аутори

илустровао

рецензенти

уредник

лектор

графичко обликовање

припрема за штампу

издавач

за издавача

штампа

тираж

copyright

Наталија Јекић, Душанка Ковачевић

Драган Максимовић

др Зорана Лужанин, ванредни профес ор, Природно-математички факултет у Новом СадуМирјана Стојсављевић-Радовановић, ОШ „Борислав Пекић“ у БеоградуЈагода Ранчић, ОШ „Коста Абрашевић“ у Београду

Свјетлана Петровић

Ивана Игњатовић

Душан Павлић

Љиљана Павков

Креативни центарГрадиштанска 8Београдтел./факс: 011/ 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659www.kreativnicentar.rs

мр Љиљана Маринковић

Графипроф

2.000

© Креативни центар 2010

ДОДАТНА НАСТАВАМАТЕМАТИКА 5збирка задатакапрво издање

CIP – Каталогизација у публикацијиНародна библиотека Србије, Београд

37.016:51(075.2)(076.1)

ЈЕКИЋ, Наталија, 1950–Математика 5 : збирка задатака : додатна

настава / Наталија Јекић, Душанка Ковачевић ;[илустровао Драган Максимовић]. – 1. изд. –Београд : Креативни центар, 2010 (Београд :Графипроф). – 80 стр. : илустр. ; 26 cm. –(Креативна школа)

Тираж 2.000.

ISBN 978-86-7781-745-91. Ковачевић, Душанка, 1958– [аутор]

COBISS.SR-ID 172390924

zbirka zadatakaMATEMATIKAAMATEMATIKAMATEMATIKA5DODATNA NASTAVA

Natalija Jeki} i Du{anka Kova~evi}

M

O1 AO

s

A

B

C

8

Одреди:a) највећи десетоцифрени број чији је збир цифара 20б) најмањи десетоцифрени број чији је производ цифара 20.

Уочи правило и допуни низ природних бројева:

а) 1, 2, 4, 8, 16, ........, ........, ........б) 1, 8, 15, 22, 29, ........, ........, ........в) 2, 5, 11, 23, 47, ........, ........, ........г) 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ........, ........, ........

Бројеви су на цртежима распоређени по неком правилу.Откриј правило и упиши број који недостаје.

а)

б)

Откриј правило и упиши број који недостаје.

7

2 3

13

3 4

21

4 5

........

5 6

24

41 10

22?

94

331 55

9967

?

6 4

2

185 3

1

4810 8

6

........7 5

3

б) 53 8

?17

2

в)а)

Одреди најмањи десетоцифрени број код којег је збир цифара 50.

Напиши седмоцифрени број чије су све цифре различите,чија је цифра стотина 8 и који је:а) највећи паран број б) најмањи непаран број.

7

8

9

10

11

12

9

Израчунај збир првих 200 природних бројева.

Израчунај збир.а) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + 154 + 155 б) 2 + 4 + 6 + . . . + 34 + 36 в) 5 + 7 + . . . + 27 + 29г) 10 + 15 + 20 + . . . + 105

У сваку фигуру упиши цифру (иста фигура – иста цифра)тако да важе једнакости:

ZBIR CIFARA UPISANIH U I

MO@E DA BUDE 1, 2 ILI 3,

PA SE U MO@E

UPISATI CIFRA 3, 6 ILI 9.

ISPROBAJ SVE MOGU]NOSTI.

+ ++ + + =

+ +=

+ = – = 1

=

KARL FRIDRIH GAUS VELIKI JE NEMA^KI MATEMATI^AR I NAU^NIK.

DAO JE ZNA^AJAN DOPRINOS U MNOGIM OBLASTIMA MATEMATIKE

I NAUKE.

GAUS JE RANO POKAZAO MATEMATI^KU DAROVITOST. POZNATA JE

ANEGDOTA KOJA KA@E DA JE JEDNOM PRILIKOM U^ITEQ ZADAO

U^ENICIMA DA SABERU SVE BROJEVE OD 1 DO 100. NA WEGOVO

VELIKO IZNENA\EWE, GAUS, KOJI JE TADA IMAO SEDAM GODINA,

ODMAH JE DONEO SVOJ REZULTAT, A TO JE BIO BROJ 5 050. GAUS JE

RE[IO ZADATAK NA NA^IN KOJI SMO POKAZALI U PRETHODNOM

RE[ENOM PRIMERU.

KARL FRIDRIH

GAUS

(1777–1855)

13

14

15

Примера) Израчунај збир првих 100 природних бројева.б) Израчунај збир првих n природних бројева.

Решењеа)

Када се саберу 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98 и т ако даље, увек се добија збир 101. Постоји 50 таквих парова и тражени збир је 101 ⋅ 50.

б) Збир првих n бројева добија се тако што се саберу први и последњи сабирак,збир се помножи укупним бројем сабирака, а затим се, због парова које смонаправили, тај производ подели бројем 2.

1 + 2 + … + n = (1 + n) ⋅ n : 2

1 + 2 + 3 + … + 50 + 51 + … + 98 + 99 + 100 = 101 ⋅ 50 = 5 050

101

101101

+ +

16

Одреди просте бројеве p и q тако да је 3 ⋅ р + 4 ⋅ q = 50.

У новинама је објављена следећа вест:Археолози су пронашли камену плочу са уклесаним четвороцифреним бројемчија је посебност у томе што је дељив сваким бројем прве десетице. Реч је о броју 25 120.У овом тексту очигледно постоји грешка. У броју је написана једна цифравише. Која је то цифра?

ПримерОдреди непознату цифру a тако да:

РешењеКако 3 дели први сабирак, број 69, и збир , онда 3 мора да дели и други сабирак, .

3 |3 | (1 + а + 7)3 | (8 + а)а ∈{1, 4, 7}

1a7

1a769 + 1a7

3 | (69 + 1a7)

12

13

14

ПримерОдреди све просте бројеве p тако да је р + 11 прост број.

РешењеKод решавања задатака с простим бројевима најчешће посматрамо два случаја: 1. случај р = 2 (једини паран прост број)2. случај р ≥ 3 и р је непаран број

1. За р = 2, 2 + 11 = 13 је пр ост број. Збир р + 11 je прост број.

2. За р ≥ 3, збир р + 11 је паран број већи од 2 јер је збир два непарна броја паран број. Закључујемо да је збир р + 11 сложен број.

Једино решење задатка је за р = 2.

ZBIR DVA PARNA

BROJA JE PARAN

BROJ.

ZBIR DVA NEPARNA

BROJA JE PARAN

BROJ.

ZBIR NEPARNOG

I PARNOG BROJA

JESTE NEPARAN BROJ.

Сретну се два математичара.„Чујем да имаш две ћерке. Колико имају година?“„Имам близнакиње и број њихових година јесте прост број.“„То ми ништа не значи!“„Али кад производ њихових година увећаш за 3, добићеш опет прост број“.

„А, да! Сад знам колико имају година!“Израчунај и ти колико година имају близнакиње.

17

Одреди непознату цифру a тако да:а) 4 | 675 ⋅

б) 9 | (225 ⋅ + ⋅ 13).7a7 98a5a2

Броj n при дељењу бројем 35 даjе остатак 14.Покажи да jе n сложен броj.

AKO JE SVAKI SABIRAK DEQIV NEKIM BROJEM,

ONDA JE I ZBIR DEQIV TIM BROJEM.

а | n I a | m, ONDA a | (n + m)

AKO JE BAR JEDAN ^INILAC DEQIV NEKIM BROJEM,

ONDA JE I PROIZVOD DEQIV TIM BROJEM.

a | n ILI a | m, ONDA a | n ⋅ m

Архитекта је предао мајсторима скицуза изградњу степеница у једном парку.Предложио је да висина степеница у обадела приказана на слици буде једнака.Међутим, заборавио је да запишеколико износи та висина. Колика је највећа могућа висина степеника?

17

Са београдске железничке станице сваког дана крећепутнички воз за Нови Сад. Првог марта из Београда заједно су кренули архитекта Милић, новинар Лазић и адвокат Јовић. Милић путује за Нови Сад свакогдванаестог дана, Лазић сваког осмог, а Јовић сваког десетогдана. Ког ће се датума први пут опет наћи заједно у истомвозу? Заокружи слово испред тачног одговора.а) 1. јулаб) 28. јунав) 30. јуна

18

При дељењу неког броја са 9, 10 или 12 увек се добија остатак 4. Одреди: а) најмањи такав бројб) број шесте стотине који има то својство.

19

После Нове године Ања је скидала украсне кугле с јелке и паковала их. Другарица ју је питала: ,,Колико имаш украса?“,,Могу ти рећи само да их имам мање од 100 и, ако бих их паковала по 8 или по 6 у једну кутију, у оба случаја остале би ми 2 кугле. Ако их пакујем по 5 у кутије, не би ми осталаниједна. Израчунај сама колико их имам.“ Колико Ања има кугли?

20

15

16

AKO JE q KOLI^NIK BROJEVA a I bI OSTATAK JE r, ONDA JE:

a = b ⋅ q + r

6 dm

105 cm

28

Напиши на линији одговарајући број тако да тврђење буде тачно.а) Ако је a једна петина од b, онда је b ............. пута веће од a.

б) Ако c износи од d, онда је d ............. од c.

в) Ако m износи од n, а n износи од p, онда је m ............. пута мање од p.

г) Ако је k два пута мање од f, а f је од e, онда је e ............. од k.67

35

13

25

30

На jедном атлетском такмичењу учествовао jе известан броjтакмичара. После првог дана због повреде jе одустала

такмичара. Наредног дана вратио се један учесник и тако 112jе броj одсутних износио укупног броjа такмичара.

Колико jе такмичара било на почетку такмичења?

118

31

Нађа је на сајму књига купила 11 књига и тако је своју библиотеку увећала за .

За рођендан је од другарица добила још неколико књига и на крају их је имала 140.Колико је књига добила од другарица?

11132

Попуни магични квадрат.33

Дат је магични квадрат у који су уписани неки бројеви. Одреди број а. 34

RAZLIKA U BROJU ODSUTNIH

TAKMI^ARA PRVOG I DRUGOG

DANA JESTE JEDAN

TAKMI^AR.

KOD MAGI^NOG KVADRATA ZBIR BROJEVA

PO HORIZONTALI, VERTIKALI

I DIJAGONALAMA MORA BITI ISTI

I TO JE KARAKTERISTI^NI ZBIR.

KARAKTERISTI^NI BROJ (CENTRALNI ^LAN) TRI

PUTA JE MAWI OD KARAKTERISTI^NOG ZBIRA.

1,4

1 1,8

1

23

12

34 a

2 12 2 4 1

2

PREMA LEGENDI, MAGI^NI KVADRAT LO [U PRIKAZAO SE NA OKLOPU

PLEMENITE KORWA^E KOJA JE 2205. GODINE P. N. E. IZA[LA

IZ REKE LO (@UTE REKE). BROJEVI SU SE, U VIDU TA^AKA, NALAZILI

UNUTAR DEVET ODEQAKA KORWA^INOG OKLOPA. U TABLICU IH

JE PRENEO KINESKI CAR FU [I. U TOJ TABLICI BROJEVI

SU RASPORE\ENI TAKO DA ZBIR PO SVIM PRAVCIMA

(HORIZONTALNO, VERTIKALNO I DIJAGONALNO) IZNOSI 15.

BROJ 15 UJEDNO JE I BROJ DANA TOKOM KOJIH MESEC IZRASTE

OD MLADOG U PUN I OBRNUTO.

а) б)

Нека је:

Сваком слову придружи тачну вредност одговарајућег израза.

35

Одреди све делиоце броја 90 који нису већи од тог броја.1536

Како се уз помоћ два суда, једног у који стаје 0,75 литара течности и другог у који стаје литра,може измерити тачно:а) 5 литара течности б) 5,5 литара течности?

2337

За прављење торте потребно jе 500 грама кекса. Кекс чини масе торте, a желе, 12

ораси и сок, редом, , и масе торте, док је остало путер. Колико је грама

путера потребно за ову торту?

320

15

120

38

10

10

10

А = 10 ⋅ 0,00 … 01

В = 0,1 + 0,01 + 0,001 + … + 0,00 … 01

С = 0,1 ⋅ 0,01 ⋅ 0,001 … ⋅ 0,00 … 01

BROJ 0,00…01

10

IMA 10 DECIMALNIH MESTA

–DEVET NULA I JEDNU JEDINICU.

A

0,00 … 01

B C

55

0,00 … 01

10

0,00 … 01

9

0,11 … 11

10

ПримерУ албуму се налазе 72 фотографије, при чему број црнобелих износи фотографијау боји. Колико има црнобелих фотографија?

РешењеЗадатак можемо решити методом дужи.Означимо са x број фотографија у боји, а са х број црнобелих фотографија.

Укупан број фотографија је 72 и састоји се од 8 једнаких делова (сваки је х).

х = 72 х = 72 : х = 72 ⋅ х = 63

⋅ 63 = 9

У албуму се налази девет црнобелих фотографија.

78

87

17

87

17

17

17

72

x17

x

29