1

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті

ӘОЖ 517.956 Қолжазба құқығында

БЕЙСЕНОВА ДАНАГҤЛ РЫМБАЕВНА

Жоғарғы ретті дифференциалдық және айырымдық операторлардың

бӛліктенуі мен спектрлік қасиеттері

6D060100 – Математика

Философия докторы (PhD)

дәрежесін алу үшін дайындалған диссертация

Ғылыми кеңесшілер

физика-математика ғылымдарының докторы,

профессор Қ.Н. Оспанов

PhD, профессор

Т. Бекжан (ҚХР)

Қазақстан Республикасы

Нұр-Сұлтан, 2019

2

МАЗМҦНЫ

КІРІСПЕ ..............................................................................................................

3

1 ЕКІНШІ РЕТТІ АЙЫРЫМДЫҚ ОПЕРАТОРЛАРДЫҢ

БӚЛІКТЕНУ ШАРТТАРЫ МЕН ОЛАРДЫҢ СПЕКТРЛІК

ҚОЛДАНЫЛУЛАРЫ ...........................................................................

16

1.1 Негізгі анықтамалар мен кӛмекші тұжырымдар .................................. 16

1.2 Екінші ретті комплекс коэффициентті бір айырымдық оператордың

бӛліктенуі жайлы ......................................................................................

25

1.3

Тербелмелі аралық коэффициентті айырымдық оператордың

анықталу облысын сипаттау және оның резольвентаның

компактылығы ..........................................................................................

36

2

2.1

ЖОҒАРҒЫ РЕТТІ АЙЫРЫМДЫҚ ОПЕРАТОРЛАР ҤШІН

КОЭРЦИТИВТІ БАҒАЛАР ..................................................................

Салмақты айырымдық Харди типті теңсіздіктер ..................................

47

48

2.2

2.3

Екімүшелі жұп ретті нұқсанды айырымдық оператор үшін

коэрцитивті бағалар ..................................................................................

Жоғарғы жұп ретті айырымдық оператордың максимальды

регулярлық шарты ....................................................................................

61

68

3

3.1

КЕЙБІР АРАЛЫҚ КОЭФФИЦИЕНТТЕРІ ШЕНЕЛМЕГЕН

ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ОПЕРАТОРЛАР ......................................

Екінші ретті комплекс коэффициентті нұқсанды дифференциалдық

оператордың қайтарымдылық және бӛліктену шарттары ....................

73

73

3.2 Тӛртінші ретті нұқсанды бір дифференциалдық оператордың

бӛліктенуі ..................................................................................................

77

3.3 Айырымдық және дифференциалдық операторлардың максимальды

регулярлық шарттарын ӛзара салыстыру ...............................................

80

ҚОРЫТЫНДЫ ................................................................................................... 82

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ .............................................. 84

3

КІРІСПЕ

Диссертациялық жұмыс аралық коэффициенттері бар сингулярлы сызықты

дифференциалдық және айырымдық операторлардың қайтарымды болуы мен

бӛліктенуі, олардың резольвенталарының компактылығы мәселелеріне

арналған. Бұл есептер дифференциалдық теңдеулер мен шексіз кӛп айырымдық

теңдеулер жүйелері үшін шешімдердің табылуы, жалғыздығы және оларды

коэрцитивті бағалау сияқты эквивалентті мәселелерге келтіріліп, шешіледі.

Тақырыптың ӛзектілігі. Сингулярлы жоғары ретті

(2 ) (2 1) (2 2)

1 2 2( ) ( ) ... ( )n n n

nLy y a x y a x y a x y ( ( , )x ),

түріндегі дифференциалдық операторлар жиырмасыншы ғасырдың бірінші

жартысында зерттеле бастады. L ӛзіне-ӛзі түйіндес болған жағдайда және

аралық sa ( 12,...,2,1 ns ) коэффициенттері не тұрақты дерлік, не олардың ӛсуі

жоғарыдан na2 - нің қандай да бір дәрежесімен шенелген жағдайда ӛзіндік

функциялар асимптотикасын құрудың, Грин функциясын зерттеудің және осы

L операторының дефектінің индексін есептеудің функционалдық әдістері

жасалды. Алынған нәтижелер [1 - 3] монографияларында жүйеленген.

Әрбір оператор ӛзі құрайтын теңдеу арқылы практикада қолданыс табады.

Дифференциалдық операторлар мен олардың айырымдық аналогтарының

қолдану объектілері бір процестің әртүрлі режимдері болып келгендіктен,

оларды зерттеу бірдей дәрежеде қажетті екені түсінікті. Осыған қарамастан

шексіз кӛп айырымдық теңдеулердің жүйелерін құрайтын операторлар (оларды

алдағы уақытта қысқаша шексіз айырымдық оператор деп атайтын боламыз)

теориясының дамуы сингулярлы дифференциалдық операторлар теориясынан

әлдеқайда кейіндеп қалды.

Келтірілген салыстыруды бір мысалмен жандандырайық. Жәндіктер

популяциясы процесін модельдеу кезінде дифференциалдық теңдеу де, оның

айырымдық аналогы да кездеседі [4, 5]. Зерттелу нәтижесі айырымдық және

дифференциалдық моделдер арасында кейбір алшақтықтар бар екенін кӛрсетті,

мысалы, дифференциалдық модель тегіс шешімге алып келсе, айырымдық

модель, керісінше, ӛте құбылмалы шешімдерге алып келеді. Олардың екеуі де

популяция моделі болғанымен, әрқайсысы жеке бұл процесті барлық мүмкін

болған режимдерде бірдей адекватты сипаттап бере алмайды. Дәл сипаттаушы

универсал модель әлі табылған жоқ, мамандардың пікірі бойынша ол аталған

екі модельден де бӛлек және дифференциалдық және айырымдық моделдердің

әрқайсысының белгілі бір қасиеттеріне ғана ие ([6]-ны қара).

Жоғарыда аталған айырмашылықтар таза теориялық есептерде де кездеседі.

Мысалы, дифференциалдық теңдеу үшін қойылған Коши есебі алдымен

тәуелсіз айнымалы ӛзгеретін аз аралықта шешіледі де, осы аралықтағы

шешімнің мәні арқылы келесі аралыққа аталған есеп қайта қойылып,

шығарылады. Осылайша қажетті аралықта шешім бар екені дәлелденеді. Ал

айырымдық Коши есебі жағдайында, ӛкінішке орай, «аз интервал» деген ұғым

4

жоқ, сондықтан жоғарыдағы тәсіл ӛтпейді. Екіншіден, [7] және [8]

жұмыстарының нәтижелері айырымдық операторлардың регулярлық шарттары

олардың дифференциалдық аналогтарына қарағанда айтарлықтай әлсіз екенін

кӛрсетті.

Демек, айырымдық операторларды ӛзіне тән әдістерді қолдана отырып,

жеке зерттеуге кӛңіл бӛлу керек, осылайша маңызды нәтижелерге қол жеткізуге

болады.

Айырымдық операторлардың кең тараған және айтарлықтай терең

зерттелген түрі – ақырлы айырымдық схемалар операторлары. Олар, мысалы,

математикалық физиканың бастапқы-жиектік есептерін жуықтап шешу үшін

қолданылады. Айырымдық схемаларды зерттеу амалдары әдебиетте жүйелі

түрде баяндалған ( [9, 10] және олардағы сілтемелерді қара).

Шексіз айырымдық операторларды зерттеу осыдан 20-30 жыл бұрын

басталған, қазіргі кезде күрт даму үстінде. Сызықты және сызықты емес

Штурм-Лиувилль шексіз айырымдық операторларының қайтарымдылық және

бӛліктену шарттары [11] жұмысында алынды. Осы операторға сәйкес

симметриялы матрицаның ӛзіндік мәнінің матрица ретінен тәуелсіз екі жақты

бағасы [12, 13] мақалаларында кӛрсетілді. Шексіз айырымдық операторлар мен

жүйелердің сапалық қасиеттерін функционалдық әдістермен зерттеу

айырымдық салмақты Соболев кеңістіктері теориясының күрт дамуына әсер

етті [14-18]. Бір жиілікті сызықты емес шексіз айырымдық Шредингер жүйелері

теориясына қосқан үлесі үшін ([19, 20] жұмыстарын қара) Бразилия математигі

А. Авилаға 2014 жылы Филдс сыйлығы берілді. Бұл шексіз айырымдық

жүйелер мен операторларды зерттеу мәселесі халықаралық математиктер

қауымдастығы тарапынан басым бағыт ретінде қарастырылып отырғанын

байқатады.

Шексіз айырымдық оператордың бір ерекшелігі - оның коэффициенттері

шенелмеген тізбек құруы мүмкін. Бұл мәселе операторға сәйкес жүйе

теңдеулері санының шексіз кӛп болуымен және айырымдық операторлар

теориясының кешеуілдеп дамуымен бірге зерттеудің күрделілігін айқындайды.

Сонымен қатар, дифференциалдық және айырымдық есептеу ұғымдары

арасындағы алшақтық сингулярлы жағдайда айырымдық және

дифференциалдық операторлар теориялары арасында айтарлықтай

айырмашылықтарға алып келеді. Мысалы, бірінші ретті сызықты

дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін қойылған сингулярлы Дирихле

есебіне сәйкес оператордың энергетикалық кеңістігі тек RL2 -де жататын

функциялардан тұратын болса, осы оператордың айырымдық аналогының

энергетикалық кеңістігі кей жағдайларда Соболев кеңістігіне енеді [21].

Шенелген коэффициентті айырымдық теңдеулер жүйелері үшін Коши

есебінің коэрцитивті шешілуі мәселесі [22], [23], [24] жұмыстарында

қарастырылған, ал тербелмелі коэффициентті айырымдық Шредингер жүйесі

[25] – те зерттелген.

Соңғы кезде броундық козғалыстар динамикасымен байланысты

стохастикалық процестерде, кедергілі және сығылатын ортадағы тербелістер

5

мен қозғалыстарды моделдеуде, биология мен қаржылық математика

есептеріндегі маңызды қолданыстарына байланысты аралық коэффициенттері

тәуелсіз ӛсетін екінші ретті айырымдық және дифференциалдық операторларды

зерттеулер қарқыны күрт ӛсті. Олардың ішінде, әсіресе аралық

коэффициенттері потенциалға бағынбайтын жағдай Штурм-Лиувилль типті

операторлардан алшақтығымен мамандарды қызықтырып отыр. Аралық

коэффициенттері сызықтыға жақын жылдамдықпен ӛсетін екінші ретті

дифференциалдық операторлар A. Lunardi, V. Vespri, G. Metafune, J. Prüss, A.

Rhandi, R. Schnaubelt, M. Hieber, L. Lorenzi т.б. жұмыстарында қарастырылған

([52], 5-тарау). Ал екінші ретті шексіз айырымдық операторлар жағдайын

зерттеу мәселесі, [33, 34, 8] мақалаларын есепке алмағанда, ашық күйінде

қалуда. Сол сияқты жоғарғы ретті нұқсанды айырымдық жүйелердің шешілуі

мәселесі де зерттеуді қажет етеді.

Сондықтан, аралық коэффициенттерінің ӛсу реті шектеусіз екінші және

жоғарғы ретті айырымдық және сингулярлы дифференциалдық

операторлардың корректілік, регулярлы болу және спектрлік мәселелері толық

зерттелмеген және тиісінше ӛзекті болып табылады.

Жҧмыстың мақсаты. Диссертациялық жұмыстың мақсаты – аралық

коэффициенттері шенелмеген екінші және жоғарғы ретті айырымдық және

дифференциалдық операторлардың қайтарымдылық және коэрцитивтік

шарттарын алу және кейбір спектрлік қасиеттерін кӛрсету.

Зерттеу объектісі. Аралық коэффициенттері шенелмеген екінші және

жоғарғы ретті шексіз айырымдық және дифференциалдық операторлар.

Зерттеу әдістері. Жұмыста априорлы бағалау, псевдорезольвентаны

локальды есептер арқылы тұрғызу әдістері, операторлардың бӛліктену

теориясы, айырымдық салмақты кеңістіктерді енгізу теориясы әдістері және

белгілі аз бұлқыну теоремалары пайдаланылды.

Ғылыми жаңалығы. Жұмыста келесі жаңа нәтижелер алынды:

- зерттеу аппаратын жетілдіру мақсатында, сандық тізбектің pl ( 1 p )

кеңістігіндегі салмақты нормасын оның жоғарғы ретті айырымының pl -дағы

салмақты нормасы арқылы бағалайтын Харди типті айырымдық теңсіздік

дәлелденді;

- аралық коэффициенттері басым ӛсетін жоғары жұп ретті шексіз

айырымдық оператордың гильберт кеңістігінде қайтарымды болу шарттары

алынды, оның анықталу облысы толық сипатталды, бӛліктенетіні дәлелденді,

сәйкес коэрцитивтік баға келтірілді;

- аралық коэффициенті жылдам тербелетін нұқсанды екінші ретті шексіз

айырымдық оператордың гильберт кеңістігінде корректілі болу және бӛліктену

шарттары, сол сияқты оның спектрінің дискретті болу шарттары кӛрсетілді;

- аралық коэфициенті комплекс мәнді екінші ретті дифференциалдық

оператордың корректілік және бӛліктену шарттары кӛрсетілді;

- тӛртінші ретті, тербелмелі коэффициентті бір дифференциалдық

оператордың гильберт кеңістігіндегі корректілігі мен бӛліктену шарттары

алынды. Осы бӛліктену шарттары оператордың айырымдық аналогының

6

бӛліктену шарттарымен салыстырылып, айырымдық жағдайдағы шарттардың

әлдеқайда әлсіз екені кӛрсетілді.

Алынған нәтижелердің теориялық және практикалық маңыздылығы.

Жұмыстың негізгі нәтижелері теориялық сипатта. Олар дифференциалдық

операторлардың спектрлік теориясында, сингулярлы операторлардың сапалық

қасиеттерін зерттеуде қолданылуы мүмкін. Сол сияқты, олар жоғарыда

қарастырылған операторларды зерттеуге алып келетін стохастикалық

процестерді, қаржы математикасы есептерін, кедергілі және сығылатын

ортадағы тербелістер мен басқадай қозғалыстар түрлерін моделдеу кезінде

қолданылуы мүмкін. Алынған нәтижелерді жоғарғы оқу орындарында

дифференциалдық операторлар мәселелеріне арналған арнайы курстарды оқыту

кезінде пайдалануға болады.

Алынған нәтижелерді апробациялау. Жұмыс нәтижелері

«Дифференциальные операторы и моделирование сложных систем» (Алматы,

7-8 сәуір 2017 ж), «Дифференциалдық және интегралдық операторлардың

салмақты бағалаулары және олардың қолданыстары» (Астана, 4-6 мамыр, 2017

ж.), «Спектральная теория и смежные вопросы» (Уфа, 1 – 4 қазан, 2018 ж.)

және «Математика, механика және информатиканың теориялық қолданбалы

мәселелері» (Қарағанды, 12-13 маусым, 2019 ж.) халықаралық ғылыми

конференцияларында және ҚР ҰҒА академиктері М. Ӛтелбаев, Р. Ойнаров

және профессорлар Е.Д. Нұрсұлтанов пен Қ.Н. Оспановтың жетекшілігімен

ӛтетін «Функционалдық анализ және оның қолданылулары» ғылыми

семинарында баяндалып, талқыланды.

Жарияланымдар. Диссертация нәтижелері 9 жұмыста жарияланды.

Соның ішінде 3 мақала ҚР БҒМ білім және ғылым саласындағы бақылау

комитеті ұсынған басылымдарда [37, 40, 42], 1 жұмыс Scopus деректер қорына

енетін нӛлдік емес импакт-факторы бар ғылыми журналда [43], 1 жұмыс

шетелдік басылымда [38], 4 жұмыс халықаралық ғылыми конференциялардың

еңбектері және тезистер жинақтарында [35, 36, 39, 41], оның ішінде 1 жұмыс

шет елде ӛткен конференция еңбектері жинағында [39] жарияланды.

Диссертацияның қҧрылымы. Диссертация кіріспеден, үш бӛлімнен (әр

бӛлім ішкі бӛлімдерге бӛлінген), қорытындыдан және пайдаланылған

әдебиеттер тізімінен тұрады.

Диссертацияның негізгі мазмҧны. Бірінші бӛлімнің 1.1 ішкі бӛлімінде

диссертация нәтижелерін баяндау үшін қажет негізгі анықтамалар мен кӛмекші

тұжырымдар ішінара дәлелдеулерімен келтірілді.

Келесі 22 1 1

0L y h y h r y h s y qy py

түріндегі айырымдық оператор

қарастырылады. Мұндағы

jjhyy ,

jjhyy ,

jjh

yLyL 00 ,

jjhff ,

jjhyy ,

jjhyy ,

jjhyy )2()2( , ал Zjrdiagr jh , ,

Zjsdiags jh , , Zjqdiagq jh , , ,jhp diag p j Z - диагональды

матрицалар, 0h , jhr - берілген нақты сандар, jhs , jhq , jhp , jhf - комплекс сандар,

jhy – jhy - тың комплекс түйіндесі, ал jhhjjh yyy )1( , jhhjjhyyy )1( ,

7

hjjhhjjh yyyy )1()1(

)2( 2 Zj . )(2 hlf деп есептейміз, 2 ( )l h - нормасы 1

22

2, jhhj

y y h

мәніне тең jh j

y y

элементтерінің кеңістігі. 0L

операторы : 0, 0jh jhjl y y M y j M

финитті тізбектер жиынында

анықталсын. L ретінде 0L операторының )(2 hl нормасы бойынша тұйықталуын

белгілейміз.

1.2 ішкі бӛлімінде 0L айырымдық операторының 2 ( )l h кеңістігінде

бӛліктенуінің мүмкіндігін зерттейтін боламыз. Егер jhr , jhs сандары нӛлге тең,

немесе олар шенелген тізбектер құратын болса, онда 0L операторының

қайтарымдылық шарттары белгілі Штурм-Лиувилль айырымдық операторына

ұқсас әдіспен алынады [47]. Ал егер r мен s матрицаларының ең болмағанда

біреуі шенелмеген болса, онда 0L нұқсанды оператор болып табылады.

Мұндай жағдай тек симметриялы дифференциалдық операторлар үшін ғана

ішінара зерттелген [48]. Ал 0L симметриялы емес және комплекс

коэффициентті. 0 ps , qq дербес жағдайында ол [49] жұмысында

қарастырылды. Бұл ішкі бӛлімде [49] жұмысына ұқсас әдіс пайдаланылса да,

соңғыдан айтарлықтай айырмашылықтары бар. Атап айтқанда (бұлар

артықшылықтар), 0 ps , qq болған жағдайда тӛменде дәлелденген

Теорема 0.1-ден [49] жұмысындағы Теорема 3.1 шығады, бірақ Теорема 0.1-де

Теорема 3.1-дегі [49] коэффициент тербелісіне қойылған ( r ге қойылған) (3.2)

шарты алынып тасталған. Оның үстіне, Теорема 1.2.2-де [49]-дағы 1, r

шарты одан әлсіз (0.1), (0.2) шарттарымен алмастырылған. [49]–да

қарастырылған оператор үшдиагональды матрицаға сәйкес келсе, ал 0L

операторына сәйкес матрица блоктық болып табылады.

0L операторын зерттеу тек теориялық қызығушылықтан ғана тумаған. Оған

стохастикалық процестер мен стохастикалық дифференциалдық теңдеулер

теориясында пайда болатын кейбір есептер алып келеді [50]. Ал стохастикалық

дифференциалдық теңдеулерді аналитикалық зерттеу А.Н. Колмогоровтың [51]

мақаласынан бастау алады. Бұл бағыттағы зерттеулер ауқымы барған сайын

кеңейе түсуде. Мысалы, осы мәселеге арналған [52] монографиясында 900-ден

аса әдебиетке сілтеме жасалған.

Келесі белгілеулерді енгізейік:

2

1

22

1

0

2

, )(

nj

j

n

j

jn ( ...,2,1,0n ),

2

1

22

1

12

, )(k

j

j

kj

jk ( ,...2,1 k ),

8

)(sup),(supmax ,,...2,1

,,...2,1,0

, knkn

,

мұндағы ,jdiag j Z және ,jdiag j Z ( 0)j - берілген

диагональды матрицалар.

Теорема 0.1 Айталық r матрицасы 1jhr Zj ,

2

1

2

,...2,1

*sup

nj

jhn

h rnF , (1)

және

2

1

2

,...2,1

**1sup

k

j

jhk

h rkF (2)

шарттарын қанағаттандырсын. Ал s , q және p матрицалары үшін

1,

2 1 28[1 2 ] 1 1jh r jhr s

h h h

)( Zj , 0 , (3)

,q r , (4)

,p r (5)

шарттары орындалсын. Онда L операторы қайтарымды, ал оған кері 1L

операторы барлық 2 hl кеңістігінде анықталған және әрбір (L)y D үшін

201222

1

2

1

2

22 )( yLhCypqyyshyrhyh

(6)

бағалауы орындалады. Мұндағы 1С шамасы 0h нүктесі аймағында 1 2

1

T TС

h h

( 1 2T ,T тұрақтылар) шартын қанағаттандырады.

Анықтама 0.1 Егер (L)y D үшін (6) теңсіздігі орындалса, онда L

операторы 2 hl кеңістігінде бӛліктенеді дейді. Ал (6) теңсіздігі коэрцитивті

баға делінеді.

Жұмыстың 1.3 ішкі бӛлімінде екінші ретті тербелмелі нақты коэффициентті

(2)

0 ( ) ( )i i iim y y r y qy , i Z , айырымдық оператор қарастырылып, оның

9

үзіліссіз қайтарымдылығы мен бӛліктенуінің жеткілікті шарттары алынды.

Алдыңғы 1.2 ішкі бӛліміндегі белгілеулерді пайдаланамыз. Және, айталық,

j jy y

, (2) ( )y y , 0 0 j j

m y m y

, j j

y y

, (2) (2)

j jy y

, ал

,jr diag r j Z , ,jq diag q j Z нақты диагональды матрицалар болсын. m

арқылы l~

жиынында анықталған 2

0m y y r y qy операторының 2l

нормасы бойынша тұйықталуын белгілейік.

0 ( )jr j Z болсын, ( )jn j Z сандарын былайша енгізейік:

21

max k 0 : , 1,(1 )

0, 1.

j k

i j

i j kj

j

r rkn

r

(7)

{ }j jB

тізбегін келесідей анықтайық:

1

2( 1), 1,

, 1.

j j

j

j j

n rB

r r

(8)

Келесі белгілеулерді енгізейік:

1 1

2 22 2

,0 0

supm

q B i im i i m

q B

,

1 1

1 2 22' 2

,0

supq B i i

i i

q B

,

мұндағы ,jq diag q j Z , , 0,1,2,...iB diag B i , , 1, 2,...jB diag B j , ал

( )iB i Z (0.8) теңдіктерімен анықталған.

Теорема 0.2 Айталық нақты диагональды r , q матрицалары келесі

0jr Zj , (9)

|q| ,q , , q ,max , E BE B B E B

, (10)

шарттарын қанағаттандырсын, мұндағы ,jq diag q j Z . Онда m операторы

2l кеңістігінде үзіліссіз қайтарымды және бӛліктенеді, атап айтқанда әрбір

( )y D m үшін

10

2

2 222y r y q E y C my (11)

теңсіздігі орындалады.

0m операторы 1.2 ішкі бӛлімінде қарастырылған 0L операторының дербес

түрі екенін байқаймыз. Бірақ келтірілген теоремада Теорема 0.1 – дегі 1jr

Zj шарты одан әлсіз (9) шартымен алмастырылған, ал (10) шарты r

матрицасының ӛзіне емес, оның бір орташалануы болып табылатын B

матрицасына қойылып тұр. Теорема 0.2 шарттарын элементтері жылдам

тербеле алатын кейбір матрицалар қанағаттандырады.

Осы ішкі бӛлімде m -ге кері 1m операторының 2l -де компактылы болу

шарттары алынған. Бұл тұжырым, мысалы, 2

my y r y qy f

шексіз айырымдық теңдеуін шешу кезінде пайдалы.

Теорема 0.3 Айталық ,jq diag q j Z мен ,jr diag r j Z үшін

0 ( )ir i Z және " '

, , , ,max( , )q B B q B q B

шарттары және

1 11 12 2

2 22 2lim lim 0k

i im k

i m i

m B k B

(12)

теңдігі орындалсын. Мұндағы , 0,1,2,...iB diag B i , , 1, 2,...jB diag B j ,

ал ( )iB i Z (8) теңдіктерімен анықталған. Онда 1m операторы 2l кеңістігінде

компактылы.

Диссертациялық жұмыстың екінші бӛлімінде жоғары жұп ретті аралық

коэффициенті бар айырымдық оператор қарастырылады. Зерттеу аппаратын

жетілдіру мақсатында алдымен айырымдық Харди типті бір теңсіздік

дәлелденеді. s натурал саны үшін (2 ) (2) (2 2)s sy y , (2 1) (2) (2) (2)

1

...s

s

y y

деп

белгілейік. )(

,ˆ k

vpH ретінде нормасы

( ),

1

( )

ˆ kp v

pp

k

s sHs

a v a

s s

a a

түрінде анықталған кеңістікті белгілейік. ,ju diag u j Z және

,jv diag v j Z сандық матрицалары үшін келесі шамаларды енгіземіз:

11

1 1

(m 1)

m, ,0.1,2,... 0

supp pn

p pp

u v j jn j j n

T u j v

,

1 1

0(m 1)

m, ,0

supp p

p pp

u v j j

j j

T u j v

,

1 1

(m 1)

0,m, ,0.1,2,... 0

sup ( )p pn

pp p

u v j jn j j n

T u j n v

,

1 1

0(m 1)

0,m, ,0, 1, 2, ...

supp p

p pp

u v j j

j j

T u j v

,

мұндағы m - натурал сан.

Теорема 0.4 Айталық p1 , 2m , ал ,ju diag u j Z және

,jv diag v j Z ( 0jv j Z ) сандық матрицалары үшін

, ,m u v "

, , , ,max ,p p

pm u v m u vT T

шарты орындалсын. Онда әрбір j jy y l

үшін

(m)

2, , ,

ppp

j j m u v j j

j j

u y C v y

(13)

теңсіздігі орындалады. Сонымен қатар, егер 2, , ,m u vC (13) теңсіздігі

орындалатындай ең кіші тұрақты болса, онда

1 1

"

, , 0, , , 0, , , 2, , , , ,min , ( )p p

p ppm u v m u v m u v m u v m u vA T A T С p p

, (14)

мұндағы '1

pp

p

, A , A - сәйкес тӛмендегі 2.1 ішкі бӛліміндегі Салдар 2.1.1

және Салдар 2.1.2-де анықталған тұрақтылар.

Осы бӛлімнің 2.3 ішкі бӛлімінде келесі түрдегі айырымдық оператор

қарастырылған:

(2 ) (2 1) (2 1)

0

n n nL y y r y s y 2 1

( ) (2 1) ( ) (2 1)

1

nj n j j n j

j

Q y P y

,

12

мұндағы { }k ky y

, 1k k ky y y , 1k k ky y y , (2)

1 12k k k k ky y y y y (

k Z ), (2 ) (2) (2 2)s sy y , (2 1) (2) (2) (2)

1

...s

s

y y

(s N) , ал ,jr diag r j Z ,

,js diag s j Z , ( ) ( ) ,jQ diag q j Z , ( ) ( ) ,jP diag p j Z ( 1,2 1n ) -

берілген диагональды матрицалар. L деп l жиынында анықталған 0L

айырымдық ӛрнегінің 2l - дегі тұйықталуын белгілейміз. Ішкі бӛлімнің негізгі

нәтижесі – мынадай.

Теорема 0.5 Айталық ,jr diag r j Z , ,js diag s j Z ,

( ) ( ),jQ diag q j Z , ( ) ( ) ,jP diag p j Z ( 1,2 1n ) матрицалары келесі

шарттарды қанағаттандырсын:

(2 ) (2 )2n 1, , 2 , , 2 , ,max , ,n nE r n P r n Q r

( 1,2 1n ), (15)

1j js r ( )j Z , 1

10

5 2 , (16)

мұндағы E - бірлік матрица. Сонда L айырымдық операторы 2l кеңістігінде

үзіліссіз қайтарымды және әрбір y D L үшін

2 1

2 (2 1) (2 1) ( ) (2 1) ( ) (2 1)

12 2 2 22 2 1

nn n n j n j j n j

j

y r y s y Q y P y C Ly

(17)

бағалауы орындалады.

Диссертацияның 3-бӛлімінде екінші және тӛртінші ретті дифференциалдық

операторлар үшін қойылған осындай есептердің шешілу шарттарын келтіреміз

де, оларды айырымдық операторлар үшін алынған шарттармен салыстырамыз.

Бұл жерде практикадағы динамикалық процестерді моделдеу негізінен екінші

және тӛртінші ретті дифференциалдық, не айырымдық теңдеулерге алып

келетінін ескердік.

3.1-ішкі бӛлімінде екінші ретті комплекс коэффициентті нұқсанды

дифференциалдық ( ) ( ) ( ) ( )ly y r x y q x y s x y p x y операторының 2( )L R

кеңістігінде корректілі болуы мен бӛліктену шарттары алынған. Мұндағы r мен

q - үзіліссіз дифференциалданатын, ал s - пен p - үзіліссіз функциялар,

21 iyyy және 21 iyyy . ly дифференциалдық ӛрнегін екі рет үзіліссіз

дифференциалданатын және финитті функциялардың (2)

0 (R)C жиынында

анықтаймыз да, оның 2( )L R кеңістігіндегі тұйықталуын қайтадан l арқылы

белгілейміз. Айталық берілген g мен 0h үзіліссіз функциялары үшін

),(

1

),0(,22

)(

tLtLhg hgt )0( t ,

13

),(

1

)0,(,22

)(

LLhg hg )0( ,

)(sup),(supmax( ,0

,0

,

hghgt

hg t

.

деп белгілейік.

Теорема 0.6 Айталық r және q үзіліссіз дифференциалданатын, ал s пен

p үзіліссіз функциялар болып, келесі шарттарды қанағаттандырсын

1)Im(Re qrr )21( , (18)

rps Re,1

. (19)

Онда l операторына кері 1l операторы бар болады және ол барлық 2( )L R

кеңістігінде анықталған.

Теорема 0.7 Айталық r , q , s және p функциялары Теорема 0.7 –нің

барлық шарттарын және

|x | 1

Re ( )sup

Re ( )

r x

r

қатысын қанағаттандырсын. Сонда l операторының анықталу облысына тиісті

әрбір y элементі үшін келесі теңсіздік орынды:

2 2 2 2 2 2

'y ry qy sy py C ly .

3.2-ішкі бӛлімінде тӛртінші ретті дифференциалдық (4)

0 ( ) ( ) ( )M y y p x y s x y x y операторының 2( )L R кеңістігінде корректілі

болуы мен бӛліктену шарттары алынған. Мұндағы p - екі рет үзіліссіз

дифференциалданатын, s - үзіліссіз дифференциалданатын, ал - үзіліссіз

функция. 0M y дифференциалдық ӛрнегін тӛрт рет үзіліссіз

дифференциалданатын және финитті функциялардың (4)

0 (R)C жиынында

анықтаймыз да, оның 2( )L R кеңістігіндегі тұйықталуын M арқылы белгілейміз.

Бұл ішкі бӛлімтің нәтижелері коэффициенттер жылдам тербелген кейбір

жағдайларда да орынды. Ол үшін келесі орташаланған функцияларды енгізейік:

2

* 1

2

( ) sup : ( )

x d

x d

v x d d v t dt

,

14

* 1 2 1 2( ) inf : ( )

x d

n

n

x d

v x d d v t dt

( 1,2),n Rx ,

мұндағы ( )v x - берілген теріс емес үзіліссіз функция.

Келесі белгілеулерді енгізейік:

1 21 2

2 2

, ,

0

( ) ( ) ( ) ( 0),

t

g h

t

v t g d h d t

1 21 2

0

2 2

, , ( ) ( ) ( ) ( 0),g h g d h d

, , , , , , ,

t 0 0

max ( ), ( ) .sup supg h g h g hv t

Теорема 0.8 Айталық 1p екі рет үзіліссіз дифференциалданатын функция

болып, келесі шарттар орындалсын:

1) *11,( ) ,0,0r

p ,

2) *

*

1 ( )

( )

p xa

a p

* *( ), ( ) , ,2 2

b bx p x x p x x R

мұндағы 1a , 0b

және

3 1a b ;

3)

*

*

1 2( )

34* 2 * 2

( )

4

( , ) ( ) (p ( )) ;sup

p xx

x R p xx

A p p p t dt x

4) s үзіліссіз дифференциалданатын және үзіліссіз функциялары үшін

0 және 0 сандары табылып, * *2 2

, ,r , , ,r , ,max ,s s

қатысы

орындалсын. Онда M операторына керi 1M операторы бар болады және ол

барлық 2( )L R кеңiстiгiнде анықталған. Сонымен бiрге әрбiр ( )y D M үшiн

келесi теңсiздiк орынды:

(4)

2 2 2 22y py sy y С f .

15

3.3-ішкі бӛлімде екінші ретті комплекс коэффициентті және тӛртінші ретті

тербелмелі коэффициентті айырымдық және дифференциалдық

операторлардың максимальды регулярлық шарттары ӛзара салыстырылған.

Қорытындыда алынған нәтижелерге қысқаша талдау жасалып, олардың

қолданылу ортасы жайлы баяндалады.

16

1 ЕКІНШІ РЕТТІ АЙЫРЫМДЫҚ ОПЕРАТОРЛАРДЫҢ БӚЛІКТЕНУ

ШАРТТАРЫ МЕН ОЛАРДЫҢ СПЕКТРЛІК ҚОЛДАНЫЛУЛАРЫ

1.1 Негізгі анықтамалар мен кӛмекші тҧжырымдар

Айталық 1 p , 1 q болсын. N , 0N , Z ретінде әдеттегідей, сәйкес,

натурал, теріс емес бүтін және бүтін сандар жиынын, ал Z және 0Z ретінде,

сәйкес, 1, 2,...Z , 0 0, 1, 2,...Z жиындарын белгілейміз.

0,0 hh ( 0h бекітілген оң сан) санын алайық. ZnnhxxZ nnh ,, ,

2

1

2

,22 :)( hyyyyhlj

jhhjjh

болсын.

Айталық, l , l және l~

, сәйкес, 0j j

w w

,

1

i i

және k k

v v

түріндегі финитті тізбектердің жиындары болсын:

0: , 0, :j jj

l w m N w j j m

, 1

: , 0, :i iil m N i i m

,

: , 0, :k kkl v m N v k k m

. 2 0(N , )l q , 2 ( , )l Z q

және 2 ( , )l Z q түрінде, сәйкес

l , l және l~

жиындарының 2 0

1

22

(N ,q)0

i ili

u q u

,

2

11 2

2 2

(Z ,q) i ili

u q u

және

2

1

22

( ,q) i il Zi

u q u

нормалары бойынша толықтыруларын белгілейміз.

2 0(N , )H r ретінде l жиынының 2 0

1

22 22 2

(N ,r)1 0

i i iHi i

u u r u

нормасы

бойынша толықтырылуын, 2 0( , )H Z r ретінде l жиынының

2 0

10 1 22 22 2

(Z ,r) i i iHi i

u u r u

нормасы бойынша толықтырылуын, 2 (Z, )H r

ретінде l~

жиынының 2

1

22 22 2

(Z,r) i i iHi i

u u r u

нормасы бойынша

толықтырылуын белгілейік. Оларды салмақты айырымдық Соболев

кеңістіктері деп атайды.

Белгілі Макенхаупт теоремалары [42] дифференциалдық теңдеулер

теориясында белсенді қолданылып келеді. Олардың тізбектер үшін бір аналогы

мынадай:

Лемма 1.1.1 [8] Айталық p1 болсын. Сонда

17

p

n

p

nn

p

n

p

nk

kn avCau

1

0

1

0

,

la

kk

~0

, (1.1.1)

теңсіздігі орындалуы үшін

p

rn

p

n

pr

n

p

nr

vuB

11

0,...2,1,00 sup

болуы қажетті және жеткілікті. Мұндағы

111

pp

.

Сонымен бірге, егер C (1.1.1) бағалауы орындалатындай ең кіші тұрақты

болса, онда

0

11

0 )( BppCB pp .

Егер 1.1.1 леммасында

nj

jn ab деп алсақ, онда nnnn abbb 1

болғандықтан, мынадай тұжырым аламыз.

Салдар 1.1.1 Айталық p1 болсын. Сонда

p

n

p

nn

p

n

p

nn bvCbu

1

0

1

0

,

lb

kk

~0

, (1.1.2)

теңсіздігі орындалуы үшін

p

rn

p

n

pr

n

p

nr

vuB

11

0,...2,1,00 sup

болуы қажетті және жеткілікті. Мұндағы

111

pp

.

Сонымен бірге, егер C (1.1.2) бағалауы орындалатындай ең кіші тұрақты

болса, онда

18

0

11

0 )( BppCB pp .

Осы тұжырымды пайдалана отырып,

0}{ jjhyy ( 0)h тізбегі үшін келесі

лемманы аламыз.

Лемма 1.1.2 Айталық p1 болсын. Сонда

p

n

p

nhnh

p

n

p

nhnhh

bvCbu

1

0

1

0

,

lb

nnh

~0

, (1.1.3)

теңсіздігі орындалуы үшін

p

rn

p

nh

pr

n

p

nhr

h vuB

11

0,...2,1,00 sup

болуы қажетті және жеткілікті. Мұндағы

111

pp

.

Сонымен бірге, егер C (1.1.3) бағалауы орындалатындай ең кіші тұрақты

болса, онда

h

pp

h BppCB 0

11

0 )( .

Дәлелдеу. Салдар 1.1.1 тұжырымын hZ торына кӛшірейік. Айталық h

k1

болсын. Онда k

h1

. (1.1.2) ӛрнегіндегі ,...)2,1,0( kbk сандарын пайдаланып,

жаңа ...,,2,1,0),11( nkjjhn бӛлу нүктелеріндегі jhnb )11( kj мәндерін

былайша таңдаймыз:

....................................

)(1

1 nnnhn bbk

bb

)( 1 nnnjhn bbk

jbb , 2...,,3,2 kj

)(1

1)1( nnnhkn bbk

kbb

.

19

Егер mhhmmhh bbb )1( деп белгілесек, онда

njhnh bk

b 1

, 1...,,2,1,0 kj , немесе

mhn bkb , hknnm )1(, .

Осыдан h

k1

болғандықтан, mhn bh

b 1

. Егер nhk

nm деп белгілесек,

онда (1.1.2) теңсіздігі мына түрге келеді:

p

n

p

nhnh

p

n

p

nhnhh

bvCbu

1

0

1

0

.

Лемма дәлелденді.

Ескерту. Лемма 1.1.2 - 1

0( , )pH N v кеңістігінің 0( , )pl N u кеңістігіне енуіне

эквивалентті.

l жиыны үшін келесі тұжырым орынды.

Лемма 1.1.3 Айталық p1 болсын. Онда

p

n

p

nhhnh

hp

n

p

nhnhh

bv

h

Cbu

1

11

1 ~

,

lb

nnh

~1 , (1.1.4)

теңсіздігі орындалуы үшін

pk

n

p

nh

p

kn

p

nhk

h vuB

110

0

sup~

болуы қажетті және жеткілікті. Мұндағы

111

pp

.

Сонымен бірге, егер hC~

(1.1.4) орындалатындай ең кіші тұрақты болса, онда

h

pp

hh BppCB~

)(~~

11

.

20

Дәлелдеу. [43] жұмысында келтірілген әдісті пайдаланамыз. (1.1.4)

теңсіздігінде 1 tn 0t ауыстыруын жасап, (1.1.2) теңсіздігіне келеміз.

Шынында да, (1.1.4) теңсіздігінің сол жағы үшін

1

n

p

nhnhbu

1

1

)1()1(

t

p

htht bu

0

t

p

ththbu

0t

p

ththbu .

Ал осы теңсіздіктің оң жағындағы қосынды

p

t

p

thth bv

1

0

шамасына тең болады.

Егер 1 nt , nn uu ~ , nn vv ~ 0n деп белгілесек, онда

hB0

p

rn

p

nh

pr

n

p

nhr

vu

11

00

~~sup

1 11

( 1) ( 1)0 1 1

supr p pp p

t h t hr t t r

u v

p

rk

p

kh

pr

k

p

khr

vu

11

00

~~sup

p

sk

p

kh

ps

k

p

khs

vu

11

00

~~sup

ps

k

p

kh

p

sk

p

khs

vu

110

0

~~sup h

ps

k

p

kh

p

sk

p

khs

Bvu~

sup

110

0

Енді лемманың дәлелдеуі Салдар 1.1.1 – ден шығады.

0 ( )jr j Z болсын, ( )jn j Z сандарын былайша енгізейік:

21

max k 0 : , 1(1 )

0, 1

j k

i j

i j kj

j

r rkn

r

(1.1.5)

jn теңдігі қандай да бір j Z нүктесінде тек 2 0i

i

r

болғанда ғана мүмкін

екені jn - сандарын анықтау формуласынан кӛрініп тұр. Және де jn , j Z ,

шарты 2 0i

i

r

талабына эквивалентті. { }j jB

тізбегін келесідей анықтайық:

21

1

2( 1), 1,

, 1.

j j

j

j j

n rB

r r

(1.1.6)

Айталық [ , 1]j j jj n j n және [ 1, 2]j j jj n j n концентрлі

кесінділер болсын. 2 ( , )jH r және 2 ( , )jH r арқылы нормалары, сәйкес,

2

22 22 2

(w , )1

j j

j

j j

j n j n

i i iH ri j n i j n

u u r u

және

2

1 122 22 2

(w ,r)1

j j

j

j j

j n j n

i i iHi j n i j n

u u r u

болатын j ju u

түріндегі тізбектердің кеңістіктерін белгілейміз. Келесі

лемма [17] жұмысында дәлелденген.

Лемма 1.1.4 [17, Лемма 1.8]. Айталық, 0r болсын және ол sup jj Z

n

шартын қанағаттандырсын ( jn (1.1.5) қатысымен анықталған, ал j , j -

жоғарыда анықталған кесінділер). Онда { }s sj

сандар тізбегі табылып,

мыналар орынды болады:

1) 0

,0sj j

s

Z

2) 1s sj j , барлық s Z

3) s tj j , 2s t болғанда,

4) s tj j , 3s t болғанда,

5) Кез-келген j Z нүктесі js түріндегі кесінділердің ең кӛп дегенде

үшеуіне тиісті болады.

Жоғарыда енгізілген 0, Njn j тізбегі маңызды қасиетке ие. Оны келесі

лемма арқылы береміз.

Лемма 1.1.5 [17, Лемма 1.7]. 0, Njn j (1.1.5) қатысымен анықталсын.

Онда кез-келген :4

jni i j үшін 4

4

1

j

i

n

n

теңсіздіктері орындалады.

22

Лемма 1.1.6 [17, Лемма 1.12]. Айталық 0 ( )jr j Z және 0

sup jj N

B

болсын,

мұндағы 0( )jB j N (1.1.6) теңдіктерімен анықталған. Онда кез-келген финитті

0,iu u i N тізбек үшін келесі теңсіздік орынды

2 22 22 2 2 2

4

1 0 1 0

i i i i i i

i i i i

u T u C u r u

,

мұндағы

0 0

1 1 1 1

0

, 1, 2, ... ,

, ,

max ; ; ; , .

s s

s s s s s s

j j

i j j

j j j j j j

B i и s

T B i N

B B B i

Келесі 1.1.1-1.1.3 теоремалары жаңа нәтижелер болып табылады. Теорема

1.1.1 q E жағдайында [17]-де дәлелденген.

Теорема 1.1.1 Айталық 0,ir diag r i N мен 0,iq diag q i N

матрицаларының элементтері үшін келесі

00 ( )ir i N ,

1 1

2 22 2

,0 0

supm

q B i im i i m

q B

шарттары орындалсын. Мұндағы , 0,1,2,...iB diag B i , ал iB (1.1.6) бойынша

анықталған. Сонда 2 0( , )H N r кеңістігі 2 0( ,q)l N -ге енеді, сонымен бірге

2 0( ,q)l Nu

2 0, ( ,r)q B H N

С u

( 2 0( , )u H N r ). (1.1.7)

теңсіздігі орынды.

Дәлелдеу. 1.1.3 леммасы бойынша,

2 0 2 0

1 1

2 22 2

( ,q) ( )0 0

2supm

i il N l Nm i i m

u qu q B

1

22 22 2

1 0

.i i i

i i

u B u

Осыдан, 1.1.6 леммасын есепке ала отырып, мынаны аламыз

2 0 2 0

1

22 22

, 4 4 ,( ) ( ,r)1 0

2 2p

q B i i i q Bl N H Ni i

qu С u r u С u

.

23

Теорема дәлелденді.

Келесі теорема жоғарыда келтірілген Теорема 1.1.1-ді пайдалана отырып

дәлелденеді.

Теорема 1.1.2 Айталық , 1, 2,...ir diag r i мен , 1, 2,...iq diag q i

матрицалары үшін келесі

0 ( 1, 2, ...)ir i ,

1 11 2 22' 2

,0

supq B i i

i i

q B

,

шарттары орындалсын. Мұндағы , 1, 2,...jB diag B j , ал iB (1.1.6) - да

анықталған. Онда 2 ( , )H N r кеңістігі 2 ( ,q)l N -ге енеді, және әрбір 2 ( , )u H N r

үшін

1 1

1 0 12 22 22 2 2 2

0i i i i i

i i i

q u C u r u

. (1.1.8)

теңсіздігі орынды. Сонымен бірге, егер 0C - (1.1.8) теңсіздігіндегі тұрақты

болса, онда '

0 ,q BС C

.

Дәлелдеу. Расында да, біріншіден, егер 1m k деп алсақ, онда

1 1

2 22 2

,0 0

supm

q B n nm n n m

q B

1 11 2 22 2

1 0 1

supk

n nk n n k

q B

.

1n s , 1s sq q және 1s sB B деп белгілесек, онда

1 11 2 22

2 '

, ,1

supk

q B s s q Bk s k s

q B

. (1.1.9)

Екіншіден, егер 1t n деп белгілесек, онда

1

22

0

n n

n

q u

1

22

1 1

1 0

t t

t

q u

1

22

1 1

1

t t

t

q u

1t tq q және 1t tu u деп белгілесек, онда

24

1

22

0

n n

n

q u

1 112 22 2

1

t t t t

t t

q u q u

. (1.1.10)

Үшіншіден, егер 1t n деп белгілесек, онда

2 22 2

1 0

n n n

n n

u r u

2 22 2

1 1 1

1 1 1 0

t t t

t t

u r u

2 22 2

1 1 1

0 1

t t t

t t

u r u

.

Енді 1t tr r және 1t tu u деп белгілеп, келесіні аламыз

2 22 2

1 0

n n n

n n

u r u

2 2

2 2

0 1

t t t

t t

u r u

. (1.1.11)

(1.1.9), (1.1.10) және (1.1.11) теңдіктері мен (1.1.7) теңсіздігінен (1.1.8) шығады.

Теорема дәлелденді.

Теорема 1.1.3 Айталық ,jq d i a g q j Z мен ,jr diag r j Z

матрицалары үшін 0 ( )ir i Z және " '

, , , ,max( , )q B B q B q B

шарттары

орындалсын, мұндағы , 0,1,2,...iB diag B i , , 1, 2,...jB diag B j , ал

( )iB i Z (1.1.6) –дан алынған. Онда 2 (Z, )H r кеңістігі 2(Z,q)l -ге енеді және әрбір

2 (Z, )u H r үшін

1 1

2 22 22 2 2 2

1i i i i i

i i i

q u C u r u

(1.1.12)

теңсіздігі орындалады. Сонымен бірге, егер 1C (1.1.12) теңсіздігіндегі тұрақты

болса, онда

"

1 , ,q B BС C

.

Дәлелдеу. 1.1.1 және 1.1.2 теоремалары бойынша,

2 2 0 2 0(Z,q) (N ,q) (N ,q)l l lu u u

2 0 2 0

'

1 , 2 ,( ,r) ( ,r)q B q BH N H NС u С u

2 0 2 0

"

, , 1 2( ,r) ( ,r)q B B H N H NC u С u

2 0 2 0

"

, , 1 2 1 2( ,r) ( ,r)( ) ( )q B B H N H NC C u C С u

2

"

1 2 , , (Z,r)( ) q B B HC C u

.

25

Теорема дәлелденді.

Белгілі аз бұлқыну теоремасының ([44] – ті қара) бір салдарын келтірейік.

Лемма 1.1.7 BuAuLu операторы берілсін. Айталық )()(: 22 hlhlA ,

)()( BDAD болсын және мына шарттар орындалсын:

1) A - тұйық, қайтарымды оператор және )()( 2 hlАR ;

2) hh

AuBu,2,2

, )(ADu , 10 .

Сонда L операторы да тұйық, қайтарымды және )()( 2 hlLR теңдігі орындалады.

1.2 Екінші ретті комплекс коэффициентті бір айырымдық оператордың

бӛліктенуі жайлы

0h саны берілсін. Алдағы уақытта, қажет болғанда, jhx mmj нақты не

комплекс санының орнына қысқаша jm деп жазатын боламыз.

2 (2) 1 1

0 : jh jh jh jh jh jh jh jh jhjhL y h y h r y h s y q y p y

, Zj ,

айырымдық операторын қарастырайық. Мұндағы jhr - берілген нақты сандар, ал

jhs , jhq , jhp , jhf - берілген комплекс сандар, jhy – jhy - тің комплекс түйіндесі,

)(2 hlf , ал jhhjjh yyy )1( , jhhjjh

yyy )1(, hjjhhjjh yyyy )1()1(

)2( 2 Zj .

Егер

jjhyy ,

jjhyy ,

jjhff ,

Zjrdiagr jh , , Zjsdiags jh , , Zjqdiagq jh , , ,jhp diag p j Z ,

jjhyy ,

jjhyy ,

jjhyy )2()2(

деп белгілеулер енгізсек, онда

jjh

yLyL 00 операторы былай жазылады:

22 1 1

0L y h y h r y h s y qy py

.

Бұл ішкі бӛлімде 0L айырымдық операторының 2 ( )l h кеңістігінде бӛліктену

шарттарын алатын боламыз. Алдымен

2 (2) 1

0 : jh jh jhjhl y h y h r y

, Zj ,

операторын қарастырайық. Егер

jjh

ylyl 00 деп белгілесек, онда ол мына

түрде жазылады:

26

22 1

0l y h y h r y

.

Келесі белгілеулерді енгізейік:

2

1

22

1

0

2

, )(

nj

j

n

j

jn ( ...,2,1,0n ),

2

1

22

1

12

, )(k

j

j

kj

jk ( ,...2,1 k ),

)(sup),(supmax ,,...2,1

,,...2,1,0

, knkn

,

мұндағы ,jdiag j Z және ,jdiag j Z ( 0 )j j Z - берілген

диагональды матрицалар.

Лемма 1.2.1 Айталық 1jhr Zj , )(,1 hr болсын. Онда әрбір ly

~

үшін

hhhyyrhyh

,2,2

1

,2

)2(2

hylhC

,202 )( (1.2.5)

теңсіздігі орындалады.

Дәлелдеу. lyy jjh

~}{

болсын. Егер

zyh

1 , zLyl 00

деп белгілесек, онда rzzhzL

1

0 , lzz jjh

~}{

. Және

j

jhjh

j

jhhjjh zrzzzhzzL 2

)1(

1

0 ),( . (1.2.6)

Келесі теңдік орынды

j

hjjh

j

jhhjjh zzzzzA2

)1()1(2

1. (1.2.7)

Шынында да

j

jhhj

j

jhjh

j

jhhjjh zzzzzzzA )1()1(

k

hkkh

j

jhjh zzzz )1(

27

j

hjjh

j

jhjh zzzz )1(

j

jhhjjh zzz )1(

j

hjjhhj zzz )1()1(

.2

)1( Azzj

hjjh

(1.2.6) мен (1.2.7)-ден лемма шарты бойынша

hhh

zzLh

zhzLh

zh,2,200

2

,2

1 1,

1

2

1

. (1.2.8)

Онда

hhzhzLrz

,2

1

0,2

hhhzzL

hzL

,2,20,20

2

2

,2

2

,202,204

14hhh

zzLh

zL

hhh

zzLh

zL,2,20,20

2

12.

2

121

,2,20 hhrzzL

h

Демек

hhzL

hrz

,20,2

212

. (1.2.9)

(1.2.8), (1.2.9) теңсіздіктерінен алатынымыз

2

,2

1

2

1

hzh

2

,20

21

2h

zLhh

,

немесе

hzh

,2

1 .2

11

2.20 h

zLhh

Сондықтан

hhhylhCyrhyh

,201,2

1

,2

)2(2 )(

, (1.2.10)

мұндағы

hhhhC

21

1212)(1 . Лемма шарты мен жоғарыдағы 1.1.2 және

1.1.3 леммаларынан

hrh

yrhy,2

1

,1,22

hr ylhC,201,1 )(2 , ly

~ . (1.2.11)

(1.2.10) және (1.2.11) теңсіздіктерінен

28

hhhhC r

21

121]21[2)( ,12

деп белгілеп, әрбір ly~

үшін (1.2.5) теңсіздігі орындалатынын кӛреміз. Лемма

дәлелденді.

Лемма 1.2.2 Айталық Лемма 1.2.1 шарттары орындалсын. Онда 0l

( llD~

)( 0 ) операторын )(2 hl кеңістігінің нормасы бойынша тұйықтауға болады.

Дәлелдеу. Айталық,

lu nn ~

1

j

n

j

n uu

тізбегі үшін

0

2nu , 0

2 vul n

0 n (1.2.12)

қатыстары орындалсын. Оператордың тұйықталуының критерийі бойынша

0v екенін кӛрсету жеткілікті. Кез-келген

jj

финитті тізбек үшін

,,, )2(1

0

nnn uruhul

.

Келесі теңдіктер орындалады.

,nur

j

j

n

jj ur

j

j

n

j ru )( ru n , .

j

j

n

j

n huuhB

)2(1)2(1 , .

Cондықтан

,0

nul

))(( )2(2

j

jj

n

j rhu *

0, lu n , (1.2.13)

мұндағы *

0l - 0l -ге формальды түйіндес оператор. финитті тізбек

болғандықтан 1,2

*

0

~Cl

h болатындай бір 1

~C саны табылады. Онда

29

h

n

hh

nn uClulu,2

1,2

*

0,2

*

0

~, . (1.2.14)

Егер (1.2.13) теңдігінде n -ді шексіздікке ұмтылдырып шекке кӛшсек,

(1.2.12) теңдігі мен (1.2.14) бағалауы бойынша

0, v , l~

.

Соңғы теңдіктен 0v екенін кӛреміз. Лемма дәлелденді.

Ескерту. 1.2.1 леммасында 1jhr )( Zj шартын 0 jhr )( Zj

шартымен айырбастауға болады. Онда (1.2.5) теңсіздігі орындала береді, тек

)(2 hС тұрақтысының мәні ӛзгереді. Ол әрине шамасына тәуелді болады.

l деп 0l ( llD~

)( 0 ) операторының )(2 hl кеңістігінің нормасы бойынша

тұйықталуын белгілейік. (1.2.5) бағалауынан )()( 2 hllD екенін кӛреміз.

Лемма 1.2.3 Айталық 1jhr Zj , )(,1 hr болсын. Онда (1.2.5) теңсіздігі

әрбір )(lDy үшін орындалады.

Дәлелдеу. Егер )(lDy болса, онда алуымыз бойынша ly n

n ~}{ 1

)(

тізбегі

табылып,

0,2

)( h

n yy , 0,2

)(

0 h

n lyyl )( n

қатыстары орындалады. Лемма 1.2.1 бойынша

h

n

h

n

h

n yyrhyh,2

)(

,2

)(1

,2

)()2(2

h

nylhC,2

)(

02 )( . (1.2.15)

(2)

2 ( )w h ( 0h ) деп l

~жиынының

hhhwvvrhvhv

,2,2

1

,2

)2(2

нормасы бойынша толықтырылуын белгілейік. )()2(

2 hw

- салмақты айырымдық

Соболев кеңістігі болып табылады. (1.2.15)-тен Nmn , үшін алатынымыз:

)(

)()(

hW

mn yy

h

mn yhyh,2

)()2(2)()2(2

h

mn yrhyrh,2

)(1)(1

h

mn yy,2

)()(

h

mn lylyhC,2

)()(

2 )( . (1.2.16)

30

Демек, ly n

n ~}{ 1

)(

тізбегі )()2(

2 hw

банахтық кеңістігінде фундаментальды, онда

hwv)2(

2

0

элементі табылып, 0)(

)( hw

n vy

)( n қатысы орындалады.

Алуымыз бойынша 0,2

)( h

n lyly

)( n . Олай болса )(lDv және lvly .

(1.2.15) бойынша,

hhhw

lyhClvhCv,22,22)(

)()( . (1.2.17)

Сонымен )2(

,2

0

)( hwlD . Ендеше )()2(

2

0

hwy және yv . Онда (1.2.17)-ден (1.2.5)

теңсіздігін аламыз. Лемма дәлелденді.

Теорема 1.2.1 Егер r матрицасы 1jhr Zj және

2

1

2

,...2,1

*sup

nj

jhn

h rnF , (1.2.18)

2

1

2

,...2,1

**1sup

k

j

jhk

h rkF (1.2.19)

шарттарын қанағаттандырса, онда l операторы қайтарымды және оған кері 1l

операторы барлық 2 ( )l h кеңістігінде анықталған. Сонымен бірге 2 0C

тұрақтысы табылып, әрбір ( )y D l үшін (1.2.5) бағалауы орындалады.

Дәлелдеу. Әрбір ( )y D l үшін (1.2.5) бағасы орындалатыны Лемма 1.2.3-те

кӛрсетілді. 1l операторы табылатынын дәлелдейік. Егер 1 2, ( )z z D l болса, онда

1 2w z z Ker l . Онда (1.2.5) бағалауы бойынша 0,2

hw , ендеше 21 zz . 1l кері

операторы бар.

Енді 1

2( ) ( )D l l h екенін дәлелдейік. Кері жориық, айталық 2( ) ( )R l l h . Онда

)(\,2 lRlv h , 0v элементі табылады. (1.2.5) теңсіздігінен )()( 002 lRlRl

теңдігі орындалатыны шығады. Олай болса )( 0lRv , демек әрбір )( 0lR үшін

0),( v . Осыдан }),(:{)( 0020 yllDyllR болғандықтан, 0),( 0 vyl

)( 0lDy .

jjvv }{ болсын, онда

),(0 0 vyl 2 (2) 1( )j j j j

j Z

h y h r y v

2 (2)

j j

j Z

h y v

1 ( )j j j

j Z

h y r v

. (1.2.20)

Шынында да,

Zj

jjvyh )2(2

Zj

jjjj vyhyhyh )2( 1

22

1

2

Zj

jj vyh 1

2

Zj

jjvyh 22

Zj

jj vyh 1

2

31

Zj

jjvyh 1

2

Zj

jjvyh 22

Zj

jjvyh 1

2

)2( 11

2

jj

Zj

jj vvvyh 2 (2)

j j

j Z

h y v

Және

Zj

jjj vyrh 1

Zj

jjjj vyyrh )( 1

1

Zj

jjjj vryyh ))(( 1

1

Zj

jjj vryh 1

1

Zj

jjj vryh 111

1

Zj

jjjjj vrvryh )( 111

1

Zj

jjjjj vrvryh )( 11

1 1 ( )j j j

j Z

h y r v

.

(1.2.20) теңдігінен l~

жиыны )(2 hl кеңістігінде тығыз болғандықтан,

01)2(2

jhjhjh vrhvh , Zj ,

немесе

hjhjhjjhjhjh vrvhvrvh )1()1()1(

11

, j Z .

Осыдан

Cvrvh jhjhjh

1 ,

немесе

Chvhrv jhjhhj )1()1( . (1.2.21)

Алдымен 0C болсын. Онда 1C деп ала аламыз. (1.2.21) теңдеуіне

сәйкес біртекті

0)1()1( jhjhhj vhrv (1.2.22)

жүйесінің

jjww }{ шешімі мына түрде жазылады:

...),)1(...,,)1)(1(,)1(,(...,0

0

0

000000 1 j

kj

js

sjjjjjj vhrvhrhrvhrvw

.

Айталық, 00jv . Онда w тізбегіндегі 0jj номерлі барлық jw элементтер

бірдей таңбалы болады және

00)1( j

k

kj vhw , Nk . (1.2.23)

32

Сызықты алгебралық теңдеулер жүйелерінің жалпы теориясынан (1.2.21)

біртекті емес жүйенің шешімі мына түрде жазылатыны белгілі:

hwGwcV )(~

1 ,

мұндағы 1с - тұрақты, ал )(wG - орам түрінде жазылатын шенелген тізбек.

)(~

2 hlV екенін ескерсек, (1.2.23) теңсіздігінен 01 с . Онда )(}~

{~

wGVV jj

.

)(wG орамының ядросы (1.2.22) жүйесін қанағаттандыратын болғандықтан,

0)]([ jwG , 0jj ,

немесе

0)( wG , 0jj . (1.2.24)

Жалпы жағдайға нұқсан келтірмей, 0))(( jwG , . . . )2,1,( 000 jjjj деп

есептеуге болады. Онда (1.2.21)-ден

0~

)1(~

)1( hhVhrV jhjhhj , 0jj .

Сондықтан 2

~lV .

Енді 0C деп ұйғарайық. 0v болғандықтан, s Z : 0sv . Онда (1.2.22)

бойынша ( 1) (1 )s h sh sh shv r v v . Ендеше (1 )sh sh shv r v ( 1) ( 1) ( 1)(1 )s h s h s hv r v

( 2)s hv , т.с.с. Нәтижесінде ( 1)0 sh s hv v , k s , теңсіздігіне келеміз. Онда 2lim 0kh

kv

, ендеше 2v l . Теорема дәлелденді.

L ретінде l~

жиынында анықталған 2 (2) 1 1

0L y h y h r y h s y qy py

операторының )(2 hl кеңістігінің нормасы бойынша тұйықталуын белгілейміз.

Теорема 1.2.2 Айталық r матрицасы (1.2.18) және (1.2.19) шарттарын

қанағаттандырсын. s матрицасы үшін jhjh sr )( Zj , 0 ,

)(4)(3 22 hсhс (мұндағы )(2 hс - (1.2.5)-тегі тұрақты) шарттары, ал q және p

матрицалары үшін

,q r , (1.2.25)

,p r (1.2.26)

шарттары орындалсын. Онда L операторы 2l кеңістігінде қайтарымды және 1

2( ) ( )D L l h . Сонымен қатар, 1( ) 0C h тұрақтысы табылып, әрбір ( )y D L үшін

33

22 1 1

12 22 2 22( )h y h r y h s y qy py C h Ly

(1.2.27)

теңсіздігі орындалады.

Дәлелдеу. Айталық, k - оң сан болсын. kh деп белгілейік. Егер

jjjkjh yyyy ~~ деп алсақ, онда

h

yyyh

jhhj

j

)1(1

k

yy jkkj )1(

jkkj yy

k

)1(1

jj yy

k

~~1 )1(

jyk

~1

және

hjjhhjj yyyh

yh )1()1(2

2 21

)(

kjjkkj yyyk

)1()1(222

1

)1()1(22

~~2~1jjj yyy

k

jy

k

~1 )2(

22 .

Егер келесі белгілеулерді енгізсек

jjjkjh rrrr ~~ , jjjkjh ssss ~~ , jjjkjh qqqq ~~ , jjjkjh pppp ~~ ,

jjjkjh ffff~~

,

онда (1.2.2) мына түрге келеді:

22 1 1 2 2

0L y y k r y k s y k q y k p y

,

мұндағы

jjyy

~~ ,

jj Zjrdiagr ,~~

,

jj Zjqdiagq ,~~

,

jj Zjsdiags ,~~

,

jj Zjpdiagp ,~~

,

jjff

~~.

Айталық 22 1ly y k r y

)(2 l кеңістігінде әсер ететін минимальды тұйық

оператор болсын. Онда

1 2 2 2

0ˆL y ly k s y k q y k p y k f

, (1.2.29)

34

rk ~

матрицасы үшін 1.2.1 теоремасының шарттары орындалады, сондықтан l

операторына кері 1ˆl операторы бар және үзіліссіз. Ал (1.2.5) теңсіздігі

бойынша әрбір )ˆ(~ lDy үшін алатынымыз:

,22

,2

1

,2

22 ~ˆ)(~~~~ ylсyrky

, (1.2.30)

мұндағы ,2

- )(2 l кеңістігінің нормасы.

rprpk

,~,~1 , rqrq

k,~,~

1

теңдіктері орындалатынын байқаймыз. Себебі, rp ~,~ және rр ~,~ ӛрнектерінде

jhjh qkq 2~ , jhjh pkp 2~ , jhjh rkr 1~ белгілеулерін жасасақ, онда

2

1

22

1

0

2~,~

~~

nj

jh

n

j

jhrp rp 2

1

212

1

0

22

nj

jh

n

j

jh rkpk rp

nj

jh

n

j

jhk

rpk

,

2

1

22

1

0

2 11

,

2

1

22

1

12

~,~~~

k

j

jh

kj

jhrp rp

1 1

1 2 22 22 1

k

jh jh

j k j

k p k r

rp

k

j

jh

kj

jhk

rpk

,

2

1

22

1

12 11

.

Дәл осылайша rqrqk

,~,~1 және rqrq

k,~,~

1 теңдіктері де орындалады.

Сондықтан,

rp

krp

nrp ~,~

,...2,1

~,~

,...2,1,0

~,~ sup,supmax rprpk

rpn kk

,,,...2,1

,,...2,1,0

1sup,sup

1max

,

rq

krq

nrq ~,~

,...2,1

~,~

,...2,1,0

~,~ sup,supmax rqrqk

rqn kk

,,,...2,1

,,...2,1,0

1sup,sup

1max

.

(1.1.3) пен (1.1.4)-ті және (1.2.25), (1.2.26) шарттарын пайдалансақ, онда

2

12

0

22

121

22

12

2 ~~~~~~

j

jhjh

j

jhjh

j

jhjh ypkypkypk

2

121

2 ~~~2

j

jj yrBk

35

2

1

0

2

0

2 ~~2j

jj yrBk

2

1

2

~,~2 ~~2

j

jjrp yrk

,2

~,~2 ~~2 yrk rp

және

2

12

0

22

121

22

12

2 ~~~~~~

j

jhjh

j

jhjh

j

jhjh yqkyqkyqk

2

121

2 ~~~2

j

jj yrBk

2

1

0

2

0

2 ~~2j

jj yrBk

2

1

2

~,~2 ~~2

j

jjrq yrk

,2

~,~2 ~~2 yrk rq .

Алынған теңсіздіктерді қысқаша жазсақ,

,2

2 ~~ ypk

,2

1~,~

~~2 yrkk rp

, (1.2.31)

,2

2 ~~ yqk

,2

1~,~

~~2 yrkk rq

. (1.2.32)

Екіншіден, теорема шартынан

jjjj yrkysk ~~1~~ 11

және

)(~4

11

)(~5

1

22 cc теңсіздіктерін аламыз, мұндағы )(~

2 c - (1.2.8) теңсіздігіндегі

тұрақты. Сондықтан (1.2.30) бойынша

,2,2

1

1,2

1 ~

4

1~~~4

1~~ ylyrkc

ysk

. (1.2.33)

k санын )(),max(8,1max 2,, hchk rprq орындалатындай етіп таңдап аламыз.

Сонда (1.2.30) теңсіздігінен (1.2.31) бойынша

,2,2

2 ~ˆ4

1~~ ylypk (1.2.34)

бағалауын, ал (1.2.32) бойынша

,2,2

2 ~ˆ4

1~~ ylyqk (1.2.35)

бағалауын аламыз. (1.2.33), (1.2.34) және (1.2.35) теңсіздіктерін біріктірсек,

36

,2,2

221 ~

4

3~~~~~~ ylypkyqkysk

. (1.2.36)

l операторы тұйық болғандықтан, (1.2.28), (1.2.36) теңсіздігі мен Лемма 1.1.7

бойынша, 0L -тұйықталатын оператор. Оның тұйықталуын L деп белгілейік.

(1.2.36) теңсіздігі және Лемма 1.1.7 бойынша L операторы үзіліссіз

қайтарымды. Онда LyyL ~ˆ болғандықтан, L операторы да тұйық және үзіліссіз

қайтарымды.

Айталық )ˆ(~0LDy . Сонда (1.2.30), (1.2.34), (1.2.35) және (1.2.33)

теңсіздіктерінен алатынымыз:

,22

,2

2

,2

2

,2

1

,2

1

,2

22 ~ˆ)(4

3~~~~~~~~~ ylсypkyqkyskyrky

. (1.2.37)

Екінші жағынан

yqkypkyskyqkypkyskylyl ~~~~~~~~~~~~~ˆ~ˆ 221

,2

221

,2

,2,2

221 ~

4

3~~~~~~~ˆ ylyqkypkyskyl

,

немесе

,2

~ˆ yl,2

~ˆ4 yL . (1.2.38)

(1.2.37) және (1.2.38)-ден

,22

,2

2

,2

2

,2

1

,2

1

,2

22 ~ˆ4)(4

3~~~~~~~~~ yLcypkyqkyskyrky

.

Осыдан k

h алмастыруын жасап, )(~ LDy үшін (1.2.27) теңсіздігін аламыз.

Теорема дәлелденді.

1.3 Тербелмелі аралық коэффициентті айырымдық оператордың

анықталу облысын сипаттау және оның резольвентаның компактылығы

Келесі айырымдық операторды қарастырамыз:

(2)

0 ( ) ( )i i iim y y r y qy , i Z ,

37

мұндағы j jy y

, 1j j jy y y , 1j jy y , (2) ( )jy y , ,jr diag r j Z ,

,jq diag q j Z , j jy y

, (2) (2)

j jy y

, 2j j

f f l

, 2l -

тізбектердің гильберттік кеңістігі. Қысқаша 0 0 j jm y m y

операторы былай

жазылады:

2

0m y y r y qy .

Аралық коэффициенттері оң, әрі баяу тербелетін кейбір сингулярлы

дифференциалдық және айырымдық операторлар мен жүйелер [47] жұмысында

қарастырылған.

Егер 1h , 0jhs , 0jhp , ал r және q нақты матрицалар деп есептесек,

онда алдыңғы ішкі бӛлімдегі 0L операторы 0m -мен беттеседі. Демек, 0m – 0L -

дың дербес жағдайы. Дегенмен, осы ішкі бӛлімде шешілетін есеп 1.2 ішкі

бӛліміндегіге қарағанда ӛзгеше. Біз 1.2 ішкі бӛлімінде 0jhr ( )j Z деп

есептедік. Ал бұл ішкі бӛлімде біз осы шарттан бас тартамыз да, 0jr деп

есептейтін боламыз. Осы жағдайда 0m операторының бӛліктену шартын

табамыз. Бұл жерде 1.2 ішкі бӛліміндегідей Харди типті салмақты теңсіздікке

сүйену жеткіліксіз. Біз айырымдық Соболев кеңістігінің салмақты Лебег

кеңістіктеріне енуі жайлы бір теореманы пайдаланатын боламыз. Біз алатын

жеткілікті шарттар j j Zr r

коэффициенті арқылы құрылатын бір jB тізбегі

терминінде жазылады. Алдыңғы 1.2 ішкі бӛліміндегі есептен тағы бір

айырмашылығы - бұл ішкі бӛлімде r матрицасының элементтері жылдам

тербеле алады.

m арқылы l~

жиынында анықталған 0m операторының 0( ( ) )D m l 2l

нормасы бойынша тұйықталуын белгілейік. Ішкі бӛлімнің негізгі нәтижелерін

алу бірнеше қадаммен жүргізіледі.

Алдымен 0m -дің дербес жағдайы болып табылатын ( 0)q

2

0l y y r y (1.3.4)

айырымдық операторының үзіліссіз қайтарымдылық және бӛліктену

шарттарын аламыз.

l ретінде финитті тізбектердің l жиынында анықталған 0l операторының

0( ( ) )D l l 2l кеңістігінің нормасы бойынша тұйықталуын белгілейік. Алдағы

тұжырымдардағы , ,E B , ,E B

E, ,B B

тұрақтылары 1.1 ішкі бӛлімінен алынған.

Лемма 1.3.1 Айталық ,jr diag r j Z матрицасы үшін 0 ( )ir i Z және

" '

, , , ,max( , )E B B E B E B

(1.1 ішкі бӛліміндегі 1.1.3 теоремасын қара) шарттары

38

орындалсын, мұндағы , 0,1,2,...iB diag B i , , 1, 2,...jB diag B j , ал

( )iB i Z (1.1.6) теңдіктерімен анықталған. Онда әрбір y l үшін

(2)

02 2 22y r y y C l y (1.3.5)

теңсіздігі орындалады.

Дәлелдеу. l жиынынан { }j jy y

элементін алайық. y z , 0 0l y L z

белгілеулерін енгізіп, 0L z z rz , { }j jz z l

, ӛрнегіне келеміз. 0( , )L z z

скаляр кӛбейтіндісін қарастырамыз:

2

0 1( , ) j j j j j

j j

L z z z z z r z

. (1.3.6)

z финитті тізбек екенін ескерcек,

( 1) ( 1)j j j j j j j

j j j

B z z z z z z z

( 1)j j k k

j k

z z z z

( 1)j j j j

j j

z z z z

( 1)j j j

j

z z z

( 1) ( 1)j j j

j

z z z

2

( 1) .j j

j

z z B

Сондықтан, келесі теңдік орынды

2

( 1)

1

2j j

j

B z z

.

Онда (1.3.6) ӛрнегінен алатынымыз

2

2

0 ( 1)

1( , )

2j j j j

j j

L z z z z r z

. (1.3.7)

0jr шарты бойынша, (1.3.7)-ден мына теңсіздік шығады:

2

0 02 22

1,

2z L z z L z z . (1.3.8)

39

Екінші жағынан (1.3.7)-ден 0

2( , )r z L z z . Осыдан Гельдер теңсіздігін

қолданып, 02 2

z L z екенін аламыз. Онда (1.3.8)-ден

02 22z L z . Ендеше

0rz L z z теңдігінен 0 02 22 21 2rz L z z L z . Олай болса,

02 2 21 2 2z rz L z ,

немесе

(2)

02 221 2 2y r y l y . (1.3.9)

(1.3.9)-дың сол жағы 2( , )H Z r Cоболев кеңістігі нормасын береді (1.1 ішкі

бӛлімін қара), сондықтан

21 0( ,r) 2H Z

y C l y . (1.3.10)

" '

1, , 1, 1,max( , )B B B B

шартын ескерсек, Теорема 1.1.3 бойынша

2

"

2 1, ,2 ( , )B B H Z ry С y

3 0 2

C l y , y l .

Ендеше

(2)

4 02 2 22y r y y C l y , y l .

Лемма дәлелденді.

Лемма 1.3.2 Айталық 0 ( )ir i Z және " '

, , , ,max( , )q B B q B q B

шарттары

орындалсын, мұндағы , 0,1,2,...iB diag B i , , 1, 2,...jB diag B j , ал

( )iB i Z (1.1.6) теңдіктерімен анықталған. Онда әрбір )(lDy үшін

(2)

02 2 22y r y y C F (1.3.11)

теңсіздігі орындалады.

Дәлелдеу. Егер )(lDy болса, онда ly n

n ~}{ 1

)(

тізбегі табылып, келесі

қатыстар орындалады:

0,2

)( h

n yy , 0,2

)(

0 h

n lyyl )( n . (1.3.12)

Әрбір ( )ny үшін Лемма 1.3.1 бойынша ( (1.3.5)-ті қара) келесі

40

(2) ( ) ( ) ( )

2 2 2

n n ny r y y ( )

0 2

nC l y . (1.3.13)

бағалауы орынды. l~

финитті тізбектер жиынының

(2)

2 22wv v r v v

нормасы бойынша толықтырылуын (2)

2w деп белгілейік. Онда ( ) ( ),n my y l

( , )n m N үшін (1.3.13) теңсіздігінен алатынымыз

( ) ( )n m

Wy y (2) ( ) (2) ( )

2

n my y ( ) ( )

2

n mr y r y

( ) ( )

2

n my y ( ) ( )

0 0 2

n mC l y l y .

(1.3.12) бойынша, ( )

1{ }n

ny

тізбегі (2)

2w кеңістігінде фундаментальды, онда, (2)

2w

толық болғандықтан, ( ) 0n

wy v

)( n қатысы орындалатындай

(2)

2v w

элементі табылады. Біздің алуымыз бойынша ( )

20nly ly

)( n . Олай

болса )(lDv және lvly , сол сияқты ( )n

wwy v , ( )

22

nly ly )( n .

Осыларды ескеріп, (1.3.13) теңсіздігінде шекке кӛшсек, онда

2 2w

v C lv C ly . (1.3.14)

Ендеше, (2)

2( )D l w және (2)

2y w , yv . (1.3.11) теңсіздігі және онымен бірге

лемма да дәлелденді.

(1.2.5) бағалауынан 2( )D l l екенін кӛреміз.

Теорема 1.3.1 Айталық 0jr Zj , " '

, , , ,max( , )q B B q B q B

шарттары

орындалсын, мұндағы , 0,1,2,...iB diag B i , , 1, 2,...jB diag B j , ал

( )iB i Z (1.1.6) теңдіктерімен анықталған. Онда l операторы 2l - де үзіліссіз

қайтарымды. Сонымен бірге 0 0C тұрақтысы табылып, әрбір ( )y D l үшін

(1.3.11) бағалауы орындалады.

Дәлелдеу. Әрбір ( )y D l үшін (1.3.11) бағасының орындалатыны Лемма

1.3.2-ден шығады.

Енді l операторы қайтарымды болатынын кӛрсетейік. Айталық 1 2, ( )z z D l

және 1 2lz lz болсын, онда 1 2w z z Ker l . Лемма 1.3.2- дегі (1.3.11) теңсіздігі

бойынша 2

0w , осыдан 21 zz . Олай болса, 1l табылады.

(1.3.11) бойынша, ( )R l - тұйық жиын. Сондықтан, теореманы толық

дәлелдеу үшін 2)( llR екенін кӛрсетсе жеткілікті.

41

Оны кері жору әдісімен дәлелдейік, айталық 2)( llR . Онда Гильберт

кеңістігінің қасиеттері бойынша, 2 \ ( )l R l , 0 , элементі табылады да,

әрбір )( 0lR үшін ( , ) 0 теңдігі орындалады. Ендеше 0( , ) 0l y )( 0lDy .

Демек { }j j

үшін

00 ( , )l y (2)( )j j j j

j Z

y r y

(2)

j j

j Z

y

( )j j j

j Z

y r

. (1.3.15)

Себебі

(2)

j j

j Z

y

1 1( 2 )j j j j

j Z

y y y

1j j

j Z

y

2 j j

j Z

y

1j j

j Z

y

1j j

j Z

y

2 j j

j Z

y

1j j

j Z

y

1 1( 2 )j j j j

j Z

y

(2)

j j

j Z

y

және

j j j

j Z

r y

1( )j j j j

j Z

r y y

1( )( )j j j j

j Z

y y r

1j j j

j Z

y r

1 1 1j j j

j Z

y r

1 1 1( )j j j j j

j Z

y r r

1 1( )j j j j j

j Z

y r r

( )j j j

j Z

y r

.

(1.3.15) теңдігі әрбір y l элементі үшін орынды. Сондықтан (2) 0j j jr ,

Zj . Басқаша айтқанда

( 1) (1 )j j jr C . (1.3.16)

Алдымен 0C деп есептейік. 2l сызықты кеңістік болғандықтан, 1C деп

алуға болады. Біртекті

( 1) (1 ) 0j j jr (1.3.17)

жүйесінің

jjww }{ шешімінің түрі мынадай:

0

0 0 0 0 0 0 0

0

1(..., , (1 ) , (1 )(1 ) , ..., (1 ) , ...)j k

j j j j j j s j

s j

w r r r r

.

Осы жазылудан, егер 0

0j болса, онда j jw w

тізбегіндегі 0jj номерлі

барлық jw элементтердің таңбалары бірдей және

42

0 02k

j k jw , Nk , (1.3.18)

екенін кӛреміз. Әртекті (1.3.16) жүйесінің шешімі мына түрде жазылады:

1 ( )c w G w ,

мұндағы )(wG - орам түрінде жазылатын шенелген тізбек. 2l болғандықтан,

(1.3.18) бағалауы бойынша, 01 с . Сонымен, { } ( )j j G w

. )(wG орамының

ядросы (1.3.17) жүйесін қанағаттандырады, ендеше

0)]([ jwG 0( )j j , (1.3.19)

немесе

0)( wG 0( )j j .

0))(( jwG ,...)2,1,( 000 jjjj деп есептеу жеткілікті. (1.3.16) теңдігі (C 1)

бойынша

( 1) (1 ) 1 1j h j jr , 0jj .

Демек 2l .

Енді 0C деп ұйғарсақ, онда s Z : 0s . Және (1.3.17) бойынша

1 (1 )s s s sr . Ендеше 1 1 1 2(1 ) (1 )s s s s s s sr r , т.с.с. Осы

процедураны жалғастыра отырып, 10 k k k s екенін аламыз. Онда

2l . Сонымен қарастырылған екі жағдайдың әрқайсысында қайшылыққа

келдік. Ол теореманы дәлелдейді.

Ескерту 1.3.1 Егер Теорема 1.3.1 шарттары орындалса, онда 0s және 0

сандары үшін келесі (2)y s y r y минимальды тұйық операторы да 2l -де

үзіліссіз қайтарымды, және 0 0C саны табылып, әрбір ( )y D үшін (1.3.11)

бағалауы (әрине бұл теңсіздікте тұрақты басқа) орындалады.

Бұл тұжырымның дұрыстығы [35] жұмысындағы Теорема 2.1 дәлелденген

әдіспен кӛрсетіледі.

Теорема 1.3.2 Айталық r , q нақты диагональды матрицалары келесі

0jr Zj , (1.3.20)

|q| ,q , , q ,max , E BE B B E B

(1.3.21)

43

шарттарын қанағаттандырсын, мұндағы ,jq diag q j Z ,

, 0,1,2,...iB diag B i , , 1, 2,...jB diag B j , ал ( )iB i Z (1.1.6)

теңдіктерімен анықталсын. Онда 2l кеңістігінде минимальды тұйық (2)

0m y y r y qy операторы үзіліссіз қайтарымды. Сонымен бірге, 0C

саны табылып, әрбір 0( )y D m элементі үшін

2

02 222y r y q E y C m y (1.3.22)

теңсіздігі орындалады.

Дәлелдеу. 1k ( 0k , k -тұрақты) алмастыруын жасайық. j jk j jy y y y

деп белгілеп, jy мен (2)

jy -ді арқылы жазсақ, онда

jy

k

yy jkkj )1( ( 1)1 j jy y

k

jy

k

~1

және

( )jy

))1(())1((222

1kjjkkj yyy

k

jy

k

~1 )2(

22 .

Енді j jk j jr r r r , j jk j jq q q q белгілеулерін енгізсек, 0m операторы

22 1 2

0L y y k r y k q y

. (1.3.23)

түрінде жазылады. Бұл жерде

jjyy

~~ ,

jj Zjrdiagr ,~~

,

jj Zjqdiagq ,~~

,

ал 2 ( )l - нормасы

1

22

2, i

i

u u

түрінде берілген сандық тізбектер кеңістігі.

l деп yrkyyl ~~~ˆ 122

)ˆ(~ lDy формуласымен әсер ететін

минимальды тұйық операторды белгілесек,

2

0ˆL y ly k q y . (1.3.24)

44

rk ~

матрицасы 1.3.1 теоремасының шарттарын қанағаттандырады, сондықтан,

1.3.1 ескертуі бойынша, l операторы қайтарымды және оған кері 1ˆl операторы

үзіліссіз. Ал (1.3.11) бойынша, әрбір )ˆ(~ lDy үшін

,22

,2

1

,2

22 ~ˆ)(~~~~ ylсyrky

(1.3.25)

теңсіздігі орынды, мұндағы ,2

- 2 ( )l кеңістігінің нормасы.

Егер жоғарыдағы 1.1 ішкі бӛлімінде анықталған ,q r және ,q r ӛрнектерінде 2

j jq k q , 1

j jr k r алмастыруларын жасасақ, онда

1 1

2 22 2

,

0

n

p r j j

j j n

q r

1 1

2 22 22 1

0

n

j j

j j n

k q k r

1 1

2 22 2

,

0

1 1n

j j q r

j j n

q rk k

,

1 1

1 2 22 2

,

k

q r j j

j k j

q r

1 1

1 2 22 22 1

k

j j

j k j

k q k r

1 1

1 2 22 2

,

1 1k

j j q r

j k j

q rk k

.

Сондықтан,

,q r rqrq

krq

n kk,,

,...2,1,

,...2,1,0

1sup,sup

1max

.

Теорема 1.1.1 және Теорема 1.1.2 - ні және (1.3.20), (1.3.21) шарттарын

ескерсек, онда

2

12

0

22

121

22

12

2 ~~~~~~

j

jhjh

j

jhjh

j

jhjh yqkyqkyqk

2

121

2 ~~~2

j

jj yrBk

2

12

0

0

2 ~~2j

jj yrBk

2

12

~,~2 ~~2

j

jjrq yrk

,2

~,~2 ~~2 yrk rq .

Немесе

,2

2 ~~ yqk

,2

1~,~

~~2 yrkk rq

. (1.3.26)

Егер ,

1

2 2 q r

k

деп таңдап алсақ, онда (1.3.26) бойынша, (1.3.25) теңсіздігінен

45

,2,2

2 ~ˆ4

1~~ ylyqk (1.3.27)

шығады. (1.3.27) бойынша 2k qE операторы тұйық l операторының аз

бұлқынуы болып тұр. Онда (1.3.23) жазылуы мен аз бұлқыныс жайлы Лемма

1.1.7 бойынша, 0L тұйықталатын оператор болады. Оның тұйықталуын L деп

белгілейміз. Жоғарыдағы ой қорытуды қайталай отырып, (1.3.27) және Лемма

1.1.7 бойынша, L операторы қайтарымды болатынын, ал оған кері оператор

барлық 2l - де анықталған оператор екенін байқаймыз. LyyL ~ˆ теңдігі бойынша,

L операторы да тұйық және үзіліссіз қайтарымды.

Айталық, )ˆ(~0LDy болсын. (1.3.25) пен (1.3.27) - ден

22 1 2

12, 2,2, 2,

1 ˆ( )4

y kr y k qy с l y

(1.3.28)

және

2 2

2, 2,

ˆ ˆl y l y k qy k qy 2

2,2,

1ˆ4

l y k qy l y

.

Осыдан

,2

~ˆ yl2,

4 ˆ3

L y . (1.3.29)

Ал (1.3.28) бен (1.3.29) теңсіздіктері бойынша

22 1 2

12, 2, 2,2,

4 1 ˆ( )3 4

y kr y k qy c Ly

.

Енді кері 1

k алмастыруын жасап, )(~ LDy үшін (1.3.22) теңсіздігін аламыз.

Теорема дәлелденді.

Мысал 1.3.1 Келесі операторды қарастырайық:

(2)ly y p y y ,

мұндағы ,p diag j j Z

, 1 . Онда [17, 1-тарау 3-пункт] нәтижелері

бойынша l операторы Теорема 1.3.2 шарттарын қанағаттандырады, демек l

операторы 2l кеңістігінде үзіліссіз қайтарымды және бӛліктенеді. Және әрбір

( )y D l үшін

46

1/2

22(2)

2 22 j

j

y j y y C ly

теңсіздігі орындалады.

Теорема 1.3.3 Айталық Теорема 1.1.3 –тің шарттары және

1 11 12 2

2 22 2lim lim 0k

i im k

i m i

m B k B

(1.3.30)

теңдігі орындалсын. Онда 1m операторы 2l кеңістігінде компактылы.

Дәлелдеу. 1.3.2 теоремасы бойынша, 1m операторы барлық 2l кеңістігін

2 (Z, )H r -ге бейнелейді, ал Теорема 1.1.3 бойынша 2 (Z, )H r кеңістігі 2l -ге енеді.

Жиынның 2l кеңістігінде компактылы болуының белгілі шарттары бойынша,

(1.3.30) шарты орындалғанда 2 (Z, )H r -ді 2l -ге енгізу операторы компактылы

болады. Осыдан теореманың дәлелдеуін аламыз.

47

2 ЖОҒАРҒЫ РЕТТІ АЙЫРЫМДЫҚ ОПЕРАТОРЛАР ҤШІН

КОЭРЦИТИВТІ БАҒАЛАР

Бұл бӛлім 2l кеңістігінде әсер ететін келесі

(2 ) (2 1) (2 1)

0

n n nL y y r y s y 2 1

( ) (2 1) ( ) (2 1)

1

nj n j j n j

j

Q y P y

түріндегі минимальды тұйық жоғарғы ретті айырымдық оператордың

қайтарымды болуы мен бӛліктенуі мәселелерін зерттеуге арналған. Мұндағы

{ }k ky y

, 1k k ky y y , 1k k ky y y , (2)

1 12k k k k ky y y y y ( k Z ),

(2 ) (2) (2 2)s sy y , (2 1) (2) (2) (2)

1

...s

s

y y

(s N) ,

ал r , s , Q , P - берілген диагональды матрицалар.

Нақты процестерді сипаттайтын кӛптеген динамикалық есептер ӛзінің

қойылу ерекшеліктеріне қарай не дифференциалдық теңдеулерге, не шексіз

айырымдық теңдеулерге, не болмаса дифференциалдық-айырымдық

теңдеулерге келтіріледі. Функционалдық анализ әдістерін қолдану шексіз

айырымдық теңдеулер теориясының дамуын жеделдетті. Алдыңғы бӛлімде біз

аралық коэффициенттері шенелмеген екінші ретті шексіз айырымдық

операторларды қарастырдық. Мұндай операторлардың кӛпке белгілі ӛкілдері

бӛлшектің броундық қозғалысын сипаттайтын Фоккер-Планк операторы [52]

мен Орнштейн-Ухленбек операторы [26,27] болып табылады. Олар [50, 53-57]

жұмыстарында да зерттелген. Ал екінші ретті айырымдық операторларды

зерттеудің кейбір ӛзекті мәселелері жоғарғы ретті шексіз айырымдық

теңдеулерді шешумен байланысты екені белгілі.

Бұл бӛлімнің алғашқы екі ішкі бӛлімі жаңа салмақты айырымдық Харди

теңсіздіктерінің дәлелденуіне, ал үшінші ішкі бӛлім оларды операторлық

әдістер және аз бұлқыну теоремаларымен бірге жоғарғы ретті L айырымдық

операторын зерттеуге қолдануға арналған. 1n , 1h болғанда бұл бӛлім

нәтижелерінің бір бӛлігі 1.2 ішкі бӛлімінің нәтижелерімен беттеседі. Жоғарғы

ретті эллиптикалық дифференциалдық операторлар үшін бӛліктену есебі [60,

61] жұмыстарында қарастырылған. Осы операторлардың айырымдық аналогы

үшін тӛменде дәлелденген Теорема 2.3.1 - дің бір жетістігі - онда

коэффициенттер тербелісіне қойылатын дәстүрлі шектеулер алынып тасталған.

Шексіз айырымдық теңдеулер жүйелерін сапалық зерттеулер туралы [14-16,

62] мақалалары мен онда келтірілген әдебиеттерден, ал оларға байланысты

салмақты теңсіздіктер жайлы [8, 17, 18] жұмыстарынан оқып-білуге болады.

48

2.1 Салмақты айырымдық Харди типті теңсіздіктер

1-бӛлімде белгіленгендей

: 0, 0 ,n nnl y y N y n N

0

: 0, 0 ,m mml y y N y m N

0: 0, 0 , 1,...s ss

l y y M y s M M болсын.

Лемма 2.1.1 Айталық ,s k nP ( Nnk , , n k ) ӛрнегі келесідей тізбекпен

анықталсын:

1,1 nkP , nkP nk ,2 , 2

)1)((,3

nknkP nk ,

m, 1,s

k

k n m n

s n

P P

, (m 4,5,...) .

1, 1kP , 2,kP k , 3,

( 1)

2k

k kP

, m, 1, j

0

k

k m

j

P P

(m 4,5,...) . (2.1.1)

Онда әрбір

lyy

nnn

~1

үшін

(m)

m, ( )n k n k

k n

y P y

(2.1.2)

теңдігі орындалады, мұндағы m - бекітілген натурал сан.

Дәлелдеу. Айталық lak

~. Егер

nk

kn ay болса, онда n na y . Демек

nk

kn yy , 0n . (2.1.3)

kk zy , деп белгілесек, онда (2.1.3) бойынша

ks

sk zz )( . Соңғы екі

теңдіктен

(2)

n s

k n s k

y y

(2)

s

s

s n k n

y

(2)(s )( ) s

s n

n y

, 1n . (2.1.4)

Енді егер (2)( ) j jy w болса, онда ( )j s

s j

w w

болғандықтан (2.1.3) бойынша,

(3)

(s )n k

s n k s

y n y

(3)(s )(s 1)( )

2s

s n

n ny

, 1n . (2.1.5)

Осы (2.1.3)-(2.1.5) теңдіктері алынған әдісті пайдалана отырып, (2.1.2) теңдігіне

келеміз. Мұндағы m,s nP ( 1,2,3m ) шамасы (2.1.1) теңдіктерімен беріледі. Лемма

дәлелденді.

49

0jjvv , 0jv тізбегін алайық. )(

,

~ k

vpH ( p1 , Nk ) ретінде нормасы

p

s

p

s

k

sHava k

vp

1

0

)(~ )(

,

)(0

ssaa

болатын кеңістікті белгілейміз.

Лемма 2.1.2 Әрбір

lyy

nnn

~1

үшін

(m),

1

m,1

supH p v

pp p

n s n sy s n

y P v

(2.1.7)

теңдігі орынды.

Дәлелдеу. (2.1.2) - ден Гельдер теңсіздігі бойынша,

ny

1 1

' (m)

m, ( )p p

pp pp

k n k k k

k n k n

P v v y

(m),

1

'

m,p v

ppp

k n k Hk n

P v y

, (2.1.8)

осыдан

(m),

1

'

m,1

supH p v

ppp

n k n ky k n

y P v

. (2.1.9)

Енді , 0n j jy y

тізбегін келесі теңдіктерге сай таңдап алайық:

1

(m) m, j,

, [ , ], 1,( )

0, [ , ].

pp

n jn j

P v j n N N ny

j n N

(2.1.10)

(2.1.2) бойынша

1

, m, m,

Np p

n j s j s n s

s j

y P P v

,

ал nj болғанда

50

, m,s

Npp

n n n s

s n

y P v

. (2.1.11)

Әрі қарай

(m),

(1 )1 ( 1)

m,s m,sp v

pN Np p p pp p p

s n s n sHs n s n

y v P v P v

m,s

Npp

n s

s n

P v

.

Осы теңдік пен (2.1.11)-ден алатынымыз

(m)(m),

,

m,s,

11

,

m,s

supH p v

p v

Npp

n sn n s n

nN py

n n pH p

n s

s n

P vy

yy

P v

1

m,s

N ppp

n s

s n

P v

. (2.1.12)

(2.1.12) және (2.1.9)–дан, N 1n - ден кем емес кез-келген сан болғандықтан,

(2.1.7)-ге келеміз. Лемма дәлелденді.

mmmm

m nnnS )1(...21)( ( , 1, 2,...m n )

қосындысын қарастырайық.

Лемма 2.1.3 Егер , 1, 2,...m n , 12 mn болса, онда келесі теңсіздіктер

орынды:

11 )1(1

1)()1(

)1(10

1

m

m

m nm

nSnm

.

Дәлелдеу. 1

( 1)( )

2

n nS n

, 2

1( 1)( )

2( )3

n n n

S n

екені жақсы белгілі. Сол

сияқты

...)()()1()( 2

3

11

2

1

11

1

nSCnSCnnSC mmmm

m

mm

1)()()( 112

1

13

2

1

nnSCnSCnSC m

m

m

m

m

m , (2.1.13)

мұндағы )!(!

!

rkr

kC r

k

),,( rkNrk . (2.1.13)-тен 1

1 1mC m болғандықтан,

1)1(1

1)(

m

m nm

nS . (2.1.14)

51

Осы (2.1.13) теңдігін пайдалана отырып, )(nSm шамасын тӛменнен

бағалайық. (2.1.14)-тен

m

m nm

nS )1(1

)(1 .

Сондықтан

2

1 1

( 1)! 1 1( ) ( 1) ( 1)( 1)

2!( 1)! 2!

m m

m m

mC S n n m n

m m

,

11

2

3

1 )1()1(!3

1)1(

1

1

)!2(!3

)!1()(

mm

mm nmmnmm

mnSC ,

...

2

2

]2/[1

]2/[

1 )1(

22

1

)!2

1(!2

)!1()(

mm

mm

m

m nmmmmm

mnSC

22

2mm

sm

22 )1)(3)...(2)(12(!

1)1(

2

1

)!1(!

)!12(

smsm nsmss

sn

smsms

s,

)(]2/[1

]2/[

1 nSC mm

m

m

12

12

sm

sm

)(2

1

1 nSC sm

s

m

3)1(

3

1

)!2()!1(

)!1( smnsmsms

m 31( 1) ...( 4)( 1)

( 1)!

m sm m m s ns

,

)(11 nSC km

k

m

2)1(2

1

)!1(!

)!1( kmnkmkmk

m 21( 1) ...( 3)( 1)

!

m km m m k nk

,

)(1

1 nSC km

k

m

1)1(1

1

)!()!1(

)!1( kmnkmkmk

m

1)1)(2...()1()!1(

1

kmnkmmmk

,

…

rm 2 : )()( 11211 nSCnSC r

r

rrm

r

m

2)1(2

1

)!1(!

)!12( rnrrr

r

52

222 )1)(3

2...()1(

)!2/(

1)1)(3...(2)12(

!

1

m

r nm

mmm

nrrrr

,

)()( 1

12

1

1 nSCnSC r

r

rrm

r

m

1)1(1

1

!)!1(

)!12( rnrrr

r

121 )1)(2

2...()1(

)!12/(

1)1)(2...(2)12(

)!1(

1

m

r nm

mmm

nrrrr

,

...

)(3

2

1 nSCm

m

4)1(4

1

!3)!2(

)!1(n

m

m 4)1(5)...1()1()!2(

1

nmmm

m,

)(2

1

1 nSCm

m

3)1(3

1

!2)!1(

)!1(n

m

m 3)1(4...)1()!1(

1

nmm

m,

)(11 nSCm

m 2)1(

2

1

!1!

)!1(n

m

m 2)1(3...)1(!

1 nmm

m.

(2.1.13)-тен және соңғы бағалаулардан

)(1

1 nSC mm

11 )1()1(

!3

1)1)(1(

!2

1)1( mmm nmmnmn

2]2/[2 )1)(3]2/...([)1(]!2/[

1...)1)(1()1(

!4

1 mm nmmmm

nmmm

...)1)(2]2/...([)1()!1]2/([

1 1]2/[mnmmmm

34 )1(45...)1()!1(

1)1(567...)1(

)!2(

1nmm

mnmm

m

1)1(34...)1(!

1 2 nnmmm

. (2.1.15)

Егер 12 mn болса, онда (2.1.15)-те 1m - ді 2

1n - ге ауыстырып, және

em

!

1...

!3

1

!2

11 теңсіздігін пайдаланып, алатынымыз:

53

)(1

1 nSC mm

11 1 1 11 ... ( 1)

2 2! 3! !

mnm

1 111 ( 1) 0,1( 1)

2

m men n

,

немесе

1)1()1(10

1)(

m

m nm

nS . (2.1.16)

Лемма дәлелденді.

Лемма 2.1.4 Егер , ,m n s N сандары үшін 2 1s n m , 2m теңсіздіктері

орындалса, онда

1 1

m,2

1 1( 2) ( 2)

10 ( 1)! ( 1)!

m m

s nms n m P s n m

m m

. (2.1.17)

Дәлелдеу. Егер 2m болса, онда 2,s nP s n және (2.1.17) орындалады.

Айталық, m k үшін (2.17) орындалсын:

1 1

k,2

1 1(j 2) (j 2)

10 (k 1)! (k 1)!

s sk k

s nkj n j n

n k P n k

.

Онда Лемма 2.1.1 бойынша

1

1 k 1,2 2

1 1S ( 2) ( 2)

10 ( 1)! 10 ( 1)!

k

k s nk ks n k s n k P

k k

1

1

1 1( 2) S ( 2)

( 1)! ( 1)!

k

ks n k s n kk k

.

Осыдан және (2.1.16) теңсіздігінен

k 1,1

1 1(s 1) (s 1)

10 ! !

k k

s nkn k P n k

k k

.

Демек, 1m k болғанда да, (2.1.17) теңсіздіктері орынды. Математикалық

индукция принципі лемманы дәлелдейді.

(2.1.17) теңсіздіктерінен, m бекітілген сан болғандықтан, мынадай

тұжырымға келеміз.

Салдар 2.1.1 Егер 2m болса, онда бір 0j оң саны табылып, барлық 0j j

үшін

54

1 1

m, j

m mA j P B j

(2.1.18)

теңсіздіктері орындалады. Мұндағы A , B - оң тұрақтылар.

Теорема 2.1.1 Айталық p1 , 1'

11

pp, 2m болып,

1 1

(m 1)

m, ,0.1,2,... 0

supp pn

pp pp

u v j jn j j n

T u j v

(2.1.19)

орындалсын. Онда әрбір

lyy

nn

~0

үшін

1 1

(m)

m, ,

0 0

( )p p

pp

n n u v n n

n n

u y C v y

. (2.1.20)

Сонымен бірге, егер m, ,u vC (2.1.20) орындалатындай ең кіші тұрақты болса, онда

1 1

0,m, , m, , m, ,( )p p

u v u v u vA T C B p p T

, (2.1.21)

Мұндағы

1 1

(m 1)

0,m, ,0.1,2,... 0

sup ( )p pn

pp pp

u v j jn j j n

T u j n v

, (2.1.22)

ал A және B - (2.1.18) бағалауындағы тұрақтылар.

Дәлелдеу. (2.1.21) теңсіздіктерін дәлелдеу жеткілікті. (2.1.2), (2.1.18) және

белгілі [63] салмақты айырымдық Харди теоремасын қолдансақ,

1

0

pp

n n

n

u y

1

1 (m)

m,

0

( )

p p

n k k k k

n k n

u P v v y

1 1 1

1 11 (m)

m,0.1,2,... 0 0

( ) sup ( )p p pn

p ppp p

j j j j jn j j n j

p p u P v v y

1

1 1(m)

m, ,

0

( ) ( )p

pp p

u v j j

j

B p p T v y

.

Осыдан (2.1.21)-дегі оң жақ теңсіздік шығады.

55

(2.1.21)-дегі сол жақ теңсіздікті дәлелдейік. Жоғарыда алынған ,n ny үшін

(2.1.11) теңдігін қолдансақ

, m,s

0 0

pN

p p pp

n n n n n s

n n s n

u y u P v

m,s

0 1

pn N

p pp

j n s

j s n

u P v

.

(2.1.2) және (2.1.10) бойынша

(m),

( 1)(m)

m,

1 1

( )p v

pN Np pp p p p

s s s s n sHs n s n

y v y v P v

m,

1

Np p

s n s

s n

P v

.

Соңғы екі ӛрнектен

(m),

1

, m,

0 0 1p v

pn N

pp p p p

n n n j s n s Hn j s n

u y u P v y

.

Алуымыз бойынша, N - кез-келген сан. Онда (2.1.18) бойынша 0,m, , , ,u v m u vA T C

бағалауына келеміз. Теорема дәлелденді.

lyy nn

~}{ 0 тізбегін алайық. Егер

n

k

kn ay болса, онда nnnn yyya 1

болғандықтан,

( )n n

n k k

k k

y y y

. (2.1.23)

(2.1.23)- ті былайша жазамыз

1, ,P ( )n

n n j j

j

y y

,

мұндағы 1,,1 jnP . Егер kk zy деп белгілесек, онда (2.1.23) бойынша,

k

s

sk zz )( . Демек

(2)

n k

n s

k s

y y

2 (2) 2 (2)( 1) 1 ( ) ( 1) ( )( )

n n n

j j

j s j j

y n j y

, (2.1.24)

2, , 1, ,

n

n j s j

s j

P P

деп алсақ, онда 2, ,n jP n j . Осыдан және (2.1.24)- тен

56

(2)

2, ,P ( )n

n n j j

j

y y

.

3, , 2, ,

n

n j s j

s j

P P

болсын. Онда 3, ,

( )( 1)

2n j

n j n jP

және

3 (3)

3, ,( 1) P ( )n

n n j j

j

y y

. (2.1.25)

Осы процесті жалғастыра отырып,

1,,1 jnP ,

n

js

jskjnk PP ,,1,, ( 2,3,...)k (2.1.26)

деп алып,

ny (m)

, ,( 1) ( )n

m

l n j j

j

P y

, 0n , n Z , m N , (2.1.27)

теңдігіне келеміз.

(2.1.24), (2.1.25), (2.1.27) ӛрнектерін сәйкес (2.1.2), (2.1.3), (2.1.6)

ӛрнектерімен салыстырып, және (2.1.17)-ні ескеріп, 2m , 2 1n m , n j

болатындай m, ,n j -лер үшін келесідей теңсіздіктер аламыз:

1 1

, ,2

1 1( 2) ( 2)

10 ( 1)! ( 1)!

m m

m n jmn j m P n j m

m m

. (2.1.28)

Сонымен келесі лемма дәлелденді.

Лемма 2.1.5 Егер 2m , 2 1n m , j n болса, онда әрбір 0

n ny y l үшін

(2.1.27) теңдігі орынды. Мұндағы , ,m n jP ( 1,2, ...)l (2.1.26) теңдіктерімен

анықталады және (2.1.28) теңсіздіктерін қанағаттандырады.

(2.1.28) теңсіздіктерінен, m бекітілген сан болғандықтан, мынадай

тұжырым шығады.

Салдар 2.1.2 Егер 2m болса, онда бір '

0 0j саны табылып, барлық '

0j j

үшін

1 1

,

m m

m jA j P B j

(2.1.29)

теңсіздіктері орындалады. Мұндағы A , B - оң тұрақтылар. )(

,ˆ k

vpH ретінде нормасы

57

p

s

p

s

k

sHava k

vp

10

)(

ˆ )(,

0

s sa a

түрінде анықталған кеңістікті белгілейік.

Лемма 2.1.6 Айталық lyy

nn

~0 . Онда

(m)ˆ,

1

m, ,1

supH p v

n pp p

n n s sy s

y P v

( 0, 1, 2,...)n .

Дәлелдеу. Айталық 0n n

z z l

. (2.2) – теңдігі бойынша

nz ( )

, ( ) m

m j n j

j n

P z

.

tj ( 0)t ауыстыруын жасап, t tz y деп белгілесек, онда 0

n ny y l және

ny ( )

, ( ) ( ) m

m t n t

t n

P y

( )

, ( )n

m

m n t t

t

P y

( 0,1,2, ...n ).

Осыдан, (2.1.26) теңдіктерін ескерсек,

( )

, , ( )n

m

n m n s s

s

y P y

( 1, 2,...n ). (2.1.30)

Енді ( ),

1

( )

0

kp v

pp

k

s sHs

z v z

нормасын түрлендірейік. ts ауыстыруын жасап,

tt vv ~ деп белгілесек, онда

1

( )

0

pp

k

s s

s

v z

1

( )

0

pp

k

t t

t

v z

10

( )p

pk

t t

t

v y

= ( )

,ˆ k

p vHy .

Осыдан және (2.1.30) жазылуынан, Лемма 2.1.2-дегі (2.1.7) теңдігі бойынша

(m)ˆ,

1

m, ,1

supH p v

n pp p

n n s sy s

y P v

.

Лемма дәлелденді.

Теорема 2.1.2 Айталық p1 , 1'

11

pp, 2m және

58

1 10

(m 1)

m, ,0

supp p

p pp

u v j j

j j

T u j v

(2.1.31)

болсын. Онда әрбір lyy

nn

~0 үшін келесі теңсіздік орынды:

1 1

0 0(m)

1 ( )p p

pp

n n n n

n n

u y C v y

. (2.1.32)

Сонымен бірге, егер 1C (2.1.32) теңсіздігі орындалатындай ең кіші тұрақты

болса, онда

1 1

0,m, , 1 m, ,( )p p

u v u vA T C B p p T

. (2.1.33)

Мұндағы

1 1

0(m 1)

0,m, ,0, 1, 2, ...

supp p

p pp

u v j j

j j

T u j v

, (2.1.34)

ал A , B - (2.1.29) теңсіздігінен алынған тұрақтылар.

Дәлелдеу. Теорема 2.1.1-дегі (2.1.20) теңсіздігінде бірнеше алмастыру

жасайық.

(2.1.20) бағалауының сол жағында tn )0( t ауыстыруын жасап, одан

кейін tt uu ~ , tt yy ~ деп белгілесек, онда 0

k ky y l және

0n

p

nn yu

0t

p

tt yu

0

~~

t

p

tt yu (2.1.35)

теңдігіне келеміз. Дәл осындай түрлендірулерді (2.1.20) теңсіздігінің оң жағына

да жасасақ, және tt vv ~ деп белгілесек, онда

(m)

0

( )p

n n

n

v y

0

(m) (m)

0

( ) ( )p p

t t t t

t t

v y v y

. (2.1.36)

, ,m u vT ӛрнегінде n деп белгілесек, онда

1 1

, , ,0, 1, 2, ... 0

supp p

pp p

m u v j m j j

j j

T u P v

.

Енді kj деп алсақ,

59

1 1

, , ,0, 1, 2, ... 0

supp p

pp p

m u v k m k k

k k

T u P v

.

0

k ku u

,

0

k kv v

деп алып, (2.1.31)-ді есепке алсақ, мына теңдікке келеміз:

1 1

0"

, , , , ,0, 1, 2, ...

supp ppp p

m u v k m k k m u v

k k

T u P v T

. (2.1.37)

(2.1.35), (2.1.36), (2.1.37) теңдіктерінен (2.1.19) мен (2.1.20)-ны ескеріп, (2.1.31)

шартын қанағаттандыратын ku , kv үшін және 0

n ny y l үшін (2.1.32)

теңсіздігі орындалатынын кӛреміз. Әрі қарай, (2.1.33) – тегі оң жақ теңсіздік,

(2.1.37) бойынша былай жазылады

1 1

1 m, ,( )p p

u vС B p p T

.

0, , ,m u vT ӛрнегінде kj , ts ауыстыруын жасайық. Сонда

0,m, ,u vT 1 1

, ,0,1, ... 0

supn p ppp p

k m t n tn k t n

u P v

.

k ku u , t tv v , n деп белгілесек, онда

0, , ,m u vT 1 1

0

, ,0, 1, 2, ...

supp ppp p

k m t t

k t

u P v

"

0, , ,m u vT .

Осыдан (2.1.29) және (2.1.33) бойынша, 0, , , 1m u vA T С . Теорема дәлелденді.

, ,m u v "

, , , ,max ,p p

pm u v m u vB T B T

, , ,m u v "

0, , , 0, , ,min ,p p

pm u v m u vA T A T

деп

белгілейік.

Теорема 2.1.3 Айталық ,ju diag u j Z және ,jv diag v j Z ( 0jv

j Z ) матрицалары , ,m u v шартын қанағаттандырсын. Онда ly j

~ үшін

(m)

2, , ,

ppp

j j m u v j j

j j

u y C v y

(2.1.38)

теңсіздігі орындалады. Сонымен қатар, егер 2, , ,m u vC (2.1.38) теңсіздігі

орындалатындай ең кіші тұрақты болса, онда

60

1 1

, , 2, , , , ,( )p p

m u v m u v m u vС p p . (2.1.39)

Дәлелдеу. Біріншіден, , ,m u v болғандықтан, сәйкес теорема 2.1.1 және

теорема 2.1.2 бойынша,

(m)

, ,

0 0

( )pp p

n n m u v n n

n n

u y C v y

(2.1.20)

және

1 1

(m)

1, , ,

pp p

n n m u v n n

n n

u y C v y

(2.1.32)

бағалаулары орындалады. Оларды ӛзара қосып, (2.1.38)-ге келеміз. Енді 2, , ,m u vC -

ні бағалайық. (2.1.20) мен (2.1.32) бойынша,

p

n n

n

u y

(m)

, ,

0

( )p

p

m u v n n

n

C v y

0

(m)

1, , ,

pp

m u v n n

n

C v y

1 1 01 1

( ) " ( )

, , , ,

0

( )

p p

p pm mp p

p pm u v n n m u v n n

n n

B p p T v y B p p T v y

1

, ,

p p

m u vp p

( )p

m

n n

n

v y

.

Демек, 2, , ,m u vC 1/ '1/

, ,

pp

m u vp p .

Теорема 2.1.1 және теорема 2.1.2 бойынша , , 0, , ,l u v m u vC T және "

1, , , 0, , ,m u v m u vC T .

Басқаша айтқанда, 1

n nz z l

және

0k kl

тізбектері табылып, сәйкес

1

n

p

nnzu 1

( )

0, , ,

pp m

m u v n n

n

A T v z

,

0n

p

nnu ( )

0, , ,

0

p pm

m u v n n

n

A T v

теңсіздіктері орындалады. Онда, k kz ( 0,1,...k ) деп белгілеп, n nz z l

тізбегі үшін алатынымыз

0n

p

nnzu

1

n

p

nnzu 1

( ) ( )

0, , , 0, , ,

0

p pp pm m

m u v n n m u v n n

n n

A T v z A T v z

( )

, ,

p pm

m u v n n

n

v z

.

61

Осыдан (2.1.39) ӛрнегіндегі сол жақ бағалау шығады. Теорема дәлелденді.

2.2. Бір жҧп ретті нҧқсанды айырымдық оператор ҥшін коэрцитивті

бағалар

Келесі

(2 ) (2 1)

0

n n

j j j jl y y r y , Zj , (2.2.1)

операторының қасиеттерін қарастырамыз. j jy y

l болсын. (2.2.1) теңдігін

(2 1)n

jy айырымына кӛбейтіп, шыққан ӛрнектерді қосайық, сонда

2

(2 ) (2 1) (2 1)n n n

j j j j

j Z j Z

y y r y

(2 1)

0

n

j j

j Z

l y y

. (2.2.2)

(2 1)n

j jy z деп белгілеп, (2.2.2) теңдігін былайша жазамыз

2

0j i j j j j

j Z j Z j Z

z z r z l y z

.

Келесі

j j

j Z

A z z

қосындысы

2

j j j

j Z j Z

A z z z A

теңдігін қанағаттандырады, осыдан

22

(2 )1 1

2 2

n

j j

j Z j Z

A z y

.

Онда (2.2.2) -ден Шварц теңсіздігі бойынша, келесі бағалау шығады:

2 2(2 ) (2 1)1

2

n n

j j j

j Z j Z

y r y

12 2 1

22

0 (2 1)j n

j j

j Z j Zj

l yr y

r

, (2.2.3)

теңсіздіктің оң жағын жоғарыдан бағалап, алатынымыз

62

12 21

22

(2 1)

0

1n

j j j

j Z j Z j

r y l yr

.

Осы теңсіздік пен 1jr шартын ескерсек, (2.2.3) бойынша

2 2 2

(2 ) (2 1)

0

1

2

n n

j j j j

j Z j Z j Z

y r y l y

. (2.2.4)

Онда

2

2 (2 1) 2

03n

j j j

j Z j Z

r y l y

,

Осыдан, (2.2.4) бойынша

2 2 2(2 ) (2 1)

0 22 25n ny r y l y ,

онда

(2 ) (2 1)

0 22 25 2n ny r y l y , ly

~ . (2.2.5)

2 1,1,n r шарты орындалсын деп есептейік. Теорема 2.1.3 бойынша

(2 1)

2 1,1,2 22 n

n ry r y

, ly~

,

Осыны ескерсек, (2.2.5) –тен

(2 ) (2 1)

2 1,1, 02 22 25 2 2 1n n

n ry r y y l y

, ly~

. (2.2.6)

бағалауын аламыз.

Лемма 2.2.1 0l ( llD~

)( 0 ) - 2l кеңістігінің нормасы бойынша тұйықталатын

оператор.

Дәлелдеу. Сызықты оператордың тұйықталу критерийін қолданамыз.

Айталық, llD~

)( 0 жиынынан алынған 1

n

nu

тізбегі

0

2nu , 0

2 vul n

0 n (2.2.7)

63

қатыстарын қанағаттандырсын. 0v екенін кӛрсету жеткілікті. l финитті

тізбектер жиынынан алынған кез-келген j j

үшін

(2 ) (2 1)

0 , , ,n n nn nl u u r u

теңдігі орынды. n n

jj

u u

деп алып, (2 ) ,

nn u ӛрнегін ашып жазайық:

1, ( )

n n n

j j j

j

u u u

1

n n

j j j j

j j

u u

1( ) ( )n n

j j j j j

j j

u u

және

(2) ,n

u 1( ) ( )

n n n

j j j j j

j j

u u u

1

n n n

j j j j j j

j j j

u u u

1

n n

j j j j

j j

u u

1( ) ( ( )

n n

j j j j j

j j

u u

(2) (2),

n n

j j

j

u u

.

Осы есептеулерді ( )k 3,4,..., 2k n жоғарғы ретті айырымы үшін жалғастыра

отырып, келесі теңдікке қол жеткіземіз:

(k) ,n

u (k)( 1) ,nl u , 1,2,...l .

Ендеше, егер * (2 ) (2 1)

0

n n

j jl r - 0l -ге формальды түйіндес оператор болса,

онда

0 ,

nl u (2 ) (2 1)n n n

j j j

j

u r

*

0,n

u l , (2.2.8)

*

0( )l D l болғандықтан, 1

~C саны табылып, *

0 12,hl C теңсіздігі орындалады.

Онда

* *

0 0 122 2,

n n nu l u l C u . (2.2.9)

(2.2.8) теңдігінде n жағдайында шекке кӛшсек, онда (2.2.7) және (2.2.9)

бойынша

64

, 0v , l .

Финитті тізбектердің l~

жиыны 2l -де тығыз болғандықтан, соңғы теңдіктен

0v екені кӛрінеді. Лемма дәлелденді.

Лемма 2.2.2 Айталық 0l операторының коэффициенттерінен тұратын

,jr diag r j Z матрицасы 1jr

Zj және 1,r шарттарын

қанағаттандырсын. Онда (2.2.6) бағалауы кез-келген )(lDy үшін орынды.

Дәлелдеу. )(lDy болсын. Тұйық оператордың анықтамасы бойынша, (k)

1{ }ky l

тізбегі табылып,

(k)

20y y , (k)

0 20l y ly (k ) (2.2.10)

қатыстары орындалады. Жоғарыда дәлелденген (2.2.6) теңсіздігі кез-келген

финитті тізбек үшін орындалатындықтан,

(2 ) (k) (2 1) (k) (k) (k)

1, 02 2 2 25 2 2 1n n

ry r y y l y . (2.2.11)

l~

жиынының

(2 ) (2 1)

22 2

n n

wv v r v v

нормасы бойынша толықтырылуын (2 )

2

nw

деп белгілейік. (2 )

2

nw салмақты

айырымдық кеңістігі банахтық болады. (2.2.11) теңсіздігі бойынша, ,k m N үшін келесі ӛрнектер орынды:

(k) ( )m

wy y (2 ) (k) (2 ) ( )

2

n n my y (2 1) (k) (2 1) ( )

2

n m mr y r y

(k) ( )

2

my y (k) ( )

1, 25 2 2 1 m

r ly ly . (2.2.12)

Демек, (2.2.10) бойынша (k)

1{ }ky l

(2 )

2

nw - де фундаментальды тізбек, онда (k) 0

wy

(k ) қатысы орындалатындай (2 )

2

nw элементі табылады.

Біздің алуымызша (k)

20ly ly

)( n . Ендеше ( )D l және ly l .

(2.2.11) теңсіздігі бойынша

1, 1,2 22 10 5 2 2 1r rw

l ly . (2.2.13)

65

Біз, ( )D l (2 )

2

nw қатысы орындалатынын дәлелдедік. Онда y (2 )

2

nw , әрі y .

(2.2.13) бойынша, (2.2.6) теңсіздігі дұрыс. Лемма дәлелденді.

l ретінде l~

жиынында анықталған 0l операторының 2l кеңістігінің нормасы

бойынша тұйықталуын белгілейік.

Теорема 2.2.1 Айталық 2n болсын да, ,jr diag r j Z матрицасы үшін

1jr Zj ,

1

22* 2(n 1)

1,2,...

sup jk j k

F k j r

(2.2.14)

және

1

22** 2(n 1)

1, 2,...

sup 1t

jt j

F t j r

(2.2.15)

шарттары орындалсын. Онда l операторы үзіліссіз қайтарымды. Сонымен

бірге, 0C тұрақтысы табылып, әрбір ( )y D l үшін (2.2.6) бағалауы

орындалады.

Дәлелдеу. Айталық 1jr

Zj , (2.2.14) және (2.2.15) шарттары

орындалсын. Лемма 2.2.2 бойынша (2.2.6) теңсіздігі әрбір )(lDy үшін дұрыс.

Онда l операторы қайтарымды. Шынында да, егер 1 2, ( ),z z D l 1 2lz lz болса,

онда 1 2w z z Ker l : 0lw , онда (2.2.6) бағалауы бойынша 2

0w . Олай болса

21 zz .

(2.2.6) бағалауынан l операторының мәндерінің жиыны тұйық екені

шығады. Олай болса, 2)( llR екенін дәлелдеу жеткілікті.

Кері жориық, айталық 2)( llR . Онда гильберт кеңістігінің құрылымы

бойынша 2 \ ( )v l R l , 0v элементі табылады. Айталық 0l l операторының l -ге

тарылуы болсын. Әрбір )( 0lR үшін ( , ) 0v теңдігі орынды.

}),(:{)( 0020 yllDyllR қатысынан 0( , ) 0l y v )( 0lDy . Демек, { }j jv v

үшін (2.2.8) бойынша

00 ( , )l y v (2 )n

j j

j Z

y v

(2 1) ( )n

j j j

j Z

y r v

)( 0lDy . (2.2.16)

0( )D l l~

2l кеңістігінде тығыз жиын болғандықтан

(2 ) (2 1) 0n n

s s sv r v , s Z . (2.2.17)

66

Алуымыз бойынша, 2v l , сондықтан 2

j

j Z

v

, 2

lim 0jj

v

. Демек 0 ,

0 0:s s s (2 )n

sv . Ал (2.2.14) және (2.2.15) шарттары бойынша, (2.2.17)-ден

(2 1) ( ) 0n

s sr v , (2.2.18)

немесе

(2 2) (2 2)

1 1( ) ( )n n

s s s sr v r v

. (2.2.19)

Осы теңдіктен 0 m s үшін алатынымыз:

(2 2) (2 2)( ) ( )n n

s s s m s mr v r v

,

Немесе

1 2

2 4 2 4 2 2 2 5 2 2 2 6( ) ( ) ...s n s n n s n n s nr v C rv C rv 1 2

2 4 2 4 2 2 2 5 2 2 2 6( ) ( ) ...s n m s n m n s n m n s n mr v C rv C rv (2.2.20)

1r болғандықтан, (2.2.20) теңдігінің екі жағын алдымен 2 4s nr -ке, одан кейін

2 4s n mr -ке бӛлсек, онда сәйкес

1 22 5 2 62 4 2 2 2 2

2 4 2 4

( ) ( )...s n s n

s n n n

s n s n

rv rvv C C

r r

12 4 2 52 4 2 2

2 4 2 4

( )...s n m s n m

s n m n

s n s n

r rvv C

r r

(2.2.21)

және

1 22 4 2 5 2 62 4 2 2 2 2

2 4 2 4 2 4

( ) ( )...s n s n s n

s n n n

s n m s n m s n m

r rv rvv C C

r r r

1 2 52 4 2 2

2 4

( )...s n m

s n m n

s n m

rvv C

r

(2.2.22)

теңдіктері шығады. 2 4s n mv және 2 4s nv шамалары қалағанымызша аз

болатындай етіп s -ті таңдауға болады, демек mnsv 42 -ді, не 42 nsv -ті 0-ге тең

деп есептей аламыз. Егер 142

42

ns

mns

r

r болса, онда (2.2.22)-ні ескеріп, 042 nsv

деп аламыз. Онда (2.2.21) теңдігін былай жазуға болады:

42

52521

22

ns

nsns

nr

vrC 2 2 6 2 6

2 2

2 4

...s n s nn

s n

r vC

r

67

2 4 2 4

2 4

s n m s n m

s n

r v

r

...42

52521

22

ns

mnsmns

nr

vrC . (2.2.23)

Бұл теңдікті 1

22 nC -ге бӛліп, 42 nsr -ке кӛбейтсек,

2

2 22 5 2 61

2 2

( ) ( ) ...ns n s n

n

Crv rv

C

2 4 2 51

2 2

1( ) ( ) ...s n m s n m

n

rv rvC

. (2.2.24)

Осы теңдікті 52 nsr -ке және mnsr 42 -ге бӛліп, сәйкес нәтижелерін жазайық.

...52

1

22

6262

2

22

52

nsn

nsnsn

nsrC

vrCv

52

1

22

4242

nsn

mnsmns

rC

vr...

52

5252

ns

mnsmns

r

vr ,

...42

1

22

6262

2

22

42

5252

mnsn

nsnsn

mns

nsns

rC

vrC

r

vr

mns

n

vC

421

22

1...

42

5252

mns

mnsmns

r

vr .

(2.2.20)-ға жасалған амалдарды осы екі теңдік үшін де қайталаймыз. Процесті

әрі қарай жалғастыра берсек, әр қадам сайын теңдіктер бір қосылғышқа кеміп

отырады да, кезекті қадамнан кейін мынадай теңдікке келеміз:

1 2С ( ) С ( )k trv rv ,

немесе

1

2

С

С

kk t

t

rv v

r .

Осыдан 0kv , немесе 0tv . Қайшылық алынды. Ол теореманы дәлелдейді.

Мысал 2.2.1 Келесі айырымдық операторды қарастырайық:

1

2 2 (2 1)20 1

nn n

j jjl y y j y

, j Z . (2.2.25)

Бұл жерде теорема 2.2.1 - дегі ,jr diag r j Z ретінде элементтері

1

2 21n

jr j

, 2n болатын диагональды матрица тұр. Сонда біріншіден 1jr .

Екіншіден

1/22

( 1)* **

10 2 2

sup

1

n

nk j k

jF F k

j

1/21

2

12 2 21

sup(1 )

n

nk j k

jk

j j

68

321

supk

kC

k

.

Сонымен теорема 2.2.1 шарттары орындалады. Демек 0l операторы үзіліссіз

қайтарымды. Сонымен бірге, 0C тұрақтысы табылып, әрбір 0( )y D l үшін

1/2

21

(2 ) 2 (2 1)202 22

1n

n n

j

j

y j y y C l y

бағалауы орындалады.

2.3 Жоғарғы жҧп ретті айырымдық оператордың максимальды

регулярлық шарты

2l кеңістігінде әсер ететін келесі минималды операторды қарастырайық

(2 ) (2 1) (2 1)

0

n n nL y y r y s y 2 1

( ) (2 1) ( ) (2 1)

1

nj n j j n j

j

Q y P y

.

Мұндағы { }k ky y

, 1k k ky y y , 1k k ky y y , (2)

1 12k k k k ky y y y y (

k Z ), (2 ) (2) (2 2)s sy y , (2 1) (2) (2) (2)

1

...s

s

y y

(s N) , ал ,jr diag r j Z ,

,js diag s j Z , ( ) ( ) ,jQ diag q j Z , ( ) ( ) ,jP diag p j Z ( 1,2 1n ) -

берілген диагональды матрицалар.

Теорема 2.3.1 Айталық ,jr diag r j Z , ,js diag s j Z ,

( ) ( ) ,jQ diag q j Z , ( ) ( ) ,jP diag p j Z ( 1,2 1n ) матрицалары келесі

шарттарды қанағаттандырсын:

(2 ) (2 )2n 1, , 2 , , 2 , ,max , ,n nE r n P r n Q r

( 1,2 1n ).

1j js r ( )j Z , 1

10

5 2 ,

мұндағы E - бірлік матрица. Сонда (2.3.1) жұп ретті айырымдық операторы 2l

кеңістігінде үзіліссіз қайтарымды. Сонымен бірге, әрбір ( )y D L үшін

2 1

2 (2 1) (2 1) ( ) (2 1) ( ) (2 1)

12 2 2 22 2 1

nn n n j n j j n j

j

y r y s y Q y P y C Ly

(2.3.4)

бағалауы орындалады.

69

Дәлелдеу. (2.3.2) шарты бойынша (2.2.15), (2.2.16) орындалады, онда

Теорема 2.2.1 бойынша 2 (2 1)n nly y r y теңдігімен анықталған 2l кеңістігінде

минимальды тұйық l операторы үзіліссіз қайтарымды және әрбір y D l үшін

(2.2.6) теңсіздігі орындалады. (2.2.6) мен (2.3.3) бойынша

(2 1) (2 1)

1 12 22

5 2n ns y r y ly . (2.3.5)

Онда (2.3.5) пен Лемма 1.1.7 бойынша (2 1)ˆ nly ly s y - тұйық және үзіліссіз

қайтарымды оператор. Ал ˆ( )y D l үшін келесі теңсіздік орынды:

2 (2 1) (2 1)

12 22 2

5 2 1n n ny r y s y ly . (2.3.6)

Екінші жағынан

(2 1)

12 22 22

ˆ ˆ 5 2nly ly s y ly ly ,

Демек,

2 21

1 ˆ

1 5 2ly ly

ˆ( )y D l .

Олай болса (2.3.6)-дан

2 1(2 1) (2 1)

22 221

5 2 1 ˆ

1 5 2

n n ny r y s y ly

ˆ( )y D l . (2.3.7)

Енді айталық k оң тұрақты, ал 1/ k болсын. Егер jy ( j Z ) шамалары

j jy y ( j Z ) орындалатындай етіп алынса, онда

1 ( 1)( )j j j j j jy y y k y y k y және (2) ( )j jy y 2 (2)

jk y , ( 2 )( )jy

3 ( 3 )

jk y . Сол сияқты (m)

jy (m)m

jk y , m N . Сондықтан, егер келесі jjr , ˆjjs , ˆ

jjq

, ˆjjp , ˆ

jf ( j Z ) шамаларын

jj jjr r , ˆjj jjs s , ˆ

jj jjq q , ˆj jp p , ˆ

j jf f ( /j j k Z )

теңдіктері орындалатындай етіп енгізсек, онда L операторы мына түрге келеді:

2 (2 1) (2 1)

0

1 1ˆ ˆ ˆn n nL y y r y s yk k

2 1

( ) (2 1) ( ) (2 1)

11

1 ˆ ˆn

j n j j n j

jj

Q y P yk

70

және 2, 2,:L l l . Мұндағы

jjyy

~~ , ˆ ˆ, jj jr diag r

, ˆ ˆ, jj j

s diag s

,

( ) ( )ˆ ˆ, jj jQ diag q

, ( ) ( )ˆ ˆ, jj j

P diag p

( 1,2 1n ), ˆ ˆ

j jf а

,

ал 0L y -ті келесі түрде жазып алайық:

02

1 ˆn

L yk

ly 2 1

( ) (2 1) ( ) (2 1)

11

1 ˆ ˆn

j n j j n j

jj

Q y P yk

,

(2.3.2) шарты мен Теорема 2.1.3 бойынша

2 1

( ) (2 1)

11 2,

1 ˆn

j n j

jj

Q yk

1(j),

(2 1)

1 ˆ 2,ˆ, min1,2 1

1ˆ2 max n

j Q A A rj nn r y

k

(2.3.10)

және

2 1

( ) (2 1)

11 2,

1 ˆn

j n j

jj

P yk

1(j),

(2 1)

1 ˆ 2,, min1,2 1

1ˆ2 max n

j P A A rj nn r y

k

. (2.3.11)

Мынадай белгілеу енгізейік:

1

,1 ˆ, min1,2 1

1( , ,n, ) 2 max

j A A rj nG r n

k

,

мұндағы - не ( )Q -ға, немесе ( )P -ға тең матрица, 1,2 1n . Егер k -ны бір

(0,1) мәнінде

12 1 ( ) ( )

1,2 1 1,2 11

5 2 1 ˆ ˆˆ ˆ8 max max (Q , ,n, ), max (P , ,n, )1 5 2

n

n nk n G r G r

теңсіздігі орындалатындай етіп таңдап алсақ, онда (2.3.10) және (2.3.11)

бойынша

2 1

( ) (2 1) ( ) (2 1)

11 2,

1 ˆ ˆn

j n j j n j

jj

Q y P yk

71

( ) ( )

1,2 1 1,2 1

ˆ ˆˆ ˆ8 max max (Q , ,n, ), max (P , ,n, )n n

n G r G r

1

2 1

1

5 2 1

1 5 2 nk

2,ly

2,

ˆ .ly

(2.3.12)

l тұйық оператор болғандықтан, (2.3.12) теңсіздігінен және Лемма 1.1.7-ден 0L

тұйықталатын оператор екені шығады. Оның тұйықталуын L деп белгілейік.

Екіншіден, L операторы үзіліссіз қайтарымды. Онда Ly Ly болғандықтан, L

операторы да тұйық және үзіліссіз қайтарымды.

Айталық )ˆ(~0LDy . Сонда (2.3.7) және (2.3.12) теңсіздіктерінен

алатынымыз:

2 1 (2 1)

2,2,ˆn ny k r y

1 (2 1)

2,

ˆ nk s y

2 1

( ) (2 1)

11 2,

1 ˆn

j n j

jj

Q yk

+

2 1( ) (2 1)

11 2,

1 ˆn

j n j

jj

P yk

1

2,1

5 2 1 ˆ

1 5 2ly

. (2.3.13)

Екіншіден

2 2

( ) (2 1) ( ) (2 1)

12,

1 2,

1ˆ ˆ ˆ ˆn

j n j j n j

jj

l y l y Q y P yk

2 2

( ) (2 1) ( ) (2 1)

11 2,

1 ˆ ˆn

j n j j n j

jj

Q y P yk

2,

L y 2,

l y

,

Демек,

,2

~ˆ yl2,

1 ˆ1

L y. (2.3.14)

(2.3.13) және (2.3.14)-тен

2 (2 1)

2,2,

1ˆn ny r y

k

2 1

(2 1) ( ) (2 1) ( ) (2 1)

12, 2,12,

1 1 ˆ ˆˆn

n j n j j n j

jj

s y Q y P yk k

1 1

2,1

5 2 1 ˆ

1 1 5 2L y

. (2.3.15)

72

(2.3.15)-тен алмастырулар арқылы әрбір )(~ LDy үшін (2.3.4) теңсіздігін

аламыз. Теорема дәлелденді.

73

3 КЕЙБІР АРАЛЫҚ КОЭФФИЦИЕНТТЕРІ ШЕНЕЛМЕГЕН

ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ОПЕРАТОРЛАР

3.1 Екінші ретті комплекс коэффициентті нҧқсанды дифференциалдық

оператордың қайтарымдылық және бӛліктену шарттары

Бұл ішкі бӛлімте біз 2( )L R кеңістігінде әсер ететін келесі минималды тұйық

операторды қарастыратын боламыз:

( ) ( ) ( ) ( )ly y r x y q x y s x y p x y , (3.1.1)

мұндағы r мен q - үзіліссіз дифференциалданатын, ал s - пен p - үзіліссіз

комплексмәнді функциялар, 21 iyyy және

21 iyyy .

r , q , s - және p шенелмеген функциялар деп есептейміз. Бұл жағдайда

(3.1.1) - дің қасиеттері осыған дейін кеңінен зерттелген Штурм-Лиувилль

операторының қасиеттерінен ӛзгеше болады. l операторын зерттеу

тербелістердің кедергілі және сығылатын ортадағы таралуы және ұсақ

бӛлшектердің қозғалыстарын сипаттауға қатысты стохастикалық процестер

жайлы есептермен байланысты ([26, 28, 29, 64, 65] жұмыстарын қара). 0 ps

жағдайында l операторы [33] –те, ал 0 ps және r мен s нақты функциялар

болғанда, 2( )L R кеңістігінде әсер ететін l операторы [66]-да қарастырылған.

Сингулярлы дифференциалдық теңдеулер туралы толық мәліметтерді [67-72]

жұмыстарынан табуға болады.

Айталық g мен 0h берілген үзіліссіз функциялар болсын.

),(

1

),0(,22

)(

tLtLhg hgt )0( t ,

),(

1

)0,(,22

)(

LLhg hg )0( ,

)(sup),(supmax( ,

0,

0,

hghg

thg t

).

деп белгілейік.

Бұл бӛлімнің негізгі нәтижесі келесідей.

Теорема 3.1.1 Айталық r және q үзіліссіз дифференциалданатын, ал s

пен p үзіліссіз функциялар болып, келесі шарттарды қанағаттандырсын:

1)Im(Re qrr )21( , (3.1.2)

rps Re,1

. (3.1.3)

Онда l операторы үзіліссіз қайтарымды.

74

Теореманы дәлелдеу үшін біз алдымен бірнеше кӛмекші тұжырымдарды

келтіреміз.

Лемма 3.1.1 [32]. Айталық g және h функциялары hg , шартын

қанағаттандырсын. Онда )()1(

0 RCy үшін келесі теңсіздік орындалады:

RR

dxxyxhcdxxyxg2

1

2)()()()( . (3.1.4)

Сонымен бірге, егер 1с - (3.1.4) теңсіздігін қанағаттандыратын ең кіші тұрақты

болса, онда

hghg с ,1, 2

теңсіздіктері орынды.

Айталық rr Re0 болсын және yxryyl )(00 операторы )()2(

0 RC -да

анықталсын. Лемма 3.1.1-ді пайдалана отырып, келесі нәтижені дәлелдейміз.

Лемма 3.1.2 Айталық 0r үзіліссіз дифференциалданатын функция болсын

және

0 1r ,

0,1 r

(3.1.5)

шарттары орындалсын. Онда әрбір )()2(

0 RCy үшін келесі бағалау орынды:

20222

0 ylcyyr . (3.1.6)

Дәлелдеу. Айталық )()2(

0 RCy болсын. Бӛліктеп интегралдасақ,

R

dxyxryyl2

00 )(),( .

Гѐльдер теңсіздігі бойынша

2

0

02

0

1yl

ryr

.

Онда, (3.1.5)-ті және лемма 3.1.1-ді пайдалана отырып, келесі бағалауды

аламыз

20,122

00

21 ylyyrr

.

Бұл теңсіздіктен 0,12 21

rc болғанда (3.1.6)-ны аламыз. Лемма дәлелденді.

75

Егер (3.1.5) орындалатын болса, онда Лемма 3.1.2-ні пайдалана отырып, 0l

2( )L R кеңістігінде тұйықталатын оператор екенін оңай дәлелдеуге болады.

Оның тұйықталуын 0L деп белгілейік. Кез-келген )( 0LDy үшін келесі

теңсіздік орындалатынын байқау қиын емес:

20222

0 yLcyyr . (3.1.7)

Лемма 3.1.3 Егер Лемма 3.1.2-нің барлық шарттары орындалса, онда

20 )( LLR .

Дәлелдеу. (3.1.7) теңсіздігінен 0L операторына кері

1

0

L операторы бар, ал

0( )R L тұйық жиын екені шығады. Кері жориық, айталық 20 )( LLR болсын.

Онда )( 0LR -ге ортогональ болатын нолдік емес 20 Lz элементі табылады да,

ол келесі теңдеудің жалпыланған шешімі болады.

0)( 000 zrz .

Немесе

3000 czrz ,

мұндағы 3c - тұрақты, ал

0z - үзіліссіз дифференциалданатын функция. Ендеше

x

a

x

a

dttrcdttrz )(exp)(exp 0300. (3.1.8)

1. Егер 03 c болса, онда жалпы жағдайға нұқсан келтірмей, 13 c деп

алуға болады. Сондықтан

0)(exp 00

x

a

dttrz .

Онда кез-келген 21, xx (

21 xx ) үшін

2

1

)(exp)()( 02010

x

x

dttrxzxz .

Сондықтан барлық Rxx 21, ( 21 xx ) үшін )()( 2010 xzxz . Демек )()( 20 RLxz .

2. 03 c болсын. Онда (3.1.8)-ден

76

x

a

dttrсxz )(exp)( 040 .

Егер 04 c болса, онда барлық ax 0 үшін 400 )( cxz . Сондықтан, )()( 20 RLxz .

Қайшылыққа келдік. Лемма дәлелденді.

Теорема 3.1.1-дің дәлелдеуі. atx )1( a алмастыруын жасаймыз. Сонда

aly L z , ал

1 1 2 2

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )aL z z a r t z a q t z a s t z a p t z , (3.1.9)

мұндағы )()( atytzz , )()(1 atrtr , )()(1 atqtq , )()(1 atsts , )()(1 atptp және

)()(~ 2 atfatf .

(2)

0 ( )С R -де анықталған 1

0 1Real z z a r z дифференциалдық ӛрнегін

қарастырайық. Лемма 3.1.2 бойынша, al0 2( )L R -де тұйықталатын оператор,

оның тұйық кеңейтілуін al арқылы белгілейміз. 1

1Re ( )a r t коэффициенті Лемма

3.1.3-тің шарттарын қанағаттандыратын болғандықтан, al үзіліссіз қайтарымды

және кез-келген )( alDz үшін келесі теңсіздік орынды:

1

1 22

Re aa r z l z .

Бұл бағалаудан (3.1.2) бойынша алатынымыз

1 1

1 1 1 2 22 2

1Im a aa q z a i r z q z l z l z

a

,0 1 , )( alDz .

Онда Лемма 1.1.7 бойынша ztqaztrayzla )()(~

1

1

1

1 операторы қайтарымды

және 2)~

( LlR a . Сонымен бірге, келесі теңсіздік орындалатынын кӛру оңай:

22

~

1zlzl aa

, )

~(lDz . (3.1.10)

(3.1.3) шарты мен лемма 3.1.1 бойынша, кез-келген )( alDz үшін келесі

теңсіздіктер орындалады:

1 1

2 3 2 1

1 1, Re2 2

2 Res r

a s z a a r z , (3.1.11)

1 1

2 3 2 1

1 1, Re2 2

2 Rep r

a p z a a r z . (3.1.12)

a тұрақтысын былайша таңдаймыз

77

1 1 1 1

3 2

, Re , Re

2

1 s r p ra

.

Онда (3.1.10), (3.1.11) және (3.1.12) –ден алатынымыз

221

2

1

2 ~1zlzpazsa a

, )

~( alDz . (3.1.13)

(3.1.13) бағалауынан Лемма 1.1.7 бойынша, (3.1.9)-ға сәйкес келетін

EtpaEtsalL aa )()(~

1

2

1

2 операторы қайтарымды екені және 2)( LLR a теңдігі

шығады. Осыдан zzE , axt деп есептеп, 2)( LLR теңдігін аламыз. Теорема

дәлелденді.

Теорема 3.1.2 Айталық r , q , s және p функциялары Теорема 3.1.1 –дің

барлық шарттарын қанағаттандырсын және

|x | 1

Re ( )sup

Re ( )

r x

r

қатысы орындалсын. Сонда l операторының анықталу облысына тиісті әрбір y

элементі үшін келесі теңсіздік орынды:

2 2 2 2 2 2

'y ry qy sy py C ly . (3.1.14)

Дәлелдеу. ˆ ( ) ( )ly y r x y s x y деп белгілесек, онда [73] –тегі Теорема

1.3.1 бойынша l операторы үзіліссіз қайтарымды және ˆ( )y D l үшін

2 2 2 2

ˆly ry qy c ly (3.1.15)

бағалауы орындалады, яғни l операторы 2L кеңістігінде бӛліктенеді. Енді atx

)1( a алмастыруын жасаймыз, Теорема 3.1.1-дің дәлелдеу жолын қайталап,

(3.1.14) теңсіздігіне келеміз. Теорема дәлелденді.

3.2 Тӛртінші ретті нҧқсанды бір дифференциалдық оператордың

бӛліктенуі

Бұл ішкі бӛлімде барлық R сан осінде берілген минималды тұйық

(4) ( ) ( ) ( )Ly y p x y s x y x y

түріндегі дифференциалдық операторды қарастырамыз. Тӛртінші ретті

дифференциалдық операторларға, мысалы, брустың тербелісін модельдеу есебі

78

алып келетіні белгілі. Екінші жағынан, олар жоғары жұп ретті

дифференциалдық операторларға тән маңызды қасиеттерге ие, сондықтан

соңғыларды зерттеудегі басты модель болып табылады. 0p s , ал ( )x

шенелмеген оң таңбалы функция болып келген жағдайда L операторының

қайтарымдылық және бӛліктену шарттары [60, 11] жұмыстарында алынған.

Аралық коэффииценттері жоғарғы мүше мен бос мүшенің қосындысына

бағынбайтын жұп ретті симметриялы дифференциалдық операторлар [48, 74]

жұмыстарында қарастырылған. [48, 74] мақалаларының авторлары аталған

оператордың ӛзіндік мәндерінің таралуының асимптотикалық формулаларын

кӛрсеткен. Осындай жоғары ретті симметриялы операторлардың оң анықталуы

мен спектрінің дискретті болуының кейбір критерийлері [60, 75] жұмыстарында

алынған. Симметриялы оператордың бӛліктенуінің бағасы оның оң

анықталуының, ал спектрінің дискретті болуының шарттарын аралық

коэффициенттер терминінде алуға мүмкіндік беретіні және ӛзіндік мәндерінің

таралуының дәл формуласына алып келетіні белгілі [66]. Осылай бола тұра,

жоғарыда аталған жұмыстарда аралық коэффициенті шенелмеген операторлар

үшін бӛліктену мәселесі қарастырылмаған.

Біздің мақсатымыз – симметриялы емес және аралық ( )p x y мүшесі (4)y y

операторына бағынбайтын (4)Ly y py sy y операторы үшін үзіліссіз

қайтарымдылық және бӛліктену шарттарын іздестіру. L операторына кейбір

симметриялы 4-ретті операторларды келтіруге болатыны белгілі.

Келесі белгілеулерді енгізейік:

1 21 2

2 2

, ,

0

( ) ( ) ( ) ( 0),

t

g h

t

v t g d h d t

1 21 2

0

2 2

, , ( ) ( ) ( ) ( 0),g h g d h d

, , , , , , ,

t 0 0

max ( ), ( ) .sup supg h g h g hv t

Айталық ( )v x берілген теріс емес үзіліссіз функция болсын. Онымен

байланысты келесідей орталанған функцияларды алайық:

2

* 1

2

( ) sup : ( )

x d

x d

v x d d v t dt

,

* 1 2 1 2( ) inf : ( ) ( 1,2),

x d

n

n

x d

v x d d v t dt n

Rx .

79

Мұндай орталанған функцияларды алғаш рет М.Ӛтелбаев [58, 18] қолданған.

Теорема 3.2.1 Айталық 1p екі рет үзіліссіз дифференциалданатын

функция болып, келесі шарттар орындалсын:

1) 1, ,0,0p

;

2) *

*

1 ( )

( )

p xa

a p

* *( ), ( ) , ,2 2

b bx p x x p x x R

мұндағы 1a , 0b

және 3 1a b ;

3)

*

*

1 2( )

34* 2 * 2

( )

4

( , ) ( ) (p ( )) ;sup

p xx

x R p xx

A p p p t dt x

4) s үзіліссіз дифференциалданатын және үзіліссіз функциялары үшін

0 және 0 сандары табылып, * *2 2

, ,r , , ,rmax ,s s

қатысы

орындалсын.

Сонда 2L R кеңістігенде минималды тұйық тӛртінші ретті L

операторы

үзіліссіз қайтарымды және бӛліктенеді. Және әрбір ( )y D L элементі үшін

келесі теңсіздік орындалады:

(4)

2 2 2 22y py sy y С Ly . (3.2.1)

Дәлелдеу. Алдымен (4) ( )ly y p x y минималды операторын қарастырайық.

Лемма 3.1.2 әдісін қолданып және теореманың 1) шартын ескеріп, әрбір ( )y D l

үшін келесідей теңсіздік аламыз:

2 22py y C ly . (3.2.2)

Егер ,y v Ly Lv v pv деп белгілесек, онда (3.2.2) теңсіздігі бойынша

2( ) ( )D l L R . Теореманың 2), 3) шарттарын және [18, 7 тарау] жұмысының

нәтижелерін ескерсек, онда бір 0С тұрақтысы табылып, әрбір ( )y D l

элементі үшін келесі

(4)

2 22y py C ly (3.2.3)

теңсіздігі орындалатынын кӛреміз. Осы (3.2.3) бағалауын және теореманың 4)

шартын ескере отырып, Теорема 3.1.1 дәлелденген жолмен (3.2.1) теңсіздігі

80

әрбір ( )y D l элементі үшін орындалатынына кӛз жеткіземіз. Теорема

дәлелденді.

3.3. Айырымдық және дифференциалдық операторлардың

максималды регулярлық шарттарын ӛзара салыстыру

Теорема 3.1.2 мен Теорема 1.2.2-де сәйкес екінші ретті комплекс

коэффициентті нұқсанды дифференциалдық оператор мен оның айырымдық

аналогы екінші ретті комплекс коэффициентті айырымдық оператордың

корректілі болуы мен бӛліктену шарттары алынған. Осы шарттарды ӛзара

салыстырайық.

( ) ( ) ( ) ( )ly y r x y s x y q x y p x y

(бұл жерде біз ыңғайлы болуы үшін ( )s x және q( )x коэффициенттерінің

орындарын ӛзара алмастырдық) дифференциалдық операторына қойылған

Теорема 3.1.2 шарттары – келесідей:

Re ( Im ) 1r r s )21( , (3.3.1)

1 , Req p r

, (3.3.2)

|x | 1

Re ( )sup

Re ( )

r x

r

. (3.3.3)

Ал айырымдық

2 (2) 1 1

0 : jh jh jh jh jh jh jh jh jhjhL y h y h r y h s y q y p y

, Zj

операторына қойылған Теорема 1.2.2 шарттары былай жазылады:

jh jhr s ( j Z ), 0 , jh jhr r , )(4)(3 22 hсhс , (3.3.4)

2

1

2

,...2,1

*sup

nj

jhn

h rnF , (3.3.5)

2

1

2

,...2,1

**1sup

k

j

jhk

h rkF , (3.3.6)

rq ,ˆ , (3.3.7)

81

rp ,ˆ . (3.3.8)

Енді осы (3.3.1) - (3.3.3) және (3.3.4) - (3.3.8) регулярлық шарттарын ӛзара

салыстырайық. (3.3.1) шарты (3.3.4)-тің аналогы, (3.3.2) шартына (3.3.5) -

(3.3.7) шарттары сәйкес келеді. Ал тербеліске қойылған (3.3.3) шарты 0 jhL y

айырымдық операторының бӛліктенуі үшін қажет емес. Бірақ (1.2.27)

теңсіздігіндегі 1(h)C шамасы h - тан тәуелді. Демек айырымдық оператордың

бӛліктенуі үшін қойылатын шарттар оның дифференциалдық аналогына

қойылған шарттарға қарағанда айтарлықтай әлсіз. Сол сияқты Теорема 2.3.1

шарттары Теорема 3.2.1 шарттарына қарағанда әлсіз. Оның себептерінің бірі

дифференциалдау амалы айырымды есептеу амалымен салыстырғанда

әлдеқайда аз объектілер үшін орындалатындығында жатыр.

82

ҚОРЫТЫНДЫ

Диссертациялық жұмыс аралық коэффициенттерi бар сингулярлы сызықты

дифференциалдық және айырымдық операторлардың қайтарымды болуы мен

бӛлiктенуi, олардың резольвенталарының компактылығы мәселелерiне

арналған.

Диссертациялық жұмыста гильберт кеңiстiгiнде әсер ететiн, аралық

коэффициенттерi басым ӛсетiн сингулярлы екінші және жоғары жұп ретті

айырымдық және екінші және тӛртінші ретті дифференциалдық операторлар

қарастырылды.

Жұмыстың бірінші бӛлімінде операторлардың бӛліктену теориясы,

айырымдық салмақты кеңістіктердегі енгізу теориясы әдістерін, салмақты

Харди айырымдық теңсіздігін және аз бұлқыну теоремаларының бір нұсқасын

пайдалана отырып, екінші реттi комплекс коэффициенттi айырымдық

оператордың үзiлiссiз қайтарымды болуы мен бӛлiктенуiнiң жеткiлiктi

шарттары кӛрсетілді. Бұл нәтиженің бір ерекшелігі – оның орындалуы

операторлардың бӛліктену теориясындағы коэффициенттің тербелісін

шектейтін дәстүрлі шартқа байланысты емес, есесіне бӛліктену теңсіздігіндегі

негізгі тұрақты айырым қадамының дәрежесіне кері пропорционал болады.

Екінші реттi тербелмелi нақты коэффициенттi бір айырымдық оператор

қарастырылып, оның үзiлiссiз қайтарымдылығы мен бӛлiктенуiнiң жеткiлiктi

шарттары аралық коэффициентті орталандыратын бір тізбектің терминiнде

алынды. Бұл нәтиже оператордың аралық коэффициентін құрайтын тізбектің

жекелеген мүшелері нӛлге тең болғанда да орынды. Аталған оператордың

резольвентасының компактылы болуы үшiн жеткiлiктi шарттар алынды.

Екінші бӛлімде жоғары жұп ретті айырымдық операторлар қарастырылды.

Зерттеу аппаратын жетiлдiру мақсатында финитті тізбектің салмақты pl

нормасының оның жоғары реттi айырымының салмақты pl нормасы арқылы

бағалануын кӛрсететін Харди типтi жаңа айырымдық теңсiздiк дәлелдендi. Оны

пайдалана отырып, жоғары жұп реттi нақты коэффициенттi айырымдық

оператордың үзiлiссiз қайтарымды болуы мен бӛлiктенуiнiң жеткiлiктi

шарттары алынды. Бұл нәтиже де аралық коэффициенттің тербелісіне тәуелсіз

екені кӛрсетілді.

Диссертациялық жұмыстың үшінші бӛлімінде аралық коэффициенті

тәуелсіз ӛсе алатын екінші реттi дифференциалдық оператор қарастырылып,

оның үзiлiссiз қайтарымды және бӛлiктенетін оператор болуының жеткiлiктi

шарттары алынды. Бұл оператордың ерекшелігі – оның коэффициенттері

комплексмәнді, ал олардың нақты және жорамал бӛліктерінің әрқайсысы -

шенелмеген функциялар. Жоғары жұп ретті операторлардың маңызды ӛкілі

болып табылатын тӛртінші реттi дифференциалдық оператор қарастырылып,

коэффициенттердің кең класы үшін ол үзiлiссiз қайтарымды екені және

бӛлiктенетіні дәлелденді. Бұл нәтижелер екінші ретті туынды алдындағы

аралық коэффициент тербелмелi және теріс емес болғанда да дұрыс. Әрине бұл

бӛлімде алынған нәтижелерде басым ӛсетін аралық коэффициенттің тербелісіне

83

шектеу қойылды (оның қажет екені Эверитт, Гирц және Вайдман мысалынан

шығады).

Сәйкес екінші және үшінші бӛлімдерде алынған айырымдық және

дифференциалдық операторлардың қайтарымдылық және бӛлiктену шарттары

ӛзара салыстырылып, ұқсастықтары мен айырмашылықтары кӛрсетілді.

Жұмыста алынған нәтижелер жаңа. Мысалы, екінші және жоғары жұп ретті

айырымдық және дифференциалдық операторлар үшін бӛліктену шарттары

аралық коэффициентті орталандыратын аппарат терминінде алғаш рет алынып

отыр. Оның салдары ретінде аралық коэффициенттері теріс емес кейбір

айырымдық және дифференциалдық операторлардың үзіліссіз қайтарымды

және бӛлiктене алатыны кӛрсетілгенін атап ӛтуге болады. Сонымен бірге,

айырымдық операторлар үшін алынған бӛліктену теңсіздіктеріндегі

тұрақтылардың айырым қадамынан тәуелді екені кӛрсетілді, ол айырым

қадамының белгілі бір дәрежесіне (ол айқын ӛрнектеледі) кері пропорционал

екен.

Жұмыстың негізгі нәтижелері теориялық сипатта. Олар дифференциалдық

операторлардың спектрлік теориясында, сингулярлы операторлардың сапалық

қасиеттерін зерттеуде қолданылуы мүмкін. Сол сияқты, олар жоғарыда

қарастырылған операторларды зерттеуге алып келетін стохастикалық

процестерді, қаржы математикасы есептерін, кедергілі және сығылатын

ортадағы тербелістер мен басқадай қозғалыстар түрлерін моделдеу кезінде

қолданылуы мүмкін. Алынған нәтижелерді жоғарғы оқу орындарында

дифференциалдық операторлар мәселелеріне арналған арнайы курстарды оқыту

кезінде пайдалануға болады.

Диссертациялық жұмыс бойынша қойған ӛзекті есептері мен жұмысты

орындаудағы құнды кеңестері үшін ғылыми жетекшім профессор

Қ.Н. Оспановқа және шет елдік ғылыми кеңісшім профессор Т.Н. Бекжанға

шын жүректен алғысымды білдіремін.

84

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. –М.:Наукa,

1969.

2. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию:

Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы. –М.:Наука,

1970.

3. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных

дифференциальных уравнений. – М.:Наукa, 1983.

4. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии. –М.:

Иж. ИКИ, 2003.

5. Мoрри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. –М.:

Мир, 1983.

6. http://advancesindifferenceequations.springeropen.com/

7. Everitt, W. N. , Giertz, M., Weidmann J. Some Remarks on a Separation and

Limit-point Criterion of Second–order Ordinary Differential Expressions// Math.

Ann. -1973. -Vol.200. –P.335-346.

8. Зұлхажав А. Екінші ретті айырымдық теңдеулер үшін коэрцитивті

бағалаулар және олардың қолданылулары. PhD … дисс. . -Астана, 2016.

9. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. –М.: Наука, 1971.

10. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. –М.: Наука, 1980.

11. Отелбаев М. О коэрцитивных оценках решения разностных уравнений //

Труды МИ АН СССР. -1988. -Т.181. -С.241-249.

12. Отелбаев М., Муслимов Б. Оценка наименьшего собственного значения

одного класса матриц, соответствующих разностному уравнению Штурма –

Лиувилля // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. -1981. -Т.21, № 6. -С.1430-1434.

13. Отелбаев М. Оценки спектра оператора Штурма – Лиувилля. - Алма-

Ата.: Гылым, 1990. – 191 с.

14. Смаилов Е. С. Разностные теоремы вложения для пространства

Соболева с весом и их приложения // ДАН СССР. -1983. -Т. 270, № 1. -С.52—

55.

15. Булабаев А.Т. Разностные теоремы вложения и их приложения // Изв.

АН КазССР, сер. физ.мат. -1987. -№ 1. -С.9-12.

16 Булабаев А.Т., Мустафина Л.М. Некоторые разностные теоремы

вложения // Изв. АН КазССР, сер. физ.мат. -1989. -№ 1. -С. 16-17.

17 Мустафина Л.М. О некоторых разностных весовых теоремах вложения:

авторефер. … канд. физ.-мат. наук. -Алма-Ата, 1989. -16 с.

18 Мынбаев К.Т., Отелбаев М. Весовые функциональные пространства и

спектр дифференциальных операторов. –M.: Наука, 1988. -288 c.

19 Avila A., Jitomirskaya S. Solving the ten martini problem// Lecture Notes in

Physics. -2006. –Vol. 690. –P. 5-16.

20 Avila A., Jitomirskaya S. Holder continuity of absolutely ontinuous spectral

measures for one-frequency Schrodinger operators// Comm. Math. Phys. -2011. –

Vol. 301. –P.563-581.

85

21 Оспанов Қ.Н. Discreteness and estimates of spectrum of a first order

difference operator // Eurasian Math. J. -2018. -Vol. 9, No.2. –P. 89-94.

22 Agarval R.P., Chevas C., Lisama C. Regularity of difference equations on

banach spaces. –Springer, 2014.

23 Lian H., Li J., Agarval R.P. Unbounded solutions of second order discrete

BVPs on infinite intervals // J. Nonl. Sci. Appl. -2016. –Vol. 9. –P. 357-369.

24 Cuevas C., Lizama C. Maximal regularity of discrete second order Cauchy

problems in Banach spaces// J. Difference Equ. Appl. -2007. –Vol. 13, No. 12. –

P.1129–1138.

25 Chernyavskaya N.A., Schiff J., Shuster L.A. Regularity of the inversion

problem for the Sturm-Liouville difference equation III. A criterion for regularity of

the inversion problem// J. Difference Equ. Appl. -2007. –Vol. 11, no. 3. –P.245-260.

26 Ornstein S., Uhlenbeck G.E. On the theory of Brownian motion // Physical

Review. -1930. –Vol. 36. –P.823-841.

27 Wang M. Ch., Uhlenbek G.E. On the theory of the Brownian motion // Rev. of

Modern Phys. -1945. -Vol. 17, no. 2-3, -P. 323-342.

28 Voit S.S. The propagation of the initial condensation in a viscous gas // Уч.

зап. МГУ. Meханика. -1954. -Т. 5. -C.125-142.

29 Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. –М.:

Наука, 1973.

30 Donninger R., Schorkhuber B. A spectral mapping theorem for perturbed

Ornstein-Uhlenbek operators on dRL2 // J. Func. Anal. -2015. –Vol. 268, no. 9. -P.

2479-2524.

31 Gozzi F., Monte R., Vespri V. Generation of analytic semigroups and domain

characterization for degenerate elliptic operators with unbounded coefficients arising

in financial mathematics. P.I // Dif. Int. Equ. -2002. –Vol. 15. –P.1085–1128.

32 Jhwueng D.-C., Maroulas V. Phylogenetic Ornstein-Uhlenbeck regression

curves // Stat. & Prob. Lett. -2014. –Vol. 89. –P.110-117.

33 Ospanov K.N., Akhmetkaliyeva R.D. Separation and the existence theorem

for second order nonlinear differential equation// Elect. J. Qual. Th. Diff. Equ. -

2012. –Vol.66. –P.1–12.

34 Ospanov K.N., Zulkhazhav А. Coercive solvability of degenerate system of

second order difference equations. AIP Conf. Proc. -2016. –Vol. 1759. -P.1-5; doi:

10.1063/1.4959696.

35 Оспанов К.Н., Бейсенова Д.Р. Условия разрешимости

дифференциального уравнения со смещением // Тезисы докл. науч. сем.

"Дифференциальные операторы и моделирование сложных систем" (DOMCS-

2017), посв. 70-л. юб. проф. М.Т.Дженалиева. -Алматы, 2017. - С. 165-166.

36 Бейсенова Д.Р. О разрешимости дифференциального уравнения с

неограниченным коэффициентом сноса// "Дифференциалдық және интегралдық

операторлардың салмақты бағалаулары және олардың қолданыстары". ҚР ҰҒА

корр. мүшесi Р. Ойнаровтың 70-ж. арн. хал. ғ. конф. Тезистер жинағы. -Астана:

Л.Н. Гумилев ат. ЕҰУ. -2017. 124-126 б.

86

37 Оспанов Қ.Н., Бекжан Т.Н., Бейсенова Д.Р. Комплекс коэффициенттi

шексiз айырымдық теңдеулер жүйесiнiң коэрцитивтi шешiлу шарттары//

Қарағанды ун-нiң хабаршысы. Математика сер. - 2017. -Т.87, № 3. 59-70 б.

38 Ospanov K.N., Beisenova D.R. Solvability conditions of the second order

differential equation with drift// Int. J. Pure and Appl. Math. -2017, -Vol. 113, no. 4.

–P. 639-645.

39 Бейсенова Д.Р. О разделимости разностного оператора высокого

порядка// Межд. науч. конф. "Спектральная теория и смежные вопросы".

Cборник тезисов. -Уфа: БГПУ, 2018. -С. 61-62.

40 Beisenova D.R., Ospanov K.N. Maximal regularity and compactness

conditions for a high order system of difference equations// Қарағанды ун-нiң

хабаршысы. Математика сер. -2018. –Т.92, № 4. 15-28 б.

41 Бейсенова Д.Р. Жоғары жұп ретті екімүшелі айырымдық оператордың

бӛліктену шарттары// Проф. М.Ы. Рамазановтың 70-ж. мер. орайл.

«Математика, механика және информатиканың теориялық қолданбалы

мәселелері» хал. ғ. конф. материалдары. –Қарағанды: ҚарМУ, 2019. 69-70 б.

42 Бейсенова Д.Р., Оспанов Қ.Н., Бекжан Т.Н. Тербелмелi аралық

коэффициенттi екiншi реттi шексiз айырымдық жүйенiң коэрцитивтi шешiлу

шарттары // ҚР Ұлт. инж. акад. хабаршысы. – 2019. –Т.72, №2. 12-19 б.

43 Ospanov K.N., Yeskabylova Zh.B., Beisenova D.R. Maximal regularity

estimates for higher order differential equations with fluctuating coefficients//

Eurasian Math. J. -2019. -Vol. 10, no. 2. –P. 65–74.

44 Muckenhoupt B. Hardy's inequality with weights// Stud. Math. -1972. -Vol.

24, no. 1. –P.31-38.

45 Зұлхажав А. Екінші ретті айырымдық теңдеулер жүйесінің коэрцитивті

шешілу шарттары // Л.Н. Гумилев ат. ЕҰУ хабаршысы. – 2015. –Т.109, №6. –

334-337 б.

46 Каtо Т. Perturbation theory for linear operators. – Springer-Verlag, 1966. –

740 p.

47 Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для

эллиптических уравнений в Rn // Труды МИ АН СССР. – 1983. – Т.161. – С.195-

217.

48 Костюченко А.Г. О некоторых спектральных свойствах

дифференциальных операторов: дисс. ... д-ра физ.-мат. наук. – М.: МГУ, 1966.

49 Оспанов Қ.Н., Зұлхажав А. Екінші ретті айырымдық бір теңдеулер

жүйесі шешімдерінің қасиеттері жайлы// Қарағанды ун-тің хабаршысы.

Математика сериясы. – 2015. –Т.78, №2. – 124-136 б.

50 Prüss J., Rhandi A., Schnaubelt R. The domain of elliptic operators on Lp(Rd)

with unbounded drift coefficients // Houston J. Math. –2006. – Vol.32, no.2. –P. 563–

576.

51 Kolmogoroff A.N. Uber die analytischen Methoden in der

Wahrscheinlichkeitsrechnung// Math. Ann. –1931. – Vol. 104.

52 Bogachev V.I., Krylov N.V., Röckner M., Shaposhnikov S.V. Fokker–

Planck–Kolmogorov Equations. -AMS. -2015. –Vol. 207.

87

53 Metafune G., Prüss J., Schnaubelt R., Rhandi A. pL -regularity for elliptic

operators with unbounded coefficients// Adv. Differ. Equ. -2005. -Vol.10, no.10. -P.

1131–1164.

54 Da Prato G., Vespri V. Maximal pL regularity for elliptic equations with

unbounded coefficients// Nonlinear Anal. Ser. A. -2002. -Vol. 49, no.6. -P.747–755.

55 Lunardi A. On the Ornstein–Uhlenbeck operator in 2L spaces with respect to

invariant measures// Trans. Amer. Math. Soc. -1997. -Vol. 349, no.1. -P.155–169.

56 Arendt W., Metafune G., Pallara D., Gaussian estimates for elliptic operators

with unbounded drift// J. Math. Anal. Appl. -2008. -Vol. 338, no.1. -P.505–517.

57 Da Prato G., Goldys B. Elliptic operators on with unbounded

coefficients// J. Differ. Equ. -2001. -Vol.172, no.2. -P.333–358.

58 Metafune G., Pallara D., Pr¨uss J., Schnaubelt R. Lp-theory for elliptic

operators on dR with singular coefficients// Z. Anal. Anw. -2005. -Vol. 24, no.3. -

P.497–521.

59 Lorenzi L., Lunardi A. Elliptic operators with unbounded diffusion

coefficients in 2L spaces with respect to invariant measures// J. Evol. Equ. -2006.

Vol. 6, no.4. -P.691–709.

60 Отелбаев М. О разделимости эллиптических операторов// Докл. АН

СССР. -1977. –Vol. 234, no. 3. –P.540-543.

61 Бойматов К.Х. Теоремы разделимости для оператора Штурма-Лиувилля//

Мат. заметки. -1973. Т.14, №3. –Р.349-359.

62 Agarwal R.P. Difference equations and inequalities: theory, methods and

applications. New York: Madison Avenue, 2000.

63 Мухамедиев Г.Х. Плотность финитных функций и нормы вложения для

одного класса весовых пространств. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. –Баку, 1986.

64 Shemyakin E.I. The propagation of the time-dependent perturbation in the

visco-elastic medium// USSR dokl. -195. –Vol. 104, no.1. –P.34–37.

65 C.A. Габов, A.Г. Свешников, Задачи динамики стратифицированной

жидкости. -М: Наука, 1986.

66 K. Ospanov, 1L -maximal regularity for quasilinear second order

differential equation with damped term // Elec. J. Qual. Th. Diff. Equ. -2015, -

Vol.39. –P.1–9.

67 Muratbekov M.B. , Muratbekov M.M. Estimates of the spectrum for a

class of mixed type operators// Differential Equations. -2007. –Vol.43, no.1. –

P.143–146.

68 Muratbekov M.B., Muratbekov M.M., Ospanov K.N. On approximate properties

of solutions of a nonlinear mixed-type equation// J. Math. Sci. -2007. -Vol.150, no.

6. –P.2521–2530.

69 Muratbekov M.B., Muratbekov M.M., Ospanov K.N. Coercive solvability of

odd-order differential equations and its applications// Dokl. Math. -2010. –Vol. 82,

no.3. –P. 909–911.

70 Ospanov K.N., Qualitative and approximate characteristics of solutions of

Beltrami type systems// Comp. Var. Ell. Equ. -2015. –Vol.60, no.7. –P.1005–1014.

dR

88

71 Ospanov K.N., Akhmetkaliyeva R.D. Some inequalities for second order

differential operators with unbounded drift// Eurasian Math. J. -2015, no. 2. -P.63–

74.

72 Muratbekov M.B., Igisinov S. Estimates of the approximation numbers (s-

numbers) for a class of dfferential operators of mixed type// AIP Conf. Proc. -2015. -

Vol. 167. 020068.

73 Ахметқалиева Р.Д. Сингулярлы дифференциалдық теңдеулер

шешімдерінің коэрцитивті бағалаулары мен олардың қолданылулары. PhD …

дисс. - Астана, 2013.

74 Гасымов М.Г. О распределении собственных значений

самосапряженных дифференциальных операторов// Докл. АН СССР. -1969. -

Т.186, №4. –P.753-756.

75 Апышев О.Д., Отелбаев М. О спектре одного класса вырожденных

дифференциального операторов и некоторые теоремы вложения // Изв. АН

СССР, серия мат. -1979. -Т.43, №4. -739-764.