مقدمة أولية دوال تكامالت دراسة على نختصر فسوف تكاملها ايجاد يمكن متصلة دالة كل سابقا' درسنا

السابق الجدول في محتواه ليست بسيطةالصور احدى إلى تحويلها يمكن بالتعويض التكامل طرق تسمى معينة طرق بإستخدام ولكن

السابق الجدول داخل المحتواهن ألس مرفوعة خطية دالة تكامل : اوًال' و ب + ( ) أو - 1 ن ن ن س - 1 س

: صورة على ألس مرفوعة خطية دالة ب + ( ) تكامل ن ن س - 1س

( ) + ب ب + ( ) س = ن س ث+ 1 ن + س1ن +

ن = ألس مرفوعة خطية دالة تكامل أن ب + ( ) 1 أي ث + 1 ن + س

ن + س 1معامل : البرهان

( ) + ب ب + ( ) س = ن س ث+ 1 ن + س

1ن + أن : نفرض ب + اوًال' ص= س

ص بدًاللة س قيم ب = - نأخد ص الطرفين - س = س نفاصل س = و س قيم عن نعوض و ص ص بدًاللة سس

( ) + ب ص = ن س قيم ) ث + 1 + ن ص = ص نص = ص × نس عن نعوض

س ( بدًاللة ص 1ن +

= ( ) + ب ث+ 1 ن + س1ن +

************************************************************************************ األتية : أمثلة : التكامالت أوجد

=س 5 ( 2س + 7( ) 1

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

=س ( 3س + 2( ) ( 2

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

1

بالتعويض : - : - التكامل الموضوع بالتعويض : - : - التاريخ التكامل الموضوع التاريخ

1

ص

ب 1

1

1

1

1

72

..........................................................................................................................................

=س 5 ( 2س + 7( ) 3

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

=س س ( 5 - 3( )4

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

5 ) 3 س = س (3 -8)

2........................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................................

................6 ) 1 س =

س - (5) 3........................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

*****************************************************************************************ب + ( س ) الصورة على التي الدوال تكامل : انيا'ث س ن س أو ب + ( ) 2 س س

س ن

س ) + جـ ب + ( ( ) أو ن ن س حيث ألس ) - 1 س مرفوعة خطية دالة تكاملحدود ( : كثيرة دالة في ن

دالة في ن ألس مرفوعة خطية دالة واحدة دالتين ضرب حاصل من مكونة دالة نكامل لكي

مايلي : نتبع حدود كثيرةس + وليكن ) ب + ( ( ) جـ سن س

وليكن( 1 ص وليكن رمز بأي فيه التكامل صعب لألس فقط القوس بداخل ما أن نفرضب + ص = س

س( = 2 ، ص بدًالله س قيم ص - نوجد

الطرفين( 3 ص = سنشتق4 )، س قيم نوجد ، ثم ص بدًاللة ص س، نعوض( 5 س قيم عن المعطى التكامل ، في ص بدًاللة على س التكامالت نجري ثم ص

س بدًاللة ص قيمة عن نعوض التكامل اجراء بعد سابقا' درست التي التكامالت حسباألتية : : أمثلة التكامالت أوجد

2

1

ب

1

=سس - 1س( 1

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

=سس- ( 2 ( ) 3س( ) + 2

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

....................................................................................................................................

........................................................................................................................................

= سس ( 3 3 (2 –س )

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

3

32

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

=سس - 3 2س( 1

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

......................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

........................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

¨ ' : خطية دالة زاويتها دائرية دالة تكاملثالثاب + جــــا( ) 1 ب + جـــتـــا = - )س ( س ث ( + س

ب + جـتـــا( ) 2 ب + جــــا = )س ( س ث ( + س

ب + ) 2قــــا( 3 ب + ظـــــا = )س ( س ث ( + س

ب + ) 2قـــتـــا( 4 ب + ظــتـــا = - )س ( س ث ( + س

ب + قــــا( ) 5 ب + ظـــــا ( )س ب + قـــــا = )س ( س ث ( + س

ب + قـــتـــا( ) 6 ب + ظــتـــا ( )س ب + قــتـــا = - )س ( س ث ( + س : مالحظة

4

11

1

1

1

1

1 معام

س ل

لنفس ) ( = × الدالة تكامل خطية دالة زاويتها دائرية دالة تكاملث + الزاوية

: البرهان ب + جــــا ( ) 1نبرهن ) س ( س

ص : = أن ب + نفرض سص بدًاللة س قيم ب = - نأخد ص الطرفين - س = س نفاصل

س = و س قيم عن نعوض و ص ص بدًاللة سس

ب + ( ) جـــا ص = س جـــا ث = ) - ( + = - ص س ص جـــتــا ) جــتــاب + ث ( + س

األتية : : أمثلة التكامالت أوجد = س ( 5 –س 2جــا( ) 1

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...

= س ( 3س +7جتــا( ) 2 ........................................................................................................................

................................................................................................................................................................................... ظــا ( ) 3 - 2قــا( ) 3 ............................................................................= سس ( 3 – 2س

...................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................= سس 3 2قتــا( 4 ................................................................................................................................................................................

... = سس ( – 2 ) 2قـــا( 5

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...

ظــتـا ( ) - 7قتــا( ) -6 ...............................................................................= سس ( 7س................................................................................................................................................................................

... ****************************************************************************************

* ¨ ' : اخرى دوال إلى بتحويلها إًال تكاملها يمكن ًال خطية دالة زاويتها دائرية دالة تكاملثالثا

ضعف + 1زاوية) ( = ) 2جــتــا س ( 2جــتــا + 1) س = 2جــتــا( 1 جــتــاالزاوية (

الزاوية - ( 1زاوية) ( = ) 2جــــا س ( 2جــتــا - 1) س = 2جــا( 2 ضعف جــتــا

قـا) ( = 2ظــــا 1- س 2قــا س = 2ظــــا( 3 الزاوية ) ( - 2زاوية 1نفس

قـتا) ( = 2ظـتـــا 1س - 2قـتـا س = 2ظـتـــا( 2 الزاوية ) ( - 2زاوية 1نفس : مالحظة

ب + ) 2جــتــا( 1 ب + ) 2جــتــا + 1) ( = س ( ( س

5

1

1

1

1

ص

ب

12

12

12

12

ب + ) 2جــا( 2 ب + ) 2جــتــا - 1) ( = س ( ( س

ب + ) 2ظــــا( 3 ب + ) 2قــا ( = س 1- ( س

ب + ) 2ظـتـــا( 2 ب + ) 2قـتـا ( = س 1- ( ساألتية : : أمثلة التكامالت أوجد

........................................................................................................................= سس 2جــا( 1

...................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

........................................................................................................................= سس 2جتــا( 2 ................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................

............................................................................= سس 3 2جـتــا( 3

...................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

........................................................................................................................= سس 2ظــــا( 4 ................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

........................................................................................................................= سس 4 2ظــــا( 5

...................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

............................................................................= سس 2جـتــا( 6 ................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................

............................................................................= س ( 4س + 3 )2جـــا( 7................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................

= سس ( 5 - 7 ) 2ظـتـــا( 8 ........................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................ مالحظة

الزاوية لنفس الدائرية الدالة = تكامل الزاوية × تفاضل ما لزاوية دائرية دالة تكامل : مثال

س( 1 ............................................................................= سس 2 × 2جـــا................................................................................................................................................................................

...

6

12

12

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

= س ( 4س + 6 ( × ) 5س + 4+ 2س 3جــتــا( ) 2 ..............................................................................

...................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................ ¨ ' س ] ) ( [ الصورة على دالة تكاملخامسا س × ) ( : ن د eد

ن) و نسبي عدد ن حيث مشتقتها في ن ألس مرفوعة دالة ضرب حاصل تكامل1 )

ن وكان ف الفترة خالل لإلشتقاق قابلة الدالة كانت إذا أن : فإن - { - 1 }أي

س] ) ( [ س× ) ( ن د eد = س] ) ( [ س ث + 1 ن + د 1ن +

ث + 1 ن + الدالة] [ مشتقتها × = ن الدالة] [ 1ن +

: البرهان

س] ) ( [ س× ) ( ن د eد = س] ) ( [ س ث + 1 ن + د 1ن +

س = ) ( د ص أن س = ) ( نفرض eد س ) ( س ص eد = س ص = س ص س ) ( eد

س] ) ( [ س× ) ( ن د eد = ص س × ) ( × ن س eد ن ص = ص ص = س ) ( eد

س] ) ( [ ث + = 1 ن + ص = ث + 1 ن + د1ن + 1ن +

: مالحظة أن بشرط ضرب حاصل إلى تحويلها وامكن مقسومة أو مضروبتين دالتين لدينا كانت إذا

المقام 1اسيلي : ما اتباع يمكن فإنه األخرى مشتقة احداهما وكانتهي ) ( اًالخرى الدالة كانت فإذا الدالة مشتقة نوجد س د هي األس ذات الدالة أن نفرض

تصبح : الدالة فإن الدالة بمشتقة شبسهه او الدالة مشتقةس] ) ( [ س× ) ( ن د eد = س] ) ( [ س ث + 1 ن + د

1ن + األتية : أمثلة : التكامالت أوجد

=سس 10 × 3 ( 2 + 2س 5( ) 1

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

=س ( 2- 2س 3 × ) 5س ( 2 - 3س( ) 2

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

7

=س ( 2+ س 5 × ) 4س + 3 + 2س 3( 3

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

............................................................................................................................... ..........

=س ( 2+ س 5 × ) 4س + 3 + 2س 3( 4

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

= س 2 س ( 5

5 + 3س ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

=س ( 3س - 5( ) 6

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

األتية : : تطبيق التكامالت أوجد س 5جــا( 1 جــتا = سس

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

جـا 2 3جتــا( 2 = سس 2س........................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................ س( 3 جــا س ............................................................................= سجـتــا

...................................................................................................................................................................................

8

72

.............................................................................................................................................................................

قـتـــا( 4 س = سس 2ظــتــا........................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................ س - 6( 5 جــتــا = س س

س- ( 2س 3) 5 جــا

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

س( ) - 6 س 7 ( 4قــا ظـا ............................................................................= سقـاس................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................

س( 7 ظــا س ............................................................................= سقـا................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................

س + ( 2س 3 ) 4س ( جــا+ 3س ) 3( 8 = سجــتــا........................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................

¨ ' 2 ب + 2 س 2 ، 2 ب - 2 س 2 ، 2 س 2 - 2 ب صورة على الدوال تكاملسادساصورة على صورة 2 ب - 2 س 2أو على التكامل ًاليكون بحيث البسط أو المقام في

س] ) ( [ س × ) ( ن د eد س

التخلص الجذر يمكن هذه من ، دراسته سبق نوع إلى التكامالت وتحول العالقات بواسطةجـا : المثلثاث لحساب األولى األساسية المتطابقات من تستنتج جـتا + 2العالقات س = 2س

ظـا 1 ظتـا 2قــا = 1 س + 2، ، س 2قتــا = 1 س + 2سجذرية : أو كسرية الدوال هذه كانت سواء العالقات هذه استخدام يمكن

الـــــــــــتــــــــــعويض الــــــــــصــــــــــورة

في 2س 2- 2بأو 2س 2- 2ب المقام

( 2متغير- 2عدد )

س = ب س = أو ص ب جــاص جـتــا

2 أو 2ب - 2س2 في 2ب - 2س المقام

( 2عدد- 2متغير )

س = ب س = أو ص ب قــاص قـتــا

9

2 أو 2ب + 2س2 في 2ب + 2س المقام

( 2عدد+ 2متغير )

س = ب س = أو ص ب ظــاص ظـتــا

*****************************************************************************************س 2جـتا - 1س = 2جـا : مالحظات

جـتا + 2جـا(1 1س = 2س

س 2جــا - 1س = 2جتـا

1س - 2قــا س = 2ظـا س 2قــا = 1س + 2ظـا(2

1س - 2قـتـا س = 2ظـتا س 2قــا = 1س + 2ظتـا(3

س ( 2جتــا+ 1س = ) 2جتـا( 4

س ( 2جتــا - 1س = ) 2جــا( 5

س 2س = 2جــا( 6 جــتــا جــاس

جــتــا = 2جــتــا( 7 جــــا - 2س س 2س

الوتر( : ) ( 8 فيثاغورس ( + 2المقابل = ) ( 2نظرية 2المجاور)

( - 2الوتر) ( المقابل = 2المجاور)

2المقابل) ( - 2الوتر) ( المجاور =

: المالحظات بعض جــتــاس = المقابل جـــاص = (1 ظــــاس =المجاور ، ،

المقابل المجاور الوتر الوتر

قــــاس = الوتر قــتـــاص = ظــتـــاس =الوتر، ، المجاور

المقابل المجاور المقابل

ص ب س( = 2 س ص = جــا جــا ب

جــا = س ص = جــا( 3 س 1-صب ب

وليست ( 4 ذلك غير أو جذر فيها سواء مقام في أو بسط في كسرية دالة الصورة على دوال لحلمايلي : نتبع مشتقتها في دالة صورة على

10

12

12

ص

المقابل = ) ( + 2الوتر ) 2المجاور)

االوتر = ) ( 2المقابل) ( - 2المجاور

االوتر = ) ( 2المجاور) ( - 2المقابل

1

متغير) × ( - 2عدد) ( مقدار س = 2س 2- 2ب = 2عدد جــا بنضعص

متغير) × ( ( - 2عدد س = 2 ب - 2س 2 = 2عدد) ص بنضع قــا

متغير) × ( ( + 2عدد س = 2 ب + 2س 2 = 2عدد) ص بنضع ظــا

= س أن الطرفين ] [ ) ( ب نفرض نشتق ص ظــا أو ص قــا أو ص جــا

س = ص ] [ ب مثال' ظــا أو ص قــا أو ص جــا

= ص ] ب س ظـاص جــتــا ص قــا ، قــــا ص ، ص [ص 2ص

، س قيم عن ، نعوض ص بدًاللة ص سمالحظة : مع مشترك عامل وأخد التكامالت نختصر ان نحاول

2ب -2 ( 2جــا 2 ب = ) ب = 2جــا 2ب - 2بص ب ( = 2جا - 1 ) 2ص ص =2جــتا 2صجتاص ب 2

جتـا س ( 2جتــا+ 1س = ) 2جتـا س ( 2جتــا- 1س = ) 2،

2 (2قــا 2 ب - ) 2قــا 2ب= 2بص - ص 2ظــا 2ب ( = 1 –ص 2قا ) 2ب = 2بص ظــاص= ب

2

2ب + 2 ( 2ظــا 2 ب = ) ب = 2ظــا 2ب+ 2بص ب ( = 2ظـا + 1 ) 2ص ص 2قــا 2صقــاص= ب

2

*****************************************************************************************************************األتية : : تطبيق التكامالت أوجد

س 2س 25 – 16 ( 2 س 2س 9 – 4( 1

س 2 س ( 4 س 2س3 – 4( 3

2س – 25 س ( 6 س 9 - 2 س ( 5

2س + 4س 7) 1 س

1 + 2س 2س

11

2

3

12

12

12