ:
12. xxx
14lim Ответ:
13. xxxx
10lim 2 Ответ: 5
14. xxxx
7lim 2
Ответ: 5,3
15. xxxx
234lim 2
Ответ: 4
3
25
2.3.4. Раскрытие неопределенности типа 1
Для раскрытия неопределённости типа 1 применяют
II специальный (замечательный) предел
ex xx
1
01lim
или
ex
x
x
11lim .
Для более общего случая II специальный предел выглядит следующим образом
Пример 1. Вычислить .1
11lim
x
x x
Решение. Применим II специальный предел:
.1
11lim
1
11lim 11
lim1
11
eeexx
x
xxxx
x
x
x
x
Пример 2. Вычислить .1
3lim
1
x
x x
x
Решение. Предельное выражение
1
1
3
x
x
x при x представляет собой степень,
основание которой стремится к 1, а показатель к . Преобразуем выражение таким обра-
зом, чтобы применить II замечательный предел, для этого выделим из дроби целую часть:
111
1
41lim
1
41lim
1
3lim
x
x
x
x
x
x xx
x
x
x
.1
1
41lim
4
4141
1lim4
11
4
4
1
eeee
xx
xx
xx
x
x
Пример 3. Вычислить
.61ln
lim0 x
x
x
Решение. Преобразуем предельное выражение
xxx
xx
x6
1
61ln661ln6
16
61ln
26
и применим II специальный предел:
x
xx
xxxx
x
x6
1
06
1
0061limln661lnlim6
61lnlim .616ln6 e
Упражнения.
Вычислить пределы:
1.
x
x x
21lim Ответ:
2e 2.
x
x x
11lim Ответ:
e
1
3.
x
x x
3
21lim Ответ:
3 2e 4.
x
x x
21
1lim
Ответ:
2e
5.
51
1lim
x
x x Ответ: e 6.
15
3
41lim
x
x x Ответ:
15 4
1
e
7.
2
2
2lim
x
x x
x Ответ:
4
1
e 8.
x
x x
x
2
5lim Ответ:
3
1
e
9.
x
x x
x2
2
5lim
Ответ:
6e 10.
x
x x
x
3lim Ответ:
3
1
e
11.
x
x x
x3
12
12lim
Ответ:
3
1
e 12.
3
23
43lim
x
x x
x
Ответ:
3
1
e
13. x
xx3
051lim
Ответ:
3 2ee 14. x
xx31lim
0
Ответ:
3e
15.
x
x
x
51lnlim
0
Ответ:
5
1
e 16.
20
31lnlim
x
x
x
Ответ:
17.
x
x
x
3ln3lnlim
Ответ:
3
1 18. xxx
xln5lnlim
Ответ: 5
19. xx
x1
0sin1lim
Ответ:
e
1 20. x
xx
1
02sin1lim
Ответ:
2e
27
2.4. Сравнение бесконечно малых величин. Принцип замены
эквивалентными величинами
Величина (функция) x называется бесконечно малой при ax , если
0lim
xax .
Теорема (связь между пределом функции и бесконечно малой).
Если функция xyy при ax имеет пределом число A , то функцию xyy
можно представить в виде суммы числа A и бесконечно малой x при ax , т.е.
xAxyAxyax
lim .
Свойства бесконечно малых функций:
1. Сумма или разность двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.
2. Произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную есть бесконечно
малая функция.
Бесконечно малые функции x и x при ax можно сравнить между собой,
вычислив предел их отношения.
1. Если
0lim x
x
ax
, то x есть бесконечно малая более высокого порядка, чем x .
2. Если
x
x
ax
lim , то x есть бесконечно малая низшего порядка, чем .x
3. Если
,0lim
cx
x
ax
то x есть бесконечно малая того же порядка, что и .x
В частности, если
,1lim x
x
ax
то x и x называются эквивалентными бес-
конечно малыми .
Вычисление некоторых пределов заметно упрощается, если пользоваться
принципом замены эквивалентными:
при нахождении предела дроби можно бесконечно малые множители,
стоящие в числителе или в знаменателе, заменять эквивалентными величинами.
Некоторые, наиболее часто применяемые эквивалентности:
xx sin 0x
xx arcsin 0x
xtgx 0x
xarctgx 0x
28
2cos1
2xx 0x
n
xxn 11 0x
axax ln1 0x
xex 1 0x
a
xxa
ln1log 0x
xx 1ln 0x
Пример 1. Вычислить .sin
cos1lim
20 x
x
x
Решение. В предельном выражении стоит отношение двух бесконечно малых функций.
Для вычисления данного предела воспользуемся принципом замены эквивалентными:
2
cos1,sinsin2
222 xxxxx , .
2
1
2
1lim2lim
sin
cos1lim
02
2
020
xxx x
x
x
x
Пример 2. Вычислить
2 3
0
1 sin 2 1 1lim
1 cos2 ln 1 5
arctg x
x
x e
x x
Решение. Применим принцип замены эквивалентными. При 0x
sin ~ ~ arcsin ~ ~x tgx x arctgx x , 2
1 cos ~2
xx , ln 1 ~x x ,
1 ~ lnxa x a , 1 ~xe x , log 1 ~ln
a
xx
a , ln 1 ~x x , 1 1 ~ , 0
px px p .
Для решаемой задачи
1 2 1 1
1 sin 2 1 1 sin 2 1 ~ sin 2 ~ 22 2
x x x x x ,
2 2 23 21 ~ 3 ~ 3 9arctg xe arctg x x x ,
2 21 cos2 2sin ~ 2x x x , ln 1 5 ~ 5x x .
Следовательно,
2 3
0
1 sin 2 1 1lim
1 cos2 ln 1 5
arctg x
x
x e
x x
=
2
20
9 9lim
102 5x
x x
x x
.
Упражнения.
№ 1. Сравнить следующие бесконечно малые величины при 0x :
1. xxxx sin,2
2. 22 3,5 xtgxxx
3. xtgxxx 5,25 22
29
4. 2,2 xxxtgx
5. tgxxxx ,sin
6. xxxx 2cos1,2 2
7. xxxx ,cos1
8. xxxxxxx 10016,732 223
№ 2. Вычислить пределы, применяя принцип замены эквивалентными:
1. 3
9lim
2
3
xarctg
x
x Ответ: 6
2. x
x
x 2arcsinlim
0 Ответ:
2
1
3.
1
1sinlim
1
x
x
x Ответ: 1
4. x
x
x 10arcsin
5sinlim
2
0 Ответ: 0
5.
22 4
2lim
x
xarctg
x
Ответ:
4
1
6. 1arcsin
1lim
2
1
x
x
x Ответ: 2
7.
xx
tg
xx
x6sin
4
2sin81ln
lim2
2
0
Ответ:
3
15
8.
x
x
x 6sin
21lnlim
2
2
0
Ответ:
9
1
9. 630 1
arcsinlim
tgxe
x
xx Ответ: 1
10.
1sin
29arcsin
lim
43
22
0 xx
ex
xtgx
Ответ: 18
11.
23
40
1 2 1 ln 1 sin 3lim
1 cos 2 1arctg xx
tg x x
x
Ответ:
2ln
3
12.
2sin 20
1 cos3 1 arc 1lim
1 ln 1 arcsin 3xx
x tg x
e x
Ответ:
8
3
30
13.
2 sin 4
2
0 4
log 1 3 3 1lim
1 arcsin 2 1 1 cos2
x
x
tg x
x x
Ответ:
2ln
3ln36
14.
25
0
1 ln 1 sin 4lim
1 6 1 1 cos4
arctg x
x
e x
tg x x
. Ответ:
6
5
15.
2
3
3
0
log 1 sin 2 1 arcsin3 1lim
4 1 1 cos6tg xx
x x
x
. Ответ:
3ln2ln3
2
16.
230 5
cos 4 1 ln 1 sin 2lim
1 1 2 1xx
x tg x
e arctg x
. Ответ:
3
16
17.
24
40
1arcsin 2 1 ln 1 3lim
1 cos4 5 1xx
x tg x
x
. Ответ:
5ln64
3
18.
0 2 5
1 cos sin 2 ln 1 4lim
1 sin 2 1 6 1x x
x actg x
x
. Ответ:
6ln5
32
19.
2 4 3
0
1 1 2 1lim
1 cos sin 2 ln 1
tg x
x
e tg x
x tg x
. Ответ:
4
20.
26
20
1 sin 2 1 ln 1 arcsin 7
lim1 cos5 2 1arctgxx
tg x x
x
. Ответ:
2ln75
14
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте определение предела функции.
2. Сформулируйте основные теоремы о пределах функции.
3. Сформулируйте правило для раскрытия неопределённости типа
.
4. Сформулируйте правила раскрытия неопределённости типа 0
0.
5. Запишите первый специальный (замечательный) предел, для раскрытия неопреде-
лённости какого типа его применяют?
6. Запишите второй специальный (замечательный) предел; для раскрытия какого типа
неопределённости он служит?
7. Как раскрывают неопределённость типа .
8. Какая функция называется бесконечно малой при ax ?
9. Сформулируйте теорему о связи предела функции с бесконечно малой величиной.
10. Как сравнить две бесконечно малые функции?
11. Какие функции называются эквивалентными?
12. Перечислите основные виды эквивалентностей.
13. Сформулируйте принцип замены эквивалентными.
31
2.5. Непрерывность функции
2.5.1. Приращение аргумента и приращение функции
Пусть 1x и 2x – значения аргумента x функции xyy , а 1xy и 2xy – соответ-
ствующие значения функции.
Величина 12 xx называется приращением аргумента на отрезке 21; xx и обознача-
ется .x
Величина 12 xyxy называется приращением функции на этом отрезке и обозна-
чается .y
Пример 1. Дана функция .322 xxy Вычислить приращения аргумента и функ-
ции, соответствующие изменению аргумента от 01 x до 12 x .
Решение:
3121,,101, 21212 yxyxyyxxxx
.130202
Пример 2. Найти приращение функции 23 xxy в точке 2x , если независимая
переменная x получает приращение 3x .
Решение:
,532
,
xx
xyxxyy
,40251555352
yxxy
y = y(x)
Δx x1 x2
Δy
y(x2)
y(x1)
0
32
.301040
,10462232
y
xy
Пример 3. Сторона квадрата равна 2 см. Найти приращение площади квадрата, если его
сторона увеличится на 0,1 см.
Решение: пусть сторона квадрата равна x , тогда площадь квадрата вычислим по фор-
муле
.2xS
41,0441,4,42,41,41,2 22 SxSxxS (см).
Упражнения
1. Дана функция 322 xxy . Вычислить приращения аргумента и функции, соот-
ветствующие изменению аргумента: 1) от 01 x до 12 x ; 2) от 11 x до 32 x .
2. Найти приращение функции3xy , соответствующее приращению аргумента от
11 x до 22 x .
3. Найти приращение функции 122 xxy , соответствующее приращению аргумен-
та: 1) 01 x до 2
12 x ; 2) от 21 x до 52 x .
4. Найти приращение функции xy cos , соответствующее приращению аргумента:
1) от 4
1
x до
32
x ; 2) от
61
x до
62
x .
5. Для функции 29 xy найти y , если 1) 5,0,0 xx ; 2) 2,0,1 xx .
6. Найти приращение функции 33 xxy в точке 2x , если независимая перемен-
ная x получает приращение: 1) 5,0x ; 2) 3x .
7. Как изменится площадь квадрата со стороной 12 см, если сторона увеличится на 0,4 см?
8. Как изменится площадь круга радиусом 10 см, если радиус увеличить на 0,6 см?
9. Найти приращение объёма куба с ребром 4 дм, если ребро увеличили на 2 см.
10. Радиус шара равен 5 см. Найти приращение поверхности и объёма шара, если его ради-
ус получает приращение 0,3 см.
2.5.2. Непрерывность и точки разрыва
Определение 1. Функция xyy называется непрерывной в точке 0xx , если
бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое
приращение функции, т.е.
.0lim0
yx
Определение 2. Функция xyy называется непрерывной в точке 0xx , если
существует предел функции в этой точке, равный значению функции в этой точке, т.е.
00
lim xyxyxx
.
33
Определение. Функция xyy называется непрерывной на промежутке ba; ,
если она определена на этом промежутке и непрерывна в каждой его точке.
Примером непрерывной функции является любая элементарная функция, которая не-
прерывна в каждой точке своей области определения.
График любой непрерывной функции представляет собой сплошную линию.
Пример. Показать, что функция 2xy в любой точке области своего определения.
Решение. Областью определения данной функции является вся числовая прямая. Вос-
пользуемся первым определением непрерывности, т.е. покажем, что 0lim0
yx
.
Пусть 0xx - любая точка числовой прямой, 2
00 xxy - значение функции в этой
точке. Придадим аргументу 0xx произвольное приращение x . В результате функция
получит приращение
.2222
0
2
0
2
0
2
0
2
0 xxxxxxxxxxxy
Тогда .02limlim2
00
xxxy
xx Следовательно, функция
2xy , согласно
первому определению непрерывности, непрерывна в любой точке 0xx из области своего
определения.
Упражнения Пользуясь первым определением непрерывности, доказать, что данные функции непре-
рывны во всей своей области определения:
1. xxy 22 2. 31 xy 3.
1
12
x
y
4. xey 5. xy sin 6. xy 3cos
2.5.3. Односторонние пределы
Определение. Число 1A называется левым пределом функции xyy , если число
1A есть предел функции xyy при x , стремящемся к a так, что x принимает только
значения меньшие a . При этом пишут
10
lim Axyax
.
34
Определение. Число 2A называется правым пределом функции xyy , если число
2A есть предел функции xyy при x , стремящемся к a так, что x принимает только
значения большие a . При этом пишут
20
lim Axyax
.
В случае, если левый и правый пределы существуют и равны, т.е. AAA 21 , то
число A есть предел этой функции.
Пример 1. Вычислить односторонние пределы
.2
4lim
302 xx
Решение. Пусть 02 x , тогда функция 32x есть отрицательная бесконечно
малая, поэтому функция 32
4
x есть отрицательная бесконечно большая, т.е.
302 2
4lim
xx.
Пусть 02 x , тогда функция 32x есть положительная бесконечно малая, по-
этому функция 32
4
x есть положительная бесконечно большая, т.е.
302 2
4lim
xx.
Пример 2. Вычислить односторонние пределы .21
1lim
1/101 xx
Решение. 1. Пусть 1x , тогда при 01x величина 1x есть отрицательная бес-
конечно малая, следовательно, 1
1
x и тогда 02 1
1
x . Таким образом,
1
21
1lim
1
101
xx
.
2. Пусть 1x , тогда при 01x величина 1x есть положительная бесконечно
малая, следовательно, 1
1
x, отсюда
0
21
1lim
1
101
xx
.
35
Упражнения Вычислить односторонние пределы:
1. 1
2lim
01
x
x
x Ответ: и
2. 205 5
3lim
x
x
x Ответ:
3. xtgx
2lim0
4
Ответ: и
4. 3
lim03
xctg
x Ответ: и
5.
56lim
1
0
x
x Ответ: и 5
6.
x
x
x
2
2lglim
02 Ответ:
7. xx
4701
logloglim
Ответ:
8.
x
xxarccos2
log
1lim
30
Ответ:
9. x
arctgx
1lim
0 Ответ:
2
и
2
10. xctgxx
37lim0
Ответ:
2.5.4.Точки разрыва функции, их классификация
Определение. Точка ax называется точкой разрыва функции xyy , если эта
функция определена в некоторой окрестности точки ax , но в самой этой точке не удо-
влетворяет условию непрерывности, т.е.
ayxyax
lim .
Точки разрыва делятся на 2 типа: точки разрыва I рода и точки разрыва II рода.
К точкам разрыва I рода относятся такие точки, в которых существуют конечные од-
носторонние пределы.
Точки разрыва I рода, в свою очередь, делятся на:
1. точки устранимого разрыва, когда ayxyxyaxax
00
limlim .
2. точки скачка функции, когда xyxyaxax 00
limlim
. В этом случае раз-
ность 00 ayay называют скачком функции xy в точке ax .
36
К точкам разрыва II рода относятся точки, в которых хотя бы один из односторон-
них пределов не существует или бесконечен.
Пример 1. Найти точки разрыва функции x
y
2
1 и исследовать их характер.
Решение. Данная функция определена при всех значениях x , кроме 2x . Т.к. данная
функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке области своего опреде-
ления, состоящей из промежутков 2; и ;2 . Следовательно, единственной точкой
разрыва является точка 2x . Для исследования характера разрыва найдём односторонние
пределы данной функции в этой точке.
0
1
022
1
2
1lim
02 xx.
Т.к. один из односторонних пределов функции бесконечен, то 2x – точка разрыва II рода.
Пример 2. Дана функция
x
y1
21
1
. Найти точки разрыва этой функции и исследо-
вать их характер.
Решение. Функция
x
y1
21
1
определена при всех значениях x , кроме 0x .
Найдём односторонние пределы функции в этой точке:
1
2
11
1
21
1
21
1
21
1lim
0
110
xx
.
01
21
1
21
1
21
1lim
0
110
xx
.
Т.к. левый и правый пределы функции в исследуемой точке конечны и не равны между со-
бой, то точка 0x является точкой скачка функции, величина которого равна
11000 yy .
Пример 3. Дана функция
2,0
20,cos
0,2
xпри
xприx
xприx
.
Найти точки разрыва функции и исследовать их характер.
37
Решение. Числовая ось, являющаяся областью определения данной функции, разбита
на три промежутка
;
2,
2;0,0;
, в каждом из которых функция xyy зада-
на элементарными функциями 0,cos,2 321 yxyxy , которые определены и,
следовательно, непрерывны внутри указанных промежутков.
Таким образом, исследовать функцию на непрерывность нужно только на «стыках» об-
ласти определения, т.е. в точках 2
,0
xx .
Найдём односторонние пределы функции в точке 0x :
10coscoslimlim,2022limlim0000
xxyxxyxxxx
.
Т.к. односторонние пределы в точке 0x конечны и различны, то эта точка является точ-
кой скачка функции (разрыв I рода), величина которого равна -1.
Найдём односторонние пределы в точке 2
x :
00limlim,0coslimlim0
20
20
20
2
xxxx
xyxxy .
Получили, что односторонние пределы функции в точке 2
x равны, следовательно,
функция в этой точке непрерывна.
Упражнения Для каждой из заданных функций найти точки разрыва и исследовать их характер, сде-
лать чертёж.
1.
1,1
1,2
xприx
xприxy 2.
0,
1
0,
xприx
xприx
y
0 x
y
xy 2
xy cos2
1
2
0y
38
3.
0,
01,0
1,1
xприx
xпри
xприx
y 4.
2,0
20,sin
0,1
xпри
xприx
xприx
y
5.
2,4
21,2
1,2
2
2
xприx
xприx
xприxx
y 6.
0,lg
01,2
1,3
xприx
xпри
xпри
y
x
Контрольные вопросы 1. Что называется приращением аргумента и приращением функции?
2. Сформулируйте определение непрерывной функции в точке; на отрезке.
3. Какие точки называются точками разрыва функции?
4. Какие точки называются точками разрыва I рода, их классификация.
5. Какие точки называются точками разрыва II рода?
39
Приложение
1. Формулы сокращённого умножения
bababa 22 - разность квадратов
2222 bababa - квадрат разности
2222 bababa - квадрат суммы
2233 babababa - разность кубов
2233 babababa - сумма кубов
3223333 babbaaba - куб суммы
3223333 babbaaba - куб разности
2. Формула разложения квадратного трёхчлена на линейные множители
212 xxxxacbxax ,
где 1x и 2x - корни квадратного уравнения 02 cdxax .
Учебное издание
Составитель:
Алексеева Е.В.
ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛЫ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Учебно-методическое пособие
по дисциплинам «Математика»
и «Элементы высшей математики»
Формат 60х84 1/8. Гарнитура Таймс. Бумага офсетная.
Усл. печ. л. 4,65. Тираж 220 экз.
Ростовский-на-Дону колледж радиоэлектроники,
информационных и промышленных технологий
344011, г. Ростов-на-Дону, ул. Красноармейская, 11
Отпечатано: Ростовский-на-Дону колледж радиоэлектроники,
информационных и промышленных технологий