Ασκήσεις στην ορμή

Κεφάλαιο

1

ΙΩΑΝΝΗ ΠΑΡΣΑΚΟΤΛΑΚΗ

ΙΔΙΩΣΙΚΟ ΥΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ CLEVERMIND

επτέμβριος 2011

Μηχανική στερεού σώματος

ΦΥΣΙΚΗ Γ ’ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΙΔΙΩΤΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ CLEVERMIND: 9952629 – 99314595 1

Κεφάλαιο 1: Μηχανική στερεού σώματος σε μία διάσταση

Οη επηζηήκνλεο, ζηελ πξνζπάζεηά ηνπο λα κειεηήζνπλ θαη λα επηιύζνπλ

πξνβιήκαηα θξνύζεσλ, επηλόεζαλ γύξσ ζηα ηέιε ηνπ 17νπ

αηώλα έλα λέν

θπζηθό κέγεζνο πνπ νλνκάζηεθε νξκή. Η νξκή έρεη λα θάλεη κε ηελ ηθαλόηεηα

ελόο ζώκαηνο λα «παξαζέξλεη» θάπνην άιιν ζώκα. Γηα παξάδεηγκα, ιέκε όηη

έλα πνηάκη είλαη νξκεηηθό δηόηη παξαζέξλεη καδί ηνπ δηάθνξα αληηθείκελα πνπ

βξίζθεη ζην δξόκν ηνπ. Η ηθαλόηεηα απηή έρεη λα θάλεη όρη κόλν κε ηελ

ηαρύηεηα αιιά θαη κε ηε κάδα ηνπ ζώκαηνο. Γηα παξάδεηγκα, αλ θάπνηνο είλαη

100 θηιά, ηόηε κε κηθξή ζρεηηθά ηαρύηεηα κπνξεί λα πέζεη πάλσ ζε κηα πόξηα

πνπ έρεη ζθελώζεη θαη λα ηελ αλνίμεη. Κάπνην παηδί πνπ είλαη 50 θηιά, ηόηε ζα

πξέπεη λα πέζεη πάλσ ζηελ πόξηα κε αξθεηά πνιύ κεγαιύηεξε ηαρύηεηα γηα λα

ηελ αλνίμεη.

Η κεγάιε ρξεζηκόηεηα ηεο νξκή θαίλεηαη ζηελ πεξηγξαθή θαη ηε κειέηε ησλ

θξνύζεσλ. Καηά ηε δηάξθεηα κηαο θξνύζεο αλαπηύζζνληαη πνιύ κεγάιεο

δπλάκεηο κε απνηέιεζκα ηα ζώκαηα λα παζαίλνπλ κόληκεο παξακνξθώζεηο, λα

θνιιάκε κεηαμύ ηνπο ή αθόκα λα ζπάδνπλ ζε θνκκάηηα. ε ηέηνηεο πεξηπηώζεηο

ε κεραληθή ελέξγεηα ηνπ ζπζηήκαηνο δελ δηαηεξείηαη ζηαζεξή, δηόηη έλα κέξνο

ηεο κεραληθήο ελέξγεηαο ησλ ζσκάησλ κεηαηξέπεηαη ζε ζεξκόηεηα, ήρν θιπ.

Οπόηε ηα ζεσξήκαηα ηεο δηαηήξεζεο ηεο κεραληθήο ελέξγεηαο θαη ηεο

θηλεηηθήο ελέξγεηαο – έξγνπ δελ ηζρύνπλ. Ωζηόζν ππάξρεη έλα θπζηθό κέγεζνο

πνπ δηαηεξείηαη ζηαζεξό αθόκα θαη ζε ηέηνηεο θαηαζηάζεηο θαη απηό θπζηθά

δελ είλαη άιιν παξά ε νξκή.

Ορμή υλικού σημείου

Με ηνλ όξν πιηθό ζεκείν, ελλννύκε έλα ζώκα πνπ δελ έρεη δηαζηάζεηο ή πνπ νη

δηαζηάζεηο ηνπ είλαη ακειεηέεο. Έλα πιηθό ζεκείν κπνξεί λα έρεη νξκή εθόζνλ

κπνξεί λα έρεη κάδα θαη ηαρύηεηα.

Οπμή ελόο ζώκαηνο πνπ κπνξεί λα ζεσξεζεί σο έλα πιηθό ζεκείν κάδαο m θαη

ηαρύηεηαο π, νλνκάδνπκε ην γηλόκελν ηεο κάδαο m ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ επί ηελ

ηαρύηεηά ηνπ, δειαδή p m π .

Η νξκή είλαη δηαλπζκαηηθό κέγεζνο, έρεη θαηεύζπλζε ηελ θαηεύζπλζε ηεο

ηαρύηεηαο θαη ε κνλάδα κέηξεζεο ζην S.I. είλαη ην 1kgms ή Ns. Οη δύν

απηέο κνλάδεο κέηξεζεο είλαη ηζνδύλακεο δηόηη, όπσο γλσξίδνπκε, 21N 1kgms , νπόηε 2 11N s 1kgms s 1kgms .

ύκθσλα κε ηνλ νξηζκό έλα θηλνύκελν ζώκα κπνξεί λα έρεη κεγάιε νξκή, αλ

είλαη κεγάιε ε κάδα ηνπ, ή ε ηαρύηεηά ηνπ ή θαη ηα δύν. Γηα παξάδεηγκα, έλα

θνξηεγό έρεη κεγαιύηεξε νξκή από έλα απηνθίλεην, έζησ θη αλ θηλνύληαη θαη

ηα δύν κε ηελ ίδηα ηαρύηεηα, επεηδή ην θνξηεγό δηαζέηεη κεγαιύηεξε κάδα.

Δπίζεο, έλα πινίν πνπ θηλείηαη κε κηθξή ηαρύηεηα, ιόγσ ηεο ηεξάζηηαο κάδαο

ηνπ, έρεη κεγαιύηεξε νξκή από έλα απηνθίλεην πνπ θηλείηαη κε κεγάιε

ηαρύηεηα ζηνλ απηνθηλεηόδξνκν. Σέινο, αλ ε ηαρύηεηα ελόο ζώκαηνο είλαη

p = m·π

ρήκα: Από δύν θηλεηά

πνπ έρνπλ ηελ ίδηα ηαρύηε-

ηα, κεγαιύηεξε θαηά κέηξν

νξκή έρεη εθείλν πνπ έρεη

ηε κεγαιύηεξε κάδα.



κεδέλ, ηόηε θαη ε νξκή ηνπ είλαη κεδέλ. Έηζη, έλα θηλνύκελν θηεξό έρεη

κεγαιύηεξε νξκή από έλα αθίλεην ειέθαληα, δηόηη ε νξκή ηνπ ειέθαληα είλαη

κεδέλ.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΣΑ

1) Γύν ζώκαηα ίζεο κάδαο θηλνύληαη κε ηαρύηεηα ίζνπ κέηξνπ πάλσ ζε

επζύγξακκν δξόκν. Μπνξεί νη νξκέο ηνπο λα κελ είλαη ίζεο;

Απ: Γελ πξέπεη λα μερλάκε όηη ε νξκή είλαη δηαλπζκαηηθό κέγεζνο, νπόηε γηα

έλα έρνπλ δύν ζώκαηα ηελ ίδηα νξκή είλαη απαξαίηεην λα θηλνύληαη πξνο ηελ

θαηεύζπλζε. ηελ εξώηεζε αλαθέξεηαη όηη ηα ζώκαηα θηλνύληαη κε ηελ ίδηα

θαηά κέηξν ηαρύηεηα ζε επζύγξακκν δξόκν αιιά δελ γλσξίδνπκε ηελ θνξά ηεο

θίλεζήο ηνπο. Οπόηε, νη νξκέο ηνπο κπνξεί λα κελ είλαη ίζεο δηόηη ηα ζώκαηα

κπνξεί λα θηλνύληαη κε δηαθνξεηηθέο θαηεπζύλζεηο. □

2) Η νξκή κηαο ζθαίξαο όπινπ ηζνύηαη κε ηελ νξκή κηαο κπάιαο ηνπ ηέληο.

Πνην ζώκα έρεη ηε κεγαιύηεξε θαηά κέηξν ηαρύηεηα;

Απ: Η ζθαίξα όπινπ θαη ε κπάια ηνπ ηέληο έρνπλ ηελ ίδηα νξκή, νπόηε ην

γηλόκελν m είλαη ην ίδην θαη γηα ηα δύν ζώκαηα. Άξα ην ζώκα πνπ έρεη ηε

κηθξόηεξε κάδα, δειαδή ε ζθαίξα όπινπ, ζα έρεη ηε κεγαιύηεξε θαηά κέηξν

ηαρύηεηα.

Για σχολαστικούς: ηζρύεη όηη m

p p m m 1,m

δηόηη m m . Άξα, ζθ

ζθ κπ

κπ

π1 π

π.π □

3) Έλα θνξηεγό θαη έλα επηβαηηθό απηνθίλεην θηλνύληαη κε ηελ ίδηα ηαρύηεηα

ζε επζύγξακκν δξόκν. Πνην ζώκα έρεη ηε κεγαιύηεξε νξκή;

Απ: Γηα ην απηνθίλεην ηζρύεη p m ελώ γηα ην θνξηεγό ηζρύεη p m .

Δπεηδή ε ηαρύηεηα είλαη ε ίδηα θαη m m πξνθύπηεη όηη ην κέηξν ηεο νξκήο

ηνπ θνξηεγνύ ζα είλαη κεγαιύηεξν από ην κέηξν ηεο νξκήο ηνπ απηνθηλήηνπ.

Για σχολαστικούς: ηζρύεη όηη pp p m

1,m m p m

δηόηη

m m . Οπόηε, αα θ

θ

p1 p p .

p □



Ορμή συστήματος σωμάτων

Όηαλ έρνπκε έλα ζύζηεκα ζσκάησλ (δύν ή πεξηζζόηεξα ζώκαηα καδί), ηόηε ζα

πξέπεη λα ιάβνπκε ηελ νξκή όισλ ησλ ζσκάησλ ηνπ ζπζηήκαηνο.

Οπμή ελόο ζςζηήμαηορ ζωμάηων ιέγεηαη ην δηαλπζκαηηθό άζξνηζκα ησλ

νξκώλ ησλ ζσκάησλ από ηα νπνία απνηειείηαη, δειαδή: 1 2 3p p p p


4) Έλα ζώκα κάδαο 1m 2kg θηλείηαη πξνο ηα δεμηά κε ηαρύηεηα 1 4m s,

ελώ έλα δεύηεξν ζώκα κάδαο 2m 1kg θηλείηαη πξνο ηα αξηζηεξά κε ηαρύηεηα

2 10m s. Να βξείηε ηελ νξκή ηνπ ζπζηήκαηνο ησλ δύν ζσκάησλ.

Λύση: Θεσξώληαο σο ζεηηθή θνξά θίλεζεο ηελ πξνο ηα δεμηά έρνπκε:

1 2 1 1 2 2p p p m m 2 4 1 ( 10) 8 10 2kgm s,

δειαδή πξνο ηα αξηζηεξά. □

5) Έλα ζώκα κάδαο 1m 6kg θηλείηαη δπηηθά κε ηαρύηεηα 1 0,5m s, ελώ

έλα δεύηεξν ζώκα κάδαο 2m 1kg θηλείηαη πξνο βνξξά κε ηαρύηεηα

2 4m s. Να βξείηε ηελ νξκή ηνπ ζπζηήκαηνο ησλ δύν ζσκάησλ.

Λύση: Σν κέηξν ηεο νξκήο ηνπ πξώηνπ ζώκαηνο είλαη:

1 1 1p m 6 0,5 3kgm s θαη έρεη ηελ θαηεύζπλζε ηεο ηαρύηεηαο ηνπ

ζώκαηνο, δειαδή δπηηθά. Σν κέηξν ηνπ δεύηεξνπ ζώκαηνο είλαη:

2 2 2p m 1 4 4kgm s κε θαηεύζπλζε πξνο βνξξά. Γηα λα βξνύκε ηε

ζπλνιηθή νξκή ζα πξέπεη λα πξνζζέζνπκε δηαλπζκαηηθά ηηο νξκέο ησλ δύν

ζσκάησλ, όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα.

Άξα ην κέηξν ηεο ζπλνιηθήο νξκήο είλαη:

2 2 2 2

1 2p p p 3 4 9 16 25 5kgm s.

Κέντρο μάζας συστήματος μαζών

Σν θέληξν κάδαο ελόο ζώκαηνο εθθξάδεη ηε κέζε ζέζε όισλ ησλ ζηνηρεησδώλ

καδώλ ηνπ. Αλ κηιάκε γηα έλα ζύζηεκα, ηόηε εθθξάδεη ηε κέζε ζέζε ησλ καδώλ

από ηα νπνία απνηειείηαη. Σν θέληξν κάδαο είλαη κηα ρξήζηκε έλλνηα δηόηη

κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί γηα λα πεξηγξάςεη ηε ζπκπεξηθνξά ελόο ζώκαηνο ή

ελόο ζπζηήκαηνο όηαλ αζθεζεί πάλσ ηνπ θάπνηα εμσηεξηθή δύλακε.

ηελ πεξίπησζε πνπ έρνπκε έλα ζύζηεκα ζσκάησλ ζην νπνίν όιεο νη κάδεο

από ηηο νπνίεο απνηειείηαη βξίζθνληαη πάλσ ζε κηα επζεία γξακκή, ηόηε θαη ε

ζέζε ηνπ θέληξνπ κάδαο ζα βξίζθεηαη πάλσ ζηελ ίδηα επζεία. Θεσξώληαο



θάπνην ζεκείν σο ζεκείν αλαθνξάο (ζεκείν κεδέλ), ηόηε ε ζέζε ηνπ θέληξνπ

κάδαο δίλεηαη από ηε ζρέζε:

1 1 2 2. .

1 2

m x m x m xx .

m m m

Από ηελ παξαπάλσ ζρέζε κπνξεί λα απνδεηρζεί όηη αλ έλα ζύζηεκα ζσκάησλ

έρεη νξκή p , ηόηε . .p m Από ηε ζρέζε απηή κπνξνύκε λα

βξνύκε ηελ ηαρύηεηα ηνπ θέληξνπ κάδαο ελόο ζπζηήκαηνο ζσκάησλ, αλ

γλσξίδνπκε ηηο νξκέο ησλ ζσκάησλ από ηα νπνία απνηειείηαη.


6) Γύν ζώκαηα κε κάδεο 1m 5kg θαη 2m 2kg απέρνπλ κεηαμύ ηνπο 35cm.

Να βξείηε ηε ζέζε ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπο.

Λύση: Αο ζεσξήζνπκε σο ζεκείν αλαθνξάο ην ζώκα κάδαο

1m . Σόηε:

1 1 2 2. .

1 2

m x m x 5 0 2 35 70x 10cm.

m m 5 2 7

Γειαδή, ην θέληξν κάδαο βξίζθεηαη ζε απόζηαζε 10cm από ην ζώκα κάδαο

1m .□

7) Γύν ζθαίξεο θηλνύληαη κε αληίζεηεο θαηεπζύλζεηο, όπσο θαίλεηαη ζην

ζρήκα. Η πξώηε ζθαίξα έρεη κάδα 1m 2kg θαη θηλείηαη κε ηαρύηεηα

1 3m s. Η δεύηεξε ζθαίξα έρεη κάδα 2m 1kg θαη θηλείηαη κε ηαρύηεηα

2 3m s. Να βξείηε ηελ ηαρύηεηα ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπο.

Λύση: Βξίζθνπκε αξρηθά ηε ζπλνιηθή νξκή ηνπ ζπζηήκαηνο:

1 2 1 1 2 2p p p m m 2 3 1 ( 3) 3kgm s.

Άξα, . . . . . .p m 3 3 1m s (πξνο ηα δεμηά). □

Γενικευμένος δεύτερος νόμος του Νεύτωνα

Όηαλ έλα θνξηεγό πξνζθξνύεη πάλσ ζε έλαλ ηνίρν αζθείηαη πάλσ ηνπ δύλακε

πνπ έρεη ζαλ απνηέιεζκα ηε κεηαβνιή ηεο νξκήο ηνπ. Η δύλακε απηή είλαη

αλάινγε ηεο κεηαβνιήο ηεο νξκήο ηνπ θνξηεγνύ. Γειαδή, αλ ην θνξηεγό έρεη

κεγάιε νξκή αξρηθά, ηόηε ζα αζθεζεί πάλσ ηνπ κεγαιύηεξε δύλακε θαηά ηε

ζύγθξνπζή ηνπ κε ηνλ ηνίρν. Ωζηόζν, ε δύλακε έρεη ζρέζε θαη κε ηε ρξνληθή

δηάξθεηα εθαξκνγήο ηεο. Σν θνξηεγό δέρεηαη κεγάιε δύλακε δηόηη όηαλ πέθηεη

πάλσ ζηνλ ηνίρν, ε νξκή ηνπ κεδελίδεηαη ζε κηθξό ρξνληθό δηάζηεκα. Γειαδή,

γηα λα κεδεληζηεί ε νξκή ζε κηθξό ρξνληθό δηάζηεκα απαηηείηαη κεγάιε



δύλακε. Αλ ην θνξηεγό έπεθηε πάλσ ζ’ έλα ζσξό από άρπξα θαη ζηακαηνύζε,

ηόηε παξόιν πνπ ε κεηαβνιή ηεο νξκήο ηνπ ζα ήηαλ ε ίδηα, επεηδή ε κεηαβνιή

ζα πξαγκαηνπνηνύληαλ ζε κεγάιν ρξνληθό δηάζηεκα, ε δύλακε πνπ ζα ήηαλ

πνιύ κηθξόηεξε. Γειαδή, κπνξνύκε λα επηηύρνπκε ηελ ίδηα κεηαβνιή ζηελ

νξκή ελόο ζώκαηνο αζθώληαο κηθξή δύλακε γηα κεγάιν ρξνληθό δηάζηεκα, ή

κεγάιε δύλακε γηα κηθξό ρξνληθό δηάζηεκα. Άξα ε δύλακε πνπ ζα δερηεί έλα

ζώκα έρεη λα θάλεη ηόζν κε ηε κεηαβνιή ηεο νξκήο ηνπ, όζν θαη κε ην ρξόλν

κέζα ζην νπνίν πξαγκαηνπνηείηαη απηή ε κεηαβνιή.

Μεγάιε κεηαβνιή ηεο νξκήο ζε κηθξό ρξόλν

απαηηεί κεγάιε δύλακε.

Μεγάιε κεηαβνιή ηεο νξκήο ζε κεγάιν ρξόλν

απαηηεί κηθξή δύλακε.

Οη παξαπάλσ παξαηεξήζεηο ζπλνςίδνληαη ζην γεληθεπκέλν δεύηεξν λόκν ηνπ

Νεύησλα ζύκθσλα κε ηνλ νπνίν:

Ο ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο νξκήο ελόο ζώκαηνο ηζνύηαη κε ηε ζπληζηακέλε

δύλακε πνπ αζθείηαη ζην ζώκα, δειαδή: dp

F .dt

Ο γεληθεπκέλνο λόκνο ηνπ Νεύησλα είλαη έηζη όπσο ηνλ παξνπζίαζε ν

Νεύησλαο θαη είλαη πην γεληθόο από ην δεύηεξν λόκν ηνπ Νεύησλα, όπσο ηνλ

κάζακε ζηηο πξνεγνύκελεο ηάμεηο θαη εθθξάδεηαη από ηνλ καζεκαηηθό ηύπν:

F m α. Ο ηύπνο F m α κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί κόλν όηαλ ε κάδα

ελόο ζώκαηνο ή ελόο ζπζηήκαηνο παξακέλεη ζηαζεξή, ελώ ν ηύπνο dp

Fdt

κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί αθόκα θαη ζε πεξηπηώζεηο πνπ ε κάδα κεηαβάιιεηαη,

όπσο ζπκβαίλεη γηα παξάδεηγκα ζε έλαλ πύξαπιν πνπ θηλείηαη θαίγνληαο ηα

θαύζηκά ηνπ, νπόηε ειαηηώλεηαη ε κάδα ηνπ. Μπνξνύκε λα απνδείμνπκε όηη ν

ηύπνο F m α πξνθύπηεη από ηνλ ηύπν dp

Fdt

, όηαλ ε κάδα παξακέλεη

ζηαζεξή, σο εμήο:

Θεσξνύκε έλα ζώκα κάδαο m ζην νπνίν αζθείηαη ζπλνιηθή δύλακε F.

Δθόζνλ ε κάδα ηνπ ζώκαηνο παξακέλεη ζηαζεξή ζα ηζρύεη:

dp d(mπ) m dπ dπF m m α

dt dt dt dt

Οη δπλάκεηο πνπ αλαπηύζζνληαη ζηηο θξνύζεηο δελ είλαη ζηαζεξέο θαη γη’ απηό

πνιιέο θνξέο κηιάκε γηα ηε κέζε δύλακε πνπ αζθήζεθε ζε έλα ζώκα θαηά ηε

δηάξθεηα κηαο θξνύζεο. Η δύλακε ζε κηα θξνύζε είλαη αξρηθά κεδέλ, ζηε

ζπλέρεηα απμάλεηαη κέρξη θάπνηα κέγηζηε ηηκή θαη ζηε ζπλέρεηα κεηώλεηαη

κέρξη λα κεδεληζηεί. ην δηπιαλό δηάγξακκα θαίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε



ηεο δύλακεο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν γηα ην παξάδεηγκα ηνπ θνξηεγνύ. ηελ

θακπύιε (α) θαίλεηαη ε πεξίπησζε πνπ ην θνξηεγό πέθηεη πάλσ ζηνλ ηνίρν. Η

ρξνληθή δηάξθεηα είλαη κηθξή θαη ε δύλακε κεγάιε. ην (β) θαίλεηαη ε

πεξίπησζε πνπ ην θνξηεγό πέθηεη πάλσ ζην ζσξό κε ηα άρπξα. Η ρξνληθή

δηάξθεηα είλαη κεγάιε θαη ε δύλακε κηθξή. Σν εκβαδόλ πνπ πεξηθιείεηαη θάησ

από ηηο δύν θακπύιεο είλαη ην ίδην θαη είλαη ίζν κε ηε κεηαβνιή ηεο νξκήο ηνπ

θνξηεγνύ.

Αλ ζέινπκε λα ζρεδηάζνπκε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο κέζεο δύλακεο, ηόηε

επεηδή απηή είλαη ζηαζεξή, ην δηάγξακκα ζα είλαη κηα επζεία γξακκή γηα όζν

ρξόλν δηαξθεί ε θξνύζε. Γηα ην ζσζηό ζρεδηαζκό ηεο ζα πξέπεη λα έρνπκε

ππόςε καο όηη ην εκβαδόλ θάησ από ηε γξαθηθή παξάζηαζε πνπ ζα θάλνπκε ζα

πξέπεη λα είλαη ίζν κε ην εκβαδόλ θάησ από ηελ θακπύιε. Άξα ην κέηξν ηεο

δύλακεο ζα πξέπεη λα είλαη θάπνπ αλάκεζα ζηελ ειάρηζηε θαη ζηε κέγηζηε ηηκή

ηεο δύλακεο, όπσο θαίλεηαη ζην δηπιαλό δηάγξακκα.


8) Γηαηί ζην κπνμ ην θηύπεκα κε γπκλή γξνζηά είλαη ηζρπξόηεξν απ’ όηη κε ην

εηδηθό γάληη;

Απ: Όηαλ ην ρέξη ηνπ αζιεηή ηνπ κπνμ ρηππά ηνλ αληίπαιό ηνπ κε αξρηθή νξκή

p θαη ζηακαηά πάλσ ζην ζώκα ηνπ αληηπάινπ ηνπ, ηόηε αζθείηαη πάλσ ζην

ρέξη ηνπ αζιεηή δύλακε ίζε κε:

p p 0 p pF ,

t t t

όπνπ Γt ε δηάξθεηα ηνπ ρηππήκαηνο.

ηνλ αληίπαιό πνπ δέρεηαη ην θηύπεκα αζθείηαη κηα δύλακε ίζνπ κέηξνπ αιιά

αληίζεηεο θνξάο (δξάζε – αληίδξαζε) κε ηελ F. Αλ ν αζιεηήο ηνπ κπνμ θνξά

γάληηα, ηόηε, επεηδή ην γάληη είλαη πην καιαθό, ε δηάξθεηα ηνπ θηππήκαηνο

απμάλεηαη, νπόηε ε δύλακε F κεηώλεηαη. Έηζη, ην θηύπεκα κε ην γάληη αζθεί

κηθξόηεξε δύλακε ζηνλ αληίπαιν, ελώ ην θηύπεκα κε γπκλό ρέξη είλαη πην

ηζρπξό. □

9) Μπάια κάδαο m 2kg πνπ θηλείηαη νξηδόληηα κε ηαρύηεηα 5m s

πέθηεη πάλσ ζε θαηαθόξπθν ηνίρν θαη επηζηξέθεη πξνο ηα πίζσ κε ηαρύηεηα

4m s. Αλ ε δηάξθεηα επαθήο ηεο κε ηνλ ηνίρν ήηαλ t 0,02s λα βξείηε:

α) ηε κεηαβνιή ηεο νξκήο ηεο κπάιαο,

β) ηε κέζε δύλακε πνπ δέρηεθε ε κπάια από ηνλ ηνίρν.

γ) Πόζε ζα ήηαλ ε κέζε δύλακε πνπ ζα δέρνληαλ αλ ε κπάια θνιινύζε ζηνλ

ηνίρν; Να ζρνιηάζεηε ην απνηέιεζκα.

Λύση: Θεσξνύκε σο ζεηηθή θνξά πξνο ηα δεμηά.



α) p p p m m 2 ( 4) 2 5 18kgm s.

β) p 18

F 900 Nt 0,02

(πξνο ηα αξηζηεξά)

γ) Αλ ε κπάια θνιινύζε ζηνλ ηνίρν, ηόηε ε ηειηθή ηαρύηεηα ζα ήηαλ κεδέλ,

νπόηε:

p pp 0 2 5F 500 N.

t t 0,02

Παξαηεξνύκε όηη όηαλ ε κπάια επηζηξέθεη πξνο ηα πίζσ, ηόηε δέρεηαη (θαη

αζθεί ζύκθσλα κε ην αμίσκα δξάζεο-αληίδξαζεο) κεγαιύηεξε δύλακε από ηνλ

ηνίρν, παξά όηαλ πέθηεη ζηνλ ηνίρν θαη κεδελίδεηαη ε ηαρύηεηά ηεο. □

10) Έλαο αζιεηήο ηνπ άικαηνο επί θνληώ κόιηο πνπ θαηαθέξλεη λα πεξάζεη ην

ύςνο ησλ 5m. ηε ζπλέρεηα ν αζιεηήο πξνζγεηώλεηαη ζηα εηδηθά ζθνπγγάξηα

όπνπ ε ηαρύηεηά ηνπ κεδελίδεηαη ζε ρξόλν 0,6s. Αλ ζεσξήζνπκε όηη ζην ύςνο

ησλ 5m ε ηαρύηεηα ηνπ αζιεηή είλαη κεδέλ:

α) λα βξείηε ηε κέζε δύλακε πνπ αζθείηαη ζηνλ αζιεηή από ηα ζθνπγγάξηα.

β) λα βξείηε ηε κέζε δύλακε πνπ ζα δέρνληαλ ν αζιεηήο αλ έπεθηε έμσ από ηα

ζθνπγγάξηα, νπόηε ν ρξόλνο κεδεληζκνύ ηεο ηαρύηεηά ηνπ ζα ήηαλ 0,05s.

Λύση: Σν πξόβιεκα απηό ρσξίδεηαη ζε δύν θάζεηο, ζηε θάζε ηεο πηώζεο ησλ

αζιεηή από ην ύςνο ησλ 5 κέηξσλ θαη ζηε θάζε όπνπ κεδελίδεηαη ε ηαρύηεηά

ηνπ. Αξρηθά από ηελ αξρή δηαηήξεζεο ηεο κεραληθήο ελέξγεηαο ζα βξνύκε ηελ

ηαρύηεηα πνπ απνθηά ν αζιεηήο θηάλνληαο ζην έδαθνο. Έρνπκε:

2

( ) (B)

1E mgh m 2gh 2 10 5 10m s.

2

α) Όηαλ ν αζιεηήο πέθηεη ζηα ζθνπγγάξηα ε ηαρύηεηά ηνπ κεδελίδεηαη ζε

ρξόλν t 0,6s. Θεσξώληαο σο ζεηηθή θνξά ηελ πξνο ηα θάησ ζα ηζρύεη:

p pp 0 60 10F 1000 N

t t 0,6

(πξνο ηα πάλσ).

Καηά ηελ επαθή ηνπ κε ηα ζθνπγγάξηα αζθνύληαη ζηνλ αζιεηή δύν δπλάκεηο,

ην βάξνο Β θαηά ηε ζεηηθή θνξά θαη ε δύλακε από ηα ζθνπγγάξηα F θαηά ηελ

αξλεηηθή θνξά. Οπόηε:

F B F 1000 600 F F 1600N.

β) Όηαλ ν αζιεηήο πέθηεη ζην έδαθνο, ηόηε ε ηαρύηεηά ηνπ κεδελίδεηαη ζε

ρξόλν t 0,05s, νπόηε:

p pp 0 60 10F 12000 N.

t t 0,05



Όκσο, F B F 12000 600 F F 12600N. □

Αρχή διατήρησης της ορμής

ύζηεκα ζσκάησλ είλαη δύν ή πεξηζζόηεξα ζώκαηα καδί πνπ αιιειεπηδξνύλ

κε θάπνην ηξόπν. Αλάκεζα ζηα ζώκαηα ελόο ζπζηήκαηνο αζθνύληαη δπλάκεηο

πνπ νλνκάδνληαη εζσηεξηθέο. Μπνξνύλ απηέο νη δπλάκεηο λα κεηαβάιινπλ ηελ

νξκή ηνπ ζπζηήκαηνο;

Εζωηεπικέρ δςνάμειρ νλνκάδνληαη νη δπλάκεηο πνπ αζθνύληαη κεηαμύ ησλ

ζσκάησλ ελόο ζπζηήκαηνο.

Γλσξίδνπκε όηη θάζε ζώκα απνηειείηαη από πνιιά κόξηα κεηαμύ ησλ νπνίσλ

αζθνύληαη ηζρπξέο δπλάκεηο. Μπνξνύλ απηέο νη δπλάκεηο λα κεηαβάιινπλ ηελ

νξκή ηνπ ζώκαηνο; Η απάληεζε είλαη πξνθαλώο όρη, δηόηη νη δπλάκεηο απηέο

είλαη εζσηεξηθέο, δειαδή δξνπλ θαη αληηδξνύλ κέζα ζην ίδην ην ζώκα.

Αλάινγα ζπκπεξάζκαηα ηζρύνπλ θαη όηαλ έρνπκε έλα ζύζηεκα ζσκάησλ. Οη

δπλάκεηο πνπ αζθνύληαη κεηαμύ ησλ ζσκάησλ ηνπ ζπζηήκαηνο κπνξνύλ λα

κεηαβάιινπλ κόλν ηηο νξκέο ησλ ζσκάησλ πνπ απνηεινύλ ην ζύζηεκα, αιιά

δελ κπνξνύλ λα κεηαβάιινπλ ηελ ζπλνιηθή νξκή ηνπ ζπζηήκαηνο. Γηα ην ιόγν

απηό δελ κπνξνύκε λα κεηαθηλήζνπκε π.ρ. έλα απηνθίλεην όηαλ βξηζθόκαζηε

κέζα ζε απηό θαη ζπξώρλνπκε ην κπξνζηηλό θάζηζκα, ή λα κεηαθηλήζνπκε έλα

βαγόλη όηαλ βξηζθόκαζηε ζην εζσηεξηθό ηνπ θαη ζπξώρλνπκε πξνο ηα εκπξόο.

ύκθσλα ινηπόλ κε ηα παξαπάλσ, γηα λα κεηαβιεζεί ε νξκή ελόο ζπζηήκαηνο

ζσκάησλ ζα πξέπεη λα αζθεζεί ζην ζύζηεκα εμσηεξηθή δύλακε. Όζν δελ

ππάξρνπλ εμσηεξηθέο δπλάκεηο ε ζπλνιηθή νξκή ηνπ ζπζηήκαηνο παξακέλεη

ζηαζεξή.

Εξωηεπικέρ δςνάμειρ ιέγνληαη νη δπλάκεηο πνπ αζθνύληαη ζε ζώκαηα ηνπ

ζπζηήκαηνο από ζώκαηα πνπ δελ αλήθνπλ ζην ζύζηεκα.

Αο ζεσξήζνπκε δύν ζώκαηα πνπ βξίζθεηαη ηνπνζεηεκέλα πάλσ ζε έλα ηξαπέδη.

Σα ζώκαηα είλαη δεκέλα κεηαμύ ηνπο κε λήκα θαη αλάκεζά ηνπο ππάξρεη

ζπζπεηξσκέλν ειαηήξην. ηα ζώκαηα αζθνύληαη εμσηεξηθέο δπλάκεηο πνπ είλαη

γηα ην θάζε ζώκα ην βάξνο ηνπ θαη ε αληίδξαζε από ην ηξαπέδη. Μπνξνύλ

απηέο νη δπλάκεηο λα κεηαβάιινπλ ηελ νξκή ηνπ ζώκαηνο; Η απάληεζε είλαη

θαη πάιη αξλεηηθή δηόηη ε ζπληζηακέλε ηνπο είλαη ίζε κε κεδέλ. Άξα, γηα λα

κεηαβιεζεί ε νξκή ελόο ζώκαηνο ή ελόο ζπζηήκαηνο ζσκάησλ ζα πξέπεη όρη

κόλν λα αζθνύληαη εμσηεξηθέο δπλάκεηο, αιιά επηπιένλ λα κελ έρνπλ

ζπληζηακέλε ίζε κε ην κεδέλ.

Αλ ζε έλα ζύζηεκα ζσκάησλ ε ζπληζηακέλε εμσηεξηθή δύλακε είλαη κεδέλ,

ηόηε ην ζύζηεκα ιέγεηαη μονωμένο ή απομονωμένο.

Να ηνλίζνπκε εδώ όηη όηαλ ιέκε όηη ν νξκή ηνπ ζπζηήκαηνο παξακέλεη

ζηαζεξή, απηό δελ ζεκαίλεη όηη θαη νη νξκέο ησλ ζσκάησλ ηνπ ζπζηήκαηνο

παξακέλνπλ ζηαζεξέο. Θα πξέπεη λα θαηαλνήζνπκε όηη κπνξεί νη νξκέο ησλ

ζσκάησλ ηνπ ζπζηήκαηνο λα αιιάδνπλ, ελώ ε νξκή ηνπ ζπζηήκαηνο λα

παξακέλεη ζηαζεξή. Γηα παξάδεηγκα, ζην πξνεγνύκελν παξάδεηγκα είπακε όηη

ρήκα: Παξόιν ε νξκή

ησλ ζσκάησλ αιιάδεη, ε

νξκή ηνπ ζύζηήκαηνο

παξακέλεη ίζε κε κεδέλ.



δελ ππάξρεη θάπνηα κε ηζνδπγηζκέλε εμσηεξηθή δύλακε πνπ ζα κπνξνύζε λα

αιιάδεη ηελ νξκή ηνπ ζπζηήκαηόο. Ση γίλεηαη, όκσο αλ θόςνπκε ην λήκα;

Αλ θόςνπκε ην λήκα, ηα δύν ζώκαηα ζα αξρίζνπλ λα θηλνύληαη ζε αληίζεηεο

θαηεπζύλζεηο. Απηό ζεκαίλεη όηη ην ζύζηεκα ηνπο απνθηά νξκή; Όρη

απαξαίηεηα! Αλ κπνύκε ζηνλ θόπν λα θάλνπκε έλα ηέηνην πείξακα θαη λα

κεηξήζνπκε ηηο νξκή ησλ ζσκάησλ, ζα δνύκε όηη νη νξκέο πνπ απνθηνύλ ηα

δύν ζώκαηα είλαη αληίζεηεο κεηαμύ ηνπο. Άξα, παξόιν πνπ ηα ζώκαηα αξρίδνπλ

λα θηλνύληαη, ε νξκή ηνπ ζπζηήκαηνο ζπλερίδεη λα είλαη κεδέλ! Άξα, νη

εζσηεξηθέο δπλάκεηο, παξόιν πνπ αύμεζαλ ηελ θηλεηηθή ελέξγεηα θαη ην κέηξν

ηεο νξκήο ησλ δύν ζσκάησλ, δελ θαηάθεξαλ λα κεηαβάιινπλ ηελ νξκή ηνπ

ζπζηήκαηνο.

Όια ηα παξαπάλσ ζπλνςίδνληαη ζε κηα πξόηαζε πνπ είλαη γλσζηή σο αξρή

δηαηήξεζεο ηεο νξκήο, ζύκθσλα κε ηελ νπνία:

Αλ ζε έλα ζύζηεκα ζσκάησλ ε ζπληζηακέλε εμσηεξηθή δύλακε είλαη κεδέλ,

ηόηε ε νξκή ηνπ ζπζηήκαηνο παξακέλεη ζηαζεξή.

Απηόο ν λόκνο καο ιέεη όηη ε νξκή ελόο απνκνλσκέλνπ ζπζηήκαηνο ζσκάησλ

είλαη ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή ίζε κε ηελ αξρηθή νξκή ηνπ ζπζηήκαηνο. Η αξρή

δηαηήξεζεο ηεο νξκήο είλαη άκεζε ζπλέπεηα ηνπο δεύηεξνπ λόκνπ ηνπ

Νεύησλα, ζύκθσλα κε ηνλ νπνίν dp

F .dt

Γειαδή, από ην δεύηεξν λόκν ηνπ

Νεύησλα, αλ F 0, ηόηε dp dt 0 πνπ ζεκαίλεη όηη ε νξκή ηνπ ζπζηήκαηνο

παξακέλεη ζηαζεξή.

ην παξάδεηγκα κε ην ειαηήξην βιέπνπκε όηη έρνπκε κηα αύμεζε ηεο θηλεηηθήο

ελέξγεηαο ησλ ζσκάησλ ηνπ ζπζηήκαηνο. Παξόκνηα αύμεζε έρνπκε θαη ζηηο

εθξήμεηο ζσκάησλ. Η αύμεζε ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ησλ ζσκάησλ ηνπ

ζπζηήκαηνο ζε απηέο ηηο πεξηπηώζεηο νθείιεηαη ζην έξγν ησλ εζσηεξηθώλ

δπλάκεσλ πνπ αζθνύληαη ζηα ζώκαηα.

Με βάζε ηελ αξρή δηαηήξεζεο ηεο νξκήο κπνξνύκε λα εμεγήζνπκε πνηνηηθά

δηάθνξεο πεξηπηώζεηο θίλεζεο, όπσο παξαθάησ.

Κίνηση βάρκας με κουπιά

Καηά ηελ θίλεζε κηαο βάξθαο κε θνππηά, αζθνύκε κε ηα θνππηά κηα δύλακε

ζηα κόξηα ηνπ λεξνύ πξνο ηα πίζσ. Αλ ζεσξήζνπκε ην ζύζηεκα βάξθα-θνππηά-

λεξό, ηόηε νη δπλάκεηο πνπ αζθνύληαη κεηαμύ ηνπ θνππηώλ θαη ηνπ λεξνύ είλαη

εζσηεξηθέο θαη δελ κεηαβάιινπλ ηνπ νξκή ηνπ ζπζηήκαηνο. ύκθσλα κε ηελ

αξρή δηαηήξεζεο ηεο νξκήο ζα ηζρύεη:

αξρ ηει λεξνύ βάξθαο βαξθαο λεξνύp p 0 p p p p

δειαδή, ε βάξθα ζα θηλεζεί κε νξκή αληίζεηε ηεο νξκήο πνπ δίλνπκε ζην λεξό

κε ηα θνππηά.



Κίνηση βάρκας με προπέλα

Όκνηα κε πξηλ, ζεσξώληαο ην ζύζηεκα ην ζύζηεκα βάξθα-πξνπέια-λεξό, νη

δπλάκεηο κεηαμύ πξνπέιαο θαη λεξνύ είλαη εζσηεξηθέο θαη δελ κεηαβάινπλ ηελ

νξκή ηνπ ζπζηήκαηνο. Άξα από ηελ αξρή δηαηήξεζεο ηεο νξκήο, ε βάξθα ζα

θηλεζεί κε νξκή αληίζεηε ηεο νξκήο πνπ απνθηνύλ ηα λεξά θαζώο ηα ζπξώρλεη

ε πξνπέια ηεο βάξθαο πξνο ηα πίζσ.

Κίνηση αεριωθούμενου

Η θίλεζε ελόο αεξησζνύκελνπ αεξνπιάλνπ γίλεηαη ζπκπηέδνληαο θαη ζηε

ζπλέρεηα αθήλνληαο λα ειεπζεξσζνύλ πξνο ηα πίζσ κε κεγάιε ηαρύηεηα ηα

κόξηα ηνπ αέξα. Θεσξώληαο ην ζύζηεκα αεξνπιάλν-αέξαο ζαλ έλα ζύζηεκα,

ηόηε νη δπλάκεηο κεηαμύ ηεο ηνπξκπίλαο ηνπ αεξνπιάλνπ θαη ηνπ αέξα είλαη

εζσηεξηθέο, νπόηε δελ κπνξνύλ λα κεηαβάινπλ ηελ νξκή ηνπ ζπζηήκαηνο. Από

ηελ αξρή δηαηήξεζεο ηεο νξκήο ζα ηζρύεη:

αξρ ηει αέξα αεξνπιάλνπ αεξνπιάλνπ αέξαp p 0 p p p p

δειαδή, ην αεξνπιάλν ζα θηλεζεί κε νξκή αληίζεηε ηεο νξκήο πνπ δίλεη ζηα

κόξηα ηνπ αέξα θαζώο ηα ζπξώρλεη πξνο ηα πίζσ.

Προώθηση πυραύλου

Η πξνώζεζε ελόο ππξαύινπ γίλεηαη παξάγνληαο θάπνηα πνζόηεηα αεξηώλ

θαύζεο πνπ εθηνμεύνληαη από ην πίζσ κέξνο ηνπ ππξαύινπ κε κεγάιε

ηαρύηεηα. Θεσξώληαο όηη ν πύξαπινο βξίζθεηαη ζην δηάζηεκα θαη ζεσξώληαο

ηνλ πύξαπιν καδί κε ηα θαύζηκα σο έλα ζύζηεκα, ηόηε νη δπλάκεηο πνπ

αζθνύληαη κεηαμύ ηνπ ππξαύινπ θαη ησλ αεξίσλ ηεο θαύζεο είλαη εζσηεξηθέο

θαη δελ κεηαβάιινπλ ηελ νξκή ηνπ ζπζηήκαηνο. ύκθσλα κε ηελ αξρή

δηαηήξεζεο ηεο νξκήο ζα ηζρύεη:

αξρ ηει αεξίσλ αεξνπιάλνπ αεξνπιάλνπ αεξίσλp p 0 p p p p

δειαδή, ην πύξαπινο ζα θηλεζεί κε νξκή αληίζεηε ηεο νξκήο πνπ απνθηνύλ ηα

αέξηα ηεο θαύζεο θαζώο απνκαθξύλνληαη από ηελ πύξαπιν.

Ανάκρουση πυροβόλου όπλου

Όηαλ ππξνβνιήζνπκε κε έλα όπιν, ηόηε κέζσ ησλ αεξηώλ πνπ παξάγνληαη

κέζα ζηελ θάλε ηνπ όπινπ, ην βιήκα σζείηαη πξνο ηα εκπξόο. Αλ ζεσξήζνπκε

ην όπιν, θαη ην βιήκα ζαλ έλα ζύζηεκα, ηόηε νη δπλάκεηο κεηαμύ ηνπο είλαη

εζσηεξηθέο θαη δελ κεηαβάιινπλ ηελ νξκή ηνπ ζπζηήκαηνο. Από ηελ αξρή

δηαηήξεζεο ηεο νξκήο ζα ηζρύεη:

αξρ ηει όπινπ ζθαίξαο όπινπ ζθαίξαοp p 0 p p p p

δειαδή, ην όπιν κεηά ηε εθππξζνθξόηεζε απνθηά νξκή αληίζεηε ηεο νξκήο

ηεο ζθαίξαο. Απηό είλαη θάηη πνπ θπζηθά ην γλσξίδνπλ όζνη θαηαζθεπάδνπλ

όπια θαη γη’ απηό ηα όπια θηηάρλνληαη κε κεγάιε κάδα, ώζηε λα απνθηνύλ

κεγάιε νξκή κε πνιύ κηθξόηεξε ηαρύηεηα, ζε ζρέζε κε ηελ ηαρύηεηα ησλ

βιεκάησλ πνπ εθηνμεύνπλ.



Εφαρμογές της αρχής διατήρησης της ορμής

Κίνηση βάρκας

Θεσξνύκε έλαλ άλζξσπν κάδαο m πάλσ ζε κηα βάξθα κάδαο Μ. Αλ

ζεσξήζνπκε ακειεηέα ηελ ηξηβή ηνπ λεξνύ, ηόηε ζην ζύζηεκα άλζξσπνο-

βάξθα ε ζπληζηακέλε ησλ εμσηεξηθώλ δπλάκεσλ είλαη κεδέλ, νπόηε ην

ζύζηεκα άλζξσπνο-βάξθα είλαη κνλσκέλν. Δπεηδή ην ζύζηεκα είλαη κνλσκέλν,

αλ ν άλζξσπνο αξρίζεη λα θηλείηαη πάλσ ζηε βάξθα, ηόηε ε βάξθα ζα αξρίζεη λα

θηλείηαη θη απηή κε ηέηνην ηξόπν, ώζηε ην θέληξν κάδαο ηνπ ζπζηήκαηνο λα

παξακέλεη ζπλερώο αθίλεην.

Άζκηζη: Μηα βάξθα κάδαο m 240kg θαη κήθνπο 10m είλαη αθίλεηε ζε

κηα ήξεκε ιίκλε. Άλζξσπνο κάδαο 2m 60kg βξίζθεηαη ζην αξηζηεξό άθξν

ηεο βάξθαο θαη αξρίδεη λα θηλείηαη κε ζηαζεξή ηαρύηεηα πξνο ηα δεμηά. Όηαλ

θηάζεη ζην άιιν άθξν ε βάξθα έρεη κεηαθηλεζεί πξνο ηα αξηζηεξά θαηά 2m.

α) Να βξείηε ην θέληξν κάδαο ηνπ ζπζηήκαηνο άλζξσπνο – βάξθα πξηλ αξρίδεη

ν άλζξσπνο λα θηλείηαη.

β) Να βξείηε ην θέληξν κάδαο ηνπ ζπζηήκαηνο άλζξσπνο – βάξθα αθνύ ν

άλζξσπνο θηάζεη ζην άιιν άθξν.

γ) Να ζπγθξίλεηε θαη λα εξκελεύζεηε ηα απνηειέζκαηα πνπ βξήθαηε.

Λύση: Θεσξνύκε σο ζεκείν αλαθνξάο ην δεμί άθξν ηεο βάξθαο, όπσο θαίλεηαη

ζην ζρήκα. Θεσξνύκε όηη ην θέληξν κάδαο ηεο βάξθαο βξίζθεηαη αθξηβώο ζην

κέζν ηεο.

α) Αξρηθά ν άλζξσπνο απέρεη από ην ζεκείν αλαθνξάο απόζηαζε ίζε κε ην

κήθνο ηεο βάξθαο, ελώ ην θέληξν κάδαο ηεο βάξθαο απέρεη από ην ζεκείν

αλαθνξάο απόζηαζε ίζε κε ην κηζό ηνπ κήθνπο

ηεο. Οπόηε:

. .

m x m x 60 10 240 5x 6m

m m 60 240

β) ηε δεύηεξε πεξίπησζε ν άλζξσπνο απέρεη από

ην ζεκείν αλαθνξάο απόζηαζε ίζε κε 2m. Σν

θέληξν κάδαο ηεο βάξθαο, ιόγσ ηεο κεηαθίλεζεο

ηεο, απέρεη 7m από ην ζεκείν αλαθνξάο. Οπόηε:

. .

m x m x 60 2 240 7x 6m

m m 60 240

γ) Παξαηεξνύκε όηη ην θέληξν κάδαο ηνπ ζπζηήκαηνο παξακέλεη ην ίδην. Απηό

ζπκβαίλεη δηόηη ην ζύζηεκα άλζξσπνο – βάξθα είλαη κνλσκέλν, νπόηε ε νξκή

ηνπ ζπζηήκαηνο θαη ε ηαρύηεηα ηνπ θέληξνπ κάδαο παξακέλνπλ ζηαζεξά.

Δπεηδή αξρηθά ε βάξθα θαη ν άλζξσπνο ήηαλ αθίλεηνη, ε ηαρύηεηα ηνπ θέληξνπ

κάδαο ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη κεδέλ, θαη ζπλεπώο ην θέληξν κάδαο παξακέλεη

ζπλερώο αθίλεην. □



Αλ ν άλζξσπνο κεηαθηλεζεί κε ζηαζεξή ηαρύηεηα πξνο ηα δεμηά από ην έλα

άθξν ηεο βάξθαο ζην άιιν ηόηε ε βάξθα κεηαθηλεζεί πξνο ηα αξηζηεξά, νπόηε ε

κεηαηόπηζε ηνπ αλζξώπνπ ζα είλαη αΓx x, όπνπ ην κήθνο ηεο βάξθαο,

ελώ ε κεηαηόπηζε ηεο βάξθαο ζα είλαη βΓx x (πξνο ηα αξηζηεξά). Γηα ην

ζύζηεκα άλζξσπνο-βάξθα ζα ηζρύεη ε αξρή δηαηήξεζεο ηεο νξκήο, ζύκθσλα

κε ηελ νπνία:

βααξρ ηει α α β β α β

α α β β α β

α α β α β α

α

α β

ΓxΓxp p 0 m π m π 0 m m

Γt Γt

0 m Γx m Γx 0 m ( x) m ( x)

0 m m x m x (m m )x m

mx

m m

Άζκηζη: Μηα ζαλίδα κάδαο 1m 40kg θαη κήθνπο 10m βξίζθεηαη

αθίλεηε ζηελ ήξεκε επηθάλεηα κηαο ιίκλεο. Γπλαίθα κάδαο 2m 60kg

βξίζθεηαη αθίλεηε ζηε κηα άθξε ηεο ζαλίδαο. Να βξείηε ηε κεηαηόπηζε ηεο

ζαλίδαο σο πξνο ην λεξό, όηαλ ε γπλαίθα κεηαθηλεζεί θαη πάεη πξνο ην άιιν

άθξν ηεο. Οη αληηζηάζεηο ηνπ λεξνύ ζεσξνύληαη ακειεηέεο.

Λύση: Σν ζύζηεκα ζαλίδα-γπλαίθα είλαη κνλσκέλν δηόηη νη εμσηεξηθέο

δπλάκεηο (ηα βάξε ζαλίδαο θαη γπλαίθαο θαη ε άλσζε) έρνπλ ζπληζηακέλε

κεδέλ. Άξα ηζρύεη ε αξρή δηαηήξεζεο ηεο νξκήο, ζύκθσλα κε ηελ νπνία:

1 2αξρ ηει 1 1 2 2 1 2

1 1 2 2

Γx Γxp p 0 m π m π 0 m m

Γt Γt

0 m Γx m Γx

όπνπ 1 2π , π νη ηαρύηεηεο ηεο ζαλίδαο θαη ηεο ζαλίδαο αληίζηνηρα σο πξνο ην

λεξό. Αλ ε γπλαίθα κεηαθηλεζεί πξνο ηα δεμηά, ηόηε ε βάξθα ζα κεηαθηλεζεί

πξνο ηα αξηζηεξά, νπόηε αλ 1Γx x, ηόηε 2Γx x, όπνπ x ην κέηξν ηεο

κεηαηόπηζεο ηεο βάξθαο, άξα:

1 2 1 2 2 1 2 2

2

1 2

0 m ( x) m ( x) 0 m x m m x (m m )x m

m 40x x 10 4m

m m 60 40

Γειαδή, ε κεηαηόπηζε ηεο ζαλίδαο ζα είλαη 4 κέηξα πξνο ηα αξηζηεξά. □

Άζκηζη: Έλαο άλδξαο κάδαο 1m 80kg θαη κηα γπλαίθα κάδαο 2m 60kg

βξίζθνληαη αθίλεηνη ζηα άθξα κηαο βάξθαο κάδαο 3m 160kg θαη κήθνπο

12m, όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα. Κάπνηα ζηηγκή ν άλδξαο θαη ε γπλαίθα

αξρίδνπλ λα θηλνύληαη ν έλαο πξνο ηνλ άιιν. Να βξείηε:

α) ηελ ηαρύηεηα ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ ζπζηήκαηνο.

β) ην ζεκείν πάλσ ζηε βάξθα ζην νπνίν ζα ζπλαληεζνύλ



γ) ηε κεηαηόπηζε ηεο βάξθαο όηαλ ν άλδξαο θαη ε γπλαίθα ζα έρνπλ αληαιιάμεη

ζέζεηο.

Λύση: α) Σν ζύζηεκα ζαλίδα-γπλαίθα-άλδξαο είλαη κνλσκέλν δηόηη νη

εμσηεξηθέο δπλάκεηο (ηα βάξε ζαλίδαο θαη γπλαίθαο θαη ε άλσζε) έρνπλ

ζπληζηακέλε κεδέλ. Άξα ην θέληξν κάδαο ηνπο ζπζηήκαηνο παξακέλεη ζπλερώο

αθίλεην.

β) Οη δύν άλζξσπνη θηλνύληαη κε ηέηνην ηξόπν ώζηε ην θέληξν κάδαο ηνπ

ζπζηήκαηνο λα παξακέλεη αθίλεην, νπόηε ε ζπλάληεζή ηνπο ζα γίλεη θέληξν

κάδαο ηνπ ζπζηήκαηνο. Παίξλνληαο σο ζεκείν αλαθνξάο ην αξηζηεξό άθξν ηεο

βάξθαο θαη ζεσξώληαο όηη ην θέληξν βάξνπο ηεο βάξθαο βξίζθεηαη ζην θέληξν

ηεο, έρνπκε:

1 1 2 2 3 3

1 2 3

m x m x m x 80 0 60 12 160 6 1680x 5,6m

m m m 60 80 160 300

γ) ύκθσλα κε ηελ αξρή δηαηήξεζεο ηεο νξκήο:

31 2αξρ ηει 1 1 2 2 3 2 1 2 3

1 1 2 2 3 3

ΓxΓx Γxp p 0 m π m π m π 0 m m m

Γt Γt Γt

0 m Γx m Γx m Γx

Αλ ε βάξθα κεηαθηλεζεί πξνο ηα αξηζηεξά θαηά x θαη ζεσξώληαο σο ζεηηθή

θνξά πξνο ηα δεμηά, ηόηε 1Γx x, 2Γx x θαη 3Γx x, νπόηε:

1 2 3

1 1 2 2 3

1 2 3 1 2

1 2

1 2 3

0 m ( x) m ( x) m ( x)

0 m m x m m x m x

(m m m )x (m m )

m mx

m m m

Οπόηε ε κεηαηόπηζε ηεο βάξθαο ζα είλαη: 80 60

x 12 0,8m.80 60 160

Εκρήξεις

Καηά ηε δηάξθεηα κηαο έθξεμεο έλα ζώκα ζπάδεη ζε κηθξόηεξα θνκκάηηα.

Δπεηδή ε θξνύζε δηαξθεί πνιύ κηθξό ρξνληθό δηάζηεκα θαη νη εμσηεξηθέο

δπλάκεηο πνπ αζθνύληαη ζην ζύζηεκα είλαη πνιύ κηθξόηεξεο από ηηο

εζσηεξηθέο, κπνξνύκε λα αγλνήζνπκε ηηο εμσηεξηθέο δπλάκεηο θαη λα

ζεσξήζνπκε όηη ην ζύζηεκα είλαη κνλσκέλν, νπόηε ε νξκή δηαηεξείηαη

ζηαζεξή ακέζσο πξηλ θαη κεηά ηελ έθξεμε.

Όπσο ζα δνύκε θαη από ηα παξαδείγκαηα, ζε κηα έθξεμε απμάλεηαη ε θηλεηηθή

ελέξγεηα ηνπ ζπζηήκαηνο θαη απηό νθείιεηαη ζην έξγν ησλ εζσηεξηθώλ

δπλάκεσλ πνπ αλαπηύζζνληαη θαηά ηελ έθξεμε.



Ασκήσεις – κατηγορία α’

Ορμή

1) Ση νλνκάδνπκε νξκή πιηθνύ ζεκείνπ;

2) Ση νλνκάδνπκε νξκή ζπζηήκαηνο ζσκάησλ;

3) Δίλαη δπλαηόλ δύν ζώκαηα ίδηαο κάδαο πνπ θηλνύληαη κε ηαρύηεηα κέηξνπ

10m s λα έρνπλ δηαθνξεηηθέο νξκέο;

4) Ση έρεη κεγαιύηεξε νξκή: έλα βαξύ αθίλεην θνξηεγό ή έλα θηλνύκελν

κπαιάθη ηνπ πηλγθ-πόλγθ;

5) Γύν θηλεηά θηλνύληαη κε ηαρύηεηεο 20km h. Ση άιιν ρξεηάδεηαη λα

γλσξίδεηε γηα λα ζπκπεξάλεηε αλ νη νξκέο ηνπο είλαη ίζεο;

6) Μεηαβάιιεηαη ε νξκή ελόο ζώκαηνο πνπ εθηειεί νκαιή θπθιηθή θίλεζε;

Σχέση κινητικής ενέργειας – ορμής

7) Αλ έλα ζώκα έρεη κάδα m θαη νξκή κέηξνπ p, λα βξείηε ηελ θηλεηηθή

ελέξγεηα ηνπ ζώκαηνο ζε ζπλάξηεζε κε ηα κεγέζε m θαη p.

8) Να ζρεδηάζεηε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ελόο

ζώκαηνο κάδαο m ζε ζρέζε κε ηελ νξκή ηνπ.

9) Αλ δηπιαζηαζηεί ε νξκή ελόο ζώκαηνο, ηη παζαίλεη ε θηλεηηθή ηνπ ελέξγεηα;

Γηθαηνινγήζηε ηελ απάληεζή ζαο.

10) Γύν ζώκαηα έρνπλ κάδεο 1m θαη 2m , κε 1 2m m .

α) Αλ ηα δύν ζώκαηα έρνπλ ίζεο θηλεηηθέο ελέξγεηεο, πνην από ηα δύν έρεη

ηε κεγαιύηεξε θαηά κέηξν νξκή;

β) Αλ έρνπλ ίζεο νξκέο, πνην από ηα δύν έρεη ηε κεγαιύηεξε θηλεηηθή

ελέξγεηα;

11) Βξίζθεζαη απέλαληη από έλαλ ζπκκαζεηή ζνπ ν νπνίνο ζνπ ξίρλεη κηα

κπάια ηνπ κπάζθεη κε κηα ζπγθεθξηκέλε ηαρύηεηα θαη ηελ πηάλεηο. ηε

ζπλέρεηα ζνπ ξίρλεη κηα κπάια γπκλαζηηθήο κε δεθαπιάζηα κάδα από ηε

κάδα ηεο κπάιαο ηνπ κπάζθεη. Έρεηο ηξεηο επηινγέο. Μπνξείο λα δεηήζεηο

λα ζνπ ξίμεη ηε κπάια (α) κε ηελ ίδηα ηαρύηεηα, (β) κε ηελ ίδηα νξκή ή (γ)

κε ηελ ίδηα θηλεηηθή ελέξγεηα. Βάιε ζε ζεηξά ηηο επηινγέο απηέο αξρίδνληαο

από απηήλ πνπ είλαη επθνιόηεξν λα ζηακαηήζεηο, δειαδή πνπ ρξεηάδεηαη

ιηγόηεξε ελέξγεηα. Θεσξνύκε όηη ν ρξόλνο αθηλεηνπνίεζεο θαη ζηηο ηξεηο

πεξηπηώζεηο είλαη ν ίδηνο.

12) Έλα ειαθξύ θαη έλα βαξύ αληηθείκελν θηλνύληαη κε ηελ ίδηα νξκή. Γηα πνην

από ηα δύν αληηθείκελα ζα μνδέςνπκε κεγαιύηεξε ελέξγεηα γηα λα ην

αθηλεηνπνηήζνπκε; Δμεγήζηε.

13) α) Δίλαη δπλαηόλ έλα ζύζηεκα ζσκάησλ λα έρεη θηλεηηθή ελέξγεηα, ρσξίο λα

έρεη νξκή;



β) Δίλαη δπλαηόλ έλα ζύζηεκα ζσκάησλ λα έρεη νξκή, ρσξίο λα έρεη

θηλεηηθή ελέξγεηα;

γ) Δίλαη δπλαηόλ έλα ζηεξεό ζώκα λα έρεη θηλεηηθή ελέξγεηα, ρσξίο λα έρεη

νξκή;

Εσωτερικές – εξωτερικές δυνάμεις

14) Πνηεο δπλάκεηο ελόο ζπζηήκαηνο ιέγνληαη εζσηεξηθέο θαη πνηεο εμσηεξηθέο;

15) Πόηε έλα ζύζηεκα ζσκάησλ ιέγεηαη κνλσκέλν;

16) Δάλ όινη νη πνιίηεο ηεο Κίλαο (1,2 ρηιηάδεο εθαηνκκύξηα) ζηέθνληαλ ζηελ

άθξε ηνπ ηληθνύ Σείρνπο, θαη κ’ έλα πξόζηαγκα έθαλαλ όινη έλα βήκα

κπξνζηά θαη έπεθηαλ θάησ, απηή ε θξνύζε ζα κπνξνύζε λα αιιάμεη ηελ

ηαρύηεηα ηεο Γεο;

17) Να εμεγήζεηε αλ ζα θηλεζεί ην ζηδεξέλην ακαμάθη ηεο δηπιαλήο εηθόλαο.

18) Βξηζθόκαζηε ζε κηα βάξθα θαη δηαζέηνπκε έλαλ αλεκηζηήξα. ε πνηεο

πεξηπηώζεηο κπνξεί λα θηλεζεί ε βάξθα: (α) όηαλ ν αλεκηζηήξαο ιεηηνπξγεί

κέζα ζην λεξό, (β) όηαλ ιεηηνπξγεί ζηεξεσκέλνο ζην θαηάζηξσκα (γ) όηαλ

ιεηηνπξγεί ζην εζσηεξηθό ηεο βάξθαο. Δμεγήζηε ηη γίλεηαη ζε θάζε

πεξίπησζε.

Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα

19) Να δηαηππώζεηε ην δεύηεξν λόκν ηνπ Νεύησλα ζηε γεληθεπκέλε ηνπ κνξθή.

20) Να απνδείμεηε όηη ε ζρέζε F m α είλαη εηδηθή πεξίπησζε ηεο ζρέζεο

dpF .

dt

21) Πξέπεη λα πεδήμνπκε από έλαλ ςειό θξάθηε. Γηαηί είλαη πξνηηκόηεξν λα

ιπγίζνπκε ηα πόδηα καο όηαλ αξρίζνπκε λα αθνπκπάκε ζην έδαθνο;

Δμεγήζηε.

22) Αλ ηξαβήμνπκε απόηνκα πξνο ηα πάλσ κηα ζηδεξέληα κπάια πνπ είλαη

δεκέλε κε λήκα θαη βξίζθεηαη αθίλεηε ζην έδαθνο, ηόηε ην ζρνηλί κπνξεί λα

θνπεί, ελώ αλ ην ηξαβήμνπκε ζηγά – ζηγά, ηόηε έρεη κεγαιύηεξε πηζαλόηεηα

λα αληέμεη. Γηαηί ζπκβαίλεη απηό;

23) Μαο ξίρλεη θάπνηνο κηα κπάια κε κεγάιε ηαρύηεηα. Γηαηί είλαη πξνηηκόηεξν

λα έρνπκε ηα ρέξηα καο ηελησκέλα όηαλ ηελ πηάλνπκε;

24) Όηαλ πέζνπκε από ύςνο 10m ζην έδαθνο είλαη πνιύ πηζαλό λα

ζθνησζνύκε. Αληίζεηα, αλ πέζνπκε κέζα ζην λεξό (αλάινγα θαη κε ηνλ

ηξόπν πνπ πέθηνπκε) ηόηε δελ παζαίλνπκε θάηη. Πώο εμεγείηαη απηό;



25) Όηαλ ξίμνπκε έλα αβγό ζην έδαθνο, ην αβγό ζπάεη. Αλ ην ξίμνπκε πάλσ ζε

πνππνπιέλην καμηιάξη, ηόηε κπνξεί λα κελ ζπάζεη. Δμεγήζηε ην θαηλόκελν

απηό.

26) Μπάια ηνπ ηέληο θαη κπάια ηνπ γθνιθ θηλνύκελεο νξηδόληηα, θηππνύλ κε

ηελ ίδηα νξκή ζε θαηαθόξπθν ηνίρν θαη επηζηξέθνπλ πίζσ ρσξίο απώιεηα

ελέξγεηαο. Να ζπγθξίλεηε ηε κέζε δύλακε πνπ δέρεηαη ε θάζε κπάια από

ηνλ ηνίρν. Να δηθαηνινγήζεηε ηελ απάληεζή ζαο.

27) Γηαηί νη νξεηβάηεο πξνηηκνύλ ηα ζρνηληά από λάηινλ, πνπ έρνπλ κεγάιε

ειαζηηθόηεηα θαη ηεληώλνληαη ζεκαληηθά όηαλ ηξαβερηνύλ;

28) Καζώο θηλνύκαζηε ζηνλ απηνθηλεηόδξνκν κε κεγάιε ηαρύηεηα έλα έληνκν

ρηππά ζην ηδάκη ηνπ απηνθηλήηνπ.

α) Να ζπγθξίλεηαη ηε κεηαβνιή ηεο νξκήο ηνπ απηνθηλήηνπ κε ηε κεηαβνιή

ηεο νξκήο ηνπ εληόκνπ.

β) Να ζπγθξίλεηαη ηε κεηαβνιή ηεο ηαρύηεηαο ηνπ απηνθηλήηνπ κε ηε

κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο ηνπ εληόκνπ.

29) Έλα βαξύ θαη έλα ειαθξύ όρεκα ζπγθξνύνληαη.

α) Να ζπγθξίλεηε ην κέηξν ηεο κεηαβνιήο ηεο νξκήο ησλ δύν νρεκάησλ.

β) Να ζπγθξίλεηε ηε κεηαβνιή ηεο ηαρύηεηαο ησλ δύν νρεκάησλ.

γ) Να ζπγθξίλεηε ηε κέζε δύλακε πνπ δέρεηαη ν θάζε νδεγόο.

30) Έλα θνξησκέλν θνξηεγό θαη έλα κηθξό απηνθίλεην ηα νπνία θηλνύληαη ζε

έλα δξόκν κε ηαρύηεηεο ίζνπ κέηξνπ θαη αληίζεηεο θνξάο, ζπγθξνύνληαη

κεησπηθά θαη πιαζηηθά. Γηαηί ν νδεγόο ηνπ κηθξνύ απηνθηλήηνπ

ηξαπκαηίζηεθε πεξηζζόηεξν από ηνλ νδεγό ηνπ θνξηεγνύ; [ΤΤ – 2007]

31) Τπνζέηνπκε όηη ν άλεκνο πέθηεη πάλσ ζηνλ ηνίρν ελόο ζπηηηνύ θαη

κεδελίδεηαη ε ηαρύηεηά ηνπ. Αλ δηπιαζηαζηεί ε ηαρύηεηα ηνπ αλέκνπ πνπ

πέθηεη πάλσ ζηνλ ηνίρν, πώο ζα αιιάμεη ε δύλακε πνπ δέρεηαη ν ηνίρνο;

32) Γηαηί είλαη πξνηηκόηεξν όηαλ θάπνηνο πάεη λα καο θηππήζεη π.ρ. κε έλα

μύιν, λα θηλεζνύκε πξνο ηε θαηεύζπλζε ηεο θίλεζεο ηνπ μύινπ, παξά

αληίζεηα;

33) Γύν πέηξεο ίζεο κάδαο αθήλνληαη από ην ίδην ύςνο. Η πξώηε πέθηεη θαη

θνιιά ζην έδαθνο. Η δεύηεξε πέθηεη θαη αλαπεδά. Αλ ν ρξόλνο ησλ δύν

θξνύζεσλ είλαη ν ίδηνο, πνηα από ηηο δύν δέρηεθε ηε κεγαιύηεξε δύλακε

από ην έδαθνο;

34) Έρνπκε δύν ζθαίξεο, κία κεηαιιηθή θαη κία από ειαζηηθό πιηθό. Οη δύν

ζθαίξεο έρνπλ ηελ ίδηα κάδα θαη κπνξνύλ λα εθηνμεπηνύλ κε ηελ ίδηα

ηαρύηεηα. Ππξνβνινύκε κε απηέο έλα όξζην θνύηζνπξν. Πνηα από ηηο δύν

ζθαίξεο είλαη πηζαλόηεξν λα αλαζηξέςεη ην θνύηζνπξν; Δμεγήζηε.

35) Παιαηόηεξα ηα απηνθίλεηα θαηαζθεπάδνληαλ από ρνληξή ιακαξίλα κε

απνηέιεζκα (ζε αληίζεζε κε ηα θαηλνύξγηα) λα κελ θαηαζηξέθνληαη ζηηο



ζπγθξνύζεηο. ήκεξα ππάξρνπλ εηδηθέο «δώλεο» πνπ ιπγίδνπλ όηαλ γίλεη

θάπνηα ζύγθξνπζε. Πνην είλαη ην πιενλέθηεκα απηνύ ηνπ λένπ ζρεδηαζκνύ;

36) Αο ζεσξήζνπκε ην θαξνηζάθη ηνπ ζρήκαηνο πάλσ ζην νπνίν ιεηηνπξγεί

έλαο αλεκηζηήξαο θαη όινο ν αέξαο πνπ ζπξώρλεη ν αλεκηζηήξαο πέθηεη

πάλσ ζην παλί. Να εμεγήζεηε αλ ην θαξνηζάθη ηνπ ζρήκαηνο ζα θηλεζεί

πξνο ηα δεμηά, πξνο ηα αξηζηεξά ή αλ ζα παξακείλεη αθίλεην γλσξίδνληαο

όηη:

α) ε ηαρύηεηα ηνπ αέξα κεδελίδεηαη ακέζσο κόιηο πέζεη πάλσ ζην παλί.

β) ν αέξαο πέθηεη πάλσ ζην παλί θαη ζηε ζπλέρεηα σζείηαη πξνο ηα πίζσ,

θαζώο θηάλνπλ ζπλερώο λέεο κάδεο αέξα από ηνλ αλεκηζηήξα.


37) Να δηαηππώζεηε ηελ αξρή δηαηήξεζεο ηεο νξκήο.

38) Γύν κπάιεο ηνπ κπηιηάξδνπ θηλνύληαη κε ηαρύηεηα 10 m s θαη

ζπγθξνύνληαη κεησπηθά.

(α) Αλ κεηά ηε ζύγθξνπζε θηλνύληαη πξνο ηελ ίδηα θαηεύζπλζε, έρνληαο ε

θαζεκηά ηαρύηεηα 10 m s, όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα, πνηα αξρή ηεο

θπζηθήο ζα παξαβηάδνληαλ; Δμεγήζηε.

(β) Αλ κεηά ηε ζύγθξνπζε νη δύν ζθαίξεο θηλνύληαλ ζε αληίζεηεο

θαηεπζύλζεηο κε ηαρύηεηεο 15m s, πνηα αξρή ηεο θπζηθήο ζα

παξαβηάδνληαλ; Δμεγήζηε.

39) Ρίρλνπκε έλα ζώκα θαηαθόξπθα πξνο ηα πάλσ. Όηαλ ην ζώκα είλαη ζε

άλνδν ην κέηξν ηεο νξκήο ηνπ κεηώλεηαη θαη όηαλ είλαη ζε θάζνδν ην κέηξν

ηεο νξκήο ηνπ απμάλεηαη. Δμεγήζηε αλ κπνξεί λα εθαξκνζηεί ε αξρή

δηαηήξεζεο ηεο νξκήο. [ΤΤ – 2007]

40) Βαγόλη ηξέλνπ είλαη αθίλεην. Μεηαμύ ησλ ζηδεξνηξνρηώλ θαη ησλ ηξνρώλ

ηνπ βαγνληνύ, νη ηξηβέο είλαη ακειεηέεο. Καλόλη πνπ είλαη ζηεξεσκέλν ζην

δάπεδν ηνπ βαγνληνύ ξίρλεη βιήκα πνπ ζθελώλεηαη ζην απέλαληη ηνίρσκα.

Να κειεηήζεηε ηελ θηλεηηθή θαηάζηαζε ηνπ βαγνληνύ από ηε ζηηγκή ηεο

εθηόμεπζεο κέρξη ηε ζηηγκή πνπ ην βιήκα ζθελώλεηαη ζην ηνίρσκα.

41) Ση ζπκβαίλεη κε ηελ ηαρύηεηα ελόο καρεηηθνύ αεξνπιάλνπ πνπ αλνίγεη ππξ

θαηαδηώθνληαο θάπνην άιιν; Ση ζπκβαίλεη κε ην άιιν όηαλ αληαπνδίδεη ηα

ππξά;

42) ην ζρήκα νη δύν ζθαίξεο θηλνύληαη κε θάζεηεο δηεπζύλζεηο θαη

ζπγθξνύνληαη, νπόηε ε ηαρύηεηα ηεο ζθαίξαο πνπ θηλνύληαλ νξηδόληηα

αληηζηξέθεηαη, όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα. Πνην από ηα δηαλύζκαηα 1,2,3,4

αλαπαξηζηά ηελ ηαρύηεηα ηεο άιιεο ζθαίξαο κεηά ηελ θξνύζε;

43) Γηαηί αλ αθήζνπκε έλα θνπζθσκέλν αιιά άδεην κπαιόλη ειεύζεξν απηό

θηλείηαη κέζα ζην δσκάηην;



44) Έλα άλζξσπνο ληπκέλνο βαξηά βξίζθεηαη ζηε κέζε κηαο παγσκέλεο ιίκλεο.

Σα παπνύηζηα ηνπ δελ παξνπζηάδνπλ θαζόινπ ηξηβή κε ηνλ πάγν. Ο

άλζξσπνο πξέπεη λα πάεη ζηελ αθηή. Ση πξέπεη λα θάλεη;

45) ηα πόδηα καο θνξάκε παηίληα θαη ζηα ρέξηα καο θξαηάκε κηα κπάια. Αλ

πεηάμνπκε ηελ κπάια πξνο ηα εκπξόο, ηόηε ζα θηλεζνύκε πξνο ηα πίζσ κε

νξκή ίζε θαηά κέηξν κε ηελ νξκή ηεο κπάιαο. Αλ θάλνπκε ηελ θίλεζε πσο

πεηάκε ηελ κπάια, ρσξίο λα ηελ πεηάμνπκε, πξνο ηα πνύ ζα θηλεζνύκε;

46) Σξεηο αζηξνλαύηεο βξίζθνληαη ζην δηάζηεκα έμσ από ην δηαζηεκόπινηό

ηνπο. Οη δύν απνθαζίδνπλ λα «παίμνπλ κπάια» ηνλ ηξίην. Να πεξηγξάςεηε

ηελ θίλεζε ησλ αζηξνλαπηώλ.

47) Γηαηί ηα πηζηόιηα είλαη βαξηά; Γηαηί κέρξη ηώξα δελ ζθέθηεθε θάπνηνο λα

βγάιεη ζηελ αγνξά έλα πηζηόιη κε πνιύ κηθξή κάδα (π.ρ. ίζε πεξίπνπ κε ηε

κάδα κηαο ζθαίξαο), ώζηε λα κπνξεί λα κεηαθεξζεί πην εύθνια;

48) Θεσξήζηε έλα αλνηθηό θαξνηζάθη πνπ θηλείηαη ζε νξηδόληην δάπεδν ρσξίο

ηξηβέο. πγρξόλσο πέθηεη δπλαηή βξνρή κε θαηαθόξπθε δηεύζπλζε πξνο ηα

θάησ. Δμεηάζηε πσο ε ζπζζώξεπζε λεξνύ ζην εζσηεξηθό ηνπ θαξνηζηνύ

επεξεάδεη ηελ ηαρύηεηά ηνπ.

49) Έλα θαξόηζη γεκάην κε λεξό θηλείηαη ρσξίο ηξηβέο πάλσ ζε νξηδόληην

δάπεδν. Καζώο θηλείηαη ην θαξόηζη, ην λεξό ρύλεηαη ζην δάπεδν από κηα

ηξύπα πνπ ππάξρεη ζηε βάζε ηνπ θαξνηζηνύ. Να εμεηάζεηε θαηά πόζν ην

γεγνλόο απηό επεξεάδεη ηελ ηαρύηεηα ηνπ θαξνηζηνύ.

50) ηνλ θηλεκαηνγξάθν, ν νύπεξκαλ αησξείηαη αθίλεηνο ζηνλ αέξα, αξπάδεη

έλαλ θαθνπνηό από ην ιαηκό θαη ηνλ εθζθελδνλίδεη. Παξ’ όια απηά ν

νύπεξκαλ παξακέλεη αθίλεηνο. Δμεγήζηε κε βάζε ηελ αξρή δηαηήξεζεο

ηεο νξκήο ηη είλαη ιάζνο κε απηή ηε ζθελή.

51) Έλαο βαξθάξεο ζηέθεηαη ζηελ πιώξε κηαο βάξθαο, ε νπνία είλαη αθίλεηε

σο πξνο ηελ αθηή. ηε ζπλέρεηα ν βαξθάξεο αξρίδεη λα θηλείηαη θαηά κήθνο

ηεο βάξθαο, πξνο ηελ πξύκλε. Αλ ε αληίζηαζε ηνπ λεξνύ είλαη ακειεηέα, ζα

θηλεζεί ε βάξθα; Θα θηλεζεί ην θέληξν κάδαο ηνπ ζπζηήκαηνο βαξθάξεο –

βάξθα;

52) Έλα ζώκα εξεκεί θαη έλα δεύηεξν ζπγθξνύεηαη κεησπηθά κε απηό. Δίλαη

δπλαηό λα παξακείλνπλ θαη ηα δύν αθίλεηα κεηά ηελ θξνύζε; Δίλαη δπλαηόλ

ην έλα από ηα δύν λα παξακείλεη αθίλεην κεηά ηελ θξνύζε; Να

δηθαηνινγήζεηε ηελ απάληεζή ζαο.

53) Έλα αλνηθηό δνρείν θηλείηαη πάλσ ζε πάγν κε ακειεηέα ηξηβή. Αλ ηελ ώξα

πνπ θηλείηαη βξέρεη θαη καδεύεηαη λεξό ζην εζσηεξηθό ηνπ, λα εμεγήζεηε ηη

ζπκβαίλεη κε ηελ ηαρύηεηά ηνπ. Τπνζέηνπκε όηη ε βξνρή πέθηεη θάζεηα

κέζα ζην δνρείν.

54) Ση λνκίδεηαη όηη ζα ήηαλ νξζόηεξν από πιεπξάο παζεηηθήο αζθάιεηαο, λα

θαηαζθεπάδνληαη απηνθίλεηα έηζη ώζηε νη ζπγθξνύζεηο λα είλαη ειαζηηθέο ή

κε–ειαζηηθέο;



55) Ιζρύεη ε αξρή δηαηήξεζεο ηεο νξκήο γηα έλα όρεκα πνπ θξελάξεη;

56) Σν βιήκα κάδαο m ζθελώλεηαη ζην μύιν. Σν ζύζηεκα βιήκα-μύιν είρε

αξρηθά νξκή 0p mπ , ελώ ακέζσο κεηά ε νξκή είλαη κεδέλ. Γηαηί ζηελ

πεξίπησζε απηή δελ ηζρύεη ε αξρή δηαηήξεζεο ηεο νξκήο;

Ασκήσεις – κατηγορία β’

Ορμή

57) ώκα κάδαο 5kg, θηλείηαη ζε νξηδόληην επίπεδν θαηά κήθνο ηνπ άμνλα Ορ

κε ηαρύηεηα 3m s. Γεύηεξν ζώκα κάδαο 2kg, θηλείηαη θαηά κήθνο ηνπ

ίδηνπ άμνλα κε αληίζεηε θνξά θαη κε ηαρύηεηα 2,5m s. Να βξεζνύλ:

α) ε νιηθή νξκή ηνπ ζπζηήκαηνο.

β) ε ηαρύηεηα ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ ζπζηήκαηνο ησλ δύν ζσκάησλ.

Απ: (α) 10 kgm/s (β) 1,43 m/s

58) Έλα όρεκα, ζπλνιηθήο κάδαο m 1200kg, θηλείηαη κε ηαρύηεηα

1π 30m s όηαλ μαθληθά ν νδεγόο θξελάξεη ώζπνπ ην όρεκα λα

απνθηήζεη ηαρύηεηα 2π 12m s. Να βξεζεί ε κεηαβνιή ηεο νξκήο ηνπ.

Απ: -21600kgm/s

59) ηηο ηξεηο πεξηπηώζεηο πνπ αθνινπζνύλ λα βξείηε ηε κεηαβνιή ηεο νξκήο

ησλ ζσκάησλ.

α) Έλα ζώκα κάδαο m 5kg θηλείηαη νξηδόληηα κε ηαρύηεηα 8m s πέθηεη

πάλσ ζε θαηαθόξπθν ηνίρν θαη πξνζθνιιάηαη ζε απηόλ.

β) Έλα ζώκα κάδαο m 5kg θηλείηαη νξηδόληηα κε ηαρύηεηα 8m s πέθηεη

πάλσ ζε θαηαθόξπθν ηνίρν θαη επηζηξέθεη κε ηαρύηεηα 6m s.

γ) Έλα ζώκα κάδαο m 5kg θηλείηαη νξηδόληηα κε ηαρύηεηα 8m s, θηππά

πάλσ πιάγην ηνίρσκα θαη ε ηαρύηεηά ηνπ γίλεηαη θαηαθόξπθε κέηξνπ

6m s.

Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα

60) Πνδνζθαηξηζηήο θηππά κηα αξρηθά αθίλεηε κπάια κάδαο m 0,5kg. Αλ ν

ρξόλνο επαθήο ηνπ πνδηνύ κε ηελ κπάια είλαη Γt 0,02s θαη ε ηαρύηεηα

πνπ απνθηά ε κπάια είλαη π 25m s, λα βξείηε:

α) ηε κεηαβνιή ηεο νξκήο ηεο κπάιαο,

β) ηε κέζε δύλακε πνπ αζθήζεθε ζηε κπάια.



61) Μπαιάθη ηνπ ηέληο, κάδαο m 200g, θηππά νξηδόληηα ζε θαηαθόξπθν

ηνίρν κε ηαρύηεηα 1π 30m s θαη επηζηξέθεη νξηδόληηα κε ηαρύηεηα

2π 18m s. Να βξείηε:

α) ηε κεηαβνιή ηεο νξκή ηνπ, ιόγσ ηεο ζύγθξνπζεο κε ηνλ ηνίρν

β) ηε κέζε δύλακε πνπ αζθεί ν ηνίρνο ζην κπαιάθη εάλ ε επαθή δηαξθεί

Γt 0,02s.

62) Βιήκα κάδαο m 0,5kg, πνπ θηλείηαη νξηδόληηα κε ηαρύηεηα 1π 50m s,

δηαπεξλά αθιόλεηε θαηαθόξπθε ζαλίδα θαη βγαίλεη κε νξηδόληηα ηαρύηεηα

2π 30m s. Σν ρξνληθό δηάζηεκα πνπ ην βιήκα θηλήζεθε κέζα ζηε ζαλίδα

είλαη Γt 0,04s. Να βξείηε ηε κέζε δύλακε πνπ δέρηεθε ην βιήκα από ηε

ζαλίδα.

63) θαίξα κάδαο m 2kg θηππά ζε νξηδόληην δάπεδν κε θαηαθόξπθε

ηαρύηεηα 1π 12m s θαη αλαπεδά κε ηαρύηεηα 2π 8m s. Η δηάξθεηα

επαθήο ηεο ζθαίξαο κε ην δάπεδν είλαη Γt 0,05s. Να βξείηε:

α) ηε κεηαβνιήο ηεο νξκήο ηεο ζθαίξαο,

β) ηε κέζε δύλακε πνπ δέρεηαη ε ζθαίξα από ην δάπεδν.

Απ: (α) 40kgm s , (β) 820N πξνο ηα πάλσ

64) Έλαο άλζξσπνο κάδαο m 80kg πέθηεη από ύςνο h 1,8m, ηε κηα θνξά

πάλσ ζε ηζηκέλην, νπόηε ν ρξόλνο πνπ ρξεηάδεηαη γηα λα γηα λα κεδεληζηεί ε

ηαρύηεηά ηνπ είλαη 0,1s θαη ηελ άιιε πάλσ ζηελ άκκν, νπόηε ν ρξόλνο γηα

λα κεδεληζηεί ε ηαρύηεηά ηνπ είλαη 0,5s. Να ππνινγηζηεί ε κέζε δύλακε

πνπ δέρεηαη θάζε θνξά ν άλζξσπνο από ην δάπεδν. Γίλεηαη: 2g 10m s .

65) Έλα βιήκα έρεη κάδα m 0,05kg θαη θηλείηαη νξηδόληηα κε ηαρύηεηα

π 400m s πξηλ ζθελσζεί ζε θαηαθόξπθν θνξκό δέληξνπ. Αλ ην βιήκα

ζηακάηεζε ζε βάζνο 8cm λα ππνινγίζεηε:

α) ηελ αξρηθή νξκή θαη θηλεηηθή ελέξγεηα ηνπ βιήκαηνο.

β) ηελ αληίζηαζε ηνπ μύινπ, αλ ζεσξεζεί όηη απηή είλαη ζηαζεξή.

γ) ηε ρξνληθή δηάξθεηα ηεο θίλεζεο ηνπ βιήκαηνο κέζα ζηνλ θνξκό.

Απ: (α) 20kgm s, 4kJ, (β) 45 10 N, (γ) 44 10 s

66) Έλα ζώκα κάδαο m 0,2 βάιιεηαη θαηαθόξπθα πξνο ηα πάλσ από ην

έδαθνο κε ηαρύηεηα π 20m s. Σν ζώκα θηππά ζην μύιηλν ηαβάλη θαη



αθηλεηνπνηείηαη ζε ρξόλν Γt 0,4s. Αλ ην ηαβάλη έρεη ύςνο h 3,8m λα

βξείηε ηε κέζε δύλακε πνπ αζθήζεθε ζην βιήκα από ην ηαβάλη.

67) Με έλα ιάζηηρν λεξνύ εθηνμεύνπκε λεξό ην νπνίν θηππά νξηδόληηα ζε

θαηαθόξπθν ηνίρν κε ηαρύηεηα 1,5m s. Μεηά ηελ πξόζθξνπζε ην λεξό

θηλείηαη θαηαθόξπθα (παξάιιεια κε ηνλ ηνίρν). Αλ ζε θάζε δεπηεξόιεπην

πέθηνπλ πάλσ ζηνλ ηνίρν 20g λεξνύ, λα ππνινγίζεηε ηε δύλακε πνπ αζθεί

ην λεξό ζηνλ ηνίρν.

Απ: 0,03Ν

68) Έλα ζώκα κάδαο m 2kg ην νπνίν αξρηθά εξεκεί αξρίδεη λα

θηλείηαη κε ηελ επίδξαζε δύλακεο ζηαζεξή δηεύζπλζεο. Με ηελ

επίδξαζε ηεο δύλακεο απηήο ε ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο κεηαβάιιεηαη

ζε ζρέζε κε ην ρξόλν, όπσο θαίλεηαη ζην δηπιαλό ζρήκα.

α) Να θαηαζθεπάζεηε ηα αληίζηνηρα δηαγξάκκαηα F f (t) θαη

F f (x).

β) Να ππνινγίζεηε ηε κεηαβνιή ηεο νξκήο θαη ηε κεηαβνιή ηεο θηλεηηθήο

ελέξγεηαο ηνπ ζώκαηνο γηα ηα ρξνληθά δηαζηήκαηα (i) (0 10)s θαη (ii)

(10 50)s .

γ) Να θάλεηε ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο P f (t) θαη θηλE f (t).

69) Έλα βιήκα κάδαο m 15g πνπ θηλείηαη θαηαθόξπθα πξνο ηα πάλσ κε

ηαρύηεηα 200m s κπαίλεη κέζα ζε θιαδί δέληξνπ θαη ζηακαηά αθνύ

δηαλύζεη απόζηαζε 10cm κέζα ζε απηόλ.

α) Πόζε είλαη ε κέζε δύλακε αζθεί ν θνξκόο ζην βιήκα;

β) Πόζν ρξόλν θηλείηαη ην βιήκα κέζα ζηνλ θνξκό κέρξη λα ζηακαηήζεη;

Απ: (α) 29,85Ν, (β) 0,1s

70) Έλαο καζεηήο κάδαο 60kg πέθηεη ειεύζεξα από ύςνο h θαη θηππά ζην

έδαθνο. Η δηάξθεηα ηεο θξνύζεο κε ην έδαθνο είλαη 0,15s, ελώ ε κέζε

δύλακε πνπ δέρεηαη από ην έδαθνο είλαη 2200N πξνο ηα πάλσ. Να βξείηε

ην ύςνο από ην νπνίν έπεζε ν καζεηήο.

Απ: 0,8m

71) Μία νξηδόληηα δέζκε λεξνύ θηππά ζε αθίλεηε εκηθπθιηθή ιεπίδα, όπσο

θαίλεηαη ζην ζρήκα κε ηαρύηεηα 12m s θαη επηζηξέθεη κε αληίζεηε

ηαρύηεηα. Η κάδα ηνπ λεξνύ πνπ θηππά ζηε ιεπίδα είλαη 25kg s. Να βξείηε

ηε κέζε δύλακε πνπ αζθεί ην λεξό ζηε ιεπίδα.

Απ: 600Ν



72) Μία ζθαίξα κάδαο 500g αθήλεηαη λα πέζεη από ύςνο 51,2cm από ην

έδαθνο. Η ζθαίξα θηππά ζην έδαθνο θαη θαηά ηελ αλαπήδεζε θηάλεη ζε

ύςνο 20cm. Αλ ε δηάξθεηα επαθήο ηεο ζθαίξαο κε ην έδαθνο είλαη 0,02s,

λα βξείηε:

α) ηε κέζε νιηθή δύλακε πνπ δέρεηαη ε ζθαίξα θαηά ηελ επαθή ηεο κε ην

έδαθνο.

β) ηε κέζε δύλακε πνπ δέρεηαη ην έδαθνο από ηελ ζθαίξα θαηά ηελ επαθή

ηεο κε απηό.

γ) ηελ απώιεηα ηεο ελέξγεηαο θαηά ηελ θξνύζε ηεο ζθαίξαο κε ην έδαθνο.

Απ: (α) 65Ν, (β) 70Ν, (γ) 39J

73) Έλα άδεην θνξηεγό βξίζθεηαη πάλσ ζε δπγαξηά θαη θνξηώλεηαη κε άκκν. Η

άκκνο πέθηεη θαηαθόξπθα από ύςνο 2m πάλσ από ηελ θαξόηζα ηνπ

θνξηεγνύ ρσξίο λα αλαπεδά κε ξπζκό 45kg s. Αλ ε έλδεημε ηεο δπγαξηάο

10s αθόηνπ άξρηζε λα θνξηώλεηαη ην θνξηεγό είλαη 7800kg, Να βξείηε ηε

κάδα ηνπ θνξηεγνύ.

Απ: 6tn

74) Η νξκή ελόο ζώκαηνο κάδαο m 1kg κεηαβάιιεηαη όπσο θαίλεηαη ζην

δηάγξακκα. Η αξρηθή θαη ε ηειηθή νξκή έρνπλ ηελ ίδηα θαηεύζπλζε.

α) Να θάλεηε ην αληίζηνηρν δηάγξακκα ηαρύηεηα-ρξόλνπ π f (t).

β) Να θάλεηε ην αληίζηνηρν δηάγξακκα δύλακεο-ρξόλνπ πνπ δέρεηαη ην

ζώκα F f (t).

75) Έλα ζώκα κάδαο 10kg εξεκεί πάλσ ζε ιείν νξηδόληην επίπεδν θαη ηε

ρξνληθή ζηηγκή t 0 αξρίδεη λα δέρεηαη ηελ επίδξαζε νξηδόληηαο δύλακεο

F, πνπ κεηαβάιιεηαη κε ην ρξόλν όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα.

α) Να βξείηε ηελ ηαρύηεηα πνπ απνθηά ην ζώκα ηε ρξνληθή

ζηηγκή t 8s.

β) Να βξείηε ηε κέγηζηε ηαρύηεηα πνπ απνθηά ην ζώκα.

γ) Σε ρξνληθή ζηηγκή t 8s, ην ζώκα ζπγθξνύεηαη θεληξηθά θαη

πιαζηηθά κε αθίλεην ζώκα δηπιάζηαο κάδαο. Να ππνινγίζεηε ην

πνζνζηό ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ηνπ ζώκαηνο πνπ ζα

κεηαβηβαζηεί ζην δεύηεξν ζώκα.

δ) Δάλ ην νξηδόληην επίπεδν δελ ήηαλ ιείν, αιιά ν ζπληειεζηήο ηξηβήο

νιίζζεζεο κεηαμύ ηεο θάησ επηθάλεηαο ηνπ ζώκαηνο θαη ηνπ νξηδόληηνπ

επηπέδνπ ήηαλ ίζνο κε ην ζπληειεζηή ζηαηηθήο ηξηβήο κεηαμύ ησλ δύν

επηθαλεηώλ θαη ίζνο κε 0,4, λα βξείηε πνπ ζα ήηαλ ε απάληεζε ηνπ

εξσηήκαηνο (β).

Απ: (α) 24m s, (β) 36m s, (γ) 22,2%, (δ) 16m s



Παγθύπξηα νιπκπηάδα θπζηθήο, 2007

76) ώκα έρεη κάδα m 1kg θαη θηλείηαη επζύγξακκα κε ζηαζεξή ηαρύηεηα

0π 20m s πάλσ ζε ιείν νξηδόληην επίπεδν. Σε ρξνληθή ζηηγκή t 0s

εθαξκόδεηαη ζην ζώκα δύλακε ίδηαο δηεύζπλζεο θαη αληίζεηεο θνξάο κε ηελ

θίλεζή ηνπ. Η δύλακε δίλεηαη από ηε ζρέζε 13

F t, (t ζε s, F ζε N).

α) Να γίλεη ην δηάγξακκα ηεο δύλακεο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν F f (t)

γηα ηα πξώηα 6s ηεο θίλεζήο ηνπ.

β) Να ππνινγηζηεί ε κεηαβνιή ηεο νξκή ηνπο ζώκαηνο.

γ) Να ππνινγηζηεί ε ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο ηεο ρξνληθή ζηηγκή t 6s.

δ) Να ππνινγηζηεί ην έξγν ηεο δύλακεο θαηά ηε δηάξθεηα ησλ πξώησλ 6s

ηεο θίλεζήο ηνπ.

Απ: (β) 6kgm s, (β) 14m s, (γ) 102J


77) ηελ άθξε κηαο αθίλεηεο βάξθαο κε κάδα M 120kg θαη κήθνο s 6m,

ζηέθεηαη έλαο άλζξσπνο κε κάδα m 60kg. Να ππνινγίζεηε πόζν ζα

θηλεζεί ε βάξθα, αλ ν άλζξσπνο θηλεζεί από ηε κηα άθξε ηεο βάξθαο ζηελ

άιιε. Οη ηξηβέο κεηαμύ βάξθαο θαη λεξνύ ζεσξνύληαη ακειεηέεο.

78) Μηα βάξθα κάδαο m 240kg θαη κήθνπο 10m είλαη αθίλεηε ζε κηα

ήξεκε ιίκλε. Άλζξσπνο κάδαο 2m 60kg βξίζθεηαη ζην αξηζηεξό άθξν

ηεο βάξθαο θαη αξρίδεη λα θηλείηαη κε ζηαζεξή ηαρύηεηα πξνο ηα δεμηά.

Όηαλ θηάζεη ζην άιιν άθξν ε βάξθα έρεη κεηαθηλεζεί πξνο ηα αξηζηεξά

θαηά 2m.

α) Να βξείηε ηε ζέζε ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ ζπζηήκαηνο άλζξσπνο –

βάξθα πξηλ αξρίδεη ν άλζξσπνο λα θηλείηαη.

β) Να βξείηε ηε ζέζε ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ ζπζηήκαηνο άλζξσπνο –

βάξθα αθνύ ν άλζξσπνο θηάζεη ζην άιιν άθξν.

γ) Να ζπγθξίλεηε θαη λα εξκελεύζεηε ηα απνηειέζκαηα πνπ βξήθαηε.

δ) Πόζε είλαη ε ζπλνιηθή νξκή ηνπ ζπζηήκαηνο όηαλ ν άλζξσπνο βξίζθεηαη

ζην κέζν ηεο βάξθαο;

79) Έλα παηδί κάδαο 40kg, ζηέθεηαη ζηελ πξύκλε (πίζσ κέξνο) κηαο βάξθαο

κάδαο 70kg θαη κήθνπο 4m. ηελ αξρή ε βάξθα είλαη αθίλεηε θαη απέρεη

3m από ηελ πξνβιήηα. Σν παηδί βιέπεη κηα ζαιάζζηα ρειώλα κπξνζηά από

ηελ πιώξε πάλσ ζε έλα βξάρν πνπ απέρεη από ηελ πξνβιήηα 7,25m.



Αξρίδεη λα βαδίδεη πξνο ηελ πιώξε γηα λα πηάζεη ηε ρειώλα. Υσξίο λα

ιάβεηε ππόςε ζαο ηελ ηξηβή κεηαμύ ηεο βάξθαο θαη ηνπ λεξνύ:

α) Να πεξηγξάςεηε ηελ θίλεζε ηνπ ζπζηήκαηνο παηδί – βάξθα.

β) ε πόζε απόζηαζε από ηελ πξνβιήκαηα ζα βξίζθεηαη ην παηδί όηαλ, όηαλ

ζα θηάζεη ζηε βάξθα;

γ) Θεσξώληαο όηη ην παηδί κπνξεί λα απιώζεη ηα ρέξηα ηνπ κέρξη θαη 1m

έμσ από ηε βάξθα λα δηεξεπλήζεηε αλ ην παηδί ζα θαηαθέξεη λα πηάζεη ηε

ρειώλα.

80) Έλαο αζηξνλαύηεο βξίζθεηαη ζην δηάζηεκα έμσ από ην δηαζηεκόπινηό ηνπ

θνξώληαο εηδηθή ζηνιή πνπ πεξηιακβάλεη κηα ζπζθεπή εθηόμεπζεο αεξίνπ

κε ηε βνήζεηα ηεο νπνίαο κπνξεί λα κεηαθηλείηαη. Ο αζηξνλαύηεο καδί κε

ηνλ εμνπιηζκό ηνπ θαη κε ηε ζπζθεπή γεκάηε κε αέξην είλαη 150kg. Κάπνηα

ζηηγκή ν αζηξνλαύηεο εθηνμεύεη κηα πνζόηεηα αεξίνπ κε ηαρύηεηα

59,8m s κε απνηέιεζκα ν ίδηνο λα αξρίζεη λα θηλείηαη αληίζεηα κε

ηαρύηεηα κέηξνπ 0,2m s.

α) Να βξείηε ηε κάδα ηνπ αεξίνπ πνπ εθηόμεπζε ν αζηξνλαύηεο.

β) Πιεζηάδνληαο ζην δηαζηεκόπινην ν αζηξνλαύηεο ζέιεη λα ζηακαηήζεη.

Να εμεηάζεηε αλ ζα πξέπεη λα εθηνμεύζεη πεξηζζόηεξε, ιηγόηεξε ή ηελ ίδηα

πνζόηεηα αεξίνπ κε ηελ ίδηα ηαρύηεηα γηα λα ζηακαηήζεη.

Απ: (α) 0,5 kg, (β) ηελ ίδηα

81) Έλα ζώκα πνπ θηλείηαη επζύγξακκα κε ηαρύηεηα κέηξνπ π 5m s

εθξήγλπηαη ζε δύν ηκήκαηα Α θαη Β ίζεο κάδαο. Ακέζσο κεηά ηελ έθξεμε

ην ηκήκα Α εμαθνινπζεί λα θηλείηαη πάλσ ζηελ αξρηθή δηεύζπλζε ηεο

θίλεζεο ηνπ ζώκαηνο θαη ε θηλεηηθή ελέξγεηα ηνπ ζπζηήκαηνο ησλ δύν

ηκεκάησλ είλαη δηπιάζηα από ηελ θηλεηηθή ελέξγεηα ηνπ ζώκαηνο πξηλ ηελ

έθξεμε. Να βξείηε:

α) ηελ ηαρύηεηα ηνπ θέληξνπ κάδαο ησλ δύν ηκεκάησλ κεηά ηελ έθξεμε.

β) ηα κέηξα ησλ ηαρπηήησλ ησλ ηκεκάησλ Α θαη Β ακέζσο κεηά ηελ

έθξεμε.

γ) Να εμεγήζεηε πνπ νθείιεηαη ε αύμεζε ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο.

82) Από αθίλεην ππξνβόιν, ηνπ νπνίνπ ε κάδα είλαη M 1200kg,

εθηνμεύεηαη βιήκα κάδαο m 1kg κε νξηδόληηα ηαρύηεηα 0π 600m s.

α) Πόζε ηαρύηεηα απνθηά ην ππξνβόιν κεηά ηελ εθππξζνθξόηεζε;

β) Αλ ην ππξνβόιν έρεη κε ην δάπεδν ζπληειεζηή ηξηβήο κ 0,05, γηα πόζν

ρξόλν ζα θηλεζεί ην ππξνβόιν;



Απ: 0,5m s, 1s

83) Σε ρξνληθή ζηηγκή t 0s, έλα βαγόλη κάδαο 3

1m 65 10 kg θηλείηαη κε

ηαρύηεηα 1π 0,8m s. Έλα άιιν βαγόλη πνπ βξίζθεηαη ζηα αξηζηεξά ηνπ

πξώηνπ έρεη κάδα 3

2m 92 10 kg θαη θηλείηαη κε ηαρύηεηα 2π 1,3 m s

πξνο ηα δεμηά. Σα δύν βαγόληα ζπγθξνύνληαη κεηά από 0,1s θαη ζπλερίδνπλ

λα θηλνύληαη καδί. Η δηάξθεηα ηεο θξνύζεο είλαη 0,05s.

α) Να βξείηε ηελ θνηλή ηαρύηεηα ησλ δύν βαγνληώλ.

β) Να θάλεηε ζηνπο ίδηνπο άμνλεο νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηεο νξκή 1P θαη

2P ηνπ θάζε βαγνληνύ θαζώο θαη ηεο ζπλνιηθήο νξκήο γηα ην ζύζηεκα ησλ

δύν βαγνληώλ κέρξη ηε ρξνληθή ζηηγκή 0,25s.

γ) Να ππνινγίζεηε ηελ απώιεηα ελέξγεηαο θαηά ηελ θξνύζε θαη λα

εμεγήζεηε πνπ νθείιεηαη.

Απ: (α) 1,1m/s δεμηά, (γ) 550J

84) Γύν πνιύ κηθξέο (ακειεηέσλ δηαζηάζεσλ) κπάιεο Α θαη Β κε κάδα 0,1kg ε

θάζε κία, ζπλδένληαη κεηαμύ ηνπο κε αβαξέο θαη κε-εθηαηό λήκα κήθνπο

65cm. Οη κπάιεο βξίζθνληαη ζην έδαθνο θαη εθάπηνληαη, ώζηε λα

κπνξνύκε λα ζεσξήζνπκε όηη ηα θέληξα ηνπο ζπκπίπηνπλ. Σε ρξνληθή

ζηηγκή t 0 δίδνπκε ζηε κπάια Α θαηαθόξπθε αξρηθή ηαρύηεηα, πξνο ηα

πάλσ, κέηξνπ 7m s. Θεσξήζηε ηελ αληίζηαζε ηνπ αέξα ακειεηέα θαη ην

ηέλησκα ηνπ ζρνηληνύ αθαξηαίν.

α) Να βξείηε:

(i) ηελ ηαρύηεηα ηεο κπάιαο Α αθξηβώο ηε ζηηγκή πνπ ηεληώλεηαη ην

λήκα.

(ii) ηελ θνηλή ηαρύηεηα ησλ δύν ζθαηξώλ κεηά πνπ ζα ηεληώζεη ην λήκα.

(iii) ην κέγηζην ύςνο πνπ ζα θηάζεη ε κπάια Α.

β) Να γίλεη ζε βαζκνινγεκέλνπο άμνλεο ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο

ηαρύηεηαο ηεο κπάιαο Α ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν, από ηε ρξνληθή ζηηγκή

t 0 κέρξη ηε ζηηγκή πνπ θζάλεη ζην κέγηζην ύςνο.

γ) Να βξείηε ηελ αξρηθή ελέξγεηα ηνπ ζπζηήκαηνο θαη ηελ ελέξγεηά ηνπ

όηαλ βξίζθεηαη ζην κέγηζην ύςνο. Να δηθαηνινγήζεηε ηα απνηειέζκαηά

ζαο. Απ: (α) (i) 6m s, (ii) 3m s, (iii) 1,1m, (γ) αξρE 2,45J, 2Δ 1,55J

85) Σν κέηξν ηεο νξκήο 1P ελόο ζώκαηνο κάδαο m πνπ ζπγθξνύεηαη

κεησπηθά θαη πιαζηηθά κε άιιν ζώκα κεηαβάιιεηαη κε ην ρξόλν

t όπσο θαίλεηαη ζην πην θάησ δηάγξακκα. Αλ ε κάδα ηνπ

δεύηεξνπ ζώκαηνο είλαη δηπιάζηα ηνπ πξώηνπ,

Παγκύπρια ολυμπιάδα

φυσικής, 2007



α) λα βξείηε ηελ ηαρύηεηα ηνπ πξώηνπ ζώκαηνο πξηλ ηελ θξνύζε.

β) Να ζπκπιεξώζεηε ην δηάγξακκα κε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο νξκήο

ηνπ δεύηεξνπ ζώκαηνο.

86) θαίξα κάδαο 1m 5kg, θαζώο θηλείηαη νξηδόληηα κε ηαρύηεηα 1π 12m s,

πέθηεη ζην θέληξν άιιεο ζθαίξαο κάδαο 2m 15kg πνπ εξεκεί. Να βξείηε

ηηο ηαρύηεηεο ησλ δύν ζθαηξώλ ακέζσο κεηά ηελ θξνύζε αλ ε θξνύζε είλαη:

α) ηειείσο πιαζηηθή.

β) ηειείσο ειαζηηθή.

Απ: (α) 3m s, (β) 1 2v 6m s,v 6m s

87) Γύν ηειείσο ειαζηηθέο ζθαίξεο, πνπ έρνπλ ηελ ίδηα κάδα, θηλνύληαη ζε

νξηδόληηα επζεία κε αληίζεηε θνξά θαη κε ηαρύηεηεο 50cm s θαη 25cm s.

Σε ρξνληθή ζηηγκή t 0s, νη δύν ζθαίξεο απέρνπλ κεηαμύ ηνπο 3m. Αλ ε

θξνύζε είλαη θεληξηθή θαη ε δηάξθεηά ηεο ζεσξεζεί ακειεηέα, λα βξείηε:

α) ηε ρξνληθή ζηηγκή ηεο ζύγθξνπζεο.

β) ηηο ηαρύηεηεο ησλ ζθαηξώλ ακέζσο κεηά ηελ θξνύζε.

γ) ηε ρξνληθή ζηηγκή πνπ νη δύν ζθαίξεο ζα απέρνπλ πάιη 3m κεηαμύ ηνπο.

88) Γύν ηειείσο πιαζηηθέο ζθαίξεο, πνπ έρνπλ ίζεο κάδεο, θηλνύληαη νκαιά

ζηελ ίδηα επζεία πξνο νξηζκέλν εκπόδην. Σε ρξνληθή ζηηγκή t 0s, ε κία

ζθαίξα πνπ έρεη ηαρύηεηα 1π 8m s, απέρεη από ην εκπόδην απόζηαζε

1d 26m, ελώ ε άιιε, πνπ έρεη ηαρύηεηα 2π 2m s, απέρεη από ην

εκπόδην 2d 14m. Αλ ε ρξνληθή δηάξθεηα ηεο θξνύζεο ζεσξεζεί ακειεηέα

βξείηε:

α) πνηα ρξνληθή ζηηγκή ζα γίλεη ε θξνύζε;

β) ζε πόζε απόζηαζε από ην εκπόδην ζα γίλεη ε θξνύζε;

γ) πνηα ρξνληθή ζηηγκή ζα θηάζνπλ νη ζθαίξεο ζην εκπόδην;

Απ: (α) 2s, (β) 2m, (γ) 4s

89) Έλα ηδαληθό ειαηήξην ζηαζεξάο k 100N m είλαη θαηαθόξπθν κε ην θάησ

άθξν ηνπ κόληκα ζηεξεσκέλν ζε νξηδόληην δάπεδν. ην ειεύζεξν άθξν ηνπ

ειαηεξίνπ είλαη ζηεξεσκέλνο νξηδόληηνο δίζθνο κάδαο 2m 1,5kg θαη ην

ζύζηεκα ηζνξξνπεί. Μεηαιιηθή ζθαίξα κάδαο 1m , πνπ βξίζθεηαη ζηελ

πξνέθηαζε ηνπ άμνλα ηνπ ειαηεξίνπ, αθήλεηαη λα πέζεη από ύςνο

h 1,2m πάλσ από ην δίζθν. Η ζθαίξα πξνζθξνύεη ζην δίζθν θαη αλαπεδά

ζε ύςνο h h 4 πάλσ από ηελ αξρηθή ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ δίζθνπ. Αλ ε

θξνύζε είλαη κεησπηθή θαη ειαζηηθή, λα ππνινγηζηνύλ:



α) ε ηαρύηεηαο ηνπ δίζθνπ ακέζσο κεηά ηελ θξνύζε

β) ε κάδα 1m ηεο ζθαίξαο

γ) ε κέγηζηε ζπζπείξσζε ηνπ ειαηεξίνπ.

Απ: (α) 6 m s (β) 1m 0,5kg (γ) 0,45m

90) Γύν ζώκαηα έρνπλ κάδεο 1m θαη 2 1m 3m θαη βξίζθνληαη αθίλεηα πάλσ

ζε νξηδόληην επίπεδν. Αλάκεζα ζηα δύν ζώκαηα θαη ζε επαθή κε απηά

ππάξρεη ηδαληθό ειαηήξην ζηαζεξάο k 300N m, ην νπνίν είλαη

ζπζπεηξσκέλν θαηά Γ 20cm. Σα δύν ζώκαηα είλαη δεκέλα ζηα άθξα

ηελησκέλνπ λήκαηνο, ην νπνίν δελ επηηξέπεη ζην ειαηήξην λα ηα απσζήζεη.

Κάπνηα ζηηγκή ην λήκα θόβεηαη θαη ην ειαηήξην αξρίδεη λα απνζπκπηέδεηαη.

Καηά ηε ρξνληθή ζηηγκή πνπ ην ειαηήξην απνθηά ην θπζηθό ηνπ κήθνο, ε

ζρεηηθή ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο κάδαο 1m σο πξνο ην ζώκα κάδαο 2m έρεη

κέηξν 4m s. Να βξείηε:

α) ηα κέηξα ησλ ηαρπηήησλ ησλ δύν ζσκάησλ θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή πνπ

ην ειαηήξην απνθηά ην θπζηθό ηνπ κήθνο.

β) ηε δπλακηθή ελέξγεηα ηνπ ειαηεξίνπ πνπ κεηαθέξζεθε ζην ζώκα κάδαο

1m .

Απ: (α) 1 2π 3m s,π 1m s, (β) 4,5J

91) Έλα ζώκα κάδαο 1m 0,1kg θηλείηαη ζε νξηδόληηα ιεία επηθάλεηα κε

ηαρύηεηα κέηξνπ 1u 10m s. Έλα δεύηεξν ζώκα κάδαο 2m 0,4kg είλαη

αξρηθά αθίλεην θαη θέξεη αβαξέο ειαηήξην ζηαζεξάο k 800N m θαη

θπζηθνύ κήθνπο 0 0,25m. Κάπνηα ρξνληθή ζηηγκή ην πξώην ζώκα

ζπγθξνύεηαη κε ην ειεύζεξν άθξν ηνπ ειαηεξίνπ.

α) Να πεξηγξάςεηε πνηνηηθά ηελ θίλεζε ησλ ζσκάησλ κεηά ηελ επαθή ηνπ

πξώηνπ ζώκαηνο κε ην ειαηήξην.

β) (i) Να ππνινγίζεηε ηελ ηαρύηεηα ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ ζπζηήκαηνο,

πξηλ ην πξώην ζώκα έξζεη ζε επαθή κε ην ειαηήξην.

(ii) Να εμεγήζεηε θαηά πόζν ε ηαρύηεηα απηή ηνπ θέληξνπ κάδαο παξακέλεη

ζηαζεξή ζε όιε ηε δηάξθεηα πνπ ην πξώην ζώκα ζπκπηέδεη ην ειαηήξην.

γ) Να ππνινγίζεηε ηε κηθξόηεξε κεηαμύ ηνπο απόζηαζε πνπ ζα θηάζνπλ ηα

δύν ζώκαηα.





δ) Να ππνινγίζεηε ηηο ηαρύηεηεο ησλ ζσκάησλ όηαλ ζα απνρσξηζηεί ην

πξώην ζώκα από ην ειαηήξην.

Απ: (β) 2m s, (γ) 0,1m, (δ) 4m s, 6m s

92) Γύν ζώκαηα 1 θαη 2 κε κάδεο 4kg θαη 1kg αληίζηνηρα, θηλνύληαη ρσξίο

ηξηβέο κε ηελ ίδηα θνξά πάλσ ζε επζεία γξακκή κε ηαρύηεηεο 40m s θαη

20m s αληίζηνηρα. Σα ζώκαηα ζπγθξνύνληαη θεληξηθά θαη ειαζηηθά. Η

δηάξθεηα ηνπ θξνύζεο είλαη 0,01s.

α) Να βξείηε ηηο ηαρύηεηεο ησλ ζσκάησλ ακέζσο κεηά ηελ θξνύζε.

β) Να ζρεδηάζεηε ζηνπο ίδηνπο βαζκνινγεκέλνπο άμνλεο ηηο γξαθηθέο

παξαζηάζεηο ηεο νξκήο 1P θαη 2P ηνπ θάζε ζώκαηνο θαζώο θαη ηεο

ζπλνιηθήο νξκήο νιP ηνπ ζπζηήκαηνο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν (πξηλ,

θαηά θαη κεηά ηελ θξνύζε).

γ) Να ζρεδηάζεηε ηα δηαγξάκκαηα 1F f (t) θαη 2F f (t), όπνπ 1F θαη 2F ε

κέζε ηηκή ησλ εζσηεξηθώλ δπλάκεσλ πνπ αζθνύληαη πάλσ ζηα ζώκαηα 1

θαη 2 αληίζηνηρα.

Απ: (α) 32m s, 52m s

93) Έλα βιήκα κάδαο m 20g θηλείηαη νξηδόληηα κε

ηαρύηεηα π θαη ζθελώλεηαη ζε έλα μύιν κάδαο M 980g

πνπ είλαη ζηεξεσκέλν ζε ειαηήξην, όπσο θαίλεηαη ζην

ζρήκα. Σν ειαηήξην έρεη ζηαζεξά K 1000N m θαη ε θίλεζε ηεο κάδαο Μ

γίλεηαη ρσξίο ηξηβέο. Αλ ε κέγηζηε ζπζπείξσζε ηνπ ειαηεξίνπ είλαη 10cm,

λα βξείηε:

α) ηελ ηαρύηεηα ηνπ ζπζζσκαηώκαηνο ακέζσο κεηά ηελ θξνύζε,

β) ηελ ηαρύηεηα ηνπ βιήκαηνο πξηλ ηελ θξνύζε θαη

γ) ηελ απώιεηα ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο θαηά ηελ θξνύζε.

δ) Να εμεγήζεηε πνπ νθείιεηαη ε απώιεηα ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο.

Απ: (α) 3,16m s, (β) 158m s , (γ) 245J

94) Γύν νκάδεο καζεηώλ 1O θαη 2O , ρξεζηκνπνίεζαλ ηηο πεηξακαηηθέο

δηαηάμεηο πνπ θαίλνληαη ζηα ζρήκαηα 1 θαη 2 γηα ηε κειέηε ηεο θξνύζεο

δύν ακαμηώλ. Οη κάδεο ησλ ακαμηώλ Α θαη Β είλαη Am 0,2kg θαη

Bm 0,4kg. Με θαηάιιειεο επεμεξγαζίεο πνπ έγηλαλ ζηα δύν πεηξάκαηα,

ιήθζεθαλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηνπ ζρήκαηνο 3, ηεο νξκήο θάζε

ακαμηνύ ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν. Αθνύ επηιέμεηε ηελ πεηξακαηηθή

δηάηαμε ηεο κηαο κόλν νκάδαο, λα απαληήζεηε ζηα πην θάησ εξσηήκαηα.





α) Πνηα όξγαλα ή πιηθά ρξεζηκνπνηήζεθαλ ζην πείξακα;

β) Να ππνινγίζεηε ηηο ηαρύηεηεο ησλ ακαμηώλ (κέηξν θαη

θαηεύζπλζε) πξηλ θαη κεηά ηελ θξνύζε.

γ) Γηα ην ζύζηεκα ησλ δύν ακαμηώλ, λα εμεηάζεηε:

(i) αλ ηζρύεη ε αξρή δηαηήξεζεο ηεο νξκήο θαη

(ii) αλ ε θηλεηηθή ελέξγεηα δηαηεξείηαη.

Γηα λα θαηαιήμεηε ζην ζπκπέξαζκά ζαο λα δερζείηε απνδεθηά

ζθάικαηα κέρξη 15%.

δ) Να θαζνξίζεηε ην είδνο ηεο θξνύζεο ζην πείξακα.

ε) Να ζρεδηάζεηε ζε θνηλνύο βαζκνινγεκέλνπο

άμνλεο, ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο AF f (t) θαη

BF f (t), όπνπ AF θαη BF νη κέζεο δπλάκεηο πνπ

αζθνύληαη ζην θάζε ακαμάθη θαηά ηε δηάξθεηα

ηεο θξνύζεο. Οη γξαθηθέο παξαζηάζεηο λα

ζρεδηαζηνύλ ζηα ίδηα ρξνληθά πεξηζώξηα, όπσο

απηά θαζνξίδνληαη ζην δηάγξακκα ηνπ ζρήκαηνο

3.

95) ηε δηάηαμε ηνπ ζρήκαηνο ην βιήκα Α έρεη κάδα m 100g θαη

ζθελώλεηαη κε ηαρύηεηα 0π 60m s ζην μύιν Γ, κάδαο M 900g, πνπ

είλαη δεκέλν ζε λήκα κήθνπο 1. Μεηά ηε ζύγθξνπζε ην

ζπζζσκάησκα εθηειεί θπθιηθή θίλεζε θαη όηαλ ην λήκα γίλεη

θαηαθόξπθν, ζπγθξνύεηαη κεησπηθά θαη ειαζηηθά κε ην ζώκα Γ, πνπ έρεη

κάδα 1m 1kg θαη θξέκεηαη από λήκα κήθνπο L 1,6m. Αλ

2g 10m s , λα ππνινγίζεηε:

α) ηελ ηαρύηεηα ηνπ ζπζζσκαηώκαηνο ακέζσο κεηά ηελ πιαζηηθή

θξνύζε,

β) ηελ ηαρύηεηα ηνπ ζπζζσκαηώκαηνο ακέζσο πξηλ ηελ ειαζηηθή θξνύζε

θαη

γ) ηε κέγηζηε αλύςσζε ηνπ ζώκαηνο Γ κεηά ηελ θξνύζε.

δ) Να πεξηγξάςεηε ηη θίλεζε θάλεη ην ζπζζσκάησκα ακέζσο κεηά ηελ

ειαζηηθή θξνύζε.

Απ: (α) 6m s, (β) 4m s, (γ) 0,8m, (δ) ειεύζεξε πηώζε



96) Σν έλα άθξν νξηδόληηνπ ειαηεξίνπ, ζηαζεξάο k 100N m

είλαη αθιόλεηα ζηεξεσκέλν ελώ ζην άιιν άθξν

ηνπνζεηείηαη ζώκα 1 κάδαο 1m 1kg, ρσξίο λα

ζηεξεώλεηαη ζε απηό θαη πξνθαιείηαη ζπζπείξσζε ηνπ

ειαηεξίνπ θαηά Γx. Σν ζώκα 1 αθήλεηαη ειεύζεξν, νπόηε

θηλείηαη θαηά κήθνπο ηνπ ιείνπ νξηδόληηνπ επηπέδνπ θαη ζην ζεκείν Γ

ζπγθξνύεηαη θεληξηθά θαη ειαζηηθά κε ην ζώκα 2 πνπ είλαη δεκέλν θαη

ηζνξξνπεί ζηελ άθξε λήκαηνο κήθνπο L 0,35m. Αλ ε ηαρύηεηα ηνπ 1

πξηλ ηελ θξνύζε είλαη 1π 8m s θαη ε δηάξθεηα ηεο θξνύζεο είλαη

Γt 0,02s, λα ππνινγηζηνύλ:

α) ε παξακόξθσζε ηνπ ειαηεξίνπ,

β) νη ηαρύηεηεο ησλ ζσκάησλ 1 θαη 2 ακέζσο κεηά ηελ θξνύζε θαη

γ) ε ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο 2 όηαλ ην λήκα ζρεκαηίδεη γσλία 90 κε ηελ

θαηαθόξπθν.

δ) ε κέζε δύλακε πνπ δέρεηαη ην ζώκα 1 από ην 2 θαηά ηε δηάξθεηα ηεο

θξνύζεο.

ε) ην κέηξν ηεο κεηαβνιήο ηεο νξκήο ηνπ 2 ακέζσο κεηά ηελ θξνύζε θαη

κέρξη ην λήκα λα ζρεκαηίζεη γσλία 90 κε ηελ θαηαθόξπθν.

Απ: (α) 0,8m, (β) 4m s,4m s , (γ) 3m s

97) Έλα ακαμάθη Α κάδαο 1m 4kg θηλείηαη κε ζηαζεξή ηαρύηεηα 1u 3m s

πάλσ ζε αεξνδηάδξνκν εξγαζηεξίνπ θαη πιεζηάδεη δεύηεξν ακαμάθη Β

κάδαο 2m 2kg. Σν δεύηεξν ακαμάθη βξίζθεηαη αξρηθά αθίλεην ζε

απόζηαζε d 2m από ην πιεζηέζηεξν άθξν Γ, ηνπ αεξνδηαδξόκνπ, όπσο

δείρλεη ην ζρήκα.

Σε ρξνληθή ζηηγκή 1t 0, ην ακαμάθη Α ζπγθξνύεηαη θεληξηθά θαη

ειαζηηθά κε ην ακαμάθη Β. Μεηά ηελ θξνύζε ην ακαμάθη Β ζπγθξνύεηαη

ειαζηηθά κε ην άθξν Γ ηνπ αεξνδηαδξόκνπ θαη επηζηξέθεη πίζσ. Σε ρξνληθή

ζηηγκή 2t ηα ακαμάθηα ζπγθξνύνληαη γηα δεύηεξε θνξά ζε απόζηαζε x από

ην άθξν Γ. Όιεο νη θξνύζεηο είλαη ακειεηέαο ρξνληθήο δηάξθεηαο. Να

βξείηε:

α) ηελ απόζηαζε x

β) ηε ρξνληθή ζηηγκή 2t



Αληηθαζηζηνύκε ην ακαμάθη Β κε άιιν άγλσζηεο κάδαο m. Να βξείηε ηε

κάδα m ώζηε:

γ) x d

δ) λα κπνξνύλ λα ζπγθξνύνληαη γηα δεύηεξε θνξά ηα ζώκαηα.

Απ: (α) 1,2m, (β) 0,8s, (γ) 3 kg, (δ) m 12kg

98) Έλα ζώκα κάδαο 2kg, ελώ αξρηθά είλαη αθίλεην πάλσ ζε

νξηδόληην επίπεδν, αξρίδεη λα δέρεηαη ηελ επίδξαζε νξηδόληηαο

δύλακεο F πνπ ην κέηξν ηεο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν t

κεηαβάιιεηαη όπσο δείρλεη ε γξαθηθή παξάζηαζε. Ο ζπληειεζηήο

ηξηβήο είλαη ίζνο κε ην ζπληειεζηή ηξηβήο νιίζζεζεο κεηαμύ ηνπ

ζώκαηνο θαη ηνπ επηπέδνπ, πνπ είλαη κ 0,5.

α) Να ραξάμεηε ηε γξαθηθή παξάζηαζε, ζε βαζκνινγεκέλνπο

άμνλεο, ηεο ζπληζηακέλεο ησλ δπλάκεσλ πνπ αζθνύληαη ζην ζώκα

σο ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ.

β) Να εμεγήζεηε ζε πνηα ρξνληθή ζηηγκή ην ζώκα απνθηά κέγηζηε θαηά

κέηξν ηαρύηεηα.

γ) Να ππνινγίζεηε ηε κέγηζηε ηαρύηεηα πνπ απνθηά ην ζώκα.

δ) Να ππνινγίζεηε ηελ ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο ηε ρξνληθή ζηηγκή t 8s.

Απ: (β) 6s, (γ) 10m s, (δ) 5m s

99) Έλα απηνθίλεην θαη έλα κεγάιν θνξηεγό ηαμηδεύνπλ κε ηελ ίδηα

ηαρύηεηα, ζπγθξνύνληαη κεησπηθά θαη θνιιάλε κεηαμύ ηνπο.

α) Να εμεγήζεηε πνην από ηα δύν ζώκαηα είρε ηε κεγαιύηεξε νξκή πξηλ

ηελ θξνύζε.

β) Να εμεγήζεηε αλ ε κεηαβνιή ηεο νξκήο θάπνηνπ από ηα δύν νρήκαηα

είλαη κεγαιύηεξε ή αλ ε κεηαβνιήο ηεο νξκήο είλαη ε ίδηα θαη γηα ηα δύν

νρήκαηα.

100) Έλαο ηνμόηεο κάδαο 1m 62,5kg ζηέθεηαη αθίλεηνο ζην κέζν κηαο

παγσκέλεο ιίκλεο. Κάπνηα ζηηγκή ξίρλεη έλα βέινο κάδαο 2m 0,5kg κε

νξηδόληηα ηαρύηεηα 50m s. Να βξείηε:

α) ηελ ηαρύηεηα κε ηελ νπνία ζα θηλεζεί ν ηνμόηεο.

β) αλ ε δηάξθεηα θαηά ηελ νπνία επηηαρύλεηαη ην βέινο είλαη 0,8s, λα

βξείηε ηε κέζε δύλακε πνπ αζθήζεθε ζηνλ ηνμνβόιν.

γ) ην ίδην ζύζηεκα αμόλσλ λα ζρεδηάζεηε ην δηάγξακκα νξκήο-ρξόλνπ

γηα ηνλ ηνμόηε θαη γηα ην βέινο γηα δηάξθεηα 2s, ζεσξώληαο όηη ν ηνμόηεο

ειεπζεξώλεη ην βέινο ηε ρξνληθή ζηηγκή 0,6s.

Απ: 0,4m s, 31,25N





101) α) Να δηαηππώζεηε ην γεληθεπκέλν δεύηεξν λόκν ηνπ Νεύησλα θαη λα

γξάςεηε ηελ αληίζηνηρε καζεκαηηθή ζρέζε.

β) Να απνδείμεηε ηε ζρέζε F m α από ην γεληθεπκέλν δεύηεξν λόκν

ηνπ Νεύησλα.

γ) ε έλα crash test έλα απηνθίλεην κάδαο m 1500kg ζπγθξνύεηαη κε

ηνίρν. Η αξρηθή ηαρύηεηα ηνπ απηνθηλήηνπ είλαη 15m s, ελώ κεηά ηελ

θξνύζε ην απηνθίλεην θηλείηαη αληίζεηα κε ηαρύηεηα 2,6m s. Αλ ε

δηάξθεηα ηεο θξνύζεο είλαη 0,15s, λα βξείηε ηε κέζε δύλακε πνπ

αζθήζεθε ζην απηνθίλεην.

Απ: 176000N

102) α) Να δώζεηε ηνλ νξηζκό ηεο νξκήο πιηθνύ ζεκείνπ.

β) Μία κπάια κάδαο m 2kg βάιιεηαη πξνο ηα πάλσ κε ηαρύηεηα

15m s. Βξείηε ηελ νξκή ηεο κπάιαο:

i) ζην κέγηζην ύςνο.

ii) ζην κηζό ηνπ κέγηζηνπ ύςνπο.

γ) Μόιηο ε κπάια βξίζθεηαη ζε ύςνο h 7,2m θαζώο θαηεβαίλεη,

δηαζπάηαη κε εζσηεξηθή έθξεμε ζε δύν θνκκάηηα κε κάδεο 1m θαη

2 1m 3m . Αλ ην θνκκάηη κάδαο 1m ακέζσο κεηά ηελ έθξεμε παξακέλεη

αθίλεην, λα βξείηε ηελ ηαρύηεηα ηνπ άιινπ θνκκαηηνύ.

δ) Να βξείηε ηε κεηαβνιήο ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο πξηλ θαη κεηά ηελ

έθξεμε θαη λα εμεγήζεηε πνπ νθείιεηαη ε δηαθνξά απηή.

Θεσξήζηε ηελ αληίζηαζε ηνπ αέξα ακειεηέα.

Απ: (β) 0kgm s, 21,2kgm s, (γ) 12m s, (δ) 27J

103) Γύν ζώκαηα κε κάδεο 1m m θαη 2m 4m βξίζθνληαη πάλσ ζε ιείν

νξηδόληην επίπεδν. ηα δύν ζώκαηα αζθείηαη ε ίδηα νξηδόληηα δύλακε ε

νπνία εθαξκόδεηαη κέρξη ηα ζώκαηα λα θηλεζνύλ ηελ ίδηα απόζηαζε d θαη

ζηε ζπλέρεηα κεδελίδεηαη. Να ζπγθξίλεηε ηελ ηειηθή θηλεηηθή ελέξγεηα

θαη ηελ ηειηθή νξκή ησλ δύν ζσκάησλ.

104) Η ζπζθεπή ηεο εηθόλαο απνηειείηαη από πέληε όκνηεο κεηαιιηθέο ζθαίξεο

πνπ είλαη δεκέλεο κε λήκαηα ίζνπ κήθνπο. Όηαλ ζεθώζνπκε θαη

ειεπζεξώζνπκε κία κπάια, ηόηε ζπγθξνύεηαη ζρεδόλ ηέιεηα ειαζηηθά κε

ηηο άιιεο, ελώ ε ηειεπηαία ζθαίξα κεηά ηελ θξνύζε αξρίδεη λα θηλείηαη.

α) Να βξείηε ηελ ηαρύηεηα π πνπ απνθηά ε ηειεπηαία ζθαίξα.

β) Να εμεγήζεηε γηαηί δελ είλαη δπλαηόλ κεηά ηελ θξνύζε λα αξρίζνπλ λα

θηλνύληαη νη δύν ηειεπηαίεο ζθαίξεο κε ηαρύηεηεο π 2 ε θαζεκία. Πνηα

αξρή ηεο θπζηθήο ζα παξαβηαδόηαλε;



105) Έλαο εξεπλεηήο κάδαο 70kg έρεη λαξθώζεη κηα πνιηθή

αξθνύδα θαη ζέιεη λα εθηηκήζεη ηε κάδα ηεο. Πάλσ ζηνλ

πάγν, όπνπ ζεσξνύκε όηη νη ηξηβέο είλαη ακειεηέεο, ν

εξεπλεηήο δέλεη κε έλα θνκκάηη αβαξνύο ζρνηληνύ ηελ

αξθνύδα αθνύ ζεκεηώζεη ζην έδαθνο ηε ζέζε ηνπ

θέληξνπ κάδαο ηεο. ηε ζπλέρεηα απνκαθξύλεηαη θαηά

2m θαη ζεκεηώλεη ηε ζέζε ηνπ ζην έδαθνο. Αξρίδεη λα ηξαβά ην ζρνηλί κε

κηθξή δύλακε κέρξη ε αξθνύδα θαη ν εξεπλεηήο λα ζπλαληεζνύλ ζην ίδην

ζεκείν.

α) Να ζεκεηώζεηε πνηεο δπλάκεηο αζθνύληαη ζην θάζε ζώκα θαζώο ν

εξεπλεηήο ηξαβά ηελ αξθνύδα πξνο ην κέξνο ηνπ. Πνηεο από απηέο ηηο

δπλάκεηο είλαη εζσηεξηθέο θαη πνηεο εμσηεξηθέο;

β) Να εμεγήζεηε γηαηί ην ζεκείν ζπλάληεζεο ηνπ εξεπλεηή θαη ηεο

αξθνύδαο είλαη ην θέληξν κάδαο ηνπ ζπζηήκαηνο.

γ) Αλ ν εξεπλεηήο θηλήζεθε ηειηθά θαηά 1,5 m, λα ππνινγίζεηε ηε κάδα

ηεο αξθνύδαο.

Απ: 210kg

106) Γύν ζώκαηα κπνξνύλ λα θηλνύληαη ειεύζεξα πάλσ ζε ιεία

επηθάλεηα, όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα. Σν ζώκα κάδαο

1m 6kg αθήλεηαη λα νιηζζήζεη από ην ζεκείν Α έρνληαο

ζην κπξνζηηλό κέξνο ηνπ ηζρπξό καγλήηε. Έλαο όκνηνο

καγλήηεο έρεη ηνπνζεηεζεί ζην πίζσ κέξνο ηνπ ζώκαηνο

κάδαο 2m 10kg πνπ βξίζθεηαη αξρηθά αθίλεην ζην ζεκείν

Β. Σα δύν ζώκαηα δελ έξρνληαη πνηέ ζε επαθή, ιόγσ ηεο

άπσζεο ησλ δύν καγλεηώλ, νπόηε ε θξνύζε ηνπο ζεσξείηαη ηειείσο

ειαζηηθή.

α) Να βξείηε ηελ ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο Α θηάλνληαο ζην θαηώηαην

ζεκείν Β.

β) Να βξείηε ηηο ηαρύηεηεο ησλ δύν ζσκάησλ ακέζσο κεηά ηελ θξνύζε.

γ) Να βξείηε ην ύςνο ζην νπνίν ζα θηάζεη ην ζώκα 1m κεηά ηελ θξνύζε.

Απ: (α) 10m s, (β) 2,5m s, 12,5m s, (γ) 0,31m

107) Γύν ζώκαηα κε κάδεο 1m θαη 2 1m m βξίζθνληαη ζε ιείν νξηδόληην

επίπεδν. ηα δύν ζώκαηα αζθείηαη ε ίδηα νξηδόληηα δύλακε γηα ηελ ίδηα

ρξνληθή δηάξθεηα. Να ζπγθξίλεηαη ηεο ηειηθή νξκή θαη ηελ ηειηθή

θηλεηηθή ελέξγεηα ησλ δύν ζσκάησλ.

108) α) Να δηαηππώζεηε ηελ αξρή δηαηήξεζεο ηεο νξκήο.

β) Ο Ρσκαίνο, κάδαο 77kg, ςπραγσγεί ηελ Ινπιηέηα, κάδαο 55kg

παίδνληαο ηελ θηζάξα ηνπ κέζα ζε κηα βάξθα. Ο Ρσκαίνο βξίζθεηαη ζην

πίζσ κέξνο κηαο βάξθαο, ελώ ε Ινπιηέηα ζην κπξνζηηλό, ζε απόζηαζε

2,7m από ηνλ Ρσκαίν. Μεηά ην ηξαγνύδη, ε Ινπιηέηα αξρίδεη λα θηλείηαη

πξνζεθηηθά πξνο ηνλ Ρσκαίν (απνκαθξπλόκελε από ηελ αθηή) γηα λα



δώζεη έλα θηιί ζην κάγνπιν ηνπ Ρσκαίνπ. Να βξείηε πόζν ζα κεηαθηλεζεί

ε 80kg βάξθα, όηαλ ε Ινπιηέηα θηάζεη ζηνλ Ρσκαίν.

Απ: 0,7 m

109) Η δύλακε πνπ αζθείηαη ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν γηα κία κπάια

κάδαο 0,5kg θαίλεηαη ζην ζρήκα. Από ηελ θακπύιε λα βξείηε:

α) ηε κεηαβνιή ηεο νξκήο ηεο κπάιαο.

β) ηε κέζε δύλακε πνπ αζθείηαη ζηε κπάια.

γ) ηελ ηειηθή ηαρύηεηα ηεο κπάιαο αλ αξρηθά ε κπάια θηλνύληαλ

αξρηθά κε ηαρύηεηα 20m s.

Απ: (α) 13,5kgm s, (β) 9000N, (γ) 7m s.

110) Έλαο άλζξσπνο κάδαο 1m 60kg ηξέρεη κε ηαρύηεηα

π 4m s θαη πεδά πάλσ ζε έλα ακαμάθη κάδαο

M 140kg πνπ βξίζθεηαη αξρηθά αθίλεην. Ο άλζξσπνο,

αθνύ γιηζηξήζεη πάλσ ζην ακαμάθη, ηειηθά ζηακαηά πάλσ

ζε απηό. Ο ζπληειεζηήο ηξηβήο νιίζζεζεο κεηαμύ

αλζξώπνπ θαη ακαμηνύ είλαη κ 0,4. Η ηξηβή κεηαμύ ακαμηνύ θαη

εδάθνπο ζεσξείηαη ακειεηέα. Να βξείηε:

α) ηελ ηειηθή θνηλή ηαρύηεηα αλζξώπνπ-ακαμηνύ.

β) ηε δύλακε ηεο ηξηβήο πνπ αζθείηαη ζηνλ άλζξσπν, όηαλ γιηζηξά πάλσ

ζην ακαμάθη.

γ) ηε κεηαβνιή ηεο νξκήο ηνπ αλζξώπνπ θαη ηνπ ακαμηνύ.

δ) ην ρξόλν κέρξη ν άλζξσπνο λα ζηακαηήζεη λα γιηζηξά πάλσ ζην

ακαμάθη.

ε) ηε κεηαβνιή ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο πξηλ θαη κεηά

πνπ ζα ζηακαηήζεη ν άλζξσπνο πάλσ ζην ακαμάθη.

ε) ην δηάζηεκα πνπ δηαλύεη ν άλζξσπνο πάλσ ζην ακαμάθη.

Απ: (α) 1,2m s, (β) 240N, (γ) 168kgm s, (δ) 0,7s, (ε) 336J, (ζη)

1,4m

111) Έλα κηθξό θνπηί κάδαο 1m 0,5kg αθήλεηαη λα

νιηζζήζεη από ην πάλσ κέξνο ελόο θακππισηνύ

ιείνπ θεθιηκέλνπ επηπέδνπ κάδαο 2m 4kg πνπ

βξίζθεηαη πάλσ ζε ιεία επηθάλεηα, όπσο θαίλεηαη

ζην ζρήκα. Όηαλ ην κηθξό θνπηί θηάλεη ζηε βάζε

ηνπ επηπέδνπ έρεη νξηδόληηα ηαρύηεηα 4m s. Να

βξείηε:

α) ηελ ηαρύηεηα ηνπ επηπέδνπ κεηά πνπ ην κηθξό θνπηί θηάλεη ζηε βάζε

ηνπ.

β) ην ύςνο ην θνπηηνύ.

Απ: (α) 0,5m s, (β) 0,9m



112) Μία ζθαίξα κάδαο 5g θηλείηαη νξηδόληηα κε ηαρύηεηα 400m s θαη

δηαπεξλά έλα μύιηλν θύβν κάδαο 1kg. Σν μύιν, πνπ αξρηθά είλαη

αθίλεην, είλαη ζηεξεσκέλν ζην άθξν ειαηεξίνπ ζηαζεξάο 900N m. Αλ

κεηά ηελ έμνδν ηεο ζθαίξαο ην μύιν θηλήζεθε θαηά 5cm πξνο ηα δεμηά

πξηλ λα ζηακαηήζεη ζηηγκηαία, λα βξείηε:

α) ηελ ηαρύηεηα κε ηελ νπνία εμέξρεηαη ε ζθαίξα από ην μύιν.

β) ηελ απώιεηα ηεο κεραληθήο ελέξγεηαο.

Θεσξήζηε όηη ν ρξόλνο πνπ βξίζθεηαη ε ζθαίξα κέζα ζην μύιν είλαη

ακειεηένο.

Απ: (α) 100m s, (β) 374J

Documents

Ασκήσεις στην ορμή