Слайд-роман

Прямоугольный треугольник,

илиМои геометрические страдания

• Цель:Цель: Изучить прямоугольный треугольник

• Проблема:Проблема: Недостаточный объем информации о прямоугольном треугольнике

в учебнике А.В.Погорелова «Геометрия»

• Задачи:Задачи:- обобщить знания о прямоугольном

треугольнике на основе изученного материала;

- найти дополнительный материал о прямоугольном треугольнике.

Автор: Ковалева Екатерина,

ученица 8Г класса гимназии № 1

им.А.А.Иноземцева

ВопросыВопросы•Определение прямоугольного треугольника, его элементов

•Свойства прямоугольного треугольника

•Признаки равенства прямоугольных треугольников

•Свойства катета, лежащего против угла в 30°

•Прямоугольный треугольникПрямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол прямой (90°).

•ГипотенузаГипотенуза – сторона прямо-угольного треугольника, противолежащая прямому углу.

•Катеты Катеты – стороны прямоугольного треугольника, прилежащие к прямому углу.

Свойства прямоугольного

треугольника

1. Сумма острых углов 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна прямоугольного треугольника равна 9090°°

Дано: Треугольник АВС,

∟С = 90°Доказать:

∟А + ∟ В = 90°Доказательство:

Сумма углов треугольника равна 180°∟С = 90°

Треугольник АВС –∟С = ∟А + ∟ В180° - 90° = 90°

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, что и требовалось

доказать

С

А

В

22. Если катет прямоугольного . Если катет прямоугольного треугольника равен половине треугольника равен половине гипотенузы, то угол против гипотенузы, то угол против этого катета равен 30этого катета равен 30°°

А С

В

Д

Дано: ∆ АВС – прямоугольный, АС = 1/2 АВ

Доказать: ∟АВС = 30°

Доказательство: ∆ АВС- прямоугольный, катет АС = ½ гипотенузы ВС. Построим ∆ ДВС. Получим равносторонний ∆ АВД, углы которого равны друг другу и каждый = 60°. Но ∟ АВД = 2АВС. Следовательно, ∟АВС = 30°, что и требовалось доказать.

3. Катет прямоугольного треугольника, 3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30лежащий против угла в 30°°, равен , равен половине гипотенузы.половине гипотенузы.

А

В

С Д

Дано: Треугольник АВС –

прямоугольный∟С = 90°∟В = 30°

Доказать:АС = 1/2 АВ

Доказательство:Построим треугольник ДВС =

треугольнику АВС, как показано на рисунке.

У треугольника АВД все углы равны (60°), поэтому он

равносторонний. Т.к АС = 1/2 АД, а АД = АВ, то АС = 1/2 АВ, что и требовалось доказать.

44. Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику (рис.а)

А Д В

С 5. Высота СД, 5. Высота СД,

опущенная из опущенная из вершины вершины прямоугольного прямоугольного равнобедренного равнобедренного треугольника, треугольника, является медианой и является медианой и биссектрисой и биссектрисой и делит этот делит этот треугольник на два треугольник на два прямоугольных прямоугольных равных равных равнобедренных равнобедренных треугольника (док-треугольника (док-во – по 2 признаку во – по 2 признаку равенства равенства треугольников) треугольников) (рис.б)(рис.б)

Рис.а

Рис.бА Д В

С

6. 6. Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной около этого треугольника окружности, центр этой окружности лежит на середине гипотенузы.

Треугольник АВС – прямоугольный, О – центр описанной около треугольника АВС окружности

7. Теорема Пифагора. 7. Теорема Пифагора. Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы а² + в² = с² (рис.1) , или Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен по площади сумме квадратов, построенных на катетах («Пифагоровы штаны во все стороны равны», рис.2).

Рис.2

А

С В

в

c

a Рис.1

Дано: ∆ АВС – прямоугольный; а, в – катеты; с – гипотенуза.Доказать: с²= а² + в²Док-во:если достроить ∆ АВС до квадрата со сторонами а + в, то S этого квадрата = (а +в)².

с с

с с

а

а

а

а

в в

в в

С другой стороны, этот квадрат составлен из 4 равных прямоугольных треугольников с S каждого из них = ½ ав и квадрата со стороной с, поэтому

S = 4 * 1/2ав + с² = 2ав +с²

Таким образом, (а + в)² = 2ав + с², откуда с² = а² + в²,

что и требовалось доказать

Признаки равенства

прямоугольных треугольников

1. Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует, что:  если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

     2. Из второго признака равенства треугольников следует, что:     если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.    

3. Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равныДано:

∆ АВС и ∆ А¹В¹С¹, СВ = С¹В¹∟ С = ∟С¹ = 90°, ∟ А = ∟ А¹

Доказать: Треугольник АВС = треугольник

А¹В¹С¹Доказательство:

∟А + ∟В + ∟С = ∟А¹+∟В¹ +∟С¹ = 180° (из теоремы о сумме углов)

Следовательно, 180° - ∟А - ∟С = ∟В = 180° - ∟С¹ - ∟А¹ = ∟В¹

Следовательно , треугольник АВС = треугольник А¹В¹С¹ по 2 признаку

равных треугольников.

     4. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство аналогично предыдущему: из теоремы о сумме углов треугольника следует, что в этих треугольниках два других острых угла тоже равны, поэтому они равны по 2 признаку равенства треугольников, т.е. по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам.

5. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∟С и ∟С1 – прямые, АВ = А¹В¹Доказать: ∆ АВС = ∆А¹В¹С¹Доказательство:Пусть АВС и А¹ В¹С – данные треугольники. Построим ∆ СВД, равный ∆ СВА. И ∆С¹В¹ Д¹ равный ∆ С1В1А1 ∆АВД и ∆А¹В¹Д¹ равны по третьему признаку. У них АВ = А¹В¹ по условию задачи, АД = А¹Д¹, т.к. АС = А¹С¹, ВД = В¹Д¹, т.к. ВД = АВ, В¹Д¹ = А¹В¹. Из равенства ∆АВД и ∆ А¹В¹Д¹ следует : ∟А = ∟А¹. Т.к. по условию АВ = А¹В¹, АС = А¹С¹, а ∟ А = ∟ А¹ по доказанному, то ∆ АВС = ∆ А¹В¹С ¹ равны по первому признаку.

А

В

С Д

А¹

В¹

С¹ Д¹

ЗаключениеЗаключениеПервые геометрические сведения о треугольниках мы

получили еще в младших классах. Задачей данной работы было расширить и углубить знания об одной из разновидностей этой геометрической фигуры – прямоугольном треугольнике , его свойствах, особенностях. В связи с недостаточностью в учебнике материала по данной теме использовались различные источники информации: дополнительная литература и Интернет. В процессе работы выяснилось, что все известные нам сведения о треугольнике применимы и к прямоугольному треугольнику, но при этом он обладает своими «личными» свойствами и признаками равенства прямоугольных треугольников. Некоторые из особенностей прямоугольного треугольника не были рассмотрены в данной работе в связи с тем, что их изучение требует дополнительных знаний и будет изучаться в старших классах.

Используемые источники:Используемые источники:1. Геометрия, 7-9: учеб.для общеобразоват.учреждений /

Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.-15-е изд.- М.: Просвещение, 2005.-384 с.: ил.

2. Геометрия: учеб.для 7-9 кл.общеобразоват.учреждений / А.В.Погорелов.- 6-е изд.- М.: Просвещение, 2005.-224 с.:ил.

3. Математика. Новейший справочник школьника / Г.М.Якушева.- М.: Филол.о-во «Слово», Изд-во Эксмо, 2005. – 479 с.:ил.

4. Новый справочник школьника.5-11 класс. Универсальное пособие. Т.2. – СПб.: ИД «ВЕСЬ», 2002.-704 с.:ил.

5. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Сост. А.П.Савин, В.В.Станцо, А.Ю.Котова: Под общ.ред. О.Г.Хинн.- М.: АСТ, 1996.-480 с.

6. www.lex.ru

7. www.examens.ru

8. www.alexlarin.narod.ru

9. www.vladimirv.ru

10. www.edustrong.ru

11. www.neive.by.ru