อัตราส่วนตรีโกณมิติ 1

เอกสารประกอบการบรรยาย

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP ◙ โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด

◙ ภาควชาคณตศาสตร

มหาวทยาลยขอนแกน

อ.วฒนา เถาวทพย

8/

ระดบมธยมศกษาตอนปลาย ประกอบสาระการเรยนร เพมเตม

(Trigonometry Functions)

ฟงกชนตรโกณมต

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด ระดบมธยมศกษาปท 5 หนา 1

เรอง ฟงกชนตรโกณมต [Trigonometric Function] ดร.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 1

2 ฟงกชนตรโกณมต (Trigonometric Functions)

สรปเนอหา วงกลมหนงหนวย (Unit Circle) มสมการเปน 2 2 1x y

1. ฟงกชนไซน และ โคไซน (Sine and Cosine) 2. คาของฟงกชนไซน และ โคไซน (Sine and Cosine)

Who is the

founder of

Trigonometry?

Hipparchus !

(125 BC.)

Ptolemy (C.100-

178) credits him

with a number of

ideas in

Trigonometry

and Astronomy.

การวดความยาวของสวนโคง ให แทนความยาวสวนโคงทวดจากจาก (1,0) โดยท 0 เมอวดทวนเขมนาฬกา 0 เมอวดทวนเขมนาฬกา 0 เมอความยาวสวนโคง 0 หนวย

นยาม ให ( , )x y เปนจดปลายของความยาวสวนโคงทยาว หนวย ก าหนดฟงกชน sine และ cosine ดงน sin y

cos x จาก 2 2 1x y จะได 2 2cos sin 1

(1,0)

( , )x y

(1,0)

sin0 .......

cos0 .......

sin .......2

cos .......2

sin .......

cos .......

sin 2 .......

cos2 .......

sin 2 .......n

cos2 .......n

sin .......6

cos .......6

sin .......4

cos .......4

sin .......3

cos .......3

sin .......

cos .......



◙ Names of set of

number:

I : Positive Integer

I : Negative Integer

I : Integer

N : Natural Number

P : Prime Number

Q : Rational Number

R : Real Number

◙ Some of the most

beautiful mathematical

formulas:

9 The roots of a quadratic

equation :

2 0ax bx c

10 The golden ratio:

1 5

2

11 Imaginary numbers:

1i

☼ How to prove that

คาของฟงกชนไซน และ โคไซน ของจ านวนจรงใดๆ สามารถแทนดวยจ านวนจรงทอย

ในชวง 0 ถง 2

ได โดยใชสมบตทส าคญดงตอไปน

1. sin( ) sin cos( ) sin

2. sin sin(2 ) sinn cos cos(2 ) cosn

3. sin sin( ) sin เมอ 02

cos cos( ) cos เมอ 02

4. sin sin( ) sin เมอ 02

cos cos( ) cos เมอ 02

5. sin sin(2 ) sin เมอ 02

cos cos(2 ) cos เมอ 02

3. ฟงกชนตรโกณมตอนๆ บทนยาม ส าหรบจ านวนจรง ใดๆ ก าหนดฟงกชน tangent , secant , cosecant , cotangent ตามล าดบดงน

sintan

cos

เมอ cos 0

1sec

cos

เมอ cos 0

1csc

sin

เมอ sin 0

coscot

sin

เมอ sin 0

ความสมพนธระหวางฟงกชนตรโกณมตตางๆ

1. 1

cottan

เมอ tan 0 หรอsin 0

2. 2 21 tan sec เมอ cos 0

3. 2 21 cot csc เมอ sin 0



True or False?

1. sin( ) sin

2. cos( ) cos

.

sin cos tan csc sec cot 0 ……. ……. ……. ……. ……. …….

6

……. ……. ……. ……. ……. …….

4

……. ……. ……. ……. ……. …….

3

……. ……. ……. ……. ……. …….

2

……. ……. ……. ……. ……. …….

Ex. จงหาคาของฟงกชนตรโกณมต ตอไปน 25

sin .......4

35

sin .......4

25cos .......

6

25

cos .......6

125tan .......

3

2008

sec .......3

4. ฟงกชนตรโกณมตของมม การวดมมทนยมใชกนม 2 แบบ

1. องศา (Degree) ก าหนดโดย มม 1 องศา หมายถงมมทเกดจากการแบงมมรอบจดออกเปน 360 สวนเทาๆกน

2. เรเดยน (Radian) มมทจดศนยกลางของวงกลมรศม r ทรองรบโคงทยาว

a หนวย ก าหนดใหมขนาด a

r เรเดยน

ความสมพนธระหวางการวดมมทงสองแบบคอ 2 เรเดยน = 360 องศา ขอสงเกต ในวงกลมหนงหนวย มมทจดศนยกลางทรองรบดวยเสนโคงทยาว หนวย ยอมมขนาด เรเดยน พอด ดงนน ในวกลมหนงหนวย อาจหมายถงความยาวของสวนโคง หรอ ขนาดของมมทวดแบบเรเดยน กได

Ex. จงหาคาของฟงกชนตรโกณมต ตอไปน 225

sin .......4

sin390 .......

53cos .......

6

cos765 .......

217tan .......

3

sec840 .......



True or False?

1. sin( ) sin

2. cos( ) cos

ฟงกชนตรโกณมตของมมของรปสามเหลยมมมฉาก ให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากโดยม ˆ 90ACB ดงรป โดยอาศยสมบตของสามเหลยมคลาย จะไดวา

sina opposite

Ac hypotenuse

cscc hypotenuse

Aa opposite

cosb adjecent

Ac hypotenuse

secc hypotenuse

Ab adjecent

sina opposite

Ab adjacent

cotb adjacent

Aa opposite

Ex1. จงพสจนทฤษฎบทของพธาโกรส โดยใชฟงกชนตรโกณมต

Ex2. ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากโดยม ˆ 90ACB ถา 4AC และ ˆ 30A จงหาความยาวของ AB และ BC

Ex3. ABC เปนรปสามเหลยมทม A เปนมมแหลม และ 7sin

12A จงหาคาของ

ฟงกชนตรโกณมตอนๆ 5. การใชตารางคาของฟงกชนตรโกณมต

ในตารางคาของฟงกชนตรโกณมต จะมเฉพาะมมทอยในชวง 0 ถง 90 หรอ 0

เรเดยน ถง 2

เรเดยน เทานน เพราะ มมทมขนาดโตกวาน เราสามารถใชสมบตของ

ฟงกชนตรโกณมตทกลาวมา หาคาของฟงกชนตรโกณมตของมมทอยในชวงดงกล าวแทนไดเสมอ

C A

B

c a

b

C A

B

c a

b



6. กราฟของฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนตรโกณมตทกฟงกชนเปนฟงกชนคาบ

(Period Function) เรยกชวงยอยทสนทสดทกราฟเหมอนกนวา คาบ (Period) ส าหรบฟงกชนทเปนคาบซงมคาต าสด และ สงสด จะเรยกคาทเปนเครงหนง

ของคาสงสด ลบดวยคาต าสดของฟงกชนวา แอมปลจด(Amplitude) Ex1. เขยนกราฟของ siny x พรอมทงระบ โดเมน เรนจ คาบ และ แอมปลจด

Ex1. เขยนกราฟของ sin 2y x พรอมทงระบ โดเมน เรนจ คาบ และ แอมปลจด

Ex1. เขยนกราฟของ 2siny x พรอมทงระบ โดเมน เรนจ คาบ และ แอมปลจด

Ex1. เขยนกราฟของ 2sin3y x พรอมทงระบ โดเมน เรนจ คาบ และ แอมปลจด

Ex1. เขยนกราฟของ cosy x พรอมทงระบ โดเมน เรนจ คาบ และ แอมปลจด

Ex1. เขยนกราฟของ 2sin3y x พรอมทงระบ โดเมน เรนจ คาบ และ แอมปลจด



True or False?

1. sin 2 2sin cos

2. cos2 2cos sin

7. ฟงกชนตรโกณมตของผลบวก และ ผลตางของจ านวนจรง หรอ มม มสตรทส าคญ

ดงตอไปน 1. cos( ) cos cos sin sin 2. cos( ) cos cos sin sin

3. cos( ) sin2

4. sin( ) cos2

5. sin( ) sin cos cos sin 6. sin( ) sin cos cos sin

7. tan tantan( )

1 tan tan

8. tan tantan( )

1 tan tan

9. 2sin cos sin( ) sin( ) 2cos sin sin( ) sin( ) 2cos cos cos( ) cos( ) 2sin sin cos( ) cos( )

10. sin sin 2sin cos2 2

sin sin 2cos sin2 2

cos cos 2cos cos2 2

cos cos 2sin sin2 2

11. sin 2 2sin cos 2 2cos2 cos sin

2cos2 2cos 1 2cos2 1 2sin

2

2 tantan 2

1 tan

ควรอยางยงทนกเรยน ....จะตองท าความเขาใจทมาของสตรเหลานใหไดทงหมด แลวฝกน าไปใชในการแกปญหาจากโจทยตางๆ เพอทจ าสตรเหลานไดอยางแมนย า



True or False?

1. 2 2sin cos 1

2. 2 2sec tan 1

3. 2 2csc cot 1

9. ตวผกผนของฟงกชนตรโกณมต ตวผกผน (Inverse) ของฟงกชนตรโกณมต กอาศยหลกการของการหาตวผกผนของฟงกชนโดยทวไป ซงตวผกผนของฟงกชนใดๆจะมสมบตเปน ฟงกชน กตอเมอ ฟงกชนนนจะตองเปนฟงกชนแบบ 1-1 และ โดเมน และเรนจของ ฟงกชนใดๆ กบตวผกผนของมนจะสลบกน ซงในฟงกชนตรโกณมตทส าคญ มขอสรปดงน

ฟงกชน โดเมน เรนจ ตวผกผนของฟงกชน

siny x 2 2

x x

1 1y y arcsiny x

cosy x 0x x 1 1y y arccosy x

tany x 2 2

x x

R arctany x

Ex. จงหาคาตอไปน

1. 1sin(arcsin( ))

2

2. 1tan(arcsin( ))

3

3. tan(arcsin(cos ))6

4. เอกลกษณ และ สมการตรโกณมต สมการตรโกณมต โดยทวไปการแทนคาของตวแปรอาจเปนจรง หรอไมกได ถาสมการตรโกณมตใดทเปนจรงส าหรบทกจ านวนจรงในเอกภพสมพทธ เราจะเรยกวา เอกลกษณตรโกณมต และในการศกษาในหวขอนจะฝกทกษะในการแกสมการตรโกณมต และพสจนเอกลกษณตรโกณมต เชน เอกลกษณตรโกณมตพนฐาน 1. 2 2sin cos 1 2. 2 21 tan sec 3. 2 21 cot csc 4. sin( ) sin 5. cos( ) cos 6. cos( ) cos cos sin sin 7. sin( ) sin cos cos sin



11. กฎของไซน และ โคไซน สมบตของฟงกชนตรโกณมต ตามสตร หรอ กฎตอไปนจะเปนเครองมอทจะน าไปชวยหาขนาดของมม และ ดานของรปสามเหลยม ตอไป

กฎของโคไซน (Law of Cosine) ในรปสามเหลยม ABC ใดๆ ถา , ,a b c เปนความยาวของดานตรงขามมม , ,A B C ตามล าดบ จะไดวา

2 2 2 2 cosa b c bc A 2 2 2 2 cosb a c ac B 2 2 2 2 cosc a b ab C กฎของไซน (Law of Sine) ในรปสามเหลยม ABC ใดๆ ถา , ,a b c เปนความยาวของดานตรงขามมม , ,A B C ตามล าดบ จะไดวา

sin sin sinA B C

a b c

Ex1. ในสามเหลยม ABC ถา ˆ 30A , 16a และ 24b จงหาขนาดของ B Ex2. ในสามเหลยม ABC ถา ˆ 60A , 40b และ 60c จงหา a Ex3. รปสเหลยมดานขนานรปหนง มขนาดของมมมมหนงเทากบ 135 องศา ดานประกอบมมนยาว 5 และ 10 เซนตเมตร จงหาความยาวของเสนทแยงมมทสน

12. การหาระยะทาง และ ความสง ในการวดระยะทางและความสง บางครงเราอาจจะวดโดยตรงไมได แตเราสามารถแกปญหาไดโดยใชฟงกชนตรโกณมต เชน กฎของไซน และ กฎของโคไซน

Ex1. ก. ยนดเสาธงเปนมมเงย 15 แตเมอเดนตรงเขาไปอก 60 เมตร เขามองเหนเสาธงเปนมมเงย 75 ถา ก. สง 150 เมตร จงหาความสงของเสาธง Ex2. เรอสองล าแลนออกจากจด O พรอมกน โดยเรอล าหนงแลนไปยงจด A เปนระยะ 6 กโลเมตร อกล าหนงแลนไปยงจด B เปนระยะ 4 กโลเมตร ถามมทเรอสองล าแลนออกจากกนเปนมม 30 จงหาระยะระหวางจด A กบจด B



◙ ตวอยางขอสอบททาทายเรองฟงกชนตรโกณมต

1. ขอใดตอไปนถก

1. sin cos เมอ 23

2

2. ถา 0 2

และ cos = 0.8 แลว sec + cosec = 1235

3. ถา cos = 0.56 แลวจดปลายสวนโคงทยาว หนวย จะอยในควอดรนตท 1 และ

ควอดรนตท 2

4. cos 4

+ sin 4

= sin 2

2. ถา 23

และ tan = 512

แลว ขอสรปใดตอไปนเปนจรง

1. sin – cos = 137

2. cot – csc = – 32

3. sec – csc = – 6091

4. sec – cos = 65144

3. วงกลมวงหนงมรศม 2 หนวย และมจดศนยกลางอยทจดก าเนด วดระยะทางไปตามสวนโคง ในทศทางทวนเขมนาฬกา จากจด (2 , 0) ไปยาว หนวย จดปลายของสวนโคงนอยบนเสน

ตรง x = –1 ใน

ควอดรนตทสอง คาของ sin – sin 2 เทากบ

1. 3 2. – 3

3. 23

4. 23

4. วงกลมวงหนงมรศม 4 หนวย และมจดศนยกลางอยทจดก าเนด ให เปนระยะทางทวดไป

ตามสวนโคงของวงกลมในทศทางทวนเขมนาฬกาจากจด (0 , 4) ไปยงจดปลายทอยบนเสน

ตรง y = x31

ในควอดรนตท 2 (นนคอ 0) และให เปนระยะทางทวดไปตาม

สวนโคงของวงกลม ในทศทางตามเขมนาฬกาจากจด (4 , 0) ไปยงจดปลายทอยบนเสนตรง

y = x31

ในควอดรนตท 4 นนคอ ( 0 ) ดงนน cos ( + ) มคาเทากบเทาใด

1. – 21

2. 0

3. 1 4. 23



5. จากรปก าหนดใหรศมของวงกลมเทากบ 2 หนวย และ OABC เปนสเหลยมผนผา พนท

ของรปสวนทแรเงาเทากบขอใดตอไปน

1. – 3 ตารางหนวย

2. – 23

ตารางหนวย

3. – 43


4. – 233


6. ให a , b เปนคาคงท และ f(x) = a sin x + bx cos x + 2x ส าหรบทกคา x R

ถา f(2) = 3 แลว f(–2) เทากบคาในขอใดตอไปน

ก. –3 ข. –1

ค. 1 ง. 5

7. สดายนอยทางทศตะวนออกของตกหลงหนง มองเหนยอดตกเปนมมเงย 45 จากจดนสดาเดน

ไปทางทศใตเปนระยะ 100 เมตร จะมองเหนยอดตก (ทต าแหนงเดม) เปนมมเงย 30 ความ

สงของตกเทากบขอใดตอไปน

ก. 100 ข. 50 2

ค. 50 3 ง. 3100

8. พนทภายในวงกลมรศมยาว 1 เมตร ถกแบงออกเปน 2 สวนดวยคอรดยาว 1 เมตร พน

ทสวนนอยของวงกลมเทากบขอใดดงตอไปน

ก. 2

– 83

ตร.เมตร ข. 2

– 43

ตร.เมตร

ค. 6

– 83

ตร.เมตร ง. 6

– 43

ตร.เมตร

9. ให A = { 1n

| n เปนจ านวนนบ } และ f(x) = sin x เมอ x A ขอสรปใดตอไปน

เปนเทจ

1. ม a , b A ซง f(a) = 2 f(b) 2. ม a A ซง f(a) = 0

3. f เปนฟงกชนหนงตอหนง 4. f(x) 0 ทก x A

10. ก าหนดให f(x) = xcos2 + cos x เมอ 0 x 2 ขอใดตอไปนถก

1. ถา 0 x แลว f(x) = 2 cos x

2. ถา x 2 แลว f(x) = 2 cos x

3. ถา 2

x 23

แลว f(x) = 0

4. ถา 23

x 2 แลว f(x) = 0

B

C O

A

60



11. { cos A | 0 A 34

และ 5 – 3 sin 3A มคามากทสด } เปนสบเซตของเซตในขอใดตอ

ไปน

1. { – 21

, 0 , 23

} 2. {– 23

, – 21

, 0 }

3. { 0 , 21

, 23

} 4. {– 23

, 21

, 23

}

12. – 2sin 1 + 2sin 2 – 2sin 3 + . . . – 2sin 89 + 2sin 90 มคาเทากบเทาใด

13. ก าหนดให 0 2 เซตค าตอบของอสมการ

21sin

coscos

2

0 เปนสบเซต

ของขอใดตอไปน

1. ( 0 , 3π

) 2. ( 3π

, 65π

)

3. ( 0 , 4π

) ( 65π

, ) 4. ( 6π

, 2π

) ( 43π

, 23π

)

14. ถา 1F และ 2F เปนโฟกสของวงร 0 23x2y3x 22 และ )5 ,4(P เปนจดซงอยบนวงรน

แลวคาของ cos( 2^

1 FPF ) เทากบขอใดตอไปน

1. – 91 2. – 7

1

3. 43 4. 5

3



เฉลยขอสอบ Entrance วชาคณตศาสตร 1 เรองตรโกณมต

ป 20 1. ค 2. จ ป 21 1. ง ป 23 1. ง ป 24 1. ก 2. ข 3. ค

ป 25 1. ค ป 27 1. 2

ป 28 1. 3 ป 29 1. 1

ป 30 1. 1 ป 31 1. 1

ป 34 1. ง 2. ข ป 35 1. ง ป 39 1. 2 2. 3 ป 43 (ตลาคม 2542) 1. 2

ป 45 (มนาคม 2545) 1. 0.5 2. 4 ป 48 (ตลาคม 2547) 1. 1

Documents

อัตราส่วนตรีโกณมิติ 1