Федеральное агентство по образованию

_______________________________________________________________

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский Государственный технологический институт

( Технический университет )

________________________________________________________________

Кафедра теоретической механики

Ю.А. ИВАНОВ

ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ Методические указания

Санкт-Петербург

2009

2

УДК 531

Иванов Ю.А. Принцип возможных перемещений: методические

указания.- СПб.: СПбГТИ(ТУ), 2009.- 23 с.

В методическом указании содержится систематизированный материал по

решению задач курса теоретической механики. Сделан акцент на

применение основных законов динамики применительно к особенностям

специальностей технологов. Методические указания предназначены для

студентов первого и второго курса всех химико-технологических

факультетов. Предлагаемое методическое указание соответствует рабочей

программе курса теоретической механики.

Илл. 12, библиогр. 3 назв.

Рецензент: Бартенев Д.А. доц. канд. техн. наук, кафедра ТОХМ

СПбГТИ(ТУ)

Утверждено на заседании методической комиссии физико-

математического отделения 03.04. 2009

Рекомендовано к изданию РИСо СПбГТИ(ТУ).

3

Содержание

Введение…………………………………………..…..………… . 4

Общие теоретические положения…………..…..……… 5

I.I. Возможные перемещения.………………………….. …..5

I.2. Идеальные связи……….…………….…………….……..9

I.3. Принцип возможных перемещений.…………………...11

2. Рекомендуемая последовательность решения задач………...13

3. Примеры решения задач……………………………………….14

4. Контрольные вопросы………………………………………….21

Литература……………………….……………………………...20

4

ВВЕДЕНИЕ

Большая часть курса теоретической механики изложена с использованием

векторной алгебры, В данных методических указаниях используется

вариационная теория, которая, благодаря Эйлеру и Лагранжу,

получила широкое применение в аналитической механике.

Аналитическая механика оперирует скалярными величинами. Векторная

и аналитическая механика - это два различных описания одной и той же

совокупности явлений природы. В случае свободных частиц, движение

которых не ограничено заданными связями, эти два способа описания

приводят к идентичным результатам. Для механической системы с

голономными связями аналитический подход оказывается более

экономичным и простым. Множество элементарных задач решается

методами векторной механики без применения аналитических методов.

Однако, при решении более сложных задач предпочтительны

вариационные методы, как наиболее общие и универсальные.

Несмотря на простоту принципа возможных перемещений, решение

задач с его использованием вызывает у некоторых студентов определенные

трудности.

Принцип возможных перемещений - это один из принципов механики,

который в наиболее общем виде устанавливает условия равновесия любой

механической системы. Отличительная особенность данного принципа

состоит в том, что при его применении вычисляется элементарная работа.

одних только активных сил на перемещениях, которые можно сообщать

точкам системы. Необходимость использования принципа возможных

перемещений возникает в тех случаях, когда требуется определить:

зависимость между величинами активных сил при равновесии системы,

имеющей число степеней свободы S≥1, либо зависимость между

конструктивными параметрами механической системы, находящейся в

положении ее равновесия, а также когда требуется определить внутренние

усилия реакции в опорах. При этом заранее исключаются из рассмотрения

все неизвестные и не требующие определения реакции идеальных связей.

5

ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

I.I Возможные перемещения

Возможными перемещениями механической системы называются

бесконечно малые воображаемые перемещения, которые она могла бы

совершить с учетом наложенных на неё связей в данный момент времени.

Возможные перемещения - векторы, условно обозначаемые символом

δ r, имеющие следующие особенности:

- возможные перемещения не вызываются силами, а являются любыми

воображаемыми перемещениями этих точек по возможным траекториям,

допускаемым связями системы;

- возможные перемещения бесконечно малы и не зависят от времени;

- в случае связей, изменяющихся с течением времени (нестационарных) ,

под возможным перемещением для данного момента времени понимают

бесконечно малое перемещение, допускаемое всеми наложенными связями,

взятое для этого момента времени;

- в случае связей, не изменяющихся с течением времени (стационарных),

направление действительного элементарного перемещения dr совпадает с

одним из возможных перемещений, δ r тогда как для нестационарных

связей действительное перемещение dr не совпадает ни с одним из

возможных перемещений.

В общем случае может существовать множество различных возможных

перемещений. Однако, для каждой системы в зависимости от характера

наложенных на неё связей можно указать определенное число таких

независимых между собой перемещений, что всякое другое возможное

перемещение может быть представлено как их геометрическая сумма.

Например:

свободная материальная точка имеет бесконечное множество возможных

перемещений в произвольных направлениях, каждое из которых можно

представить в виде суммы трех координатных векторов:

δ r=δ x i +δ y j +δ z k

6

если на свободную точку наложим одну связь в виде поверхности, по

которой эта точка может двигаться, не отрываясь от нее, например, на

шарик, лежащий на какой-нибудь поверхности (например, криволинейной

или плоской), то можно указать множество направлений по касательной к

поверхности (или вдоль плоскости), которые являются направлениями

возможных перемещений для данной несвободной точки. Однако любое её

возможное перемещение δ r можно получить как сумму двух независимых

взаимноперпендикулярных перемещений:

δ r=δ x i +δ y j

если на материальную точку наложены две связи, т.е. точка движется по

линии, например, шарик в желобе, то можно представить себе, лишь два

возможных перемещения по направлению к касательной δ r1 и δ r2. В этом

случае лишь одно возможное перемещение является независимым, так как

δ r1 = -δ r2.

Число независимых между собой возможных перемещений системы

называется числом степеней её свободы. Так, рассмотренный выше

шарик на плоскости, если его считать материальной точкой, имеет две

степени свободы, а если он расположен в желобе, то одну степень свободы.

Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы (независимыми

перемещениями будут три поступательных перемещения вдоль осей

координат и три вращательных вокруг этих осей).

Приведенные рассуждения можно распространить на любые точки

механической системы. Число параметров (координат), определяющих

положение механической системы в любой момент времени, зависит от

количества точек (или тел), входящих в систему, и от числа наложенных

связей. Ограничимся рассмотрением только геометрических связей (т.е.

когда связь налагает ограничение только на положения точек системы),

образующих класс голономных механических систем.

В результате оказывается, что число независимых координат,

определяющих положение системы с геометрическими связями, равно

числу степеней свободы этой системы. В качестве таких координат можно

выбрать любые параметры (имеющие любую размерность). Независимые

между собой параметры, число которых равно числу степеней свободы

системы и которые однозначно определяют положение каждой точки (или

тела), называют обобщенными координатами системы.

Условимся обозначать обобщенные координаты q1, q2,… qv,… qs,

(v=1, s ), где s - число степеней свободы системы.

Поскольку обобщенные координаты между собой независимы, то их

элементарные перемещения δ q1, δ q2,… δ qv,… δ qs будут также между

собой независимы. При этом каждая из указанных величин определяет

соответствующее, независимое от других возможное перемещение системы.

7

Так как обобщенные координаты однозначно определяют положение n

точек системы, то радиусы-векторы rI (i=1,n ) этих точек являются

функциями обобщенных координат. Радиусы-векторы rI могут также

зависеть явно от времени:

rI= rI (q1,q2,…,qv,…,qs,t). (1.1)

Рассмотрим теперь возможные перемещения i-й материальной точки

системы и выразим возможные перемещения их обобщенных координат.

Принимая во внимание, что возможные перемещения сообщаются

точкам системы в фиксированный момент времени, т.е. δ t=0, то на

основании (1.1) определим их

δ rI=1

ri

q

∂∂

δ q1+2

ri

q

∂∂

δ q2+…+ δ qv+…+ri

rs

∂

∂δ qs=

ri

v

∂

∂∑ δ

Учитывая функциональную зависимость радиуса-вектора от времени, в

математике вводится более общее понятие δ ri , которое называется

изохронной вариацией радиуса-вектора. Входящая в выражение (1.2)

величина δ qv является изохронной вариацией сообщенной координаты qv.

Рассмотрим определение возможных перемещений на примерах.

ПРИМЕР1.

Определим возможные перемещения точек А и B рычага А В (рисунок 1),

который может вращаться в плоскости чертежа вокруг оси. проходящей

через точку О.

Рисунок 1

8

Вращающееся тело имеет одну степень свободы S = 1.

Примем за обобщенную координату угол поворота рычага q=γ . Мысленно повернем рычаг на ничтожно малый угол δ γ в положительном

направлении отсчета угла поворота γ . Тогда векторы возможных переме-

щений точек A и B Arδ и Brδ будут направлены по касательным к

соответствующим радиусам-векторам OA и OB ,а величины их могут быть

приняты равными Arδ =OA δγ ; Br OBδ δγ= .

Таким образом, возможные перемещения точек А и В выражаются через одно возможное приращение обобщенной координаты.

ПРИМЕР2.

Рассмотрим возможные перемещения точек A и B кривошипно-

шатунного механизма (рисунок 2), состоящего из кривошипа OA радиусом

R, шатуна AB длиной l ползуна B, имеющего одну степень свободы S=1.

Рисунок 2 – Модель кривошипно-шатунного механизма

В качестве обобщенной координаты выберем угол поворота кривошипа

q=γ .

Мысленно повернем кривошип OA на угол δγ и изобразим возможные

перемещения точек А и B , т.е. Arδ и Brδ . Величина Arδ =Rδγ . Расстояние XB

в донный момент времени равно

XB=Rcosγ + 2 2 2sinl R γ− .

9

Величину возможного перемещения точки В определим по формуле

B

xXδ δγ

γ∂

=∂

,

тогда

2

2 2 2

sin 2( sin )

2 sinB

RX R

l R

γδ γ δγ

γ= +

−.

Возможные перемещения точки В совершаются вдоль оси OX.

I.2. Идеальные связи

Существуют наиболее часто встречающиеся в механике виды связей:

поверхность, абсолютно жесткий стержень и гибкую нерастяжимую нить.

Эти три вида связей, различные по своей физической природе, имеют

одно общее аналитическое свойство.

ПРИМЕР 3

Пусть связью для i - й материальной точки системы является идеально

гладкая поверхность. Известно, что реакция такой связи направлена по

нормали от поверхности (рисунок 3).

Рисунок 3

Сообщим точке Mi возможное перемещение irδ (принимая во внимание

непроницаемость вещества связи). Угол между реакцией связи и

возможным перемещением меняется в пределах 02

πα≤ ≤ . Тогда

элементарная работа, производимая реакцией связи iN на возможных

перемещениях, будет неотрицательна 0i i iA N rδ δ= ≥ .

10

Для всех точек системы 1

0n

i i

i

A N rδ δ=

= ≥∑ .

Знак неравенства имеет место в том случае, когда возможное

перемещение таково, что оно снимает точки системы со связи.

Связь, которую точки системы могут покинуть при сообщении им

возможных перемещений, называется односторонней или

неудерживающей.

Рассмотренная поверхность является примером односторонней связи.

Если на данную несвободную точку наложить ещё одну связь, то точка

будет с двухсторонней связью.

Связь, которую точки системы не могут покинуть при сообщении им

возможных перемещений, называется двусторонней или удерживающей.

Пусть связью для точки является абсолютно жесткий стержень (рису-

нок 4.)

Рисунок 4

Сообщим точке М возможное перемещение rδ и найдем элементарную

работу реакции N на этом перемещении: 0A N rδ δ= = . Иначе говоря, стер-

жень является двусторонней связью.

Рассмотрим гибкую нерастяжимую нить, на которой подвешена

точечная масса-шарик (рисунок 5).

Рисунок 5

11

Нить допускает все перемещения, кроме тех, которые её удлиняют.

Сообщим шарику возможные перемещения 1rδ или 2rδ , при которых нить

остается натянутой, тогда 0iA N rδ δ= = , (i=1,2).

Сообщим шарику возможное перемещение, при котором нить не будет

натянута, тогда 3 0A N rδ δ= > . Следовательно, все рассмотренные связи

обладают одним общим свойством: работа, производимая этими реакциями

на возможных перемещениях, неотрицательна. Это позволяет объединить

физически различные связи в единый класс идеальных связей.

Связи называются идеальными, если сумма элементарных работ,

производимых их реакциями на возможных перемещениях точек системы,

неотрицательна:

1

0n

i i

i

A N rδ δ=

= ≥∑ ,(i=1,n ), (1,3)

где п - число материальных точек в системе.

Знак неравенства имеет место только при сообщении точкам системы

возможных перемещений, освобождающих их от односторонних связей.

Примерами идеальных связей могут являться:

1. абсолютно гладкие поверхности;

2. абсолютно гладкие линии (направляющие);

3. идеальные шарниры и подшипники (без трения);

4. нерастяжимая. абсолютно гладкая нить;

5. абсолютно твердый стержень;

абсолютно твердая шероховатая поверхность при качении по ней

абсолютно твердого тела без скольжения.

В реальных условиях не существует абсолютно гладких, ни абсолютно

твердых тел, так что работа реакций на любом возможном перемещении во

всех возможных случаях отрицательна. В тех практических случаях, когда

работа сил реакций связей ничтожна мала по сравнению с работой других

приложенных и ею можно пренебречь, и точностью, достаточной для

практики, эти связи можно отнести к категории идеальных связей. Когда же

работа сил трения связей не мала и ею нельзя пренебречь, то эти силы

условно относят к числу активных сил.

I.3. Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений удобен тем, что при рассмотрении

системы с идеальными связями их реакции не учитываются и необходимо

оперировать, только активными силами.

Принцип возможных перемещений формулируется, следующим образом:

для того, чтобы материальная система, подчиненная идеальным связям

находилась в состоянии покоя, необходимо и достаточно, чтобы сумма

элементарных, работ, производимых активными силами на возможных

перемещениях точек системы, была неположительная:

12

0≤⋅∑ rFi δ , (1.4)

где iF - действующая активная сила, приложенная к i -й точке

механической системы.

Знак неравенства в соотношении (1.4) имеет место в том случае, когда

среди наложенных связей есть, односторонние, а среди возможных

перемещений есть перемещения, освобождающие точки системы от связей.

Выражая элементарную работу активной силы iF через её проекции

на координатные оси, получаем выражение вида

1

( ) 0n

i i i i i i

i

X x Y y Z zδ δ δ=

+ + ≤∑ , (1.5)

где Xi, Yi, Zi - проекции силы iF на оси

координат;

iii zyx δδδ ,, - проекции возможного перемещения irδ на те же оси.

Если условимся рассматривать только такие возможные перемещения,

которые не освобождают точки системы от связей, тогда соотношения (1.3),

(1.4),и (1.5) равны нулю.

В обобщенных координатах элементарная работа на возможном

перемещении системы равна

1

s

v v

i

A Q qδ δ=

=∑ , (1.6)

где vQ - обобщенная cила соответствующей обобщенной координаты vq .

Обобщенные силы определяются как коэффициенты при vqδ в выражении

(1.6) или по одной из следующих формул:

1 1

( )n n

i i i iv i i i i

i iv v v v

r x y zQ F X Y Z

q q q q= =

∂ ∂ ∂ ∂= = + +

∂ ∂ ∂ ∂∑ ∑ ; (1.7)

1

cos( , )n

i iv i i

v iv

v v

F S F rA

Qq q

δ

δ=∂

= =∂

∑, (1.8)

где vAδ - элементарная работа всех активных сил, действующих на

систему, получившую возможное перемещение, при котором

изменяется только данная У -я обобщенная координата.

Для консервативных систем обобщенная сила равна

v

v

ПQ

q

∂= −

∂, (1.9)

где П - потенциальная энергия системы.

Принцип возможных перемещений в обобщенных координатах (для

голономных систем) выражается следующим образом:

0vQ = ,( 1,v S= ), (1.10)

Если ввести понятие возможных скоростей

i

i

r

dtVδ δ= ,

то вместо (1.4) получим

13

1

0n

ii

i

F Vδ

=

≤∑ , (1.11)

Принцип возможных перемещений позволяет решать все задачи на

равновесие тел совершенно иными методами, чем это делалось в статике.

Преимущество его оказывается особенно значительным в тех случаях,

когда мы имеем дело с системой нескольких абсолютно твердых тел и с

упругими стержневыми системами.

Если требуется определить какую-либо реакцию идеальной связи, то

применяя принцип освобождаемости от связей, следует отбросить

соответствующую связь и заменить её искомой реакцией. При вычислении

элементарной работы сил к активным силам надо добавить эту реакцию

связи. Такой метод решения задач на равновесие систем твердых тел

является чрезвычайно эффективным, так как искомая реакция связи

непосредственно определяется из составленного уравнения равновесия, что

позволяет исключить составление и решение системы уравнений

равновесия, известных из статики.

2 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Алгоритм выполнения :

1. Определить число степеней свободы системы.

2. Указать на расчетной схеме все действующие активные силы.

3. При необходимости определения реакций связей используется принцип

освобождаемости от связей, для этого мысленно необходимо отбросить

соответствующую связь, заменяя её искомой реакцией, которая включается

в разряд активных сил.

4. При наличии неидеальных связей надо добавить соответствующие силы

трения к числу активных сил.

5. Указать на расчетной схеме одно из возможных перемещений системы.

6. Составить сумму элементарных работ всех активных сил на указанных

возможных перемещениях точек их приложения; выразить затем величины

этих перемещений через независимые возможные приращения обобщенных

координат, т.е. записать принцип возможных перемещений в обобщенных

координатах.

7. Решив составленные уравнения, определить искомые величины.

14

3 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР I

В химической промышленности при разделении суспензий используется

рамный пресс-фильтр с различным исполнением зажимного устройства,

которое может быть ручным, электрическим и гидравлическим. Рассмотрим

схему ручноё винтовое устройство (рисунок 6).

В горизонтальном пресс-фильтре при вращении рукоятки А винт B

сообщает поступательное перемещение чередующимся прямоугольным

плитам и пустотелым рамам. Определить зависимость между вращающим

моментом M, приложенным к рукоятке A ,и модулем силы F. При этом шаг

винта равен h. Это значит, что при одном обороте винт перемещается в

горизонтальном направлении на расстояние h.

Рисунок 6 – Эскиз винтового пресса

Механизм с одной степенью свободы, подчиненный идеальным связям,

находится под действием активной силы F и вращающего момента M.

Например, ось X вдоль геометрической оси винта. Дадим возможное

угловое перемещение δλ рукоятке А и, следовательно, винту B сообщаем

поступательное перемещение δχ .B этом случае принцип возможных

перемещений приведет к выражению

0M Fδγ δχ− = .

Для определения зависимости δχ от δγ выразим x через γ . Так как при

одном обороте винт перемещается на h, а при повороте на γ переместится

на расстояние X, которое определяется из пропорции 2

h x

π γ= .

Получим2

hx γ

π= , вычислим вариацию

2

hxδ δγ

π= . Подставляя найденное

выражение xδ через δγ , получим

( ) 02

hM F δγ

π− = , где δγ ≠ 0

1 2

1

2

Gtg tg

Gγ γ=

15

Следовательно, 2

hM F

π= .

ПРИМЕР 2.

В гидравлическом прессе, изображенном на рисунке 7,

Рисунок 7 - Эскиз гидравлического пресса

перпендикулярно к рычагу OA в точке A действует сила F . Площадь

левого I поршня равна S1, площадь правого П правого – S2. Определим

величину усилия Q , сжимающего тело M, если OA=a, OB=b. Трением

пренебречь.

РЕШЕНИЕ

Система имеет одну степень свободы S=1 и находиться в равновесии под

действием двух активных сил F и Q . Примем за обобщенную координату

1q = Ω - объем вытесненной жидкости из полости I в полость П. Дадим

системе возможное перемещение рукоятке AO- ASδ в сторону действия

силы F , при этом поршень из цилиндра I вытесняет бесконечно малый

объем жидкости δΩ в полость П, что приведет к малому смещению поршня

П вверх на величину MSδ . Жидкость считается не сжимаемой.

Применяя принцип возможных перемещений, запишем

0A MF S Q Sδ δ− = .

Выразим возможные перемещения точек A и M в зависимости от δΩ .

Воспользовавшись подобием треугольников построенных на рычаге AO,

16

можно записать A b

aS

bδ δγ= . Так как шток BC является абсолютно жестким,

то c bS Sδ δ= и 1

1A c

a aS S

b b Sδ δ δ= = Ω ,а

2

1MS

Sδ δ= Ω , тогда в результате

подстановки в основе уравнение получим 1 2

( ) 0a F Q

b S Sδ− Ω = , таким образом,

2

1

aSQ F

bS= .

ПРИМЕР 3

Дифференциальная передача состоит из двух шестерен I и Ш, которые

могут вращаться вокруг общей неподвижной оси O, и бегающей шестерни

П, приводимой в движение водителем OA. К водилу приложена пара сил с

моментом M0.

Определить моменты M1 и M3 пар сил, которые надо приложить к

шестерням I и Ш, чтобы уравновесить механизм. Радиусы колес I и Ш

равны соответственно r1 и r3. механизм расположен в горизонтальной

плоскости. Трением пренебречь.

Рисунок 8 – Модель дифференциальной передачи

РЕШЕНИЕ

Система имеет две степени свободы S=2 и находиться в равновесии под

действием трех пар сил (задаваемых сил) с моментами M0, M1 и M3. Примем

за обобщенные координаты 1 0q γ= - угол поворота водила и 2 1q γ= - угол

поворота шестерни I. Сообщим системе возможные перемещения 0δγ и 1δγ

в сторону, определяемую действием пары с моментом M0. При этом

шестерня П получает угловое перемещение 2δγ , а шестерня Ш – угловое

перемещение 3δγ . Направления этих перемещений зависят от 0δγ и 1δγ .

17

Согласно принципу возможных перемещений имеем 0 1 3( ) ( ) ( ) 0A M A M A Mδ δ δ+ =

или 0 0 1 1 3 3 0M M Mδγ δγ δγ+ + = (3.1)

При этом предполагается, что пары сил с моментами M1 и M3 стремятся

повернуть соответствующие шестеренки в направление угловых

перемещений 1δγ и 3δγ .

Введем в рассмотрение возможные угловые скорости i

i dt

δ δγω = (i=0,1,2,3),

Тогда вместо (3.1) получим 1 1 1 1 3 3 0M M Mδ δ δω ω ω = . (3.2)

Угловая скорость 3

δω зависит от 0

δω и 1

δω .

Установим эту зависимость, пользуясь формулой Виллиса: 1 0 2

2 0 1

r

r

δ δ

δ δ

ω ωω ω

−= −

−;

2 0 3

3 0 2

r

r

δ δ

δ δ

ω ωω ω

−=

− ,

Перемножая эти равенства, получим 1 0 3

3 0 1

r

r

δ δ

δ δ

ω ωω ω

−= −

−,

отсюда 1 13 0 1

3 3

(1 )r r

r r

δ δ δω ω ω= − − ;

Подставляя эти значения в (3.2), получим

1 10 1 0 1 3 1

3 3

(1 ) ( ) 0r r

M M M Mr r

δ δω ω

+ + + − =

Здесь 0

δω и 1

δω - взаимно независимые величины в силу независимости 0δγ

и 1δγ .

Поэтому можно считать:

1. 0 0δω ≠ ; 1 0δω = ;

2. 0 0δω = ; 1 0δω ≠ ,

тогда получим 10 3

3

(1 ) 0;r

M Mr

+ + = 11 3

3

0;r

M Mr

− =

отсюда найдем 0 33

1 3

M rM

r r= −

+; 0 1

1

1 3

M rM

r r= −

+;

Знак “минус” указывает на то, что при равновесии системы действие

пар сил, приложенных к шестерням I и Ш, имеют противоположные

направления действию пар сил, приложенных к водилу.

ПРИМЕР 4

Составная балка AF, лежащая на четырех опорах, состоит из трех балок,

шарнирно соединенных в точках C и Е. На балку действуют силы 1P , 2P , 3P

и момент пары сил M0. Размеры балки указаны на чертеже. Определить

опорные реакции в точках B и D. Весом балок пренебречь.

18

РЕШЕНИЕ

Составная балка AF, лежащая на четырех опорах, состоит из трех твердых

тел – балок AC, CE и EF, находящихся в равновесии. Если решить данную

задачу методами статики, то необходимо было бы мысленно “разорвать”

шарнир C и E и составить уравнения равновесия для каждой балки в

отдельности. При этом потребовалось бы решить систему из девяти

уравнений с девятью неизвестными, среди которых находятся две искомые

реакции опор B и D. Такое решение довольно громоздкое.

Применяя принцип возможных перемещений, можно любую искомую

опорную реакцию определить из одного соответствующим образом

составленного уравнения:

a) Для определения реакции BR отбрасываем мысленно опору D,

заменяя эту связь опорной реакцией DR . При этом составная балка

будет иметь возможные перемещения, которые допускаются всеми

оставшимися связями. Предположим, что шарнир E поднимется вверх

и балки CE и EF повернуться на углы δγ и δΨ . Балка AC не имеет

возможных перемещений и остается в прежнем положении.

Направление реакции указывается произвольно вдоль линии ее

действия.

Рисунок 9 – Составная балка перекрытия

Рисунок 9а – Возможные перемещения

19

Рисунок 9б – Возможные перемещения всей модели

составной балки

Перемещение точек приложения сил DR , 2P и 3P обозначим

соответственно DSδ , 2Sδ , 3Sδ (рисунок 9а).

Применив принцип возможных перемещений, приравняв сумму

элементарных работ всех заданных сил и моментов на соответствующих

возможных перемещениях нулю:

0

2 2 3 3sin 30 0D DR S P S P Sδ δ δ− − = .

Ввиду малости углов δγ и δΨ имеем 3DS aδ δγ= ; 2 5S aδ δγ= ; 3S aδ δ= Ψ ,

где 6ES aδ δγ= или 2ES aδ δ= Ψ , тогда 3δ δγΨ = ;

Делая подстановку этих значений, получим 0

2 3(3 5 sin 30 *3) 0DR P P aδγ− − = , где

0δγ ≠ .

Следовательно, 0

2 33 5 sin 30 *3 0DR P P− − = ,

Откуда 0

2 3

5sin 30 6

3DR P P kH= + = .

б) определим реакцию в точке B. Для этого мысленно отбрасываем только

опору в точке B, заменяя ее соответствующей реакцией RB (рисунок 9б).

Направление реакции выбираем произвольно (например, вверх). Задаем

возможные перемещения системе.

Балка AC может, например, повернуться вокруг точки A на угол δα вниз

и занять положение AC1. Балки CE и EF при этом также повернуться около

точек D и F.

Точки приложения сил BR , 1P , 2P и 3P получат соответственно возможные

перемещения BSδ , 1Sδ , 2Sδ и 3Sδ .

Уравнение работ будет иметь вид 0

1 1 2 2 3 3sin 30 0B BR S P S P S M P Sδ δ δ δα− + − − − = ,

подставим 5BS aδ δα= , 1 7 3S a aδ δα δβ= = , тогда 7 3δα δβ= ; 2

142

3S a aδ δβ δα= = ;

3 2ES a aδ δβ δ= = ℘; 3 2δβ δ= ℘; 3

3 73

2 3S a a aδ δβ δα= ℘= = ,

получим 0

1 2 1 3

14 7( 5 7 sin 30 ) 0

3 3BR P P M P aδα− + − − − = ,

отсюда 0

1 2 1 3

1 14 7(7 sin 30 ) 0.3

5 3 3BR P P M P kH= − − − = − .

20

Знак “минус” указывает на то, что в действительности реакция опоры B

направлена в противоположную сторону (т.е. вниз). Другие опорные

реакции определяются аналогичным образом.

ПРИМЕР 5 Два однородных стержня A1B1 и A2B2 силы тяжести которых

соответственно равны 1G и 2G , опираются концами A1 и A2 на гладкие

вертикальные стенки , а концы B1 и B2 – на гладкую горизонтальную

плоскость.

Определить зависимость между углами наклона стержней 1γ и 2γ при

равновесии системы.

РЕШЕНИЕ

Система состоит из двух стержней n=2. Задаваемыми силами являются

силы тяжести 1G и 2G .

Рисунок 10 – Эскиз упора двух стержней

Связи стержней будут идеальными, так как силы трения отсутствуют.

Предполагая, что указанная система находиться в положении равновесия,

сообщим ей возможное перемещение и воспользуемся принципом

возможных перемещений, выраженным в виде равенства (1.5)

1

( ) 0n

i i i i i i

i

X x Y y Z zδ δ δ=

+ + =∑

В данном случае 0i iX Z= = , а i iY G= − , тогда имеем 1 1 2 2 0G y G yδ δ− − = (3.3),

где 1y и 2y - ординаты точек приложения сил 1G и 2G ; так как 1 1 1siny l γ= и

2 2 2siny l γ= , где 12l и 22l - длины стержней, то

11 1 1 1 1

1

cosy

y lδ δγ γ δγγ∂

= =∂

,

22 2 2 2 2

2

cosy

y lδ δγ γ δγγ∂

= =∂

.

21

Установим зависимость между 1yδ и 2yδ . Имея в виду, что расстояние

между стенками постоянно, получим 1 1 2 22 cos 2 cosl l constγ γ+ = ,

отсюда имеем 1 1 2 22 sin 2 sin 0l lγ γ− − = ,

следовательно, 1 12 1

2 2

sin

sin

l

l

γδγ δγ

γ= − .

Далее найдем 12 1 2 1

2

sincos

sinl

γδγ γ δγ

γ= − .

Подставляя в выражение (3.3) 1δγ и 2δγ , получим

11 1 1 1 2 1 2 1

2

sincos cos 0

sinG l G l

γγ δγ γ δγ

γ− + =

Так как 1 0δγ ≠ , то из равенства следует 1 2

1

2

Gtg tg

Gγ γ= .

Такова искомая зависимость между углами 1γ и

2γ при равновесии

системы.

4 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется возможным перемещением механической системы ?

2. Как определить число степеней свободы системы?

3. Какие связи называются идеальными?

4. Можно ли задачу о равновесии механической системы с

неидеальными связями решить с помощью принципа возможных

перемещений?

5. Как записывается принцип возможных перемещений в обобщенных

координатах?

6. В чем преимущество принципа возможных перемещений перед

методом геометрической статики для систем , состоящих из большого

числа тел?

22

ЛИТЕРАТУРА

1.Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики.- М.:

Высшая школа, 2004.-416 с.

2. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. - М.:

Высшая школа, 2002.-423 с.

3. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики, ч. II

- М.: Наука, 2001. -332 с.

23

Кафедра теоретической механики

Методические указания

Принцип возможных перемещений

Юрий Алексеевич Иванов

______________________________________________________

Отпечатано с оригинал-макета. Формат 60x90.1/16

Печ. 1 л. Тираж 50 экз.

_______________________________________________________

Санкт-Петербургский государственный технологический институт

(Технический университет), ИК «Синтез»

_________________________________________________________

190013, Санкт-Петербург , Московский пр., 26

24