ВСЕ НАВКОЛО НАС – ГЕОМЕТРІЯ

9-Б класЛевченко Дар’я та Гаван Вікторія

ВСІ ПРЕДМЕТИ, КОТРІ НАС ОТОЧУЮТЬ – ЦЕ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ.

ІСТОРІЯ ГЕОМЕТРІЇГеометрія — слово грецького походження. Воно означає землемірство. Однак першими «землемірами» були стародавні єгиптяни. Сільське господарство могло розвиватись лише біля річки Ніл. Щороку Ніл розливався, приносячи на землі які були залиті водою, плодючий мул. Кожен селянин мав наділ землі певної площі, однак розливи ріки не дозволяли раз і назавжди визначити межі кожного наділу, тому після чергового розливу доводилось визначати земельну ділянку заново. Це виконували землеміри — люди, що за допомогою шнура відміряли кожному селянину ділянку з площею, яка була йому приписана. Стародавні єгиптяни не знали циркуля, його винайшли греки. Однак це їм особливо не перешкоджало. Так, прямий кут вони будували мотузкою, що має довжину 12 мір. За допомогою цієї мотузки можна побудувати трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 мір. Такий трикутник за теоремою Піфагора є прямокутним. Тому прямокутний трикутник також називають єгипетським.

РОЗВИТОК ГЕОМЕТРІЇУ Стародавній Греції, починаючи з 7 століття до н. е., з часів Фалеса Мілетського, починається новий етап розвитку геометрії. Вона набуває характерного для неї абстрактного напряму, у ній виникає доведення. Грецький мислитель мілетської школи Анаксимандр здійснив першу спробу створення систематичного курсу для викладання геометрії. Перетворення це відбулося шляхом абстрагування від будь-яких властивостей тіл, крім взаємного положення і величини. Наукою геометрія стала, коли від набору рецептів перейшли до встановлення загальних закономірностей. Подальші спроби побудови систематичних курсів математики належать Гіппократу Хіоському, Феодору Кіренському, Архіту Тарентському, Евдоксу Кнідському та багатьом іншим вченим. Вони створили математичну основу для подальшого розвитку науки, теоретичного природознавства і філософії Давньої Греції. Греки склали перші систематичні і доказові праці з геометрії, великий внесок зробили Евклід, Архімед, Аполлоній Перзький.

ГЕОМЕТРІЯ ПОДІЛЯЄТЬСЯ НА ТАКІ ВИДИ: Евклідова геометрія Неевклідова геометрія Аналітична геометрія Диференціальна геометрія Афінна геометрія Сферична геометрія Проективна геометрія Конформна геометрія Геометрія Лобачевського Нарисна геометрія Лінійна алгебра Ріманова геометрія Лоренцева геометрія Симплектична геометрія Топологія Дискретна геометрія Скінченна геометрія

ОСЬ ДЕТАЛЬНІШЕ ПРО ДЕКІЛЬКА З НИХ. НАПРИКЛАД, ЕВКЛІДОВА ГЕОМЕТРІЯЕвклід́ова геоме́трія — геометрична теорія, основана на системі аксіом,

вперше викладеній у «Началах» Евкліда (III століття до н. е.).Евклідова геометрія поділяється на: Планіметрія Стереометрія Тригонометрія Проблема повної аксіоматизації елементарної геометрії — одна з проблем

геометрії, що виникла у Стародавній Греції у зв'язку з критикою цієї першої спроби побудувати повну систему аксіом так, щоб всі твердження евклідової геометрії з цих аксіом були чисто логічним висновком без унаочнювальних креслень.

У «Началах» Евкліда, була дана наступна аксіоматика: Від усякої точки до всякої точки можна провести пряму лінію. Обмежену лінію можна безперервно продовжувати до прямої. З усякого центра довільним розхилом циркуля може бути описане коло. Усі прямі кути рівні між собою. Якщо пряма, що перетинає дві прямі, утворює внутрішні односторонні

кути, які менші ніж два прямі кути, то ці дві прямі, продовжені необмежено, зустрінуться з тієї сторони, де кути менші за два прямі. Аксіома паралельності Евкліда

НЕЕВКЛІДОВА ГЕОМЕТРІЯ Неевклідова геометрія — в буквальному розумінні — будь-яка

геометрична система, відмінна від геометрії Евкліда; проте традиційно термін «Неевклідова геометрія» застосовується в більш вузькому сенсі і відноситься тільки до двох геометричним систем: геометрії Лобачевського і сферичної геометрії.

Як і евклідова, ці геометрії відносяться до метричних геометрій тривимірного простору постійної кривини. Нульова кривина відповідає евклідовій геометрії, додатня — сферичній, від'ємна — геометрії Лобачевського.

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ Аналіти́чна геоме́трія, розділ геометрії, у якому властивості геометричних

образів (точок, ліній, поверхонь) установлюються засобами алгебри за допомогою методу координат, тобто шляхом вивчення властивостей рівнянь, графіками яких є ці образи. Основні положення аналітичної геометрії вперше сформулював філософ і математик Рене Декарт. Лейбніц, Ісаак Ньютон і Леонард Ейлер надали аналітичній геометрії сучасної структури.

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНА ГЕОМЕТРІЯ Диференціа́льна геоме́трія — це математична дисципліна яка застосовує

методи математичного аналізу для вивчення гладких кривих, поверхонь і, в найзагальнішому вигляді, їхніх n-вимірних аналогів, які називаються многовидами. До ґрунтових понятть диференціальної геометрії належать дотична пряма й площина, довжина, площа, а також кривина ліній і поверхонь.

АФІННА ГЕОМЕТРІЯ Афі́нна геоме́трія (лат. affinis — споріднений) — розділ геометрії, що вивчає властивості

геометричних фігур, інваріантні (незмінні) відносно афінних перетворень, тобто таких взаємно однозначних точкових відображень евклідової площини на евклідову площину або евклідового простору на самого себе, при яких прямі переходять у прямі. Афінне перетворення зберігає величину відношення двох відрізків прямої, паралельність прямих і площин.

В декартових координатах афінне перетворення площини в себе виражається формулами:

х' = а1х + b1y + с1

у' = а2х + b2у + с2

причому a1b2 — a2b1 ≠ 0. Тут х, у — координати довільної точки М; х', у' — координати її образу.

Афінні перетворення, а значить і афінна геометрія, широко застосовуються в геометрії і прикладних науках (теорія пружності та ін.).

СФЕРИЧНА ГЕОМЕТРІЯ Сферична геометрія — розділ геометрії, який вивчає

геометричні фігури на поверхні сфери. Це приклад неевклідової геометрії. Сферична геометрія виникла в давнину в зв'язку з потребами географії та астрономії.

ПРОЕКТИВНА ГЕОМЕТРІЯ Проективна геометрія — розділ геометрії, який вивчає

проективні площини та проективний простір. Головна особливість проективної геометрії полягає в принципі

дуальності, який додає витончену симетрію для багатьох конструкцій. Проективна геометрія може вивчатися як з чисто геометричної точки зору, так з аналітичної (за допомогою однорідних координат) і з алгебраїчної, розглядаючи проективну площину як структуру над полем. Часто, і історично, дійсна проективна площина розглядається як Евклідова площина з додаванням «прямої у нескінченності».

Проективна геометрія доповнює Евклідову, надаючи красиві і прості рішення для багатьох завдань, ускладнених присутністю паралельних прямих. Особливо проста й витончена проективна теорія конічних перетинів.

ГЕОМЕТРІЯ ЛОБАЧЕВСЬКОГО Геометрія Лобачевського (гіперболічна геометрія) — одна з

неевклідових геометрій, геометрична теорія, що базується на тих же основних міркуваннях, що і звичайна евклідова геометрія, за виключенням аксіоми про паралельність, що замінюється на аксіому про паралельні Лобачевського.

НАРИСНА ГЕОМЕТРІЯ Нарисна геометрія — розділ геометрії, що вивчає методи

зображення тривимірних об'єктів, використовуючи двовимірні проекції. Батьком нарисної геометрії вважається французький інженер Гаспар Монж. Монж побудував свою методику в 1765, працюючи креслярем при спорудженні фортифікацій.

Нарисна геометрія використовує ортогональні та аксонометричні проекції.

Зазвичай використовуються: Фронтальна проекція або вид спереду Горизонтальна проекція або вид зверху Бічна проекція, або вид зліва. Видимі контури предметів зображаються суцільними лініями,

невидимі - штриховими.

СИМПЛЕКТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ Симплектична геометрія — розділ диференціальної геометрії і

диференціальної топології, що вивчає симплектичні многовиди: гладкі многовиди з обраною замкнутою невиродженою 2-формою. Початково симплектична геометрія виникла з гамільтонова формалізму в класичній механіці, де фазовий простір для класичної системи виявився симплектичним многовидом.

СКІНЧЕННА ГЕОМЕТРІЯ Скінченна геометрія — будь-яка геометрична система, що має

скінченну кількість точок. Евклідова геометрія не є скінченною, оскільки Евклідова пряма містить нескінченну кількість точок, а якщо точно, то рівно стільки, скільки є дійсних чисел. Скінченна геометрія може мати будь-яке скінченне число вимірів.

Скінченні геометрії можуть описуватись за допомогою лінійної алгебри, як векторні простори та подібні структури над скінченним полем, які називаються геометріями Галуа, чи можуть описуватись цілком комбінаторно. Багато, але не всі скінченні геометрії є геометріями Галуа, наприклад будь-який скінченний проективний простір розмірності три чи більше є ізоморфним проективному простору над скінченним полем (проективізація векторного поля над скінченним полем). У випадку розмірності два, існують комбінаторно визначені проективні площини, які не є ізоморфними до проективних просторів над скінченними полями. Такі простори називаються недезарговими площинами.

ВИСНОВОК: Отже, ми можемо сказати, що усі предмети

навколо нас пов’язані з геометрією.