Геометрія9 клас

Тема: «Початкові відомості зі стереометрії»

Аксіоми стереометріїI. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.Через будь-які дві точки можна провести пряму, й тільки одну.II. Із трьох точок на прямій одна й тільки одна лежить між двома іншими.III. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою.IV. Пряма, що належить площині, розбиває цю площину на дві півплощини.V. Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180°. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.VI. На будь - якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок даної довжини, й тільки один.VII. Від півпрямої на площині, що містить її, можна відкласти в задану півплощину кут із даною градусною мірою, меншою за 180°, і тільки один.VIII. Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому, у даній площині в заданому розміщені відносно даної півпрямої у цій площині.IX. На площині через дану точку, що не лежить на даній прямій, можна провести не більш як одну пряму, паралельну даній.До цих аксіом додаються три аксіоми групи С.С1. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які не належать їй.С2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.С3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, й до того ж тільки одну.

Приклади розв’язування задач

1. Точки А, В, С і D не лежать в одній площині. Довести, що прямі АВ і СD не перетинаються.

Розв'язок Доводимо методом від супротивного. Якби прямі АВ і СD перетиналися, то за аксіомою С3 (Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну), через них можна було би провести площину і в ній лежали б усі 4 дані точки, що суперечить умові задачі. Отже,прямі АВ і СD не перетинаються

2. Чотири точки не лежать в одній площині. Чи можуть які-небудь три з них лежати на одній прямій? Поясніть відповідь.

Розв'язок Доводимо методом від супротивного.

Припустимо, що три точки лежать на одній прямій. Через одну із точок прямої і четверту точку можна провести площину (С 3: Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну). У цій площині лежать чотири точки. А це суперечить умові задачі. Отже, три точки не можуть лежати на одній прямій.

3. Довести, що коли прямі АВ і СD мимобіжні, то прямі АС і ВD також мимобіжні.Розв'язок

Припустимо, що прямі АС і ВD перетинаються. Тоді за аксіомою С3 (Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну) точки А, В,С і D лежать в одній площині, що суперечить умові задачі. Отже, прямі АС і ВD мимобіжні, що й треба було довести.

4. Прямі а та b не лежать в одній площині. Чи можна провести пряму с, паралельну прямим а та b?

Розв'язок Не можна, бо в протилежному випадку прямі а і b були б паралельними (за властивістю паралельних прямих — дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою) і лежали б в одній площині, що суперечить умові задачі.

5. Дано трикутник АВС. Площина, паралельна прямій АВ, перетинає сторону АС цього трикутника в точці А1 а сторону ВС — в точці В1. Знайти довжину відрізка А1В1, якщо: 1) АВ — 15 см, АА1 : АС = 2 : 3; 2) АВ = 8 см, АА1 : А1С = 5 : 3; 3) В1С = 10 см, АВ : ВС = 4 : 5 ; 4) АА1 = а, АВ = b, А1С = с.

Розв'язок

к = СА1

СА =

х3х =

13 ; А1В1 = 15 ∙

13 = 5 (см).

2) АА1 = 5х см, А1С = 3х см АС = 8х см,;

к = СА1

СА =

3х8 х =

38 ; А1В1 = 8 ∙

38 = 3 (см).

3) АВ = 4х см, ВС = 5х см.

к = АВВС = 4 х

5 х = 45 ; А1В1 = 10 ∙

45 = 8 (см).

4) к = АВ

А1 В1 =

АСА1С ; АС = АА1 + А1С; АС = а + с; А1В1 =

А1С ∙ АВАС =

с ∙ ba+c .

A B

C

B1

A1

А1В1 ∥ АВ за ознакою паралельності прямої і площини.∆ АВС ∆ А1В1 С за двома кутами: ∠ С – спільний, ∠ А = ∠ С А1В1 як відповідні при паралельних прямих АВ і А1В1 та січній АС.Якщо трикутники подібні, то їх сторони пропорційні. Нехай х – коефіцієнт пропорційності1) АА1 = 2х см, АС = 3х см, А1С = х см;

6. Довести, що коли чотири прямі, які проходять через точку А, перетинають площину α у вершинах паралелограма, то вони перетинають будь-яку площину, па -ралельну α, яка не проходить через точку А, також у вершинах паралелограма.

Розв'язок

7. Дано три паралельні площини α1, α2, α3. Нехай Х1, Х2, Х3, - точки перетину цих площин з довільною прямою. Довести, що відношення довжин відрізків Х 1Х2 : Х2Х3 не залежить від прямої, тобто однакове для будь – яких двох прямих.

Розв’язок

8. Прямі АВ, АС і АD попарно перпендикулярні. Знайти відрізок СD, якщо: 1) АВ = 3 см, ВС = 7 см, АО = 1 , 5 см; 2) ВD = 9 см, ВС = 16 см, АD = 5 см; 3) АВ = b, ВС = а, АО = d ; 4) ВD = с, ВС = а, АD = d..

Розв’язок

СВ

E D

A

α

D1

β C1

В1

E1

α2

α3

α1

Х2

Х1

Х3

Y2

Y1

Y3

Z2

Z3

Нехай В, С, D, Е — точки перетину прямих з площиною α, а В1 С1 D1 , Е1 — відповідні точки перетину прямих з площиною β, яка паралельна площині α. Проведемо площину γ1 через прямі АВ і АС. Ця площина перетинає площини α і β по паралельних прямих ВС і В1С1. Проведемо площину γ2 через прямі АЕ і АD. Площина γ2 перетинає площини α і β по паралельних прямих ЕD і Е1D1. Оскільки чотирикутник ВСDЕ — паралелограм, то його протилежні сторони ВС і ED паралельні, ВС ∥ ED. Отже, маємо Е1D1∥ ЕD, ЕD ∥ ВС, ВС ∥ В1С1. Звідси за властивістю паралельних прямих випливає, що Е1D1∥ В1С1. А це означає, що у чотирикутнику В1С1D1E1 протилежні сторони Е1D1 i В1С1 паралельні. Аналогічно доводимо, що у цьому чотирикутнику пара-лельні сторони В1Е1 і С1D1. Отже, чотирикутник В1С1D1E1 — паралелограм, що й треба було довести.

Нехай друга пряма перетинає площини α1, α2, α3 у точках Y1, Y2, Y3 відповідно. Проведемо через Х1 пряму, паралельну другій прямій і позначимо точки перетину з α 2 і α 3 через Z2

i Z3.Через прямі Х1Х3 та Х1Z3 проведемо площину. Ця площина перетне α 2 і α 3 по паралельних прямих X2Z2 та X3Z3 (якщо дві паралельні площини перетинаються третьою площиною, то прямі перетину площин паралельні). Звідси трикутники X3X1Z3 і X2X1Z2 подібні за двома кутами.Якщо трикутники подібні, то їх сторони пропорційні. Отже, X1X2 : X2X3 = X1Z2 : Z2Z3.Але Y1Y2 = X1Z2,, Y2Y3 = Z2Z3 як відрізки паралельних прямих, які містяться між паралельними площинами. Тоді X1X2 : X2X3 = Y1Y2 : Y2Y3, що й треба було довести.

9. Через центр описаного навколо трикутника кола проведено пряму, перпендикулярну до площини трикутника. Довести, що кожна точка цієї прямої рівновіддалена від вершин трикутника.

Розв’язок

10. Через вершину А прямокутника АВСВ проведено пряму АК, перпендикулярну до його площини. Відстані від точки К до решти вершин прямокутника дорівнюють 6 м, 7 м і 9 м. Знайти відрізок АК.

Розв’язок

D

C

BA

В

A ОС

S

Трикутники ВАС, САD, BAD – прямокутні.1) За теоремою Піфагора: АС2 = СВ2 – АВ2; АС2 = 72 – 32 = 49 – 9 = 40; СD2 = AD2 + АC2 = 1,52 + 40 = = 2,25 + 40 = 42,25. СD = √42,25 = 6,5 (см).2) За теоремою Піфагора: АB2 = ВD2 – АD2; АB2 = 92 – 52 = 81 – 25 = 56; AС2 = BC2 - АB2; AС2 = 162 - 56 = 256 - 56 = 200. СD2 = AD2 + АC2; СD2 = 52 + 200 = 225; CD = =√225 = 15 (см).

3) АС2 = СВ2 – АВ2; АС2 = a2 – b2; СD2 = AD2 + АC2; СD2 = d2 + a2 – b2; СD = √d2+a2−b2.4) АB2 = ВD2 – АD2; АB2 = c2 – d2; АС2 = СВ2 – АВ2; АС2 = a2 - c2 + d2; СD2 = AD2 + АC2; СD2 = a2 - c2 + 2d2; СD = √a2−c2+2 d2.

Нехай О – центр кола, S – точка на прямій, що перпендикулярна до площини трикутника. Так як пряма SO перпендикулярна до площини трикутника АВС, то SO ⊥ ОС, SO ⊥ОА, SO ⊥ОВ. Трикутники AOS, BOS, COS – прямокутні і рівні за двома катетами (SO – спільний, ОА = ОВ = ОС як радіуси одного кола).З рівності трикутників маємо AS = BS = CS, що й треба було довести.

11. Через точки А і В проведено прямі, перпендикулярні до площини α, які перетинають її відповідно в точках С і D . Знайти відстань між точками А і В, якщо АС = 3 м, ВD = 2 м, СD = 2,4 м і відрізок АВ не перетинає площину α.

Розв’язок

12. Верхні кінці двох вертикальних стовпів, які знаходяться на відстані 3,4 м один від одного, з'єднано поперечкою. Висота одного стовпа 5,8 м, а другого — 3,9 м. Знайти дов-жину поперечки.

Розв’язок

13. Точка А знаходиться на відстані а від вершин рівностороннього трикутника зі стороною а. Знайти відстань від точки А до площини трикутника.

Розв’язок

В

A

С

D

К

В

A С

DЕ

α

КС, КВ, КD – похилі. Так як найбільшу похилу має найбільша проекція, то похила КС – найбільша (Діагональ АС більша за сторони прямокутника). Тому КС = 9м, КD = 7м, КВ = 6 м. За теоремою про три перпендикуляри ∠ КDС = 90°, отже ∆КDС прямокутний з гіпотенузою КС. Тому DC2 = КС2 – КD2, DC2 = 92 – 72 = 81 – 49 = 32.КА ⊥ AD, то ∆КАD – прямокутний з гіпотенузою КD. Так як DC = АВ, то АК2 = КВ2 – АВ2; АК2 = 36 – 32 = 4; АК = 2 м.

Проведемо ВС1 ⊥ АС, то СС1ВD – прямокутник.Оскільки АС = 3 м, ВD = CC1, то CC1 = 2 м.АС1 = АС – ВD = 3 м – 2 м = 1 м. CD = BC1, то BC1 = 2,4 м.∆АВС1 – прямокутний з гіпотенузою АВ і за теоремою Піфагора АВ2 = АС1

2 + ВС12 = 1 + 2,42 = 1 + 5,76 = 6,76.

АВ = 2,6 м.

Побудуємо ВЕ ⊥ DC. АВЕС – прямокутник, то АС = ВЕ = 3,4 м, АВ = СЕ = 3,9 м.DЕ = СD – CЕ = 5,8 м – 3,9 м = 1,9 м.∆DВЕ – прямокутний, то за теоремою Піфагора ВD2 = BE2 + + DE2 = 3,42 + 1,92 = 11,56 + 3,61 = 15,17.BD = √15,17 ≈ 3,9 (м).

Відстанню від точки А до площини трикутника АВС є відрізок перпендикуляра, а тому АО ⊥ (АВС) і трикутники DОА, ВОА, СОА прямокутні і рівні за гіпотенузою і катетом (АО – спільний, АВ = АС = АD = a). Так як ∆ ВСD рівносторонній, то точка О – центр кола,

ВA

С D

С1

α

14. З точок А і В, які лежать на гранях двогранного кута, опущено перпендикуляри АА1 і ВВ1 на ребро кута. Знайти довжину відрізка АВ, якщо АА1 = а, ВВ1 = b, А1В1 = с і двогранний кут дорівнює α;

Розв’язок

15. У прямій трикутній призмі сторони основи дорівнюють 10 см, 17 см і 21 см, а висота призми 18 см. Знайти площу перерізу, проведеного через бічне ребро і меншу висоту основи.

Розв’язок

В

A

С

D О

А1

А

В1

ВА2

С

ВD

A

D1

C1

В1

А1

Відстанню від точки А до площини трикутника АВС є відрізок перпендикуляра, а тому АО ⊥ (АВС) і трикутники DОА, ВОА, СОА прямокутні і рівні за гіпотенузою і катетом (АО – спільний, АВ = АС = АD = a). Так як ∆ ВСD рівносторонній, то точка О – центр кола,

Побудуємо А1А2 ∥ ВВ1, ВА2 ∥ А1В1, то А1В1ВА2 – прямокутник і ВА2 = А1В1, А2А1= ВВ1.Так як АА1 ⊥ А1В1 і А2А1 ⊥ А1В1, то відрізок А1В1 перпендикулярний до площини трикутника А А1А2.ВА2 ∥ А1В1, то відрізок ВА2 перпендикулярний до площини трикутника А А1А2 і ∆ АА1В – прямокутний з гіпотенузою АВ.У ∆ АА1А2 за теоремою косинусів: АА2

2 = АА12 + А1А2

2 - 2 АА1 ∙ А1А2 cos∠АА1А2 = = а2 + b2 - 2аbcosα∆АА2В прямокутний з гіпотенузою АВ, то за теоремою Піфагора АВ2 = АА2

2 + А2В2 = а2 + b2 - 2аbcosα + с2.АВ =√a2+b2−2 ab cosα +c2.

АВСА1В1С1 – пряма трикутна призма.∆ АВС – основа призми. У трикутнику найменша висота відповідає найбільшій стороні. Якщо АС = 17см, ВС = 21см, АВ = 10 см, то АD буде найменшою висотою, а прямокутник АА1D1D – переріз, площу якого треба знайти.Знайдемо за формулою Герона площу трикутника АВС.

SABC =√ p ( p−a ) ( p−b )( p−c), де р = АВ+ВС+ АС

2 , (а, b, c – сторони ∆АВС).SABC = √24 (24−10 ) (24−17 )(24−21) == √24 ∙ 14 ∙7 ∙ 3 = √7056 = 84(см).

SABC =12 ВС ∙ АD; AD =

2 S∆ ABC

BC =

2∙ 8421 = 8 (cм).

S AA1D1D = 8 ∙ 18 = 144 (cм2).

В

А СD

А

В

DС

М

К

О

16. У прямій трикутній призмі всі ребра рівні. Бічна поверхня дорівнює 12 м2. Знайти висоту призми.

Розв’язок

17. За стороною основи а і бічним ребром b знайти повну поверхню правильної призми: 1) трикутної; 2) чотирикутної; 3) шестикутної.

Розв’язок

Sосн. = 12 ∙ a ∙ a√3

2 =a2 √3

4.

Sбіч. = 3ab.

Sпов. = 2Sосн. + Sбіч. = 2 ∙ a2 √34

+ 3ab = a2 √32

+ 3ab.

2) Так як дана призма правильна чотирикутна, то основа призми – квадрат, бічне ребро – висота.Sпов. = 2Sосн. + Sбіч.

Sосн = а2, де а – сторона основи; Sбіч. = Росн. ∙ h = 4ab.Sпов. = 2 а2 + 4ab.

Так як всі ребра призми рівні, то призма правильна і висота призми дорівнює стороні основи. Нехай ребро призми дорівнює а, то висота h = a.Площа бічної поверхні призми дорівнює добутку периметра основи на висоту., тобто Sбіч. = Росн. ∙ h = 3a ∙ h.Враховуючи, що h = a, маємо: Sбіч. = 3h2.h2 = Sбіч. : 3 = 12м2 : 3 = 4 м2.h = 2 м.

1) Так як дана призма правильна трикутна, то основа призми – рівносторонній трикутник, бічне ребро – висота.Нехай ∆ АВС – основа призми. ВD - висота. ∆АВD - прямокутний з гіротенузою АВ = a,

AD = a2 , BD = h. ВD2 = AB2 – AD2. h2 = a2 - ( a

2 )2

= a2 - a2

4= 3 a2

4 .

h = √ 3 a2

4 = a√3

2 .

3) Так як дана призма правильна шестикутна, то основа призми – правильний шестикутник, бічне ребро – висота.Нехай правильний шестикутник АВСDМК – основа призми зі стороною а. О – центр описаного кола. ∆ АОК рівносторонній зі стороною а.

SАОК = a2 √34

, Sосн. = 6 ∙ a2 √34

= 3 a2 √32

.Sбіч. = 6ab.

Sпов. = 2 ∙ 3a2 √32

+ 6ab = 3a2√3 + 6ab.

18. У прямому паралелепіпеді сторони основи 3 см і 5 см, а одна з діагоналей основи 4 см. Знайти більшу діагональ паралелепіпеда, якщо менша діагональ утворює з площиною основи кут 60 градусів.

Розв’язок

∆ВВ1D - прямокутний з гіпотенузою В1D. ВВ1 = BD ∙ tg ∠BDB1 = 4 ∙ tg 60° = 4√3. Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.АС2 + ВD2 = 2(АB2 + AD2).АС2 = 2(АB2 + AD2) - ВD2 = 2(9 + 25) – 16 = 68 – 16 = 52.АС2 = 52. Трикутник АСС1 – прямокутний з гіпотенузою АС1. За теоремою Піфагора АС1

2 = АС2 + СС12 = 52 + (4√3)2 = 52 + 16 ∙ 3 = 52 + 48 = 100.

Більша діагональ АС1 = 10 см.

19. Знайти діагоналі прямого паралелепіпеда, кожне ребро якого дорівнює а, а один з кутів основи дорівнює 60°.

Розв’язок

20. Знайти поверхню прямокутного паралелепіпеда за трьома його вимірами: 10см, 22см, 16см.

Розв’язок Для прямокутного паралелепіпеда з лінійними розмірами a, b, c площа повної поверхні дорівнює: S = 2(ab + bc + ас); S = 2 (10 ∙ 22 + 22 ∙ 16 + 10 ∙ 16); S = 2(220 + 160 + 352) =

СВ

DA

D1

С1В1

А1

СВ

DA

D1

С1В1

А1

У прямому паралелепіпеді основа АВСD – паралелограм. АВ = 3см, АD = 5 см. Визначимо, яка з діагоналей менша, АС чи ВD. ВD2 = AB2 + AD2 - 2 AB ∙ AD cos∠A;16 = 9 + 25 – 2 ∙ 3 ∙ 5 cos ∠A; 16 = 34 - 30 cos ∠A;30 cos ∠A = 34 – 16;

cos ∠A = 34−16

30 = 1830 = 0,6.

Отже, ∠ А гострий і діагональ основи ВD = 4см менша за діагональ АС, тоді діагональ паралелепіпеда DB1 буде меншою за діагональ АС1 (меншій проекціє відповідає менша похила). Звідси ∠ ВDB1 = 60°.

Оскільки всі ребра прямого паралелепіпеда рівні, то основа – ромб зі стороною а. Висота паралелепіпеда теж дорівнює а, тобто h = a.У ∆ АВD АВ = АD і ∠А = 60°, то ∆ АВD – рівносторонній і ВD = a.∆ В1ВD прямокутний з гіпотенузою В1D. За теоремою Піфагора В1D2 = ВD2 + B1B2 = a2 + a2 = 2a2 = а√2.Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін, то АС2 + ВD2 = 2(АB2 + AD2).АС2 = 2(АB2 + AD2) - ВD2 = 2(a2 + a2) - a2 = 3 a2.∆ АСС1 - прямокутний з гіпотенузою АС1, то АС1

2 = АС2 + + С1С2 = 3a2 + a2 = 4 a2.АС1 = 2а.

= 1464 (см2); S = 1464 см2.

21. Діагоналі трьох граней прямокутного паралелепіпеда, які сходяться в одній вершині, дорівнюють а, b, с. Знайти лінійні виміри паралелепіпеда.

Розв’язок

х2 = a2+c2−b2

2; х = √ a2+c2−b2

2.

Виконаємо почленне додавання рівнянь (1) і (2).а2 + b2 = х2+ у2 + y2+ z2; а2 + b2 = х2+ 2у2+ z2; c2 = x2 + z2. c2 = x2 + z2. а2 + b2 - c2 = х2+ 2у2+ z2- x2 - z2; а2 + b2 - c2 = 2у2;

у2 = a2+b2−c2

2; y = √ a2+b2−c2

2.

Виконаємо почленне додавання рівнянь (2) і (3).b2 + c2 = y2+ z2 + x2 + z2; b2 + c2 = y2+ 2z2 + x2;а2 = х2+ у2. а2 = х2+ у2. b2 + c2 - а2 = y2+ 2z2 + x2- х2- у2.b2 + c2 - а2 = 2z2;

z2 = b2+c2−a2

2; z = √ b2+c2−a2

2.

22. Основа піраміди — прямокутник зі сторонами 6 см і 8 см. Кожне бічне ребро піраміди дорівнює 13 см. Обчислити висоту піраміди.

Розв’язок

СВ

DA

D1

С1В1

А1

В

A

С

D

S

О

Нехай у піраміді SABCD АВ = 6 см, АD = 8 см, SA = SB = SC = SD = 13 см. АВСD – прямокутник, то BD2 = AB2 + AD2 = 36 + 64 = 100. BD = 10 см, а ВО = 5 см.Оскільки SО ⊥ (АВСD), то трикутники SOB – прямокутний з гіпотенузою SB. SO2 = SB2 – OB2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144.SO = 12 см.

Нехай діагоналі прямокутного паралелепіпеда АВ1 = а, АС = = b, АD1 = c; лінійні розміри АА1 = х, АВ = у, АD = z.Трикутники АВВ1, АDD1, ACC1 прямокутні. Тоді за теоремою Піфагора : а2 = х2+ у2; (1) b2 = y2+ z2; (2) c2 = x2 + z2. (3)Виконаємо почленне додавання рівнянь (1) і (3). а2 + c2 = х2+ у2 + x2 + z2; а2 + c2 = 2х2+ у2 + z2; b2 = y2+ z2. b2 = y2+ z2.

а2 + c2 - b2 = 2х2+ у2 + z2 - y2- z2;а2 + c2 - b2 = 2х2;

23. Основа піраміди — паралелограм, сторони якого 3 см і 7 см, а одна з діагоналей 6 см; висота піраміди проходить через точку перетину діагоналей і дорівнює 4 см. Знайти бічне ребро піраміди.

Розв’язок

SА2 = АO2 + SO2 = (2√5)2 + 42 = 20 + 16 = 36.SА = SС = 6 см.

24. Висота піраміди дорівнює 16 м. Площа основи дорівнює 512 м2. На якій висоті від основи знаходиться переріз , паралельний їй , якщо площа перерізу 50 м2?

Розв’язок

25. За даною стороною основи а і бічним ребром b знайти висоту правильної піраміди: 1) трикутної; 2) чотирикутної; 3) шестикутної.

Розв’язок

В

A

С

D

S

О

h – h 1

Так як переріз паралельний основі піраміди, то основи – подібні многокутники. Площі подібних многокутників відносяться як квадрати їх відповідних сторін. Знайдемо коефіцієнт подібності: k2 = Sперерізу : Sоснови = 50 : 512 = = 5 : 16 = 0,3125. Висота піраміди дорівнює h = 16 м, переріз відтинає від неї відрізок h1 = k h = 0,3125 ∙16 = 5 (м). Знайдемо на якій висоті від основи знаходиться переріз: h – h1 = 16 – 5 = 11 (м).

1) Нехай висота піраміди SO = h, її бічне ребро SA = SB = = SC = b. Основа висоти піраміди знаходиться в центрі кола, описаного навколо правильного трикутника АВС. ОА = R, де R – радіус кола, описаного навколо ∆ АВС.∆ SОА прямокутний з гіпотенузою SA, у якому SA = b,

ОА = R, де R = a√3

.

h2 = b2 – R2 = b2 – ( a√3 )

2

= b2 – a2

3.

h = √b2−a2

3

Нехай АВ = 3 см, АD = 7 см, BD = 6 см.Знайдемо другу діагональ основи піраміди.Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін, то АС2 + ВD2 = 2(АB2 + AD2).АС2 = 2(АB2 + AD2) - ВD2 = 2(32 + 72) - 62 = 2(9 + 49) - 36 = 80.АС = √80 = 4√5 (см).Трикутники SОВ і SOD прямокутні з гіпотенузами SB і SD відповідно та рівні за двома катетами: SO – спільна, ВО = ОD. SB2 = BO2 + SO2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25.SB = SD = 5 см.Трикутники SОА і SOС прямокутні з гіпотенузами SА і SС відповідно та рівні за двома катетами: SO – спільна, АО = ОС.

26. Висота правильної чотирикутної зрізаної піраміди дорівнює 4 см. Сторони основ дорівнюють 2 см і 8 см. Знайти площі діагональних перерізів.

B

AO

C

S

В

A С

D

S

О

В

A

СD

S

О

N M

2) Нехай висота піраміди SO = h, її бічне ребро SA = SB = SC = SD = b. Основа висоти піраміди знаходиться в центрі кола, описаного навколо правильного чотирикутника АВСD. ОА = R, де R – радіус кола, описаного навколо чотирикутника АВСD.∆ SОА прямокутний з гіпотенузою SA, у якому SA = b,

ОА = R, де R = a√2

.

h2 = b2 – R2 = b2 – ( a√2 )

2

= b2 – a2

2 .

h = √b2−a2

2.

3) Нехай висота піраміди SO = h, її бічне ребро SA = SB = SC = SD = SM = SN = b. Основа висоти піраміди знаходиться в центрі кола, описаного навколо правильного шестикутника АВСDMN. ОА = R, де R – радіус кола, описаного навколо шестикутника АВСDMN.∆ SОА прямокутний з гіпотенузою SA, у якому SA = b, ОА = R, де R = a. h2 = b2 – R2 = b2 - a2 .h = √b2−a2.

Розв’язок

27. Три латунних куби з ребрами 3см, 4см і 5см переплавлено в один куб. Знайти ребро цього куба.

Розв’язок Нехай ребро нового куба дорівнює х см. Так як об’єм нового куба дорівнює сумі об’ємів трьох кубів з ребрами 3см, 4см і 5см, можна скласти таке рівняння:х3 = 33 + 43 +53;х3 = 27 + 64 +125;х3 = 216;х = 6.Ребро нового куба 6 см.

28. Якщо кожне ребро куба збільшити на 1 м, то його об’єм збільшиться у 125 разів. Знайти ребро куба.

Розв’язок Нехай початкова довжина ребра куба дорівнює х м, то довжина ребра нового куба буде дорівнювати (х + 1) м. Об’єм початкового куба – (х м)3, а об’єм нового куба – (х + 1)3 м3. Так як об’єм нового куба у 125 разів більший за об’єм початкового куба, то можна скласти таке рівняння:(х + 1)3 : х3 = 125;(х + 1) : х = 5;х + 1 = 5х;4х = 1;х = 0,25.Початкова довжина ребра куба дорівнює 25 см.

29. Виміри прямокутного бруска 3см, 4см і 5см. Якщо збільшити кожне ребро на х см, то поверхня бруска збільшиться на 54 см2. Як збільшиться його об’єм?

Розв’язок Повна поверхня бруска у вигляді прямокутного паралелепіпеда, виміри якого a, b, c, можна обчислити за формулою: 2(ab + bc + ac). Після збільшення кожного виміру на х см, нові виміри будуть такими: (х + 3) см, (х + 4) см, (х + 5) см. Тоді площа повної поверхні початкового прямокутного паралелепіпеда буде така: 2(3 ∙ 4 + 4 ∙ 5 + 3 ∙ 5) = 94 см2, а нового: 2((х + 3) ∙ (х + 4) + (х + 3) ∙ (х + 5) + (х + 4) ∙ (х + 5)) = (94 + 54) см2.2(х2 + 4х + 3х + 12 + х2 + 5х + 3х + 15 + х2 + 5х + 4х + 20) = 148;

СВ

А DО

D1

C1А

1

О1

В1

Діагональні перерізи АА1С1D та ВВ1D1D – рівні рівнобічні трапеції з висотою ОО1 = h = 4 см і з основами - діагоналями основ АС і А1С1 та ВD і В1D1 відповідно.АВСD – квадрат, а тому АС2 = АD2 + CD2 = 82 + 82 = 128, АС = √128 = 8√2 (см).А1В1С1D1 – квадрат, а тому А1С1

2 = А1D12 + C1D1

2 = = 22 + 22 = 8, А1С1 = √8 = 2√2 (см).

Sпер. = АС+ А1 С1

2 ∙ ОО1 = 8√2+2√2

2 ∙ 4 = 10√2

2 ∙ 4 =

= 20√2 (см2).

1) Нехай SBB1D1D = BD ∙ BB1 = 3 м2. SAA1C1C = AC ∙ AA1 = 6 м2.BB1 = SBB1D1D : BD = 3 м2 : BD;AA1 = SAA1C1C : АС = 6 м2 : АС. Так як BB1 = AA1 , то 3 м2 : BD = 6 м2 : АС. Звідси AC = 2 BD .

2) SABCD = 12 AC ∙ BD, то AC ∙ BD = 2.

Складаємо систему рівнянь: AC = 2 BD; AC ∙ BD = 2.

3х2 + 24х + 47 = 74;3х2 + 24х - 27 = 0;х2 + 8х - 9 = 0;х1 = -9, х2 = 1.- 9 не задовольняє умову задачі. Кожен вимір прямокутного бруска збільшили на 1 см. Нові виміри дорівнюють 4 см, 5 см і 6 см, а об’єм дорівнює 120 см3.Отже, об’єм прямокутного бруска збільшився у ((4 ∙ 5 ∙ 6) : (3 ∙ 4 ∙ 5) = 2) 2 рази.

30. У прямому паралелепіпеді сторони основи 2√2 см і 5 см утворюють кут 45°. Менша діагональ паралелепіпеда дорівнює 7 см. Знайти його об’єм.

Розв’язок

Так як паралелепіпед прямий, то ∆ ВDВ1 прямокутний з гіпотенузою В1D. За теоремою Піфагора знайдемо висоту В1В паралелепіпеда: В1В2 = В1D2 – BD2 = 72 – 13 = 49 – 13 = 36.В1В = 6 см.

SABCD = AB ∙ AD ∙ sin ∠BAD = 2√2 ∙ 5 ∙ √22

= 10 (см2).

Знаходимо об’єм паралелепіпеда: V = SABCD ∙ BB1 = 10 ∙ 6 = 60 (см3).

31. Основа прямого паралелепіпеда – ромб, площа якого 1 м2. Площі діагональних перерізів 3 м2 і 6 м2. Знайти об’єм паралелепіпеда.

Розв’язок

СВ

А D

D1

C1А

1

В1

СВ

А D

D1

C1А

1

В1

Нехай АВ = 2√2 см, АD = 5 см, ∠BAD = 45°.Меншою діагоналлю паралелепіпеда буде та, яка проектується на меншу діагональ основи, тобто та, що лежить проти кута 45°. Отже менша діагональ основи ВD, а менша діагональ паралелепіпеда В1D = 7 см.За теоремою косинусів знайдемо ВD. BD2 = AB2 + AD2 – 2 ∙ AB ∙ AD ∙ cos∠BAD == (2√2)2 + 52 – 2 ∙ 2√2 ∙ 5 ∙ cos45° =

= 8 + 25 - 20√2 ∙ √22

= 33 – 20 = 13.

2 BD ∙ BD = 2;BD2 = 1;BD = 1 м, то АС = 2 м.

3) BD ∙ BB1 = 3 м2, то BB1 = 3 м2

1 м = 3 м.

Знайдемо об’єм паралелепіпеда: V = SABCD ∙ BB1 = 12 AC ∙ BD ∙ BB1 =

12 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 3 = 3 (м3).

32. Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює 3, 5 см, а діагональ бічної грані 2,5 см. Знайти об’єм призми.

Розв’язок

33. Переріз залізничного насипу має форму трапеції, нижня основа якої 14 м, а верхня 8 м і висота 3,2 м. Знай ти скільки кубічних метрів землі припадає на 1 км насипу.

Розв’язок

34. За стороною основи а і бічним ребром b знайти об’єм правильної піраміди: 1) трикутної; 2) чотирикутної; 3) шестикутної.

Розв’язок

СВ

А D

D1

C1

А1

В1

b

аhос

н.

Нехай А1D = 2,5 см, В1D = 3,5 см.∆ А1В1D – прямокутний з гіпотенузою В1D за теоремою про три перпендикуляри.За теоремою Піфагора А1В1

2 = В1D2 - А1D2 =

= 3,52 – 2,52 = 12,25 – 6,25 = 6. А1В1 = √6 (см).Так як дана призма правильна чотирикутна, то АВСD квадрат і А1В1 = АD.∆ А1АD – прямокутний з гіпотенузою А1D, то за теоремою Піфагора А1А2 = А1D2 - АD2 = = 6,25 – 6 = 0,25; А1А = √0,25 = 0,5 (см).V = SABCD ∙ А1А = 6 ∙ 0,5 = 3 (см3).

Даний залізничний насип можна розглядати як пряму призму, основа якої трапеція, з висотою 1000м (а = 8 м, b = = 14 м, hосн. = 3,2 м, hпризми = 1000 м.).

V = Sосн. ∙ H = 14+8

2 ∙ 3,2 ∙ 1000 = 35200 (м3).

Об’єм піраміди V = 13 ∙ a2 √3

4 ∙ √b2−a2

3 = a2 √3 ∙√3b2−a2

12√3 = a2 √3 b2−a2

12 .

Об’єм піраміди V = 13 ∙ a2 ∙ √b2−a2

2 = a2 √4 b2−2 a2

6 .

35. Бічні ребра трикутної піраміди взаємно перпендикулярні і кожне ребро дорівнює b. Знайти об’єм піраміди.

В

A ОС

S

ВA С

D

S

О

1) У правильній трикутній піраміді основою є

рівносторон-ній трикутник, площа якого S3 = a2 √34

. Основа висоти SO піраміди збігається з центром кола радіуса R, описанного навколо рівностороннього

трикутника, де OA = R = a√33

.

∆ SOA – прямокутний з гіпотенузою SA = b, OA = a√33

. За теоремою Піфагора знайдемо висоту піраміди SO:

SO2 = SA2 – OA2 = b2 - ( a√33 )

2

= b2 - a2

3; SO = √b2−a2

3 .

2) У правильній чотирикутній піраміді основою є квадрат, площа якого S4 = а2.Основа висоти SO піраміди збігається з центром кола

радіуса R, описанного навколо квадрата, де OA = R = a√22

.

∆ SOA – прямокутний з гіпотенузою SA = b, OA = a√22

. За теоремою Піфагора знайдемо висоту піраміди SO:

SO2 = SA2 – OA2 = b2 – ( a√22 )

2

= b2 - a2

2; SO = √b2−a2

2 .

В

A

СD

S

О

N M

3) У правильній шестикутній піраміді основою є

рівносторонній шестикутник, площа якого S6 = 3√32

∙ a2.

Основа висоти SO піраміди збігається з центром кола радіуса R, описанного навколо рівностороннього шестикутника, де OA = R = а.∆ SOA – прямокутний з гіпотенузою SA = b, OA = а. За теоремою Піфагора знайдемо висоту піраміди SO: SO2 = SA2 – OA2 = b2 – а2; SO = √b2−a2 .

Об’єм піраміди V = 13 ∙ 3√3

2 ∙ a2 ∙ √b2−a2 =

= a2 √32

∙ √b2−a2.

Розв’язок

SO ⊥ (ABC), то ∆ SOA = ∆ SOB = ∆ SOC за гіпотенузою і катетом (SO – спільна, SA = SB = = SC). З рівності трикутників маємо, що ОА = ОВ = ОС і, отже, точка О – радіус кола , описаного навколо ∆ АВС.

ОА = R = AB√3

= b√2√3

; SO2 = AS2 – OA2 = b2 - ( b√2√3 )

2

= b2 - 2b2

3= b2

3 . SO = √ b2

3 =

b√3

.

Vпіраміди = 13 S∆ABC ∙ SO =

13 ∙ b2 √3

2 ∙ b

√3 = b

3

6 .

36. Через середину висоти піраміди проведено площину, паралельно основі. В якому відношенні вона ділить об’єм піраміди?

Розв’язок

VSA1B1C1D1 = 13 SA1B1C1D1 ∙ SO1 =

13 ∙ 14 ∙ SABCD ∙

12 SO =

124 ∙ SABCD ∙ SO.

Vзр. піраміди = VSABCD - VSA1B1C1D1 = 13 SABCD ∙ SO -

124 ∙ SABCD ∙ SO = ( 1

3− 1

24 ) SABCD ∙ SO =

= ( 824

− 124 ) SABCD ∙ SO =

724 SABCD ∙ SO.

VSA1B1C1D1 : Vзр. піраміди = 1

24 ∙ SABCD ∙ SO : 7

24 SABCD ∙ SO = ( 124

: 724 ) = ( 1

24∙ 24

7 ) = 17 .

37. Радіус основи циліндра 2 м, висота 3 м. Знайти діагональ осьового перерізу.

В

A О

С

S

В

A

С

D

S

О

D1

С1В1

А1

О1

Оскільки бічні ребра трикутної піраміди взаємно перпендикулярні, грані - прямокутні рівнобедрені трикутники, рівні між собою, то піраміда правильна. Так як ∆ ASB прямокутний з гіпотенузою АВ, то АВ2 = AS2 + SB2 = b2 + b2 = 2 b2; АВ = b√2.

∆ ABC рівносторонній, то S∆ ABC = AB2 √34

= 2b2√34

=

= b2 √32 .

Площина, проведена параллельно основі піраміди, відтинає від неї піраміду, подібну до даної.

Знаходимо коефіцієнт подібності k: k = SO1

S O = 0,5 SO❑

SO =

12 ;

SO1 = 12 SO.

Площі подібних фігур відносяться як квадрати їх відповідних лінійних розмірів. Отже,

SA1B1C1D1 = ( 12 )

2

∙ SABCD; SA1B1C1D1 = 14 ∙ SABCD.

VSABCD = 13 SABCD ∙ SO.

Розв’язок

38. Висота циліндра 6 см, радіус основи 5 см. Знайти площу перерізу, проведеного паралельно осі циліндра на відстані 4 см від неї.

Розв’язок

39. Радіус основи конуса 3 м, висота 4 м. Знайти твірну.Розв’язок

40. Радіус основи конуса R. Осьовим перерізом є прямокутний трикутник. Знайти його площу.

Розв’язок

В

AО

С

D

O1

СВ

АО

А1

В1

S

АО

Нехай радіус основи циліндра ОА = 2 м, висота – ОО1 = 3 м. Тоді осьовий переріз – прямокутник зі сторонами АD = 4 м і АВ = 3 м. За теоремою Піфагора АС2 = АВ2 + ВС2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25.АС = √25 = 5 (м).

Переріз циліндра — прямокутник, у якого бічні сторони - твірні циліндра, а основа — хорда кола АВ, яка знаходиться від центра О на відстані 4 см. Оскільки радіус кола дорівнює 5 см, а хорда знаходиться на відстані 4 см від центра, то довжина хорди АВ = 2√52−42 = 6 (см). Отже, площа перерізу S = 6 ∙ 6 = 36 (см2).

Нехай радіус основи конуса ОА = 3 м, висота SO = 4 м. Висота, радіус і твірна SA утворюють прямокутний трикутник SOA з гіпотенузою SA. За теоремою Піфагора SA = √ОА2+SO2 = √32+42 = √9+16 = √25 = 5 (м).

41. Конус перетнуто площиною, паралельною основі, на відстані d від вершини. Знайти площу перерізу, якщо радіус основи конуса R, а висота Н.

Розв’язок

42. Висота конуса Н. На якій відстані від вершини треба провести площину, паралельну основі, щоб площа перерізу дорівнювала половині площі основи?

Розв’язок

Так як висота конуса SO = H, то Hx =

Rr = √2, x =

H√2

.Отже, площа перерізу буде дорівнювати половині площі основи конуса, якщо його

побудувати на відстанні H√2

від вершини S, де Н висота конуса.

43. Радіуси основ зрізаного конуса 3 м і 6 м, висота 4 м. Знайти твірну.Розв’язок

S

АО В

S

А

ОВ

А1

В1 О1

S

А

ОВ

А1

В1 О1

SO1 = d, OA = R, SO = Н.Побудуємо ∆ SAB – осьовий переріз конуса. Так як конус перетнуто площиною, паралельною основі, то утворений переріз круг. ∆ SAО SA1О1 за двома кутами.

Тоді А1О1

АО =

SO1

SO; r

R = dH , де r – радіус перерізу. r =

dRH .

Площа перерізу Sпер. = πr2 = π( dRH )

2

= π d2 R2

H 2 .

Якщо площа перерізу дорівнює половині площі основи, то

Sпер. = 12 ∙ Sосн..

Sосн. = πR2, Sпер. = πr2, де R = ОА, r = О1А1, тоπ R2

π r2 = R2

r2 = 2.

Rr = √2.

∆ SAО SA1О1 за двома кутами.Нехай площа перерізу дорівнює половині площі основи, якщо його

побудувати на відстанні х від вершини S. Тоді SO

S1O1 =

Rr .

АА1В1В – осьовий переріз зрізаного конуса. Так як основи зрізаного конуса паралельні, то АА1В1В – рівнобічна трапеція АВ = 2R = 12 м; А1В1 = 2r = 6 м. Побудуємо А1А2 ⊥ АВ і В1В2 ⊥ АВ, де А1А2, = В1В2 = О1О.Трикутники АА1А2 і ВВ1В2 прямокутні і рівні за гіпотенузою і катетом. З рівності трикутників маємо: АА2 = ВВ2. Тоді АА2

+ ВВ2 = АВ - А1В1; 2∙ АА2 = АВ - А1В1;

Осьовим перерізом є прямокутний трикутник АSB у якого лише ∠ S може дорівнювати 90°. Отже ∆ АSB прямокутний, рівнобедрений з гіпотенузою АВ = 2R. За теоремою Піфагора SA2 + SB2 = AB2. Так як SA = SB, то 2AS2 = AB2.

AS2 = 12 AB2 =

12 (2R)2 =

12 4R2 = 2R2.

S∆ ABS = 12 ∙ AS ∙ BS =

12 ∙ AS2 =

12 ∙ 2R2 = R2.

Отже, S∆ ABS = R2.

44. Радіуси основ зрізаного конуса 3 дм і 7 дм, твірна 5 дм. Знайти площу осьового перерізу.Розв’язок

Так як ∆ АА1А2 прямокутний з гіпотенузою АА1, то за теоремою Піфагора А1А2

2 = АА12 - АА2

2 = 52 - 42 = 25 - 16 = 9. А1А2 = 3 дм.

Sпер. = 12 (АВ + А1В1) ∙ ОО1 =

12 (14 + 6) ∙ 3 = 30 (дм2).

Отже, Sпер. = 30 дм2.

45. Кулю радіуса R вписано у зрізаний конус. Кут нахилу твірної до площини нижньої основи конуса дорівнює α. Знайти радіуси основ і твірну зрізаного конуса.

Розв’язок

А

ОВ

А1

В1 О1

АОВ

А1

В1

О1

А2

В2

А

ОВ

А1

В1 О1

АОВ

А1

В1

О1

А2

В2

АА1В1В – осьовий переріз зрізаного конуса. Так як основи зрізаного конуса паралельні, то АА1В1В – рівнобічна трапеція АВ = 2R = 12 м; А1В1 = 2r = 6 м. Побудуємо А1А2 ⊥ АВ і В1В2 ⊥ АВ, де А1А2, = В1В2 = О1О.Трикутники АА1А2 і ВВ1В2 прямокутні і рівні за гіпотенузою і катетом. З рівності трикутників маємо: АА2 = ВВ2. Тоді АА2

+ ВВ2 = АВ - А1В1; 2∙ АА2 = АВ - А1В1;

АА1В1В – осьовий переріз зрізаного конуса. Так як основи зрізаного конуса паралельні, то АА1В1В – рівнобічна трапеція АВ = 2R = 14 дм; А1В1 = 2r = 6 дм.АА1 = ВВ1 = 5 дмПобудуємо А1А2 ⊥ АВ і В1В2 ⊥ АВ, де А1А2, = В1В2 = = О1О.Трикутники АА1А2 і ВВ1В2 прямокутні і рівні за гіпотенузою і катетом. З рівності трикутників маємо: АА2 = ВВ2. Тоді АА2 + ВВ2 = АВ - А1В1;

2∙ АА2 = АВ - А1В1;2∙ АА2 = 14 м – 6 дм;

2∙ АА2 = 8 дм;АА2 = 4 дм;

А

О

ВВ1

СR

Rβ

А1

Побудуємо переріз зрізаного конуса площиною β, яка проходить через вісь конуса. У перерізі дістанемо рівнобічну трапецію, описану навколо кола радіуса R, у якої бічні сторони — твірні конуса, а гострий кут при нижній основі дорівнює α. Радіус ВВ1 нижньої основи конуса знаходимо з прямокутного трикутника ОВ1В, у

якого ∠ В = α2 . ВВ1 =

О В1

tgOB B1 =

R

tg α2

.

Твірну АВ конуса знаходимо з прямокутного трикутника

АСВ: АВ = 2 R

sinα .