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第 5 章 仕入計画p.69-98

追加：　Ｅｘｃｅｌソルバーによる線形計画法の解法

2

Operations Research線形計画法

P74-78

3

1. 線形計画法の意味• 利益の最大を求めたり、在庫費用の最小を

求めるために、条件を連立一次方程式や連立一次不等式の形で表すことを線形計画法という。

• 線形計画法（ Linear Programming : LP ）　　 Linear ・・・直線の　線形　一次　　 Programming ・・・計画　計画法　　⇒すべての式が一次式で表される計画問

題

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2-1. 線形計画法の問題　①例題 5-1 　　新店舗 3 階には家具売り場を設置する予定で

ある。この売り場で、 3 月の卒業シーズンに備えて、新社会人向けの陳列コーナーを設けようとしているものとする。仕入れる商品は、ベッドと洋服ダンスの 2 種類とし、これらの商品を100 ㎡のスペースに陳列する計画である。なお、今回の仕入れに使える資金は、 240 万円を限度とする。

　 　限られた陳列スペース（ 100 ㎡）と仕入れ予算（ 240 万円）とを有効に活用し、できるだけ大きな利益を上げるためにはそれぞれ何台ずつ仕入れると良いだろうか。

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2-1. 線形計画法の問題　②　• 例題 5-1 の条件をまとめると次のようになる

　　　　　　ベッドの仕入台数・・・　　　洋服ダンスの仕入台数・・・

x

ベッド(x)

洋服ダンス(y)

陳列スペースおよび仕入予算の制約

陳列スペース（１台あたり） 2 ㎡ 1 ㎡ 100 ㎡

仕 入 価 格 （ 1 台あたり） 3 万円 6 万円 240 万円

利 益 (1 台あたり） 2 万円 3 万円

yx

6

3-1 　問題の定量化　目的関数• 利益を求める式

　ベッドの 1 台あたりの利益は 2 万円→ 2 ｘ　洋服ダンスの 1 台あたりの利益は 3 万円→ 3 ｙ　利益の合計を z とすると、利益を求める式は　次のようになる。

　 利益の合計を大きくすることが目的なので、　 この式は目的関数と呼ばれる。

zyx 32

y

7

3-2 　問題の定量化　制約条件式• 陳列スペースの式

　ベッドの 1 台あたりの陳列スペースは 2 ㎡→ 2ｘ

　洋服ダンスの 1 台あたりの陳列スペースは 1 ㎡→ｙ

　陳列スペースの合計は 100 ㎡以内でなければならないので、陳列スペースの式は次のようになる。

　 制約や条件がついた式を、制約条件式と呼ぶ。

1002 yx

8

3-3 　問題の定量化　制約条件式• 仕入予算の式

　ベッドの 1 台あたりの仕入価格は 3 万円→ 3 ｘ　洋服ダンスの 1 台あたりの仕入価格は 6 万円→

6 ｙ　仕入代金の合計は 240 万円以内でなければなら

ないので、仕入予算の式は次のようになる。

　 ベッドと洋服ダンスの仕入台数ｘ，ｙは負の値をとることはないので、非負変数と呼ばれる。

24063 yx

9

4-1 　問題のグラフ化• 家具売り場の仕入問題は次のようにまとめることができ

る。　　

の値を求める。、（最大にする）ようなきくするの値を、できるだけ大で表される目的関数

③　 　 　

の制約条件式のもとで②　 　

①　 　

）について（　非負変数

yx

z

zyx

yx

yx

yxyx

,

32

24063

0102

0,0,

10

4-2 グラフの設定グラフの設定　 変数がｘ（ベッドの仕

入台数）とｙ（洋服ダンスの仕入台数）の 2つなので、横軸をｘ、縦軸をｙとしてグラフを作る。

　

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4-3 　陳列スペースの式のグラフ化

• 陳列スペースの式のグラフ化　

この式は 1 次式なのでグラフが横軸と縦軸に交わる点を結ぶ直線となる。Ｘ軸との交点は、 y=0 として、　　　　 2x+0=100　　　　　　 x=50次に、ｙ軸との交点は、 x=0 として、　　　　　 0+y=100　　　　　　 y=100 この二つの点、 (50,0) と (0,100) の直線 で結ぶとグラフのようになる。 不等式の範囲を示すと網掛けの部分になる。

1002 yx

12

4-4 　仕入予算の式のグラフ化• 仕入予算の式のグラフ化　

Ｘ軸との交点は、 y=0 として、　　　　 3x=240　　　　　 x=80次に、ｙ軸との交点は、 x=0 として、　　　 0+6y=240　　　　　 y=40 この二つの点、 (80,0) と (0,40) の直線 で結ぶとグラフのようになる。不等式の範囲を示すと網掛けの部分になる。

24063 yx

13

4-5 　実行可能領域の指定陳列スペースのグラフと仕入予算のグラフを合わせるとグラフのようになる。この二つのグラフの両方の制約条件を満たす範囲は、 OABCで囲まれた範囲（線上も含む）となる。この範囲のことを実行可能領域という。利益を最大にする仕入計画を考えるためにはグラフ上でこの実行可能領域を調べばよい。

14

線形計画法（ P79 ～ 84 ）

Ｈ１０３０６１常盤　真由子

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グラフによる最適解の求め方

　　　　　　　　　　グラフ上で利益が最大になる仕入計画を考える

制約条件式　・陳列スペースの式　　　 ・・・ 2x + y ≦

100　・仕入予算の式　　　 ・・・ 3x + 6y ≦

240（ OABC ＝実行可能領域）

例題 5 － 1 より

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利益を求める式のグラフ化

・利益が 80 万円の式（ 2x + 3y = 80 ）・利益が 100 万円の式（ 2x + 3y = 100 ）・利益が 140 万円の式（ 2x + 3y = 140 ）・利益が 160 万円の式（ 2x + 3y = 160 ）

点Ｂを境にしてそれ以上に利益を大きくすると実行可能領域から出てしまう。

・利益を求める式（目的関数）・・・　 2x + 3y = z

点Ｂのときの仕入計画が利益を最大にする案である

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利益を最大にする仕入計画

　点Ｂは陳列スペースの式と仕入れ予算の式の　交点であるため、連立一次方程式で解くことが　できる。　　　　　・ 2x + y = 100　　　　　・ 3x + 6y =240 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 x=40 y=20　　　　　　　　　　　　　　　　　 ↓代入　　　　　　　　　　　　　　　　　・ 2x + 3y = z 　　　

　 z=140

利益を最大にする仕入計画　　　　　ベッド 40 台・洋服ダンス 20台　　　　　　　　　　　　　　　　最大利益 140 万円

　　　　　

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グラフ解法

• グラフによる線形計画法の問題を実際に解くには、通常、実行可能領域を現す多角形の頂点（端点）が、その解（端点解）となるため、表を作成して答を求めることが多い。

端点 座標（ x 　 , 　y ） z

O (0 , 0) 0

A

C

(0 , 40) 120

(50 , 0) 100

(40 , 20) 140(40 , 20) 140BB

z = 2x + 3y （目的関数）

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コンピュータを使ったグラフの作成

例題５－２　表計算ソフトを使って例題５－１のグラフを作成し

なさい

〔処理条件〕・入力するデータは文字列データとベッドの仕入れ台

数の数値データのみとし、それ以外は表計算ソフトで計算させる。

・ベッドの仕入れ台数は、仕入れ予算の制約条件式（ 3x+6y 240≦ ）から最大でも 80 台なので「 0 ～80 」の数値を入力する。

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表の作成

　 100

　 80

60 　

40 　

20 　

0 　

　 A B C D

1 ＜制限条件式のグラフ＞2

ベッドの仕入台数

洋服ダンスの仕入れ台数

3スペースの制約 予算の制約

4 0

5 10

6 20

7 30

8 40

9 50

10 60 　11 70 　12 80 　13 　

　　14

　 　 　↑「 y = 100 － 2x 」 の式の値

セル (B4)=IF((100-2 ＊ A4) >= 0 ,　　　　　　　　　　　　　　 100-2 ＊ A4 , ””)

　↑「 y = (240 - 3x) / 6 」の式の値

セル (C4)=IF((240-3 ＊ A4)/6 >= 0 , (240-3 ＊ A4)/6 , ””)

40

35

30

25

20

15

10

5

0

IF 関数・・・条件を判断する

@ IF （条件式 , 条件が真のときの処理 , 　　　　　　　　　　　　　　　　　 条件が偽のときの処理 )

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データのグラフ化

　 A B C

1 ＜制限条件式のグラフ＞2 ベッドの

　　仕入台数

洋服ダンスの仕入れ台数

3スペースの制約

予算の制約

4 0 100 40

5 10 80 35

6 20 60 30

7 30 40 25

8 40 20 20

9 50 0 15

10 60 　 10

11 70 　 5

12 80 　 0

22

シンプレックス法

　　　　　　　　　　　　　　　　P85~P９５

　　　　　　　　　　　　H103058 　月岡　健一

　　　　　　　　　　　　H103062 　中川　末吉

　

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シンプレックス法○利益の最大化や在庫費用の最小化を求め

たりする場合、いくつもの変数から求めなければならない場合がある。

→変数が二つの場合、グラフによる解法ができる。

→変数がいくつもあるときにシンプレックス法を用いる。

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シンプレックス法による解法• 例題 5‐1 　新店舗 3 階には家具売り場を設置する予

定である。この売り場で、 3 月の卒業シーズンに備えて、新社会人向けの陳列コーナーを設けようとしているものとする。仕入れる商品は、ベッドと洋服ダンスの 2 種類とし、これらの商品を 100 ㎡のスペースに陳列する計画である。なお、今回の仕入れに使える資金は、 240 万円を限度とする。

　　　　限られた陳列スペース（ 100 ㎡）と仕入れ予算（ 240 万円）を有効に活用し、できるだけ大きな利益を上げるにはそれぞれ何台ずつ仕入れるべきか。

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シンプレックス法による解法

（解説）　　・ベッドの数を x 、洋服ダンスの数を y 、利益の

合計金額を z 、使われていない陳列スペースを u 、仕入れ予算の使い残しをｖとする。

　　　　　　　　　　　等式化 ２ｘ＋ｙ＜＝１００　 ⇒　２ｘ＋ｙ＋ u ＝１００ ３ｘ＋６ｙ＜＝２４０ ⇒　３ｘ＋６ｙ＋ｖ＝２４

０ ２ｘ＋３ｙ＝ｚ　　　　 ⇒　２ｘ＋３ｙ＋０ u ＋

０ｖ＝ｚ

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シンプレックス法による解法

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓

b x y u v

100 2 1 1 0

240 3 6 0 1

2 3 0 0

b x y u v

100 2 1 1 0

240 3 6 0 1

制約条件式の係数と定数項を入力する。⇒

目的関数の式の係数を変数の上に入力する。⇒

27

シンプレックス法による解法

　　　　　　　　　　　　　↓

2 3 0 0

基底変数 b x y u v

u 100 2 1 1 0

v 240 3 6 0 1

2 3 0 0

c 基底変数 b x y u v

0 u 100 2 1 1 0

0 v 240 3 6 0 1

ｂ列の左側に基底変数の列をつくり、 u, ｖを入力　⇒

基底変数の左側にｃ列をつくり、「 0,0 」を入力　⇒

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シンプレックス法による解法

2 3 0 0

c 基底変数 b x y u v

0 u 100 2 1 1 0

0 v 240 3 6 0 1

　 z 0 -2 -3 0 0

シンプレックス基準の計算方法例：　ｘ列｛（ 0×2 ）＋（ 0×3 ）－ 2 ｝＝－ 2

z 行を作成し、シンプレックス基準値を入力↑

29

シンプレックス法による解法

2 3 0 0 　c 基底変数 b x Y↑ u v θ

0 u 100 2 1 1 0 100

[Ａ表]

0 ←v 240 3 6 0 1 40*

　 z 0 -2 -3 0 0 　

θ 列を作成し、 100,40 を入力　↓ｖとｙを入れ替える→

30

オペレーションズリサーチ

経営情報入門 p91 ～ p95

H103058 　月岡健一H103062 　中川末吉

31

軸要素とはき出し計算

　 　 　 2 3 0 0 　

c 基底変数 ｂ ｘ ｙ↑ u ｖ θ

[A 表 ]

0 u 100 2 1 1 0 100 (1)

0 ←ｖ 240 3 ⑥ 0 1 40* (2)

　 z 0 -2 -3 0 0 　

[B 表 ]0 u 60 3/2 0 1 -1/6 　 (3)

3 ｙ 40 1/2 1 0 1/6 　 (4)=(2)÷6

最初に軸要素を「１」にする計算をする。

軸要素とは新たに基底変数に入れる変数の列と基底から外す変数の行とが交差する蘭の数値のことをいう。

軸要素を「１」にするために [A 表 ] の（２）を６で割る。

すると表 [B 表 ] の（４）のようになる。

32

軸要素とはき出し計算

　 　 　 2 3 0 0 　

c 基底変数 ｂ ｘ ｙ↑ u ｖ θ

[A 表 ]

0 u 100 2 1 1 0 100 (1)

0 ←ｖ 240 3 ⑥ 0 1 40* (2)

　 z 0 -2 -3 0 0 　

[B 表 ]0 u 60 3/2 0 1 -1/6 　 (3)=(1)-(4)×1

3 ｙ 40 1/2 1 0 1/6 　 (4)=(2)÷6

この計算で y （洋服ダンスの台数）の値を最大にしたことが示される。この結果 y を「４０」にしたところで v が「０」となって y と v が入れ替わる。次に y 列の他の要素を「０」にすることを考える。つまり y 列 u 行の値を「０」にする。（１）から（４）を引いて（３）の列に書くと表のようになる。

33

軸要素のはき出し計算

　 　 　 2 3 0 0 　

c 基底変数 ｂ ｘ ｙ↑ u ｖ θ

[A 表 ]

0 u 100 2 1 1 0 100 (1)

0 ←ｖ 240 3 ⑥ 0 1 40* (2)

　 z 0 -2 -3 0 0 　

[B 表 ]0 u 60 3/2 0 1 -1/6 　 (3)=(1)-(4)×1

3 ｙ 40 1/2 1 0 1/6 　 (4)=(2)÷6

これらの計算によって x =0, y =40, u =60, v =0 が求められた。ベッドは仕入れず、洋服ダンスを 40 台仕入れ、陳列スペースは60 ㎡使い残し、仕入予算は完全に使い切るという計画が立てられた。

このような基底変数を入れ替えるための計算をはき出し計算という。

34

新しい解の評価

　 　 　 2 3 0 0 　

c 基底変数 ｂ ｘ ｙ↑ u ｖ θ

[A 表 ]

0 u 100 2 1 1 0 100 (1)

0 ←ｖ 240 3 ⑥ 0 1 40* (2)

　 z 0 -2 -3 0 0 　

[B 表 ]0 u 60 3/2 0 1 -1/6 　 (3)=(1)-(4)×1

3 ｙ 40 1/2 1 0 1/6 　 (4)=(2)÷6

　 　 z 120 -1/2 0 0 1/2 　

新しい解が求められたので利益計算をする。C 列と b 列をかけ合わせて合計することで求められる。利益の値は 120 となって b 列 z 行に記入される。次に各変数についてシンプレックス基準を計算する。すると [ 表 B] の z 行のようになる。

35

新しい解の評価

　 　 　 2 3 0 0 　

c 基底変数 ｂ ｘ ｙ↑ u ｖ θ

[A 表 ]

0 u 100 2 1 1 0 100 (1)

0 ←ｖ 240 3 ⑥ 0 1 40* (2)

　 z 0 -2 -3 0 0 　

[B 表 ]0 u 60 3/2 0 1 -1/6 40* (3)=(1)-(4)×1

3 ｙ 40 1/2 1 0 1/6 80 (4)=(2)÷6

　 　 z 120 -1/2 0 0 1/2 　

次に x を基底変数にするので現在の基底変数 u 、 y の中からx と入れ替える変数を決める。b 列の各要素を x 列の各要素で割る計算をする。計算の結果 u 行の値「４０」が最小値となるので x と u で基底変数の入れ替えを行う。

36

新しい解の評価

　 　 　 2 3 0 0 　

c 基底変数 ｂ ｘ ｙ↑ u ｖ θ

[A 表 ]

0 u 100 2 1 1 0 100 (1)

0 ←ｖ 240 3 ⑥ 0 1 40* (2)

　 z 0 -2 -3 0 0 　

[B 表 ]0 ←u 60 3/2 0 1 -1/6 40* (3)=(1)-(4)×1

3 ｙ 40 1/2 1 0 1/6 80 (4)=(2)÷6

　 　 z 120 -1/2 0 0 1/2 　

[C 表 ]2 x 40 1 0 2/3 -1/9 　 (5)=(3)÷3/2

3 y 20 0 1 -1/3 2/9 　 (6)=(4)-(5)×1/2

新しい解を求めるために x 列と u 行が交わる 3/2 を軸要素としてはき出し計算を行う。計算すると図の [C 表 ] のようになる。[C 表 ] の示す新しい解は、ベッドを 40 台仕入れ、洋服ダンスを 20 台仕入れ、そして陳列スペースも予算も使い切るという仕入案を示している。

37

シンプレックス表の完成新しい解にもとずいて再び評価をし、利益が 140 万円と計算される。続いてシンプレックス基準を計算する。[C 表 ] の z 行のようになる。

　 　 　 2 3 0 0 　

c 基底変数 ｂ ｘ↑ ｙ↑ u ｖ θ

[A 表 ]

0 u 100 2 1 1 0 100 (1)

0 ←ｖ 240 3 ⑥ 0 1 40* (2)

　 z 0 -2 -3 0 0 　

[B 表 ]0 ←u 60 3/2 0 1 -1/6 40* (3)=(1)-(4)×1

3 ｙ 40 1/2 1 0 1/6 80 (4)=(2)÷6

　 　 z 120 -1/2 0 0 1/2 　

[C 表 ]2 x 40 1 0 2/3 -1/9 　 (5)=(3)÷3/2

3 y 20 0 1 -1/3 2/9 　 (6)=(4)-(5)×1/2

　 　 z 140 0 0 1/3 4/9 　

38

シンプレックス表の完成z 行のシンプレックス基準をみるとすべての値が「０」かプラスの値になったのでこれ以上基底変数の入れ替えによって利益を大きくすることができないことを示す。したがって x =40 y =20 の仕入案が最大の利益をもたらす最適が計画であるということになる。

　 　 　 2 3 0 0 　

c 基底変数 ｂ ｘ↑ ｙ↑ u ｖ θ

[A 表 ]

0 u 100 2 1 1 0 100 (1)

0 ←ｖ 240 3 ⑥ 0 1 40* (2)

　 z 0 -2 -3 0 0 　

[B 表 ]0 ←u 60 3/2 0 1 -1/6 40* (3)=(1)-(4)×1

3 ｙ 40 1/2 1 0 1/6 80 (4)=(2)÷6

　 　 z 120 -1/2 0 0 1/2 　

[C 表 ]2 x 40 1 0 2/3 -1/9 　 (5)=(3)÷3/2

3 y 20 0 1 -1/3 2/9 　 (6)=(4)-(5)×1/2

　 　 z 140 0 0 1/3 4/9 　

39

Ｅｘｃｅｌソルバーによる線形計画法の解法

参考http://www.kogures.com/hitoshi/webtext/lp-solver/

40

ソルバーアドインのインストール

Excel の「ツール」に「ソルバー」があればすぐに使用できます。なければ次の手順でインストールする。

１．ツール→アドインを選択し有効な

　　アドインを表示する。

２．有効なアドインボックスからソル

　　バーアドインをマークする。

３．その後はシステムの指示に従い、

　　操作する。

41

モデルの作成• Ｅｘｃｅｌで線形計画法の問題を入力する。

• ここでは教科書ｐ７６ページ例題５－１からの家具の陳列に対する線形計画法の数値を使用する。

目的関数

z = 2x + 3y 　→　最大

制約条件

2x + y <= 100 　・・・　①

3x + 6y <= 240 　・・・　②

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Ｅｘｃｅｌでの入力

• Ｅｘｃｅｌを起動して、次のように入力する。

• 各係数、在庫量はそのまま入力する• 求めるべき最適発注量をソルバーでは「変化させるセル」という。• 目的関数の式、制約条件の式を入力する

目的関数z = 2x + 3y 　→　最大

制約条件2x + y <= 100 　・・

・　①3x + 6y <= 240 　・・

・　②

43

目的関数の式

制約条件の式

44

ソルバーでの条件設定ツールからソルバーを起動し

– 目的セルに D3 を選択する。– 変化させるセルに B3 と C3 を選択。– 制約条件を指定するために、「追加」のボタンをクリックして

セル参照に D5 、制約条件に E5 を選択する。 D6 、 E6 についても追加しておく。

45

計算の実行とその結果設定が終了し「実行」ボタンをクリックすると計算が実行され、探索結果が表示される。これにより、最適解での変数の値、最適解での目的関数の値、変数が最適値であるときの制約式の値が示される。

•変化させるセルに，最適解での変数の値が表示されています。 •目的セルに最適解での目的関数の値（最大値）が表示されています。 •制約条件の式に，変数が最適値であるときの制約式の値が表示されています。