Я. Беленький Сборник избранных задач по физике с их анализом и решением (механика твёрдого тела и электричество) Берлин,2007.

Аннотация

Сборник содержит 40 задач из двух наиболее важных разделов физики: механика твёрдого тела и электричество,которые ученики проходят в последних классах школ и гимназий.В отличие от известных учебников и задачников в сборнике проводится детальный разбор процесса получения решения задач. В ряде случаев,когда задача достаточно сложная,проводится подробный анализ решения и даются замечания с целью углубить знания учащегося и научить его самостоятельно проводить анализ не только задач,но и различных закономерностей по физике, математике и в других науках. Рекомендуется ученикам и гимназистам,а также и учителям, ведущим индивидуальные занятия по физике на русском языке,как учебное посо-бие,позволяющее глубже усвоить материал.

Задачи выбраны из сборника задач по физике:Physikalische Aufgaben von Studiendirektor Helmut Lindner.VEB Fachbuchverlag Leipzig.1990,303 S.;358.Bild.29.Auflage.

Содержание стр.

От автора 3Mechanik fester Körper.Механика твёрдого тела 4 Zerlegung von Kraften.Разложение сил 4Hebel und Drehmoment .Рычаг и момент вращения 6Schwerpunkt und Standfestigkeit.Центр тяжести и устойчивость 7Einfache Maschinen.Простейшие машины 9Reibung (statisch).Трение (статическое) 10Kinematik.Кинематика 11 Freier Fall und Wurf. Свободное падение и бросок 13 Gleichförmige und beschleunige Drehbewegung. Равномерноеи ускоренное вращение 15Zusammengesetzte Bewegungen. Общие законы движения 15Grundgesetz der Dinamik Основной закон динамики 16Arbeit,Leistung,Wirkungsgrad.Работа,мощность,коэфициент полезного действия 17Potenzielle und kinetische Energie. Потенциальная и кинетическая энергия 18Reibungsarbeit.Работа силы трения 19Massenträgheitsmoment und Rotationsenergie.Момент инерции и энергия вращения 20 Fliehkraft.Центробежная сила 21Impuls und Stoß.Импульс и столкновение 22 Massenanziehung.Закон притяжения масс 23Elektrizitätslehre. Электричество 26Gleichstrom.Постоянный ток 26 Einfacher Stromkreis.Простейшие электрические цепи 26Zusammengesetzte,Widerstände.Общие законы,сопротивления 27Arbeit und Leistung des elektrischen Stromes.Работа и мощность в электрических цепях 29Elektrisches Feld. Электростатическое поле 30Magnetisches Feld. Магнитное поле 33Induktionsvorgänge.Законы индукции 34Wechselstrom. Переменный ток 37Widerstände im Wechselstromkreis.Сопротивления в цепях переменного тока 37 Leistung und Leistungsfaktor. Мощность и коэффициент мощности «cos » 40 2

От автора Сборник избранных задач по физике предназначен для учащихся старших классов школ и гимназий и служит в некотором смысле альтернативным методом оказания помощи учащимся не только в решении задач по физике,но и в углублении их понимания физических законов и их применения для решения задач,также в различных жизненных ситуациях. В связи с этим автор решил разработать учебное пособие в виде задачни-ка избранных задач (по несколько из разделов механики твёрдого тела и электричества) с подробным их анализом и объяснением процесса решения. Задачник в дополнении к учебнику позволяет более разносторонне представить учащимся материал по этим разделам физики,что приводит к более глубокому его усвоению. Решение всех задач будет состоять,как правило, из следующих частей.1.Анализ условия задачи,выбор обозначений данных в задаче и искомых величин.2.Выбор математических соотношений,на базе определённых законов фи-зики,которые приведут к решению задачи.3.Приведение математических соотношений в виду,позволяющему решить данную задачу.4.Подстановка численных значений в полученную формулу и проведение необходимых для получения ответа вычислений.5.Анализ полученных решений. Главная цель автора состояла в том,чтобы на примерах анализа задач, по возможности, развить у ученика глубокое понимание физических законов, самостоятельное мышление и его творческие способности. Достижению этой цели,по мнению автора,будут также замечания к некоторым задачам,которые глубже разъясняют не только задачу,но и некоторые теоретические и прикладные вопросы,относящиеся к этой задаче. По мнению автора, для тех русскоязычных учеников,у которых возника ют трудности с переводом, главное внимание следует обратить на усвое-ние и понимание материала по физике на языке,на котором они смогут глубоко понять и усвоить материал каждой задачи.Тем самым,такое учеб-ное пособие будет способствовать углублению знаний по физике как естественно научной дисциплине. Условие задачи и названия разделов даётся на немецком языке с русским переводом,который может помочь глубже вникнуть в условие задачи.Анализ условия каждой задачи,её решение даётся на русском языке. При поддержке предложенной автором общей методики изложения материала принципиально возможно издание такого сборника на немецком языке. 3

Mechanik fester Körper Механика твёрдого тела Zerlegung von Kraften Разложение сил

Aufgabe 1(40). Die Stäbe AB und BC des Wandarms auf Bild dürfen hochstens mit 2100 Nbsw. 1700 N beansprucht werden.Wie groß ist der Winkel µ zu wählen,und welchen Last G darf der Wandarm höchstens tragen?

Штанги АВ и ВС,прикреплённые к стене,как показано на рисунке, могут соответственно выдержать нагрузку 2100 N и 1700 N.Какова величина угла µ и какую максимальную нагрузку G эти штанги могут выдержать?

А µ В F2 С

G F1

Решение. Для решения этой задачи необходимо в точке В разложить вектор силы G. Естественно,направление сил будет совпадать с направлением штанг,на которые действуют силы. F1 действует на штангу АВ и её растягивает,а F2 на ВС и её сжимает.Паралеллограм сил показывает,что они образуют прямоугольный треугольник,в котором силы G и F2 будут катетами и F1 будет гипотенузой.В треугольнике сил угол между силой F1

и F2 будет равен µ, поскольку стороны штанг и треугольника сил параллельны. Из треугольника ВGF1 видно,что cos µ равен F2 / F1 = 1700/2100 = 0,81.Отсюда находим угол как arccos 0,81 = 35,9°, а также силу G,равную:

G = F1 sin 35,9° = 2100*0,586 = 1231 N.

Ответ: G = 1231 N, µ =35,9°.

Aufgabe 2 (46). Zwei je 10 N schwere Kugeln sind nach Bild in einem gemeinsamem ein 4

Punkt aungehängt.Wie groß ist die Fadenspannkraft F1 und mit welcher Kraft F2 drücken die Kugeln gegeneinanderer?

Два по 10 N весом шара подвешены в одной точке,как показано на ри-сунке.Определить силу,действующую на подвесную нить,и силу давления одного шара на другой в точке касания.

O 12 cm 15 cm G F1

6 cm B A 3 cm F2

Решение. Для решения этой задачи необходимо разложить силу веса на две ком-поненты:одна по направлению проложения нити подвески,другая по на-правлению от центра шара к точке касания. На втором рисунке показан прямоугольный треугольник ОАВ,который образуется в результате касания правого шара.Гипотенуза ОВ равна 15 сm,а катет ВА 3 cm.Соотвественно,по направлению гипотенузы ОВ на-правлена сила натяжения нити, по направлению ОА - сила веса G,а по направлению катета ВА сила давления правого шара на левый. Очевидно,что треугольники сил и расстояний подобны.Вначале нахо-дим катет треугольника расстояний по направлению силы веса,а затем, исходя из подобия и знания силы веса,находим искомые силы.

Соотвествующий катет равен:

сила растяжения,используя подобие треугольников, равна

F1 = 10*15/14,7 = 10,2 Nсила касания

F2 = 10*3/14,7 = 2,0 N.

Ответ: F1 = 10,2 N, F2 = 2,0 N.

5

Hebel und Drehmoment Рычаг и момент вращения

Aufgabe 3(62). Bei einer ungenau gearbeiteten Balkenwaage wiegt ein Gegenstand auf der linken Seite 60g,auf den rechten dagegen 55g.Welge ist wahre Masse.

На одних рычажных неуравновешенных весах определяют массу одного груза.Когда груз находится на левой стороне,его масса равна 60g,когда направой 55g.Какова его реальная масса? Решение. Причиной разницы в показаниях весов при взвешивании на правой и на левой стороне является либо неточность подвески рычага весов в центре тяжести весов, либо дополнительный груз с одной стороны. Это приводит к тому, что до помещения предмета на чашу весов уже имеется опреде-лённый момент,который приводит к неравновесию.Для устранения этой неточности призводят взвешивание груза,помещая его попеременно на обеих чашах (полагаем,что весы отградуированы в величинах массы). Положим,что нам известно точное положение центра тяжести и он на-ходится на расстоянии а от правого конца рычага весов и на расстоянии b от левого,а точная масса предмета m.Тогда при положении груза слева,а гири справа и наоборот из равенства моментов и сокращения на общий множитель g, равный ускорению земного притяжения,получим два уравнения:

a*m = b *m1 , a*m2 = b*m, где m1 = 60 g и m2 = 55g. Путём деления одного уравнения на другое и простого преобразовния получим:

Ответ: 57,45 g.

Aufgabe 4(61). Von 8 Kugeln sind 7 genau gleich schwer,die achte dagegen ein wenig schwerer als die übrigen.Durch nur zwei Wägungen mit der Tafelwaage ist die schwerere herauszufinden.Wie ist zu verfahren?

7 шаров из 8 имеют одинаковый вес,а 8-ой несколько тяжелее.Как пу-тём двух взвешиваний на тарелчатых весах определить тяжелый шар? 6

(задача на сообразительность,ответ будет дан в конце раздела «меха-ника»). Schwerpunkt und Standfestigkeit Центр тяжести и устойчивость

Aufgabe 5 (96). In welcher Höhe b über dem Boden liegt der Schwerpunkt eines oben offe-nen,zilyndrischen,dünnwandigen Gefäßes von h =1,20 m Höhe und d = 0,80 m Durchmesser bei überallgleicher Wanddicke? На какой высоте b от дна открытого цилиндрического сосуда лежит его центр тяжести,если его высота равна h =1,20 m и диаметр d = 0,80 m. Толщина стенки мала и везде одинакова и ею можно пренебречь. Решение. Задача состоит в том,чтобы найти только вертикальную координату центра тяжести.Расположим сосуд так,чтобы его дно совпало с горизон-тальной осью координат.Тогда b будет координатой центра тяжести на вертикальной оси.Поскольку сосуд имеет одинаковую и пренебрежимо малую толщину стенки и дна,то масса стенок и дна будет пропорциона-льна их площади и в уравнении для определения координаты b нет не-обходимости вычислять массы, используя объёмы стенок и дна,а доста-точно использовать только величины площадей: 2rh или dh - для площади стенки и r² илиd²/4 для площади дна. Наконец,горизонтальная и вертикальная координаты центра тяжести независимы,поэтому для вертикальной координаты b можно составить уравнение: b (2rh+ r²) = 2rh*h/2 +r²*0.

или b (2rh+ r²) = 2rh²/2.

После несложных упрощений находим вертикальную координату центра тяжести: b = h²/(2h+r) = h²/2(h+d/4).

Подстановка численных значений h и d даёт ответ: b =0,514 m. Ответ: b =0,514 m.

Aufgabe 6 (103). Mit welcher Kraft ist eine 0,1 cm dicke und 25 cm lange Klavierseite ge-spannt,wenn sie sich beim Stimmen um 1,8 mm dehnt? ( E = 2,1*105 N/mm²) 7

С какой силой натянута струна пианино толщиной 0,1 cm и длиной 25 cm, если во время звучания она растягивается на 1,8 mm ? Решение. Для решения этой задачи необходимо применить закон Гука (HookischeGesetz),который утверждает,что относительное удлинение стержня про-порционально силе растяжения стержня ,т.е.

l / l = F/EA,

где l – растяжение струны,равное 1,8 mm, l – длина стержня, равная 25 cm,F-искомая приложенная сила,A – площадь сечения стержня, E- коэффициент Гука для стального стержня. Данную формулу легко преобразовать и получаем значение силы в N,если остальные параметры подставим в mm:

F =l*E*d² /4 l =1,8*2,1*105**1²/4*250 =1187 N

Ответ: 1187 N.

Aufgabe 7 (106). Welche Arbeit ist erforderlich,um 15 m langen und 1,2 mm dickem Chromni-keldraht (E = 2,1*105 N/mm²) bis zur zulässigen Grenze von 350 N/mm² zu spannen?

Какая требуется работа,чтобы хромоникелевый провод длиной 15 m и толщиной 1,2 mm (E = 2,1*105 N/mm²) растянуть до предельно допусти-мого давления,равного 350 N/mm² ? Решение. Для решения этой задачи необходимо вначале определить максималь-ное расстояние l,равное растяжению проволоки длиной l при уве-личении давления до граничной величины max = 350 N/mm²,затем определить максимальное значение приложенной силы Fmax. Учитывая,что сила непостоянна и изменяется в соответствии с законом Гука от 0 до максимально допустимой величины пропорционально растя-жению проволоки, величину силы при определении работы можно при-нять постоянной и равной полусумме начального и конечного значения силы или Fmax /2. По формуле,соответствующей закону Гука,определяем вначале величи-ну растяжения проволоки при максимально допустимой нагрузке:

l = F* l /E A = max l / E Максимальная сила равна Fmax = max*A= max d²/4,отсюда получаем 8формулу для определения работы:

W = l*Fmax /2 = max d²*l /8E =350²*3,14*1,2²*15/8*2,1*105=4,95Nm

Ответ: 4,95Nm Einfache Maschinen Простейшие машины

Aufgabe 8 (124). Welche Druckkraft F erzeugt eine Handspindelpresse von 8,5 mm Ganghöhe, wenn am 35 сm langen Hebelarm eine Kraft von 160 N ausgeübt wird?

Какова сила давления ручного спиндельного пресса с шагом пере-мещения при вращении на один оборот,равным 8,5 mm,если к рычагу длиной 35 сm нужно приложить силу 160 N ? Решение. Для решения этой задачи необходимо использовать равенство величин работ,проделанной рычагом при его вращении на один оборот и погру-жаемым в пресс шпинделем,создающим силу давления F. Обозначим силу,прилагаемую к ручному рычагу пресса f =160 N, длину рычага r = 35 cm и глубину погружения шпинделя h = 8,5 mm. Работа,проделанная шпинделем будет равна F*h,а работа,проделанная приложенной к ручному рычагу силой при вращкнии его на один оборот 2rf.Из равенства этих работ находим:

F = 2rf / h = 2

Ответ: ~ 41,4 kN.

Aufgabe 9 (127). Der Motor einer PKW hat das maximale Drehmoment 95 Nm.Welche Zug-kraft entwicklt der Wagen im 1.Gang bei der Untersetzung 1:3,8 und dem Rad-durchmesser 64 cm?

Двигатель грузового автомобиля развивает максимальный момент вра-щения равный 95 Nm.Какую силу развивает двигатель на колесе,если соотношение между оборотами двигателя и колес равно 3,8:1 и диаметр колеса равен 64 cm? Решение. Отношение между оборотами двигателя и колес равно 3,8:1, т.е.при 3,8 оборотах двигателя колёса делают один оборот.Это эквивалентно дей- 9

ствию рычага в том смысле,что такое соотношение между оборотами двигателя и колёс приводит к увеличению момента колёс в 3,8 раз и,соот-ветственно,силы за счёт увеличения числа оборотов двигателя. Обозначим М –момент вращения двигателя,F-силу на колёсах и r – радиус колеса.Из сказанного следует:3.8 М = Fr, или

F = 3,8M/r = 3,8*95 / 0,32 = 1128 N.

Ответ.~ 1,13kN.

Reibung (statisch) Трение (статическое)

Aufgabe 10 (142).a)Um wieviel Grad muß eine Rutschbahn gegen dee Horisontale geneigt sein, wenn Pakete bei einer Hafreibungszahl µ0 = 0,6 darauf abgleiten sollen?b)Mit welcher Geschwindigkeit kommen die Pakete unten an,wenn die Bahn 15 m lang und Gleireibungszahl µ =0,4 beträgt?

a)Под каким углом к горизонту должна быть наклонёна дорожка,по ко-торой скользят вниз посылки,если их статический коэфициент трения (в неподвижном состоянии) о доску равен µ0 = 0,6 ?b)Какую скорость имеют посылки в конце дорожки,если её длина 15 m,акоэфициент трения скольжения равен µ =0,4? Решение. Для решения задачи необходимо представить некоторую наклонную плоскость,по которой вниз спускаются посылки П (см.рис).

FR FP

FN G

Сила тяжести пакета G на такой плоскости раскладыается на две ком-поненты: параллельную наклонной плоскости FP, равной Gsin,и стре-мящейся двигать пакет вниз по наклонной плоскости,и нормальную к плоскости FN, равную Gcosи создающую прижатие посылки к дорожке и,как следствие,силу трения FR, равную µFN или µ Gcos , направленную параллельно плоскости и в сторону,обратную движению. Эти силы с силой веса создают прямоугольный тругольник,у которого сила веса - гипотенуза,остальные две стороны-катеты.

10Очевидно,что угол наклона плоскости вследствие ортогональности сто-рон треугольника сил к сторонам наклонной плоскости равен углу между силой веса и нормальной силой. Для того,чтобы положенная на дорожку посылка начала двигаться,нуж-но,чтобы сила,приводящая его в движение,была равной или больше си-лы статического трения. Вторая часть задачи может быть решена,если будут известны верти-кальные и горизонтальные компоненты скорости в начале и в конце на-клонного пути s .Вертикальная компонента определяется легко, т.к. изве-стно её ускорение,равное g и начальная скорость,равная нулю. При определении величины горизонтальной скорости возникает некото-рое усложнение из-за необходимости вычисления горизонтального уско-рения.Это связано с определением массы посылки. a)Определяем вначале угол наклона плоскости при значении коэфи-циента трения µ0 = 0,6,когда сила статического трения равна гори-зонтальной силе и движение вниз становится возможным:

µ0 = FPS /FN = tan

Откуда =arctan 0,6 = 31°. b)Для определения скорости в конце дорожки вначале находим силу, параллельную плоскости движения, которая приводит посылку в дви-жение по наклонной плоскости:

FP = Gsin µ Gcos

где µ коэфициет трения скольжения. Масса пакета равна G/g.Отсюда получаем искомое ускорение при дви-жении по наклонной плоскости aР = FP g/G или

aР = g(sin µ cos = 9,81*( sin31° -0,4cos31°)=1,69m/s².

По известной формуле находим конечную скорость:

Ответ.7,12 m/s Kinematik Кинематика

Aufgabe 11(162). Während ein Personenzug 700 m zurücklegt,bremst er mit 11

einer Verzögerung von 0,15 m/s².Wie groß sind die Bremszeit und seine Endgeschwindigkeit,wenn die Anfangsgeschwindigkeit 55 km/h beträgt?

Во время прохождения пассажирским поездом расстояния 700 m он тормозил с ускорением 0,15 m/s².Определить время торможения и ско-рость в конце тормозного пути,если начальная скорость была 55 km/h? Решение. Введём следующие обозначения:v1 – начальная скорость на участке торможения,равная 55 km/h,v2 – конечная скорость на участке торможения,которую необходимо опре-делить,а – отрицательное ускорение торможения (замедление),равное 0,15 m/s²,s – тормозной путь,равный 700 m,t – время торможения,которое необходимо определить. Решение задачи усложнено тем,что необходимо вывести формулу, свя-зывающую тормозной путь с начальной и конечной скоростью при дви-жении с постоянным ускорением. Вначале на основании основной формулы для скорости при тормо-жении получим: v2 = v1 - at , откуда t = (v1 - v2) /a.

Для вывода искомой формулы учтём,что при постоянном ускорении средняя скорость на тормозном участке равна полусумме начальной и конечной скорости,откуда следует:

s = (v2 + v1)t /2,

или после подстановки величины t получим:

s = (v²1 - v²2) /2a. Имеем два уравнения с двумя неизвестными v2 и t. Таким образом, полученные формулы позволяют решить задачу.Находим v2:

Вначале вычисляем v2,предварительно преобразовав размерность на-чальной скорости km/h в m/s, 55 km/h = 55*1000/3600 m/s 15,28 m/s . 12

Подставляя все найденные значения в формулу для v2,получим :

подставляя найденное значение v2 в формулу для времени, получим: t = (15,28 - ) /0,15 s

Ответ: v2 m /s, t s . Freier Fall und Wurf Свободное падение и бросок Aufgabe 12(205). Ein Ferngeschoß hat die Anfangsgeschwindigkeit vo =1500 m/s bei einemAbschußwinkel von 30° gegenüber der Horisontalen.Es sind zu berechnen (luftleerer Raum):a) die Schußweite und die –Höhe sowieb) die maximale Schußweite und zugehörige Höhe.

Снаряд дальнобойного орудия имеет начальную скорость v0 =1500 m/sпри угле наклона к горизонтали,равном 30°.Определить,пренебрегая со-противлением воздуха, а) дальность и высоту полёта снаряда ив) максимальную дальность и высоту полёта снаряда. Решение. Для решения этой задачи разложим вектор скорости на два компонента: горизонтальный и вертикальный.Вертикальный компонент определяет время полёта, и,тем самым,высоту и дальность,т.к. полёт кончается,когда снаряд падает на землю (см.рис.). h

h vh vo

vs s

Зная время полёта,можно определить высоту подъёма,учитывая равно-мерно замедленное движение снаряда вверх с ускорением - g,и дальность горизонтального полёта,учитывая равномерное движение по горизонтали 13без сопротивления воздуха.

Обозначим:vs - начальная горизонтальная скорость, vh -начальная вертикальная скорость,t -врямя подъёма снаряда,s -расстояние горизонтального полёта, smax - максимальное расстояние горизонтального полёта,h -высота подъёма , hmax -максимальная высота подъёма. Находим горизонтальные и вертикальные компоненты вектора скоро-сти:

vs = vo cos 30° , vh = vo sin 30°

Определяем время подъёма,учитывая вертикальное равномерно замед-ленное движение с ускорением земного притяжения g = 9,81 m/s²:

t = vh / g = v0 sin 30° / g ,

Отметим,что время горизонтального полёта в два раза больше t.Находим высоту подъёма и дальность горизонтального полёта по фор-мулам,подставляя значение t: h = vh t – gt²/2 = ( v0 sin 30°)² / g -( v0 sin 30°)² / 2g ,

h = ( v0 sin 30°)² / 2g = (1500 sin30°)² /2*9,81 = 28670 m,. s = vs2t = v0 cos 30° *2v0 sin 30°/g = v0² sin 60° / g, s = 1500² sin 60° /9,81=198630 m.

Из выражения для горизонтального полёта s видно,что максимальная дальность полёта будет достигнута,когда синус двойного угла будет мак-симальным - равным единице.Это будет при значении двойного угла,рав-ном 90°,т.е. при начальном угле наклона 45°. Определяем максимальную дальность полёта и высоту полёта:

smax = v0² / g = 1500² / 9,81 =229358 m hmax =( v0 sin 45°)² / 2g =(1500sin 45°)² /2*9,81 = 57339 m

Ответ. h =28,670km,s =198,630km,smax =229,358km,hmax=57,339km. 14 Gleichförmige und beschleunige Drehbewegung

Равномерное и ускоренное вращение

Aufgabe 13 (232). Ein Elektromor führt innerhalb der ersten 10 s nach dem Anlassen 280 Um-drehungen aus,wobei die Drehbewegung 6 s gleichmäßig beschleunigt unddanach gleichförmig ist.Welche Drehzahl hat Motor erreicht?

После включения электромотор за первые 10 s сделал 280 оборотов,причём, первые 6 s он вращался с постоянным ускорением,а затем равно-мерно.Какую скорость он достиг за это время? Решение. Поскольку электромотор имел начальную скорость,равнуюнулю,то конечная скорость в момент t = 6 s в конце интервала уско-ренного движения определяется соотношением для равноускоренного движения n = a t, где n – скорость вращения в 1/min, a- ускорение вра-щения в 1/min² и t- время разгона. Число оборотов,которое сделал мотор за это время,определяется форму-лой,аналогичной формуле пройденного пути при равноускоренном дви-жении, только все величины характеризуют вращение:

z1 = a t²/2 = n t/2 Um.

Вторая часть вращения проделана равномерно за 10 - t (4 s) и при этом сделал z2 оборотов,откуда

z2 = n (10 –t) Um,

где z1 и z2 cоотвественно число оборотов,проделанных двигателем за первую и вторую часть вращения.Всего он совершил z = z1+ z2 = (10 – 0,5 t ) n оборотов.Из этого соотношения находим достигнутую скорость:

n = z /(10 – 0,5 t ) = 280 / (10 – 0,5*6) = 40 1/s = 2400 1/min.

Ответ. 2400 1/min.

Zusammengesetzte Bewegungen Общие законы движения

Aufgabe 14 (249). Ein Motorboot hat die Eigengeschwindigkeit v1 = 4 m/s und soll das l =100 m entfernte andere Ufer eines mit v2 = 3 m/s gleichförmig strömenden Flusses in 15

möglichst kurzer Zeit erreichen.Unter welchem Winkel muß das Boot auf das andere Ufer zusteuern?Wie lange dauert die Überfahrt?

Моторная лодка,имеющая скорость vu = 4 m/s, должна пересечь реку шириной l =100 m,скорость течения которой постоянна и равна vf = 3 m/s,в возможно короткое время.Под каким углом необходимо пересечь реку и за какое минимальное время лодка достигнет противоположного берега? Для того,чтобы пересечь реку за минимальное время T лодка должна итти перпендикулярно к течению реки к берегу,чтобы перекрыть рассто-яние между берегами,а именно 100 m. Сама же лодка из-за течения будет пересекать реку с несколько боль-шей скоростью под некоторым углом по отношению к направлению, перпендикулярному к берегу,поскольку к скорости лодки геометрически добавляется компонент скорости реки.

берега реки

vf

v1 vu

Решение. Определяем вначале угол, sin = vf / v1 или tan = vf / vu =3/4, отсюда = arctan 3/4 = 36,8° . Находим время пересечения реки:

T = 100 / 4 =25 s.

Интересно заметить,что скорость реки не влияет на минимальное времяпересечения,поскольку её направление перпендикулярно направлению скорости пересечения реки,однако она сносит лодку по течению реки, увеличивая пройденное расстояние.Ответ = 36,8° , T = 25 s.

Grundgesetz der Dinamik Основной закон динамики Aufgabe 15 (278). Welche Beschleunigung kann einem Fahrzeug von 300kg Masse erteilt wer-den,wenn zum Erreichen der Endgeschwindigkeit 20 m/s eine Leistung von 16

4 kW zur Verfügung steht,und zwar: a) ohne Berücksichtigung der Reibung und b) bei Beachtung einer Fahrwiderstandzahl von µ =0,03 ? Какое необходимо ускорение для разгона автомобиля массой 300 kg для того,чтобы достигнуть скорости 20 m/s,при наличии двигателя мощностью 4 kW в случае: a) отсутствия трения и b)наличия трения с коэффициентом µ =0,03 ? Решение.В первом случае мощность мотора расходуется только для создания динамической силы для разгона автомобиля.Динамическая силаFd равна в соответствии с законом Ньютона произведению массы на уско-рение Fd = a m.С другой стороны мощность равна работе,произведенной силой за единицу времени,т.е. P =Fd r/t или P = m a v. Откуда для ускорения получаем:

a = P/m v = 4000/ 300*20 = 0,67 m/s².

Если добавляется сила трения,то мощность двигателя расходуется дляускорения и преодоления силы трения,равной силе веса,умноженной на коэффициент трения µ ,или Fr = m g µ. В этом случае будем иметь:

P = (Fd + Fr ) v = m (a + g µ) v,

Откуда для ускорения а получаем выражение:

a = P/mv - gµ = 4000/ 300*20 – 9,81*0,03 = 0,37 m/s².

Ответ. Без трения ускорение будет равно 0,67 m/s², с трением 0,37 m/s².

Arbeit,Leistung,Wirkungsgrad Работа,мощность,коэффициент полезного действия Aufgabe 16 ( 311). Durch 54 Umdrehungen an der 35 cm langen Kurbel einer Winde wird eine Masse von 680 kg um 1,8 m gehoben.Welche Kraft bei einem Wirkungsgrad von 85% erforderlich?

Через 54 оборота рукоятки длиной 35 cm одной лебёдки была поднята масса 680 kg на 1,8 m.Какая сила была необходима для поднятия этой мас-сы при коэффициенте полезного действия 85% ? Решение.Прикладываемая к рукоятке сила F при вращении по кругу радиуса r совершает работу,которая преобразуется при подъёме массы m на высоту h в потенциальную энергию.Однако,при этом часть затра-ченной работы теряется,что определяется коэффициентом полезного 17

действия µ. Находим вначале величину проделанной работы за n вращений рукоят-ки:Aц = 2rnF .Часть этой работы затрачивается на трение и другие поте-ри,что учитывается коэффициентом полезного действия.Поэтому работа, затраченная только на подъём,будет меньше и равна: A = 2rnFµ. С другой стороны,потенциальная энергия поднятой массы,на которуюбыла затрачена эта работа, будет равна P = mgh.Приравнивая затра-ченную работу A полученной потенциальной энергии P,легко определяем приложенную силу F :

F = mgh / 2rnµ=680*9,81*1,8 /2*0,35*54*0,85 = 119 N.

Ответ. 119 N.

Potenzielle und kinetische Energie Потенциальная и кинетическая энергия Aufgabe 17 (330). Ein Körper durchläuft im freien Fall im zeitlichen Abstand von t =2 s die beiden Punkte P1 und P2 , die vom Ausgangspunkt die Entfernungen h1 undh2 haben.Seine kinetische Energie E in P2 doppelt so groß wie in P1.Wie groß sind die beiden Fallstrecken h1 und h2 ?

Свободно падающее тело пересекает две точки P1 и P2 с временным интервалом t =2 s, которые находятся на расстоянии h1 и h2 от началь-ной точки падения.Его кинетическая энергия E в точке P2 в два раза больше,чем в точке P1.Каково расстояние h1 и h2 обоих точек от начальной точки падения? Решение. Для определения этих расстояний необходимо знать ско-рости этого тела v1 и v2 в точках P1 и P2 , затем по формуле свободного падения h = v²/ 2g определить расстояние падения от начальной точки до точек P1 и P2 . Для определения скоростей необходимо воспользоваться соотношениемкинетических энергий в точках P1 и P2 и временем падения между этими точками t. Кинетическая энергия в точке P1 равна Е1 = mv²1 /2, а в точке P2 - Е2 = mv²2 /2.Удваивая энергию первой точки и приравнивая к энергии второй, легко получаем соотношение между скоростями v2 = 2 v1 . С другой стороны, за время падения t между двумя точками достигнута скорость v2 = v1 + g t или 2 v1 = v1 + g t, откуда получаем: _ v1 = g t /(2 – 1).

18

Далее для h1 получаем: __ __ h1 =[ g t /( 2 – 1)]²/2 g = g * t² /[( 2 – 1)]²*2] = 9,81*2²/ 2* ( 2 – 1)]²=114,4 m.

Как нетрудно заметить из соотношения скоростей, h2 = 2 h1 = 228,8 m.

Ответ. h1 =114,4 m, h2= 228,8 m. Reibungsarbeit Работа силы трения

Aufgabe 18 (342). Ein Wagen fährt mir der Geschwindigkeit 60 km/h auf horisontale Strecke und rollt mit ausgekuppeltem Motor frei bis sum Stillstand aus.Wie lang sind Aus-laufstrecke und Auflaufzeitbei einer Fahrwiderstandszahl von µ = 0,04?

Автомобиль движется по горизонтальной дороге со скоростью 60 km/h с выключенным мотором до полной остановки.Какова длина тормозного пути и времени торможения, если коэффициент трения составляет 0,04 ? Решение. При движении автомобиля со скоростью v = 60 km/h он об-ладает кинетической энергией равной Е = m v² /2.Для его полной остановки нужно погасить эту энергию,преобразовав её в работу силы трения.Величина силы трения равна при горизонтальном движении F = mgµ ,а работа А равна Fs или А = mgµs.Приравнивая Е к А и решая это уравнение относительно s ,получим:

s = v² / 2gµ =(60*1000)²/ 3600²*2*9,81*0,04 =354 m.

Время торможения определить несложно,если учесть,что торможение до полной остановки происходило с постоянным ускорением.В этом слу-чае средняя скорость торможения равна половине начальной скорости,т.е. 30 km/h.Отсюда время торможения равно:

t = 354 / (30*1000/3600) = 42,5 s.

Oтвет. s = 354 m, t = 42,5 s.

19

Massenträgheitsmoment und Rotationsenergie Момент инерции и энергия вращения

Aufgabe 19 (359). Ein 80 cm langer und 20 cm dicker Vollzylinder aus Stahl (g / cm³) soll auf eine Drehzahl von 180 1/ min erhalten.Welche Antriebskraft muß auf Stufenscheibe von 15 cm Radius übertragen werden,wenn die Anlaufzeit höh-stens 5 s betragen darf,und welche Leistung hat der Motor für diesen Zweck aufzu-wenden?

Полнотелый цилиндр диаметром 20 сm из стали (g / cm³ = = 7,6*10 3 kg/m³) разгоняется за 5 s с помощью цанги радиусом 15 cm до скорости 180 1/min ( 6rad/s).Какую силу (радиальную) нужно прило-жить к цанге, чтобы осуществить этот разгон и какой мощностью должен обладать мотор? (Массой цанги и,соответственно,её моментом инерции пренебрегаем). Решение.Как известно,соотношения,описывающие динамику вращаю-щегося тела,полностью совпадают с аналогичными соотношениями дви-жущегося тела,если его массу заменить моментом инерции,силу – момен-том вращения,а скорость и ускорение – угловой скоростью и ускорением. Следовательно для решения этой задачи необходимо определить вначале момент инерции разгоняемого цилиндра,а затем,в соответствии с законами динамики вращения,определить силу и мощность. Обозначим:r1 , l - радиус и длина цилиндра,r2 - радиус цанги,m - масса цилиндра,J - момент инерции цилиндра,t - время разгона,F - приложенная к цанге радиальная сила,P -необходимая мощность мотора,- угловая скорость и ускорение. Вначале находим массу цилиндра по формуле m = r1²l ,а затем его момент вращения J относительно оси.Формулу для момента вращения бе-рём из таблицы,т.к.для её получения необходимо знать дифференциаль-ное и интегральное исчисление:

J = mr1² /2 = r14

l/2 . Разгон цилиндра осуществляется за счёт приложенного к цанге момен-та вращения F r2,который равен моменту инерции,умноженному на угловое ускорение - J..Поскольку разгон был равноускоренным с на-чальной нулевой скоростью и постоянным ускорением, то =t. 20

Подставляя в равенство F r2 = J.,значения J, и решая относительно F , получим:

F = r14

l/ 2 r2 t = ³6 24,0 N.

Мощность равна произведению момента на угловую скорость:

P = M= F r2=24,0*6W.

Ответ. F = 24,0 N, P = W.

Fliehkraft Центробежная сила

Aufgabe 20 (380). Eine Kurve vom Krümmungsradius r = 600 m soll für eine Zuggeschwindich-keit 60 km/h so geneigt werden,daß das die Resultierende aus Schwer- und Fliehkraft senkrecht zum Gleis steht.Um wieviel muß die äußere Schiene höher als innere verlegt werden,wenn Spurweite 1435 mm beträgt?

При прокладке железнодорожной линии по кривой радиусом r = 600 m ,по которой поезд будет итти со скоростью 60 km/h ( 50/3 m/s), необходимо так приподнять внешний рельс по отношению к внутреннему, чтобы ре-зультирующая силы тяжести и центробежной силы была бы перпендику-лярна плоскости полотна.На сколько нужно приподнять внешний рельс, если расстояние между рельсами составляет 1435 mm ? Решение.При движении поезда по кривой возникает центробежная сила, которая направлена по радиусу в протиположную сторону от центра кривой и которая,таким образом,уменьшает устойчивость поезда на по-вороте, т.к. стремится его опрокинуть в сторону протиположную от цен-тра поворота.Наибольшая устойчивость поезда возникает тогда,когда ре-зультирующая всех сил перпендикулярна плоскости полотна,а это дос-тигается приподнятием внешнего рельса,что приводит к определённому наклону поезда в сторону центра кривой. Обозначим:P – сила веса,Ff –центробежная сила,F – равнодействующая,r - радиус поворота,v - скорость поезда на повороте, -угловая скорость на повороте, 21- угол наклона поезда на повороте,

H - расстояние между рельсами, h- высота подъёма внешнего рельса (см.рис).

Ff

P F

h

Три силы,показанные на рисунке,образуют прямоугольный треуголь-ник,у которого катетами являются сила веса P ,равная mg, и центро-бежная сила Ff ,равная m²r.Заменяя угловую скорость на линейную (касательную v = r ),получим Ff = v² / r.Гипотенузой этого треугольника является равнодействующая сила F. Из этого треугольника легко определить тангенс угла наклона ,кото-рый равен углу наклона полотна по отношению к горизонтали:

tan = Ff / P = v ² /g r =(50/3) ² / 9,81*600 =0,047.

Отсюда легко найти величину подъёма внешнего рельса h = H sin При таком малом тангенсе и угле ( = 2,79° ) тангенс угла с высокой точ-ностью равен углу в радианах и синусу угла.Величина подъёма в этом случае равна:

h = H sin = 1435*0,047 = 67,4 mm.

Ответ. h = 67,4 mm.

Impuls und Stoß Импульс и столкновение

Aufgabe 21 (403). Ein Güterwagen 1 der Masse m1 stößt elastisch gegen den ruhenden Wagen 2 der Masse m2 = 1,4 t,worauf Wagen 2 mit der Geschwindigkeit v2 = 2 m/s und Wagen 1 mit v1 = 0,2 m/s davon laufen.Welche Masse m1 hat Wagen 1 und wie 22

groß ist seine Anfangsgeschwindichkeit u1 ?

Вагон 1 массой m1 эластично сталкивается с неподвижным вагоном 2 массой m2 = 1,4 t , после чего они расходятся, причем, вагон 2 имеет ско-рость расхождения v2 = 2 m/s ,а вагон 1 - v1 = 0,2 m/s.Какую массу m1 имеет вагон 1 и какова была его начальная до столкновения скорость u1? Решение.Решение этой задачи основано за законе эластичного столкно-вения.Общий закон столкновения утверждает,что импульс или количе-ство движения системы,равное сумме mv количества движения всех ком-понентов замкнутой системы после эластичного столкновения, не изменя-ется.Отсюда следует первое необходимое для решения задачи уравнение:

m1 u1 = m1 v1 + m2 v2 ,

При эластичном столкновении,кроме того, сохраняются суммы началь-ной и конечной скоростей для каждого компонента системы,для каждой массы (в нашем случае вагона),откуда получаем второе уравнение:

u1 + v1 = v2

Здесь учтено,что начальная скорость второго вагона равна нулю. Поставляя в первое уравнение u1 из второго и решая его относительно m1 ,получим:

m1 = m2 v2 / (v2 – 2 v1) =14*2/(2-2*0,2) = 17,5 t.

Из второго уравнения получаем:

u1 = v2 - v1 = 2-0,2 =1,8 m/s.

Ответ. m1 =17,5 t, u1 =1,8 m/s.

Massenanziehung Закон притяжения масс

Aufgabe 22(426). Welche Strecke würde die Erde in der ersten Minute zurücklegen, wenn sie plötzlich angehalten und nur Anziehungskraft der Sonne folgen würde?(Enf-fernung Erdmittelpunkt –Sonnenmittelpunkt 149,5 *106 km).

Какое расстояние в первую минуту пройдёт Земля,если она мгновенно будет остановлена и затем будет двигаться только под действием силы притяжения к Солнцу. (Расстояние между центрами Земли и Солнца сос- 23

тавляет 149,5 *106 km.) Решение.Конечно,реально такую ситуацию себе представить невозмо-жно,т.к. за счёт сил инерции все на Земле будет двигаться по касательной к траектории движения Земли в космическом пространстве.Скорость этого движения составляет примерно 30 km/s и,конечно, на Земле всё сорвётся с места и будет разрушено. Как абстрактная физическая задача,она имеет решение. Если Земля остановится,то в первые мгновения она будет двигаться за счёт силы притяжения к Солнцу по прямой,направленной к Солнцу, с ус-корением,равным ускорению силы притяжения масс,которая равна в слу-чае Земли и Солнца центростремительной силе (см.замечание к задаче). Введём обозначения:- угловая скорость в rad/s,T - период вращения Земли вокруг Солнца ,равный 365 суткам или 365*24*60² = 3,1536*10 7 s.a - центростремительное ускорение вращения Земли вокруг Солнца,r - расстояние между центрами Земли и Солнца.

Определим вначале угловую скорость:

= 2T =23,1536*10 7 = 1,992*10 –7 rad/s. Центростремительное ускорение находим по формуле:

a = r149,5 *106*103*(1,992*10 –7)² = 593,2*10 -5 m/s2.

За одну минуту Земля в направлении к Солнцу пройдёт рассто-яние,равное

s = at²/2 =593,2*10-5*60²/2 = 10,7 m

Ответ: 10,7 m Замечание.Вначале может показаться,что использовать величину цен-тростремительной силы для неподвижной Земли невозможно,т.к.в состоя-нии покоя она исчезает.Однако следует помнить,что центробежная сила ,а следовательно,равная ей по величине центростремительная сила,при вра-щении Земли равна силе притяжения масс Земли и Солнца. Если центробежная сила стала бы больше,то Земля сорвалась бы со своей замкнутой траектории и улетела в межзвёздное пространство,а если меньше,то Земля «упала» бы на Солнце.Поэтому в задаче использована величи-на центростремительной силы и все данные для её вычисления.В действительности,при остановке Земли действует сила притяжения масс,что следует из закона всемирного тяготения .

24

Ответ к задаче 4. Разложим все шары на три группы: 3, 3 и 2 и положим на каждую чаш-ку весов по три шара первых двух групп.Если весы покажут равно-весие,то более тяжёлый шар находится среди оставшихся двух и путём их2-го взвешивания легко найти более тяжёлый.Если весы покажут нерав-новесие,то более тяжелую тройку шаров разделим на три части по одному шару и любую пару положим на обе чашки весов.Если будет равно-весие,то оставшийся шар тяжелее.При неравновесии сразу определяется более тяжелый шар. Эту задачу можно обобщить следующим образом.Доказать,что макси-мальное число шаров, из которых путём n взвешиванй можно определить один более тяжёлый или лёгкий шар равно 3n.

25

Elektrizitätslehre Электричество Gleichstrom Постоянный ток Einfacher Stromkreis Простейшие электрические цепи

Aufgabe 23 (971). Ein Verbraucher ist über eine 500 m vom Speisepunkt entfernte,3 mm dicke Aluminiumleitung (=0,0286 mm²/m ) mit der Spannugsquelle verbunden.Bei Belastung mit I1 = 5A beträgt die Klemmenspannung U5A = 189,8 V.Wie groß ist die Klemmenspannug bei Belastung mit I2 = 10 A?

Некий потребитель электричества,находящийся в 500 m от пункта элек-троснабжения,связан с этим пунктом алюминиевым проводом диаметром 3 mm (=0,0286 mm²/m ).При токе потребления I1 = 5A напряжение, ко-торое подаётся потребителю,равно U5A = 189,8 V.Каково будет это напря-жение,когда ток нагрузки потребителя будет равен I2 = 10 A? Решение.Для определения напряжения на входных клеммах потреби-теля при нагрузке 10 А необходимо вначале определить падение напряже-ния на подводящих проводах при нагрузке 5 А.Затем,полагая,что внутрен-нее сопротивление источника напряжения равно нулю или пренебрежимо мало по сравнению с сопротивлением проводов,определить напряжение холостого хода (Leerlauf) источника.К сожалению,это предположение не оговорено в условии задачи,однако при её решении его нужно учиты-вать.Далее при нагрузке10 А найти падение напряжения на подводящих проводах и затем напряжение на входных клеммах потребителя. Находим сопротивление двух подводящих проводов: R =8 l/d² и паде-ние напряжения на подводящих проводах при нагрузке 5 А:

U5A = I1R = 8 l I1 /d².

Напряжение холостого хода источника будет равно : E = U5A+U5A, а напряжение на клеммах потребителя при нагрузке 10 A равно:

U10A = E - U10A = U5A+U5A - U10A = = U5A + 8 l (I1 - I2) /d²=189,9+8*0,0286*500*(5-10)/²=169,7 V

Ответ. 169,7 V 26

Aufgabe 24 (986). Schaltet man ein Drehspulinstrument in Reihe mit einem Widerstand von 50 bzw.60 so zeigt es einen Strom von 85,7 mA bzw. 72 mA an.Wie groß sind der Widerstand des Instrumentes und angelegte Spannung? Измерительный прибор с подвижной катушкой включён последо-вательно с сопротивлением 50 , затем 60 при этом в первом случае он показывает ток 85,7 mA ,а во втором 72 mA.Определить внутреннее сопро-ивление прибора Ri и напряжение,приложенное к измерительной цепи Е. Решение.Очевидно,прибором в этом случае является миллиамперметр, который измеряет ток при его включении последовательно с двумя разными сопротивлениям при одном и том же источнике напряжения Е. Такую схему можно использовать также в качестве омметра,если известно напряжение источника Е и внутреннее сопротивление прибора Ri и отградуировать (калибровать) его в омах. В нашем же случае соста-вляем два уравнения для определения двух наизвестных E и Ri : : E = 85,7(Ri+50), E = 72(Ri+60). Вычитая второе уравнение из первого,легко получим значение Ri

=2,55а затем из первого или второго уравнения получим значение Е = 4503 mV или 4,5 V. Ответ. Ri = 2,55 Е = 4,5 V.

Zusammengesetzte,Widerstände Общие законы,сопротивления

Aufgabe 25 (993). Zwei Widerstände ergeben in Reihenschaltung den 6-fachen Wert wie Parallelschaltung.In welchem Verhältnis R1 /R2 = a stehen sie zueinander?

Два сопротивления R1 и R2 имеют при последовательном включении ве-личину общего (эквиалентного) сопротивления в 6 раз больше,чем при их параллельном включении.Определить отношение их величин R1 /R2 = a. Решение.Для этой задачи следует выразить эквивалентное сопротивле-ние при последовательном и параллельном включении,а затем учесть,что при последовательном включении величина эквивалентного сопротивле-ния в 6 раз больше,после чего легко найти искомое отношение. Уравнение для решения задачи имеет вид:

R1+R2 = 6R1R2 /(R1+R2).

27 Вначале,сокращая обе части уравнения на R2 , получим:

a + 1 =6R1 /(R1+R2).

затем,перемещая R1 в знаменатель дроби и вводя его в выражение в скобках,получим:

1 + a = 6/(1 + 1/a).

Преобразуя это уравнение,получим квадратичное уравнение для опре-деления а : a² - 4a +1 = 0. _ Его решение даёт два значения для величины а : a1 = 2+и a2 = 2- Две величины для значения а получены потому,что в отношении а со-противления R1 и R2 могут быть в обратном порядке и тогда a1 = 1/ a2 ,что легко проверить. Ответ. a1 = , a2 =

Aufgabe 26 (1002). Der Zeiger eines Strommessers,dessen Innenwiderstand Ri= 24 beträgt, schlägt bei I1 = 84 mA voll aus.Welchen Wert muß ein Nebenwiderstand ha-ben,wenn den Vollausschlag I2 = 100 mA entsprechen sollen?

Стрелка миллиамперметра с внутренним сопротивлением Ri = 24 при токе I1 = 84 mA упирается в ограничитель,который расположен в конце шкалы прибора.Какое сопротивление необходимо включить и каким образом (параллельно или последовательно),чтобы стрелка дос-тигала огра-ничителя при токе I2 = 100 mA. Решение.Задача сводится к тому,чтобы расширить диапазон измерения тока с 84 mA до 100 mA.Такое изменение диапазона измерений миллиам-перметра можно сделать с помощью внешнего только параллельного со-противления (шунта). Пусть шунтирующее сопротивление имеет величину RN ,тогда общее со-противление прибора будет равно: R = RN Ri / (RN + Ri). Условие, которое должно соблюдаться, чтобы прибор при этом откло-нялся на полную шкалу,состоит в равенстве напряжений на приборе в обоих случаях, в результате чего получаем уравнение для определения RN:

I1 Ri = I2 R = I2RN Ri /(RN + Ri).

28 Отсюда получаем уравнение для определения RN :

RN = I1Ri /( I2 -I1)=84*24/(100-84) = 126 Ответ.126 Замечание.Отметим,что с помощью внешнего параллельного сопроти-вления можно расширять предел измерения только амперметра (миллиам-перметра) по току по сравнению с тем, которое определяется его внутрен-ним сопротивлением.Для расширения диапазона измерений вольтметра необходимо применять соответствующее внешнее последовательное со-противление. Arbeit und Leistung des elektrischen Stromes Работа и мощность в электрических цепях

Aufgabe 27 (1012). Eine Lampe für U1 = 4V und P= 6W soll in Reihe mit einem elektrischen Heizkörper an 220V-Netz angeschlossen werden,wobei sie normal brennen soll. Welche Leistung muß der Heizkörper bei Spannung von 220V bzw. bei vorgeschalteter Lampe aufnehmen?

Лампа,имеющая напряжение питания U1 = 4V и мощность P= 6W,включена последовательно с нагревателем в сеть с напряжением 220V.Какую мощность при этом потребляет нагреватель? Решение.Из условия задачи следует,что лампа включена последо-вательно с нагревателем и для её нормальной работы через неё должен протекать ток, равный току лампы Il = P/U1 . При этом напряжение на нагревателе меньше напряжения в сети на величину падения напряжения на лампе и будет равно UN - U1, а ток будет равен Il.Таким образом мощность на нагревателе будет равна:

PH = P(UN - U1)/ U1= 6*(220-4)/4 = 324 W.

Полная потребляемая мощность PV будет равна сумме мощностей,т.е.330 W. Ответ. 324 W. Замечание.Эта задача показывает,что для включения низковольтной лампы в сеть с напряжением 220V (имеется в виду сеть переменного тока) не следует применять последовательно включённое сопротивление,оно потребляет мощность в 55 раз больше,чем осветительная лампа и,соот-ветственно, энергию.В этом случае следует применять согласующий трансформатор (в немецкой трактовке-соотвествующий Adapter).

29 Aufgabe 28 (1022).

Für eine Projektionslampe von P1 =150 W und U1 =60 V soll zum Anschluß an U =125 V ein Vorschaltwiderstand aus 0,4 mm dickem Konstantandraht ge-wickelt werden ( = 0,5 mm²/m ).Wieviel Meter Draht sind erforderlich, und welche Leistung P2 braucht Widerstand? Для включения лампы проектора мощностью P1 =150 W и напря-жением U1 =60 V в сеть с напряжением U=125V последовательно под-ключается добавочное сопротивление из константановой проволоки диаметром 0,4 mm и удельным сопротивлением = 0,5 mm²/m. Определить длину проволоки,необходимую для изготовления этого сопротивления,и какую мощность оно потребляет. Решение. Для решения задачи необходимо вначале определить величи-ну сопротивления,для чего нужно вычислить напряжение и ток,проходя-щий через него,а затем можно найти его длину. Напряжение на добавочном сопротивлении U R равно: U –U1 =125-60 = 65 V.

Ток,проходящий через это сопротивление,равен току лампы: I = P1 /U1 =150/60 = 2,5 A.

Величина дополнительного сопротивления равна 65/2,5=26 По формуле,определяющей сопротивление провода,находим: R = 4l/d²,откуда получаем:

l =R d² /4=26 * 0,4²/4*0,5 =6,53 m.

Мощность,теряемая на этом сопротивлении,равна:

P =I²R=2,5²*26 =162,5 W. Конечно,как и в задаче 27, лучше в этом случае включить понижающий трансформатор,если используется напряжение переменного тока,а не те-рять такую большую мощность. Ответ. l =6,53 m, P =162,5 W.

Elektrisches Feld Электростатическое поле

Aufgabe 29(1037). Zwei kreisförmige Platten von je D = 20 cm Durchmesser stehen einander im 30

Abstand von d = 1,2 cm isoliert gegenüber und sind mit einer Span-nungsquelle von U = 220 V verbunden.Wie groß ist die Feldstärke im Zwischenraum, und welche Ladungsmenge befindet sich auf den Platten?

Две круглые пластины диаметром D = 20 cm каждая изолированы и рас-положены на расстоянии d = 1,2 cm друг против друга.Они подключены к напряжению U = 220 V.Какова напряжённость в пространстве между пластинами и какова величина заряда конденсатора,образованного этими пластинами. Решение.Напряженность электрического поля вычисляется по форму-ле: : E = U/d = 220/1,2 =183,3 V/cm.

Заряд кондесатора определяется соотношением : Q = CU,

где С – ёмкость конденсатора,определяемая формулой: C = 0A/d,0 –диэлектрическая проницаемость в вакууме,равная 8,854*10-14 As/Vcm и с достаточно большой точностью равная диэлектрической проницаемо-сти сухого воздуха, А-площадь пластины конденсатора, равная D²/4. Учитывая эти соотношения, для заряда получим выражение:

Q = 0UA/d = UD²/4d = 8,854*10-14*220*20²/4*1,2 = 5,1*10 -9 As.

Ответ.Е = 183,3 V/cm, Q = 5,1*10 -9 As (С).

Aufhabe 30 (1047). Zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren liegen an U=120 V Spannung und enthalten die Energie W1 =0,01157 Ws.Werden sie abgetrennt und mit gleichenPolen parallelgeschaltet; so sinkt die Energie auf W2 =0,010626 Ws.Wie groß sind ihre Kapasitäten C1 und C2?

Два последовательно включённых конденсатора C1 и C2 подсоеденены к напряжению U=120 V и имеют запасённую ими энергию W1 =0,01157 Ws.Затем они были разделены и одинаковыми полярностями соеденены па-раллельно.Запасённая ими энергия уменьшилась до W2 =0,010626Ws. Какова величина ёмкости каждого конденсатора? Решение.Для определения величин ёмкостей необходимо получить двауравнения с неизвесными C1 и C2..Известно,что энергия заряженного кон-денсатора ёмкостью С равна W = CU²/2. Одно из уравнений для экви-валентной ёмкости CR двух последовательно включённых конденсаторов 31получить несложно:

CR = 2W1/U² = 2*0,01157 /120² = 1,6*10-6 F =1,6 µF.

Получаем первое уравнение:

C1C2 /(C1 + C2) = 1,6.

Второе уравнение получаем более сложным путём.Во-первых, необхо-димо определить величину заряда раннее включенных последовательно конденсаторов,которые с учетом одинаковой полярности по условию за-дачи включены параллельно. Здесь необходимо учесть,что при разделении последовательно включён-ных конденсаторов заряд каждого стал равен полному заряду двух после- довательно включённых конденаторов.Это связано с тем,что раннее сое-динённые пластины были проводником и на каждой внутренней пластине по закону индуцированного заряда возник одинаковый заряд,обратный по знаку и равный заряду внешней пластины.Таким образом,при соединении параллельно общий заряд удвоился. Определяем заряд последовательно включённых конденсаторов:

QR = CRU =1,6*10 -6 *120 =192*10 -6 As

Отсюда находим заряд на параллельно соединённых кондесаторах:

QP = 2QR =2*192* 10-6 =384* 10-6 As,

а напряжение на конденсаторах находим из соотношения для энергии, учитывая,что QR = CRU:

UP = 2W2/QP = 2*0,010626/384* 10-6 =54,9 V.

Наконец,определяем суммарную емкость CP двух параллельно включён-ных конденсаторов,что даёт второе уравнение:

CP = C1 + C2 = QP /UP =386* 10-6 /54,9 = 7,03 µF.

Из двух уравнений: C1C2 /(C1 + C2) = 1,6; C1 + C2 =7,03

легко находим: C1 = 2,5µF, C2 = 4,5µF. Ответ. C1 = 2,5µF, C2 = 4,5µF. 32 Magnetisches Feld

Магнитное поле

Aufgabe 31 (1057). An den Enden einer L =15 cm langen, eisenfreien Zylinderspule von N =850 Windungen (mittlere Windungslänge l m = 6 cm) aus d = 0,3 mm dickem Kup-ferdraht ( = 0,0174 mm²/m) liegt eine Spannung von U = 20 V.Welche Induktion herrscht im Spuleninneren? (µ0 =1,257 *10-6 Vs/Am -magnetishe Feldkostante für Vakuum auch für Luft).

К цилиндрической катушке длиной L =15 cm без железного сердечника с числом витков,равным N =850,и средней длиной витка l m = 6 cm при-ложено напряжение U = 20 V.Катушка намотана медным проводом диаметром d = 0,3 mm и удельным сопротивлением = 0,0174 mm²/m. Какова величина индукции внутри катушки?Абсолютная магнитная проницаемость для вакуума и воздуха одинакова и равна µ0 =1,257 *10 -6 Vs/Am. Решение. Для решения этой задачи необходимо найти ток,проходящий через катушку,а затем определить напряжённость магнитного поля, об-разованного этим током и индукцию в катушке. Сопротивление провода катушки определяется по формуле:

R =l m N/A=4l m N/d²=4*0,0174*0,06*850/0,3² =12,55

где А –площадь сечения провода равная d²/4. Определяем ток в катушке:I = U/R = 20/12,55 = 1,59 A.Напряженность в катушке определяется по формуле:

H = IN / L = 1,59*850/0,15 = 9010 A/m.

Наконец,определяем индукцию в катушке:

B = µ0H = 1,257*10-6 * 9010=113,2*10 -4 Vs/m² .

Ответ. 113,2*10-4 Vs/m² .

Aufgabe 32 (1067). Wieviel Windungen N muß eine eisengefüllte Zylinderspule von A = 5 cm² Querschnitt und Induktivität L =1,5 H tragen,wenn die Stromstärke I =0,3 A, die Feldstärke H =500 A/m und zugehörige Permeabilitätszahl µ = 1900 be-trägt,und welche Länge l muß die Spule haben? ( µ0 =1,257 *10-6 Vs/Am -magnetishe Feldkostante für Vakuum auch für Luft). 33 Сколько витков N должна иметь цилиндрическая катушка с железным сердечником,площадь сечения которого равна A = 5 cm² и индуктивность

L =1,5 H.Ток,протекающий в катушке, равен I =0,3 A,а напряженность H =500 A/m. Магнитная проницаемость сердечника равна µ = 1900 и абсолютная магнитная проницаемость вакуума,равная магнитной про-ницаемости воздуха, равна µ0 =1,257 *10 -6 Vs/Am. Необходимо также определить длину катушки l. Решение. Индуктивность катушки по определению равна полному маг-нитному потоку, делённому на ток,проходящий через катушку,т.е. опре-деляет свойства катушки под действием тока создавать магнитный поток и выражается формулой: L = N/I , - поток,образованный одним вит-ком. Сам же поток ,образованный одним витком,равен магнитной ин-дукции B =µ0µH, умноженной на сечение катушки А. Таким образом,получаем исходное соотношение для определений числа витков: N = L I /µ0µHA = 1,5*0,3/ 1,257 10 -6*1900*500*5*10 -4 = 779 w.

Наконец,определяем длину катушки по формуле: l = IN/H = 0,3*779/ 500 = 0,47 m.

Ответ. N= 779 w, l =0,47 m. Induktionsvorgänge Законы индукции

Aufgabe 33 (1072). In der Ankerwicklung (Durchmesser d = 18 cm,R = 0,2 ) eines Gleichstrommotors befinde sich ständig m = 90 je l =35 cm lange Drähte im Feld.Wie groß ist die hier die Induktion,wenn der Motor bei einer Drehzahl von n = 600 1/min eine Leistung von P = 2,207 kW bei einem Wirkungsgrad von = 0,88 ergibt und die Klemmenspannung U = 218 V beträgt?

Обмотка якоря диаметром d = 18 cm и сопротивлением R = 0,2 мо-тора постоянного тока состоит из 90 витков провода,при этом в магнит-ном поле расположена длина витка,равная l =35 cm.Какова индуктив-ность ротора,если при скорости вращения n = 600 1/min он развивает мощ-ность P = 2,207 kW при коэфициенте полезного действия = 0,88 и напря-жении на клеммах ротора U = 218 V? Решение. Для определения индуктивности якоря электромотора необ-ходимо знать напряжение индукции,которое падает на якоре мотора и 34приводит его в движение в соответствии с формулой UR = BvL ,где UR –индуктивная (реактивная) компонента напряжения на якоре, B-индукция магнитного поля в якоре, v- линейная скорость поверхности враща-

ющегося якоря, на которой расположены намотанные провода, L- длина намотанных проводов, равная длине одного провода l,умноженной на число проводов m. Для определения напряжения индукции в UR начале определим падение напряжения на омическом (активном) сопротивлении RA .Реальная мощ-ность,которую потребляет мотор равна P0 = P/откуда для тока полу-чаем выражение:

I = P0 /U = P/U

Отсюда падение напряжения на активном сопротивлении UA равно:

UA = PR/U

Реактивное напряжение на якоре определяется, как катет прямоугольно-го треугольника напряжений,где полное напряжение U - его гипотенуза, при этом учитываем ,что между активным UA и реактивным напряжением на индуктивности якоря UR угол 90°:

Теперь определяем индуктивность:

B = UR / vL=UR / vml =UR /dn/60)ml = = 217,98/ [ (600/60)*90*0,35]= 1,234 Vs/m².

Ответ. 1,234 Vs/m² (Т –Tesla). Замечание. 1.Несмотря на питание мотора постоянным током,для его вращения (циклического движения) необходимо питание ротора или ста-тора переменным током,если статор или ротор, питается постоянным то-ком или они являются постоянными магнитами. Обычно переменным током питается ротор,а преобразователем постоян-ного тока в переменный является наиболее ненадёжный узел мотора – коллектор со щётками,расположенный на якоре.Он быстро стирается, по-крывается нагаром,искрит и создаёт радиопомехи.Поэтому в некоторых моторах постоянного тока,которые размещены в приборах,где радио-помехи нарушают работу прибора, якорь представляет постоянный маг-нит,а на клеммы статора подаётся сдвинутое по фазе двухфазное пере-менное напряжение,которое генерируется специальным генератором, пи- 35тающимся постоянным током. Примером являются все моторчики постоянного тока, вращающие лопа-сти вентиляторов в компьютерах.

2.В задаче напряжение на реактивном сопротивлении определяется, ис-ходя из условия его сдвига на 90° по отношению к напряжению на акти-вном сопротивлении.Строго говоря,это действительно для синусоидаль-ных напряжений и токов.В нашей же задаче ток в статоре импуль-сный,двухполярный с периодом,равным периоду вращения ротора. Однако,при переключении коллектора ток в индуктивности ротора ска-чком измениться не может,что сглаживает импульс тока и напряжения и приближает его к синусоиде.

Aufgabe 34 (1077). Eine elektrische Maschine ist ein U = 125 V führendes Netz angeschlos-sen.Ihre Erregung wird bei kostant gehaltener Drehzahl so eingestellt,daß in . Anker (R = 0,04 ) die Urspannung UUr =123 V induziert.a)Arbeitet die Maschineals Motor oder als Generator? b)Welche Leistung nimmt die Maschine auch bzw. gibt sie ab?

Электрическая машина постоянного тока,которая может работать как мотор или генератор постоянного тока, включена в сеть с напряжением U = 125 V. При этом поддерживается постоянной её скорость вращения,а напряжение индукции на роторе равно UUr =123 V ,его активное сопро-тивление R= 0,04 ..Необходимо определить: а) работает ли машина в режиме мотора или генератора, в)какую мощность отбирает машина,если она работает как мотор,или какую мощность отдаёт,если - как генератор. Решение.Вначале отметим сразу,что машина работает как мотор, по-скольку напряжение индукции на роторе (якоре)123V меньше напряжения сети 125 V. Для генераторов наоборот,напряжение на роторе больше вы-ходного (сетевого). Падение напряжения,которое теряется в моторе,падает на его активном сопротивлении R = 0,04 ..Отсюда для определения тока получаем фор-мулу и определяем ток: I = (U-UUr)/ R = (125-123)/0,04 = 50A. Далее несложно получить значение потребляемой мотором мощности: P = UI =125*50 = 6250 W = 6,25 kW. Ответ.Работает как мотор и потребляет мощность P =6,25 kW. Замечание.В русскоязычной литературе электрические моторы чаще называют электрическими двигателями (электродвигателями). 36 Wechselstrom Переменный ток

Widerstände im Wechselstromkreis Сопротивления в цепях переменного тока

Aufgabe 35 (1090). Eine Leichtstoffrohre,deren Brennspannung bei einer Stromstärke von 0,15A55 V beträgt,soll über eine Vorschaltdrossel an die Netzspannung von 220 V(50 Hz) angeslossen werden.Wie groß muß deren Induktivität sein?

Осветительная лампа,наполненная газом,при нормальной работе имеет напряжение 55 V и потребляет ток 0,15A.Она включается в электрическую сеть напряжением 220 V.Последовательно с ней включается катушка ин-дуктивности (дроссель) для уменьшения пускового тока.Какова должна быть индуктивность дросселя? Решение.Введём следующие обозначения:

UL-напряжение на лампе, I - ток потребления лампой,RL – омическое (активное) сопротивление лампы,X – индуктивное (реактивное) сопротивление дросселя,Z –полное сопротивление цепи,U - напряжение в электрической сети,f -частота сетевого напряжения,

L -искомая индуктивность дросселя. Для определения индуктивности дросселя вначале необходимо найти его реактивное сопротивление X,которое включено последовательно с активным (омическим) сопротивлением лампы.Однако,несмотря на по-следовательное включение лампы и индуктивности,их сопротивления не суммируются,как омические сопротивления в цепи постоянного тока, т.к.они имеют разный характер:омическое и реактивное (индуктивное). В цепи переменного тока эти сопротивления представляют два вектора, сдвинутые на 90°,и их сложение необходимо проводить векторно,а их сумма является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равны-ми этим сопротивлениям.

Определяем омическое сопротивление лампы: RL =UL /I , затем полное сопротивление цепи,состоящей из лампы и дросселя: Z = U/I.. Учитывая векторный характер суммы,находим реактивное сопротивлениие дрос-селя:

37

или после подстановки значений сопротивлений и RL получим:

Отсюда для искомой индуктивности получим выражение:

Подставляем в это выражение все данные значения и получим:

Ответ: L = 4,52 Н.

Aufgabe 36 (1087). Liegt eine Drosselspule eine Gleichspannung von UGl= 6 V so ist die Strom-stärke IGl = 0,3 A.Beim Anlegen einer Wechselspannung von UW =125V fließen IW = 0,75 A.Zu berechnen sind der Scheinwiderstand Z Wirk- und Blindwider-stand R bzw. XL=L, die Induktivität L sowie Phasenwinkel bei f = 50 Hz.

К дроссельной катушке приложено напряжение постоянного тока UGl = 6 V ,при этом ток в цепи равен IGl = 0,3 A.При поключении её к пере-менному току напряжением UW =125V в цепи течет ток равный IW = 0,75А. Определить кажущее сопротивление Z, активное и реактивное сопротивления R и XL, индуктивность катушки L и фазовый сдвиг между компонентами сопротивлений при частоте сети переменного равной f = 50 Hz. Решение.Вначале при постоянном токе определяем активное сопроти-вление дросселя R = UGl /IGl = 6/0,3 =20 Затем определяем кажущее (полное) сопротивление дросселя перемен-ному току Z = UW /IW =125 / 0,75=166,7

Обратим внимание,что индуктивность на постоянном токе обладает значительно меньшим сопротивленем ,чем на переменном токе и,если его включить на высокое напряжение постоянного тока, например, те же 125 V, то она может сгореть. Реактивное сопротивление определяем,учитывая геометрическое сложе-

38ние активного и реактивного сопротивлений:

Индуктивность дросселя равна:

L = (L) /2f = 165,5/2**50 =0,53H. Фазовый угол равен:

= arctan L/ R = arctan 165,5/20 = 83,5°.

Заметим,что фазовый угол в цепи с реактивным индуктивным сопротивлением или преобладанием индуктивной компоненты над ёмкостной – положительный,а ток отстаёт от напряжения,в емкостной цепи наоборот-фазовый угол отрицательный,а ток опережает напряжение (фаза тока противоположна фазе сопротивления).

Ответ. R =20 Z =166,7 XLL=165,5 =83,5°. Aufgabe 37 (1092).

Die Induktivität L einer Reienschaltung aus R und L wird um Hälfte vergrö-ßert.Auf welchem Bruchteil x muß R verkleiner werden,wenn der Scheinwider-stand Z konstant bleiben soll und R anfänglich gleich 2L ist?

Индуктивность L цепи,состоящей из последовательно включённых оми-ческого сопротивления R и индуктивности L,увеличена на половину. Во сколько раз x необходимо уменьшить омическое сопротивление R, чтобы кажущее (общее) сопротивление Z не изменилось,при этом предполага-ется,что начальное омическое сопротивление R по величине было равно 2L ? Решение. Поскольку все необходимые обозначения уже введены, проанализи--руем подход к решению задачи.Если до и после изменения индуктив-ности и сопротивления полное сопротивление по условию задачи не изменяется,то имеется возможность составить одно уравнение относи-тельно неизвестного х,путем определения квадрата кажущегося сопро-тивления до и после изменений в цепи. Учитывая векторный характер сложения, получим: ( L)² + R² = (1,5 L)² + (xR)² .

39 Подставляя начальное значение R, получим окончательное уравнение для определения х:

( L)² + ( 2L)² = (1,5 L)² + (x2L)² После сокращения на (L)² и элеметарных преобразований получим:

Ответ: х = 0,83. Анализ решения. Эта задача интересна тем,что не при всяком начальном значении R она может быть решена.Поэтому проведём анализ решения,а именно,для об-щего случая. Отметим вначале,что при задании начальной величины R, как части вели-чины L, результат не зависит от величины индуктивного сопротив-ления,а только от того,насколько в частях оно увеличивается (обозначим эту величину m) и во сколько раз активное сопротивление больше индук-тивного (обозначим эту величину n).Тогда соотношение для определения х можно записать в виде:

Полученное выражение позволяет полностью провести анализ задачи.Так,если при увеличении индуктивного сопротивления в частях на m ипревышение активного сопротивления в n раз,соотношение между m и n будет подчиняться неравенству:

(1+m)² 1+n². Из полученного неравенства видно,что х будет равно нулю или мнимому числу.Включение активного сопротивления не приведёт к сохранению полного сопротивления.Активное сопротивление может быть включено в цепь только при условии:

При значениях n меньше этого корня задача решений не имеет, что оче-видно.

Leistung und Leistungsfaktor Мощность и коэффициент мощности «cos »

Пояснение.Вначале определим роль коэффициента мощности или, как 40 его называют в русскоязычной литературе «cos», на работу электриче-ской цепи. «Сos» - это отношение активной мощности в электрической цепи, которая производит определённую полезную работу (механи-

ческую,тепловую, осветительную),к кажущейся (общей) мощности, которая состоит из двух компонентов:активного (полезного) и реак-тивного,которое связано с наличием реактивных элементов:емкостей и индуктивностей. Они увеличивают общую мощность в электрической цепи только за счёт перекачки накопленной в них энергии. Это увеличивает общий ток в цепях переменного тока и соответственно тепловые потери,которые возникают за счёт рассеяния тепла на оми-ческих сопротивлениях (как правило,на подводящих проводах).Поэтому при проектировании электрических устройств всегда стремятся увеличи-вать cos, соотвественно уголуменьшать. Если cosравен единице,то это значит,что угол между полезной мощ-ностью и полной равен нулю,т.е. они совпадают,и вся подводимая или по-требляемая мощность является активной и совершает необходимую рабо-ту. На предприятиях,где эксплоатируется большое количество электро-моторов и имеется большая реактивная составляющая мощности,носящая индуктивный характер,применяют специальные конденсаторы для компенсации этой компоненты, в результате чего уменьшается входной ток и потери в подводящих энергию цепях.В задаче 40 мы увидим,как опреде-ляется такая ёмкость.

Aufgabe 38 ( 1098). Ein Motor verbraucht bei einer Klemmenspannung von U = 210 V und einer mitteleren Stromstärke von I = 28 A in t = 2,5 Stunden W =12,5 kWh.Wie groß sind Leistungsfaktor und Blindstrom?

Один мотор питается напряжением U = 210 V и потребляет в течении времени t = 2,5 часов средний ток I = 28 A.За это время энергия,которая была затрачена для питания мотора,равна W =12,5 kWh.Чему равен коэф-фициент мощности и реактивный ток? Решение.Определяем полезную (активную) мощность мотора:

P = W/t =12,5/2,5 =5 kW. Заметим,что обычный счётчик электроэнергии показывает расход ак-тивной мощности,хотя есть специальные счетчики реактивной мощности. Далее определяем величину активного тока:

IAk =P/U = 5000/ 210 = 23,81A. 41 Наконец,определяем cos, который при одном и том же напряжении равен отношению активного тока к полному току:

cos = IAk/I =23,81 / 28 = 0,85,

а реактивный ток равен:

Ответ. P =5 kW, IAk = 23,81A, cos = 0,85, IR =14,73 A.

Aufgabe 39 (1104). Eine Bodenlampe hat ein Brennspannung von U1 = 45 V und ist über eineDrossel an U =125 V angeslossen.Welche Induktivität hat die Drossel;wennihr ohmischerwiderstand R =1,5 beträgt und die Lampe eine Leistung von P = 400 W verbraucht? (f = 50 Hz).

Одна напольная лампа питается напряжением U1 = 45 V и включена в сеть переменного тока напряжением U =125 V через дроссель.Какова ве-личина индуктивности дросселя L,если его омическое сопротивление R равно 1,5 , а лампа потребляет мощность P = 400 W ? (f = 50 Hz) Решение. Определим вначале величину тока в этой цепи,он равен току лампы, поскольку лампа и дроссель включены последовательно:

I = P/U1 =400/45 =8,89A.

Далее легко определяется падение напряжения на активном (омиче-ском) сопротивлении дросселя:

UAk = IR = 8,89*1,5 = 13,3 V. Учитывая реактивный характер напряжения на индуктивности дросселя, вычисляем его по формуле:

Наконец,находим индуктивность дросселя:

L = UR / 2fI = 110,6 / 2

Ответ. L = 42 Aufgabe 40 (1108). Der Leistungsfaktor eines Motors für U = 125 V und P =15 kW beträgt cos = 0,65 und wird durch Parallelschalten eines Kondensators auf cos = 0,85 verbessert.Wie groß dessen Kapasität?

Коэффициент мощности одного мотора,питающегося напряжением U = 125 V и имеющего мощность P =15 kW, равен cos = 0,65.Включением параллельно конденсатора его cos улучшился и стал равным 0,85. Какова ёмкость компенсирующего конденсатора С. Решение.

Эта задача интересна тем,что в ней решется проблема уменьшения ре-активной составляющей тока.К мотору,имеющему индуктивную составля-ющую сопротивления,параллельно подключается ёмкость,которая с ин-дуктивностью мотора образует некий колебательный контур.Внутри этого контура частично перекачивается реактивная энергия,соответственно уменьшая входной ток в питающих мотор проводах.Одновременно общий ток потребления приближается к активному,что увеличивает cos

Реактивная мощность,как следует из треугольника мощностей (см.рис.) равна:

PR1 = PAk tantan(arccos 0,65) =17531 var (VAreakt).

В русскоязычной литературе единицу измерения этой величины обозначают как VA или как и активную мощность W.

P PR

PAk

При соединении параллельной ёмкости и значении cos = 0,85 по-лучаем другую величину реактивной мощности:

PR2 = PAk tantan(arccos 0,85) =9300 var.

Выигрыш по уменьшению реактивной мощности составляет:

P = PR1 - PR2 = 17531 – 9300 = 8231 var.

Для определения величины компенсирующей ёмкости используем соот-

ношение:P = U²/XK = U²/C

откуда

C = P/ 2fU² = 8231/ 2² F.

Ответ. C =F. Замечание.Если стояла бы задача полностью исключить во внешней цепи реактивную составляющую тока,то следовало бы ёмкостью ском-пенсировать всю реактивную мощность PR1 .В этом случае необходимо было бы поставить параллельную ёмкость величиной:

C0 = PR1 / 2fU² =17531 / 2² F,

а cosравнялся бы единице.Существует специальная метрологическая служба,которая следит за величиной cosна предприятиях и штрафует те предприятия,у которых cosниже допустимых величин.

44