9-1

Aula 9

●Excitação no M

I – Equilíbrio estatístico

●R

eferências–

Maciel – C

ap. 5–

Spitzer – Cap. 4

–Scheffler &

Elsässer – Seções 5.1.2

9-2

Introdução●

No equilíbrio term

odinâmico (ET), as populações dos níveis

são dadas pela equação de Boltzm

ann, que é função de:-

temperatura;

-parâm

etros atômicos.

●Para situações fora do ET, podem

os introduzir os coeficientesde desvio,

bk e bj . D

e modo que a eq. de B

oltzmann

modificada torna-se:

nj =

nk g

j

gk exp −

Ej −

Ek

kT g

j egk :pesosestatísticosdosníveis

jek;

Ej eE

k :energiadosníveis

jek.

nj

nk =

bk

bj g

j

gk exp −

Ej −

Ek

kT

9-3

●a razão entre as populações dos níveis de energia j e k podemser

obtidas se

considerarmos

todos os

processos de

povoamento e despovoam

ente de cada um dos níveis

●N

esta aula, estudaremos com

o obter as populações dos níveisde energia no caso de equilíbrio estatístico

●Farem

os aplicações aos casos de átomos sim

plicados como

um sistem

a de 2 ou 3 níveis

9-4

Equilíbrio estatístico●

No estado estacionário, tem

os:

●Se cham

amos de

(Rjk )y , [s -1], a probabilidade por unidade de

tempo de transição do nível j para o k através do processo y, tem

osque:

onde j e k são estados ligados. Isto é, as recombinações e ionizações

não são consideradas. Isso é um aproxim

ação razoável, pois essesprocessos são m

enos frequentes que as transições ligadas.

dnj

dt=

0⇒n

j t=n

j

dnj

dt=

−n

j ∑y ∑

kR

jk y ∑y ∑

kn

k Rkj y =

0E

quação deequilíbroestatístico

9-5

●

Se um dado átom

o possui m estados de energia, existirão

(m-1) equações linearm

ente independentes.●

A solução desse sistem

a fornece as densidades relativasentre todos os níveis.

-é necessário o

conhecimento das taxas associadas a cada

um dos processos que prom

ovem transição entre níveis

●Exem

plo: espécie com dois níveis de energia (j e k) e apenas

um processo de transição

−n

j Rjk

nk R

kj =0

nk

nj =

Rjk

Rkj

9-6

Processos puramente colisionais

●Q

uando o único processo de povoamento e despovoam

entode níveis é a colisão, tem

os que as populações dos níveis sãodadas pela eq. de B

oltzmann:

nj *

nk * =

gj

gk exp −

Ejk

kT

onde as densidade n* referem-se, então, aos valores em

ET

9-7

Excitação colisional/radiativa●

Vam

os agora verificar a forma da eq. de equilíbrio estatístico no

caso em que processos colisionais E

radiativos são importantes

●Probabilidades de processos

-excitação e desexcitação colisionais, (R

jk )c e (Rkj )c , [s

-1]-

transições espontâneas – emissão -, A

kj , [s-1]

-transições induzidas – absorção –, B

jk ●

Taxa ou coeficiente de excitação colisional, γjk

-onde nc é usualm

enteelétrons ou

átomos ou

moléculas de

hidrogênio,de acordo com as características físicas da região

de interesse. É a partícula com a qual as colisões são m

aisfrequentes

jk =

Rjk c

nc

[cm3 s -1]

9-8

●

Assim

, considerando, por exemplo, colisões com

elétrons, aequação de equilíbrio estatístico do nível j torna-se:

nj[ ∑

kn

e jk

Bjk U

∑kj A

jk] =

∑k

nk n

e kj

Bkj U

∑kj n

k Akj

despovoamento

povoamento

emissões para

níveis inferioresa j

transiçõescolisionaisa partir de j transições radiativas

induzidasa partir de j

transições radiativasinduzidas

com estado final j

emissões de

níveis superiorescom

estado final j

transiçõescolisionaiscom

estadofinal j

9-9

Balanceam

ento detalhado

●A

condição de balanceamento detalhado é aquela onde

um

dado processo

y possue

exatamente

a m

esma

probabilidade de ocorrer nos dois sentidos

●Exem

plo:-

a probabilidade de excitamento colisional do nível j

para o k é a mesm

a do decaimento colisional de k

para j

9-10

Relação entre γjk e γkj

●Em

ET, existe equilíbrio estatístico considerando-se apenascolisões e balanceam

ento detalhado. Assim

, temos que:

nj *∑

kn

e jk =∑

kn

k *ne

kj

nj *n

e jk =

nk *n

e kj

que considerando apenas dois níveis (= balanceamento detalhado)

torna-se

gj

jk =g

k kj e

−E

jk

kT

Usando a eq. de B

oltzmann, tem

os:

9-11

Taxa de excitação colisional●

taxas de colisões dependem de:

-form

as de potenciais elétricos-

velocidades relativas

P(u) dt = nc u σ(u) dt

Probabilidade de colisãode 1 partícula teste comum

a partícula de campo

por unidade de tempo

velocidaderelativa

seção de choquede colisãoσ(u)u Δt

9-12

●

Relação entre taxa de colisão e seção de choque de colisão:

●D

istribuição de Maxw

ell para velocidades é válida se colisõesforem

perfeitamente elásticas. M

as, esse não é estritamente o

caso...✔colisões inelásticas: excitação

✔colisões superelásticas: decaim

ento●

Porém, colisões não-elásticas são pouco prováveis (próxim

o slide)✔

Assim

, distribuição de Maxw

ell pode ser aplicada

jk =

⟨u

jk ⟩

jk = ∫

ujk ufudu

∫fudu

9-14

jk =

4l 3

∫0 ∞

u3

jk uexp−l 2u

2du

onde:

l 2=m

r

2kT

mr =

mc m

t

me

mt

onde f(u) foi substituída pela distribuição de Maxw

elldas velocidades relativas

9-15

Relações entre seções de choque

●C

onsiderando:-

balanceamento detalhado

-diferença de energias cinéticas = diferença de energiaentre estados

-distribuição de M

axwell

-distribuição de B

oltzmann

gj

jk uj 2=

gk

kj uk 2

9-16

Seção de choque e força de colisão●

excitação só ocorre se energia cinética é maior que diferença

de energia entre níveis-

assim, σ

kj tem um

valor nulo desde velocidades nulas atéquando a energia cinética iguala E

jk , a partir de ondepassa a ter um

valor diferente de zero●

Com

o varia a seção de choque com u?

-se as duas partículas são carregadas, a dependência com

ué grande

-se um

a das partículas é neutra, a dependência é pequena✔uk σ

kj (uk ) ~ cte. ou pouco dependente de u

9-17

●

No caso de colisões entre elétrons e íons, tem

os:

●vj é a velocidade do elétron, considerando que a velocidadedo íon é desprezível

●R

elação entre as forças de colisões em cada um

dos sentidos:

●R

elação entre força e taxa de colisão

jk v

j =g

j h

2

me v

j 2j,k

força de colisão(adim

ensional)

j,k=

k

,j

jk v

j =h

2

gk 2

m

e 3/2kT

1/2

j,k

9-18

APL

ICA

ÇÕ

ES

Site com dados atôm

icos para cálculos:http://hom

e.strw.leidenuniv.nl/~m

oldata/

9-19

OII e O

III em nebulosas fotoionizadas

●Por que o oxigênio é im

portante em nebulosas?

-é abundante: nO ~10 -4 nH

-transições envolvem

energias próximas nas disponíveis nesses

ambientes

✔E

exc ~5 eV ~ velocidade m

édia de um gás a 10.000 K

●Estrutura atôm

ica dos íons mais abundantes

✔Fig. 5.1 – M

aciel – p. 131✔

NII tem

estrutura dos níveis similar a do O

III●

valores da seção de choque de colisão dependem da velocidade e

precisam ser calculados por teorias quânticas

-em

astrofísica considera-se valores médios para as forças de

colisão considerando-se uma distribuição m

axwelliana de v

9-20Fig. 5.1 – M

aciel – p. 131

9-21

Colisão ou em

issão?●

Considerando

-transição 3P

1,2 – 1D2 do O

III (4959/5007 Å)

-T = 10.000 K

-ne ~ 10 4 cm

-3

-γkj ~ 3.7 10 -8 cm

3 s -1 -

ne γkj ~ 3.7 10 -4 s -1

-A

kj ~ 0.027 s -1

Portanto, desexcitação sera radiativa!

A m

aior parte da emissão das

nebulosas fotoionizadas dá-seem

linhas nebularesFig. 5.2 – M

aciel – p. 133

9-22

Tab. 5.1 – Maciel – p. 130

9-23

Fig. 5.2 – Maciel – p. 133

9-24

Excitação colisional do H

em regiões H

IL

inha de 21cm●

excitação dos níveis hiperfinos do H●

em regiões H

I colisão com H

é mais im

portante que com e-

●coeficientes de desexcitação (Tab. 5.3 – M

aciel – p. 134)●γjk = 2.2 10 -10 cm

3s -1

-calculado a partir da relação entre taxas

●nH γkj ~ 10 -10 – 10 -8 s -1

-considerando nH

entre 1 e 100 cm- 3 (típicos de região H

I)●

Akj ~10 -15 s -1

●A

ssim, nH γkj >> A

kj

-um

exemplo de processo onde colisão é im

portante

Nesse caso, podem

os considerar as populações dadas pela eq. de

Boltzm

ann?

9-25

Tab. 5.3 – Maciel – p. 134

9-27

A equação de equilíbrio estatístico pode ser usada para determ

inar os coeficientes de desvio do ET

9-28

Átom

os com 2 níveis

●C

omo fica a equação de equilíbrio estatístico para:

-um

átomo de 2 níveis: 1(inferior) e 2 (superior);

-colisões com

e-(se a colisão m

ais importante for com

outrapartícula, apenas se m

uda a densidade correspondente)

n1 n

e 12

B12 U

=n

2 ne

21 B

21 U

n2 A

21

n2

n1 =

ne

12 B

12 U

ne

21 B

21 U

A21

9-29

●

Usando a eq. de B

oltzmann com

os coeficientes de desvio erelação entre os coeficientes de Einstein, tem

os que:

●A

ssim, b2 /b1 depende de:

-Uν

-A

21

-γ21

-ne

b2

b1 =

ne

21

A21

e

h/kTc

3U

8

h

3

1

ne

21

A21

c

3U

8h

3

9-30

Aplicação para um

campo de radiação de

Planck●

Considerando um

campo de radiação dado por

-W

B(T

r )corpo negro diluído pelo fator W

U =

8h

3

c3

We

h/K

T−1

b2

b1 =

ne

21

A21

W

eh/kT

eh/kT−

1

1n

e 21

A21

W

eh

/kT−

1

Assim

:!

9-31

●

Valores típicos para taxas de colisões em

regiões com T entre

100 e 10.000 K são:

-γ21 ~ 10 -7 – 10 -6 cm

3s -1 -

ne < 10 4 cm-3 (regiões internuvem

, difusas e HII)

✔se transições são permitidas (A

21 ~ 10 8 s -1), temos:

✔γ21 ne << A

21✔nesse caso, poucos átom

os estão no nivel superior(b2 << b1 ) e cada excitação colisional correspondea um

decaimento radiativo

9-32

●

Para transições ópticas e emnuvens difusas, o cam

po deradiação no M

I pode ser expresso pelos coeficientes: -

W = 10 -14 e T

r = 10.000 K (W

: fator de diluição)

●N

esse caso, os termos envolvendo

Uν são desprezíveis e:

●Se γ21 ne >> A

21 (colisões dominam

)✔

●Se γ21 ne << A

21 (decaimento radiativo dom

ina)✔

b2

b1 =

1

1+A

21

ne γ

21

b2

b1 =

1

b2

b1 =

ne γ

21

A21

∝ n

e (<<

1)

Transições no óptico

ETE

9-33

✔se transições são proibidas (A

21 ~ 10 -2 -

10 -3s -1),

temos:

✔✔nesse caso, população do nível superior atingevalores da ordem

de 1 a 10% do caso ET

ne

21

A21

≈0.01−

0.1

9-34

Transições em

rádio●

Cam

po de radiação no MI em

rádio:-

W =1 e T

b = 2.7 K-

considerando hν/kT << 1

●que perm

ite expressar a relação das populações dos níveiscom

o:

b2

b1 =

ne

21

A21

1

h/kT

b

h/kT

b

1n

e 21

A21

1

h/kT

b

nj

nk =

gj

gk exp −

Ejk

kT

ex T

ex =T

xTb

1x

comx=

A21

nc

21

kTh

9-35

●

Linha do H em

21cm-

x ~ 4 10 -4 T/nH-

em nuvens frias

✔T < 100 K e nH > 0.1 cm

-3✔assim

, x << 1✔T

ex = T-

en nuvens quentes✔T ~ 10.000 K✔assim

, x ~ 1✔T

ex ≠ T

9-36

●

Linha do CO

em 2.6m

m-

x ~ 1 10 3 T/nH2

✔assim, so em

nuvens densas Tex = T

●população do nível fundam

ental que dá origem a linha

interestelar de absorção do CN

✔x >> 1✔T

ex = Tb = 2.7 K

9-37

Átom

os com 3 níveis

●níveis de energia: 1, 2 e 3

●transições entre 2 e 3 desprezadas

●transições radiativas induzidas desprezadas

●colisões apenas com

elétrons

I31

I21 =

n3 A

31 hv31

n2 A

21 hv21

I31

I21 =

g3 A

31 v31

g2 A

21 v21[ 1

A21

ne

21

1A

31

ne

31 ] e−

E23 /k

T permite determ

inar ne e T

9-38

●

Com

relação às densidades eletrônicas, temos dois casos:

-ne >> 1

-ne << 1

I31

I21 =

13

12

31

21

I31

I21 =

n3 *

n2 *

A13

A12

31

21

9-39

SII em nebulosas planetárias

●D

iagrama de energia energia ~ a O

II (Fig. 5.1 – Maciel – p.

131)●

Considerando:-

equação sem aproxim

ação em ne

-λ(2,1) = 6730.8 Å

e λ(3,1) = 6716.4 Å-

A21 = 8.8 10 -4 s -1 e A

31 = 2.6 10 -4 s -1 -

calcula-se as taxas de colisão a partir da força de colisão-

T = 10.000 K●

É possivel calcular ne !-

No caso de N

GC

3132, onde a razão de linhas é 0.89,tem

os-

ne = 620 cm-3

9-40

Ver aula 5 de M

ichiel Hogerheijde

Ele apresenta gráficos e expressõesfinais para algum

as situações.

http://home.strw

.leidenuniv.nl/~michiel/ism

class_files/ism10_lecture5.pdf

9-41

Outros processos de excitação

●A

lém de excitações colisional e radiativa, vista nos slides

anteriores, podemos excitar níveis pelos seguintes processos

-recom

binação radiativa

-recom

binação dieletrônica✔íon + elétron

átomo com

1e- em nível excitado

✔energia em excesso excita elétron

✔cascateamento para níveis inferiores

✔importante se T > 10.000 K

✔se T < 10.000 K, energia cinética não é suficiente

para excitar e- interno

9-42

-

Povoamento por em

issão de 2 fótons✔quando

a transição

para um

nível

inferior não

épossível, pode ocorrer a em

issão de dois fótons cujasom

a de energias seja Ejk

✔Ex.: recombinação do H

✔importante em

NP

-Excitação por bom

beamento de fótons

✔Ex.: molécula do H

2

-Excitação por reações de troca de carga

✔A + B

+ A

+ + B*

A+ + B

+ hν