УДК 51(038)ББК 22.1я2

M 30

В оформлении переплета использована иллюстрация Т. Бариновой

Во внутреннем оформлении использованы иллюстрации:Lyudmyla Kharlamova, PinkPueblo, pichayasri, Robert Forrest, pichayasri,

mart, arbit / Shutterstock.com Используется по лицензии от Shutterstock.com

Марченко, Ирина Степановна. Математический словарь / И. С. Марченко, М. С. Жубр. — Москва : Эксмо,

2014. — 224 с. : ил. — (Детский иллюстрированный словарь).

ISBN 978-5-699-72537-3

Словарь включает в себя наиболее сложные темы по математике и станет настоящим по-мощником для успешного обучения и самообразования учащихся начальной школы.

Материал изложен последовательно и подробно, доступно и наглядно, что поможет не только быстро найти нужное правило, определение или закон, но и научиться анализировать ин-формацию и применять ее на практике.

Адресовано младшим школьникам, родителям, педагогам.УДК 51(038)ББК 22.1я2

М 30

ISBN 978-5-699-72537-3© Марченко И.С., Жубр М.С., 2014© Оформление. ООО «Издательство «Эксмо», 2014

3

Содержание

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Числа и цифры

Числа и цифры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Счёт от 0 до 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Разряды и классы натуральных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Наименование и обозначение чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Числовая ось . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Римские цифры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Сравнение чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Округление чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Чётные и нечётные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Сложение и вычитание

Сложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Законы сложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Вычитание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Свойства вычитания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Сложение и вычитание на числовой оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Состав числа (первый десяток). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Числа от 11 до 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Таблица сложения натуральных чисел в пределах 20 . . . . . 36Квадрат сложения натуральных чисел в пределах 20 . . . . . 38Сложение и вычитание с переходом через десяток . . . . . . . 39Приёмы устного сложения и вычитания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Письменное сложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Письменное вычитание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Проверка сложения и вычитания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

Умножение и деление

Умножение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Счёт группами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Законы умножения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Деление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Свойства деления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4

Нахождение компонентов деления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Таблица умножения и деления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Таблица Пифагора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Особые случаи умножения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Таблица умножения до 19 × 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Признаки делимости натуральных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Приёмы устного умножения и деления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Письменное умножение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Особые случаи деления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Деление с остатком . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Формула деления с остатком. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Письменное деление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Проверка деления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Среднее арифметическоеСреднее арифметическое. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108108Калькулятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Размеры и меры. Сравнения

Размеры и меры. Сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Меры длины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Меры площади. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Меры объёма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Меры массы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Меры времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Юлианское и григорианское летоисчисление. . . . . . . . . . . . . . . 122Меры стоимости. Деньги. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Именованные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Сложение и вычитание именованных чисел . . . . . . . . . . . . . . . 125Умножение и деление именованных чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . 126Неметрические меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Выражения и неравенства

Выражения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Равенства и неравенства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Решение простейших уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5

Решение задач

Учимся решать задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Простые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Составные задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Задачи на движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Дроби

Дроби. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Сравнение дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Задачи с дробями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Проценты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Основы геометрии

Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Отрезок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198Луч. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Ломаная линия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Окружность, круг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Угол . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Измерение углов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Треугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Четырёхугольники. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208Периметр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210Площадь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Геометрические тела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Прямоугольный параллелепипед . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Задачи по геометрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214История развития геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Множества

Множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Диаграмма Эйлера-Венна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

6

Дорогой друг!

Математика — одна из наиболее важных областей зна-ний современного человека. Для успешного обучения, самообразования просто необходимы логические знания и умения, которые ты приобретаешь в процессе изу-чения этого предмета. Каждая новая школьная тема — это очередная ступенька к знаниям, поэтому ни одной из них нельзя пропускать. То, что ты выучишь сейчас, будет необходимо тебе всю жизнь.Авторы пособия предлагают школьный материал на-глядно и доступно. Выбранная форма подачи материа-ла поможет не только быстро найти нужное правило,определение или закон, но и научиться анализироватьинформацию, применять её на практике.Пособие пригодится тебе при изучении сложных тем, ведь в нём всё объясняется последовательно и подробно.При работе с пособием обращай внимание на услов-ные знаки:

— правило, определение

! — важно, запомни

— пример, задача

Желаем успехов в учёбе!

ЧИСЛА И ЦИФРЫЧИСЛА И ЦИФРЫ

8

!

Числа и цифры

Числа — это единицы счёта. С помощью чисел мож-но сосчитать количество предме тов и определить раз-личные величины (длину, ширину, высоту и т. д.).

Для записи чисел используются специальные знаки — цифры. Цифр десять:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 01 — один 6 — шесть

2 — два 7 — семь

3 — три 8 — восемь

4 — четыре 9 — девять

5 — пять 0 — нуль

Натуральные числа

Числа, которые используются при счёте, называются натуральными.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,1 2 3 4 5 6 7 8 910, 11, 12, 13, 14, 15, 16,

17, 18, 19, 20, …,

1 — самое маленькое число. — самого большогочисла не су ществует. Число 0 (нуль) обозначает отсут-ствие предмета. Нуль не является натуральным числом.

9

ЧИ

СЛ

А

И

ЦИ

ФР

Ы

Счёт от 0 до 10

012345678910

10

!

Разряды и классы натуральных чисел

Для записи чисел применяется десятичная система

счисления. В де сятичной системе счисления пользуются единицами, десятками единиц, десятками десятков — сотнями и т. д. Каждая новая единица счёта больше предыдущей ровно в 10 раз:

Десятичная система счисления — по зици онная. В этойсистеме счисления значение каждой цифры в записи числа зависит от её позиции (места).

Позиция (место) цифры в записи числа называетсяразрядом. Самый младший разряд — единицы. Затем следуют десятки, сотни, тысячи и т. д.

10 раз 10 раз

11

ЧИ

СЛ

А

И

ЦИ

ФР

Ы

Каждые три разряда натуральных чисел образуют класс.

Класс Разряд

Единицы

единицы

1 — один

десятки

10 — десять

сотни

100 — сто

Тысячи

единицы тысяч

1 000 — тысяча

десятки тысяч

10 000 — десять тысяч

сотни тысяч

100 000 — сто тысяч

Миллионы

единицы миллионов

1 000 000 — миллион

десятки миллионов

10 000 000 — миллионов

сотни миллионов

100 000 000 — сто миллионов

12

Наименование и обозначение чисел

В нашем языке принято сокращённое название чисел. Так, десять и один называется одиннадцать (то есть один-на-десять), десять и два — двенадцать (то есть две-на-десять) и так далее.

11 — одиннадцать

12 — двенадцать

13 — тринадцать

14 — четырнадцать

15 — пятнадцать

16 — шестнадцать

17 — семнадцать

18 — восемнадцать

19 — девятнадцать

Два десятка называются двадцать (два-десять), три десят-ка — тридцать (три-десять), четыре — сорок и так далее.

20 — двадцать

30 — тридцать

40 — сорок

50 — пятьдесят

60 — шестьдесят

70 — семьдесят

80 — восемьдесят

90 — девяносто

100 — сто

Две сотни называются двести, три сотни — тристаи так далее.

13

ЧИ

СЛ

А

И

ЦИ

ФР

Ы

200 — двести

300 — триста

400 — четыреста

500 — пятьсот

600 — шестьсот

700 — семьсот

800 — восемьсот

900 — девятьсот

1000 — тысяча

Тысяча тысяч составляет миллион, тысяча миллионов — миллиард, тысяча миллиардов — триллион.

1 000 000 000 — миллион

1 000 000 000 000 — миллиард

1 000 000 000 000 000 — триллион

Чтобы прочитать число, изображённое длинным рядомцифр, например, такое: 6324001734054, мысленно от-деляют в нём справа (например, запятой, поставлен-ной сверху) по три цифры до тех пор, пока можно:

6’324’001’734’054.

Первая справа запятая заменяет слово «тысяча», вто-рая — «миллион», третья — «миллиард», четвёртая —«триллион».Чтобы было удобно читать большие числа, вместо за-пятых оставляют небольшой промежуток:

6 324 001 734 000

6 триллионов 324 миллиарда 1 миллион 734 тысячи.

14

Числовая ось

Числовая ось — это прямая, на которой отображают-ся числа. Для превращения обычной прямой в число-вую ось надо: выбрать направление в сторону увеличения чисел; выбрать начало отсчёта; выбрать величину единичного отрезка.

Устный счёт на числовой оси

При устном счёте на числовой оси каждое следующеечисло больше предыдущего на 1.

0 1

+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Если считать по два, то следующее число будет большепредыдущего на 2.

0 1

+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Если считать тройками, то следующее число будет большепредыдущего на 3. На этой оси показан счёт от 22.

21 22

+ 3 + 3 + 3 + 3 + 3

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

!

15

ЧИ

СЛ

А

И

ЦИ

ФР

Ы

Если считать четвёрками, то следующее число будет боль-ше предыдущего на 4. На этой оси показан счёт от 12.

11 12

+ 4 + 4 + 4 + 4

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

оси. Для удобства можно показать лишь те, что необхо-димы.

На этой оси показан счёт по 5, начиная от 35. Здесь каж-дое последующее число будет больше предыдущего на 5.

35

+ 5 + 5 + 5 + 5

40 45 50 55

На этой оси показан счёт от 0 десятками. Здесь каждоепоследующее число будет больше предыдущего на 10.

0

+ 10 + 10 + 10 + 10

10 20 30 40

На этой оси показан счёт от 0 сотнями. Здесь каждоепоследующее число будет больше предыдущего на 100.

0

+ 100 + 100 + 100 + 100

100 200 300 400

16

Для счёта в сторону уменьшения также можно использо-вать числовую ось.

0 1

– 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0 1

– 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

21 22

– 3 – 3 – 3 – 3 – 3

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

11 12

– 4 – 4 – 4 – 4

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

35

– 5 – 5 – 5 – 5

40 45 50 55

0

– 10 – 10 – 10 – 10

10 20 30 40

17

ЧИ

СЛ

А

И

ЦИ

ФР

Ы!

!

Римские цифры

Римляне употребляли для обозначения чисел толькосемь следующих знаков:

I = 1 V = 5

X = 10 L = 50

C = 100 D = 500

M = 1000

Этот способ записи чисел римляне переняли у этрус ков,которые начали использовать его за 500 лет до нашейэры.В римской нумерации, в отличие от нашей, цифры со-храняют своё значение независимо от того, на каком месте они стоят. Число, написанное римскими цифрами,является суммой всех чисел, выраженных этими цифрами.Например:

XXV = 10 + 10 + 5 = 25

CLXV = 100 + 50 + 10 + 5 = 165

Исключением из этого правила являются только следу-ющие шесть чисел:

4 = IV 9 = IX

40 = XL 90 = XC

400 = CD 900 = CM

В этих числах значение левой цифры вычитается иззначения правой.

18

I = 1 VIII = 8 XX = 20 II = 2 IX = 9 XXIX = 29 III = 3 X = 10 XLII = 42 IV = 4 XI = 11 LXXXIV = 84 V = 5 XII = 12 CCC = 300 VI = 6 XVIII = 18 CM = 900VII = 7 XIX = 19 MMXIV = 2014

Для правильной записи больших чисел римскими цифра-ми необходимо записать сначала число тысяч, затем со-тен, затем десятков и, наконец, единиц.

Число тысяч обозначается так же, как число единиц, тольЧисло тысяч обозначается так же, как число единиц, толь-ко с правой стороны внизу ставят букву m (mille — ты-сяча):

CLXXXmCCCLXIV = 180 364

В русском языке римские цифры используются в следу-ющих случаях:номер века или тысячелетия: XIX век, II тыс. лет до

н. э.; порядковый номер монарха: Карл V, Екатерина II; номер тома в многотомной книге (иногда — номера

частей книги, разделов или глав);маркировка циферблатов часов

«под старину»;важные события или пункты спи-

ска, например: II мировая война,Игры XXII Олимпиады и т. п.;

в химии и некоторых другихслучаях.

19

ЧИ

СЛ

А

И

ЦИ

ФР

Ы

Знаешь ли ты, что...

Привычные цифры, которыми мы пользу-емся, называют арабскими, хотя возникли они давным-давно в Индии.Изначально в Индии использовалась си-стема нумерации, в которой цифры имеливид начальных букв соответствующих чис-лительных на древнеиндийском языке —санскрите. Этими знаками представлялись числа

1, 2, 3, ..., 9, 10, 20, 30, ..., 90, 100, 1000С их помощью записывались все другие числа. Позже при-думали особый знак (жирная точка, кружок) для указанияпустующего разряда. Со временем знаки для чисел, боль-ших 9, вышли из употребления. Таким образом индийскаясистема превратилась в десятичную.К середине VIII в. она проникает и в соседние страны.Толчком к распространению индийской нумерации в араб-ских странах сыграло руководство, составленное в началеIX в. Мухаммедом из Хорезма. В XII в. оно было переведено в Западной Европе на ла-тинский язык, и вскоре эта десятичная система распро-странилась в Италии, а затем и других странах ЗападнойЕвропы. Европейцы, заимствовавшие индийскую нумерациюот арабов, называли её арабской. Это исторически непра-вильное название употребляется доныне.Из арабского языка заимствовано и слово «цифра»(по-арабски «сыфр»), означающее буквально «пустое место».Это слово первоначально употреблялось для наименованиязнака пустующего разряда.За долгое время форма цифр много раз менялась. Совре-менный вид окончательно установился лишь в XVI в.

20

Знаешь ли ты, что...

Южные и восточные славянские народы для записи чисел пользовались нумера-цией, основанной на алфавите. Числовые значения букв у одних славянских народов установились в порядке славянского алфа-вита, у других же (в том числе у русских) роль цифр играли не все буквы, а только

те, которые имеются также в греческом алфавите.Чтобы отличать буквы от цифр, над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок («титло»). При этом числовые значения букв возрастали в том же порядке, в каком следовали буквы в греческом алфавите (порядокбукв славянского алфавита был несколько иным).В России славянская нумерация сохранялась до концаXVII в. Петр I ввёл обязательное использование арабскойнумерации, принятой в Западной Европе, которой мыпользуемся до сих пор. Славянская нумерация сохраня-лась только в богослужебных книгах.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 20 30 40 50 60 70 80 90

100 200 300 400 500 600 700 800 900

21

ЧИ

СЛ

А

И

ЦИ

ФР

Ы

2 < 3

2 = 2

3 > 2

>

<

= =

<

>

Сравнение чисел

Сравнить два числа — значит узнать, какое из нихбольше, а какое — меньше.

Знаки сравнения

равно

(столько же)

меньше

больше