MomciloN ovkovic I1ijaKovacevic ZBIRKA RESENIH ZADATAKA IZ VEROVATNOCE ISTATISTlKE STYLOS It10-v;

ZIP&? r;..'1. Cd",) UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNICKIH NAUKA MomciloB.NovkovicI1ijaM. Kovacevic ZBIRKA RESENIH ZADATAKA IZ , VEROVATNOCE I STATISTIKE NuviSad, 1999 ,.. knrt's('uihzadataka iz verovatnoce istatistike "'Il 1\11!\\llliinio Novkuvic,asistcnt FTN-auNovorn Sadu 1)1\lij;,Koval-evic,redovni profesor FTN-a uNovornSadu t.'/1.',1111 1)1lovallM;disic,rcdovni profesor Matcrnatickog fakllltctaIIBcogradu I hMila StopkllVic,rcdovniprofcsor FTN-a uNovomSaclll 1./1./,"STY LOS"l\ll.O.,NoviSad 11.. ,1,11,11',1.Vcsclin Stcfanovic -/11 Ii. -/.,1I'njJl'cma: Ilija Tallackov '.1111/1.1."SPrint",NoviSad, Bulcvar VojvodcStcpe133, Tel.: 021/401-1174 :.III1P;1110\IS()Oprimcraka YI ; UOJ1l-l0TCKaMaTJ1l\ccpncKe, HOBliCan 'i 19.21 (076.5R) 'i \ 9.22(076.5R) \HOBKOBlI1i., MOM'IUJlO i I Zbirkarcscnih zadatakaizverovatnocc i statistikc/Momcilll Novkovic,IlijaKovaccvic.-Novi Sad:Fakultct Tehnickihnauka:Stylus, 191.)1.)(Novi Sad:SPrint). - 162 str.: graf.prikazi; 24em I. KOna 0je P(ejD) = P ~ ~ ) .AkojeP(AtAZ ... A _1)>O,n;::';2tadajenP(AlA2 .. Au)= P(Al) p(A2iAl)' p(A3iAlA2) p(AniAl A2,,An_1) DogadajiAiBsunezavisniakojeP(AB) =P(A)P(B) .Dogadaji Ap A2, ...,Ak , sunezavisniuukupnostiakozasvakikonacanskuprazliCitih indeksa{it, i2 ,, in} vaZiP(Ait Ai2 ... Ain ) = P(AI} )P(Ai2 ) . P(Aiu ). AkasudagadajiAl'A2 , ...,Ak ,...nezavisniuparovima (P(AjAj)= P(AJP(Aj ),i *"j), ne sledi uvek da sunezavisni u ukupnosti. 1.Bacamonovcicdesetputa.Kolikajeverovatnocadasedesetputapojavi grb? 1Ai - dogadaj daje u i-tom(i;:: 1, ... ,10)bacanju pao grb,P(AJ;::-.2 1)101P(Al'Az,... A9'AlO)=P(AJp(A2) .... P(A1O)=2"1024 =0,00098. (2.StrelciA,BiCgadajupojednomucilj,nezavisnojedanoddrugog, pogadajuCiga sa verovatnocama 0,6;0,5i 0,4respektivno.Ustanovljeno je da je ciljpogodendvaputa.Sta jeverovatnijeda je strelacCpogodioiii promaSio? A - dogadaj da je strelac Apogodio cilj Bdogadaj da je strelacB pogodio cilj Cdogadaj da je strelacC pogodio cilj D- dogadaj da je cilj pogoden dva puta. D{ABC,ABC,ABC},P(D) =P(ABC)+ P(ABC)+P(ABC)= =peA). PCB) p(c)+ peA). P(B). p(C) +P(A). PCB). p(C)= =0,60,50,6 +0,60,50,4 +0,4 0,50,4 = 0,18 +0,12 +0,08=0,38 P(qD)= P(CnD) = P(ABC)+P(ABC) =0,12+0,08 =0,20=053 P(D)P(D)0,380,38' p(CiD)1PCqD) =0,47 Verovatnije je da je strelac C pogodio cilj, ako je cilj pogoden dva puta. 20Prostor 2703. 9010' 1-=0,34.3 Drugi nacin: 7AnB{Be},P(B)==-,10 21 -P(A nB)::::#(An B) -217 p(AIB)=90::::1.::: 0.3n909030'793 10 Zbog P(AnB)::::P(A)P(B) sledi da su A i B su nezavisni dogaoaji. 4.U odeljenju ima 20devojcica i12decaka.Na svakom casuprofesor bira-. ucenika jednog zadrugimiispitujeih.Akosuprvo ispitanedYedevojci. odrediti verovatnocu da ce tred prozvani ucenik biti: a)decak b}devojcica. D - dogaoaj da su prva dva izabrana ucenika devojCice a)A - dogadaj da je treCi izabrani ucenik decak p(AID)=p(AnD)P(A)P(D) P(D)P(D)305' b)B- dogaoaj da je treci izabrani ucenik devojcica p(BID)=p(BnD)=p(B).P(D)jp(B)18P{D)P(D)305' Prostor verovatnoca21 !!.Bacaju sedva novcica i posmatraju dogadaji: A - pojava grba na prvom novcicu,B - pojava bar jednog grba C - pojava bar jednog pisma,D - pojava grba na drugom novcicu Ispitati zavisnost slededh dogadaja: A i C, AiD, B i C, BiD n = {GG,GP,PG,pp} A{GG,GP},B{GG,GP,PG},C = {GP,PG,pp},D ={GG,PG} P(A)a)AnC ={GP},p(AnC)=b)AnD={GG},P(AnD): P(A).P(C)= %P{A) P(D) = : A i C su zavisni dogadaji.AiD su nezavisni dogadaji. c)BnC ={GP,PG},P(BnC)= 1d)BnD{GG,PG},P(BnD)= 1 22 339 P{B). P(D) = P{B) p(C) =4'416 428 B i C su zavisni dogadaji.BiD su zavisni dogadaji. 6.Iz spila od52karte izvlacise5 karata. NekaA oznacava dogadajda su bar tri izvucenekarte tref, aB dogadajda su svihpetizvucenihkarata trefovi. Odrediti P(A IB). (52)6 nn\ 52,610, mA=# A 0,24(13J(I;)(13 P(A)=- 0,09,mB=#B,P(B)=-=00005'ffiA"B=#(AnB)j.2,65(5;)'5 P(A n B) = P(B) =0 0005p(BIA)= P{A nB)0,00050 0056. "P{A)0,09' . 7.Ucenikucestvujenatakmicenjimaizmatematike,geologijeigeodezije. Verovatnoca da osvojiprvunagradu, za svaki predmet,iznosi0,4.Odrediti verovatnocu da ce ucenik osvojiti prvu nagradu bar iz jednog predmeta. Ai - dogadaj da ucenik nije osvojio prvu nagradu iz i-tog predmeta(i =1,2,3), P(Ai)= 0,6. P(A) ==1P(Al A2A3)== 1- P(Al). P(A2,. P(A3) =1- 0,60,60,6 =0,784. 22Prostor verovatno.:. FORMULA TOTALNE VEROVATNOCE. BAJESOVA FORMULA Formulatotalneverovatnoce:Akoje{Ht,Hz,. ,Hn}potpunsistem . tada vaziP(A) = EP(AIHJ. P(H;). j=1 Uopstenaformulatotalneverovatnoce:Akoje{HI'H2,,Hn}potpunsis:: dogadaja i ako jepeA) > 0,P(AHj )> 0za svei = 1,2,., n, tada vazi p(BIA) :: EP(BIAHi) P(Hi IA). i=l Bajesovaformula: Ako je {HI' Hz,..,Hn}potpun sistem dogadaja, tada vazi p(AIHk )P(Hk)p(HkIA) =n'k = 1, 2, ..,n, peA) > o. L p(AIHi )P(Hi) i=l 1.Imamo dYekutije, Kl iKz razlicitog sastava. U prvoj kutiji su tri beleic erne, au drugojdYebele icetiri erne kuglice. Verovatnoca izbora kutij: je P(K1)= 1 ,a kutije Kzje P(K2)=.!. Slucajno se uzima kutija i iz nje izyL:33 jedna kugliea.NaCi verovatnocu da je izvucena kuglica bele boje. HI - dogadaj da je izabrana kutijaK1,P(HI)=.!. 3 H2dogadaj daje izabrana kutijaK2 ,P(H2)=3.3 31A - dogadaj da je izvucena kuglica bele bojeP( A/H!)-, P( AIH2 )=53 P(A)=P(H1). P(A/HI )+ P(H2). 3. . .!.=.!.+ 3. = 9 + 10 35335945 2.Imamo cetiri kutije razlicitog sastava. U prvojkutiji su dYebele i dYec u drugoj jedna bela i dYe erne, u trecoj tri bele i tri erne i u cetvrtoj dn: > ipet ernih kuglica.Verovatnoca izborai -tekutije je i=1.:i10 Slucajno seuzima kutija i iznje seizvlaci jedna kugliea.NaCiverovatr da je izvucena kugliea bela. 23Prostor verovatnoca H1 - dogadaj da je izabrana I kutija, H2 - dogadaj da je izabrana II kutija, H3 - dogadaj da je izabrana III kutija, H4 - dogadaj da je izabrana IV kutija, A- dogadaj da je izvucena bela kuglica. p(AIHJ= 2=!,p(AIH2 )=!, p(AIH 4)=:-72 . 42362 PI A)=P(H1) p(AIH1)+ P{H2) p(AIHz)+ P(H3)' p(AIH3)+ P(H4) p(AIH4)= 112131421124 =.-+-.-+_._+_.- -+-+-+-=038 10210310210720153035' 3.Na jednom planinskom drumuu susret jedan drugomkreeu sedva vozila. Verovatnoea da ee se bezbedno mimoicl ako su vozaci trezni je 0,999; ako je jedanvozacpripitverovatnoCaje0,7;aakosuobavozacapripita verovatnoea je 0,4.Odrediti verovatnoeu sretnog mimoilaska ako sezna da je svaki deseti vozac pripit. He dogadaj da su oba vozaca trezna, Hz- dogadaj da je jedan vozac trezan, H3- dogadaj da su oba vozaca pripita, A- dogadaj da su se vozaci bezbedno mimoisli. P1H]) =..2..- . ..2..- = 0,81, P(H2 )=..2..-1+. ..2..- = 0,18,P{H3) = =: 0,01,1010101010101010 p(AIHl )= 0,999,p(AIHz)= 0,7,p(AIH3)= 0,4, P{A) = P(H1) p(AIHt )+ P(Hz) p(AIHz)+ P{H3)' p(AIH3)= = 0,81 0,999 + 0,180,7 + 0,01 0,40 = 0,94. ...U jednoj kutiji sibica naJazi se5 upotrebljivih i 6 iskoriseenihpalidrvaca, a u drugoj kutiji 2 upotrebljiva i 9 iskoriseenih. Na slucajan nacin se iz svake kutijebirapo jednopalidrvceistavljautt:eeupraznukutiju.Zatim seiz treee izvlaci jedno palidrvce. Kolika je verovatnoea da eemo njime moc1da upalimo cigaretu? 24 Prostor verovatn . HI - dogadaj da su u trecu kutiju ubacena dva upotrebljiva palidrvca, H2 - dogadaj da je iz prve kutije izvuceno upotrebljivo, a iz druge iskorisceno palidrvce, H3 - dogadaj da je iz prve kutije izvuceno iskorisceno, a iz druge upotrebljivo palidrvce, H4 - dogadaj da su u trecu kutiju ubacena dva iskoriscena palidrvca, A- dogadaj da je iz trece kutije izvuceno upotrebljivo palidrvce. 5945P(H2)=--=-=0,37,1111121 6954 P(H4 )=U'11 = 1210,45. 45..!. +12..!. =77= 0315 12112121212242' S.U prvojposudinalazi se20proizvoda, odnjih je 15standardnih;udri... posudinalazise30proizvoda,odnjihje24standardnih;utrece.. proizvoda,odkojihje6standardnih.Odreditiverovatnocu,akonasu:biramo posudu iproizvod, da on bude standardan. HI - dogadaj da je izabrana I posuda, H2 - dogadaj da je izabrana II posuda, H 3dogadaj da je izabrana III posuda. A- dogadaj da je izvucen standardan proizvod .. p(AIH)= 15p(AIH)=24 120'230' 6.U korpi se nalazi 8 teniskih loptica od kojih su 4 nove. Za prvu partij u slueajan naeinbiraju tri loptice koje se posleigre vracaju ukorpu, pa' drugupartijuponovonaslucajannaeinbirajutriloptice.verovatnoca da se druga partija igra samo novim lopticama? Hi - za prvu igru smo izabrftli i novih loptica (i=O,1,2,3). A- druga partija se igra novim lopticama. 25 4 Prostor verovatnoCa P{H)(:) = ~P{H)=GlGl 24P{H )( ~ ) G )= 24P(H)= = z56' oGJ56'1( ~ J 56'(:)56'3 ( I ( ~ )- 4 P A Ho( ~ ) 56' P(A)=4.4+ 24.140=00127 56565656562 ' 7.U jednoj od dYekutije nalazi se 40 crvenih i10 plavih kuglica, au drugoj42 crvene i8plavih, ali nijepoznato koja kutija sadrii koje kuglice.Otvorena je jedna odkutijaiiznjeizvucena jedna kuglica.Ispostaviloseda je ona crveneboje.Odrediverovatnocudajeotvorenakutijasa40crvenih kuglica. HI - dogactaj da je izabrana kutija sa 40 crvenih i 10 plavih kuglica, H2 - dogactaj da je izabrana kutija sa 42 crvene i 8 plavih kuglica, A- dogactajda je izvucena kuglica crvene boje. 8.Od20novcicajedanimagrbsaobestrane.Slucajnojeodabranjedan novcic ibacen 10 puta. Ako se grb pojaviou svakom od 10bacanja, kolika je verovatnoca da je izabran nestandardni novcic? HIdogactajda je izabran nestandardni novCic,P{H1)=~ ,20 H2 - dogactajda je izabran standardni novCic,P(H2)= 19,20 A- dogactajda je grb pao u svih 10 bacanja. 1024 =098. 1043' 26 Prostor verovatnoca 9.Imamo tri novcica za koja znamo verovatnocu pojavljivanja grba:0,4;0,5i 0,6.Jedanodtibnovcica je na slucajannacinizabranibacen8puta.Tri puta je dobijen grb. NaCiverovatnocu da je izabran ispravan novcic. HI- dogadaj da je izabran novcic sa verovatnocom pojavljivanja grba 0,4 , H2 - dogadajda je izabran novCic sa verovatnocom pojavljivanja grba 0,5, H3 - dogadaj da je izabran novCic sa verovatnocom pojavljivanja grba 0,6 . 1P(H1)::::P(H2)P(H3)=3 A- dogadaj da je od 8 bacanja grb pao tri puta. p(AIH1)= ,0,43 .0,65 ==0,278,p(AIH2) = ,0,58 = 0,218, p(AIH)=(81. 063 ,045 =0124P(HIA)=0,218=035 33)',,,20,278 +0,218 + 0,124' 10.Ukutijisenalazecrvena,playaizelenakockica.Crvenakockicaje ispravna i ima svib sest brojeva. Naplavojkockicibrojevi 2,4 i6 nalaze se na po dYe strane, dok se na zelenoj kockici na svib sest strana nalazi broj 6. Na slucajan nacin se bira jedna kockica i baca tri puta. a) NaCiverovatnocuda je izabranazelenakockaakoje usvatribacanja pao broj 6. b)KoUka je verovatnoca da su u tri bacanja po jednom pali brojevi 2,4 i 6? HI - dogadaj da je izabrana crvena kockica, H2 - dogadaj da je izabrana playa kockica, H3 - dogadaj da je izabrana zelena kockica, a) A- dogadaj da je u sva tri bacanja pala sestica. 11111111. P(AIHl)=6'6'6= 216'P(AIH2)=3'3'3= 27'p(AIH3 )=1. -1 1(/ 1 1r_.-+-+1 321627216 b) B- dogadaj da su po jednom pali 2,4 i 6,(246,264, 426,462,624, 642). p(BIH2)=,p(BIH3)=0.21627 P(B) = P(HI ) p(BIHl)+ P(H2)P(H3)' p(BIH3)= =Ll' 5418=l..==00833,1 27i321621612' I34fednodimenzionalne slucajne promenljive r 0 1 -+z 3 1 3 12 3 110--z5.0 z-:c.33 1121 z0Pij=' ) ' = ~ ' '-.,-.,-'-(.11.J.1.J.1+J.e1.J. 1-.-, ,e1. 11"" --e==--Poj==,LPij 1=0e2 j!e j! ' v 1X. Y.t 11"Pio . Poj=-2-.-.Pij =>1SUneZaVlSneSucaJne promen JIve. eI! J! 43Dvodimenzionalna slucajna promenljiva 4.NekaslucajnapromenljivaXimaPuasonovu9>(1..)raspodeluineb je uslovnaraspodelazaslucajnupromenljivuYpridatomX =nbinomna ffi(n,p)raspodela. Odrediti zakon raspodele za Y i uslovni zakon raspodele za X pri datomYk. An Pn.=p(X=n)=rn=0,1,2 .... n. p(Y=kIXn)=[:)rkqn-k,n,kENo'k ~ n p(Y=klx=n)=P(Xn,Y=k)=Pnk P(X =n)Pn. 00 P.k= LPnk= n=O (Aq)n-k e-A+pA. - (0k)! 5.NasahovskojtabIisenaslucajannacinbira jednopolje.NekajeXbroj susednihbelih,aVbrojsusednihcrnihpolja.NaCiraspodeluza(X, V), marginalne raspodele, uslovnuraspodeluXlV =2, iproveriti da Ii su XiV nezavisne slucajne promenljive. ~ 1234 10 .2... 64 00 2 .2... 64 0 .12. 64 0 30 .12. 64 00 4000 l!l. 64 .2... 64 .a 64 .12. 64 l!l. 64 .2....a.12.l!l. 64646464 44Dvodimenzionalna slueajna promenljiva D M122 3 4) 3 4)

ll.ll.12.' Y: (.1...ll. ll.36 I 6464 1234)XIY =2: (.1...0ll.0 1414 6.Datajeraspodelaverovatnoca (X,Y). -1 12 10,100,050,120,10 30,080,200,050,10 50,040,050,040,07 646464646464 141212X. Y.. - :t:.- =>1msu neZaVlSne. 646464 dvodimenzionalneslucajnepromenljive I X I Ir: qa) Naci marginalne raspodele za X iY. b) NaCiuslovne raspodele za X IY=3 i Y IX=O. c) Ispitati da Ii su slucajne promenljive Xi Y nezavisne. r: 1y.(135)a)X. (-1012) .0,220,300,210,27.0,370,430,20 -1o13 b)Xly =3: ( 0,08 0,200,05!) .QdQ. \0,430,430,430,430,300,30 0,30 c)p(X = 0, Y=3) =0,20;p(X::: 0) (Y =3) =0,30 0,43 =0,129:t:. 0,20 =>Xi Y nisu nezavisne slueajne promenljive. a DVODIMENZIONALNA SLUCAJNA PROMENLJIVA NEPREKIDNOG TIPA bxy FXY(x,y)=IdtI(j)xv(t,u)du,(j)XY(x,y)zOjegustina -00- O. inin(j)Ylx:x ()y:::;:()' (j)xx>, TX!Y:y()'TY(j)xx(j)yY Uslovne funkcije raspodele: y1y Fy1x=x(Y)==f(j)ylx=x(t)dt-- fXy(t,y)dt, -00(j)x(x)-oo x1x Fx1y=y (x)=f xly=y (t)dt ==-- fXy(t, y)dt. -00(j)y(y)-oo Xi Ysu nezavisne ako i sarno ako jeXY(x,y)==x(x)(j)y(Y)za sveX,YER. Dvodirnenzionalnaslucajnaprornenljivaneprekidnogtipairnauniforrnnu raspodelu ako je njena gustina oblika I -- ,(X,y)ES G>XY(x,y)m(S),gdejesam(S)oznacenapovrsinaoblastiS { o,(x,y)\itS ravni xy. 1.Data je gustina raspodeJe dvodimenzionalne slucajne promenljive c.e-:l..(X+Y)x>Oy>O >Xy(x,y)0'I''I { ,u osta 1m S1ICaJevima a)NaCikonstantu C. b)NaCifunkciju raspodeleFxy(x,y). c)Naci marginalne gustine. a)77(j)XY (x,y )dx dy =c 71e-:l..(X+Y)dxdyc 7e-Axdxfe-AYdy -oo-co0000 00ro C-c .oof-1,.,,(--e1)-AX 1J -Axdx C -Ax I'"c- e Ce--e o'A()'A0'A20 b)Uxs;Oiii ys;O,FXY (x, y) =D x>O,y>O xyxy FXY (x,D) = Jdt J(j)(t, u)du ==fdtJ 'A2e-A(t+u)du= o()00 'A2 je-AtdtJ e-Audu ='A2-;'(e-AY-1). (e-Ax1)= o0i'A =1- e-Ax_ e-J..y+ e 46Dvodimcnzionalna sJucajna promcnljiva 2 oor 1.2-i.(x+Y)d_1.-Ax-'A.y I'"- A.-Ax0 C)'PX(X)=0ey--Te e0 -e,X> { o,xsO 2 00 COJ ~2-'A.(X+Y)d1.-'A.y-Ax 1'\-'A.y'"ex=--ee=",e,y>O oA.0 { o,ysO 2.Y 1+...................__._-.:.00 Dvodimenzionalnaslucajnapromenljiva(X, Y)ima uniformnuraspodelunadoblucuS.Nac1Cunkciju raspodele i marginalne gustine. x 1-1(x,y)eS21mS ()=-=1, q>XY(x,y)=m(so)- ,2 { ,(x,y)e: S u xsOiliysO Fxy(x,y)=O (x,y)e S yxy Y Fxy(x,y)= Jdu Idt ==I(x 2u}J-U\.I =XUIY0- U210=xy - y2 o2u0 x>2iO2iy>l 1 +-...-...............-'"...' : : : O ~ -t 2~2ti212FXY (X, y) =Jdt Jdu ==I-=-dt=..,.. t=1 to00240 x 47Dvodimenzionalna sIueajna promenljiva X E[0,2] ,x li!O[0,2] { Jdx =2 - 2y,YE[0,1]cpy(y) =2y o,Yli!O[0,1] 3.Dvodimenzionalna slucajna promenljiva (X, Y) data je gustinom 8 - xy,1 < x < 2,1 < Y< xXY (x,y) =9 { o,uostalim slueajevima a) Naci marginalne gustine za X i Y i ispitati njihovu nezavisnost. b) NaciF( ,3)iverovatnoeu dogactajaP(X+Y)\,. 18 2U 2118 2U 213_ = - J1- d1+- f1- dt = 91219321 132 3t 2 "2 234124242 3 24(1412 J+4(t1 tJ(t3 - t)dt + - Jt(86t + t)dt =- - -- +- 8- -6- +- 13= 9193 94219234/2 2 4.Vektor (X,Y) je ravnomerno rasporeden unutar kvadrata K. 1 a)Odrediti gustinuxv(X,Y)' + b)NaCimarginalne gustine. -1'K1 -1 c)Naci uslovnu gustinuxlv=Y (x) a) 11 m(K)=Z'(x,Y)EKm(K) = JiJi = 2,Xy(x,y) { o,(x,y)eK I+x11 b) y J -=Oy=-(l+x+l+x)x+l -I-x 22 x I-x11J - y,0 < y ~ 2 1YY1Y[u 2JIYFxy(x,y)-JdtJ{t+u)du=-Jtu+- dt 40t402I u 0< x ~ 2 ,y>2 Ix2Ix(u 2JI2-Jdtj(t+U).dU=-fltU+- dt 40I402t x Ix2t1X3=-[2t+2-t--2J dt =-J(2+2t--t2 ) dt=r40\2402 1 (213)\x1 (213)0 = "4l2t + t- "2 t=="42x + X- "2 X x> 2,Y > 2 Fxy(x,y)1 53Dvodimenzionaina siucajna promenljiva b) lY1(X 2JIY32-f(x+y).dx"",- - +yx""'-yxy (x,y)dy KoeficijentkorelacijePXY dvodimenzionalneslucajnepromenljive(X, Y)je E(XY) - E(X)E(Y}. PXY=.J' D(X) > 0,D(Y) > 0sa osobmama : D(X)D(Y) 1.ako su X i Y nezavisne, tada jePXY;:::0 , 2.IPXYI 3.Ipxy1;:::1akoisamoakojeY=aX+B, a,bER, a*O. Uslovno matematicko ocekivanje za X ako je Y=y je E(X/Y = Yj)=) II P Yj 0000 E(XIY = Y)=Jxq>xIY=y(x)dx= --1 IXq>XY(x,y)dx . -00Ylx=x(y)dy-(-) 00 Jyxx-00 Regresija X po Y:tE(X/Y =Yj)'Yj): YjE Ry},x =r1(y) =E(XIY =y). Regresija Ypo X:{(xj,E(YIX=xj,xj ERx},y=r2 (x)=E(YIX=x) Ako su X i Y nezavisne slucajne promenljive tada je:' Regresija X po Y{(E(X),Yj): YjERy},x =r1(y) =EOpogotka od centra mete Ima gustmuq>r=1t(r+ 1) o,r:':;;O nad ocekivanibrojpoenaposle4gac:tanjai verovatnocu da je tajbrojved od 10. R- slucajna promenljiva koja predstavlja rastojanje pogotka od centra mete. X- slucajna promenIjiva koja predstavIja broj poena u jednom gadanju. P(X=O)=P(.J3 '"n i=ln i=11 Zakon velikih brojeva Hincina AkosuXl' X2"."X n "..nezavisneslucajnepromenljivesajednakim raspodelama,tadajeIimp(11I,Xj zasvakosER+,gdeje 11->'"ni=l m =E(Xn),nEN, matematicko ocekivanje. Centralna granicna teorema AkosuXl' X 2 , , X n "..nezavisneslucajnepromenljivesajednakim raspodelama,matematickimocekivanjemE(Xn )= mERistandardnom devijacijoms == ) E R +,nEN, tada je: nLX' -nm12 I1x limp(,=lJ;'"Sn-V 2n-00 69 Zakoni veJikih brojeva i centralne granicne teoreme Teorema Muavr-Laplasa Ako suXl' X2 , ...,X0""oezavisoeslucajoepromeoljivesais tombioomoom n f=X;-op1x_t raspodelom, tada jeJim < x) = (x) =r;;- Je2dt , za svako xeR. opqv21t-00 1.ProveritidaIizadatiniz{Xo}slucajnihpromenljivihvazislabizakon velikih brojeva (-20o120JXosunezavisoeslucajoepreomeoljiveXn:_1_ ..2..__1_l_1_' 403 1020310403 neN b)Xn=Y2n - 2Y2n-1,gdesuYj :@(A)A> 0,jeNnezavisneslucajoe preomenljive. c)X20 + 2 YdY_ i/'(00 + 2)NI v n=_...- 0' gesuj: GVY! --,-- ,0e,nezavisoe s ucaJoe 300+10+1 preomeoljive. a) E(X ) ==(-20)' _1_ + 0 1+ 20 . _1_ =0 1 n403'403' 21402 2D(Xn)40-+0,1+--0,01=- 0,09::;;2,1zasvakooeN.Kako 403 403 0 jeD(Xn) S;2,1zasvako0 eN, sledidasusviusloviCebisevogzakooa velikih brojeva ispuojeoi, te vaziE(I- 0,11;;:: eJ 0kada000. b) Eeyn)A,D(Yn)A,E(Xn)==E(Y2n)-2E(Y2n_l)=-A D(Xn) ==D(Yzn - 2Y2n-1)=D(Y2n) + D(-2Y2n_1)==A + 4A ==SA. SviusloviCebiSevogzakooavelikihbrojevasuispuojeoi,tevaZi Ellc) E(X )==E(20+2 yn )= 20+2 E(Yn)==20+2n3030300+13 D(Xn) ==D(20 + 2 Yn) =(20+ 2)2D(Yn)(20 +2)2 .(0+2)3030300+29 kada0 Vazi zakon velikih brojeva tj.p(l! tXk _;21;;:: eJ0kada000. o k=l31 70Zakoni velikih brojeva i centraine graniene teoreme 2.Dat je niz{Xn} nezavisnih slucajnih promenljivih koje imaju istu raspodelu. P(X"=-10)==P(Xk =10)=0,5, kEN. a)Odrediti raspodelu slucajne promenljive 1 y=S(X1 +X2 +X3 +X4 +Xs)' b)1100 NadP(-LX"0)100 k=1 c)N,.p(i I 1) 1IvaCII-.r:...k::;, prlmenom centra ne gramcne teoreme. 100 k=1 d)Oceniti rX" I 1) ,primenom nejednakosti Cebiseva. IlOo"=1 a) -10-6-22610) Y: ( 2-5 5.2-5 10.2-5 10.2-5 5.rs2-5 (P(Y==-1O)=P(X1 =Xz =",=Xs =-10)=(.!.)5,P(Y=-6)=2 ==P(jedan clan zbira je 10, a ostali-10) = (5) ..!.1,itd).2n12 b) =0) = =P(50 sabiraka je jednako -10, a 50 sabiraka je jednako 10)= = (100J.r1OO ::::100!r 100 =007979. 5050!50!' c) E(_l-IXk )=-l-IE(Xk )=O,D(-l-rxk)=l sledidaje100 k=1100 k=l100 k=1 O (1I)[_l-Ixk - J !tOOPli-IXk::;1=p100k=1::;1=(1)-(-1)=2(1)-1=100 k=11 20,8413 -1 ==0,6826 d)1tOO Xk plfl-1-IXkl1)::; D(iOQ t:1) = 1 100 k=112 ; Dakle, nejednakost Cebiseva daje grubu procenu traZene verovatnoce. - - -- -- - -- - -- -Zakoni ve1ikih brojeva i centra/ne granicne teoreme71 3.Datjeniz{Xn}nezavisnihslucajnihpromenljivihkojeimajuistu uniformnu'tL(0,1)raspodelu.DaIi zadatinizvazislabizakonvelikih brojeva? KakojeE(Xj) =1.tosledi,naosnovuslabogzakonavelikihbrojeva 2 HinCina, dap(l! rXk _11 z e)0kadan00 n k=l21 4.NekajeXnsredinauzorkaobima25iznormalneG0f (3,4)raspodele. Odrediti verovatnoce:P(Xn> 3),P(Xn=:;2),P(3 =:;Xn=:;4)iP(2 =:;Xn=:;5). Odrediti a i b za koje je P(Xn< a) =0,9, P(2 =:;Xn=:;b) =0,8. - X-33- -.P(Xn>3)=P(n >2=P(Xn >0)0,52 55 - X-32-3-.P(Xn =:;2) = P(< -2-) = P(Xn =:;-2,5) =11>(-2,5) = O2 55 = 1-11>(2,5) = 1- 0,9938 =0,0062 - 2 - 3X- 34 - 3-.P(2 =:;Xn=:;4) =P(-2-=:;n =:;-2-) =P(-2,5 =:;Xn=:;2,5)2 555 =11>(2,5) - 11>(-2,5) =211>(2,5) -1 =20,993810,9876 - 2-3X-35-3-.P(2 =:;Xn=:;5) = P(-2- =:;n < -2-) = P( -2,5 =:;Xn=:;5)2 555 =11>(5) - 11>(-2,5) =1-1 + 11>(2,5) =0,9938 - X3a-3a-3P(Xnsa)P(O 2 555 =:>a 2 3 = 11>-1(0,9) =1,28 =:>a= 3,51 -5 > . 72 Zakoni velikih brojeva icentraine graniene teoreme 23X-3b-3-*b3P(2sOeenaA.je najefikasnija. II nacin L(e) ain L(8) 1n Kako Je -n+- 2:ki E.(~ Iki A.), sledida Je statistika OAAi=1A\n i=1 1A'A=K;najefikasnija ocena zaIei da jeD ( ~ )= nn 4.Obeleije X ima uniformnu GU(a,b)raspodelu, a b=--max x p x2 ,,,,,xn mmX1,X2 , ... ,xn J n-1n1 Dakle, statistike kojima se ocenjuju parametri a i b na osnovu uzorka su: b=_n-max{Xl,X2"",Xn}_1-min{X1,XZ""'Xn }.n-1n1 Metoda maksimalne verodostojnosti: 0,x ~(a, b) O___a'{XXX} -rminI'2"'"n aab-a aIn L( a, b)n{}----< 0=>bmaxXj,XZ, ...,Xn abba Dakle, statistike kojima se ocenjuju parametri a i b na osnovu uzorka su: AA amin{X1,XZ, ...,XJibmax{X1,X2 , ...,Xn }. 2- ~ . r x 5.Obeieije X imaraspodeludatu funkcijomgustine 0 , { o,x:::; 0 gdejee> O.Naosnovuuzorkaobimanocenitiparametaremetodom maksimalneverodostojnosti.Ispitaticenft-iranost,postojanostiefikasnost takodobijene ocene. 80Ocene parametara 2L(e) =e 2nr::InL(e)= nln22nIneZ:vx;,ei=l n1\1n81nL(e) = _ 2n +.2.rx;0na+ z:jX;,a=-z:jX;.aeee2 VAi i=lni=1 Daklc, statistika kojom se ocenjuje parametar a na osnovu uzorka je 1\1nrva=-Z:Vxi' n i=l Cen triranost: 1. dx=2a x4 1\ Ocenaa je centrirana. Postojanost: (E..;X=E(X)=f00 x -2 eedx()a 1\(1n)D(a) =Dl- z:,fX; n ;=1 =!9' ]Koriscenjem nejednakosti Cebiseva dobijamo: p(1a- a IEJ 0 Ocenaaje postojana. 81 Ocene parametara NejednakostRao-Kramera: Inacin: In (x n,8)=-2'-2"'-2= ()2 XlXnX)'X2"'XnX2 InL(a)=nlna-21nXl'X2",Xn , olnL(8)n0L(a)'~ ,_--'>.-1... =- >=>Jemonotono rastuca. oea 82Ocene paramelara Dakle,L(e)dostizemaksimumzamaksimalnuvrednoste.Kakojex8to sledidajestatistikakojomseoeenjujeparametar8naosnovuuzorka e = min{X] ,X2 , ... ,Xn }. Centriranost: Y = min{X1 ,X2 , .. ,XJ ( Fy(y)P(Y oon-->oon - 1 Postojanost: (oeena nije centrirana, pa ne koristimo nejednakost Cebiseva). p(1e-e 8-8I a:hipotezu ne odbacujemo,ili 2.nademo brojeveEa ako jeEo.e:hipotezu odbacujemo, a ako jeea < e: ne odbacujemo. 92Testiranje hipoteza 1.Poznato je da vektrajanja sijalice jedne serije ima normalnu raspodelu sa standardnim odstupanjem 1; =120sali. Iz le serije sijalica na slucajan nacin jeizabranon = 25sijalicaivektrajanjaovihsijalica(usatima)bioje: 2630,2820,2900,2810,2770,2840,2700,2950,2690,2720,2800,2970,2680, 2660,2820,2580,2840,3020,2780,2920,3060,2840,2550,2790,2850. a)NaCiintervalpoverenja za srednjvektrajanja sijalicaizoveserije sa koeficijentom (nivoom) pouzdanosti13=0,98. b)Testiratihipolezudajeprosecnivektrajanjasijalice2850satisa pragom znacajnostia=0,05. a)Interval poverenja za nepoznato rn,ako je poznato, (xn-a1,xn+a 1) gdejeXn=.l(2630+ 2820 + ... + 2850)= 2799,6, 25 1 a = qJ-l (+ = $-1 (0,99) = 2,326, 120120 \J2799,62,326.J25;2799,6 + 2,326.J25'mE (2743,68;2855,52). ( b) HipotezaH{rn=rno)kada je poznato, lin-mol12799,6-28501*-1(a)-1()(1=So=120= 2,1,ea =$1-"2=$0,975= 1,96 . In55 B(1> B: =1,96:::;. hipotezuH(rn = 2850)odbacujemo. 2.U jednom gradu na slucajan nacin je izabrano 1250 ucenika iizmerena im Jevisma. Db'"IJemrezuItafIsred' 00.1. t e I oem su UDared abr Visina u emBroj ucenika (160,1621 15 (162,164]27 (164,166]44 (166,168]103 (168,1701 211 (170,172]303 (172,1741230 (174,176]162 (176,178195 (178,180]30 (180,1821 30 Testiranje hipotezaB a)Ako pretpostavimo da visina ucenika ima normalnu raspodelu naci 90" interval poverenja za srednju vrednost visine ucenika. b)Testirati hipotezu da je srednja vis ina ucenika 171,5 em sa pragom znacajnostia =0,1. a) Interval poverenja za nepoznato m, ako nije poznato, -====-- SJXn+ tl+JJ [x.t n-1.2 ..yn -1 tt 1249;0.95 t oo;O.95=1,645(l = 1- P= 1- 0,90 = 0,10. 2 161 + 27 163 + ... + 30 181)= 171,6032, 12502222 LXi15161+27163+ .. +30181-::-36828274, i=1 -21n2_2 Sn- LXiXn=14,9609;Sn=3,87, n i=1 (171,60321,645 171,6032 + 1,645 ,mE (171,4216;171,7847). 12491249 b) HipotezaH{mmo)kada.;2nije poznato. =1171,6032 -171,51..)1249 =0,935 Sn 3,87 . enttI249:0.95=1,645 . 00:x (x) = o , x Testiranje hipoteza 4x PkF(b}-F(a)FAx}= 2,xe(o,i) 11,x 2: 2 x2 0,7134 X;-1-1:1-a== =Xi:O,957,81, X2< xi.o 95=:>hipotezu ne odbacujemo, 3.Izmerenajevisina100prvakaidobijenirezultatisusredeniusledecoj tabeli Visina u em[105,115) Broj prvaka15 KoristeCiX2 -test, sapragom znacajnosti(l =0,1,proveritida Ii su podaci saglasni da se radi 0uzorku iz populacije sa normalnom raspodelom.a Xn=li;xj =_1_(15.110+32,120+36.130+17.140)=125,5 n i=1100 _1_(15,1102 + 32 120 + 36 .1302 + 17.1402)= 15839 100 98 Testiranje hipoteza '1 -2 =SlOG15839 -125,52 88,75. A 9,42. 105115125135145 PIP(I05 sX < 115)pl I05 -125,5 sX*< 115 -125,5J \9,429,42 = pG 2,17 sX < -1,11)= hipotezu ne odbacujemo 18. 06.1997. 1.Jedan masinski element se proizvodi u tri serije po 40 komada.U prvoj seriji je 36, u drugoj 32 iutrecoj 30 ispravnib elemenata.Na slucajan nacin se bira jedna serija iiz nje 4 elementa. a)Odrediti verovatnoeu da su dva od cetiri izabrana elementa ispravna. b)Akosudvaodcetiriizabranaelementaispravna,odreditiverovatnoeu da su izabrani iz treee serije. 2.Slucajna promenljiva X ima gustinu raspodelex (x) ==21. 1t(X+ 1) NaCi funkdju raspodele i funkdju gustine slucajne promenljive Y -X1 X2-1 Y= X11X22 3.Izspitaod32karteizvlacesetrisavracanjem.Neka je Xbrojizvucenih keceva, a Y broj izvucenib dam a i kraJ.ieva. NaCikoeficijent korelacije. 110Zadaci sa pismenih ispita 4.Ako je uzorak(XI' X2 , ,Xn)izvucenna slueajannacinizpopulacijekoja imagustinu raspodele: 1. ,x 0,1 NaCiocenuzametodommaksimalneverodostojnostiiispitati centriranost tako dobijene ocene. 5.KoristeCi Xl test,sa pragom znacajnosti 0.=0,1proveriti da Ii su podaci: 3720 saglasni sa hipotezom da se radi 0uzorku iz populacije v'"(),xE(2,3]clJa Je gustma:Cj)xx::::::2x- 2, 1.HI- dogadaj da je izabrana prva serija H2- dogadaj da je izabrana druga serija H3- dogadaj da je izabrana treca serija P(H1 )= P(H2 )P(H3 )= 1 3 A - dogadaj da su od cetiri izabrana elementa dva ispravna a) (361(4)r32J(Si p(AIH1)= =0,04136 0,15196 p(AIH)- (3ne;) -021419 3- - , P{A)P{H1) P(AIHj )+ P{H2) p(AIH2)+ P{H3)' p(AIH3) :;::1:.(0,04136 + 0,15196 + 0,21419)= 0,136. 3 b) 0,525. 2. 1. 0,21419 3 0,136 111 Zadaci sa pismenih ispita -1 Ylx=x{Y)' 4. -1025 ObeletjeX datepopulacijeimaraspodeluX: 12111202 202 02 gdeje I0 I> ..fi.Naosnovuuzorkaobiman,metodommaksimalne 5.supodacionjihovom Broj vlasnika KoristedXl- test, sapragom znacajnostia =0,05, proveriti da Ii su podaci saglasnisahipotezomdaseradi0uzorkuizpopulacijesanormalnom raspodelom. 1.H j - dogadaj da su oba dela ispravna H2 - dogadaj da je prvi ispravan, a drugi neispravan H3 - dogadaj da je prvi neispravan, a drugi ispravan H4 - dogadaj da su oba neispravna P(H1)=Pl-P2'P(Hz)=pt(lP2)' P(H3(1- pJ- Pz,P(H4 )= (1-'-~ PI)- (1- pz) -a 115 Zadaci sa pismenih ispita A - dogadaj da je masina otkazala u toku vremena t p(AIHl0 p(AIH3)= p(AIH4)=1Id 'I' peA) = P(H1) P(A/H1)+ P(H2) p(AIH2)+I0 + P(H3)' p(AIH3)+ P(H4) p(AIH4)=I =Pl(1-P2)+(1Pl)'P2 +(1Pl)(1-P2)=1-PIP2 II 1 p(HIA) =p(AIH3) P(H)=(1Pl)'P2 3 PCA)I-P1P2 t I ! 2. I: I f p(x 3. m{T)QB.AJ3 =2J2.J2 =2 22 11 ,{x,y}e T XY(X'Y)=m(TJ ='2{ , T b) X" y 2 1 2f--------,.... 116Zadaci sa pismenih ispita O2{nm)e2+ 4{n - m)+ 4m=> =>-2(nm)e2+4n=O:>2(nm)e2=4n=>92 2n n-mn-m Dakle, statistika kojom se ocenjuje parametar 9na osnovu uzorka je 2n - n-M' 5.= =6,48 121(222222) 4836100LXj==10015+310+526+734+915+1110=10048,36 -21-2/-2 A s100-IXi -Xi48,36-41,99=6,37=>/;=v S100=2,52100 Pl= p(o s X < 2)= p(0-6,48 s X* < 2-6,48J = P(-2,57 s X' < -1,77)=2,522,52 = (-1,77) - (- 2,57)= 1- (1,77)- (1- (2,57= (2,57)(1,77) =0,9949 - 0,96160,0333 pzP{2 s X < 4)= p(26,48sX' < 4-6,481==P(-l,77 s X < -0,98)= 2,522,52J =(- 0,98)- (-1,77) ==1- (0,98)- (1- (1,77= (1,77)- (0,98) =0,96160,8365 =0,1251 118 Zadaci sa pismenih ispita P3p(x=.. . o ,Nad konstantuCi funkciju raspodeleslucajne promenljive Y 1 -X-5Y= X-I-2 X 2 X-2 X;24 3,Bacaju se dvapravilna tetraedra sa stranicama oznacenim brojevima 1, 2,3 i4.NaCimatematickoocekivanjeza raspodelukolicnikaQveeegimanjeg broja koji padaju na donjim stranama tetraedara. 4.SlucajnapromenljivaXimaraspodeludatugustinom X2eq>x (x) ="293'x> 0,gdejee> O.Naosnovuuzorkaobiman, { o, metodommaksimalneverodostojnosti,nadocenuparametrae.Ispitati centriranost tako dobijene ocene. 5.U toku 70 godina praceno je radanje cetvorki u jednoj oblasti. Podaci su dati u tabeli. I Brojrodenja cetvorki I Broj godina 14I24I17I10 2l2l1I KoristeCiX2 - test sa pragom znacajnosti a=0,05 , proveriti da Ii su podaci iz tabelesaglasnisahipotezomdaseradi0uzorkuizpopulacijesa Puasonovom raspodelom. 1. a)Ai - dogadaj da je u i-tom izvlacenju izvucenakuglica > Ci - dogadaj da je u i-tom izvlacenju izvucena erna kuglica 139Zadaci sa pismenih ispita , P(An)= P(An-1) p(AnIAn-1)+ p(cn-1) p(An ICn_1):::: ::::a +1P{A)+ap{C)a + 1 + bn-1a + b + 1n-1 P{A2)=a+1P(A1)+aP(C,)=a+1+ba+1+b a+1aaba(a+b+1)a --_.--+.--- a + 1 + ba + ba + b + 1a + b - (3+ b Xa+ b + 1)a + b P(A1)=_a_,P(A2 )=_a- =>P{An)=_aa+ba+ba+b b)P{At )P(A3IAl)(I)(I)(,I)()PAlIA3=P(A)P A3Al+P A2A3Al+P,C2A3Al= 3 a + 1a + 1ba_ (a + 1)2+ ab --- ---+._-a + 1+ ba + 1 + ba + 1+ ba + b + 1- (a + b + 1)2. 2. l..,xE{-7,S)1 X: GlL(-7,5)()cpx102 =>C=12{ ,21----;:--( r-----.-----Il 345X -3 < y 1 Fy(y)=P(Y x) =2(1- (x0,9345~ 09354_ ~ (x)=1- '=0,53255~ x=1(0,53255) =0,082 Tablice zaX2 raspodelu: Uovim tablicama su date vrednosti za xkoje odgovaraju vrednostima funkcije ~ - 1- ~ xt2e2 raspodeleF(x)=Jndt, za n stepeni slobode, gde jenE{1,2, ...,30} .Za -0022 r(n) 2 n>30slucajna promenljivaX ~postaje simetricna i tezi normalnoj a4{n,Fn) raspodeli, te se za te vrednosti n koriste tablice normalne QA/'(O,l)raspodele, uz prethodno standardizovanje. Primer 3. a) NaCi x ako jeF(x)==0.010, n=5. b) Ako slucajna promenljiva X imaxiraspodelu naci x tako da je P(X>x)=0.005. e) Ako slucajna promenljiva X imaxi2raspodelu naCi x tako da je peX1.15). a) ...0.010 ......... 5...0.554 Upreseku vrsten=5i kolone F(x)=0.010 nalazimo vrednost x=0,554 b)P(X > x) ==1- P(X s x) ==0,005 ~ P(X < x) = F ( ~ )= 0,995 ~ x ==12,8 "X- 32X-32c)n>30~X==164=ima normalnu G41{O,l)raspodelu.648 158 Prilog3 P(X < x)P( X - 32 < x - 32) =0,9345=> x32 = x =44,08.888 dl i ...0.050 ......... 5...1.15 Za n=S i x=I,15 jeP(X < 1,15) = F(I,IS) ==O,OSO P(X > 1,IS)1- P(X :::;I,1S) = ==1F(I,IS)1- O,OSO0,9S. Tablice za Studentovu t - raspodelu : Uovim tablicama su date vrednosti za x koje odgovaraju vrednostima funkcije tr(1 +n) raspodeleF(t)==I2 x2 n+l dx,gdejenbrojstepenislobode. -00n&r(-)(l +-) 2 2n TablicesunaslieannaCindatekaoizaX2 raspodelu,teihneremoovde posebnoobjasnjavati.Priresavanjukonkretnihproblematrebadaseznaju sledece osobine: F(-t) = I-F(t),P(T >t)= I-P(T:::;t)==I-P(T t)==1p(ITI:::;t) :=2(1F(t, t>0. Tablice za')...-raspodeluKolmogorov Smirnova: 00k22 Uovim tablicama su date vrednosti funkcijeQ(')...)==I(-I)e-2k /.;za razne k=-oo vrednostiIv.Ovetablicesujednostavnezaprimenuinetrebaihposebno objasnjavati. Prilog4159 PRILOG4 Statisticke tablice Normalna raspodela 1,,--12 (x) =r;;- Je2dt '\I21t-OCJ x.00.01.02.03.04.05.06.07.08.09 .0.5000.5040.5080.5120.5160.5199.5239.5279.5319.5359 .1.5398.5438.5478.5517.5557.5596.5636.5675.5714.5753 .2.5793.5832.5871.5910.5948.5987.6026.6064.6103.6141 .3.6179.6217.6255.6293.6331.6368.6406.6443.6480.6517 .4.6554.6591.6628.6664.6700.6736.6772.6808.6844.6879 .5.6915.6950.6985.7019.7054.7088.7123.7157.7190.7224 .6.7257.7291.7324.7357.7389.7422.7454.7486.7517.7549 .7.7580.7611.7642.7673.7704.7734.7764.7794.7823.7852 .8.7881.7910.7939.7967.7995.8023.8051.8078.8106.8133 .9.8159.8186.8212.8238.8264.8289.8315.8340.8365.8389 1.0.8413.8438.8461.8485.8508.8531.8554.8577.8599.8621 1.1.8643.8665.8686.8708.8729.8749.8770.8790.8810.8830 1.2.8849.8869.8888.8907.8925.8944.8962.8980.89979015 1.3.9032.9049.9066.9082.9099.9115.9131.9147.9162.9177 1.4.9192.9207.9222.9236.9251.9265.9279.9292.9306.9319 1.5.9332.9345.9357.9370.9382.9394.9406.9418.9429.9441 1.6.9452.9463.9474.9484.9495.9505.9515.9525.9535.9545 1.7.9554.9564.9573.9582.9591.9599.9608.9616.9625.9633 1.8.9641.9649.9656.9664.9671.9678.9686.9693.9699.9706 1.9.9713.9719.9726.9732.9738.9744.9750.9756.9761.9767 2.0.9772.9778.9783.9788.9793.9798.9803.9808.9812.9817 2.1.9821.9826.9830.9834.9838.9842.9846.9850.9854.9857 2.2.9861.9864.9868.9871.9875.9878.9881.9884.9887.9890 2.3.9893.9896.9898.9901..9904.9906.9909.99119913.9916 2.4.9918.9920.9922.9925.9927.9929.9931.9932.9934.9936 2.5.9938.9940.9941.9943.9945.9946.9948.9949.9951.9952 2.6.9953.9955.9956.9957.9959.9960.9961.9%2.9963.9964 2.7.9965.9966.9967.9%8.9%9.9970.9971.9972.9973.9974 2.8.9974.9975.9976.9977.9977.9978.9979.9979.9980.9981 2.9.9981.9982.9982.9983.9984.9984.9985.9985.9986.9986 3.0.9987.9987.9987.9988.9988.9989.9989.9989.9990.9990 3.1.9990.9991.9991.9991.9992.9992.9992.9992.9993.9993 3.2.9993.9993.9994.9994.9994.9994.9994.9995.9995.9995 3.3.9995.9995.9995.9996.9996.9996;.9996.9996.9996.9997 3.4.9997.9997.9997.9997.9997.9991'.9997.9997.9997.9998 160Prilog4 x2 - raspodela F(x) n F .005.010.025.050.100.250.500.750.900.950.975.990.995 1.0000.0000.0000.0039.0158.102.4551.322.713.845.026.637.88 2.0100.0201.0506.1030.211.5751.392.774.615.997.389.2110.6 3.0717.115.216.352.5841.212.374.116.257.819.3511.312.8 4.207.297.484.7111.061.923.365.397.789.4911.113.314.9 5.412.554.8311.151.612.674.356.639.2411.112.815.116.7 6.676.8721.241.642.203.455.357.8410.612.614.416.818.5 7.9891.241.692.172.834.256.359.0412.014.116.018.520.3 81.341.652.182.733.495.077.3410.213.415.517.520.122.0 91.732.092.703.334.175.908.3411.414.716.919.021.723.6 102.162.563.253.944.876.749.3412.516.018.320.523.225.2 112.603.053.824.575.587.5810.313.717.319.721.924.726.8 123.073.574.405.236.308.4411.314.818.521.023.326.228.3 133.574.115.015.897.049.3012.316.019.822.424.727.729.8 144.074.65.636.577.7910.213.317.121.223.726.129.131.3 154.605.236.267.268.5511.014.318.222.325.027.530.632.8 165.145.816.917.969.3111.915.319.423.526.328.832.034.3 175.706.417.568.6710.112.816.320.524.827.630.233.435.7 186.267.018.239.3910.913.717.321.626.028.931.534.837.2 196.847.638.9110.111.714.618.322.727.230.132.936.238.6 207.438.269.5910.912.415.519.323.828.431.434.237.640.0 218.038.9010.311.613.216.320.324.929.632.735.538.941.4 228.649.5411.012.314.017.221.326.030.833.936.840.342.8 239.2610.211.713.114.818.122.327.132.035.238.141.644.2 249.8910.912.413.815.719.023.328.233.236.439.443.045.6 2510.511.513.114.616.519.924.329.334.437.740.644.346.9 2611.212.213.815.417.320.825.330.435.638.941.945.648.3 2711.812.914.616.218.121.726.331.536.740.143.247.049.6 28 29 30 12.5 13.1 13.8 13.6 14.3 15.0 15.3 16.0 16.8 16.9 17.7 18.5 18.9 19.8 20.6 22.7 23.6 24.5 27.3 28.3 29.3 32.6 33.7 34.8 37.9 39.1 40.3E : ~ 48.3 49.6 50.9 51.0 52.3 53.7 Prilog4 161 Studentova t-raspodela l+n tr ( - - - ~ ) F(t) =I2Jdx2n+ -00r- nx Vnn r(-)(1+-)2n n F .75.90.95.975.99.995.9995 11.0003.0786.31412.70631.82163.657636.619 2.8161.8862.9204.3036.9659.92531.598 3.7651.6382.3533.1824.5415.84112.941 4.7411.5332.1322.7763.7474.6048.610 5.7271.4762.0152.5713.3654.0326.859 6.7181.4401.9432.4473.1433.7075.959 7.7111.4151.8952.3652.9983.49950405 8.7061.3971.8602.3062.8963.3555.041 9.7031.3831.8332.2622.8213.2504.781 10.7001.3271.8122.2282.7643.1694.587 11.6971.3631.7962.2012.7183.1064.437 12.6951.3561.7822.1792.6813.0554.318 13.6941.3501.7712.1602.6503.0124.221 14.6921.3451.7612.1452.6242.9774.140 15.6911.3411.7532.1312.6022.9474.073 16.6901.3371.7462.1202.5832.9214.015 17.6891.3331.7402.1102.5672.8983.965 18.6881.3301.7342.1012.5522.8783.922 19.6881.3281.7292.0932.5392.8613.883 20.6871.3251.7252.0862.5282.8453.850 21.6861.2331.7212.0802.5182.8313.819 22.6861.3211.7172.0742.5082.8193.792 23.6851.3191.7142.0692.5002.8073.767 24.6851.3181.7112.0642.4922.7973.745 25.6841.3161.7082.()502.4852.7873.725 26.6841.3151.7062.0562.4792.7793.707 27.6841.3141.7032.0522.4732.7713.690 28.6831.3131.7012.0482.4672.7633.674 29.6831.3111.6992.0452.4622.7563.659 30.6831.3101.6972.0422.4572.7503.646 40.6811.3031.6842.0212.4232.7043.551 60.6791.2961.6712.0002.3902.6603.460 120.6771.2891.6581.9802.3582.6173.373 rx>.6741.2821.6451.%02.3262.5763.291 162 Prilog4 RaspodelaA Kolmogorov-Smirnova 'A Q('A) 'A Q('A) A. Q('A) A. Q(A.) A. Q('A) A. Q(},) 0,320,0000 0,330,0001 0,340,0002 0,350,0003 0,360,0005 0,370,0008 0 ~ 1 80,0013 0,390,0019 0,400,0028 0,410,0040 0,420,0055 0,430,0074 0,440,0097 0,450,0126 0,460,0160 0,470,0200 0,480,0247 0,490,0300 0,500,0361 0,510,0428 0,520,0503 0,530,0585 0,540,0675 0,550,0772 0,560,0876 0,570,0987 0,580,1104 0,590,1228 0,600,1357 0,610,1492 0,620,1632 0,630,1778 0,640,1927 06502080 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 0,2236 0,2396 0,2558 0,2722 0,2888 0,3055 0,3223 0,3391 0,3560 0,3728 0,3896 0,4064 0,4230 0,4395 0,4559 0,4720 0,4880 0,5038 0,5194 0,5347 0,5497 0,5645 0,5791 0,5933 0,6073 0,6209 0,6343 0,6473 0,6601 0,6725 0,6846 0,6964 0,7079 07191 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,to 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 0,7300 0,7406 0,7508 0,7608 0,7704 0,7798 0,7889 0,7976 0,8061 0,8143 0,8223 0,8399 0,8374 0,8445 0,8514 0,8580 0,8644 0,8706 0,8765 0,8823 0,8877 0,8930 0,8981 0,9030 0,9076 0,9121 0,9164 0,9206 0,9245 0,9283 0,9319 0,9354 0,9387 09418 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 167 0,9449 0,9478 0,9505 0,9531 0,9556 0,9580 0,9603 0,9625 0,9646 0,9665 0,9684 0,9702 0,9718 0,9734 0,9750 0,9764 0,9778 0,9791 0,9803 0,9815 0,9826 0,9836 0,9846 0,9855 0,9864 0,9873 0,9880 0,9888 0,9895 0,9902 0,9908 0,9914 0,9919 09924 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1 0 ,tM 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 0,9929 0,9934 0,9938 0,9942 0,9946 0,9950 0,9953 0,9956 0,9959 0,9962 0,9965 0,9967 0,9969 0,9971 0,9973 0,9975 0,9977 0,9979 0,9980 0,9981 0,9983 0,9984 0,9985 0,9986 0,9987 0,9988 0,9989 0,9990 0,9991 0,9991 0,9992 0,9993 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,10 2,11 2,12 2,13 2,14 2,15 2,16 2,17 2,18 2,19 2,20 2,21 2,22 2,23 2,24 2,25 2,26 2,27 2,28 2,29 2,30 2,31 0,9993 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 i (iz sadriaja) Knjigase sastoji iz dva dela. Uprvomdelususistematskiidetaljnouradenizadaci, sapotrebnom teorijskom osnovom koji se rade na vezbama iz predmeta M a t e m ~ c k e metode IV gradevinskestrukeFfN-a(uvodnipojmovi;elementiteorijeverovatnoce; Bajesovaformulaiformulatotalneverovatnoce;jedno4imenzionalne visedimenzionalneslucajnepromenljiveinjihovetransforDlacije;matematicko ocekivanjeidisperzija;zakonivelikihbrojevaicentralnegranicneteoreme; osnovnipojmovimatematickestatistikejtackasteiintervalneocenenepoznatih parametaraj parametarski i neparametarski testovi znacajnosti). Udrugomdeluknjigesistematskiidetaljnosuuradenizadacisapismenih ispita (od aprilskog 1997. dooktobarskog roka 1998. godine). (iz recenzije) CitajuCitekstpredlozenogrukopisavidisedajeveomadobrastranau njemutostosenapocetkudajuformuleneophodnezarazumevanjeiizradu l>lldatakai sto su zadaci detaljno uradeni (usvimdelovimateksta).Veoma dobro je i to sto seposebnapaznja poklanja pitanjimakoja seodnose na oneraspodele kojesucesteuprimenama.Specijalno,detaljnosuobradenamnogapitanja vezana za Gausovu raspodelu verovatnoea. Tekstrukopisanapisanjejasnimjezikomiprilagodenimstilom,asveto uradeno je i matematicki precizno i razumljivo. Zadaci su znalacki odabrani, tako da se kroz njih zaista moze savladati nastavna materija. Analizapredlozenogrukopisapokazujeda sadriajkakavnalazimouovom rukopisujeneophodnostivozastudentetehnickihfakulteta,aposebnoza studenteFakultetatehnickihnaukauNovomSadu.Semtoga,istudentidrugih fakulteta mod ce da u njemu nadu dosta korisnih sadriaja. Iz navedenihrazlogasazadovoljstvompredlazemoda serukopisZBIRKA RESENIHZADATAKAIZVEROVATNOCEISTATISTIKEprihvatikao udzbenik za nastavni sadrzaj predmeta Matematicke metode IV. (0 autorima) MomciloNovkovicje asistentmatematikenaFakultetutehnickihnaukau Novom Sadu. Diplomirao je 1992. godine na Fakultetu tehnickih nauka uNovom Sadu (Masinski odsek). Magistrirao je 1997. godine na Matematickom fakultetu u Beogradu.Driivezheizpredmeta MatematickaanalizaI,Matematickemetode IV i Matematika trioPodrucje njegovog naucnog rada je Verovatnoca i statistika slueajni procest Ilija Kovacevic je redovni profesor matematike na Fakultetu tehnickih nauka uNovomSadu. Doktorirao je 1979. godine na Prirodno-matematickom fakultetu u Beogradu. Predaje Matematicku analizu I, Funkcibnalnu analizu i Matematicke metode IV. Podrucje njegovog naucnog rada je Topologija - kompaktnost.