П Р О Е К Т Н А Я Р А Б О П Р О Е К Т Н А Я Р А Б О Т АТ А

Геометрические Геометрические преобразованияпреобразования

Выполнил ученик

9 Г класса

Кузьменко Игорь

ВведениеВведение●Геометрическое преобразование плоскости - взаимно-однозначное отображение этой плоскости на себя

●Наиболее важными геометрическимипреобразованиями являются движения, т.е.преобразования, сохраняющие расстояния

● Иначе говоря, если f-движение плоскости, то для любых двух точек А и В этой плоскости расстояние между точками А1 и В1равно расстоянию АВ

Д в и ж е н и еД в и ж е н и е Параллельный Параллельный

переносперенос При При

параллельном параллельном переносе точки переносе точки смещаются по смещаются по параллельным параллельным (или (или совпадающим) совпадающим) прямым на одно и прямым на одно и то же расстоянието же расстояние

С и м м е т р и яС и м м е т р и я ПоворотПоворот Осевая Осевая

симметриясимметрия

Скользящая симметрияСкользящая симметрия

Это композиция симметрии Это композиция симметрии

относительно некоторой относительно некоторой

прямой прямой ℓ и параллельногоℓ и параллельного

переноса, вектор которого переноса, вектор которого

параллелен ℓпараллелен ℓ..

П о д о б и еП о д о б и е Преобразование фигуры Преобразование фигуры FF в фигуру в фигуру FF‘‘

называется преобразованием подобия, называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояние если при этом преобразовании расстояние между точками изменяется в одно и то же между точками изменяется в одно и то же число раз.число раз.

АА11ВВ11==k∙k∙АВАВ

СС11ДД11==k∙k∙СДСД

kk-КОЭФФИЦИЕНТ-КОЭФФИЦИЕНТ

ПОДОБИЯПОДОБИЯА

В

С

Д А1

В1

С1

Д1

Г О М О Т Е Т И ЯГ О М О Т Е Т И Я Гомотетией с центромГомотетией с центром

О и коэффициентом О и коэффициентом

k≠k≠0 называется 0 называется

геометрическое преобразование, геометрическое преобразование,

которое произвольно которое произвольно

взятую точку А взятую точку А

переводит в такую точку переводит в такую точку

АА‘‘, что ОА, что ОА‘‘==k∙k∙ОА ОА

С В О Й С Т В АС В О Й С Т В АГомотетия переводит:Гомотетия переводит: Прямую в параллельную ей прямуюПрямую в параллельную ей прямую Окружность в окружностьОкружность в окружность Сохраняет углыСохраняет углы Все длины увеличивает в Все длины увеличивает в |k||k| раз раз

Гомотетия сохраняет форму(но не размеры)Гомотетия сохраняет форму(но не размеры)

фигур:фигур: Если Если k>k>1, то копия фигуры увеличивается1, то копия фигуры увеличивается Если 0Если 0<k<<k<1, то копия фигуры уменьшается1, то копия фигуры уменьшается

О

На этом основаны различные способы На этом основаны различные способы оценки расстояния, например, зная длину оценки расстояния, например, зная длину большого пальца и прикинув, сколько раз большого пальца и прикинув, сколько раз большой палец вытянутой руки большой палец вытянутой руки укладывается в видимом образе укладывается в видимом образе предмета, можно найти отношение предмета, можно найти отношение высоты вертикального предмета к высоты вертикального предмета к расстоянию до него.расстоянию до него.

На рисунке имеем На рисунке имеем ||АВАВ||::||ВОВО||= = ||АА‘‘ВВ''||: : ||ВВ''ОО'|'|, , откуда, измерив откуда, измерив ||ВОВО||, можно найти , можно найти ||АВАВ||, а , а поэтому и высоту трубы.поэтому и высоту трубы.

Гомотетия-частный случай Гомотетия-частный случай подобияподобия

План РПлан Р11,подобный Р,получается из Р при помощи ,подобный Р,получается из Р при помощи композиции движения(поворота) и гомотетиикомпозиции движения(поворота) и гомотетии

Р1

Р

АФФИННОЕ АФФИННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Преобразование Преобразование ff евклидовой плоскости евклидовой плоскости называется аффинным, если оно каждую называется аффинным, если оно каждую прямую переводит снова в прямую, прямую переводит снова в прямую, параллельные между собой прямые - снова в параллельные между собой прямые - снова в параллельныепараллельные

При аффинном преобразовании При аффинном преобразовании длины и углы могут изменятьсядлины и углы могут изменяться

Знакомство с геометрическими Знакомство с геометрическими преобразованиями и умение преобразованиями и умение

применять их является элементом применять их является элементом математической культурыматематической культуры