Upload
-
View
818
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
Початкові відомості Початкові відомості зі стереометрії.зі стереометрії.
При вивченні теми ми: Розглянемо взаємне розміщення у
;просторі прямих і площин Познайомимось з просторовими
, , фігурами їх елементами поняттями поверхні та об’ ;єму
Навчимося зображати та знаходити на малюнках многогранники і тіла . обертання та їх елементи
План1. .Взаємне розміщення прямих у просторі2. Взаємне розміщення прямої та площини і
. площин у просторі Перпендикуляр до.площини
3. . ’Пряма призма Площа поверхні та об ємпризми.
4. . ’Піраміда Площа поверхні та об .єм піраміди5. . . Тіла обертання Циліндр Площа поверхні та
’об єм .циліндра6. . ’Конус Площа поверхні та об єм .конуса7. . ’Куля Площа поверхні та об єм .кулі8. .Історична довідка
Основні геометричні фігуриРисунок Фігури Позначення
точки А, В, С...
прямі а, в, с...
АВ, ВС...
площини α , β, γ...
А В С
А Bа
αβ
Аксіоми стереометрії
Яка б не була площина, існують точки, що належать їй, і точки, що їй не належать
Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку
Через дві прямі, що перетинаю-ться, можна провести, площину і дотого ж тільки одну
α АВ
a
β
αА
ab
α
Взаємне розміщення двох прямих у просторі
Прямі а і b
Лежать в одній площині
Не лежать в одній площині
b
a b
α
Перетинаються Паралельні
b
Мимобіжні
a
αα
a
Взаємне розміщення двох площин
Дві площини в просторі
перетинаються(мають спільну пряму)
паралельні(не мають спільну пряму)
α
β
а α
β αllβ
Взаємне розміщення прямої і площини
Паралельні а║α перетинаються пряма лежить у площині
α
а
α
а
Аα
а
Пряма, перпендикулярна до площини
Означення: Пряма перпендикулярна до до площини α, якщо с┴а, с┴b.
Теорема: Якщо с┴а, с┴b то с┴α.
αа
b
c
АО – перпендикуляр;
АВ – похила;
ВО – проекція похилої АВ на площину α.
Перпендикуляр і похила
α
A
BO
C1
C
B
B1
A
A1
Многогранником називається ( геометричне тіло частина
), простору обмежена скінченною . кількістю плоских многокутників
Многокутники які обмежують многогранник називають його
, – , гранями їх сторони ребрами а – вершини вершинами
. многогранника Гранями є многокутники ABC, A1B1C1, ABB1A1,
BB1C1C, AACC; – ребрами сторониAC, BC, AB, AA1, BB1, CC1, A1B1, A1C1, B1C1; – вершинами точки A, B, C, A1, B1, C1.
Призма
n- – , кутна призма многогранник – дві грані якого рівні n-кутники з
відповідно паралельними, – сторонами а всі інші грані
. паралелограми ABCD і A1B1C1D1 – ; основи AA1, BB1, CC1, DD1 – бічні
; ребра AB, BC, CD, AD, A1B1, B1C1, C1D1, A1D1 – . ребра основи
C1B1
C
A1
A
B
D1
D
Пряма призма – якщо бічні ребра перпендикулярні до основи. AA1=h.Правильна призма – це пряма призма, в основі якої лежить правильний многокутник.
: Площа бічної поверхні прямої призми
Sбічне=P*h, де P – .периметр основи
Sповне=Sбічне+2Sосн
Об` : єм призми прямої V=Sосн*h
h
h
a1
a2
n- кутна піраміда – це многогранник, одна грань якого – довільний n-кутник, а всі інші – n граней трикутники, що мають спільну вершину.
P – ;вершина піраміди
ABCD – ;основа піраміди
∆PAB, ∆PBC, ∆PCD, ∆PDA – ;бічні грані
PA, PB, PC, PD – ;бічні ребра
AB, BC, CD, AD – ;ребра основи
PO – , висота PO┴ABCD.A
D
CB
F0
P
Піраміда
– Основа правильної піраміди , правильний многокутник а основа
– . висоти центр многокутника PF – ( апофема висота бічної грані проведена
, . ), з її вершини наз апофемою PF┴DC.
Sпір=Sосн+Sбіч
Площа бічної поверхні правильної
піраміди Sбіч=m*p, деm – , апофема
p – .півпериметр основи
` : Об єм піраміди V=⅓Sосн*H
AD
CB
F0
P
mH
Циліндр
Прямим круговим циліндром називається, тіло утворене обертанням прямокутника
. навколо його сторониO1A іOB – , радіуси AB – твірнаAB=ОО1 – , висота ОО1 – .вісь
: Площа поверхні циліндра Sцил=Sбіч+2Sосн, деSбіч=2πRH, Sосн=πR² ` : Об єм циліндра
V=SоснH; V=πR²H. – Осьовий переріз циліндра прямокутник зі
, сторонами що дорівнюють висоті . циліндра й діаметру його основи ABA1B1 –
.осьовий переріз циліндра
A
O
O1
A1
B
B1
Конус , Прямим круговим конусом називається тіло утворене обертанням плоского прямокутного
.трикутника навколо одного із його катетів- , - , КО вісь КО висота- , - .КА твірна АО радіусO A
K
1
A
Осьовий переріз конуса - переріз конуса площиною, яка проходить через його вісь. Усі осьові перерізи конуса – рівні між собою рівнобедрені трикутники. ∆АКА1- осьовий переріз конуса.
Площа поверхні конусаSкон= Sбічн+Sосн.
Sбіч=πRL, Sосн= πR² , L-твірна.Об’єм конусаV= 1/3πR²H
Куля (сфера) ( ) – , Куля сфера фігура утворення
( ) обертанням круга кола навколо його. , діаметра Площина яка проходить через
( ) центр кулі сфери називається . діаметральною площиною Переріз кулі
( ) сфери діаметральною площиною ( називається великим кругом великим
).колом – ( );О центр кулі сфери
, – ; – .ОА ОВ радіуси АВ діаметр
A
B
0
0R
Площа поверхні кулі (площа сфери): S=4πR²Об’єм кулі: V=4/3πR³
Історична довідка
Властивості многогранників і тіл обертання першими систематично виклали давньогрецькі математики. Окрім Евкліда, слід особливо виділити Архімеда, який у двох своїх працях дослідив властивості тіл обертання. Одним із засновників теорії конічних поверхонь вважається давньогрецький геометр Аполлоній Пергський (бл. 262 – бл. 190 р.р. до н.е.). Робота Аполлонія «Канонічні перерізи» розглядає перерізи поверхонь, утворених обертанням однієї з двох прямих, що перетинаються, навколо іншої. Ця праця справила вплив на розвиток механіки, оптики і астрономії.
Важливі дослідження в галузі геометрії многогранників належать всесвітньо відомому українському математикові Георгію Феодосійовичу Вороному (1868 – 1908 р.р.). Зокрема, він дослідив проблему заповнення простору опуклими многогранниками.
Об`єми деяких многогранників уміли обчислювати ще в стародавньому Єгипті. Італійський математик Бонавентура Кавильєрі (1598 – 1647 р.р.) встановив ознаку тіл, що мають рівні об`єми. Але строга сучасна теорія об`ємів, заснована на методах математичного аналізу, з`явилася значно пізніше.