ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

В.Г. Мельников, С.Е. Иванов, Г.И. Мельников, А.Г.Кривошеев

КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЛАБОРАТОРНЫЕ

РАБОТЫ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2010

2

УДК 531

В.Г. Мельников, С.Е. Иванов, Г.И. Мельников, А.Г.Кривошеев

Компьютерные лабораторные работы по сопротивлению материалов” - СПб: СПбГУ ИТМО, – 2010. – 60 с.

В пособии излагаются методические рекомендации к выполнению лабораторных работ по дисциплине “Сопротивлению материалов”.

Предназначено для студентов всех инженерных специальностей, изучающих курс “Сопротивление материалов”. Рекомендовано к печати Ученым советом Естественнонаучного факультета

В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена Программа развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики» на 2009–2018 годы.

© Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 2010

© В.Г. Мельников, С.Е. Иванов, Г.И. Мельников, А.Г.Кривошеев 2010.

3

СОДЕРЖАНИЕ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

ПРОЧНОСТИ МАТЕРИАЛА ПРИ РАСТЯЖЕНИИ.

1.1 Основные понятия

1.2. Описание установки

1.3. Порядок выполнения работы.

1.4. Содержание отчёта

1.5. Вопросы для самопроверки


ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

ПЛАСТИЧНОСТИ СТАЛИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ.

2.1. Основные понятия





ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ НОРМАЛЬНОЙ УПРУГОСТИ


3.2. Описание лабораторной установки

3.3. Порядок выполнения работы



ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА



4.3. Порядок выполнения работы


5

5

7

11

11

12

13

13

14

15

15

16

20

20

21

24

27

28

28

29

30

33

4


ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ ТЕЛА





ЛИТЕРАТУРА

34

34

51

56

57

58

5


ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЧНОСТИ МАТЕРИАЛА ПРИ РАСТЯЖЕНИИ.

В работе выполняется испытание на растяжение, одним из основных

методов исследования механических свойств материалов. Определяются характеристики прочности стали при растяжении.

Цель работы

Изучение поведения стального образцы при растяжении до разрушения, определение механических характеристик прочности

1.1 Основные понятия

Растяжением – сжатием называется такой вид деформации стержня, при котором во всех его поперечных сечениях действует только одно внутреннее усилие – продольная сила. Продольную силу принято обозначать N. Продольная сила приложена к центру тяжести C поперечного сечения стержня и направлена перпендикулярно плоскости сечения (по оси стержня). Деформация растяжения и сжатия возникает в стержне под действием внешних сил, направленных по оси стержня.

Для продольной силы используется следующее правило знаков (рис.1.1): при растяжении продольная сила считается положительной (она направлена по внешней нормали к поперечному сечению); при сжатии продольная сила считается отрицательной.

а) б)

Рис.1.1. Правило знаков продольной силы N: при растяжении N > 0 (а); при сжатии N < 0 (б).

При растяжении и сжатии стержня в его поперечных сечениях действует только нормальное напряжение σ . При практических расчётах допускается, что во всех точках поперечного сечения действуют одинаковые нормальные напряжения. Другими словами, нормальное напряжение в поперечном сечении стержня при растяжении и сжатии распределено равномерно

6

Нормальное напряжение в поперечном сечении с площадью A, в котором действует продольная сила N, определяется по формуле

AN

=σ . (1.1)

Обычно нормальное напряжение измеряется в мегапаскалях: 1 МПа = = 106 Па = 1Н/мм2. Знак нормального напряжения σ определяется знаком продольной силы N: при растяжении σ > 0, при сжатии σ < 0.

Пусть стержень (или участок стержня) с первоначальной длиной l и постоянной площадью поперечного сечения A испытывает деформацию растяжения или сжатия с постоянной продольной силой N. При этом его первоначальная длина l изменяется на величину ∆ l, которую называют абсолютной продольной деформацией. Отношение абсолютной продольной деформации к первоначальной длине называется относительной продольной деформацией:

xε = Δ (1.2)

При растяжении ∆ l и εx являются положительными, при сжатии – отрицательными. Согласно закону Гука при растяжении и сжатии относительная продольная деформация пропорциональна нормальному напряжению:

Exσε = , (1.3)

где E – модуль нормальной упругости (модуль Юнга). Модуль нормальной упругости является важнейшей характеристикой механических свойств материала. Он определяется в мега – паскалях (МПа). Отметим, что закон Гука выполняется при нормальных напряжениях, не превышающих предела пропорциональности. При выполнении закона Гука на основании формул (1), (2), (3) абсолютная продольная деформация стержня определяется по формуле:

.EAN

E==Δ

σ (1.4)

Если стержень состоит из нескольких участков с первоначальными длинами li, постоянными площадями поперечных сечений Ai и постоянными продольными силами Ni , то абсолютная продольная деформация всего стержня равна сумме абсолютных продольных деформаций этих участков:

7

∑ ∑=Δ=Δi i

ii

ii EA

N . (1.5)

Условия прочности стержня при растяжении и сжатии для пластичных материалов формулируется следующим образом: максимальное по модулю нормальное напряжение не должно превышать допускаемое нормальное напряжение [σ]: Max |σ(x)| ≤ [σ] (1.6)


Характеристики прочности находятся из диаграммы растяжения ― графика зависимости между растягивающей образец силой и его удлинением.

Рис.1.2. Виртуальная лабораторная установка Практические испытание проводится на испытательной машине ИМ-4А. Испытательная машина содержит устройство для записи диаграммы растяжения и предназначена для испытания на растяжение образцов при нагрузке в диапазоне 0-20кН. Масштаб диаграммы по оси нагрузки 50 Н в одном мм, по оси деформации 0,01 мм в 1мм, скорость деформации 1 мм/мин.

8

Испытательная машина состоит из станины, нагружающего механизма, силоизмерительного механизма, диаграммного аппарата. Диаграммный аппарат (рис.1.3) служит для автоматической записи диаграммы растяжения в процессе испытания образца.

Рис 1.3. Диаграммный аппарат. Рис 1.4. реверсор.

При испытании используются стандартные образцы (рис.1.5), которые по концам снабжены головками для закрепления в испытательной машине. Для испытания используется образец диаметром 0 6d = мм и длиной 0 30l = мм.

Образец для испытаний имеет площадь поперечного сечения 2

00 4

dF π=

Рис 1.5. Образец до и после натурного испытания

Диаграмма растяжения зависит от свойств материала и приведена на рис.1.6

9

Рис 1.6. Диаграмма растяжения

Начальный горизонтальный участок диаграммы (рис.1.6) получается в результате незначительного смятия головок образца при закреплении в испытательной машине. Этот участок не связан с деформацией образца и его не рассматривают. Первый участок - прямая линия ОА показывает линейную зависимость между растягивающей силой и деформацией. На этом участке выполняется закон Гука – нагрузка пропорциональна удлинению.

Здесь деформация упругая, удлинения очень малы, они полностью исчезают после снятия нагрузки. Этот участок называют упругим, нагрузка соответствует пределу пропорциональности.

0

ПЦПЦ

PF

σ = (1.7)

Предел упругости соответствует силе, которую может выдержать образец, не давая при разгрузке остаточной деформации. Для стали предел пропорциональности и упругости практически равны друг другу. Второй участок диаграммы - кривая ACD. Здесь образец испытывает пластическую деформацию. За точкой С удлинение возрастает без увеличения нагрузки, горизонтальный участок СD площадка текучести. Нагрузка для точки C соответствует пределу текучести. В точке D образец , получив некоторое удлинение, устанавливает способность сопротивляться возрастающей нагрузке. Участок ACD – участок общей текучести.

0

ТТ

PF

σ = (1.8)

С

10

Третий участок DB – участок упрочнения. За точкой D образец снова сопротивляется действию возрастающей нагрузки и для деформации образца необходимо увеличивать нагрузку.

Точка B соответствует максимальному значению нагрузки. До точки B образец равномерно удлиняется, а диаметр равномерно уменьшается. В конце третьего участка в одном из сечений образца начинает образовываться шейка – местное сужение. Максимальная нагрузка в точке B соответствует пределу прочности.

0

ВВ

PF

σ = (1.9)

На четвертом участке ВК пластическое деформирование сосредотачивается на малом участке длины образца, образуется шейка с интенсивным сужением площади поперечного сечения.

В точке К происходит разрыв образца, что соответствует разрушающей нагрузке.

Абсолютное удлинение образца 0ОСТ kl l lΔ = −

(1.10) По диаграмме растяжения, длине и диаметру образца до и после испытания определяют характеристики прочности материала: Предел пропорциональности – напряжение, при котором справедлив закон Гука

0

ПЦПЦ

PF

σ =

Предел текучести – напряжение, при котором образец деформируется без заметного увеличения растягивающей нагрузке.

0

ТТ

PF

σ =

Для металлов, у которых диаграмма растяжения не имеет площадки текучести на этой диаграмме определяют условный предел текучести - напряжение при остаточном удлинении, равном 0,2 % от длины образца.

0,20,2

0

PF

σ =

(1.11) Значение нагрузки 0,2P определяют из диаграммы растяжения (рис.1.7), откладывают отрезок 0,2 00,002ОС l l= Δ = . Из точки С проводят прямую СВ параллельную прямой ОА до пересечения с кривой диаграммы растяжения в точке В.

Точка В соответствует условному пределу текучести.

11


Временное сопротивление – напряжение соответствующее максимальной нагрузке, предшествующей разрушению

0

ВВ

PF

σ =

Характеристики пластичности материала определяют способность материалы пластически деформироваться и обнаруживать остаточные деформации перед разрушением при растяжении. Относительное остаточное удлинение

0

0

ll

ε Δ= (1.12)

Относительное остаточное сужение в шейке после разрыва

0

0

100%kF FF

ψ −= (1.13)

Начальная 2

00 4

dF π= и конечная

2

4k

kdF π

= площадь поперечного

сечения образца.


По диаграмме определить значения пределов пропорциональности

0

ПЦПЦ

PF

σ = , текучести 0

ТТ

PF

σ = и временного сопротивления 0

ВВ

PF

σ = .


Результаты выполнения лабораторной работы заносятся в

соответствующие поля ввода и отправляются на автоматическую проверку нажатием кнопки «Отправить ответ»

12

В печатном отчете необходимо указать следующие значения 2

00 4

dF π= =

предел пропорциональности 0

ПЦПЦ

PF

σ = = МПА

предел текучести 0

ТТ

PF

σ = = МПА

предел прочности 0

ВВ

PF

σ = = МПА

Исходные данные

Все исходные данные автоматически генерируются виртуальной

лабораторной установкой.


• Какой закон справедлив при растяжении? • До какого предела справедлив закон Гука? • Какие характеристики прочности вы знаете? • Что называется пределом пропорциональности? • Что называется пределом текучести? • Что показывает диаграмма растяжения? • Что называется пределом прочности? • Что называется условным пределом текучести?

13


ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛАСТИЧНОСТИ СТАЛИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ.

В работе выполняется определение характеристик пластичности

стали при растяжении, одним из основных методов исследования механических свойств материалов.

Цель работы

Цель лабораторной работы: изучение механических характеристик пластичности стали при растяжении.


Способность материала получать большие остаточные деформации, не разрушаясь, носит название пластичности. Свойство пластичности имеет решающее значение для таких технологических операций, как штамповка, вытяжка, гибка и др. Мерой пластичности при разрыве является удлинение. Чем больше удлинение, тем более пластичным считается материал.

Противоположным свойству пластичности является свойство хрупкости, т. е. способность материала разрушаться без образования заметных остаточных деформаций. Материалы, обладающие этим свойством, называются хрупкими. Для таких материалов величина удлинения при разрыве не превышает 2—5%. Очень большое влияние на проявление свойств пластичности и хрупкости оказывает время нагружения и температурное воздействие. При быстром нагружении более резко проявляется свойство хрупкости, а при длительном воздействии нагрузок — свойство пластичности. Пластичные материалы, такие, как малоуглеродистая сталь, под воздействием резкой ударной нагрузки проявляют хрупкие свойства. Диаграмма растяжения зависит от свойств материала и приведена на рисунке.

14



Характеристики пластичности находятся из диаграммы растяжения графика (рис.2.2 ) зависимости между растягивающей образец силой и его удлинением.

Рис.2.2 . Виртуальная лабораторная установка

При испытании используются стандартные образцы, которые по концам снабжены головками для закрепления в испытательной машине. Для испытания используется образец диаметром 0 6d = мм и длиной

0 30l = мм.

С

15

Площадь поперечного сечения образца 2

00 4

dF π=

Рис 2.3. Образец.

Характеристики пластичности материала определяют способность материалы пластически деформироваться и обнаруживать остаточные деформации перед разрушением при растяжении. Относительное остаточное удлинение

0

0

ll

ε Δ= (2.1)

Относительное остаточное сужение в шейке после разрыва 0

0

100%kF FF

ψ −= (2.2)

Начальная 2

00 4

dF π= и конечная

2

4k

kdF π

= площадь поперечного

сечения образца.


По диаграмме определить значения следующих величин: • относительное остаточное удлинение • относительное остаточное сужение в шейке после разрыва


Результаты выполнения лабораторной работы заносятся в

соответствующие поля ввода и отправляются на автоматическую проверку нажатием кнопки «Отправить ответ» В печатном отчете необходимо указать следующие значения

20

0 4dF π

= =

2

4k

kdF π

= =

16

диаметр 3kd = мм

относительное остаточное удлинение 0

0

ll

ε Δ= =

относительное остаточное сужение 0

0

100%kF FF

ψ −= = %


• Что называется пластичностью ? • Какие характеристики пластичности вы знаете ? • Что называется относительным остаточным удлинением ? • Что называется относительным остаточным сужением ? • Что показывает диаграмма растяжения ?

В таблицах приводятся значения механических характеристик наиболее распространенных конструкционных материалов. Таблица 1 - Механические характеристики сталей Материал Т,

0С Е×10-5, МПа

σ 0,01, МПа

σ 0,2, МПа

σ В, МПа

δ, %

ψ, %

20 2,17 935 1240 1380 13,0 38,5 I50 2,04

2,04 2,03 2,04 2,04 2,04

584 644 711 868 936 1030

665 809 862 1077 1210 1360

797 936 1017 1253 1431 1773

12,8 8,3 9,1 7,5 6,0 4,5

44,8 44,3 40,6 35,6 25,8 23,3

300 1,93 680 980 1120 11,9 48,5 450 1,80 485 790 952 12,0 58,0

5XHM

600 1,40 67 150 312 22,9 84,9 20 2,17 905 1240 1340 13,3 38,6 200 2,02 805 1080 1210 12,2 39,4 450 1,83 606 840 1011 10,1 42,6

5ХНМФС

600 1,40 102 242 442 20,2 81,2 20 2,15 950 1150 1400 13,7 39,5 450 1,86 650 865 1126 11,2 44,6

4Х5МФС

600 1,40 185 343 587 17,0 71,5

17

5Х2МФС 450 1,83 630 840 1092 11,5 45,9 20 2,14 960 1170 1420 13,0 39,0 4Х3МФСТ 450 1,85 670 880 1130 11,1 43,0 20 2,16 915 1240 1380 14,5 54,0 36ХН2МФА 450 1,70 612 860 1050 16,2 67,0

Таблица 2

Модуль продольной упругости сталей, 510−⋅Е МПа

Сталь Сталь Температу-раt0С Углеродис-

тая Легирован-ная

Температу-ра t0С Углеродис-

тая Легирован-ная

20 100 150 200 250 300 350

1,99 1,91 1,86 1,81 1,76 1,71 1,64

2,00 2,00 1,99 1,97 1,94 1,91 1,86

400 450 500 550 600 650 700

1,55 1,40

- - - - -

1,81 1,75 1,68 1,61 1,53 1,45 1,36

Таблица 3

Минимальные значения предела текучести углеродистых и низколегированных сталей σт, МПа

Марка стали Марка стали Температура

t,0С ВСт3 10 20 20К

09Г2С16ГС

Температураt,0С ВСт3 10 20

20К09Г2С16ГС

20 100 150 200 250 300

210 201 197 189 180 162

195 188 183 177 168 150

220 213 209 204 198 179

280 240 231 222 218 201

350 375 400 410 420

147 140

- - -

132 140

- - -

159 147

- - -

185 174 158 156 138

Таблица 4

Минимальные значения предела текучести теплостойких и

кислостойких сталейσт, МПа

Марка стали Температу ра ,t 0С

13ХМ 12МХ 15ХМ

15Х5М

12Х18Н10Т 12Х18Н12Т 10Х17Н13М2Т10Х17Н13М3Т

08Х18Н10Т 08Х18Н12Т

08Х17Н13М2Т08Х17Н15М3Т

18

20 100 150 200 250 300 350 375 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530

240 235 226 218 218 212 206 202 198 195 194

- - - - - - - - - - -

220 210 207 201 190 180 171 164 158 155 152

240 228 219 210 204 195 190 186 181 180 180 179 177 176 174 173 173 171 170 168 168 167

210 195 180 173 165 150 137 133 129 128 128 127 126 125 125 124 123 122 122 120 119 119

200 195 180 173 165 150 137 133 129 128 128 127 126 125 125 124 123 122 122 129 119 119

Таблица 5

Коэффициент линейного расширения α⋅106 1/0С сталей Температура, 0С 10

20

35

35Х

38ХА

12ХМ

15Х

5М

15ХМ

20Х

2МА

20Х

3М

20-100 20-200 20-300 20-400 20-500 20-600 20-700 20-800

12,2 12,512,813,313,814,2 - -

12,012,412,913,313,714,1 - -

11,212,112,813,413,914,4 - -

13,113,313,814,214,614,8- -

12,212,913,113,413,814,1- -

11,212,512,712,913,213,9- -

12,012,112,212,312,713,013,1-

11,912,613,213,714,014,3- -

11,512,913,013,213,513,8 - -

11,611,812,112,312,712,9 - -

19

Температура, 0С 12

Х18Х

10Т

12Х

18Н

12Т

10Х

17Н

13М

2Т

18Х

12ВМБФ

Р

20Х

1М1Ф

БР

25Х

2МФА

25Х

1МФ

25Х

2М1Ф

45Х

14Н

14В

2М

37Х

12Н

8Г8М

ФБ

20-100 20-200 20-300 20-400 20-500 20-600 20-700 20-800

16,617,017,217,517,918,218,6 -

16,017,018,018,018,018,519,0 -

15,716,116,717,217,617,918,2 -

10,811,212,312,913,113,5- -

12,312,312,312,312,712,813,8-

11,311,812,713,914,214,6- -

10,912,012,713,613,713,8- -

12,512,913,613,714,014,7- -

17,017,017,017,518,018,018,519,0

15,917,118,219,220,321,222,2 -

20


ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ НОРМАЛЬНОЙ УПРУГОСТИ

Рассматривается экспериментальное определение важнейшей характеристики упругих свойств материала – модуля нормальной упругости. Приводится краткая историческая справка об открытии закона Гука при растяжении и сжатии, на основании которого выполняется определение этой характеристики материала. Излагается способ измерения линейных деформаций с использованием тензорезисторов. Дается описание работы с программой, осуществляющей компьютерное моделирование данной лабораторной работы. Цель работы: экспериментальное определение модуля нормальной упругости пластичного материала при растяжении образца.


Закон Гука при растяжении (сжатии): нормальное напряжение σ в поперечных сечениях стержня прямо пропорционально относительной продольной деформации ε:

σ = Е ε , (3.1) где Е – постоянная величина, называемая модулем нормальной (продольной) упругости или модулем Юнга. Модуль нормальной упругости является важнейшей характеристикой упругих свойств материала. Как следует из (3.1), он играет роль коэффициента пропорциональности между деформацией ε и напряжением σ в законе Гука. Так как относительная деформация ε является безразмерной величиной, то модуль нормальной упругости Е и напряжение σ измеряются в одинаковых единицах, обычно – в мегапаскалях (1МПа = 106 Па = 1Н/мм2). Отметим, что закон Гука (3.1) выполняется только при упругих деформациях, то есть при напряжениях σ, не превышающих предела пропорциональности σпц . При экспериментальном определении модуля нормальной упругости E используется формула, получаемая из закона Гука в следующем виде:

где F – действующая на образец растягивающая нагрузка; А – площадь поперечного сечения образца; l – расчетная длина, то есть первоначальная длина участка образца, на котором измеряется абсолютная продольная деформация (удлинение) Δl.

; ( ; ),F l lFE AA l lΔ

Δ= = σ = =σ εε (3.2)

21

Историческая справка [ ]. Английский ученый Роберт Гук (1635-1705) открыл фундаменталь-ную закономерность между силами и вызываемыми ими перемещениями. Это произошло после многочисленных экспериментов при изучении поведения стальной проволоки, винтовой и спиральной часовой пружин под действием внешних нагрузок. Результаты своих наблюдений и измерений Гук опубликовал в работе «Истинная теория упругости и жесткости» в 1676 г. В этой работе Гук сформулировал важнейшее соотношение, устанавливающее прямо пропорциональную зависимость удлинения от растягивающей силы. В таком виде закон Гука имел больше познавательное, чем практическое значение. Это объясняется тем, что в то время отсутствовали понятия «напряжения» и «деформация». Работая над проблемой жесткости, английский ученый Томас Юнг (1773-1829) в начале XIX столетия впервые высказал идею о том, что для каждого материала существует постоянная величина, характеризующая его способность сопротивляться воздействию внешних нагрузок. Понятие об этой величине, названной им модулем упругости (позже модуль Юнга), было Введено в знаменательном труде «Натуральная философия» в 1807 г. Следует отметить, что Юнг первый указал на то, что закон Гука справедлив только в определенной области работы материала, то есть при упругом его поведении. Последний шаг в формулировании закона Гука в его современном виде сделали французский математик Огюстен Луи Коши (1789-1857), который в 1822 г. сформулировал и ввел в научную литературу такие понятия, как «напряжение» и «деформация», а также французский ученый и инженер Луи Мари Анри Навье (1785-1836), который в 1826 г. дал определение модуля упругости как отношения нагрузки, приходящейся на единицу площади поперечного сечения, к произведенному ею относительному удлинению. Отметим также, что Навье издал первый систематический курс сопротивления материалов для инженеров. Таким образом, потребовалось почти 150 лет со дня открытия закона Гука, чтобы оно получило практическое применение в виде формулы (3.1).


В применении формулы (3.2) наибольшую сложность представляет собой измерение малой деформации Δl. Одним из широко используемых способов измерения этой деформации является применение тензометров. Тензометр – датчик, который воспринимает изменение какого-либо своего электрического параметра. В частности, применяют электрические тензо-метры в виде проволочных датчиков омического сопротивления, называемых тензорезисторами (рис. 3.1).

22

Рис. 3.1. Тензорезистор

Проволочный датчик представляет собой несколько петель тонкой проволоки (диаметром 0,025…0,030 мм), наклеенных на полоску бумаги. Датчик наклеивается специальным клеем на поверхность используемого образца. Деформации образца передаются проволоке датчика. Вследствие деформации изменяется сопротивление проволоки датчика: растяжение проволоки приводит к увеличению ее сопротивления, а сжатие – к уменьшению ее сопротивления. Такие изменения сопротивления датчика регистрируются специальной аппаратурой. В пределах малых деформаций выполняется линейная зависимость между относительным изменением сопротивления и относительной деформацией проволоки тензорезистора. Изменение омического сопротивления проволочных датчиков при изменении деформации очень малы, что требует применения чувствительной измерительной аппаратуры. Обычно тензорезистор включают как одно из сопротивлений R4 моста Уитстона, схема которого показана на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Схема моста Уитстона для измерения сопротивления датчика R4

23

Под балансом моста понимается такой подбор сопротивлений R1, R2, R3 и R4, при котором ток в диагонале моста отсутствует и амперметр показывает нулевой отсчет. При балансе моста выполняется следующее соотношение между этими сопротивлениями: R1R3 = R2R4. Деформация, полученная датчиком в ходе испытания образца на растяжение, приводит к изменению его сопротивления R4 и, как следствие, к нарушению баланса. Изменяя одно из сопротивлений R1, R2 или R3, мост балансируют, то есть регистрируют изменение сопротивления R4. При балансировке моста снимаются показания прибора С, которые в результате дают величину деформации Δl = m ΔC, где m – масштабный коэффициент, равный 2·10-5

мм; ΔC – изменение показаний прибора при изменении нагрузки. В качестве расчетной длины принимается длина витков проволоки датчика, которая называется базой датчика и равная lТ = 20 мм (рис. 3.1).

тяжении, на котором основана формула (3.2). Закон Гука выполняется, если одинаковым приращениям нагрузки

ΔF соответствуют одинаковые приращения показаний датчиков ΔC. Таким образом, формула (3.2) для определения модуля нормальной упругости приобретает следующий окончательный вид:

Рис. 3.3. Схема установки

При растяжении образца может происхо-дить отклонение от продольного направления действия внешней нагрузки, в результате чего возможно его неравномерное растяжение. По-этому для получения более точных результатов измеряются деформации с использованием двух датчиков, расположен-ных на двух взаимно противоположенных поверхностях образца (на рис. 3.3 датчик, расположенный на обратной поверхности образца, показан пунктиром). В качестве результата измерения показания ΔC принимается среднее арифметическое показаний обоих датчиков: ΔC = ( ΔC1 + ΔC2 )/2. Процесс испытания образца следует начинать не с нулевой нагрузки, а с некоторой начальной величины FН. При этом ликвидируются начальные люфты, имеющиеся в захватах образца. Затем производится увеличение нагрузки образца с одинаковыми приращениями ΔF до конечного значения FК. Это делается для того, чтобы убедиться в выполнении закона Гука при рас-

24

( )К Н ТF F lEAm lΔ−

= , (3.3)

где в качестве нагрузки F принимается разность конечной и начальной нагрузок FК – FН; расчетная длина l равна базе датчика lТ; А = hb – площадь поперечного прямоугольного сечения образца с размерами h и b; деформация Δl = m ΔC.

3.3. Порядок выполнения работы Данная лабораторная работа может выполняться на кафедре теорети-ческой и прикладной механики с использованием реальной механической установки или в ЦДО с использованием программы, осуществляющей компьютерное моделирование этой работы. Далее рассматривается выполнение работы на основе ее компьютер-ного моделирования.

Рис. 3.4. Окно лабораторной установки

После загрузки программы на экране дисплея появляется окно, в верхней части которого содержатся исходные данные для выполнения работы, в которых указаны материал образца, начальная величина нагрузки FН (кН), конечная величина нагрузки FК (кН) и ее приращение ΔF

25

(кН), а также размеры прямоугольного поперечного сечения образца h и b (мм). При загрузке программы эти исходные данные генерируются случайным образом. В средней части этого окна (рис. 3.4) располагается окно лабораторной установки, в котором имеются три вкладки: «Справка», «Установка» и «Результаты». На вкладке «Справка» содержатся краткие сведения по разделам «Цель и общая характеристика работы», «Порядок выполнения работы» и «Определение показаний датчиков». Переключение этих разделов выполняется с использованием раскрывающегося списка. Окно лабораторной установки с выбранной вкладкой «Установка» показано на рис. 3.5. В этом окне расположены: раскрывающиеся списки для выбора заданного материала образца и выбора размеров его поперечного сечения; рамка с управляющим элементом (бегунок) для задания растягивающей нагрузки F (кН); рамки с управляющими элементами для определения показаний датчиков 1 и 2, а также переключатель этих датчиков.

Рис. 3.5. Окно лабораторной установки на вкладке «Установка»

26

Рис. 3.6. Окно лабораторной установки на вкладке «Результаты» Окно лабораторной установки с выбранной вкладкой «Результаты» (рис. 3.6) содержит: таблицу со значениями нагрузки и показаниями датчи-ков, которая заполняется в процессе выполнения работы; формулу для вычисления модуля нормальной упругости; поле для ввода найденного значения модуля нормальной упругости. С помощью кнопки «Калькулятор» вызывается калькулятор для расчета модуля нормальной упругости по указанной формуле. Порядок выполнения работы после загрузки программы:

1. В окне лабораторной установки на вкладке «Справка» ознакомиться с разделами «Цель и общая характеристика работы», «Порядок выполнения работы» и «Определение показаний датчиков».

2. Перейти на вкладку «Установка», выбрать заданный материал образца и нажать кнопку «Вкл».

3. При включенном датчике 1 задать начальную нагрузку FН, определить показание этого датчика (см. раздел «Определение показаний датчиков» на вкладке «Справка») и нажать кнопку «Добавить в таблицу».

27

4. Повторить п. 3 с одинаковым приращением нагрузки ΔF до заданного конечного значения FК.

5. Подключить датчик 2 и повторить выполнение п.п. 3 и 4. 6. Выбрать вкладку «Результаты» и проверить по данным таблицы

выполнение закона Гука, при котором одинаковым приращениям нагрузки соответствуют одинаковые приращения показаний датчиков.

7. Вычислить по указанной формуле с использованием калькулятора модуль нормальной упругости, набрать его найденное значение в поле ввода в размерности 105 МПа (например, 2,28) и нажать кнопку «Ответ готов».


1. Какая характеристика упругих свойств материала называется

модулем нормальной упругости? 2. Какую роль модуль нормальной упругости играет в законе Гука при

растяжении и сжатии? В каких единицах он измеряется? 3. При каком виде деформации образца определяется модуль

нормальной упругости? 4. Как ориентированы датчики на образце по отношению к

направлению действия внешней нагрузки? 5. На какой расчетной длине определяется модуль нормальной

упругости? Как она называется и чему она равна?

28


ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА

Рассматривается экспериментальное определение важнейшей характеристики упругих свойств материала – коэффициента Пуассона. Приводится краткая историческая справка о введении в научную литературу этой характеристики материала. Излагается способ измерения продольных и поперечных деформаций образца с использованием тензорезисторов. Дается описание работы с программой, осуществляющей компьютерное моделирование данной лабораторной работы. Цель работы: экспериментальное определение коэффициента Пуассона пластичного материала при растяжении образца.


Коэффициентом Пуассона μ называется абсолютная величина отношения относительной поперечной деформации ε2 к относительной продольной деформации ε1:

2

1

εμ =

ε. (4.1)

Коэффициент Пуассона является положительной безразмерной величиной, характеризующей упругие свойства материала. Отметим, что относительные деформации ε1 и ε2 имеют противоположенные знаки: ε1 > 0, ε2 < 0 – при растяжении; ε1 < 0, ε2 > 0 – при сжатии. Поэтому их отношение в формуле (4.1) вычисляется по модулю. Для всех материалов его величина лежит в диапазоне значений от 0 до 0,5. Например, для большинства металлов коэффициент Пуассона имеет значения от 0,25 до 0,35. Историческая справка [ ]. Коэффициент μ носит имя французского ученого Симона Дени Пуас-сона (1781-1840), который ввел его в теорию сопротивления материалов. Пуассон считал, что при деформации растяжения или сжатия объем элемента не изменяется, а изменяется лишь его форма. При таком подходе не учитывалось влияние материала и коэффициент μ принимался постоянным для любого материала и равным 0,25. В дальнейшем английский исследователь Джордж Грин теоретически обосновал, что коэффициент Пуассона не может иметь постоянного значения для всех материалов. После этого были проведены

29

различными исследователями многочисленные эксперименты, которые показали, что объем деформированного тела может изменяться. Следовательно, коэффициент Пуассона имеет постоянное значение только для данного материала в пределах упругих деформаций.


Следовательно, формула (4.1) для определения коэффициента Пуассона приобретает следующий вид:

2

1

ll

Δ

Δμ = . (4.3)

Прикладывая к образцу растягивающую нагрузку от начального

значения FН (кН) до конечного значения FК (кН) с одинаковым приращением ΔF (кН), определяются деформации Δl1 = m ΔС1 и Δl2 = m ΔС2 , где m = 2·10-5 мм – масштабный коэффициент.

Рис. 4.1. Схема установки

В данной работе используются образцы такого же вида, как и при определении модуля нормальной упругости в лабораторной работе №4. Однако датчики расположены другим образом: датчик 1, витки проволоки которого ориентированы вдоль растягивающей нагрузки, используется для определения продольной деформации, а датчик 2, витки проволоки которого направлены перпендикулярно направлению нагрузки, – для определения поперечной деформации (рис. 4.1). Определение относительных деформаций с использованием этих датчиков выполняется по формулам:

1 221 ; ,l l

l lΔ Δ= =ε ε (4.2)

где Δl1 – абсолютная продольная деформация; Δl2 – абсолютная поперечная деформация; l – расчетные длины, на которых измеряются деформации Δl1 и Δl2 и которые равны одинаковым базам датчиков lТ = 20 мм (рис 3.1).

30

В результате формула (4.3) записывается в окончательном виде

2 2К 2Н

1 1К 1Н

С С СС С С

Δ

Δ

−μ = =

−, (4.4)

где С1К, С2К – показания датчиков 1 и 2 при конечной нагрузке FК; С1Н, С2Н – показания этих датчиков при начальной нагрузке FН. При экспериментальном определении коэффициента Пуассона деформации образца должны быть упругими, то есть должен выполняться закон Гука. Поэтому нагрузку прикладывают к образцу с одинаковыми приращениями ΔF. При выполнении закона Гука таким приращениям нагрузки соответствуют одинаковые приращения показаний датчиков 1 и 2. Приращения показаний для датчика 1 являются положительными, а для датчика 2 – отрицательными.

4.3. Порядок выполнения работы Данная лабораторная работа может выполняться на кафедре теорети-ческой и прикладной механики с использованием реальной механической установки или в ЦДО с использованием программы, осуществляющей компьютерное моделирование этой работы. Далее рассматривается выполнение работы на основе ее компьютер-ного моделирования. После загрузки программы на экране дисплея появляется окно, показанное на рис. 4.2. В верхней части этого окна содержатся исходные данные для выполнения работы, в которых указаны материал образца, начальная величина нагрузки FН (кН), конечная величина нагрузки FК (кН) и ее приращение ΔF (кН). При загрузке программы эти исходные данные генерируются случайным образом. В средней части этого окна располагается окно лабораторной установки, в котором имеются три вкладки: «Справка», «Установка» и «Результаты».

На вкладке «Справка» содержатся краткие сведения по разделам «Цель и общая характеристика работы», «Порядок выполнения работы» и «Определение показаний датчиков». Переключение этих разделов выполняется с использованием раскрывающегося списка. Окно лабораторной установки с выбранной вкладкой «Установка» показано на рис. 4.3. В этом окне расположены: раскрывающийся список для выбора заданного материала образца; рамка с управляющим элементом (бегунок) для задания растягивающей нагрузки F (кН); рамки с управляющими элементами

31

для определения показаний датчиков 1 и 2, а также переключатель этих датчиков.

Рис. 4.2. Начальный вид окна программы

Окно лабораторной установки с выбранной вкладкой «Результаты» (рис. 4.4) содержит: таблицу со значениями нагрузки и показаниями датчиков, которая заполняется в процессе выполнения работы; формулу для вычисления коэффициента Пуассона; поле для ввода найденного значения коэффициента Пуассона. С помощью кнопки «Калькулятор» вызывается калькулятор для расчета коэффициента Пуассона по указанной формуле.

32

Рис. 4.3. Окно лабораторной установки на вкладке «Установка»

Рис. 4.4. Окно лабораторной установки на вкладке «Результаты»

Порядок выполнения работы после загрузки программы:

33

8. В окне лабораторной установки на вкладке «Справка» ознакомиться

с разделами «Цель и общая характеристика работы», «Порядок выполнения работы» и «Определение показаний датчиков».

9. Перейти на вкладку «Установка», выбрать заданный материал образца и нажать кнопку «Вкл».

10. При включенном датчике 1 задать начальную нагрузку FН, определить показание этого датчика (см. раздел «Определение показаний датчиков» на вкладке «Справка») и нажать кнопку «Добавить в таблицу».

11. Повторить п. 3 с одинаковым приращением нагрузки ΔF до заданного конечного значения FК.

12. Подключить датчик 2 и повторить выполнение п.п. 3 и 4. 13. Выбрать вкладку «Результаты» и проверить по данным таблицы

выполнение закона Гука, при котором одинаковым приращениям нагрузки соответствуют одинаковые приращения показаний датчиков.

14. Вычислить по указанной формуле с использованием калькулятора коэффициент Пуассона, набрать его найденное значение в поле ввода с точностью до тысячных (например, 0,238) и нажать кнопку «Ответ готов» (рис. 4.2).


6. Какая характеристика упругих свойств материала называется

коэффициентом Пуассона? 7. Почему отношение относительных деформаций ε2 и ε1 вычисляется

по модулю? 8. В каком диапазоне значений изменяется коэффициент Пуассона для

различных материалов? 9. Как ориентированы датчики на образце по отношению к

направлению действия внешней нагрузки? 10. Почему приложение нагрузки к образцу следует производить с

одинаковыми приращениями?

34


ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ ТЕЛА

В приборостроении часто встречаются тела, элементы конструкции в

виде пластин и оболочек, стержней, которые находятся под действием внешних нагрузок в условиях плоского напряженного состояния. В работе исследуются напряженное состояние в точках твердого деформированного тела. Определяются линейные и угловые деформации, находятся угловые положения главных площадок, значения главных напряжений и главных деформаций. Рассмотрены вопросы концентрации напряжений и локальных деформаций тела. Оценивается выполнение критериев прочности в точках тела по различным теориям прочности.

Цель работы Определение линейных и угловых деформаций, главных площадок,

главных напряжений, главных деформаций, проверка выполнения критериев прочности в точке тела для заданного напряженного состояния.


5.1.1 Напряженное состояние в точке тела. Пусть в декартовой

системе отсчета Oxyz расположено некоторое твердое тело, нагруженное поверхностными и распределенными по объему силами - нагрузками. Они создают напряжения во всех точках тела, которые приводят к деформации каждой частицы тела и всего тела в целом. Нагрузки, распределенные по малой площадке или малому объему тела, нередко заменяют равнодействующей сосредоточенной силой, изображаемой в виде приложенного в точке вектора, либо – нескольких векторов, приложенных к разным граням малого объема.

Распределение внутренних напряжений неоднородное, в некоторых частях тела возникают большие локальные напряжения. Такие части называются концентраторами напряжений. В них материал тела может потерять прочность, могут появиться пластические деформации, трещины, с которых начнется разрушение объекта. Поэтому обнаружению и исследованию концентраторов напряжений уделяется особое внимание в теории прочности твердых деформируемых тел.

Возьмем любую точку K тела с любыми координатами ),,( zyx . Выделим мысленно "единичный" куб малого объема 1 3мм (рис 5.1). Отбросим условно тело, сохранив только этот куб, но покажем действия отброшенной части на грани (площадки) куба, которые назовем внутренними силами. При этом за внешние нормали граней можно

35

принять орты осей i и i− , j и j− , k и k− . Считаем, что напряженные состояния в малом единичном кубе

однородны, одинаковы во всех точках куба, а точка K находится в центре куба или является одной из его вершин. Равнодействующие силы, приложенные к площадкам куба величиной в 1 2мм , называются напряжениями, с единицами измерений 1 2/ ммH = 1 МПа, где 1 Па = 1

2/ мH . Замечание. В случае если напряжение в кубе объемом 1 3мм

недостаточно однородно, можно рассматривать куб в 1 3мкм , тогда напряжения на его гранях измеряются в терапаскалях, причем 1 ТПа =

610 МПа, поскольку 1мм = 310 мкм. Используются также единицы измерения гигапаскали, причем 1 ГПа = 310 МПа = 1 2/ ммкН . Отметим также внесистемные единицы измерения давления: ..760101 5 стртммПаатм =≈

Произвольно направленное напряжение на каждой грани разлагаем на составляющие по трем осям, при этом нормальные к грани составляющие обозначаем буквами σ , а касательные напряжения буквами τ (рис. 5.2). Например, к грани с ортом внешней нормали i приложено нормальное напряжение xσ и два касательных напряжения xyτ и xzτ , где в индексах на первом месте стоит ось с ортом i , а на втором - ось, вдоль которой направлена составляющая касательного напряжения. К противоположной грани, имеющей орт внешней нормали )( i− , приложены противоположно направленные нормальное и касательное напряжения, равные по модулю соответствующим напряжениям исходной грани. Из условия равновесия куба следует закон парности напряжений: нормальные напряжения на противоположных гранях равны по модулю, противоположны по направлению, а касательные напряжения с одинаковыми, но

Рис.5.1 Единичный куб в окрестности точки

36

переставленными индексами xyτ , yxτ и др. равны по модулю и направлены к общему ребру двух граней куба.

Замечание. Если, например, вдоль Ox на куб действует не растягивающая, а сжимающая нагрузка, то нормальному напряжению xσ присваивается отрицательный знак. Точнее, под нормальными, а также касательными напряжениями на гранях с внешними ортами i , j и k подразумевают

проекции напряжений на орты, например, xyτ есть проекция напряжения на грани с внешним ортом i на ось y, xxx σσ ≡ — проекция напряжения грани i на ось х и т. д.

5.1.2. Тензор напряжений в точке тела. Тензором напряжений в точке тела называется физическая величина, вполне характеризующая напряженное состояние в этой точке, определяемая в конкретно выбранной исходной ("нулевой") декартовой системе координат Oxyz симметричной матрицей третьего порядка:

x xy xz

yx y yz

zx xy z

Tσ τ ττ σ ττ τ σ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, (5.1)

а в другой, повернутой системе ("первой") 111 zyOx (с другим единичным кубом, ориентированным в новой системе), вычисляемая по матричной формуле в виде произведения трех матриц третьего порядка: 1 10 10

TT C T C= . (5.2) Здесь 10C — матрица поворота "первой" системы от нулевой, 0110 CCT = — транспонированная матрица или матрица поворота нулевой системы от первой системы (отличающаяся направлением отсчета углов).

Рис.5.2 Касательные и нормальные напряжения на гранях куба

37

А именно матрица поворота 10C системы 111 zyOx от системы Oxyz составлена из скалярных произведений ортов. Ее можно формально представить в виде скалярного произведения столбца ортов нулевой (исходной) системы на строку ортов первой (новой) системы:

1 1 1

10 1 1 1 1 1 1

1 1 1

, ,

i i i j i kiC j i j k j i j j j k

k k i k j k k

⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.3)

1

01 10 1

1

, ,T

iC C j i j k

k

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤= = ⋅⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.4)

Пример Матрица поворота 10C системы 111 zyOx от Oxyz на угол α вокруг

Oz :

01

cos sin 0sin cos 0

0 0 1C

α αα α

−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.5)

Матрица поворота системы 222 zyOx от 111 zyOx вокруг Ox на угол ϕ :

1

20 1 2 2 2

1

1 0 00 cos sin0 sin cos

iC j i j k

k

ϕ ϕϕ ϕ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⋅ = −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

(5.6)

Матрица поворота системы 222 zyOx от системы Oxyz с промежуточным поворотом в положение 111 zyOx выписывается через произведение: 20 10 21C C C= (5.7)

Таким образом, матрица каждого последующего поворота выписывается с помощью умножения справа на соответствующую матрицу.

Тензор напряжений по математической терминологии является тензором второго ранга в пространстве трех измерений, поскольку он, очевидно, зависит от вторых степеней и произведений направляющих косинусов, и представляет собой однородную квадратичную форму относительно направляющих косинусов.

Теорема о главных напряжениях. Для каждой точки K нагруженного тела существует такая система отсчета 1 1 1Kx y z и соответственно такой ориентированный по ее осям единичный куб, что тензор инерции в точке K представляется диагональной матрицей вида:

38

1

1 2

3

0 00 00 0

Tσ

σσ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, (5.8)

в которой все касательные напряжения на гранях куба равны нулю. Диагональные элементы (положительные, отрицательные) носят

название главных напряжений в точке тела. Главные напряжения можно определить как собственные значения любой известной для рассматриваемой точки К тела матрицы вида (5.1), то есть они являются тремя корнями 321 ,, σσσ следующего кубического уравнения:

0x xy xz

yx y yz

zx xy z

σ σ τ ττ σ σ ττ τ σ σ

−− =

− (5.9)

Эти корни вещественны ввиду симметричности матрицы (5.1). Главные напряжения есть экстремальные значения нормальных напряжений в данной точке К тела. Грани соответствующего малого куба, на которые действуют главные напряжения, называются главными площадками в точке К. Такой «главный» единичный куб, взятый в недеформированном состоянии тела, получает относительные деформации растяжения-сжатия, то есть изменения длин ребер, подчиненные обобщенному закону Гука без изменения прямых углов между ребрами и представляет собой прямоугольный параллелепипед.

( )( )

( )( )

( )( )

1 1 2 3

2 2 1 3

3 3 1 2

1

1

1

E

E

E

ε σ μ σ σ

ε σ μ σ σ

ε σ μ σ σ

= − +

= − +

= − +

(5.10)

Потенциальная энергия единичного объема (удельная потенциальная энергия), равная затраченной работе внешних сил, представляется в форме:

( )33221121 εσεσεσ ++=U .

Используя закон Гука в форме (5.10), получаем выражение потенциальной энергии через главные напряжения:

( )( )2 2 21 2 3 1 2 2 3 1 3

1 22

UE

σ σ σ μ σ σ σ σ σ σ= + + − + + ,

или выражение в виде двух слагаемых:

( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 221 2 2 3 3 1 1 2 3

1 1 26 6

UEμ μσ σ σ σ σ σ σ σ σ+ −

= − + − + − + + + ,(5.11)

здесь первое слагаемое называется удельной энергией изменения формы, второе— удельной энергией изменения объема.

39

Из (5.11) получен один из критериев прочности материала в точке тела (четвертый критерий, критерий Мизеса), определяемый по удельной энергии изменения формы:

( ) ( ) ( )( ) [ ]2 221 2 2 3 3 1

12

U σ σ σ σ σ σ σ= − + − + − ≤ , (5.12)

где [ ]σ — допускаемое напряжение. Примеры допускаемых напряжений: чугун: [ ] 8030 −=σ МПа на

растяжение, [ ] 150120 −=σ МПа — на сжатие; сталь конструкционная: [ ] 25060 −=σ МПа на растяжение и на сжатие; бронза: [ ] 12060 −=σ МПа на растяжение и на сжатие.

Случай плоского напряженного состояния. Пусть на грань с внешним ортом k не действуют касательное и нормальное напряжения. Тогда по закону парности не нагружена и противоположная грань с ортом ( )k− , и нет касательных напряжений на других гранях, направленных к ребрам ненагруженных граней. То есть в этом случае имеем условие 0,0 ===== yzxzzyzxz ττττσ . (5.13)

На остальных четырех гранях куба имеем условие 0, 0, 0xy yx x yτ τ τ σ σ= ≡ ≠ ≠ ≠ . (5.14)

Матрица тензора напряжений в выбранной системе координат Oxyz содержит только два внедиагональных компонента,

0 00 0

0 0 0 0 0 0

x xy x

yx y yTσ τ σ ττ σ τ σ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ≡⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

. (5.15)

Рассмотрим систему 111 zyOx , повернутую на угол β вокруг Oz с ее матрицей поворота вида (5.5).

Главные напряжения находим из уравнения: ( ) 0det =− IT σ ,

где ( )diag 1,1,1I = — диагональная матрица, т.е. из кубического уравнения

( )( )( )2

00 0 0

0 0

x

y x y

σ σ ττ σ σ σ σ σ σ σ τ

σ

−− = ⇒ − − − − =

−.

Отсюда находим главные напряжения ( )

24

,022

2,13

τσσσσσσ

+−±+== yxyx .

Применив краткие обозначения αααα sc == sin,cos , представим согласно формуле (5.2) тензор напряжений в осях 111 zyOx следующим образом:

40

1

0 0 00 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 1

x

y

c s c sT s c s c

α α σ τ α αα α τ σ α α

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

. (5.16)

Ограничимся вычислением только элемента 1211ττ ≡yx , то есть

элемента первой строки второго столбца матрицы 1T , равного произведению первой строки на матрицу напряжений и на второй столбец

12

00 0

0 0 0[ 0]

0 0

x

y x y

s sc c s c s cc sα ασ τ

τ σ ασ ατ αττ α α α αασ− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= + +⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

=

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Окончательно получаем выражение для касательных напряжений на гранях повернутого куба

121cos2 ( )sin 22 x yτ τ α σ σ α= − − . (5.17)

Угол α определим из условия 012 =τ отсутствия касательных напряжений на гранях нового куба.

Получаем:

2(2 )x y

tg τασ σ

=−

. (5.18)

Главное напряжения 1x

σ находится по формуле:

Рис.5.3. Нормальные и касательные напряжения и круг Мора

41

[ ]1

0 0 Tx x yc s c s c sσ ασ ατ ατ ασ α α⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ .

Аналогично находится 1yσ .

5.1.4. Круги мора (Mohr's circles). Кругами Мора называют круговые

диаграммы, дающие наглядное представление о напряжениях в разных сечениях, проходящих через данную точку. Произвольному плоскому напряженному состоянию в точке тела , ,y xyx σσ τ соответствуют две точки на круге Мора с координатами ( , )x xyσ τ и ( , )y xyσ τ− соответственно рис. 5.3. Следует отметить, что ось xyOτ круга Мора формально направляют вниз и положительным значениям касательного напряжения xyτ соответствуют точки в нижней полуплоскости. Теперь рассмотрим напряжения, действующие на площадки куба, повернутого на угол θ от

исходного положения. На круговой диаграмме поворот единичного куба на угол θ соответствует повороту отрезка, соединяющего точки ( ; )y xyσ τ и ( ; )y xyσ τ− на удвоенный угол 2θ , против часовой стрелки. В результате из диаграммы находим напряжения ( ' ; ' )y xyσ τ и ( ' ; ' )y xyσ τ− , действующие на площадки в новом положении как координаты крайних точек отрезка (рис. 5.3). Изменяя θ можно найти в теле такое положение pθ θ= единичного куба, при котором нормальные напряжения на его гранях достигнут своих максимальных (главных) значений, а касательные напряжения – нуля. Такое положение соответствует главным площадкам, а на круге Мора - строго горизонтальному положению соединительного отрезка. Изменяя θ можно найти в теле и такое положение sθ θ= единичного куба, при котором касательные напряжения на его гранях достигнут своих максимальных значений maxxyτ τ′ = . При этом на грани куба будут продолжать действовать

Рис.5.4 Изменение длины граней куба под действием xσ и yσ

Рис.5.5 Изменение формы куба под действием xyτ

42

(в общем случае) и остаточные нормальные напряжения ' 'x y avgσ σ σ= = , равные между собой по модулю. Такому напряженному состоянию (состояния с максимальным касательным напряжением) соответствует строго вертикальное положение отрезка на круге Мора. Таким образом, круговая диаграмма Мора позволяет наглядно и быстро находить напряжения на произвольно направленных площадках, и, в частности - главные напряжения и максимальные касательные напряжения в рассматриваемой точке напряженного состояния элемента тела.

5.1.4. Тензор деформаций в точке тела. Деформированное состояние в точке К тела характеризуется тензором деформации, представляемым в системе Oxyz симметрической матрицей третьего порядка, содержащей на главной диагонали относительные удлинения ребер , ,x y zε ε ε , а вне диагонали — половинами углов сдвига граней:

1 12 2

1 12 21 12 2

x xy xz

x xy xz

yx y yz yx y yz

zx zy z

zx zy z

Tε

ε γ γε ε ε

γ ε γ ε ε εε ε ε

γ γ ε

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ≡ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. (5.19)

Здесь xyγ (рад) — уменьшение угла между ребрами, численно равное относительному смещению вершин единичного куба, xyτ — касательное напряжение, приложенное к боковой грани с нормалью i , направленное вдоль оси Oy . / 2xy xyε γ= — половина угла сдвига грани, параллельной

плоскости XY , имеющей орт внешней нормали k . Для плоского напряженного состояния имеем тензор деформации вида

Рис.5.6. Общая деформация куба под действием xσ , yσ и xyτ

43

1 02 0

1 0 02

0 00 0

x xy

x xy

yx y yx y

zz

Tε

ε γε ε

γ ε ε εεε

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ≡ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.20)

Общий закон Гука. Напряжения в точке К тела (в единичном малом

кубе, примыкающем к точке) вызывают линейные и угловые относительные деформации. По обобщенному закону Гука, с учетом поперечных деформаций, они определяются уравнениями, содержащими три константы, GE ,, μ , характеризующие материал: модуль упругости (модуль Юнга) E , коэффициент Пуассона μ и модуль сдвига G , выражаемый через константы ,E μ .

Имеем

( )

( )

( )

1 ( ) ,

1 ( ) ,

1 ( ) ,

xyx x y z xy

yzy y z x yz

zxx z x y zx

E G

E G

E G

τε σ μ σ σ γ

τε σ μ σ σ γ

τε σ μ σ σ γ

= − + =

= − + =

= − + =

, (5.21)

при )1(2 μ+

=EG .

Уравнения (5.21), разрешенные относительно напряжений представляются в форме:

2 ,

2 ,

2 ,

x x xy xy

y y yz yz

z z zx zx

G G

G G

G G

σ ε λθ τ γ

σ ε λθ τ γ

σ ε λθ τ γ

= + =

= + =

= + =

, (5.22)

Рис.5.7 Критерий максимальных нормальных напряжений

44

где параметр x y zθ ε ε ε= + + называется объемное относительное расширение; константа / ((1 2 )(1 ))Eλ μ μ μ= − + называется коэффициент Ляме.

Согласно уравнений (5.21), относительные деформации малого элемента в точке тела пропорциональны соответствующему нормальному напряжению, уменьшенному на величину, обусловленную относительным поперечным сжатием по закону Пуассона.

Случай плоского напряженного состояния. Для плоского напряженного состояния обобщенный закон Гука записывается в форме:

( )

( )

( )

1 ,

1 , 0

1 ( ) , 0

xyx x y xy

y y x yz

z x y zx

E G

E

E

τε σ μσ γ

ε σ μσ γ

ε μ σ σ γ

= − =

= − =

= − + =

. (5.23)

Общую деформацию малого единичного куба при плоском напряженном состоянии (рис.5.6) можно рассматривать как суперпозицию линейных деформаций под действием нормальных напряжений ,x yσ σ (рис.5.4) и угловых деформаций под действием касательных напряжений xy yxτ τ= (рис.5.5).

Замечание. При плоском напряженном состоянии согласно закона Пуассона изменяются и поперечные размеры элементов в соответствии с уравнениями (5.23) на величину ( )( ) /z x y Eε μ σ σ= − + .

5.1.5. Критерии прочности. В теории рассматривались случаи, когда

материал находится в одноосном напряженном состоянии типа растяжение-сжатие, или простейшем плоском напряженном состоянии сдвига при кручении валов. В качестве условий прочности в этих случаях требовалось, чтобы наибольшее нормальное напряжение для состояния

Рис.5.8 Критерий максимальных нормальных напряжений для пластических материалов

45

растяжения-сжатия и наибольшее касательное напряжение для случая кручения не превосходило соответствующего допускаемого напряжения, значение которого установлено по полученному опытным путем соответствующему пределу текучести yσ в случае пластичных материалов или пределу прочности uσ в случае хрупких материалов.

[ ] [ ]max min max;| | или [ ]t cр cσ σ σ σ τ τ≤ ≤ ≤ , (5.24)

где [ ]τ - допускаемое касательное напряжение, [ ] [ ]/ , /t ct cu un nσ σ σ σ= = -

допускаемые значения нормальных напряжений при растяжении и сжатии соответственно, связанные с пределом текучести (для пластических материалов), или пределом прочности (для хрупких материалов) коэффициентом запаса прочности n .

Для пластических материалов в качестве предельного состояния обычно рассматривают состояние текучести с предельным напряжением, а с примерно равными при растяжении и сжатии пределами текучести

t cy yσ σ≈ , и условие (5.24) имеет вид:

[ ] [ ] [ ]max min;| | ; /t c ty nσ σ σ σ σ σ≤ ≤ = .

Для общего случая плоского напряженного состояния в точке с двумя ненулевыми главными напряжениями ( )1 2,σ σ и объемного напряженного состояния, с тремя ненулевыми главными напряжениями ( )1 2 3, ,σ σ σ , проверку условий прочности по каждому из напряжений не проводят, применяют оценки прочности деталей по следующим критериям прочности.

Критерий наибольших нормальных напряжений (Первая теория

прочности, Maximum normal stress). Пусть известны три главных напряжения объемного напряженного состояния. Упорядочим их по убыванию их числовых значений (с учетом знака):

1 2 3σ σ σ> > .

Рис.5.9. Критерий максимальных касательных напряжений

46

Согласно первой теории прочности предельное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает когда наибольшее нормальное напряжение достигает значения предельного напряжения при одноосном напряженном состоянии, т.е.:

1 3[ ] ; | | [ ]t cσ σ σ σ< < , (5.25) где [ ]tσ - допускаемое напряжения при растяжении, [ ]cσ - допускаемое напряжение при сжатии.

Случай плоского напряженного состояния. Для плоского напряженного состояния ( 0zσ = ) с главными напряжениями 1 2,σ σ условие (5.25) также может быть записано как:

1 2[ ] { , ,0} [ ]c tσ σ σ σ< < . (5.26) На плоскости 1 2Oσ σ критерий наибольших нормальных напряжений

(5.26) задает квадратную область Для пластических материалов c tσ σ≈ и центр области допустимых

значений будет находиться в начале координат Эта теория подтверждается на практике только для хрупких

однородных материалов: стекло, гипс, некоторые вид керамики. Критерий наибольших деформаций и критерий наибольших

касательных напряжений (Вторая и третья теория прочности, Maximum shear). Во второй теории прочности рассматриваются наибольшие линейные деформации. Но поскольку опыты не подтверждают эту теорию, и она практически не применяется на практике сразу перейдем к рассмотрению к третьей теории.

Согласно третьей теории прочности предельное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает когда наибольшее касательное напряжение достигает значения предельного касательного напряжения при одноосном напряженном состоянии, т.е.

[ ]maxτ τ≤ .

Рис.5.10 Критерий Мизеса

47

Максимальное касательное напряжение связано с максимальным ( )1σ и минимальным ( )3σ главными напряжениями

1 3max ,

2σ στ −

= (5.27)

а допустимое касательное - с допустимым нормальным напряжением [ ] [ ]/ 2τ σ= . Условие (5.27) можно окончательно записать как

[ ]1 3 ,σ σ σ− ≤ (5.28) где 1σ и 3σ - максимальное и минимальное главные напряжения (с учетом знака), т.е. удовлетворяют неравенству 1 2 3σ σ σ> > , [ ]σ - допускаемое напряжение.

Эта теория дает хорошие результаты для материалов одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию. Аналогом третьей теории для материалов, имеющих существенно разные предельные напряжения растяжения и сжатия является критерий Мора.

Случай плоского напряженного состояния. В случае плоского напряженного состояния следует помнить, что одно из трех главных напряжений равно нулю и соответственно участвует в неравенстве (5.28) в

качестве либо 3 0σ = , если остальные два напряжения положительные, либо в качестве 1 0σ = , если оба других напряжения отрицательные. В результате условие (5.28) задает область допустимых значений вида.

Энергетический критерий Мизеса (Четвертая теория прочности,

von Mises). Согласно четвертой теории прочности прочность материала при сложном напряженном состоянии обеспечивается, если удельная потенциальная энергия деформации не превосходит допускаемой для одноосного напряженного состояния.

[ ]maxu u≤ . (5.29)

Рис.5.11 Критерий Мора-Кулона

48

Удельная потенциальная энергия деформации при объемном напряженном состоянии равна

( )( )2 2 21 2 3 1 2 2 3 3 12

2Eu σ σ σ ν σ σ σ σ σ σ= + + − + + .

Опыты показывают, что лучшие результаты соответствуют значению коэффициента 0.5ν = , отсюда условие (6) принимает вид:

[ ]2 2 21 2 3 1 2 2 3 3 1σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ+ + − − − ≤ . (5.30)

Недостатком энергетического критерия, как и критерия максимального касательного напряжения является то, что они не учитывают различия между растяжением и сжатием и поэтому неприменимы для материалов с существенно различными характеристиками при растяжении и сжатии. Таким образом четвертая теория (энергетический критерий Мизеса) применима для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Случай плоского напряженного состояния. Для плоского напряженного состояния условие (5.30) имеет вид

[ ] [ ]22 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2илиσ σ σ σ σ σ σ σ σ σ+ − ≤ + − ≤ . (5.31)

На плоскости 1 2Oσ σ условие (5.31) определяет эллиптическую область

Критерий Мора-Кулона (Coulomb-Mohr). Критерий Мора-Кулона

является обобщением третьей теории прочности, расширяя ее применение

на материалы со значительно отличающимися характеристиками при сжатии и растяжении. Условие прочности имеет вид:

[ ][ ]

[ ]1 3

tt

c

σσ σ σ

σ− ≤ . (5.32)

Рис.5.12 Критерий Кристенсена

49

где 1 3,σ σ - максимальное и минимальное главные напряжения (с учетом

знака), [ ]tσ - предельно допустимое напряжение растяжения, [ ]cσ - предельно допустимое напряжение сжатия.

Теория Мора применяется для материалов с разным сопротивлением растяжению и сжатия (хрупким материалам).

Случай плоского напряженного состояния. В случае плоского напряженного состояния следует помнить, что одно из трех главных напряжений равно нулю и соответственно будет участвовать в неравенстве (5.28) в качестве 3 0σ = , если остальные два напряжения положительные; или в качестве 1 0σ = , если оба других напряжения отрицательные. В результате условие (5.32) задает область допустимых значений напряжений вида

Новые теории прочности. Помимо приведенных ранее теорий

прочности к настоящему времени разработаны также и множество новых теорий прочности, таких как критерий Писаренко - Лебедева, критерий Фридмана, критерий Ягна-Бужинского, критерий Баландина и др. В качестве примера новой теории рассмотрим критерий Кристенсена (Christensen).

Для плоского напряженного состояния критерий Кристенсена имеет вид

( ) ( )2 21 2 1 1 2 2

1 1 1 1[ ] [ ] [ ] [ ]t c t cσ σ σ σ σ σσ σ σ σ

⎛ ⎞− + + − + ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠. (5.33)

На плоскости 1 2Oσ σ условие (5.33) задает эллиптическую область, центр которой в общем случае смещен от начала координат

Очевидно, что в частном случае, когда предельные напряжения на растяжение и сжатие равны между собой [ ] [ ]t cσ σ= критерий Кристенсена (5.33) совпадает с критерием Мизеса (четвертой теорией прочности).

50

Таким образом, критерий Кристенсена может быть использован не

только для пластичных, но и для хрупких материалов с различными предельными напряжениями сжатия и растяжения.

Для сравнения различных критериев прочности удобно совместить

задаваемые ими области на плоскости 1 2Oσ σ при одинаковых значениях предельных напряжений (рис.5.13, рис 5.14).

Рис.5.13 Критерии прочности для хрупких материалов: максимального нормального напряжения (Maximum Normal Stress), Мора-Кулона (Coulomb-Mohr), Кристенсена (Christensen)

Рис.5.14 Критерии прочности для пластичных материалов: максимального касательного напряжения (Maximum Shear) и Мизеса (von Mises)

51


На рис 5.15 приведен вид окна лабораторной установки. Исходные

данные для выполнения работы: нормальные напряжения ,x yσ σ и касательное напряжение xyτ , указаны в левом верхнем углу окна. Лабораторная установка содержит четыре вкладки: «Напряжения», «Деформации», «Критерии» и «Результат», которые приведены на рис.5.16, 5.18, 5.20, 5.21 и два вспомогательных плавающих окна ввода результатов рис.5.17, рис.5.19, вызываемых нажатием кнопок «Результаты» на вкладках «Напряжения» и «Деформации».

5.2.1. Вкладка «Напряжения». Нормальные и касательные

напряжения, действующие на площадках исходного и повернутого единичного куба вычисляются на вкладке «Напряжения» лабораторной установки. Работа с установкой начинается с ввода исходных данных

, ,x y xyσ σ τ в соответствующие поля вкладки «Напряжения» и нажатия кнопки «Приступить к выполнению». Поворот единичного куба в плоскости Oxy осуществляется кликами мыши на изображении квадрата в левой половине окна. Более тонкий, уточняющий поворот производится кнопками «+» и «-» поля θ в правой нижней половине окна этой вкладки. Ниже находится кнопка вызова плавающего окна «Результаты» внешний

Рис. 5.15. Виртуальная лабораторная установка

52

вид и поля ввода которого показаны на рис. 5.17. Результатами выполнения этой части работы являются найденные значения главных напряжений 1 2,σ σ , положение главных площадок, обозначаемое углом

поворота pθ , максимальное касательное напряжение maxτ , положение площадок

Рис. 5.16. Вкладка «Напряжения» лабораторной установки

Рис.5.17. Окно результатов вкладки “Напряжения»

53

на которое оно действует, обозначаемое углом sθ , и остаточным нормальным напряжением avgσ . По нажатию кнопки «Ок» внесенные в плавающее окно данные автоматически переносятся в соответствующие поля вкладки «Результат» (рис.5.17) лабораторной установки. Следует отметить, что плавающее окно является подручным инструментом внесения результатов и носит вспомогательный характер. Результаты

могут вноситься в итоговую вкладку «Результат» непосредственно, без использования плавающего окна. В верхней части правой половины окна вкладки «Напряжения» показан круговая диаграмма Мора, соответствующая исходному и повернутому положению единичного куба.

5.2.2. Вкладка «Деформации». Относительные деформации исходного и повернутого куба приведены на вкладке «Деформации» лабораторной установки. Правая половина окна разделена на три части. В верхней указано название материала и его свойства, задаваемые константами: модулем нормальной упругости (модуль Юнга) E и коэффициентом Пуассона μ . В средней части приведены относительные

Рис. 5.18. Вкладка «Деформации» лабораторной установки

54

деформации куба , , ,x yy xzε ε ε τ в исходном состоянии и относительные деформации куба ' , ' , ' ',y xyx zε ε ε τ в повернутом состоянии. Деформации в исходном состоянии отмечены серым цветом шрифта. В нижней части приведены напряжения действующие на грани повернутого куба , ,x y xyσ σ τ′ ′ ′ и угол поворота куба θ относительно исходного положения. В левой части окна вкладки показано положение куба и величины напряжений , ,x y xyσ σ τ действовавших на куб при исходном положении 0θ = . Следует иметь в виду, что вращать единичный куб можно только на вкладке «Напряжения», при этом данные по напряжениям и углу поворота переносятся с вкладки «Напряжения» на вкладку «Деформации»

автоматически и не могут быть на ней изменены. В правом углу окна вкладки находится кнопка «Результаты» вызова плавающего окна результатов внешний вид и поля ввода которого показаны на рис.5.19.

5.2.3. Вкладка «Критерии». Оценка выполнения критериев

прочности выполняется на вкладке «Критерии» лабораторной установки. Правая половина окна вкладки разделена на четыре части. В верхней части

Рис.5.20. Вкладка «Критерии» лабораторной установки

55

указан материал. В средних двух приведены главные напряжения 1 2,σ σ , а также действующие и допустимые напряжения сжатия и растяжения ,c tσ σ для данного материала. Следует отметить, что значения главных напряжений автоматически перенесено из результатов вкладки «Напряжения», допустимые значения напряжений являются табличной величиной и внесены автоматически и единственной изменяемой частью вкладки являются флажки критериев прочности, расположенные в нижней части. Отмечая флажки критериев визуально оценивается выполнение критериев по попаданию или непопаданию точки с координатами 1 2,σ σ в соответствующую область на плоскости нормальных напряжений. Например, на рис. 5.20 приведен случай выполнения всех трех критериев прочности, поскольку точка, соответствующая главным

напряжениям 1 231.4, 41.4σ σ= = − находится внутри всех тех областей критериев. Результаты вкладки «Критерии» о выполнении или невыполнении соответствующих критериев для данного напряженного состояния и заданных допустимых напряжений материала вносятся в соответствующий раздел вкладки «Результат».

5.2.3. Вкладка «Результат». Внесение результатов выполнения критериев прочности, полученных на вкладке «Критерии», а также контроль правильности переноса остальных полученных результатов

Рис. 5.21. Вкладка «Результат» лабораторной установки

56

выполняется на вкладке «Результат» лабораторной установки. Выполнение или невыполнения критериев прочности для данного материала и варианта нагружения производится установкой радиокнопки в положение «Да» или «Нет» напротив соответствующего критерия в правой нижней части окна. Например, на рис.5.21. показан случай положительного ответа на выполнение всех трех критериев прочности. Вкладка «Результаты» является итоговой вкладкой лабораторной установки. После проверки правильности внесения всех полученных результатов и отсутствия незаполненных полей можно следует завершить выполнение лабораторной работы нажав кнопку «Ответ готов», находящейся за пределами окна установки в правом нижнем углу окна браузера (рис 5.15).


1. Исходные данные для выполнения работы: нормальные напряжения ,x yσ σ и касательное напряжение xyτ , указаны в левом верхнем углу

окна. Работа с установкой начинается с ввода исходных данных , ,x y xyσ σ τ в соответствующие поля вкладки «Напряжения» (рис. 5.16)

и нажатия кнопки «Приступить к выполнению». Материал элемента считается заданным и внесенным автоматически.

2. На вкладке “Напряжения” (рис. 5.16) изменяя угол θ по значениям ,x yσ σ′ ′ найти и упорядочить по убыванию значения главных

напряжений 1 2,σ σ и значение угла pθ θ= , для которых они получены. Полученные в результате значения 1 2, , pσ σ θ внести в соответствующие поля ввода окна «Результаты» вкладки «Напряжения» (рис. 5.17).

3. Не изменяя положения куба перейти на вкладку “Деформации” (рис. 5.18) и получить главные относительные деформации 1 2, ,ε ε при

pθ θ= упорядочив по убыванию значения ,x yε ε′ ′ . А также выписать значение относительной деформации zε на площадке z . Полученные значения 1 2, , zε ε ε внести в соответствующие поля ввода окна «Результаты» вкладки «Деформации» (рис. 5.19).

4. Вернуться на вкладку “Напряжения” (рис. 5.16) и изменяя угол θ найти положение граней (площадок) куба sθ θ= , при котором касательные напряжения, действующие на площадки, достигают своего максимального значения maxxyτ τ′ = . Выписать найденное значение maxτ , и значение остаточного нормального напряжения

x y avgσσ σ′ ′= = действующего при этом. Полученные значения

max avg, , sτ σ θ внести в соответствующие поля ввода окна «Результаты» вкладки «Напряжения» (рис. 5.17).

57

5. Не изменяя положения куба перейти на вкладку “Деформации” (рис. 5.18) и выписать значение максимального угла сдвига maxγ γ′ = при

sθ θ= . Полученное значение maxγ внести в соответствующее поле ввода окна «Результаты» вкладки «Деформации» (рис. 5.19).

6. Перейти к вкладке “Критерии” проверить выполнение трех теорий прочности для заданных допустимых значений нормального напряжения на растяжение и сжатие [ ] [ ],t cσ σ и действующим на материал главных напряжений 1 2,σ σ . Выполнение или невыполнение каждого из критериев отметить на вкладке «Результат»

7. Проверить отсутствие незаполненных полей и правильность внесения данных на вкладке «Результат». Завершить выполнение работы нажав кнопку «Ответ готов».


• Какое напряженное состояние называют плоским? • Чем вызвана деформация zε при плоском напряженном

состоянии? • Какие напряжения и деформации называют главными? • Чему равно касательное напряжение на главных площадках? • Какие теории и критерии прочности Вы знаете? В чем их

различие?

58

ЛИТЕРАТУРА

1. В.И.Феодосьев Сопротивление материалов— Изд. 13-е, стер .— М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2005 .— 590,

2. Агамиров, Л.В. Сопротивление материалов. Краткий курс [Текст]: для студентов вузов / Л. В. Агамиров .— М.: АСТ: Астрель, 2003 .— 256 с

3. Введение в сопротивление материалов / П. А. Павлов, Л. К. Паршин, Г. Б. Колчин, Б. Е. Мельников; под ред. Б. Е. Мельникова ; Санкт-Петербургский государственный технический университет .— Изд. 2-е, испр .— СПб.: Издательство "Лань", 2002 .— 155 с

4. В. Г. Мельников, С. Е. Иванов, Г. И. Мельников. Компьютерные технологии в механике приборных систем / Под ред. В. Г. Мельникова.— СПб.: Издательство СПбГУ ИТМО, 2006 .— 130 с.

5. А.А.Хмелев, В.А. Сидоров Сопротивление материалов. Лаб.работы – Мн.:УП 2004. -206 с.

6. А. В. Александров, В. Д. Потапов, Б. П. Державин. Сопротивление материалов — 3-е изд., испр .— М.: Высшая школа, 2003 .— 560 с

59

В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена Программа развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики» на 2009–2018 годы.

КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ

В 1900 году Государственный Совет России принял решение о создании в Ремесленном училище цесаревича Николая механико-оптического и часового отделения. Именно из этого отделения за прошедшие 100 лет вырос Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики (технический университет).

Курсы механики преподавались в Университете с самого начала его основания. В Российской национальной библиотеке Санкт-Петербурга хранится руководство по теоретической механике для учащихся IV класса Петербургского Ремесленного училища цесаревича Николая 1900 года издания.

При создании на базе механико-оптического и часового отделения сначала техникума, а затем института точной механики и оптики, уровень преподавания теоретической механики естественно повышался. В результате этого в начале 1930-х годов в институте была создана кафедра теоретической механики.

В 1940-х годах ее возглавлял профессор, доктор физико-математических наук Н.И. Идельсон. Одновременно он был также заведующим кафедрой гироскопии и гироскопических приборов ЛИТМО, что свидетельствует о широкой области его научных интересов и научных исследований на обеих кафедрах.

В 1950-х годах кафедру возглавил доцент ( а затем профессор ) Г.Д. Ананов (1916-1976). Он был известным специалистом в области графоаналитических методов и применял их к исследованию сложных пространственных механизмов и к решению задач астронавигации,

60

Георгий Давидович также увлеченно занимался программированным обучением и внедрением технических средств в учебный процесс.

В 1960-х годах кафедру теоретической механики возглавлял профессор, доктор технических наук Э.И.Слив. Он внес большой вклад в активизацию научных исследований на кафедре, особенно в области бортовых систем инерциальной навигации подвижных объектов. В 1965 году кафедра теоретической механики была объединена с кафедрой сопротивления материалов и стала называться кафедрой технической механики, а позднее кафедрой теоретической и прикладной механики.

С 1975 по 2002 год ее возглавлял заслуженный работник высшей школы, профессор, доктор физико-математических наук Г.И.Мельников, который продолжает научную и педагогическую работу.

В это время на кафедре разрабатывались численно-аналитические методы теории нелинейных колебаний и оценок устойчивости движения, компьютерные технологии, матричные нелинейные математические модели в механике, аналитические методы преобразования моделей с выделением существенных качественных параметров и методы идентификации инерционных и диссипативных параметров на программных движениях систем управления. А также выполняется большая научно-методическая работа по внедрению современных компьютерных технологий в процесс преподавания дисциплин теоретической и прикладной механики, проводятся прочностные расчеты и испытания приборных систем.

В 2002 г. заведующим кафедрой теоретической и прикладной механики стал к.т.н., доцент Мельников В.Г. Он является специалистом в области математического и компьютерного моделирования нелинейных управляемых механических систем. Имеет патенты РФ на изобретения способов и работотехнических устройств для идентификации механических параметров объектов, а также имеет разработки новых методов исследования механических систем с использованием аппроксимации П.Л. Чебышова.

61

Виталий Геннадьевич Мельников Сергей Евгеньевич Иванов

Геннадий Иванович Мельников Александр Геннадьевич Кривошеев

Компьютерные лабораторные работы по сопротивлению материалов

Учебное пособие

В авторской редакции Редакционно-издательский отдел Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики Зав. РИО Н.Ф. Гусарова Лицензия ИД № 00408 от 05.11.99 Подписано к печати 15.11.10 Заказ № Тираж 100 экз. Отпечатано на ризографе

62

Редакционно-издательский отдел Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 49

Documents

ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ