บทที่ 4-1

1

LOGO

การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่แบบต่�อเน่��องและไม�ต่�อเน่��อง

บทท�� 4 การแจกแจงต่�วอย่�าง

Click to edit Master text stylesLOGO

การแจกทว�น่าม (Binomial Distribution)ล�กษณะเด่�น่เป็�น่การทด่ลองแบบเบอร น่!ล�ย่ (Bernoulli trials) ซึ่#�งเป็�น่การทด่ลองท��เหม�อน่ก�น่ (ซึ่%&าๆก�น่) จ%าน่วน่ n คร�&ง และแต่�ละคร�&งเป็�น่อ�สระต่�อก�น่ และการทด่ลองแต่�ละคร�&งให*ผลล�พธ์ เพ�ย่ง 2 อย่�าง ค�อ ส%าเร.จ (Success) และ ล*มเหลว (Failure)

4.2.2 ต่�วอย่�าง

4.2.3 ฟั0งก ชั�น่การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่

n

b(x;n,p) = px q n-x

เม��อ x = 1 , 2 , 3 , … , n x

4.2.4 ค�าเฉล��ย่ = E[X] = np

4.2.5 ค�าความแป็รป็รวน่ var(X) = npq

การโย่น่เหร�ย่ญ

การท%าข้*อสอบถู!กผ�ด่ 10 ข้*อ


1. พ�จารณาว�าโจทย่ สน่ใจอะไร ---- ก%าหน่ด่ให*เป็�น่ต่�วแป็รส7�ม X

หล�กการค%าน่วณเร��องการแจกแจงทว�น่าม

2. หา p(x) ----- ความน่�าจะเป็�น่ท��จะเก�ด่ X ใน่การทด่ลองแต่�ละคร�&ง

3. q(x) = 1 - p(x) และ n ค�อจ%าน่วน่คร�&งใน่การทด่ลอง

4. แทน่ค�าใน่ส!ต่รแล*วค%าน่วณ

p(X=x) = b(x;n,p) = px q n-x

x

n


ด่�งน่�&น่ ความน่�าจะเป็�น่ท��เหร�ย่ญจะออกห�ว 3 คร�&ง เท�าก�บ 31.25%

ใน่การทด่ลองโย่น่เหร�ย่ญ 1 เหร�ย่ญจ%าน่วน่ 5 คร�&ง จงหาความน่�าจะเป็�น่ท��เหร�ย่ญจะออกห�วจ%าน่วน่ 3 คร�&ง

3

5

ต่�วอย่�าง 4-4 หน่*า 62

ให* x ค�อ จ%าน่วน่คร�&งท��เหร�ย่ญออกห�วว�ธ์�ท%า

p(x) = ความน่�าจะเป็�น่ท��เหร�ย่ญออกห�ว = 0.5

จะได่*ว�า x = 3 ; n = 5 ; p = 0.5 ; q = 0.5

p(X=3) = b(3;5,0.5) = (0.5)3 (0.5)2 = 0.3125


p(x) = ความน่�าจะเป็�น่ท��ท%าข้*อสอบถู!ก = 0.2 ; q = 0.8 และ x = 0,1,2,3

ใน่การท%าข้*อสอบป็รน่�ย่ 5 ต่�วเล�อก จ%าน่วน่ 5 ข้*อ จงหาความน่�าจะเป็�น่ท��จะท%าข้*อสอบถู!กไม�เก�น่ 3 ข้*อ

0

5

p(x≤3) = b(0;5,0.2) + b(1;5,0.2) + b(2;5,0.2) + b(3;5,0.2)

p(x≤3) = 0.200.85+ 0.210.84+ 0.220.83+ 0.230.82

1

5

3

5

2

5

p(x≤3) = 0.32768 + 0.40960 + 0.20480 + 0.05120 = 0.99328

ด่�งน่�&น่ ความน่�าจะเป็�น่ท��จะท%าข้*อสอบถู!กไม�เก�น่ 3 ข้*อ = 0.99328

ต่�วอย่�างเพ��มเต่�ม

ให* x เป็�น่ต่�วแป็รส7�มแทน่จ%าน่วน่ข้*อท��ท%าถู!กว�ธ์�ท%า


ต่ารางผลรวมการแจกทว�น่ามB(r; n , p) = b(x; n , p)

B(3;n,p) = b(0;n,p) + b(1;n,p) + b(2;n,p) + b(3;n,p)

เชั�น่B(2;n,p) = b(0;n,p) + b(1;n,p) + b(2;n,p)


ใน่การท%าข้*อสอบป็รน่�ย่ 5 ต่�วเล�อก จ%าน่วน่ 5 ข้*อ จงหาความน่�าจะเป็�น่ท��จะท%าข้*อสอบถู!กไม�เก�น่ 3 ข้*อ


p(x) = ความน่�าจะเป็�น่ท��ท%าข้*อสอบถู!ก = 0.2 ; q = 0.8 และ x = 0,1,2,3

ให* x เป็�น่ต่�วแป็รส7�มแทน่จ%าน่วน่ข้*อท��ท%าถู!ก

p(x≤3) = B(r,n,p) = B(3,5,0.2)

เป็8ด่ต่ารางทว�น่าม

= 0.99328


n rp

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

5 00.59049

0.32768

0.16807

0.07776

0.03125

0.01024

0.00243

0.00032

0.00001

10.91854

0.73728

0.52822

0.33696

0.18750

0.08704

0.03078

0.00672

0.00046

20.99144

0.94208

0.83692

0.68256

0.50000

0.31744

0.16308

0.05792

0.00856

30.99954

0.99328

0.96922

0.91296

0.81250

0.66304

0.47178

0.26272

0.08146

40.99999

0.99968

0.99757

0.98976

0.96875

0.92224

0.83193

0.67232

0.40951

51.00000

1.00000

1.00000

1.00000

1.00000

1.00000

1.00000

1.00000

1.00000

ต่�วอย่�าง B(3;0.2,5)1.

p(x≤3) =

= B(3; 5, 0.2)

= 0.99328

B(r;n,p)


ใน่การทด่ลองโย่น่เหร�ย่ญ 1 เหร�ย่ญจ%าน่วน่ 10 คร�&ง จงหาความน่�าจะเป็�น่ท��

1. เหร�ย่ญจะออกห�วไม�เก�น่ 5 คร�&ง

2. เหร�ย่ญจะออกห�ว 3 คร�&ง

p(x≤5) = B(5;10,0.5) = 0.62305

p(x=3) = B(3;10,0.5) - B(2;10,0.5) = 0.17188 - 0.05469 = 0.11719


ให* x ค�อ จ%าน่วน่คร�&งท��เหร�ย่ญออกห�ว

p(x) = ความน่�าจะเป็�น่ท��เหร�ย่ญออกห�ว = 0.5


จากสถู�ต่�ข้องกรมป็ศุ7ส�ต่ว พบว�า ถู*าส�ต่ว ป็:กได่*ร�บเชั�&อไข้*หว�ด่น่ก ความน่�าจะเป็�น่ท��ส�ต่ว ป็:กจะรอด่ชั�ว�ต่จากโรคไข้*หว�ด่น่กเท�าก�บ 0.2 อย่ากทราบว�าถู*าม�ส�ต่ว ป็:กจ%าน่วน่ 15 ต่�วท��เป็�น่โรคไข้*หว�ด่น่ก1. p(ส�ต่ว ป็:กจะรอด่ชั�ว�ต่จากโรคไข้*หว�ด่น่ก 6

ต่�ว)

2. p(ส�ต่ว ป็:กจะรอด่ชั�ว�ต่จากโรคไข้*หว�ด่น่กมากกว�า 4 ต่�ว)

3. p(ส�ต่ว ป็:กจะเส�ย่ชั�ว�ต่จากโรคไข้*หว�ด่น่กไม�เก�น่ 7 ต่�ว)


X = 6 ; p = 0.2 ; n = 15

p(x=6) = B(6;15,0.2) – B(5;15,0.2)

0.98194

0.93895 =

0.04299

X > 4 ; p = 0.2 ; n = 15

p(x>4) = B(15;15,0.2) - B(4;15,0.2)

0.83577 =

0.16423

X ≤ 7 ; p = 0.8 ; n = 15

p(x≤7) = B(7;15,0.8)

= 0.00424

Click to edit Master text stylesLOGO การแจกแจงพห7น่าม (Multinomial Distribution) 4.3.1 ล�กษณะเด่�น่

เป็�น่การทด่ลองท��แต่�ละคร�&งให*ผลล�พธ์ ได่*มากกว�า 2 อย่�าง

4.3.2 ต่�วอย่�าง การทด่ลองส7�มหย่�บบอลจากกล�องท��บรรจ7บอลหลากหลาย่ส�

4.3.3 ฟั0งก ชั�น่การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่

f(x1,x2,…,xk;p1,p2,…,pk) = n! p1x1p2

x2…pkxk

x1! x2! …xk!

4.3.4 ค�าเฉล��ย่ = E[X] = npi

4.3.5 ค�าความแป็รป็รวน่ var(X) = npi(1-pi)


ใน่กล�องข้น่าด่ใหญ�บรรจ7ล!กบอลจ%าน่วน่มาก ซึ่#�งป็ระกอบไป็ด่*วย่ส�แด่ง ส�ข้าว ส�ฟั;า และส�ด่%า ความน่�าจะเป็�น่ท��บอลล!กหน่#�ง ๆ จะเป็�น่ส�ด่�งกล�าวเป็�น่ 0.4, 0.2, 0.3 และ 0.1 ต่ามล%าด่�บ จงหาความน่�าจะเป็�น่ท��ล!กบอล 5 ล!กท��ส7�มมาจากกล�องจะม�บอล 3 ล!กเป็�น่ส�ฟั;า อ�ก 2 ล!กเป็�น่ส�ข้าว

(0.4)0 (0.2)2 (0.3)3 (0.1)0

= 0.0108

p(x1=0,x2=2,x3=3,x4=0) = !0!3!2!0

!5

ก%าหน่ด่ x1 = แด่ง, x2 = ข้าว, x3 = ฟั;า, x4 = ด่%า

p1 = 0.4, p2 = 0.2, p3 = 0.3 , p4 = 0.1

ต่�วอย่�างท�� 4-15 หน่*า 68


การแจกแจงไฮเป็อร จ�ออเมต่ร�ก (Hypergeometric Distribution)

4.3.1 ล�กษณะเด่�น่เป็�น่การทด่ลองส7�มต่�วอย่�างข้น่าด่ n ชั�&น่จากป็ระชัากรข้น่าด่ N ชั�&น่ โด่ย่ใน่กล7�มป็ระชัากร N ชั�&น่จะป็ระกอบด่*วย่ชั�&น่ท��เป็�น่ความส%าเร.จ k ชั�&น่ และชั�&น่ท��ล*มเหลว N-k ชั�&น่ 4.3.2 ฟั0งก ชั�น่การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่

k N-k h(x; N, n, k) = x n-x เม��อ x =

0,1,2,…,k N n

4.3.3 ค�าเฉล��ย่ = E[X] = nk / N

4.3.4 ค�าความแป็รป็รวน่ var(X) = N-n n k (1- k) N-1 n n


k N-k h(x; N, n, k) = x n-x เม��อ x =

0,1,2,…,k N n

k

N-kn-x

x

N n


กล�องใบหน่#�งบรรจ7หลอด่ไฟัฟั;าท��ใชั*งาน่ได่*ด่�จ%าน่วน่ 40 หลอด่ หลอด่เส�ย่จ%าน่วน่ 10 หลอด่ ถู*าส7�มหลอด่ไฟัฟั;าข้#&น่มาจ%าน่วน่ 6 หลอด่ จงหาความน่�าจะเป็�น่ท��จะได่*หลอด่เส�ย่จ%าน่วน่ 2 หลอด่

ก%าหน่ด่ให* x เป็�น่ต่�วแป็รส7�มแทน่จ%าน่วน่หลอด่ไฟัท��เส�ย่

P(X) = = 0.2588

ต่�วอย่�างท�� 4-17 หน่*า 71

6

502

10

4

40ด่� 40

เส�ย่ 10 เส�ย่ 2

ด่� 4

50 6


การแจกแจงป็0วซึ่อง (Poisson Distribution) 4.5.1 ล�กษณะเด่�น่เป็�น่การทด่ลองส7�มท��ม�จ%าน่วน่คร�&งข้องความส%าเร.จท��เก�ด่ใน่ชั�วง

เวลาหน่#�ง ๆ เป็�น่อ�สระก�บจ%าน่วน่คร�&งข้องความส%าเร.จท��เก�ด่ข้#&น่ใน่ชั�วงเวลาอ��น่ 4.5.2 ฟั0งก ชั�น่การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่

p(x; ) = e- x เม��อ x = 0 , 1 , 2 , … , x!

4.5.3 ค�าเฉล��ย่ = E[X] =

4.5.4 ค�าความแป็รป็รวน่ var(X) =


ถู*าใน่แต่�ละว�น่ บน่ทางหลวงม�อ7บ�ต่�เหต่7เก�ด่ข้#&น่เฉล��ย่แล*วเท�าก�บ 3 ราย่ (จ%าน่วน่อ7บ�ต่�เหต่7ท��เก�ด่ข้#&น่ม�การกระจาย่แบบป็0วซึ่อง)

1. จงหาความน่�าจะเป็�น่ท��ว�น่น่�&จะไม�ม�อ7บ�ต่�เหต่7เก�ด่ข้#&น่

2. ความน่�าจะเป็�น่ท��ว�น่น่�&จะม�อ7บ�ต่�เหต่7เก�ด่ข้#&น่ไม�เก�น่ 2 ราย่

= 3 และ X เป็�น่ต่�วแป็รส7�มแทน่จ%าน่วน่อ7บ�ต่�เหต่7ท��เก�ด่ข้#&น่ ; x = 0

p(X=0) =

!0

03e = 0.04979 ~ 0.500

p(X≤2) = p(X=0) + p(X=1) + p(X=2)

=

!2

3

!1

3

!0

3 231303 eee= 0.423

ต่�วอย่�างท�� 4-22 หน่*า 75

เป็8ด่ต่ารางป็0วซึ่อง


จงหาความน่�าจะเป็�น่ท��ว�น่น่�&จะม�อ7บ�ต่�เหต่7เก�ด่ข้#&น่ไม�เก�น่ 2 ราย่

p(X≤2) = P(r ; u) = P(2 ; 3) = r

µ0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9

00.607

0.368

0.135

0.050

0.018

0.007

0.002

0.001

0.000

0.000

10.910

0.736

0.406

0.199

0.092

0.040

0.017

0.007

0.003

0.001

20.986

0.920

0.677

0.423

0.238

0.125

0.062

0.030

0.014

0.006

30.998

0.981

0.857

0.647

0.433

0.265

0.151

0.082

0.042

0.021

41.000

0.996

0.947

0.815

0.629

0.440

0.285

0.173

0.100

0.055

0.423


ต่�วอย่�างท�� 4-25 อาคารจอดรถของร�านค�าแห่�งห่น��งรองร�บจ�านวนรถยนต์�ได�มากที่��สุ�ด 20 ค�น จากการสุ�ารวจพบว�าในแต์�ละว�นเฉล��ยแล�วจะม�รถยนต์�เข�าจอด 15 ค�น

ก) จงห่าความน�าจะเป็'นที่��ว�นน�(ม�รถมาใช้�บร*การที่��ร �านแล�วไม�ม�ที่��จอดรถ

ว*ธี�ที่�า µ = 15 ใช้�ว*ธี�เป็,ดต์ารางป็-วซอง

p(X>20) = 1 - p(X≤20) = 1 – P(20;15) = 1 - 0.917 = 0.083

ข) จงห่าความน�าจะเป็'นที่��ม�รถมาจอดที่��อาคารจอดรถมากกว�า 10 ค�น

ว*ธี�ที่�า p(10<X≤20)= P(20;15) - P(10;15) = 0.917 - 0.118 = 0.799


20

การแจกแจงแบบป็กต่�ม�ล�กษณะท��วไป็ด่�งน่�&1 .ข�อม/ลสุ�วนให่ญ่�จะอย/�ก��งกลางของโค�ง ป็ลาย

ที่�(งสุองข�างของโค�งป็กต์*จะลาดลงสุ/�แกนนอน แต์�จะไม�จรดแกนนอน

2. เม2�อลากเสุ�นต์�(งฉากก�บแกนนอนให่�แบ�งคร��งโค�ง เสุ�นที่��ลากจะผ่�านค�าเฉล��ย μ และที่�าให่�สุ�วนของโค�งป็กต์*ที่�(งสุองข�างสุมมาต์รก�น

3. พ2(นที่��ภายใต์�โค�งป็กต์*ม�ค�าเที่�าก�บ 1 เม2�อลากเสุ�นแบ�งคร��งโค�ง พ2(นที่��ภายใต์�โค�งด�านซ�ายและด�านขวาจะเที่�าก�น และม�พ2(นที่��เที่�าก�บ 0.5

4. ล�กษณะของโค�งป็กต์*แต์�ละร/ป็จะม�ล�กษณะแต์กต์�างก�น ข�(นอย/�ก�บค�าเฉล��ย (µ) และสุ�วนเบ��ยงเบนมาต์รฐาน (σ)

การแจกแจงแบบป็กต่� (Normal Distribution)

การแจกแจงต่�วอย่�าง


21

การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่แบบป็กต่� (Normal Distribution)



22

การแจกแจงแบบป็กต่�มาต่รฐาน่


23

การแจกแจงแบบป็กต่�มาต่รฐาน่ (Standard Normal Distribution)การแจกแจงแบบป็กต์*มาต์รฐาน ม�ล�กษณะด�งน�(

ค�าเฉล��ย (µ) = 0 สุ�วนเบ��ยงเบนมาต์รฐาน (σ) = 1

การเป็ล��ยนค�า x บนเสุ�นโค�งป็กต์*ให่�เป็'นค�า มาต์รฐาน Z ใช้�สุ/ต์รด�งน�(


xZ


24

หาค�า P (0<Z≤2)1 .อ�าน่ค�าจากต่ารางป็กต่�มาต่รฐาน่ท�� Z =

2.002. ค�าท��ได่* ค�อ 0.47723. ค�า P (0<Z≤2) = 0.4772 หร�อ

47.72%

0 Z=2.00

0.4772


การหาพ�&น่ท��ภาย่ใต่*โค*งป็กต่�มาต่รฐาน่


25

หาค�า P( -2.55 < Z < 2.55)

1 .อ�าน่ค�าจากต่ารางป็กต่�มาต่รฐาน่ท�� Z = 2.552. ค�าท��ได่* ค�อ 0.49463. ค�า P( -2.55 < Z < 2.55) = 0.4946 +

0.4946 = 0.9892

Z=-2.55 Z=2.55



26

normal distribution

normal distribution

หาค�า P (Z > 2.71)

1 .อ�าน่ค�าจากต่ารางป็กต่�มาต่รฐาน่ท�� Z = 2.71

2 .ค�าท��ได่* ค�อ 0.49663.P (Z > 2.71) = 0.5 - 0.4966

= 0.0034

0.50 0.4966

0



27

การใชั*ป็ระโย่ชัน่ เส*น่โค*งป็กต่�ผ่จก. ของบร*ษ�ที่ CP ค*ดว�าคะแนนจากการที่ดสุอบการใช้�

ภาษาจ�นของพน�กงานให่ม�ที่�(งห่มด ม�การแจกแจงป็กต์* ม�ค�า เฉล��ยเที่�าก�บ 10 และสุ�วนเบ��ยงเบนมาต์รฐาน 2.5

ถ�าสุ��มพน�กงานมาห่น��งคน จงห่าความน�าจะเป็'นที่��จะที่�า คะแนนได�เที่�าก�บ 15 คะแนน ห่ร2อมากกว�า

ใน่ท��น่�&ทราบค�า n = 49

2.5

10


0.2280

2

5.2

1015

15

ZP

ZP

xZPxP


การแจกแจงแบบท� (t-Distribution)

28

Ts

x

เม��อป็ระชัากรม�การแจกแจงป็กต่� หร�อใกล* เค�ย่งเส*น่โค*งป็กต่�

• เม��อส7�มต่�วอย่�างข้น่าด่เล.ก (n <30) และ ไม�ทราบความแป็รป็รวน่ข้องป็ระชัากร

• ล�กษณะเส*น่โค*ง t จะข้#&น่อย่!�ก�บพาราม�เต่อร “ ” ท��เร�ย่กว�า องศุาอ�สระ (Degree of

Freedom, df)• จะใชั*ต่าราง t แทน่ค�า Z


29

ค7ณสมบ�ต่�ข้องการแจกแจงแบบ t1. ค�าเฉล��ย µ=0, σ>12 .โค�งม�ล�กษณะสุมมาต์ร3. เม2�อขนาดต์�วอย�างให่ญ่�ข�(น σ จะเข�าใกล� 14. ต์�วแป็ร t จะม�ค�าระห่ว�าง -∞ ถ�ง ∞ 5. ถ�ากล��มต์�วอย�างให่ญ่�ข�(น การแจกแจงจะใกล�การ

แจกแจงแบบป็กต์*


30

ถู*าต่�วแป็รส7�ม x ม�การแจกแจงแบบ t, df = 10

05.081246.1 xP

0.05

0 1.81246



31

จงห่าความน�าจะเป็'นที่��สุ��มคนมา 1 คน แล�วพบว�าม�รายได�มากกว�า 120 บาที่

เป็,ดต์าราง t, df = n-1 = 18-1 = 17

333.1

15

140120

120

tP

tP

s

xtPxP

0.1

-1.333


สุมม�ต์*ว�ารายได�ป็ระจ�าว�นของคนกล��มห่น��งม�การแจกแจงป็กต์*และม�ค�าเฉล��ยเที่�าก�บ 140 ถ�าสุ��มคน 18 คน และพบว�าสุ�วนเบ��ยงเบนมาต์รฐาน เที่�าก�บ 15

0.9


32

การแจกแจงแบบไคสแควร (chi-square Distribution

ใชั*ส�ญล�กษณ ล�กษณะเส*น่โค*งไคสแควร 1. ม�ค�าระห่ว�าง -∞ ถ�ง ∞2. เสุ�นโค�งไคสุแควร�ม�ล�กษณะเบ�ขวา3. ล�กษณะเสุ�นโค�งจะข�(นก�บพาราม*เต์ร�ต์�วเด�ยว ค2อ

องสุาอ*สุระ (df) และเม2�อ df เพ*�มข�(น เสุ�นโค�งไคสุแควร�จะม�ล�กษณะคล�ายเสุ�นโค�งระฆั�งคว��า(เสุ�นโค�งป็กต์*)

2

211.34


33

การแจกแจงแบบF (F Distribution)

ค7ณสมบ�ต่�ข้องการแจกแจงแบบ F1. ค�า F เป็'นบวกเสุมอ2. เสุ�นโค�งม�ล�กษณะเบ�ขวา3. ล�กษณะเสุ�นโค�งจะข�(นก�บองสุาอ*สุระ (df) 2 ค�า

n1-1 และ n2-1

2122

21 , sss

sF

11.34

Documents

บทที่ 4-1