nmetau.edu.ua · УДК 517(07) Кадильникова Т.М., Кагадій Л.П., Кочеткова І.Б., Сушко Л.Ф., Запорожчен-ко О.Є. Вища

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ

Т.М. КАДИЛЬНИКОВА, Л.П. КАГАДІЙ, І.Б. КОЧЕТКОВА,

Л.Ф. СУШКО, О.Є. ЗАПОРОЖЧЕНКО

ВИЩА МАТЕМАТИКА

В ПРИКЛАДАХ ТА ЗАДАЧАХ

Частина V

Дніпропетровськ НМетАУ 2011

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ

Т.М. КАДИЛЬНИКОВА, Л.П. КАГАДІЙ, І.Б. КОЧЕТКОВА,

Л.Ф. СУШКО, О.Є. ЗАПОРОЖЧЕНКО

ВИЩА МАТЕМАТИКА

В ПРИКЛАДАХ ТА ЗАДАЧАХ

Частина V

Затверджено на засіданні Вченої Ради академії

як навчальний посібник. Протокол №15 від 27.12.2010

Дніпропетровськ НМетАУ 2011

УДК 517(07)

Кадильникова Т.М., Кагадій Л.П., Кочеткова І.Б., Сушко Л.Ф., Запорожчен-

ко О.Є. Вища математика в прикладах та задачах. Частина V: Навч. посібник.-

Дніпропетровськ: НМетАУ, 2011.- 88 с.

Наведені докладні рекомендації до вивчення дисцип-

ліни «Вища математика», а саме, розділу «Ряди». Теорети-

чні положення супроводжуються необхідними пояснення-

ми , а також розв’язуванням типових задач. Рекомендують-

ся завдання для самостійної роботи.

Призначений для студентів технічних спеціальностей

всіх форм навчання.

Іл. 5 . Бібліогр.: 5 найм.

Друкується за авторською редакцією.

Відповідальний за випуск А.В. Павленко, д-р фіз.-мат. наук, проф.

Рецензенти:.О.О. Сдвижкова, д-р техн. наук, проф. ( НГУ)

Ю.Я. Годес, канд. фіз.-мат. наук, доц. (ДНУ)

© Кадильникова Т.М., Кагадій Л.П.,

Кочеткова І.Б., Сушко Л.Ф.,

Запорожченко О.Є.

Національна металургійна академія

України, 2011

3

ВСТУП

Дуже важливою формою навчання студентів є самостійна робота над на-

вчальним матеріалом, яка складається з вивчення теоретичних положень за під-

ручником, розгляду прикладів та самостійного розв’язання задач, причому опа-

нування теоретичного матеріалу є необхідною передумовою формування прак-

тичних навичок, але не завжди є цілком достатнім для цього. Вміння

розв’язувати задачі формується виключно шляхом цілеспрямованої та копіткої

самостійної роботи, в тому числі і над аналізом прикладів розв’язання задач, які

наведені у підручниках та навчальних посібниках.

При самостійному розв’язанні задач часто виникають певні утруднення,

які пов’язані або з вибором методу розв’язування задачі, або з суто технічними

особливостями обраного методу. Побороти утруднення другого роду порівняно

нескладно – треба лише систематично працювати, виконуючи всі завдання ви-

кладача, в тому числі й ті, які здаються дуже простими. Вибір методу

розв’язування вимагає більш глибокого аналізу прикладів з метою встановлен-

ня закономірностей, яким підкоряється цей вибір.

Основне призначення цього навчального посібника – допомогти студен-

там технічних спеціальностей подолати ці складності та навчити їх свідомо за-

стосовувати теоретичні знання до розв’язування задач.

У п’ятій частині навчального посібника викладено матеріал з чотирьох

розділів курсу вищої математики: «Числові ряди», «Степеневі ряди», «Застосу-

вання рядів» та «Ряди Фур’є». Основні теоретичні положення, формули та тео-

реми ілюструються докладним розв’язанням великої кількості задач різного рі-

вня складності з їх повним аналізом, в тому числі і щодо вибору методу

розв’язування. Для ефективності засвоєння матеріалу пропонуються завдання

для самостійної роботи, до яких наведені відповіді.

Автори сподіваються, що така побудова посібника надає студентові ши-

рокі можливості для активної самостійної роботи, яка, безумовно, сприятиме

засвоєнню матеріалу при вивченні дисципліни «Вища математика».

4

Розділ 1

ЧИСЛОВІ РЯДИ

1.1. Знакододатні ряди

Якщо 1u ,

2u ,...nu ,...— нескінченна числова послідовність, то вираз

1

21 ......

n

nn uuuu

називається числовим рядом, а величини 1u ,

2u ,...— членами цього ряду.

Побудуємо допоміжну послідовність частинних сум ряду 11 uS ,

212 uuS ,...nn uuuS ...21,... . Якщо ця послідовність має скінчену

границю S , то ряд називається збіжним, а число S — сумою ряду. У випадку,

коли границя не існує або є нескінченною, ряд називається розбіжним.

Якщо всі члени ряду є додатними, то ряд називається знакододатним.

Необхідна умова збіжності числового ряду

Якщо ряд

1n

nu є збіжним, то послідовність його членів прямує до нуля,

тобто 0lim

nn

u .

Наслідок. Якщо 0lim

nn

u , то ряд

1n

nu є розбіжним.

Достатні умови збіжності знакододатних рядів

Ознака порівняння.

Якщо для членів знакододатних рядів справджується нерівність nn vu ,

та ряд

1n

nv є збіжним, то ряд

1n

nu також збігається.

Якщо для членів знакододатних рядів справджується нерівність nn vu ,

та ряд

1n

nv є розбіжним, то ряд

1n

nu також розбігається.

5

Якщо для членів знакододатних рядів має місце умова

;0lim Cv

u

n

n

n,

то ряди

1n

nv та

1n

nu збігаються або розбігаються одночасно.

Найчастіше для порівняння використовується узагальнений гармонічний

ряд (або ряд Діріхле)

1

1

n

pn

. Цей ряд збігається, якщо 1p , та розбігається у

випадку 1p .

Ознака Даламбера.

Ряд

1n

nu збігається, якщо параметр n

n

n u

uD

1lim

менший за 1, та розбі-

гається, якщо це число більше за 1. У випадку 1D поведінку ряду за допомо-

гою ознаки Даламбера визначити неможливо.

Радикальна ознака Коші

Ряд

1n

nu збігається, якщо параметр nn

nuK

lim менший за 1, та розбі-

гається, якщо це число більше за 1. У випадку 1K поведінку ряду за допомо-

гою радикальної ознаки Коші визначити неможливо.

Інтегральна ознака Коші

Нехай загальний член ряду задано рівністю )(nfun , та функція

)(xfy є додатною та спадною на проміжку ;1 . Тоді невласний інтеграл

dxxf

1

та ряд

1n

nu збігаються або розбігаються одночасно.

При розв’язуванні задач доцільно обирати ознаку для дослідження, кори-

стуючись порадами, які наведені у вигляді таблиці.

6

Структура загального члена ряду Рекомендована ознака

Неправильний алгебраїчний дріб

Необхідна умова збіж-

ності

Правильний алгебраїчний дріб;

функції sin , tg , arcsin , arctg , аргумен-

тами яких є правильний алгебраїчний дріб

Ознаки порівняння

knnf ln , 1k Ознака порівняння за

допомогою нерівності

Показникова функція;

факторіал;

факторіальний добуток;

функції sin , tg , arcsin , arctg , нескінчен-

но малі аргументи яких містять наведені

вище елементи

Ознака Даламбера

Степенево-показникова функція;

показникова функція

Радикальна ознака Коші

Будь-яка монотонно спадна функція, інте-

грування якої не вимагає значних зусиль,

наприклад:

n

nf ln ;

n

nf ;

21 n

narctgf

Інтегральна ознака Коші

Зауваження 1. Теоретично дослідження збіжності будь-якого числово-

го ряду повинно починатися з перевірки необхідної умови збіжності. Але ця

процедура досить часто є нетривіальною і, що дуже важливо, не завжди надає

можливість зробити остаточний висновок. Отже, ми будемо вважати за доціль-

не застосовувати необхідну ознаку у тих випадках, коли є обгрунтовані припу-

щення щодо її ефективності.

Зауваження 2. Наведені поради не є обов’язковими, вони лише допома-

гають обрати один з можливих шляхів розв’язування стандартних задач. Біль-

шість задач може бути розв’язана кількома методами.

7

Зразки розв’язання задач

Скласти формулу загального члена nu та знайти

1nu для заданого

числового ряду:

1. 75

7

15

4

3

1

Члени ряду є дробами. Послідовність числівників ,7,4,1 складає ариф-

метичну прогресію з першим членом 1 та різницею 3 , отже, задається з ураху-

ванням формули загального члену арифметичної прогресії 11 ndaan як

131 n = 23 n . Послідовність знаменників ,75,15,3 складає геометри-

чну прогресію з першим членом 3 та знаменником 5 , отже, за формулою зага-

льного члену геометричної прогресії 1

1

n

n qbb задається як 153 n . Таким чи-

ном, загальний член ряду задається рівністю 153

23

nn

nu .

Умову, яка задає 1nu , можна отримати з формули загального члена шля-

хом заміни змінної n на 1n , отже,

nnn

nnu

53

13

53

213111

.

2.

852

9!5

52

4!3

2

1!1

Члени ряду є дробами. Числівник дробу складається з двох множників,

перший з яких є факторіалом члена арифметичної прогресії з першим членом 1

та різницею 2 , отже, задається як !12 n . Послідовність других множників

,9,4,1 відповідає формулі 2n . Знаменник кожного з дробів є добутком попе-

реднього знаменника та нового множника, який складає з існуючими арифме-

тичну прогресію з першим членом 2 та різницею 3 . Таким чином, послідов-

ність нових множників відповідає формулі 13 n , а весь знаменник має вигляд

13852 n . Таку послідовність будемо надалі називати факторіальним

добутком. Отже, формулою загального члена ряду є рівність

13852

!122

n

nnun

.

8

Тоді

2313852

1!12

11313852

1!11222

1

nn

nn

nn

nnun

.

Зауваження. Для факторіального добутку доцільно при побудові форму-

ли для 1nu підкреслити наявність всіх множників, які відповідають поперед-

ньому члену ряду.

З’ясувати за допомогою означення, чи буде збіжним числовий ряд, та

за умови позитивної відповіді знайти суму ряду.

3. 98

1

14

1

2

1 .

Загальний член ряду задається формулою 172

1

nnu , отже, послідов-

ність частинних сум має вигляд 172

1

98

1

14

1

2

1

nnS . Це сума n чле-

нів геометричної прогресії з першим членом 2

1 та знаменником

7

1 , яка обчис-

люється за допомогою формули

n

n

n

nq

qbS

7

11

12

7

7

11

7

11

2

1

1

11.

Тоді 12

7

7

11

12

7limlim

n

nn

nS , отже, ряд збігається, а його сума

12

7S .

4. 2

13

2

8

2

3 .


25

nu n , отже, послідов-

ність частинних сум має вигляд

2

25

2

13

2

8

2

3 nSn 251383

2

1 n .

9

У дужках – сума n членів арифметичної прогресії з першим членом 3 та зна-

менником 5 , отже,

4

5

2

1532

2

1

2

12

2

12

1 nnn

nn

ndaSn

.

Тоді

4

5limlim

2 nnS

nn

n , тобто ряд є розбіжним.

5.

2618

1

1810

1

102

1


1

nnu n , отже,

послідовність частинних сум має вигляд

2868

1

2618

1

1810

1

102

1

nnS n .

Легко помітити, що

10

1

2

1

8

1

102

210

8

1

102

1 ,

18

1

10

1

8

1

1810

1018

8

1

1810

1 ,

26

1

18

1

8

1

2618

1826

8

1

2618

1 ,...

28

1

68

1

8

1

2868

1

nnnn.

Тоді

28

1

2

1

8

1

28

1

68

1

26

1

18

1

18

1

10

1

10

1

2

1

8

1

nnnS n .

Отже, 16

1

28

1

2

1

8

1limlim

nS

nn

n , ряд є збіжним, а його сума

16

1S .

З’ясувати за допомогою ознак збіжності, чи буде збіжним числовий

ряд.

6. 22

7

12

5

2

3

10


12

n

nu n . Це неправильна

дробово-раціональна функція (степінь числівника не менший за степінь зна-

менника), отже, доцільно скористатися необхідною умовою збіжності.

05

1

810

12limlim

n

nu

nn

n . За необхідною умовою збіжності ряд розбіга-

ється.

7.

13 4

2

5

153

n n

nn.

Степінь числівника 2 більший за степінь знаменника 3

4 , отже, доцільно

скористатися необхідною умовою збіжності.

05

153limlim

3 4

2

n

nnu

nn

n . Ряд розбігається.

8.

1

3 15sin

n

n

3 15sinlimlim

nun

nn

не існує, отже, за необхідною умовою збіжності

ряд розбігається.

9.

1

275

43

nn

n

Загальний член ряду є правильною дробово-раціональною функцією (сте-

пінь числівника менший за степінь знаменника), числівник еквівалентний вели-

чині n3 , знаменник – 25n , отже,

nu ~nn

n 1

5

3

5

32

.

Порівняємо досліджуваний ряд з розбіжним гармонійним рядом

1

1

nn

.

;0

5

3

175

43lim

1:

75

43limlim

22

n

n

n

nn

n

v

u

nnn

n

n.

11

Згідно з граничною ознакою порівняння досліджуваний ряд

1

275

43

nn

n

також є розбіжним.

10.

1

3 2

1372

15

nnn

n

Скористаємося граничною ознакою порівняння . Оберемо допоміжний

ряд.

3 2 15 n ~ 3 25n ~ 3

2

3 5 n ;

72 n ~ n2 ;

13 n ~ n3 .

Таким чином, 1372

153 2

nn

nun

~3

4

33 21

6

5

32

5

nnn

n

.

Порівняємо досліджуваний ряд з узагальненим гармонійним рядом

13

4

1

n n , який є збіжним, оскільки показник степеня 1

3

4p .

n

n

n v

ulim

;0

6

5

11372

15lim

1:

1372

15lim

334

3 2

34

3 2 n

nn

n

nnn

n

nn.

Згідно з граничною ознакою порівняння ряд

1

3 2

1372

15

nnn

n також

збігається.

11.

1

4 37

1arcsin

n n

Загальний член ряду містить арксинус нескінченно малого аргументу,

отже, за допомогою граничної ознаки порівняння можна щонайменше позбути-

ся оберненої тригонометричної функції.

Скористаємося наслідком першої важливої границі 1arcsin

lim0

x

x

x та

оберемо ряд для порівняння.

12

4 3 7

1arcsin

n ~

4 3 7

1

n~

4 3

1

n.

Порівняємо досліджуваний ряд з узагальненим гармонійним рядом

14

3

1

n n , який є розбіжним, оскільки показник степеня 1

4

3p .

n

n

n v

ulim

;01

1:

7

1arcsinlim

434 3

nnn.

Згідно з граничною ознакою порівняння досліджуваний ряд

1

4 37

1arcsin

n n також розбігається.

12.

1

2

12ln

nn

n.

Скористаємося тим, що для досить великих значень змінної логарифм

степеневої функції буде меншим за будь-який додатний степінь.

21

12ln nn ;

232

21

2

112ln

nn

n

n

n

.

Ряд

12

3

1

n n збігається, оскільки показник степеня 1

2

3p , отже, згідно

з ознакою порівняння ряд

1

2

12ln

nn

n також буде збіжним.

13.

1

3 2

23ln

n n

n

Скористаємося тим, що для досить великих значень змінної логарифм

степеневої функції буде більшим за одиницю.

13ln2 n ;

32

32

213ln

nn

n

.

13

Ряд

13

2

1

n n розбігається, оскільки показник степеня 1

3

2p , отже, згі-

дно з ознакою порівняння ряд

1

3 2

23ln

n n

n також буде розбіжним.

Зауваження. Якщо логарифмічна функція розташована у знаменнику,

для її оцінювання доцільно скористатися нерівністю 1ln

11

nn p.

14.

13

52

n

n

n

До загального члена ряду входить показникова функція, отже, можна ви-

користати признак Даламбера.

nn

nu

3

52 ,

11 3

72

3

512

nnn

nnu .

13

1

52

72lim

3

1

52

3

3

72lim

3

52:

3

72limlim

11

1

n

n

n

nnn

u

uD

n

n

nn

nnn

n

n

n.

За ознакою Даламбера ряд збігається.

15.

852

!5

52

!3

2

!1

Побудуємо формулу загального члена ряду. Числівники дробів є факторі-

алами чисел ,5,3,1 , які складають арифметичну прогресію з першим членом

1 та різницею 2, тобто відповідають формулі 12 nan. Знаменники дробів є

факторіальними добутками, останні множники яких обчислюються як 13 n .

Тоді загальний член ряду має вигляд

13852

!12

n

nun

. У цьому випад-

ку також доцільно скористатися ознакою Даламбера.

2313852

!12

11313852

!1121

nn

n

nn

nun

n

n

n u

uD

1lim

13852

!12:

2313852

!12lim

n

n

nn

n

n

14

!12

13852

2313852

122!12lim

n

n

nn

nnn

n

23

122lim

n

nn

n.

За ознакою Даламбера ряд розбігається.

16.

1!

1

nn

arctg

Загальний член ряду є арктангенсом нескінченно малого аргументу, який

містить факторіал, отже, скористаємося ознакою Даламбера.

!

1

narctgu n ,

!1

11

narctgun .

При обчисленні D використаємо наслідок першої важливої границі

1lim0

x

xarctg

x, тобто xxarctg ~ при 0x .

n

n

n u

uD

1lim

!

1:

!1

1lim

narctg

narctg

n

!1

!lim

!

1:

!1

1lim

n

n

nn nn

101

1lim

1!

!lim

nnn

n

nn

За ознакою Даламбера ряд збігається.

17.

112531

2642

nn

n

Спроба використати ознаку Даламбера для дослідження наданого ряду

призведе до результату 1D . Скористаємося ознакою порівняння.

12

2

4

6

3

4

1

2

12531

2642

n

n

n

nun

.

Помітимо, що кожен з множників буде більшим за одиницю, отже, справджу-

ється нерівність 12

2

n

nun .

Ряд

112

2

nn

n буде розбіжним за необхідною умовою збіжності

0112

2lim

n

n

n

, тоді, згідно з ознакою порівняння, досліджуваний ряд

15

112531

2642

nn

n

також буде розбіжним.

18.

12642

12531

nn

n

Як і у попередньому прикладі, ознака Даламбера призведе до результату

1D . Знову скористаємося ознакою порівняння.

nn

n

n

nun

2

1

22

12

6

7

4

5

2

31

2642

12531

.

Легко помітити, що кожний з множників 2

3,

4

5,

22

12

n

n більший за оди-

ницю.

Тоді n

un2

1 . Гармонічний ряд

1

1

nn

розбігається, отже, за ознакою порівнян-

ня ряд

12642

12531

nn

n

також буде розбіжним.

19.

152

35

n

n

n

n

Загальний член ряду є степенево-показниковою функцією, отже, можна

спробувати радикальну ознаку Коші.

nn

nuK lim 1

2

5

52

35lim

52

35lim

1

n

n

n

n

n

nn

n.

За радикальною ознакою Коші ряд розбігається.

20.

113ln

1

n

nn

Скористаємося радикальною ознакою Коші .

nn

nuK lim

10

1

13ln

1lim

13ln

1lim

1

nn n

n

nn

.

За радикальною ознакою Коші ряд збігається.

16

21.

110

12

n

n

n

n

n

Скористаємося радикальною ознакою Коші . При обчисленні K викорис-

таємо другу важливу границю ex

x

x

11lim .

nn

nuK lim 1

1010

1

lim10

1

lim

12

en

n

n

nn

n

n

n

n

n.

За радикальною ознакою Коші ряд збігається.

22.

1

1n

n

n

n

Спроба використати радикальну ознаку Коші призведе до результату

1K . Скористаємося необхідною умовою збіжності.

01

1limlim

en

nu

n

nn

n.

Ряд розбігається.

23.

2ln

1

nnn

Загальний член ряду задається за допомогою функції xx

xfln

1 . Ця

функція неперервного аргументу для 2x набуває додатних значень та є спад-

ною. Обчислимо невласний інтеграл першого роду від цієї функції та скориста-

ємося інтегральною ознакою Коші.

2ln xx

dx

2ln

limxx

dx

ln,

2ln,2,,ln

tx

txdt

x

dxtx =

17

2ln

ln2lim

t

2lnlnlim2

.

Інтеграл є розбіжним, отже, ряд також розбігається.

Завдання для самостійної роботи

З’ясувати за допомогою означення, чи буде збіжним числовий ряд, та за

умови позитивної відповіді знайти суму ряду.

1. 3

7

3

4

3

1 2.

9

1

3

11 3.

1318

1318

813

813

38

38

З’ясувати за допомогою ознак збіжності, чи буде збіжним числовий ряд.

4.

153

15

nn

n 5.

1

2

12

43

n n

n 6.

12

sinn

n

7.

1

3

n

narctg 8.

1

31n

nn 9.

17

9

10

5

3

1

10.

1

213

17

nn

n 11.

1

275

nn

n 12.

11312

3

nnn

n

13.

1

345

12sin

nn

n 14.

1

2

1

34ln

n n

n 15.

1

2

3

1

12ln

nn

n

16. 9

9

4

5

1

1 17.

527

8

48

5

31

2

18.

2

ln

nn

n 19.

1

21

2

n

narctg

n 20.

4ln4

1

3ln3

1

2ln2

1333

21.

1

21

2

n

n

n 22.

112531

5

n

n

n 23.

1!12

3

nn

n

24.

13

1

n

ntg 25.

9

10

3

5

1

2 26.

741

!5

41

!3

1

1

18

27. !3

1arcsin

!2

1arcsin1arcsin 28.

11ln

5

n

n

n

n

29.

1 35

2

n

n

n

n

n 30.

1

2

1

3

nn

n

n

n 31.

113

72

n

n

n

n

32. 32 5

1

3

1

1

1 33.

7ln

1

5ln

1

3ln

132

34.

94

4

3

3

2

2

1

Відповіді.

1. Розбігається. 2. Збігається , 4

3S . 3. Збігається ,

3

1S . 4. За необхід-

ною умовою розбігається . 5. За необхідною умовою розбігається . 6. За необ-

хідною умовою розбігається . 7. За необхідною умовою розбігається . 8. За не-

обхідною умовою розбігається . 9. За необхідною умовою розбігається . 10. За

граничною ознакою порівняння розбігається. 11. За граничною ознакою порі-

вняння збігається. 12. За граничною ознакою порівняння розбігається. 13. За

граничною ознакою порівняння збігається. 14. За ознакою порівняння розбіга-

ється. 15. За ознакою порівняння збігається. 16. За граничною ознакою порі-

вняння розбігається. 17. За граничною ознакою порівняння збігається. 18. За

інтегральною ознакою Коші ряд розбігається. 19. За інтегральною ознакою

Коші ряд збігається. 20. За інтегральною ознакою Коші ряд збігається. 21. За

ознакою Даламбера ряд розбігається. 22. За ознакою Даламбера ряд збігається.

23. За ознакою Даламбера ряд збігається. 24. За ознакою Даламбера ряд збіга-

ється. 25. За ознакою Даламбера ряд збігається. 26. За ознакою Даламбера

ряд розбігається. 27. За ознакою Даламбера ряд збігається. 28. За радикаль-

ною ознакою Коші ряд збігається. 29. За радикальною ознакою Коші ряд збі-

гається. 30. За радикальною ознакою Коші ряд розбігається. 31. За радикаль-

ною ознакою Коші ряд збігається. 32. За радикальною ознакою Коші ряд збі-

гається. 33. За радикальною ознакою Коші ряд збігається. 34. За радикальною

ознакою Коші ряд розбігається.

19

1.2. Знакозмінні ряди

Якщо серед членів ряду є як додатні, так і від’ємні, такий ряд називається

знакозмінним.

Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним , якщо збігається

ряд, складений з абсолютних величин його членів.

Якщо ряд є збіжним, а ряд з абсолютних величин розбігається, то такий

знакозмінний ряд називається умовно збіжним .

Ряд, члени якого по черзі є додатними та від’ємними, називається рядом з

чергуванням знаків ( або рядом Лейбніца ).Такий ряд доцільно записувати у

вигляді

1

1

n

n

nu .

Теорема Лейбніца.

Якщо виконуються такі умови:

1) 0lim

nn

u ; та

2) послідовність 1u ,

2u , … nu …є монотонно спадною,

то ряд

1

1

n

n

nu збігається.

Зауваження. Теорема Лейбніца надає достатню умову збіжності рядів з

чергуванням знаків, отже, у випадку не монотонно спадної, але нескінченно

малої послідовності nu робити висновок про розбіжність ряду неприпустимо.

Зразки розв’язування задач

З’ясувати, чи буде заданий ряд розбіжним, абсолютно або умовно збі-

жним.

1.

1

2

sin

nn

n

Члени заданого ряду мають різні знаки. Дослідимо цей ряд на абсолютну

збіжність.

20

22

1sin

nn

nun

Узагальнений гармонічний ряд

1

2

1

nn

збігається (оскільки показник степеня

12 p ). Згідно з ознакою порівняння знакододатний ряд

1

2

sin

nn

n також

збігається, отже знакозмінний ряд

1

2

sin

nn

n збігається абсолютно.

2. 13

6

9

4

5

2

Знаки членів ряду чергуються та відповідають залежності 11

n. Зага-

льний член ряду задається формулою 14

21

1

n

nu

n

n .

Перевіримо, чи виконуються умови теореми Лейбніца.

02

1

14

2limlim

n

nu

nn

n.

За необхідною умовою збіжності ряд розбігається.

3. 333 11

1

9

1

7

1


1

52

11

nu

n

n .


1) 052

1limlim

3

nu

nn

n;

2) 31

7

1u ,

329

1u ,

3311

1u , …

321 uuu ,313 72

1

52

1

nu

nu nn .

За теоремою Лейбніца ряд збігається.

Дослідимо ряд з модулів

1

3 52

1

nn

.

21

3 52

1

n~

31

1

2

1

2

133 nn

.


13

1

1

nn

розбігається (оскільки показник степе-

ня 13

1p ).

02

11:

52

1lim

33 31

nnn.

Згідно з граничною ознакою порівняння знакододатний ряд

1

3 52

1

nn

також розбігається, отже , ряд

1

3

1

52

1

n

n

n збігається умовно.

Зауваження. Умова спадності може виконуватися не з першого члена ря-

ду.

4. 8

5

4

3

2

1

Загальний член ряду задається формулою n

n

n

nu

2

121

1

.


1)

0

2ln2

2lim

2

12lim

2

12limlim

n

nnnn

nn

n

nnu ;

2) 2

11 u ,

4

32 u ,

8

53 u ,

16

74 u …

21 uu , 432 uuu ,

1 nn uu , оскільки функція

x

xxf

2

12 є монотонно спадною для 2x (

0

2

2ln122

x

xxf ).

За теоремою Лейбніца ряд збігається.


12

12

n

n

n. Скористаємося для цього ознакою

Даламбера.

22

nn

nu

2

12 ,

11 2

12

2

112

nnn

nnu .

12

1

12

12lim

2

1

12

2

2

12lim

2

12:

2

12limlim

11

1

n

n

n

nnn

u

uD

n

n

nn

nnn

n

n

n.

За ознакою Даламбера ряд

12

12

n

n

n збігається, отже, ряд

1

1

2

121

n

n

n n збі-

гається абсолютно.

Зауваження. У останньому прикладі можна обмежитися дослідженням

ряду з модулів, оскільки при абсолютній збіжності автоматично забезпечується

збіжність за Лейбніцем.

5.

1

1

!12

237411

n

n

n

n


1 !12

23741

n n

n. Скористаємося для цього

ознакою Даламбера.

!12

23741

n

nun

,

!32

1323741

!112

213237411

n

nn

n

nnun

.

n

n

n u

uD

1lim

!12

23741:

!32

1323741lim

n

n

n

nn

n

23741

!12

!32

1323741lim

n

n

n

nn

n

10

3222

13lim

nn

n

n.

За ознакою Даламбера ряд

1 !12

23741

n n

n збігається, отже, ряд

1

1

!12

237411

n

n

n

n збігається абсолютно.

Зауваження. Якщо при дослідженні ряду з модулів за радикальною озна-

кою Коші або за ознакою Даламбера з’ясовано, що цей ряд розбігається, то мо-

23

жна зробити висновок, що буде розбіжним і знакозмінний ряд, оскільки в таких

випадках ( 1K або 1D ) не виконується необхідна умова збіжності.


1.

1

3

cos

n n

n 2.

1

2

13

351

n

n

n

n 3.

112ln

1

n

n

n

n

4.

153ln

1

n

n

n 5.

115

1

n

n

n 6.

27

9

9

4

3

1

Відповіді.

1. Абсолютно збігається. 2. Розбігається . 3. Абсолютно збігається. 4. Умовно

збігається. 5. Умовно збігається . 6. Абсолютно збігається .

Розділ 2

СТЕПЕНЕВІ РЯДИ

2.1. Збіжність степеневих рядів

Розглянемо послідовність функцій 1, nxun. Вираз вигляду

1

21

n

nn xuxuxuxu

називається функціональним рядом.

Ряд

1n

n xu є збіжним в точці 0xx , якщо збігається числовий ряд

1

0

n

n xu , та абсолютно збіжним , якщо збігається ряд

1

0

n

n xu .

Множина всіх значень аргументу x , для яких функції xu1, xu2

, ...

визначені, а ряд

1n

n xu збігається , називається областю збіжності цього

ряду.

24

Сума xSxuxuxu nn 21 називається п-ю частинною су-

мою ряду

1n

n xu , а її границя xSxS nn

lim – сумою цього ряду. Різницю

xRxSxS nn називають залишком ряду.

Область збіжності функціонального ряду можна знайти за ознакою Дала-

мбера або радикальною ознакою Коші.

Ознака Даламбера.

Функціональний ряд

1n

n xu є абсолютно збіжним для тих значень

аргументу х , для яких справджується нерівність

1lim

1

xu

xuxD

n

n

n .

Якщо 1xD , ряд є розбіжним , а поведінка функціонального ряду при тих

значеннях аргументу, для яких 1xD , потребує окремого дослідження.

Ознака Коші.

Функціональний ряд

1n

n xu є абсолютно збіжним для тих значень

аргументу х , для яких справджується нерівність

1lim

nn

nxuxK .

Якщо 1xK , ряд є розбіжним , а поведінка функціонального ряду при тих

значеннях аргументу, для яких 1xK , потребує окремого дослідження.

Функціональний ряд вигляду

0

0

n

n

n xxa , ;x називається

степеневим , а числа 0a ,

1a , 2a , ...

na , ... – коєфіцієнтами цього ряду.

Якщо 00 x , степеневий ряд має вигляд

0n

n

n xa .

25

Для будь-якого степеневого ряду

0n

n

n xa існує таке число 0R , що

для RRx ; розглядуваний ряд збігається , а для ;; RRx

ряд є розбіжним. Інтервал RR; називається інтервалом збіжності , а чис-

ло R – радіусом збіжності цього ряду.

Степеневий ряд

0

0

n

n

n xxa є абсолютно збіжним для значень аргу-

менту, які задовольняють умові Rxx 0, тобто інтервалом збіжності такого

ряду буде RxRx 00 ; .

Поведінка степеневого ряду на границях інтервалу збіжності потребує

окремого дослідження.

Якщо серед коефіцієнтів ряду немає таких, що дорівнюють нулю, ( тобто

у ряді немає пропуску степенів), радіус збіжності обчислюється за формулами

1

lim

n

n

n a

aR або

nn

n aR

1lim

.

Якщо радіус збіжності R є нескінченно великим, ряд збігається на всій

множині дійсних чисел, а якщо 0R , ряд буде збіжним тільки в одній точці

0x (або 0xx ).

Якщо ряд побудовано з пропуском степенів, для визначення інтервалу

збіжності використовують умови для функціонального ряду, тобто нерівності

1lim

1

xu

xuxD

n

n

n або 1lim

nn

nxuxK .


1. З’ясувати, чи буде степеневий ряд

1

3

3

n

n

n

x збігатися у точці 4x .

1

3

1

3

1

3

1134

nn

n

n

n

nnn.

Це знакододатний числовий ряд, який буде збіжним ( 12

3p ).

26

Знайти інтервал збіжності ряду:

2.

1

3

n

nn

n

x

Для даного ряду n

an

n

3 ;

1

3 1

1

n

an

n .

3

11

33

3lim

33

13lim

1

3:

3limlim

1

1

n

nn

nnna

aR

n

n

nn

n

n

nn

nn

n

n.

Інтервал збіжності ряду 3

1

3

1 x .

3.

110

3

n

n

nxn

Для даного ряду 30 x , nn

na

10 ,

1110

1

nn

na .

10110

1010lim

1

1010

10lim

10

1:

10limlim

1

1

n

n

n

nnn

a

aR

n

n

n

n

nn

nnn

n

n

n.

Інтервал збіжності ряду 103103 x , або 713 x .

4.

1!12

53

n

nn

n

x

Для даного ряду 50 x , !12

3

na

n

n ,

!32

31

1

n

an

n.

33

!32

!12

3lim

!32

3:

!12

3limlim

1

1

n

n

n

nn

nn

n

n

n

nnna

aR

3!12

3222!12lim

n

nnn

n.

Таким чином, ряд буде збіжним, якщо ;x .

5.

16

7!

n

n

nxn

27

Для даного ряду 70 x , nn

na

6

! ,

11

6

!1

nn

na .

0

1!

6!lim

!1

66

6

!lim

6

!1:

6

!limlim

1

1

nn

n

n

nnn

a

aR

n

n

nn

nnn

n

n

n

Таким чином, ряд буде збіжним, якщо 7x .

6.

1

13

8

1

n

n

n

n

x

Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Даламбера:

n

n

nn

xxu

8

113

, 1

23

181

1

n

n

nn

xxu ;

xu

xuxD

n

n

n

1lim

n

n

n

n

n n

x

n

x

8

1:

81

1lim

13

1

23

8

1

18

1lim

1

8

81

1lim

3

1

3

131

23

x

n

nx

x

n

n

xn

nn

n

n

n

n.

Нерівність 1xD справджується, якщо

212218118

1 3

3

xxxx

.

Таким чином, інтервалом збіжності ряду буде 1;3 .

7.

1

5

n

n

n

n

x

Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Коші:

n

n

nn

xxu

5

;

nn

nxuxK

lim

n

x

n

x

n

nn

n

n

55

limlim

.

Нерівність 1xK справджується для будь-якого значення x , отже, ряд буде

збіжним для ;x .

28

8.

1

123!

n

nxn


123!

n

n xnxu , 12

1 3!1

n

n xnxu ;

xu

xuxD

n

n

n

1lim

2

12

12

31lim3!

3!1lim

xn

xn

xn

nn

n

n.

Нерівність 1xK справджується, лише якщо 03x , отже, ряд буде збіж-

ним тільки для 3x .

Знайти область збіжності степеневого ряду.

9.

1

6

1

8

1

n

n

nn

n

x

Для заданого ряду

6

1

8

1

na

n

n

n

,

61

2

118

1

n

an

n

n.

1

limn

n

n a

aR

8

18lim

18

1:

8

1lim

6

6

61

2

6

1

n

n

nn nn

n

n

n

n.

Інтервал збіжності ряду задається умовою 88 x . Дослідимо поведінку ря-

ду на границях цього інтервалу.

8x :

1

6

1

6

11

1

1

6

11

8

811

8

81

12

nn

n

nnn

n

n

nn

nnn

n

.


1

6

1

nn

є розбіжним

1

6

1p , отже, степе-

невий ряд при 8x розбігається.

8x :

1

6

1

1

6

11

8

81

n

n

n

n

nn

nn.

Це ряд Лейбніца . Перевіримо, чи виконуються умови відповідної теореми.

1) 01

limlim6

n

un

nn

;

2) 11 u , 62

2

1u ,

633

1u , …

29

321 uuu , 1 nn uu .

За теоремою Лейбніца ряд є збіжним, тобто при 8x степеневий ряд збігаєть-

ся.

Таким чином, областю збіжності досліджуваного ряду є 8;8 .

10.

1

1275

n

nn

n

x

Якщо необхідно дослідити поведінку ряду за степенями 0xx на грани-

цях інтервалу збіжності, доцільно ввести допоміжну змінну 0xxt та роз-

шукувати область збіжності отриманого ряду за новою змінною.

7 xt ;

1

125

n

nn

n

t.


n

tu

nn

n

125

, 1

5 121

1

n

tu

nn

n ;

tu

tutD

n

n

n

1lim

n

t

n

t nnnn

n

12121 5:

1

5lim

12

121

51

5lim

nn

nn

n t

n

n

t 22 51

5lim tn

nt

n

.

Нерівність 1tD справджується, якщо

5

1

5

1

5

1

5

115 22 tttt .

Дослідимо поведінку ряду на границях інтервалу збіжності.

5

1t ,

11 2

12

12

1

12

15

5

155

15

nn

n

nn

n

n

n

nn

n.

Гармонічний ряд

1

1

nn

є розбіжним, отже , степеневий ряд

1

125

n

nn

n

t розбі-

гається при 5

1t .

30

5

1t ,

11 2

12

1

12

15

5

55

15

nn

n

n

n

n

n

nn

n.

Гармонічний ряд

1

1

nn

є розбіжним, отже , степеневий ряд

1

125

n

nn

n

t розбі-

гається при 5

1t .

Таким чином, область збіжності ряду задається умовою

5

1

5

1 t , або

5

17

5

1 x ,

5

17

5

17 x .

11.

1

7 2

1

3

2

n

n

n

n

x

Введемо нову змінну 2 xt та знайдемо область збіжності отримано-

го ряду

1

7 2

1

3n

n

n

n

t.

Для цього ряду 7 2

3

1

na

nn , 7 21

1

13

1

na

nn .

1

limn

n

n a

aR

7 217 213

1:

3

1lim

nn nnn

7 2

7 21

3

13lim

n

nn

n

n

31

lim3 7

2

n

n

n.

Інтервалом збіжності допоміжного ряду буде 33 t . Дослідимо пове-

дінку ряду на границях інтервалу.

3t ,

1

7 2

1

1

7 2

11

1

7 2

11

33

31

3

3

n

n

n

n

nn

n

n

n

nnn.

Це ряд Лейбніца . Перевіримо, чи виконуються умови відповідної теореми.

1) 01

limlim7 2

n

un

nn

;

2) 11 u , 72

4

1u ,

739

1u , …

31

321 uuu , 1 nn uu .

За теоремою Лейбніца ряд є збіжним, тобто при 3t степеневий ряд збігаєть-

ся.

3t ,

1

7 2

1

7 2

11

33

3

nn

n

n

nn.


1

7 2

1

n n є розбіжним

1

7

2p , отже, степе-

невий ряд при 3t розбігається.

Таким чином, область збіжності допоміжного ряду відповідає умові

33 t .

Тоді область збіжності основного ряду задається нерівністю

323 x ; 15 x .

Отже, область збіжності заданого ряду – це проміжок 1;5 .


1. З’ясувати, чи буде степеневий ряд

1 31

5

nn

n

n

x збігатися у точці 20 x .

Знайти інтервал збіжності ряду:

2.

1 312nn

n

n

x ; 3. n

n

nxn

1

2121 ; 4.

n

n

xn

1

! ;

5

1 5

3

nn

n

n

x ; 6.

1

2

1ln1

3

n

n

nn

x.

Знайти область збіжності ряду:

7.

1 2nn

n

n

x ; 8.

!12121

12

1

1

nn

xn

n

n ; 9.

1

2

121

34

2

n

nn

n

x ;

10.

1nn

n

n

x ; 11.

1

12

12n

n

n

xn

n ; 12.

1 21n

nx

n

n ;

32

13.

1

!

nn

n

n

xn ; 14.

n

n

n

n

n

x

3

51

1

1

; 15.

1

3n

nn xn ;

16.

1

2

9

1

nn

n

n

x ; 17.

1

12

42

5

nn

n

n

x ; 18.

1

2

2

nn

n

n

x ;

19

1

3

7

32

n

n

n

x ; 20.

1

3

2

134

41

nn

nn

n

x.

Відповіді.

1. Ряд збігається за ознакою Лейбніца.

2. 3;3 ; 3. 1;1 ; 4. 0x ; 5. 8;2 ; 6. 4;2 ;

7. 2;2 ; 8. ; ; 9.

2

1;

2

1 ; 10. ; ;

11. 4;4 ; 12. 2;2 ; 13. ee ; ; 14. 8;2 ; 15. 3x ;

16. 4;2 ; 17. 3;7 ; 18. 1;3 ; 19. 2;1 ; 20. 2;6 .

2.2. Розвинення функцій у степеневі ряди

Якщо функція xfy має в точці 0x похідні будь-якого порядку, цій

функції відповідає ряд Тейлора

n

n

xxn

xfxx

xfxx

xfxfxf 0

02

0

0

0

0

0!!2!1

=

1

00

0!

n

nn

xxn

xfxf .

Степеневий ряд у околі точки 00 x має назву ряду Маклорена:

nn

xn

fx

fx

ffxf

!

0

!2

0

!1

00

2 =

1!

00

n

nn

xn

ff .

33

Наведемо розвинення у ряд Маклорена деяких елементарних функцій та

вкажемо інтервали збіжності цих рядів (у точках, що належать інтервалам збі-

жності, ряди збігаються до значень відповідних функцій у цих точках).

1

32

!1

!3!2!11

n

nx

n

xxxxe ; x .

1

12153

!12

1

!5!3!1sin

n

nn

n

xxxxx ; x .

1

242

!2

11

!4!21cos

n

nn

n

xxxx ; x .

32

!3

21

!2

1

!111 x

mmmx

mmx

mx

m

1!

1211

n

nxn

nmmmm ; 11 x .

1

1321

3211ln

n

nn

n

xxxxx ; 11 x .

0

1253

12242

1231

542

31

32

1arcsin

n

n

n

x

n

nxxxx

; 11 x .

1

12153

12

1

531arctg

n

nn

n

xxxxx ; 11 x .

Степеневі ряди мають такі важливі властивості:

а) степеневий ряд

0n

n

n xa можна почленно інтегрувати, якщо проміжок інтег-

рування належить області збіжності ряду;

б) степеневий ряд

0n

n

n xa можна почленно диференціювати у точках, що на-

лежать інтервалу збіжності.


1. Знайти перші два ненульові члени розвинення у ряд Маклорена функції

xtgy 3 .

34

Ряд Маклорена має вигляд

1!

00

n

nn

xn

ffxf .

Обчислимо значення заданої функції та декількох її перших похідних при

00 x .

xtgy 3 , 000 tgy ;

x

y3cos

32

, 30cos

30

2y ;

x

xy

3cos

3sin183

, 00cos

0sin183

y ;

x

xxxxxy

3cos

3sin33cos33sin3cos3cos318

6

23

x

x

3cos

3cos2354

4

2 ,

540cos

0cos23540

4

2

y .

Тоді розвинення функції має вигляд

3

!3

540

!1

30 xxy ,

393 xxy .

2. Розвинути у ряд Тейлора в околі точки 10 x поліном xxxP 23 .

Розвинення у ряд Тейлора полінома буде мати скінченну кількість нену-

льових членів.

1

1!

11

n

nn

xn

PPxP .

112113

P ;

23 2 xxP , 121312

P ;

xxP 6 , 6161 P ;

6 xP , 61 P ;

054 xPxP .

3211

!3

61

!2

61

!1

11

xxxxP =

3211311 xxx .

35

Розвинути функцію у ряд Маклорена за допомогою табличних роз-

винень. Вказати інтервал збіжності отриманого ряду:

3. 7

sin3

xy

При побудові розвинення буде введено допоміжну змінну за аргументом

складної функції.

ttxx

sin77

sin33

1

121

!12

1

n

nn

n

t

12

3

1

1

7!12

1n

n

nx

n

36

1

12

1

7!12

1

n

n

n

n

xn

;

36

1

12

1

7!12

1

n

n

n

n

xn

y .

Табличний ряд буде збігатися при ;t , отже, побудований ряд буде

збіжним при ;x .

4. 253 xexy

tx etxe 25 52

1!

1

n

n

n

t

1

2

!

51

n

n

n

x

1

2

!

511

n

nnn

xn

1

23

!

511

n

nnn

xn

xy ;

1

323

!

51

n

nnn

xn

xy .



5. 42 31ln xxy

txtx 1ln331ln 44

1

11

n

nn

n

t

36

1

4

11

1

1

4131131

12

n

nnnn

n

nn

n

x

n

x

n

1

43

n

nn

n

x

1

42 3

n

nn

n

xxy ;

1

243

n

nn

n

xy .

Інтервал збіжності застосованого табличного ряду визначається нерівністю

1t , отже, побудований ряд абсолютно збігається, якщо

4444

3

1

3

11313 xxxx .

Таким чином, інтервалом збіжності побудованого ряду буде

44

3

1;

3

1.

6. 23 57ln xxy

7

51ln7ln

7

517ln57ln

222 xx

x

t

xt 1ln7ln

7

5 2

1

11

7ln

n

nn

n

t

1

21

7

51

7ln

n

n

n

n

x

1

21

7

517ln

n

n

nnn

n

x;

1

21

3

7

517ln

n

n

nnn

n

xxy ;

1

321

3

7

517ln

n

n

nnn

n

xxy .



37

5

7

5

71

7

5 22

xxx

.


5

7;

5

7.

7. 3 2

51

1

xy

Задану функцію можна записати у вигляді 32

51

xy та скористатись

табличним розвиненням у біноміальний ряд для 3

2m .

Спочатку запишемо вказане табличне розвинення:

!3

23

21

3

2

3

2

!2

13

2

3

2

!1

3

2

11 3

2

t

nt

n

n

!

13

22

3

21

3

2

3

2

1 !

13

22

3

21

3

2

3

2

1n

nt

n

n

1!

3

31

3

8

3

5

3

2

1

n

nt

n

n

1!3

1385211

n

n

n

n

tn

n.

Повернемося до заданої функції:

32

32

1551

txtx

1!3

1385211

n

n

n

n

tn

n

1

5!3

1385211

n

n

n

n

xn

n

1!3

51385211

n

n

n

nn

xn

n;

38

1!3

51385211

n

n

n

nn

xn

ny

.



5

115 xx .


5

1;

5

1.

8. 4 3

2

56 x

xy

Задану функцію можна записати у вигляді 4

132

56

xxy та скорис-

татись табличним розвиненням у біноміальний ряд для 4

1m .

Спочатку запишемо вказане табличне розвинення:

1

4

1

!

14

12

4

11

4

1

4

1

11

n

nt

n

n

t

1!

4

43

4

9

4

5

4

1

1

n

nt

n

n

1!4

3495111

n

n

n

n

tn

n.

Повернемося до заданої функції:

4

14

134

1

3

4

13

166

5

6

51656 t

xt

xx

1

4

1

!4

34951116

n

n

n

n

tn

n

1

3

4

1

6

5

!4

34951116

n

n

n

nx

n

n

39

1

34

1

!24

534951116

n

n

n

nn

xn

n ;

1

34

1

2

!24

534951116

n

n

n

nn

xn

nxy

;

1

234

1

24

1

!24

534951166

n

n

n

nn

xn

nxy

.



33

3

5

6

5

61

6

5 xx

x .


33

5

6;

5

6.

9. Розвинути в степеневий ряд функцію 2

1

xy в околі точки 30 x .

1 спосіб. Ряд Тейлора для заданої функції має вигляд

1

3!

33

n

nn

xn

yyxy .

Обчислимо у точці 30 x значення заданої функції та її кількох похідних, та

спробуємо знайти закономірність, якій вони підкоряються.

2

2

1 xx

y ; 22

3

1

3

13

y ;

32 xy ; 33

3

2

3

23

y ;

44 3232 xxy ; 44

3

32

3

323

y ;

55 432432 xxy ; 55

3

432

3

4323

y .

Легко помітити, що значення похідних є додатними дробами, числівники яких

мають факторіальний вигляд, а знаменники є степенями основи 3. Аналіз цих

40

виразів приводить до висновку, що шукані значення похідних можна обчислити

за формулою

23

1323

n

n ny

.

Тоді ряд Тейлора для заданої функції має вигляд

1

223

!3

132

3

1

n

n

nx

n

nxy

;

1

23

3

1

9

1

n

n

nx

nxy .

Обчислимо радіус збіжності отриманого ряду.

23

1

nn

na ,

313

2

nn

na ,

3

13

331lim

2

3

3

1lim

3

2:

3

1limlim

2

23

232

1

n

n

n

nnn

a

aR

n

n

n

n

nn

nnn

n

n

n.

Тоді ряд абсолютно збігається, якщо 33 x .

Таким чином, інтервал збіжності задається умовою 0;6x .

2 спосіб. Використаємо табличне розвинення у ряд Маклорена. Для цього

виконаємо заміну змінної 0xxz та перетворимо функцію до вигляду, який

дозволяє використати вказане розвинення.

3

;312

zx

xz

xy

2

2223

19

1

313

1

3

1

3

1 z

zzz

21

9

1

3

tz

t ;

1

2

!

122212211

n

ntn

nt

1!

14321

n

ntn

n

11

111!

143211

n

nn

n

n

n

tntn

n

41

113

119

1

9

1111

9

1

n

n

n

n

nn zntny

1

2

13

1

9

1

3

111

9

1

9

1

n

n

n

n

n

n

nn

zn

zn

1

23

3

1

9

1

n

n

nx

n .

Таким чином, шукане розвинення має вигляд

1

23

3

1

9

1

n

n

nx

ny .



0633313

xxzz

.

Таким чином, інтервалом збіжності побудованого ряду буде 0;6 .


cosx

y

в околі точки 50 x .


1

5!

55

n

nn

xn

yyxy .



10

cosx

y

, 02

cos10

5cos5

y ;

1010

sin

x

y , 101010

5sin5

y ;

2

1010cos

x

y , 01010

5cos5

2

y ;

3

1010sin

x

y , 3

33

101010

5sin5

y ;

42

4

4

1010cos

x

y , 01010

5cos5

4

4

y ;

5

5

1010sin

x

y , 5

55

5

101010

5sin5

y .

Легко помітити, що парні похідні дорівнюють 0, а значення непарних є знакоз-

мінними дробами, числівники яких є степенями основи , а знаменники – сте-

пенями основи 10. Аналіз цих виразів приводить до висновку, що шукані зна-

чення похідних можна обчислити за формулою

12

12

12

1015

k

kkk

y

.


1

12

12

12

5!1210

1

k

k

k

kk

xk

xy

.

Знайдемо інтервал збіжності ряду за допомогою ознаки Даламбера:

12

12

12

5!1210

1

k

k

kk

k xk

xu

,

12

12

121

1 5!1210

1

k

k

kk

k xk

xu

;

xu

xuxD

k

k

k1

1lim

!1210

51:

!1210

51lim

12

1212

12

12121

k

x

k

xk

kkk

k

kkk

k

012210

5lim

2

22

kk

x

k

.

Нерівність 1xD справджується для будь-якого значення x , отже, ряд

буде збіжним для ;x .




43

10sin

210cos

10

5cos

5

5

10cos

zzz

zx

xzxy

tz

t sin10

1

121

!12

1

n

nn

n

t

1

12

10!12

1

n

nnz

n

1

12

12

12

5!1210

1

n

n

n

nn

xn

.


1

12

12

12

5!1210

1

n

n

n

nn

xn

xy

.



11. Розвинути в степеневий ряд функцію xy 3 в околі точки 20 x .


1

2!

22

n

nn

xn

yyxy .



xy 3 , 9

132 2 y ;

3ln313ln3 xxy , 3ln9

13ln32 2 y ;

3ln313ln3 22 xxy , 3ln9

13ln32 222 y ;

3ln313ln3 33 xxy , 3ln9

13ln32 332 y .

Аналіз цих виразів приводить до висновку, що шукані значення похідних мож-

на обчислити за формулою

3ln9

12 n

n

ny

.


44

1

2!9

3ln1

9

1

n

nnn

xn

y .

Обчислимо радіус збіжності отриманого ряду.

!9

3ln1

na

nn

n

,

!19

3ln111

1

n

ann

n ,

!19

3ln1:

!9

3ln1limlim

11

1 nna

aR

nnnn

nn

n

n

3ln

1lim

3ln1

!19

!9

3ln1lim

11

nn

n nnn

nn

n.

Таким чином, ряд буде збіжним при ;x .




3ln3ln222

9

1

9

13333

2

23 zzzzzx ee

zx

xzy

tezt9

13ln

11 !

3ln1

9

1

!1

9

1

n

n

n

n

n

z

n

t

11

2!9

3ln1

9

1

!9

3ln1

9

1

n

nnn

n

nnn

xnn

z.


1

2!9

3ln1

9

1

n

nnn

xn

y .



12. Розвинути в степеневий ряд функцію 23ln 2 xxy в околі точки

40 x .

Побудуємо шукане розвинення за допомогою табличних розвинень у ряд

Маклорена.Для цього виконаємо заміну змінної 0xxz та перетворимо фун-

кцію до вигляду, який дозволяє використати вказане розвинення.

45

65ln2434ln

4

423ln 222 zzzz

zx

xzxx

2ln3ln23ln zzzz .

1

1

3

13ln

31ln3ln

313ln3ln

n

nnz

n

zzz

1

1

3

13ln

n

n

n

n

zn

; 13

z

; 3z .

1

1

2

12ln

21ln2ln

212ln2ln

n

nnz

n

zzz

1

1

2

12ln

n

n

n

n

zn

; 12

z

; 2z .

Тоді

1

1

1

1

2

2

12ln

3

13ln23ln

n

n

n

n

n

n

n

n

zn

zn

xx

1

1

2

1

3

112ln3ln

n

n

nn

n

zn

1

1

6

3216ln

n

n

n

nnn

zn

1

14

6

3216ln

n

n

n

nnn

xn

.

Умовами збіжності допоміжних рядів були нерівності 2z та 3z ,

тоді отриманий ряд буде збігатися, якщо

2423

2

xz

z

z.

Остаточно

1

14

6

3216ln

n

n

n

nnn

xn

y , 6;2x .


12

xx

y в околі точки 10 x .

Побудуємо шукане розвинення за допомогою табличних розвинень у ряд

Маклорена. Для цього виконаємо заміну змінної 0xxz та перетворимо фу-

нкцію до вигляду, який дозволяє використати вказане розвинення.

46

12

1

2

1

211

1

1

1

2

1222

zzzzzzzx

xz

xx

1212

1

z

B

z

A

zz ;

211 zBzA ;

;3

1,301:1 BBAz

;3

1,031:2 ABAz

1

3

1

2

3

1

12

1

zzzz

zzzz 2

1

1

1

3

1

2

1

1

1

3

1.

Запишемо необхідне для подальшого розв’язування задачі табличне роз-

винення.

1

1

!

112111111

n

nt

n

nt

1 !

4211

n

nt

n

n

11

11!

432111

n

nn

n

n

n

ttn

n.

Отримуємо

11

1

1

z

z

1

11n

nnz

1

1n

nz ; 1z .

1

21

2

1

212

1

2

1

z

zz

1 211

2

1

n

n

n z

1

12

12

1

nn

nn z

;

12

z

; 2z .

11

12

21

2

11

3

1

2

1

nn

nn

n

n zz

xx

112

11

2

3

3

1

n

n

n

n

z

47

11

1

23

12

2

1

n

n

n

nn

z

11

11

123

21

2

1

n

n

n

nn

x ;

1111

2

xz

z

z.

Остаточно

11

11

123

21

2

1

n

n

n

nn

xy , 2;0x .

14. Записати у вигляді ряду інтеграл зі змінною верхньою границею

x

dxxx0

32 cos .

Запишемо розвинення у ряд Маклорена підінтегральної функції

32 cosxxxf .

33cos xtx

1

2

!2

11cos

n

nn

n

tt

1

23

!2

11

n

nn

n

x

1

6

!2

11

n

nn

n

x,

xf

1

62

!2

11

n

nn

n

xx ; xf

1

262

!2

1

n

nn

n

xx .

Отриманий ряд збігається на всій множині дійсних чисел, отже, його мо-

жна почленно інтегрувати у будь-якому скінченному проміжку. Тоді з ураху-

ванням того, що Ck

xdxx

kk

1

1

, маємо

x

dxxx0

32 cos

x

n

nn

dxn

xx

0 1

262

!2

1

1 0

26

0

2

!2

1

n

x nnx

dxn

xdxx

1 0

36

0

3

36!2

1

3 n

xnnx

n

x

n

x

1

363

!123

1

3 n

n

n

xn

x.

Легко помітити, що отримане розвинення відповідає функції 3sin3

1xy ,

яка є первісною для підінтегральної функції.

48

15. Записати у вигляді ряду інтеграл зі змінною верхньою границею

x

x

dx

031

.


31

1

xxf

.

2

132

13

311

1

1txtx

x

1 !

12

12

2

11

2

1

2

1

1n

nt

n

n

1 !

2

21

2

5

2

3

2

1

1n

nt

n

n

1 !2

1253111

n

n

n

n

tn

n

1

3

!2

1253111

n

n

n

n

xn

n.

Як відомо, інтервалом збіжності отриманого ряду є 1;1 , крім того,

можна показати за допомогою теореми Лейбніца, що цей ряд збігається також,

якщо 1x , отже, цей ряд можна почленно інтегрувати, якщо проміжок інтег-

рування повністю належить множині 1;1 .

x

x

dx

031

x

n

n

n

n

dxxn

n

0 1

3

!2

1253111

=

1 0

3

0!2

125311

n

x

n

n

nx

dxxn

ndx

1 0

13

0 13!2

125311

n

xn

n

nx

n

x

n

nx

1

13

13!2

125311

n

n

n

n

xnn

nx

.


1. Знайти перші три ненульові члени розвинення у ряд Маклорена функції

xy x cos2 .

49

2. Розвинути у ряд Тейлора в околі точки 20 x поліном 34 xxxP .

Записати розвинення функції у ряд Маклорена. Вказати інтервал збіжності

отриманого ряду.

3. 247 xexy . 4.

7

10cos

53 x

xy . 5. 5

2sin

310 x

xy .

6. 48 71ln xxy . 7. 837ln xy . 8. 24

3

31 x

xy

.

9. 379

1

xy

.

Записати розвинення функції у ряд Тейлора в околі заданої точки. Вказати ін-

тервал збіжності отриманого ряду.

10. 4 3

1

xy , 20 x . 11.

3 1

1

xy , 70 x .

12. xy 3ln , 10 x . 13. xey 2 , 30 x .

14. xy 3cos , 3

0

x . 15.

84

12

xx

y , 20 x .

16. x

xy

3

5ln , 10 x .

Записати у вигляді ряду інтеграл зі змінною верхньою границею .

17.

x

x dxex0

53 2

. 18.

x

dxx0

92ln . 19.

x

x

dx

03 58

.

Відповіді.

1. 2

2

2

12ln2ln1 xxy

.

2. 43222822423117 xxxxxP .

3.

1

727;,

!

41

n

nnn

xxn

xy .

4.

1

35

2

23

;,!27

101

n

n

n

nn

xxn

xy .

50

5.

1

76

12

121

;,!125

21

n

n

n

nn

xxn

y .

6.

1

4484

1

7

1;

7

1,

71

n

nnn

xxn

y .

7.

1

888

3

7;

3

7,

7

37ln

n

n

n

n

xxn

y .

8.

1

44343

3

1;

3

1,311

n

nnnxxnxy .

9.

1

333

7

9;

7

9,

!293

12311

3

1

n

n

nn

n

xxn

ny

.

10.

1

1;3,2!4

3495111

n

n

n

n

xxn

ny

.

11.

1

1;15,7!242

23741

2

1

n

n

nxx

n

ny

.

12.

1

1

5;3,14

14ln

n

n

n

n

xxn

y .

13.

1

66

;,3!

2

n

nn

xxn

eey .

14.

1

1

;,3!2

911

n

nnn

xxn

y

.

15.

1

20;4,2

!83

125311

2

1

n

n

n

n

xxn

ny

.

16.

1

1

3;1,16

133ln

n

n

n

nn

xxn

y .

17.

1

424

42!

51

4

1

n

nnn

xnn

xI .

18.

1

1

12

92ln

n

n

n

n

xnn

xI .

19.

1

15

15!242

237411

2

1

n

n

n

n

xnn

nxI

.

51

Розділ 3.

ЗАСТОСУВАННЯ РЯДІВ

3.1. Наближене обчислення значень функцій та

визначених інтегралів

Для наближеного обчислення значень функцій необхідно побудувати ро-

звинення шуканої функції у степеневий ряд, який є збіжним для відповідного

значення аргументу. Далі отриманий числовий ряд наближено замінюється йо-

го частинною сумою так, щоб залишковий член ряду не перевищував за абсо-

лютним значенням заданої точності.

Для обчислення визначеного інтегралу будуємо розвинення підінтеграль-

ної функції у степеневий ряд та почленно інтегруємо його. Далі отриманий чи-

словий ряд наближено замінюється його частинною сумою так, щоб залишко-

вий член ряду не перевищував за абсолютним значенням заданої точності.


1. Записати у вигляді збіжного числового ряду 85,0ln .

Можна вважати, що шукана величина є значенням функції xy 1ln

при 15,0x :

15,0

1ln85,0ln

x

x .

Запишемо розвинення в ряд Маклорена логарифмічної функції

1

1321

3211ln

n

nn

n

xxxxx , 11 x .

Значення аргументу 15,0x належить області збіжності наведеного ряду,

отже, шукане значення функції можна отримати у вигляді числового ряду підс-

тановкою вказаного значення у степеневий ряд:

1

1

1

1

20

31

115,0

185,0ln

n

n

nn

n

nn

nn

52

11

12

20

3

20

31

nn

n

nn

nn

nn.

2. Записати у вигляді збіжного числового ряду 19ln .

Спроба представити шукане значення у вигляді 18

1ln19ln

x

x є

недоцільною, оскільки 18x не належить області збіжності відповідного ряду,

отже, використання цього розвинення неможливе.

Запишемо аргумент функції у вигляді дробу

x

x

1

119 ; xx 1119 ; 1820 x ; 9,0x .

Таким чином, можна вважати, що

9,01

1ln19ln

xx

x.

Представимо логарифм дробу у вигляді степеневого ряду:

xx

x

x1ln1ln

1

1ln

654321

65432 xxxxxx

654321

65432xxxxxx

1

1253

12

2

5

2

3

2

1

2

n

n

n

xxxx , .11 x

Тоді

112

12

1

12

1012

929,0

12

219ln

nn

n

n

n

nn.

3. Записати у вигляді збіжного числового ряду 4 7,1 .

Можна вважати, що шукана величина є значенням функції 41

1 xy

при 7,0x :

7,0

17,1 41

4

xx .

Запишемо розвинення в ряд Маклорена цієї функції.

53

1

41

!

14

12

4

11

4

1

4

1

11n

nxn

n

x

1 !

4

45

4

7

4

3

4

1

1n

nxn

n

1 !4

457311

n

n

nx

n

n , 11 x .

Значення аргументу 7,0x належить області збіжності наведеного ряду, отже,

шукане значення функції можна отримати у вигляді числового ряду підстанов-

кою вказаного значення у степеневий ряд:

4 7,1

1 10

7

!4

457311

n

n

n n

n

1

7!40

457311

n

n

nn

n.

Ряд можна записати також у такій формі:

4 7,1

1

7!40

5473111

n

n

n

n

n

n.

4. Записати у вигляді збіжного числового ряду 3 14 .

Спроба представити шукане значення у вигляді 13

114 31

3

xx є

недоцільною, оскільки 13x не належить області збіжності біноміального ря-

ду, отже, використання цього розвинення неможливе.

Порівняємо значення аргумента кореня третього степеня з відповідними

(третіми) степенями натуральних чисел:

113 , 82 3 , 273 3 ; 27148 .

Тоді можна представити аргумент кореня у вигляді

4

3186814 ,

який надає можливість скористатися табличним розвиненням:

33

3

4

312

4

31814

4312 3

1

xx .

Запишемо відповідне табличне розвинення

54

1

31

!

13

12

3

11

3

1

3

1

11n

nxn

n

x

1 !

3

34

3

5

3

2

3

1

1n

nxn

n

1 !3

345211

n

n

nx

n

n , 11 x .

Значення аргументу 4

3x належить області збіжності наведеного ряду, отже,

шукане значення функції можна отримати у вигляді числового ряду підстанов-

кою вказаного значення у отримане розвинення:

3 14

1 4

3

!3

3452112

n

n

nn

n

1 !4

3452122

nn

n

n.

Ряд можна також записати у такій формі:

3 14

1 !4

43521122

nn

n

n

n.

5. Записати у вигляді збіжного числового ряду 3 20

1.

Порівняємо значення аргументу кореня третього степеня з відповідними

(третіми) степенями натуральних чисел:

113 , 82 3 , 273 3 ; 27208 .

Тоді можна представити аргумент кореня у вигляді

27

712772720 ,

який надає можливість скористатися табличним розвиненням:

33

3

27

713

1

27

7127

1

20

1 27

713

13

1

xx .

55

Запишемо відповідне табличне розвинення

1

3

1

!

13

12

3

11

3

1

3

1

11n

nxn

n

x

1 !

3

32

3

7

3

4

3

1

1n

nxn

n

1 !3

2374111

n

n

n

n

xn

n , 11 x .

Значення аргументу 27

7x належить області збіжності наведеного ряду, от-

же, шукане значення функції можна отримати у вигляді числового ряду підста-

новкою вказаного значення у отримане розвинення:

3 20

1

1 27

7

!3

2374111

3

1

n

n

n

n

n

n

1 27

71

!33

237411

3

1

nn

nn

n

n

n

n

1

7!813

23741

3

1

n

n

nn

n.

Зауваження. Спроба записати число 20 у вигляді

2

31812820 є

недоцільною, оскільки отримане таким чином значення аргументу степеневої

функції 2

3x лежить за межами області збіжності відповідного ряду.

6. Обчислити 2

1arctg з точністю 001,0 .

Представимо шукане значення у вигляді збіжного числового ряду.

12

1

1

2

1

12

1

2

12

1

n

n

n

nxхarctgarctg ;

5129

1

1287

1

325

1

83

1

2

1

2

1arctg

56

0002,00011,00063,00417,05,0

464,04635,00011,00063,00417,05,0 .

Залишковий член цього ряду з чергуванням знаків за абсолютним значенням не

перевищує першого відкинутого члена ряду, отже,

001,00002,054 uR .

7. Обчислити 9cos2 з точністю 001,0 .


10

cos12

118cos1

2

19cos

2 x

x

1

2

10!2

111

2

1

n

nn

n

12

2

10!22

11

nn

nn

n

;

9cos2

!6102!4102!21021

6

6

4

4

2

2

975,09753,00247,010002,00247,01



001,00002,032 uR .

Зауваження. При обчисленні значень тригонометричних функцій вико-

ристовується радіанна міра аргументів.

8. Обчислити 9,0ln з точністю 0001,0 .


11

1

10

11,0

1

1,01ln9,0ln

nn

n

n

n

nnxx

432 104

1

103

1

102

1

10

1 .

Цей ряд на відміну від попередніх є знакосталим, тому необхідно застосувати

іншу методику оцінки залишкового члена ряду.

57

Припустимо, що для забезпечення заданої точності треба залишити k

членів ряду. Тоді залишковий член ряду відповідає умові

321103

1

102

1

101

1kkkk

kkkR

321101

1

101

1

101

1kkk

kkk

1,01

1

101

1

10

1

10

11

101

1121 kk kk

kk 1019

1

.

Оберемо 2k . Тоді 00037,02700

1

1039

122

R . Очевидно, що обраної

кількості членів ряду недостатньо для досягнення заданої точності.

Візьмемо 3k . В цьому випадку 000028,036000

1

1049

133

R , тобто

0001,03 R .

Тоді

3000

1

200

1

10

1

103

1

102

1

10

19,0ln

32

1053,010533,000033,0005,01,0 .

8. Обчислити

1

0

2 2

dxex x з точністю 001,0 .


22 xexxf .

1

2

1

2

!

11

!1

2

n

n

n

n

n

x xnn

xe ;

1

222

!

1

n

n

n

xn

xxf .

Цей ряд збігається на всій множині дійсних чисел.

Тоді

1

0

2 2

dxex x

1

0 1

222

!

1dxx

nx

n

n

n

=

1

1

0

22

1

0

2

!

1

n

n

n

dxxn

dxx

11

1

0

321

0

3

32!

1

3

1

32!

1

3 n

n

n

nn

nnn

x

n

x.

58

13!5

1

11!4

1

9!3

1

7!2

1

5!1

1

3

11

0

2 2

dxex x

0006,00038,00185,00714,02,03333,0

1900,00038,00185,00714,02,03333,0 .



001,00006,065 uR .

9. Обчислити

5,0

0

1lndx

x

x з точністю 001,0 .

Підінтегральна функція

x

xxf

1ln не визначена при 0x , але

11ln

limlim00 x

xxf

xx, отже, функція є інтегровною на проміжку

5,0;0 . Запишемо розвинення у ряд Маклорена підінтегральної функції .

1

1

1

1

11111ln

n

n

n

n

n

n

xn

xnxx

xxf .

Отриманий ряд збігається, якщо 1;1x , отже його можна почленно

інтегрувати на проміжку 5,0;0 .

Тоді

5,0

0

1lndx

x

x

5,0

0 1

1

11

dxxnn

n

n

1

5,0

0

1

11

n

n

n

dxxn

1

5,0

0

11

n

nn

n

x

n

1

2

1

5,01

n

n

n

n;

5,0

0

1lndx

x

x

6252423222 26

1

25

1

24

1

23

1

22

1

2

1

0004,00012,00039,00139,00625,05,0

449,04487,00012,00039,00139,00625,05,0 .



59

001,00004,065 uR .


Записати значення функції у вигляді збіжного числового ряду

1. 7 e 2. 10sin 3. 5,1ln

4. 6,0ln 5. 8ln 6. 5,1

7. 6 8,0 8. 3 70 9. 5 30

Обчислити значення функції з заданою точністю

10. e

1 , 001,0 . 11. 68 , 001,0 .

12. 25,2ln , 01,0 (скористатися тим, що 25,125,2 ).

Обчислити визначений інтеграл з заданою точністю

13. 4

0

2sin

dxx , 001,0 14.

25,0

031 x

dx , 00001,0 .

Відповіді.

1.

1 7!

11

nn

n 2.

112

121

18!12

1

nn

nn

n

3.

1

1

2

1

nn

n

n 4.

1 5

2

nn

n

n

5.

112

12

912

72

nn

n

n 6.

1 !4

233111

nn

n

n

7.

1 !30

7611511

nn

n

n 8.

1 !32

3452144

nn

n

n

9.

1 !80

6594122

nn

n

n

10. 0,607 11. 8,246 12. 0,81 13. 0,157 14. 0,24951

60

3.2. Інтегрування диференціальних рівнянь

за допомогою степеневих рядів

Для наближеного інтегрування диференціальних рівнянь розв’язок відпо-

відної задачі Коші розшукують у вигляді розвинення в степеневий ряд в околі

початкової точки 0xx , тобто будують ряд Тейлора або Маклорена, коефіціє-

нти якого обчислюють шляхом диференціювання.

Якщо диференціальне рівняння є лінійним, застосовується також метод

невизначених коефіцієнтів, який дозволяє побудувати низку рекурентних фор-

мул, а іноді навіть знайти правило для обчислення будь-якого коефіцієнта ряду.


1. Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку за-

дачі Коші

2yxy , 00 y .

Запишемо шукане розвинення у степеневий ряд в околі початкової точки

00 x , тобто ряд Маклорена для функції y :

1 !

00

n

nn

xn

yyy .

Обчислимо за допомогою диференціального рівняння значення декількох

похідних шуканої функції.

00 y ;

0000 2 y ;

yyy 21 ,

00210 y 1 ;

yyyyyyyy 2222

,

0102020 2 y ;

yyyyyyyyyyy 262224 ,

000210604 y ;

61

424528626 yyyyyyyyyyyyyy ,

6002008160 25 y ;

5446 2826 yyyyyyyyyyy

54 21020 yyyyyy ,

06020010012006 y ;

655447 21020 yyyyyyyyyyyyy

65422123020 yyyyyyy ,

0002601201300200 27 y ;

655448 1230220 yyyyyyyyyyy

7665 212 yyyyyyyy

7654 2144270 yyyyyyyy ,

25200200146142007008 y .

Тоді

8765432

!8

252

!7

0

!6

0

!5

6

!4

0

!3

0

!2

1

!1

00 xxxxxxxxy ,

852

160

1

20

1

2

1xxxy .


дачі Коші

22 yxy , 11 y .


10 x , тобто ряд Тейлора для функції y :

1

1!

11

n

nn

xn

yyy .



11 y ;

011122 y ;

yyxy 22 ,

62

2012121 y ;

yyyyyyyy 222222

,

62120221 2 y .

Тоді 32

1!3

61

!2

21

!1

01 xxxy ,

32111 xxy .


дачі Коші

yxy , 00 y , 10 y .


00 x , тобто ряд Маклорена для функції y :

1 !

00

n

nn

xn

yyy .



00 y ;

10 y ;

0000 y ;

yxyxyy 11 ;

01000 y ;

yxyyxyyy 214 ;

2001204 y ;

yxyyxyyy 3125 ;

0000305 y ;

446 413 yxyyxyyy ;

0200406 y ;

545447 514 yxyyxyyy ;

63

10002507 y .

Тоді 765432

!7

10

!6

0

!5

0

!4

2

!3

0

!2

0

!1

10 xxxxxxxy ,

74

504

1

12

1xxxy .

4. Знайти розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

xeyy , 00 y , 10 y .

Запишемо шукане розвинення у вигляді ряду з невизначеними коефіцієн-

тами, знайдемо його похідні та підставимо ці ряди у диференціальне рівняння

та початкові умови ( права частина рівняння також повинна бути записаною у

вигляді ряду).

4

4

3

3

2

210 xaxaxaxaay ,

4

5

3

4

2

321 5432 xaxaxaxaay ,

4

6

3

5

2

432 564534232 xaxaxaxaay ,

!4!3!2!1

1432

xxxxe

x .

00 y 000 210 aaa ;

10 y 10302 321 aaa ;

4

6

3

5

2

432 564534232 xaxaxaxaa

4

5

3

4

2

321 5432 xaxaxaxaa

!4!3!2!1

1432

xxxx,

2

342312 3342232 xaaxaaaa

4

56

3

45 556445 xaaxaa

!4!3!2!1

1432

xxxx .

64

Порівняємо коефіцієнти при однакових степенях змінної x та отримаємо реку-

рентну послідовність рівностей:

00 a ;

11 a ;

12 12 aa , 012

112 aa ;

!1

1223 23 aa ,

!3

12

!1

1

23

123

aa ;

!2

1334 34 aa , 0

!3

3

!2

1

34

13

!2

1

34

134

aa ;

!3

1445 45 aa ,

!5

10

!3

1

45

14

!3

1

45

145

aa ;

!4

1556 56 aa , 0

!5

5

!4

1

56

15

!4

1

56

156

aa ;

Можна довести, що коефіцієнти ряду задаються залежностями

!12

112

ka k , 02 ka .

Тоді шуканий ряд має вигляд

1253

!12

1

!5

1

!3

11

kx

kxxxy .

Легко помітити, що отриманий розв’язок може бути записаний у вигляді

xshy , де xx eexsh 2

1.

5. Знайти розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

1 yy , 20 y , 00 y .

Запишемо шукане розвинення, знайдемо його похідні та підставимо

отримані ряди у диференціальне рівняння та початкові умови.

4

4

3

3

2

210 xaxaxaxaay ,

4

5

3

4

2

321 5432 xaxaxaxaay ,

4

6

3

5

2

432 564534232 xaxaxaxaay .

65

20 y 200 210 aaa ;

00 y 00302 321 aaa ;

4

6

3

5

2

432 564534232 xaxaxaxaa

14

4

3

3

2

210 xaxaxaxaa ,

2

241302 34232 xaaxaaaa

15645 4

46

3

35 xaaxaa .

Отримаємо рекурентну послідовність рівностей

20 a ;

01 a ;

12 02 aa , 2

11

2

102 aa ;

023 13 aa , 023

113

aa ;

034 24 aa , !4

1

2

1

34

1

34

124

aa ;

045 45 aa , 045

135

aa ;

056 46 aa , !6

1

!4

1

56

1

56

146

aa ;

Можна довести, що коефіцієнти ряду задаються залежностями

!2

12

ka

k

k

, 012 ka .

Тоді шуканий ряд має вигляд

k

k

xk

xxxy2642

!2

1

!6

1

!4

1

!2

12 .

Легко помітити, що отриманий розв’язок може бути записаний у вигляді

xy cos1 .

66


Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку

задачі Коші

1. 1sin yxyy , 10 y .

2. 1 yyxy , 00 y , 10 y .

Знайти розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

3. 1 yy , 00 y , 10 y

4. xxyy cossin , 20 y , 00 y

Відповіді

1. 62

132 xx

y .

2. 62

32 xxxy .

3. kx

kxxxy

!

1

!3

1

!2

1 32 ; 1 xey .

4.

k

k

xk

xxxy2642

!2

1

!6

1

!4

1

!2

12 ; xy cos1 .

Розділ 4

РЯДИ ФУР’Є

4.1. Основні формули

Основні формули, за якими будуються розвинення в ряд Фур’є функцій

та обчислюються коефіцієнти цих розвинень, наведені у вигляді таблиці.

67

Період

Парність

2T ; ;x

lT 2 ; llx ;

Загального

вигляду

xfxf

2

0axf

1

sincosn

nn nxbnxa

xdxfa1

0

xdxnxfan cos1

xdxnxfbn sin1

2

0axf

1

sincosn

nnl

xnb

l

xna

l

l

xdxfl

a1

0

l

l

n xdl

xnxf

la

cos

1

l

l

n xdl

xnxf

lb

sin

1

Парна

xfxf

1

0 cos2 n

n nxaa

xf

0

0

2xdxfa

0

cos2

xdxnxfan

1

0 cos2 n

nl

xna

axf

l

xdxfl

a0

0

2

l

n xdl

xnxf

la

0

cos2

Непарна

xfxf

1

sinn

n nxbxf

0

sin2

xdxnxfbn

1

sinn

nl

xnbxf

l

n xdl

xnxf

lb

0

sin2

У процесі обчислення коефіцієнтів Фур’є часто застосовуються деякі ві-

домі математичні формули та факти. Наведемо їх.

Формули перетворення добутків тригонометричних формул в суму

coscos2

1coscos

coscos2

1sinsin

sinsin2

1cossin

68

Важливі властивості тригонометричних функцій

0sin0sin 0sinsin nn

sinsin sin1sinn

n

10cos 1cos nnn 1coscos

coscos cos1cosn

n

Деякі формули інтегрування

b

a

b

a

kxk

dxkx sin1

cos

b

a

b

a

kxk

dxkx cos1

sin

b

a

b

a

b

a

duvvudvu

4.2.Розвинення в ряди Фур’є 2π-періодичних функцій

Розглянемо деяку 2π-періодичну функцію xf , неперервну, або таку, що

на відрізку ; має скінчене число точок розриву першого роду.

Функціональний ряд виду

1

0sincos

2n

nn nxbnxaa

, коефіцієнти якого

обчислюються за формулами

xdxfa1

0 ,

xdxnxfan cos1

,

xdxnxfbn sin1

,

називається рядом Фур’є функції xf . Цей ряд збігається для будь-якого зна-

чення x , у всіх точках неперервності функції сума ряду xfxS , а в точках

розриву сума ряду дорівнює півсумі лівосторонньої та правосторонньої границь

функції xf :

69

2

00

xfxfxS .

Якщо 2π-періодична функція f(x) є парною ( xfxf ), то вона ро-

зкладається в ряд Фур’є тільки за косинусами:

1

0 cos2 n

n nxaa

xf ,

де

0

0

2xdxfa

0

cos2

xdxnxfan .

Непарна 2π- періодична функція f(x) розкладається в ряд Фур’є тільки

за синусами:

1

sinn

n nxbxf ,

де

0

sin2

xdxnxfbn .


Побудувати ряд Фур’є для заданої функції

1. xy 2 , ;x ; )()2( xyxy .

xyxxxy 22 ,

тобто це функція загального виду, отже, ряд Фур’є цієї функції має вигляд

1

0sincos

2n

nn nxbnxaa

у .

Обчислимо коефіцієнти цього ряду.

70

xdya1

0

xdx21

22

1 2xx

22

2

12

1

4

2

14

1 22

;

xdxnxyan cos1

xdxnx cos21

nxn

vdxnxdv

dxduxu

sin1

cos

2

dxnx

nnx

nx sin

1sin

12

1

0

sin211

nn

nxnn

n cos11

sin2

0

0

2coscos

1nn

n

0 ;

xdxnxybn sin1

xdxnx sin21

nxn

vdxnxdv

dxduxu

cos1

sin

2

dxnxn

nxn

x cos1

cos1

21

n

n

cos2

11

nxnn

n

n

sin11

cos2

cos

22cos

11n

n

00

2sinsin

1nxnx

n n

nn

n1

2cos

21

.

Таким чином, ряд Фур’є має вигляд

11

sin12

2sin12

2

4

n

n

n

n

nxn

nxn

xy .

71

2. 5

3cos

xy , ;x ; )()2( xyxy

xyxx

xy

5

3cos

5

3cos ,

тобто функція є парною, а її ряд Фур’є має вигляд

1

0 cos2 n

n xnaa

y .

Обчислимо коефіцієнти ряду.

00

05

3cos

22xd

xxdxya

00

0sin5

3sin

3

10

5

3sin

3

52

x

5

3sin

3

10

;

00

cos5

3cos

2cos

2xdxn

xxdxnxya n

0

5

3cos

5

3cos

2

12xdxn

xxn

x

0

5

53cos

5

53cos

1xd

xnxn

00 5

53sin

53

5

5

53sin

53

51 xn

n

xn

n

00

0sin5

53sin

53

50sin

5

53sin

53

51

n

n

n

n

n

nn

n

5

3sin

53

5

5

3sin

53

51

nn

nn1

5

3sin

53

51

5

3sin

53

51

nn

n

53

1

53

11

5

3sin5

1

2259

61

5

3sin

5

n

n

5

3sin

259

1302

n

n

.

Отже,

1

2cos

5

3sin

259

130

5

3sin

3

5

n

n

xnn

xy

.

72

3. Функція xy задана графічно.

Рис.4.1

Графік даної функції симетричний відносно початку координат, тому фу-

нкція непарна, періодична с періодом 2π.

Ряд Фур’є має вигляд

1

,sinn

n nxby де nxdxxybn sin)(2

0

.

Задамо функцію xy аналітично. Графік функції – пряма, що сполучає

точки 201 ;M та 02 ;M .Запишемо рівняння прямої 21ММ :

;20

2

0

0;

12

1

12

1

yx

yy

yy

xx

xx

;22;2

2;

2

2xy

yx

yx

);0(;22 xxy .

Тоді

xdxnxbn sin222

nxn

vdxnxdv

dxduxu

cos1

sin

222

00

2cos1

cos1

222

dxnxn

nxn

x

01

sin12

0cos02cos2212

nxnn

nn

M1

-4π -3π -2π -π π 2π 3π 4π 5π 6π x O

y

2π

-2π

M2

73

n

nnn

40sinsin

222

00

2

.

Таким чином, ряд Фур’є функції, зображеної на рис.1, виглядає так:

1

4

n

nxsinn

y .


Знайти ряд Фур’є для функцій

1. xfxf

x

xxf

2,

0,1

0,2

1

.

2. xfxfxxxf 2,, .

3. На проміжку ; функцію задано графічно; xfxf 2 .

Рис. 4.2

Відповіді

1.

1

sin112

3

4

1

n

nnxxf

.

2.

1

2cos

112

2n

n

nxn

xf

.

3.

1

2cos

111

n

n

nxn

xf

y

π /2

-π /2

O x

π -π

74

4.3. Ряди Фур’є 2l- періодичних функцій

Якщо f(x) є функцією періоду 2l, її розвинення в ряд Фур’є має вигляд

1

0 sincos2

n

nnl

xnb

l

xna

axf

,

де коефіцієнти обчислюються за формулами

l

l

xdxfl

a1

0 ,

l

l

n xdl

xnxf

la

cos

1,

l

l

n xdl

xnxf

lb

sin

1.

Для парних функцій формули мають вигляд

1

0 cos2 n

nl

xna

axf

,

l

xdxfl

a0

0

2,

l

n xdl

xnxf

la

0

cos2

,

а для непарних –

1

sinn

nl

xnbxf

,

l

n xdl

xnxf

lb

0

sin2

.


1. 23 xy , 4;4x ; xyxy 8

Функція є періодичною з періодом 82 l , отже, 4l .

xyxxxy 2323 – функція загального вигляду,

отже,

1

0

4sin

4cos

2 n

nn

xnb

xna

ay

.


4

4

4

4

24

4

4

4

0 22

34

123

4

1

4

1x

xxdxxdxya

75

4824

14421616

2

3

4

1 22

;

4

4

4

44

cos234

1

4cos

4

1xd

xnxxd

xnxya n

4sin

4

4cos

323

xn

nvxd

xndv

xdduxu

4

4

4

4 4sin3

4

4sin

423

4

1xd

xn

n

xn

nx

4

4

4

4 4cos

412

4sin23

4

4

1 xn

nn

xnx

n

00

4

4sin14

4

4sin10

4

4

1

nn

n

0

4

4cos

4

4cos

48

0

2

nn

n;

4

4

4

44

sin234

1

4sin

4

1xd

xnxxd

xnxyb n

4cos

4

4sin

323

xn

nvxd

xndv

xdduxu

4

4

4

4 4cos3

4

4cos

423

4

1xd

xn

n

xn

nx

4

4

4

4 4sin

412

4cos23

4

4

1 xn

nn

xnx

n

4

4cos14

4

4cos10

4

4

1

nn

n

00

2 4

4sin

4

4sin

48 nn

n

n

nnn

cos

cos14cos104

4

n

ncos24

1 1

124

n

n.

76

Остаточно

1

1

4sin

124

2

4

n

nxn

nxy

.

2.

);(x;

);(x,xy

303

0312 ; xyxy 6

Функція є періодичною з періодом 62 l , отже, 3l . Очевидно, що фу-

нкція є ні парною, ні непарною, отже,

1

0

3sin

3cos

2 n

nn

xnb

xna

ay

.


3

0

0

3

3

3

0 3123

1

3

1xdxdxxdxya ,

0

3

0

3

20

3

12

212 xx

xdxI 123090 ,

009333

0

3

0

2 xxdI ,

19123

10 a ;

3

33

cos3

1xd

xnxya n

0

3

0

33

cos33

cos123

1xd

xnxd

xnx

,

0

3

13

cos12 xdxn

xI

3sin

3

3cos

212

xn

nvxd

xndv

xdduxu

0

3

0

3 3sin2

3

3sin

312 xd

xn

n

xn

nx

0

3

0

3 3cos

36

3sin12

3 xn

nn

xnx

n

3

3cos0cos

18

3

3sin70sin1

322

0

0

n

n

n

n

77

n

nn

11

22cos0cos

18

n

n11

1822

,

3

0

23

cos3 xdxn

I

3

03sin

33

xn

n

00sin

3

3sin

9

n

n,

nn

nnn

a 116

01118

3

12222

;

3

33

sin3

1xd

xnxyb n

0

3

0

33

sin33

sin123

1xd

xnxd

xnx

,

0

3

13

sin12 xdxn

xI

3cos

3

3sin

212

xn

nvxd

xndv

xdduxu

0

3

0

3 3cos2

3

3cos

312 xd

xn

n

xn

nx

0

3

0

3 3sin

36

3cos12

3 xn

nn

xnx

n

0

022 3

3sin0sin

18

3

3cos70cos1

3

n

n

n

n

n

nn

1

cos713

n

n171

3

,

3

0

23

sin3 xdxn

I

3

03cos

33

xn

n

0cos

3

3cos

9

n

n

119

n

n n

n11

9

,

nnn

nnnn

b 11041

119

1713

3

1

.

Таким чином, ряд має вигляд

1

223

sin11041

3cos11

6

2

1

n

nn xn

n

xn

nxy

.

3. xy 6sin ,

3;

3

x ; xyxy

3

2.

78

Функція має період 3

22

l , отже,

3

l .

xyxxxy 6sin6sin – функція непарна, тобто її ряд

Фур’є має вигляд

11

3sin3

sinn

n

n

n nxbxn

by

.


3

0

3

0

3sin6sin6

3sin3

2

xdxnxxdxnxyb n

3

0

36cos36cos2

16

xdxnxxnx

3

0

23cos23cos3

xdnxnx

3

0

3

0

23sin23

123sin

23

13

nx

nnx

n

00sin23

3sin2

10sin2

33sin

2

11

n

nn

n

.

Отриманий результат справджується для 2n , оскільки застосування ві-

домої формули з таблиці інтегралів можливо лише, якщо 02n .

Окремо обчислимо коефіцієнт 2b :

3

00

3

0 1

2 12sin12

1312cos0cos

33

xxxdxb

13

30sin

3

12sin

12

10

3

3

.

Таким чином, xy 32sin1 , або xy 6sin .

Отриманий результат є очікуваним, оскільки функція xy співпадає з

однією з функцій системи, за якою будується розвинення.

4. На проміжку 4;4 періодичну з періодом 8T функцію y=f(x) задано

графічно.

79

Рис.4.3

Період функції 2l=8, отже, півперіод l=4. Графік є симетричним відносно

осі Oy , тому функція парна та розкладається в ряд Фур’є за косинусами:

421

0 xncosa

ay

n

n

.

Задамо функцію аналітично. Запишемо рівняння прямої, яка проходить

через точки 1;01M та 4;12М .

Користуючись рівнянням 12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

, маємо

;yx

14

1

01

0

;

yx

3

1 xy 31 .

Таким чином, 13 xy для 1;0x .

Якщо 3;1x , то 2y ; при 4;3x 0y .

Остаточно

]4;3[,0

)3;1(,2

]1;0[,13

x

x

xx

y .

Обчислимо коефіцієнти Фур’є:

l

dxdxdxxdxxyl

a

0

1

0

3

1

4

3

0 02134

2)(

2

x

M2 4

y

1

2

-1 -4 -3 4 3

1 M1

80

)13(2

23

2

123

2

1 1

0

1

0

21

0

3

1

1

0

xx

xdxxdx

4

13

2

13

2

15

2

3

2

140101

2

3

2

1 22

;

3

1

1

004

cos24

cos134

2cos

2dx

xndx

xnxdx

l

xnxy

la

l

n

4

34

cos0 dxxn

4sin

4

4cos

313

xn

nvdx

xndv

dxduxu

3

1

1

0

1

0 4sin

423

4sin

4

4sin

413

2

1 xn

ndx

xn

n

xn

nx

1

00 4cos

4120sin1

4sin113

4

2

1 xn

nn

n

n

4sin

4

3sin

8

nn

n

4sin

4

3sin20cos

4cos

12

4sin4

4

2

1

1

nnn

n

n

n

n

n

n

nn

n

6

4cos

6

4

3sin

4sin

4 .

4cos

6

4cos

6

4

3sin

4sin

4

8

13

1

xn

n

n

n

nn

ny

n

.

Зауваження. Також цілком коректною є задача побудови ряду Фур’є для

функції, яку задано лише на скінченому проміжку ll ; . Треба лише заува-

жити, що застосовувати отримане розвинення можна виключно для значень ар-

гументу із зазначеного проміжку.

81


Знайти ряд Фур’є для функцій .

1. xfxfxxxf 4,22, .

2. xfxfxx

xxf

2,

10,

01,1

Відповіді

1.

1

1

2sin

14

n

nxn

nxf

.

2.

1

22sin

1cos

11

4

3

n

n

xnn

xnn

xf

.

4.4. Ряди Фур’є для функцій, заданих на проміжку l;0

Якщо функцію xfy задано на проміжку l;0 , то її визначення мож-

на доповнити для проміжку 0;l , та побудувати розвинення отриманої фун-

кції в ряд Фур’є.

У випадку, коли функцію продовжено на проміжку 0;l парним обра-

зом, отримують розвинення заданої на l;0 функції за косинусами:

1

0 cos2 n

nl

xna

axf

, lx ;0 ,

де

l

xdxfl

a0

0

2,

l

n xdl

xnxf

la

0

cos2

.

Якщо продовження є непарним, отримують розвинення заданої функції за

синусами:

82

1

sinn

nl

xnbxf

, lx ;0 ,

де

l

n xdl

xnxf

lb

0

sin2

.

Аналогічно будується розвинення в ряд Фур’є функцій, заданих на про-

міжку 0;l .


1. Побудувати розвинення в ряд Фур’є функції xy , 2;0x

а) за синусами;

б) за косинусами.

а) Функцію задано на проміжку 2;0 , отже, 2l . Розвинення в ряд

Фур’є за синусами має вид

11

2sin

2sin

n

n

n

n

nxb

xnby

.


2

0

2

02

sin1

2sin

2

2xd

xnxxd

xnxyb n

2cos

2

2sin

xn

nvxd

xndv

xdduxu

2

0

2

0 2cos

2

2cos

21xd

xn

n

xn

nx

2

0

2

0 2sin

22

2cos

21 xn

nn

xnx

n

1

0cos2

2cos

21

n

n

0

0

20sin

2

2sin

4

n

n

nn

cos2

112

n

n 11

2 1

n

n.

83

Остаточно

1

1

2sin

112

n

nxn

nx , 2;0x .

б) Розвинення функції в ряд Фур’є за косинусами має вид

2

cos2

1

0 xna

ay

n

n

.


2

0

2

0

22

0

02

1

2

2x

xxdxa

221

02442

11 22

;

2

02

cos1

xdxn

xa n

2sin

2

2cos

xn

nvxd

xndv

xdduxu

4

4

2

0 2sin

2

2sin

21xd

xn

n

xn

nx

2

0

2

0 2cos

22

2sin

21 xn

nn

xnx

n

1

20

0

0cos2

2cos

40sin

2

2sin

21

n

n

n

n

1cos41

2

n

n 11

42

n

n.

Таким чином,

2

cos114

1

2

xn

ny

n

n

, 2;0x .

2. Побудувати ряди Фур’є за синусами та за косинусами функції, заданої гра-

фічно.

84

Рис.4.4

Задамо функцію аналітично. Очевидно, що, якщо 1;3 x , то

1y , а для 0;1x 1y , отже,

0;1,1

1;3,1

x

xxy .

Функцію задано на проміжку 0;3x , тобто 3l .

а) Розвинення в ряд за синусами має вид

1

3sin

n

n

xnbxy

.


0

1

1

3

0

33

sin13

sin13

2

3sin

3

2xd

xnxd

xnxd

xnxyb n

0

1

1

3 3cos

3

3cos

3

3

2 xn

n

xn

n

3

1cos0cos

3

3cos

3

1cos

3

3

2

nnn

n

1cos

3cos2

2

n

n

n

11

3cos2

2 nn

n

.

Тоді

13

sin113

cos22

n

n xnn

nxy

, 0;3x .

б) Побудуємо ряд за косинусами:

1

0

3cos

2n

n

xna

axy

.

О

y

x

-3 -1

-1

1

85

0

1

1

3

0

3

0 113

2

3

2xdxdxdxya

0

1

1

33

2xx

3

21031

3

2 .

0

1

1

3

0

33

cos13

cos13

2

3cos

3

2xd

xnxd

xnxd

xnxya n

0

1

1

3 3sin

3

3sin

3

3

2 xn

n

xn

n

3

1sin0sin

3

3sin

3

1sin

3

3

2

0

0

nnn

n

3sin

4

n

n .

Отже,

1

3cos

3sin

4

3

1

n

xnn

nxy

, 0;3x .


Побудувати розвинення в ряди Фур’є за синусами та за косинусами фун-

кцій:

1. 32 xy , 2;0x .

2.

0;,

;2,0

xx

xy .

3.

Рис.4.5

O

π

π

y

x

-π

86

Відповіді

1. а) 2

sin312

1

xn

ny

n

n

;

б) 2

cos118

11

22

xn

ny

n

n

.

2. а)

1

22

sin2

sin4

2cos

2

n

xnn

n

n

ny

;

б)

1

22

cos2

cos14

2sin

2

4n

xnn

n

n

ny

.

3. а) nxn

yn

n

sin112

1

;

б) nxn

yn

n

cos114

1

2

.

ЛІТЕРАТУРА

1. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. – К.: А.С.К.,

2006. – 648 с.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.

В 3-х т. Т. 2: М: – ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 810 с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для

втузов. В 2-х т.: Т. 2: – М: – Интеграл-Пресс, 2004. – 544 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнени-

ях и задачах. В 2-х ч. Ч. 2: – М.: Оникс, 2006. – 416 с.

5. Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К.Н. Лунгу, В.П. Норин,

Д.Т. Письменный и др. – М.: АЙРИС-пресс, 2009. – 592 с.

87

З М І С Т

Вступ……………………………………………………………………………….3

Розділ 1

Числові ряди

1.1. Знакододатні ряди…………………………………………………………….4

1.2. Знакозмінні ряди…………………………………………………………….19

Розділ 2

Степеневі ряди

2.1. Збіжність степеневих рядів…….……………………………………………23

2.2. Розвинення функцій в степеневі ряди……………………………………...32

Розділ 3

Застосування рядів

3.1. Наближене обчислення значень функцій та визначених

інтегралів…………………………………………………………………......50

3.2. Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою

степеневих рядів……………………………………………………………..60

Розділ 4

Ряди Фур’є

4.1. Основні формули…………………………………………………………….66

4.2. Розвинення в ряди Фур’є 2π-періодичних функцій…………..…………...68

4.3. Ряди Фур’є 2l-періодичних функцій…………………………..…………..74

4.4. Ряди Фур’є для функцій, заданих на проміжку l;0 ……………..…….81

ЛІТЕРАТУРА……………………………………………………………………..86

88

Навчальне видання

Кадильникова Тетяна Михайлівна

Кагадій Лариса Петрівна

Кочеткова Інна Борисівна

Сушко Лариса Федорівна

Запорожченко Олена Євгенівна

Вища математика в прикладах

та задачах.

Частина V

Навчальний посібник

Тематичний план 2011, поз.

Підписано до друку . Формат 60х84 1/16. Папір друк. Друк плоский.

Облік.-вид. арк. . Умов. друк. арк. . Тираж 100 пр. Замовлення №

Національна металургійна академія України

49600, м. Дніпропетровськ-5, пр. Гагаріна, 4

__________________________________

Редакційно-видавничий відділ НМетАУ

Documents

nmetau.edu.ua · УДК 517(07) Кадильникова Т.М., Кагадій Л.П., Кочеткова І.Б., Сушко Л.Ф., Запорожчен-ко О.Є. Вища