{ предел последовательности - число e - оценка – предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы – первый и второй – бесконечно малые величины и их свойства - сравнение бесконечно малых величин - теоремы о бесконечно малых величинах – примеры }

Пусть – произвольное множество и пусть каждому поставлен

в соответствие некоторый элемент . Тогда говорят, что задана

последовательность которая обозначается также

символами

Nn Aa

A

,...,,, 321 aaa Nnn1nnn a a a

,,

Число называется пределом последовательности , если

для

Ra a n

:Nn 0 nn aa n

.1,2,3.....n ,! 0n1

Пример

10 1,n n 4321 !n !,

....n321

1, ....,

241

, 61

, 21

, 1, 1 ,

Теорема

Сходящаяся последовательность ограничена. Обратное неверно.

Последовательность называется ограниченной (ограниченной

сверху, ограниченной снизу), если

a n

Nn baba ba: Rb nnn ,

так что

Тогда для

Пусть последовательность сходится и . a n nn

aa

lim

1n nn 1aa1a 1n1 nn 1aa Nn 1 :

Пусть )a..., ,a,amax(:b 1n211 1 1n b a Очевидно, что

Доказательство

Сумма, разность и произведение двух бесконечно малых последовательностей являются бесконечно малыми последовательностями

baba nnn

)(lim

Свойства пределов (связанные с арифметическими операциями)

Rbb Raa nn

nn

limlim

abba nnn

)(lim

),lim 0bNn 0(b ba

ba

nn

n

n

Последовательность называется бесконечно малой, если a n 0ann

lim

Последовательность называется бесконечно большой, если

n

nalim

a n

Если

то

0n n

1e

! 10 1,n n 4321 !n !,

321

12

21

1

21

121

221

21

21

11

n3211

3211

211

11s

n

n

n2

n

)(

...

...

Ряд сходится

3e2

John Napier (1550 – 1617)

e иногда называют неперовым числом

или числом Эйлера

Leonhard Euler (1707 – 1783)

en1

1n

n

lim n

n

n

0kn n

11t

k1

s

!

Доказательство

k

n

0k

kn

n

n1

Cn1

1nt

1nn

1n1

1n1

1

n

0k

n

k1

n1

1j1

nj

1jn

!e

n1

n1

10n

n

n

!lim

Теорема

n

1k

k

1jk

n

0k nj1jn

1n1

knkn

)!(!!

j1n1j1n

nj1jn

)(

en1

1n

n

lim

nn1

1n1

1n1

11n

13n

12n

11n

1se0 2n !

...)!(

...)!()!()!(

710 10

11111

se !

...... 59718281828421201

241

61

21

11

Число e - иррациональное

Допустим e – число рациональное, тогда Nqp, qp

e ,

q1seq0 q /)(! Согласно предположению q!e – целое число. Тогда число q!(e-sq) тоже

целое. )!

...!

(!!q1

21

11qsq q Так как q >= 1, то выходит существует целое число между нулем и единицей ! Мы добились противоречия.

Определение (по Коши)Постоянное число A называется пределом функции f(x) в точке x0 ( при x

стремящемся к x0 ) если для произвольного числа > 0 найдется число

() > 0 такое, что из условия | x – x0 | < ( x не равно x0 ) вытекает

неравенство | f(x) – A | < . Определение (в кванторах)

( ) 0: lim ( ) : ( )0

def

0 0x xf x A 0 x x x x x f x A

Бесконечно малая величина lim u = 0Переменная величина u называется бесконечно малой, если, каково бы не было малое положительное числа > 0 , в процессе изменения переменной наступит момент, начиная с которого будет постоянно

выполняться неравенство | u | < .

y = f(x)

x

y

0 x02

2A

Доказать, что предел

Решение

1)(a 1a lim x

0x

@

Требуется доказать | ax – 1 | < при | x | < ()

логарифмируем последние неравенства по основанию a ( a > 1 )

1ax 1a1 x

)(log)(log 1x1 aa )(loglog

1x1

1aa

)()( x

11

1 aa log),(logmin)(

)(log 1x a

Теорема 1. Алгебраическая сумма любого определенного числа бесконечно малых является величиной бесконечно малой.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную величину является величиной бесконечно малой.

M

Доказательство

Пусть – бмв, a u – ограниченная переменная величина.

Mu M

Mu что и доказывает теорему.

Следствия:

Функция f(x) называется бесконечно большой в точке a ( ) если

M xf a-x 0:x :0(M) M )(

)(lim xfax

c n величины бесконечно малые

Теорема 1. (прямая)Если переменная величина u стремится к пределу a , то разность между нею и ее пределом есть величина бесконечно малая.

Теорема 2. (обратная)

Если переменная величина u равна сумме некоторой постоянной величины A и величины бесконечно малой , то эта постоянная есть предел переменной.

Пример:

ДоказательствоПусть a = lim u. Это значит, что при всяком , будет справедливо неравенство | u - a | < при достаточном продолжении изменения u. Но тогда величина u – a есть величина бесконечно малая.

1x1

1x

1xxxx

limlimlim

A

x1

1x

1x

Переменная величина может иметь только один предел.

Переменная величина, имеющая предел, является величиной ограниченной. Предел алгебраической суммы любого числа переменных равен алгебраической сумме их пределов. Предел произведения любого определенного числа переменных равен произведению их пределов.

Если переменная величина имеет предел, отличный от нуля, то начиная с некоторого момента она принимает значение того знака, каков знак ее предела. Если предел переменной величины отличен от нуля, то величина ей обратная, является ограниченной величиной. Предел частного двух переменных равен частному от деления их пределов, если предел делителя отличен от нуля.

Теорема 1.

Всякая монотонно изменяющаяся и ограниченная в направлении своего изменения величина имеет предел.

Доказательство ведется на основе теоремы Дедекинда.

Теорема 2.

Если числовые значения переменной величины v постоянно заключены между соответствующими числовыми значениями двух других переменных u и w и эти последние стремятся к одному и тому же пределу a , то к этому же пределу a стремится и переменная v .

v

x

y

0

A

u

w

Функция при имеет предел, равный 1 : x

xy

sin 0x 1

xx

0x

sinlim

1

C

B0

Рассмотрим единичную окружность.

xCOB 2

x0

1rOBOC

A

xOA xAC cossin

D

tgxBD

Сравнивая площади треугольника OAC , сектора OBC и треугольника OBD, получаем

OBDOBCOAC SSS xx

21

x21

xx21

cossin

cossin

x1

xx

xcossin

cos 1x

x1

0x0x

sinlim:lim 1

xx

0x

sinlim

0x 1

0xx

x

y

,

,sin

Неопределенность

00y

x

y

x

Найти предел

Решение

@x

tgx0x

lim

sinlim lim

cos

sinlim lim

cos cos

x 0 x 0

x 0 x 0

tgx 0 x 1x 0 x x

x 1 11 1

x x 0

Функция при имеет предел, равный e : x

x1

1

x e

x1

1x

x

lim

en1

1n

n

lim

xПусть

nx1n 1n

1x1

n1

Величину x заключим между n и n+1

1n1

1x1

1n1

1

nx1n

1n1

1x1

1n1

1

e1n

11 e

n1

1n

n

1n

n

limlim

По второй теореме (признак существовании пределов):

ex1

1x

x

lim

При доказывается то-же самое. x

ex1 x1

0x

lim

Неопределенность 1

Найти предел

Решение

@x

x10x

)ln(lim

0

0x

x10x

)ln(lim

x1

0xx1 )ln(lim

))(limln( x

1

0xx1

1e )ln(

)ln(lim x1x1

0x

0q

lim

Если предел отношения двух бесконечно малых есть число, отличное от нуля

то и называются бесконечно малыми одного порядка малости..

x7x2

0x

sinlim

Пример:

x2x2

72

0x

sinlim

72

172

Если предел отношения двух бесконечно малых иравен нулю

то называются бесконечно малой более высокого порядка малости, чем .

0

lim

sin 2x и 7x - бесконечно малые одного порядка малости

Пример:x

x10x

coslim

010

2x

2x

2x

x2x

2

0x

2

0x

sinsinlim

sinlim

1-cosx - бесконечно малая более высокого порядка, чем x . .

Пример:

Если предел отношения двух бесконечно малых ине существует (ни конечный, ни бесконечный), и называются несравнимыми бесконечно малыми.Пример:

tg x - бесконечно малая более низкого порядка, чем x 2 .

Если отношения двух бесконечно малых и является величиной бесконечно большой, то называется бесконечно малой более низкого порядка малости, чем .

lim

11

xx

x1

x1

xtgx

0x20x

sincos

limlim

= sin x .sin (1/x) и = x

- несравнимые бесконечно малые.

?sinlimsin

limsinsin

lim

1x1

xx

xx1

x

0x0x0x

y

x

Если предел отношения двух бесконечно малых и равно 1, то и называется равносильными (эквивалентными) бесконечно малыми . Символическое обозначение: ~

1

lim

Две бесконечно малые и , равносильные порознь третей бесконечно малой , равносильны между собой. V

Разность двух равносильных бесконечно малых – является бмв более высокого порядка малости, чем каждая из них. Lim ( )/= 0 ,Lim ( )/= 0Если разность двух бесконечно малых – есть бмв высшего порядка по сравнению с одной из них, то они равносильны. Lim ( )/= 0 .

Предел отношения двух бесконечно малых сохраняет свое значение при замене этих бесконечно малых им равносильными.

Сумма конечного числа бесконечно малых различных порядков равносильна слагаемому низшего порядка малости (если оно единственно).

Найти предел

Решение

@xx4tgx2

xtgx3x1043

3 52

0x sin

sinlim

5x2x10

tgx2x10

xx4tgx2

xtgx3x100x0x43

3 52

0x

limlim

sin

sinlim

010x3

x10x3

0x

2

0x

lim

sinlim 0

10x

x10

xtg 3 2

0x

3 5

0x

limlim

01

xx2tgx2x4 2

0x

3

0x

coslimlim 0

2x

tgx2x 3

0x

4

0x

lim

sinlim