Quantum Mechanics I

L + D&E + SLecture + Discussion&Exercise + Seminar

Professor: 庄鹏飞 (High Energy Nuclear Physics) Doctor students: 何联毅 (High Energy Nuclear Physics) 屈真 (High Energy Nuclear Physics)梅佳伟 (High Temperature Superconductivity)

清华大学精品课程, 北京市精品课程

1.充分认识量子力学在科学研究中的重要性量子力学(高等量子力学),量子场论：原子分子物理,光学,凝聚态,核物理,粒子物理,……结论:没有量子力学,几乎不能做任何物质科学研究!

2.充分认识学习量子力学的困难1)经典物理在日常生活中有对应现象, 量子力学很难找到日常生活对应2)量子力学与经典物理的思想方法有本质不同3)既难于理解,也难于处理,需要更多数学

3.有哪些要求1) 分析力学,高等数学2) 勤于思考,多做习题

4.我们的教学模式讲授(Lecture)+讨论与习题(Discussion & Exercise)+专题研究(Seminar) 世界一流大学理论物理教学的通用模式

4.1: L大班上课：强调基本概念,基本思想,例如 Hilbert空间表述, Dirac符号,测量理论, 对称性, 等等. 参考教材: Griffiths, Sakurai,苏汝铿,曾谨言,张永德,等

4.2: D&E 小班讨论内容:1)联系授课(L)内容,TA提示问题或学生提示问题,讨论; 2)难题解答特点:1)师生共同正确,深刻理解QM;2)有机会使学生对问题提出自己的看法(L被动，D&E和S主动)3)理论联系实际,解答困难习题; 4)规范,开放的讨论氛围.

4.3: 量子力学网站:http://qm.phys.tsinghua.edu.cn课程介绍,教师与TA联系方式,讲义,作业，答案，通知，其他3个讨论区:量子力学一般问题,量子力学高级论坛,量子力学教学建议

4.4: S 内容: 与科学研究相关的小课题目的: 深入理解,应用知识,专深发展,学习科研方法,进行科研训练,培养科学精神方式: 教授出题,学生选题(也可以学生自己找题),教授指导,学生调研,解决问题(?),最后报告

4.5: 时间分配1) L,D&E在本学期,必修,4学分,共64学时,其中L为48学时,D&E为16学时,L/D&E=3/1 2) S在下学期,选修,2学分

4.6: 考试方式60-70%期末考试 + 20-30%讨论课成绩 + 10%习题

4.7: TA 共4个TA, 3个讨论课TA, 1个on-line TA讨论课TA:何联毅负责基科51，52，53 共24人屈 真负责基科54，55，56，物理41，42 共24人梅佳伟负责其它22人1)每两周主持1次小班讨论课, 2)作业全改(每周一按小班交作业至物理系,同时取回上次作业,每人准备2个作业本), 3)on-line答疑4)经常性的联系on-line TA:郝学文1)量子力学网站运行与维护2)on-line答疑3)协助改作业

游戏规则

教师与TA: 必须认真负责学生: L: 可来可不来,可早退,但不可影响别人。S：下学期,可参加,可不参加,姜太公钓鱼,愿者上钩。D&E: 必须参加。作业： 必须交。多看量子力学网站：http://qm.phys.tsinghua.edu.cn

第一章 波函数

1.1 波粒二象性

什么是波粒二象性？是指几何形状，还是指运动形态？

1）光的波粒二象性

hε ν= ， p hλ

=

其中，ε 、 p 是粒子的物理量，ν 、λ是波动物理量。

波粒二象性是指物理量的取值既具有粒子性，也具有波动性。不是指几何形状，也不是指运动形

态。

2）原子的量子论描述

a. 电子具有确定的分离轨道。“确定”是经典的，“分离”是量子的。（经典轨道是连续的）

b. 跃迁 mh E Enν = − ，体系的性质与两条轨道的关联相关 矩阵力学。“轨道”是经典的，“两条”

是量子的。矩阵→不对易。

→

c. 跃迁几率：量子论不能给出结果。

问题：如何自洽地描述微观粒子的运动？ 量子力学 →1.2 电子双缝衍射实验

1

实验结果：

只开缝 1，强度分布为 ( ) 21 1I ( )x xψ= ;

只开缝 2， ( ) 22 2I ( )x xψ= ；

同时开缝 1 和 2， 21 2 1I ( ) ( ) I 2x xψ ψ= + ≠ + I ，电子具有衍射特性，波动性。

实验分析：

一次只发射一个电子，屏上开始出现随机的光斑分布，长时间后出现衍射条纹。

光斑说明粒子性，但随机说明统计性，故不是经典粒子，而是统计意义上的粒子；

衍射条纹说明波动性，但只有长时间才有统计性，故不是经典波动，而是统计意义上的波动；

合起来说明粒子的位置力学量具有统计意义上的波粒二象性。

一个电子说明波粒二象性是微观粒子的固有特性，不是多个粒子相互作用的结果。

总结：

1）观察物理量 ( )x 的取值时既观察到粒子性质，又观察到波动性。

粒子性：物理量的取值具有颗粒性，一份一份的；

波动性：物理量的取值不确定；

2）粒子性与波动性都是从力学量取值的统计意义来理解，不是指运动的空间位形。

注意：

此处的统计根源与经典统计不同。每次发射一个电子，即使初态完全相同，也仍具有统计意义上

的波粒二象性，而每一次丢一枚硬币，若初始条件完全相同，则每一次结果同。

1.3 Born 统计解释（将力学量 x取值的粒子性与波动性统一起来）

引入几率波函数 r tψ r（ ， ），

2r t r t

ψρ

⎧⎪∝ ⎨⎪⎩

r

r波幅的平方 （ ， ） 波动性

衍射条纹强度粒子出现的几率（ ， ） 粒子性

，

那么微观粒子在 t时刻位于 的几率密度为 rr

2 *r t r t r t r tρ ψ ψ ψ∝ =

r r r r（ ， ） （ ， ） （ ， ）（ ， ）

注意波函数一般为复函数。

基本量是波函数ψ ，虽然本身不是可观察物理量，但它描述物理量 rr取值的几率。

2

1.4 几率波的一般性质

1）几率归一化

粒子在全空间出现的几率为 1。

a) 若 ( ) 23 , Ad r r tψ = < ∞∫r r

，波函数平方可积

则 ( )2

3 1 , 1A

d r r tψ =∫r r

，称 (1 ,A

r tψ )r为归一化波函数， ( ) 21( , ) ,r t r t

Aρ ψ=r r

。

b) 对于某些理想（非物理）情况，波函数不能归一，例如：

( ) ( ), i k r tr t e ωψ ⋅ −=r rr

，波矢 kr，频率ω。

此时 ( ) 23 ,d r r tψ = ∞∫r r

，波函数平方不可积。

但是不能归一并不影响相对几率

( )( )

21

22

,

,

r t

r t

ψ

ψ

r

r 与归一化无关

以后要讨论它们的归一化问题，可以用箱归一化。

c) 注意：

*) 在统计解释中，ψ 的意义是通过2ψ 来定义的，ψ 本身无意义。归一化后，ψ 仍有相位不确定

性

( ) ( ) 22, ,ir t e r tαψ ψ=r r

，

统计解释是否包含了波函数全部信息？

*）经典波无归一化问题

ψ 和Cψ 是完全不同的，后者能量密度是前者 倍。 2C

2）经典粒子：确定的力学量 。 ,q p

量子粒子：力学量（例如位置）不确定，只有几率确定 ( ) 2( , ) ,r t r tρ ψ∝r r

，导致平均值确定

( )( )

23

23

,( )

,

d r r r tr t

d r r t

ψ

ψ= ∫∫

r r rr

r r 。

⇒ 经典力学中力学量 F 的规律应该对应于量子力学中<F>的规律

1

例如 E T V E T V= + → = +

3）力学量的几率分布确定→ ( ,r t )ψ r单值；

力学量的几率分布有限→ ( ,r t )ψ r有限；

一般情况下，几率分布连续→ ( ,r t )ψ r连续。但不排除存在个别孤立奇点，几率分布不连续（以

后详细讨论）。

总结:

归一、单值、连续、有限是一般条件下几率解释对 ( ),r tψ r的物理约束条件。

1.5 Schrödinger 方程

1）几率波 ( ,r t )ψ r的时空演化

Schrödinger，1926：

( ) ( ) (2

2i , ( V r, t )t 2m

r t r tψ ψ∂= − ∇ +

∂

r rh ),r rh

对于自由粒子，

( ) ( )2

2i ,t 2m

r t r tψ ψ∂= − ∇

∂

rh ,r rh

可以证明平面波

( )( )( ),

i p r Eti k r tr t Ae Aeωψ⋅ −⋅ −= =r rr r

hr

（由 De Brogile 关系 ,ε ω= h p =rr

hk ）

是自由 Schrödinger 方程的解。

注意：

a) 虽然一般情形时力学量取值不确定，但平面波具有确定动量 pr 和能量 E。

b) S-方程是基本运动方程，地位如同经典力学中的牛顿方程，不可能推出，是量子力学基本假定

之一；

c) 方程包含因子 i，要求 ( ,r t )ψ r为复函数，否则方程两边一边为虚函数，一边为实函数。所以平

面几率波只能是( )i k r tAe ω⋅ −r r

，不能是 ( )ACos k r tω⋅ −r r

。

2）几率守恒

2

22

22

i ( V )t 2 m

-i ( V ) , (V V )t 2 m

ψ ψ

ψ ψ∗ ∗

∂= − ∇ +

∂∂

= − ∇ + = ∗

∂

rhh

rhh

可以证明，几率密度2 *r t , ) r t r tr tρ ψ ψ ψ=

r rr（ ， ）= ( （ ， ）（ ， ）

r满足连续性方程

( )r t j r t 0tρ∂

∇ ⋅ =∂

rrr r（ ， ）+ , ，

( ) ij r t ( )2m

ψ ψ ψ ψ∗ ∗−= ∇ − ∇

r r rr h,

jr的物理意义时什么？

对有限空间积分：

( )3 3r r t r j r td dρ∂V V

0t

∇⋅ =∫ ∫∂

rrr r r r（ ， ）+ , ，

(3

V S

d r r t S j r tdt

d dρ ⋅∫ ∫r )rrr r r

（ ， ）=- ,

定域几率守恒：区域 V 内几率的变化=流出面积Sr的几率，故称 j

r为几率流密度。

定域质量守恒： ( )m mr t j r t 0tρ∂

∇ ⋅ =∂

rrr r（ ， ）+ , m mm , j mjρ ρ= =

r r

定域电荷守恒： ( )e er t j r t 0 tρ∂

∇ ⋅ =∂

rrr r（ ， ）+ , e ee , j ejρ ρ= =

r r

位置的不确定，导致质量、电荷分布的不确定，按几率分布。

若对整个空间积分：

(3d r r t S j r tdt

d dρ∞ ∞

⋅∫ ∫ )rrr r r

（ ， ）=- , ，

由于

( )S j r t 0d∞

⋅ =∫rr r

,

故

3r r td ρ∞∫

r r（ ， ）与时间无关，是一常数。

3

意味着

a）若几率波是可以归一的，则归一化与时间无关。S-方程保证了归一性不随时间而变。

b）总几率守恒，无粒子的产生与消灭，S-方程描述的是非相对论量子力学。

c）由 的形式，jr

( )S j r t 0d∞

⋅∫rr

=r, 意味 ( ), 0r tψ →∞ →

r。

3）若 V 中不含与波函数相关的量，S-方程是关于 ( ),r tψ r的线性方程。若 1,... mψ ψ 是方程的解，则

它们的任意线性迭加仍是方程的解。

1.6 态函数、测量与态叠加原理

1）态函数

粒子的位置几率分布 ( ) 2,r tψ r

，其他力学量的取值几率？例如动量。如果几率波只能给出 rr的

几率分布，而不能给出其他力学量的几率分布，则几率波不能完全确定体系的状态。如果几率波

能给出所有物理量的几率分布，则可称 ( ),r tψ r为体系的态函数。知道了 ( ,r t )ψ r

，则知道了体系力

学量的所有性质。

对于平面几率波，动量有确定取值。对于任意的几率波，频率、波矢不确定，故动量、能量

不确定，但可以由平面波展开（付里叶展开）：

( )( )

( )( )

i3 ( p E t )

3 /2

i3 ( p E t )

3 / 2

d p, p ,2

dp , , e2

r

r

r t t

rt r t

eψ ϕπ

ϕ ψπ

∞ ⋅ −

−∞

∞ − ⋅ −

−∞

=

=

∫

∫

r r

h

r r

h

rrr

hr

r r

h

（ ）

（ ）

此处引入因子 是考虑到平面波的( )3/ 21/ 2πh δ 函数归一化

( )( )3

3/ 21

2

i p rd r e pδ

π

⋅=∫

r r

hr r

h

问题： ( ,r t )ψ r是位置几率幅， ,p tϕ r

（ ）的物理意义是什么？

由

( ) 23 ,r d r r r tψ∞

−∞= ∫

r r r r

( ) 23d ,dt

r d r r r ttψ

∞

−∞

∂=

∂∫r r r r

由 S-方程

4

( )3 *d

dt 2r i d r r

mψ ψ ψ ψ

∞ ∗

−∞= ∇ ⋅ ∇ −∫

r r r rh r r∇

由分部积分，并考虑 ( ), 0r tψ →∞ →r

，

3 *d( )

dt 2r i d r

mψ ψ ψ ψ

∞ ∗

−∞= − ∇ − ∇∫

r r rh r

再对括号中第二部分进行分部积分，

3ddtr i d r

mψ ψ

∞ ∗

−∞= − ∇∫

r rh r

由于平均值满足经典力学规律，

3d ( )

drdrp m p m d r i

dt tψ ψ

∞ ∗

−∞= ⇒ ≡ = − ∇∫

rr rr r rh

代入 ( ,r t )ψ r的付里叶展开式

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

1 2

2 1

i i3 3 3 (p Et) (p Et )1 2

1 23

i3 3 3 ( )1 21 2 23

3 31 2 1 2 2 2 1

23

p , t e ( ) p , t e(2 )

= p , t p , t e(2 )

= p , t p , t ( )

= p,

r r

p p r

d rd p d pp i

d rd p d p p

d p d p p p p

d p p t

ϕ ϕπ

ϕ ϕπ

ϕ ϕ δ

ϕ

− ⋅ − ⋅ −∗

− ⋅∗

∗

= − ∇

−

∫

∫

∫∫

r rr r

h h

r r r

h

r r r rr rrh

hr r r

r r r

hr rr r r r r

rr r

与

( ) 23 ,r d r r r tψ∞

−∞= ∫

r r r r

进行比较，知 ( ) 2p, tϕ r

是动量取值为 的几率。由于pr ( ),r tψ r确定时， ( )p, tϕ r

确定，并且以后可以

证明，其他力学量的取值几率也是确定的，即给定 ( ),r tψ r，态的性质就确定了。故称几率波 ( ),r tψ r

为态函数。由于给定 ( )p, tϕ r时， ( ,r t )ψ r

亦确定，故 ( )p, tϕ r也可以称之为系统的态函数。

5

2）测量

在电子双缝衍射实验中，每一次只发射一个电子。

落在屏幕之前：不知道光斑在哪，只知道以不同几率落在不同位置。几率 ( ) 2,r tψ 确定，但位

置不确定。

落到屏幕时：每一次光斑都有确定的位置。放个屏幕就是测量电子的位置。

说明：测量使得态函数发生了改变，从物理量没有确定值的态塌缩到了所测物理量有确定值

的态。

设体系态函数 ( )rψ ，坐标与动量均无确定值，但每一次测量坐标或动量都会有确定值，而有

确定坐标 的态0r ( ) ( )0r r rψ δ∝ − ，确定动量值的态函数是平面波。因此测量坐标使得态函数从

( )rψ 坍缩到了 态，测量动量使得态函数从( 0r rδ − ) ( )rψ 坍缩到了动量有确定值的平面波态。

测量的结果是力学量有一个确定值，说明测量使得体系的粒子性质得以体现，或者可以说，

测量产生了粒子。

具体是什么原因导致坍塌，仍是一个 open问题。

量子力学中的测量问题好象有点类似投掷硬币。投掷前不知道是正面还是反面，但每一次的结

果总是确定的。但是，掷硬币时预先不知道是正面还是反面，是由于每次丢硬币的条件（测量）

都不完全相同，导致结果不确定。若每次测量完全相同，则必然结果相同。而量子力学中即使每

次测量相同，结果也不同。故测量导致态的塌缩，但塌缩到哪个态测量之前不知道。

3）态叠加原理

怎样理解在态 ( )rψ 中物理量无确定值，但一测量该物理量便有了确定值这一矛盾？

态迭加原理：当体系处于态 ( )rψ 时，它以不同的几率处于力学量有确定值的态 ( )1 rψ ，

( )2 rψ ，…，即部分地处于 ( )1 rψ ， ( )2 rψ ，…。

态迭加原理也可以表述成：若 1ψ ， 2ψ … nψ 是体系可能的态，则其任意线性叠加仍是体系的

可能态。

注意，并不要求 1ψ ， 2ψ … nψ 一定是某物理量有确定值的态。

态迭加原理与 Schrodinger方程是线性方程是一致的。

量子力学中的态叠加原理与经典波的叠加原理的不同在于经典波的叠加不涉及测量问题。

1

第二章 量子力学基本结构 1）由态迭加原理，或S-方程是一个线性方程，体系的态的线性叠加仍然是体系的态，表明

态的行为像线性空间中的矢量。2）又由跃迁与二个态相关，说明体系的力学量类似于一个线性

空间的矩阵，每个力学量的取值都与两个指标相关。3）另外， ( ),r tψ ， ( )p, tϕ 表示同一个态，

类似于线性空间中同一矢量在不同的基矢下的表示。

由此，本章将在线性矢量空间中建立量子力学的数学语言。

2.1 Hilbert空间

1）先考虑熟悉的 3维矢量空间

基矢： , 1, 2,3ne n =

基矢完备性： 任意矢量3

1n n

nA a e

=

= ∑

点积： ,

n m n mn m

A B a b e e⋅ = ⋅∑

矢量模方： 0A A⋅ ≥

若基矢正交归一： n m nme e δ⋅ =

有点积矩阵形式： n nn

A B a b A⋅ = = B∑ ，其中矩阵

1

2 1 2

3

, ( , , )a

3A a A a a aa

⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

矢量的分量（矩阵元，投影）： n na e= ⋅ A

显然，矩阵元与基矢的选取有关。例如直角坐标与球坐标中的矩阵元是不同的。

2）Hilbert空间

将 3维矢量空间扩展到任意维数的复矢量空间：

3 →

→

维 任意有限维、无限维、连续维

常矢量 复变函数矢量

2

用 Dirac符号表示矢量： a

对于复矢量，为了表示其复共轭矢量，引入左矢 a 。左矢与右矢互为复共轭。一个矢量既可以用

右矢 a ，也可以用左矢 a 表示。

基矢： 离散空间 n ，连续空间 f

基矢完备性： 任意矢量：

nn

f

a na

df a f

⎧⎪= ⎨⎪⎩

∑

∫，

*

*

nn

f

a na

df a f

⎧⎪= ⎨⎪⎩

∑

∫

点积：

*

,

*'' '

n mn m

f f

a b n ma b

dfdf a b f f

⎧⎪= ⎨⎪⎩

∑

∫

矢量模方： 0a a ≥

若基矢正交归一： ' (

nmn m

')f f f

δ

δ

=

= − f

有点积矩阵形式：

*

*

n nn

f f

a b a ba b

dfa b a b

+

+

⎧ =⎪= ⎨⎪ =⎩

∑

∫，其中矩阵

1

2

n

aa

a a

a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟↔ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

， ( )* * *1 2 na a a a a+↔ =

矢量的分量（矩阵元，投影）： ma m a= ， fa f a=

基矢完备性： nn n n

a a n n a n n n= = =∑ ∑ ∑ a

由于 a 是任意矢量，有 1n

n n =∑

由于 n

n n n n+=∑ 是一矩阵，故 1应该理解为单位矩阵。

例如在 3D空间，基矢

1 01 0 , 2 1 , 3 0 ,

0 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0

1

( ) ( ) ( )1 1 0 0 , 2 0 1 0 , 3 0 0 1= = =

完备性条件是

3

( ) ( ) ( )1 0 00 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 10 0 1

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0

0 0 1

nn n

I

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

在连续空间的完备性条件是 1df f f =∫ 。

4

2. Hilbert空间中的线性变换

变换是一种对矢量的运算。

三维空问中的变换：矢量平移，旋转等。

以下主要考虑分离空间形式。

线性变换： ( ) bTaTbaT ˆˆˆ βαβα +=+

T 可以是常数、微分等，但 不是线性变换。

线性变换 将一个矢量变为该空间的另一个矢量： T

'ˆ aaTa =→ 。

若知道变换 对基矢T n 的作用，则对任意矢量 α 的作用也就知道。

由完备性条件，

nTmmnTnnm

ˆˆ' ∑==→ ，

记 ˆmnT m T= n ，

则 m

ˆmnT n T m=∑

表明：线性变换算符 在 Hilbert空间中是一个方阵，矩阵元为T ˆmnT m T= n 。

对于任意矢量 a ，

,

ˆ ˆ' mn nm n m n

a a T a m m T n n a T a m⎛ ⎞→ = = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

na 是矢量 a 在基矢 n 上的分量：

∑ ∑==n n

n naanna ，

由 ∑=m

m maa ''

有 ， ∑=n

nmnm aTa '

写成矩阵形式： ， ， ， Taa ='

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

Na

a

a..1

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

'

'1

.

.'

Na

a

a

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

NNN

N

TT

TT

T

..........

..

1

111

1

3. 变换算符（矩阵）的本征值和本征矢

算符的本征方程：

aaT λ=ˆ ，

λ称为本征值， a 称为本征矢。

矩阵形式（自己用完备性条件证明）：

( ) 0=−=

aITaTa

λλ

本征矢矩阵 的条件： 0≠a

det( ) 0T Iλ− = ，

即久期方程：

11 12 1

21 22 2

1 2 NN

TT

0

TN N

T TT T

T T

λλ

−−

=

N

N

⋯

⋯

⋯

，

从而求得 N个本征值λ，将任意一个代入本征方程

( ) 0=− aIT λ

得到对应的本征矢a。

例：求变换矩阵 的本征值和本征矢。 1 0

=0 -1

T ⎛ ⎞⎜⎝ ⎠

⎟

久期方程为1 0

00 -1-λ

λ=

- ，即 2 1 0λ − = ，

本征值为 1λ ±= 。

设本征矢为 。 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1

aa

a

取 =1λ ， ，求得归一化后本征矢为 ； 1

2

0 00

0 2αα⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠

=10⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

类似，取 1λ=- ，求得对应的本征矢为 。 01⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4. 厄米算符（矩阵）

矩阵T 的厄米共轭矩阵 ,~*TT =+ ， *,ij jiT T+ =

2

若 ， ( )= , = ijijT T T T+ +

则称 为厄米矩阵。 T

以下讨论厄米矩阵的性质。

1） ， ( )AB B A+ +=∵ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )bTabTabaTbaTTbabTabTa ˆˆˆˆˆ =≡===≡∴ +++++ 。

若 不是厄米算符，作用在右矢和左矢上是不同的；若 是厄米算符，即T T ˆ ˆT T += ，则：

( ) ( )bTabTa ˆˆ =

表明：厄米算符作用在右矢和左矢上是相同的

故可以去掉括号，写成 bTa ˆ 。

2）设 的本征方程为T ˆ =T i iλ ，两边取厄米共轭，则有：

iiii

iiiTi

iTi

*

*

*

ˆ

ˆ

λλ

λ

λ

=

=

=

故 *λ λ= 。

表明：厄米算符的本征值为实数

3）设有本征方程为：

ˆ = iT i iλ ， ˆ = jT j jλ ， 其中 i jλ λ≠ 。

( )

*

ˆ =

=

=0

j

i j

i j

i T j i j

i j i j

i j

λ

λ λ

λ λ−

∵

，

因为 i jλ λ≠ ，

故 =0i j 。

表明：厄米算符属于不同本征值的本征态正交。由于总可以构造归一化态，故有正交归一：

对于分离非简并情形： = iji j δ ；

对于连续非简并情形： ( )' 'f f f fδ −= 。

若存在简并，即同一本征值对应多个本征态，例如有 g重简并：

ˆ , = , 1,...iT i j i j j gλ = ， ，

3

有两种方法来保证仍然有正交归一。

a） 线性叠加正交法（施米特正交法）：

重新定义g个新态：

1

, = , 1,2,...g

njj

i n C i j n g=

=∑ ，

1 1

ˆ ˆ, = , = , = ,g g

nj i nj ij j

T i n C T i j C i j i nλ λ= =∑ ∑∵ ，

,i n∴ 仍然是 的属于本征值T iλ 的本征态。

通过合适的选取系数 ，可使得这g个新态正交归一： njC

, , mni m i n δ=

共有 g个归一化方程2g g+2−个正交方程

( )g g 1=

2+个方程 个待定系数 ，故有多种选择来

决定满足正交归一化条件的系数 ，使得新态

2g< njC

njC ,i n 正交归一：

, , ij mni m j n δ δ= ，

ijδ 来自于不同本征值的本征态的正交归一， mnδ 来自于线性叠加正交法。

b） 引入厄米算符组：

从物理上说，一个本征值对应多个本征态说明该算符不足以完全描述这些本征态，必须引

入新的算符来刻划这些本征态之间的差别。引入另一个厄米算符 ，要求 的本征态也是 的

本征态，且无简并：

ˆ 'T T ˆ 'T

ˆ , = ,ˆ ' , = ,

i

ij

T i j i j

T i j i j

λ

λ，

则对于厄米算符组 ˆ ˆ, 'T T ，本征值 ,i ijλ λ 与本征态 ,i j 一一对应，无简并，故满足正交归一条

件：

' ', ', ' ,ii jji j i j δ δ=

结论：无论简并还是非简并，厄米算符的本征态正交归一。

4）可以证明：厄米算符的本征矢满足完备性条件（见比较高级的教科书），

4

1,

1

1

i

i

i i

df f f

i i df f f

=

=

+ =

∑

∫∑ ∫

或

或

故厄米算符的本征矢可以构成 Hilbert空间的一组正交归一的基矢。

5

5. 两组基矢之间的变换（表象变换）

正如在 3维空间中可选择直角坐标系，也可以选择球坐标系、柱坐标系一样。在 Hilbert空

间中，也可以选择不同的基矢（表象），不同基矢组之间的变换称为表象变换。

设有两个表象：

I 表象： 基矢 i

M表象：基矢 m

表象变换就是矢量和运算算符在两个表象的表示之间的转换。

1）基矢的变换

m

i m m=∑ i

定义表象变换矩阵 S，

miS m= i ，

是 I表象的基矢在 M表象的表示。

2）任意矢量矩阵的变换

I表象： =i

a i i∑ a ，

i a 是矢量 a 在 i 方向的分量，或称 a 在 I表象的表示。

M表象： m

a m m=∑ a

m a 是矢量 a 在 m 方向的分量，或称 a 在 M表象的表示。

mii i

m a m i i a S i a= =∑ ∑ ，

或者

M Ia S a=

3）任意算符矩阵的变换

I表象： ˆ= ijT i T j ，

M表象： * *

, , , ,

ˆ ˆ ˆ= = = mn mi ij nj mi ij jni j i j i j i j

T m T n m i i T j j n m i i T j n j S T S S T S += =∑ ∑ ∑ ∑

写成矩阵形式：

M IT ST S += 。

以下证明表象变换矩阵 S的两个性质。

1

4）表象变换矩阵是幺正矩阵

( ) **im mj mi mj ijij

m m m m

S S S S S S m i m j i m m j i j δ+ += = = = =∑ ∑ ∑ ∑ =

S

， 1S S+ =

同理可证： ， 1SS + =

故 1S S+ −=

表象变换矩阵为幺正矩阵。

注意S不是厄米矩阵， 。 S + ≠

5）表象变换不改变算符的本征值，这是物理要求。

设 I II IT a aλ= ，

则 ˆ ˆ ˆM I I I I IM I I I I

T a ST S S a ST a S a S a aλ λ λ+= = = = =M

说明： 在M 表象，本征值仍为 Iλ 。

6. 态与力学量

1）比较量子力学中态的线性叠加原理与 Hilbert空间中矢量的线性叠加，

基本假设：量子力学系统的态ψ 可由 Hilbert空间中的矢量 ψ 表示。

2）量子力学中力学量在一般的态中无确定的值，而一个算符作用到一般的矢量上也无确定的本

征值。

由坐标表象平均值的计算

( ) ( ) (23 3 * , , r d r r r t d r r t r rψ ψ ψ= =∫ ∫ ), t

( ) ( )3 , ( ) ,p d r r t i rψ ψ∗= − ∇∫ t

在坐标表象中定义

ˆ

ˆr r

p i

=

= − ∇，

故有

( ) ( )3 * ˆ, ,r d r r t r rψ ψ= ∫ t ，

( ) ( )3 ˆ, ,p d r r t p r tψ ψ∗= ∫ 。

在分析力学中， r和 是基本力学量，任意力学量 O可由它们表示， 。在量子力学中有 p ( , )O r p

2

ˆ ˆˆ ( , )O O r p= ，

( ) (3 ˆ ˆ, ( , ) ,O d r r t O r p rψ ψ∗= ∫ )t 。

基本假设：量子力学的力学量可用 Hilbert空间中的算符表示，任意力学量 在任意态F ψ 的平

均值

ˆF Fψ ψ= 。

3）由于力学量的平均值必为实数，必须有

( ) ( ) ( )

*

*

ˆ ˆ ,

ˆ ˆ ˆ

F F

F F F

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ +

=

⎡ ⎤= =⎣ ⎦

ψ

由于 ψ 是任意态，上式存立的条件： ，故力学量算符必为厄米算符。 ˆ =F F+ ˆ

4）力学量的测量值

在任意态 ψ ，力学量 F只有确定的平均值 ˆF Fψ ψ≡ ，取值分布

取值分布的方差

( ) ( )22 ˆ 0F F Fψ ψ∆ ≡ − ≠ 。

如果力学量 F在某一态 φ 有确定值，则取值分布为δ 函数， 有确定值，即平均值， F

方差为零

( )2ˆ 0F Fφ φ− =

3

即

( )( )ˆ ˆ- -F F F Fφ φ = 0，

ˆ -F F∵ 是厄米算符，

( ) ( )( )ˆ ˆ-F F F Fφ φ+

∴ = − ，

故方差为零的条件是

( )ˆ - 0F F φ = ， F Fφ φ= ，

故只有当体系处于力学量 的本征态时，F才有确定值，即 的本征值。 F F

在任意态 ψ ，每次测量 F时 ψ 塌缩到 有确定值的态。既然 只有它的在本征态有

确定值，故有

F F

基本假设：在任意态 ψ 对力学量 F进行测量，使得 ψ 塌缩到 F的一个本征态 n ，力学

量的测量值就是相应的本征值 。 nF

问题：F有一系列本征态，本征值，测量时态从 ψ 塌缩到其中一个具体的本征态。测

量之前能否知道塌缩到某一本征态的几率？

5）力学量的测量几率

本征方程 ˆnF n F n=

由于厄米算符本征矢的完备性，可由任意力学量 F的本征矢构成 Hilbert空间的一组基矢，

即表象 F：

基矢 n ，

正交归一 mnm n δ=

在任意态 ψ ，平均值

2*

, ,

ˆ

ˆ m nm n m n n n

F F F

n n F m m n F n m m n n F F n

ψ ψ

nψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

=

= = =∑ ∑ ∑ ∑=

n ψ 是态 ψ 在基矢 n 方向的分量，又称 ψ 在 F表象的表示。

基本假设：在任意态 ψ 测量力学量 F，测量值为 的几率为nF2

n ψ ，即态从 ψ 塌缩到 n

的几率为2

n ψ 。

4

7.坐标表象与动量表象

1) 坐标表象

本征方程 x x x x=

基矢 x

正交归一化 ' ( ')x x x xδ= −

完备性条件 1dx x x =∫

对于任意态 ψ ： dx x xψ ψ= ∫

( )x xψ ψ≡ 是态 ψ 在坐标表象的具体形式。

x的平均值 ˆ ˆ' 'x x dxdx x x x x x 'ψ ψ ψ= = ∫ ψ

矩阵元 ( ) ( )' ˆ ' ' ' ' ' 'xxx x x x x x x x x x x x xδ δ≡ = = − = −

( )*

*

*

' '

( ) ( )

x dxdx x x x x x

dx x x x

dx x x x

'ψ δ ψ

ψ ψ

ψ ψ

= −

=

=

∫∫∫

p的平均值 ˆ ˆ' 'p p dxdx x x p x x 'ψ ψ ψ= = ψ∫

矩阵元 ' ˆ ˆ ' ' 'xxp x p x dpdp x p p p p p x≡ = ' '∫

由于 ˆ ' ( ')p p p p p pδ= −

x p 为动量本征态在坐标表象的具体表示，是平面波i1

2px

x p eπ

= ，

故 i i ' '

'1' ( ')

2px p x

xxp dpdp e p p peδπ

−= −∫

( )'

( ')

( ')

1 2

1 2

1 2

( ' )

i p x x

i p x x

i p x x

dp pe

dp i ex

i dp ex

i x xx

π

π

π

δ

−

−

−

=

∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∂= − −

∂

∫

∫

∫

1

*' ( ) ( ') ( 'p dxdx x i x x xx

ψ δ∂⎛ ⎞= − −⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ )ψ

分部积分，考虑到 lim ( ) 0x

xψ→±∞

= ，有

*

*

' ( ') ( ') ( )

( ) ( )

p dxdx x x x ix

dx x i xx

δ ψ ψ

ψ ψ

x∂= −

∂∂

=∂

∫

∫

再一次分部积分， *( ) ( )p dx x ix

ψ ψ∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ - x

上面两次分部积分说明在计算矩阵元时可以取

' ( ')xxp x x ix

δ ∂⎛ ⎞= − −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

推广： ( )' 'xxx x x xδ= −

' ( ')xxp x x ix

δ ∂⎛ ⎞= − −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

对于任意算符 ，在坐标表象的矩阵元 ( ˆ ˆ,O x p)

'ˆ ' = ( ') ,xxO x O x x x O x i

xδ ∂⎛ ⎞= − −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

2) 动量表象

可以证明： ' ˆ ' ( ') ,ppx p x p p p ip

δ⎛ ⎞∂

= = − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

' ˆ ' ( ') ,pp p p p p p p pδ= = −

'ˆ ' ( ') ,ppO p O p p p O i p

pδ

⎛ ⎞∂= = − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

8.例题

例 1：在坐标表象证明 ， 为厄米算符。 x p

' ( ')xxx x x xδ= − ，

( ) ( )' ' '( ' ) ' ( ' ) ' ( ')xx x x xxx x x x x x x x x x xδ δ δ∗ ∗+ = = − = − = − = x

( )' ( ') ( ')'xxp x x i x x i

x x xδ δ

⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= − − = − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠−，

2

( )' '

'

( ' ) ( ' ) ( ')' '

( ')( ')

xx x x

xx

p p x x i x x i x x i'x x x

x x i px x

δ δ δ

δ

∗∗+ ⎛ ∂ ⎞ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

∂∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞∂= − − =⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠

故 和 均为厄米算符。 x p

例 2：力学量在自身表象的矩阵形式

力学量 ，F ˆnF n F n=

在 表象： 的矩阵元F F ˆmn n n mnF m F n F m n F δ≡ = =

说明力学量算符在自身表象为对角方阵。

例 3：坐标表象和动量表象的 Schrödinger方程

Schrödinger方程的一般形式 2ˆˆ ˆ ˆ, ( )

2pi H H V

t mψ ψ∂

= =∂

x+

进入坐标表象

( )

ˆ ˆ' ' 't

ˆ ˆ' ' , ' ,

i x x H dx x H x x

dx x x H x i x H x i xx x

ψ ψ ψ

δ ψ ψ

∂= =

∂∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

∫

即 ( ) (2 2

2, V( )2

i x t x xt m xψ ψ

⎛ ⎞∂ ∂= − +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

), t 。

在动量表象， ( ) ( )2

, V2pi p t i p

t m pϕ ϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

, t

例 4：已知在坐标表象的态 0/

30

1 r ara

ψπ

−= e （氢原子基态），求动量的平均值。

由于 r ψ 不是平面波，动量无确定值，取动量为 p的几率是2

p ψ ，

*3 3p d r p r r d r r p rψ ψ ψ= =∫ ∫

( )( )

0

3/ 2/ 03

3/ 2 2 2300

21 1( )2

i p r r a ad r e e

a pa ππ π

− −= =+∫

i

2

23

23

d pp pp

d p p

ψ

ψ= ∫∫

。

3

例 5：在坐标表象与动量表象分别求解自由粒子的能量本征方程。 2ˆˆ

2pHm

= ， H Eψ ψ=

在坐标表象： 2 2

22d x E x

m dxψ ψ- ( )= ( )，

12

i pxx eψ

π

( )= ， 其中动量 2p mE= ；

在动量表象：

( ) ( )2

2p p E pmϕ ϕ= ， ( ) ( )2 2 0p mE pϕ- = ，

( ) ( )2p p mEϕ δ −= ， 2p mE=

可见，本征矢依赖于表象，本征值不依赖于表象。

例 6：粒子势阱0

( ) >0

xV x

Fx x∞⎧

= ⎨⎩

<，F>0为常数，求能谱。

2ˆˆ ˆ ˆ, ( )

2pH E H Vm

ψ ψ= = + x

进入坐标表象：

( ) ( )

( )

2 2

2 >02

>0

d Fx x E x xm dx

x x

ψ ψ

ψ

⎧⎛ ⎞+ =⎪⎜ ⎟

⎨⎝ ⎠⎪⎩

-

=0

这是二阶常微分方程，难于求解。

进入坐标表象：

( ) ( )2

2p di F p E pm dp

ϕ ϕ⎛ ⎞

+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

，

一阶常微分方程，解为 ( )3

6i p EpF mp Aeϕ⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠= ，

4

对应坐标表象的态

( ) ( )3

36

12

1 cos62 2

i px

i p Ex pmF F

x x dp x p p dp e p

A A pdpe dp x pmF F

E

ψ ψ ψ ϕπ

π π

⎛ ⎞⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟∞ ∞⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

−∞ −∞

= = =

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫ −

其中正弦部份为奇函数，积分结果＝0。

由连续性条件

( )0 0ψ = ，

3

cos 06

p Edp pmF F

∞

−∞

⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ →分离能谱 。 nE

5

9. 不确定关系

以上仅考虑了单个力学量的测量值和测量几率，两个或两个以上力学量的测量有什关

系？

在任意态 ψ ，力学量 A的不确定度由方差决定

( ) ( ) ( )22ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA A A f f f A Aψ ψ ψ∆ ≡ − = = − ，其中

力学量 B的不确定度由方差决定

( ) ( ) ( )22ˆ ˆ ˆ ˆ ˆB B B g g g B Bψ ψ ψ∆ ≡ − = = − ，其中

A，B两个力学量的不确定关系可由 ( ) ( )2 2ˆ ˆA B∆ ∆ 描述

( ) ( )2 2ˆ ˆA B f f g∆ ∆ = g 。

由 Schwarz不等式，对任意矢量 α β， ，

有 2

α α β β α β≥ ，

故 ( ) ( )2 2 2ˆ ˆA B f g∆ ∆ ≥

∵对于任意复数 Z，

( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 2 2 *1Re Im Im Z2

Z Z Z Z Zi

⎛ ⎞= + ≥ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

∴ ( ) ( ) ( )2

2 2 1ˆ ˆ2

A B f g g fi

⎛ ⎞∆ ∆ ≥ −⎜ ⎟⎝ ⎠

∵ ( )( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ+

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ +

f g A A B B AB A B A B A B

AB A B A B A B AB A B

ψ ψ ψ ψ= − − = − −

= − − = −

同理， ˆ ˆˆ ˆg f BA B A= −

∴ ( ) ( ) ( )2 2

2 2 1 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ,2 2

A B AB BA A Bi i

⎛ ⎞ ⎛ ˆ ˆ ⎞⎡ ⎤∆ ∆ ≥ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ˆˆ

，

其中对易子定义为

ˆ ˆˆ ˆ,A B AB BA⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ 。

1

这就是两个力学量算符在任意态 ψ 取值的不确定关系：

( ) ( ) (22 2 1ˆ ˆˆ ˆ, 0

4A B A B⎡ ⎤∆ ∆ ≥ − ≥⎣ ⎦ )

0

。

由于任意方差大于或等于零，故有上面括号中的不等式。

说明：如果两个力学量算符不对易，即 ˆ ˆ,A B⎡ ⎤ ≠⎣ ⎦ ，则它们不可能在同一态都有确定值。如

果两个力学量算符对易，则它们可能在某个态都有确定值，即可能 ( ) ( )2 2ˆ ˆ 0A B∆ = ∆ = 。

例 1：在坐标表象计算[ ]ˆ ˆ,x p

ˆˆ ˆ ˆ' ' '

' ( ') - '

-

xp dxdx x x x p x x

dxdx x x x x i xx

dxx x i xx

δ

=

∂⎛ ⎞= − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∫

∫

∫

同理可证，

ˆ ˆ=px i dx x i x i x xx∂⎡ ⎤− −⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫ ，

故 [ ] ( ) ( )2

2 2ˆ ˆ, , 4

x p i x p= ∆ ∆ ≥ 。

说明：在任意态，坐标与动量都不可能同时有确定值。

以平面波态为例，在坐标表象，

1 e2

i pxx ψ

π= ，

动量有确定值。 但坐标取值为 的几率为 x

2 12

x ψπ

= =常数，

说明粒子在 出现的几率处处相等，坐标的取值完全不确定，方差 ，仍然有不

确定关系

x−∞ < < ∞ = ∞

( ) ( )2

2 2

4x p∆ ∆ ≥ 。

例 2：证明表象变换不改变对易关系。

设在 F表象，有

ˆ ˆˆ,F F FA B C⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ，

2

则在 G表象，

( )1 1 1

1

1

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ,

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

G G G G G G

F F F F

F F F F

F

G

A B A B B A

SA S SB S SB S SA S

S A B B A S

SC S

C

− − −

−

−

⎡ ⎤ = −⎣ ⎦

= −

= −

=

=

1−

说明：对易关系是量子力学基本关系。

例 3：用不确定关系估计基态能。

0 0< a( )=

xV x

<⎧⎨∞⎩ 其它

由 Shrödinger方程，粒子只能在0 x a< < 内运动，故

( ) ( )22 2x x x a∆ = − ≤ 。

在能量本征态， 2ˆ

= +2p

E E T Vm

= = ，

∵ ( ) ( )2 22 2ˆ ˆ ˆ ˆp p p p∆ = − = − p ，

∴ ( )22p p≥ ∆ ，

( )2 2p mE∆ ≤ ，

( ) ( )2 2 22x p mE∆ ∆ ≤ a ，

由 ( ) ( )2

2 2

4x p∆ ∆ ≥ ，

3

有 ( ) ( )2

2 2224

mEa x p≥ ∆ ∆ ≥

即 2

224

mEa ≥

故 2

28E

ma≥ ，

取 2

min 28E

ma= 为估计的基态能。

例 4：最小不确定波包。

要在不确定关系 ( ) ( )2

2 2 1 ˆ ˆ,2

A B A Bi

⎛ ⎞⎡ ⎤∆ ∆ ≥ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠中取等号，得到最小不确定度性，必须：

1）在 Schwarz不等式中取等号2

f f g g f g= ；

2）Re 0f g = 。

1）的解是 g c f= ， c为常数；

2）即 ( )Re 0c f f = ，由于 f f 是实数，故 c ia= ， a为实数。

故 g ia f= ，

即 ( ) ( )ˆB B ia A Aψ ψ− = − ，

这就是最小不确定性对态 ψ 的限制。取

ˆ ˆA x= ， ˆ ˆB p= ，

并考虑坐标表象，有

( ) ( ) ( )ddx

i p x ia x xψ ψ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠- x

解为 ( ) ( )2 / 2 /a x x i p xx Ae eψ − −= ，

是坐标空间的 Gaussian波包。

4

10.能量时间不确定关系

由 ( ) ( )2

2 2

4x p∆ ∆ ≥ ，

有 2

x p∆ ⋅∆ ≥ ， ( )2A A∆ ≡ ∆

由狭义相对论 ( ), x t xµ = ， ( ), p E pµ = ，

类比得 2 2

x p t E∆ ⋅∆ ≥ → ∆ ⋅∆ ≥ ，

即为能量时间不确定关系。

但是，在坐标表象的 Schroedinger方程，

( ) ( ) ( )2 2

2, V2

i x t x xt m xψ ψ

⎛ ⎞∂ ∂= − +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

, t ，

t与 不同权， t只是一阶微分，而 是二阶微分；x x , ,x p E是力学量， t不是。在非相对论量子力

学中， t仍然是一个经典量。那么， 是什么意思？t∆ ( ) ( )22 ˆE H E∆ = − ， ( )2 ?t∆ =

对于力学量 ，由 O

( ) ( ) ( )ˆO Ot tψ ψ= t ，

得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Oˆ ˆO O Od t t t t t tdt t t t

ψ ψ ψ ψ ψ ψ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂∂

由 ( ) ( )ˆ i t Htψ ψ∂

=∂

t ，

Httt

i ˆ)()( ψψ =∂∂

− ，

有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ1 O 1ˆ ˆˆ ˆOd t HO t t t t OH t

dt i t iψ ψ ψ ψ ψ ψ∂

= − + +∂

ˆ1 Oˆ ˆ,O Hi t

∂⎡ ⎤ +⎣ ⎦ ∂=

若力学量 不显含时间， O

1 ˆ ˆO ,d O Hdt i

⎡ ⎤⎣ ⎦= ，

那么， 的不确定关系为 ˆ ˆ, O H

1

( ) ( )2 22

2 2 1 ˆ ˆ,2 4

dO E O H Oi d

⎛ ⎞ ⎛⎡ ⎤∆ ∆ ≥ =⎜ ⎟ ⎜⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ t⎞⎟⎠，

2dO E Odt

∆ ⋅∆ ≥ ，

与 2

t E∆ ⋅∆ ≥

比较，有 = / dt O Odt

∆ ∆ 。

t∆ 的物理意义是力学量O的平均值变化一个标准方差 O∆ 所需的时间。显然， 与力学量O

有关。

t∆ ˆ

例： 在能量本征态 ( )tψ ，

( ) ( )ˆ tH E tψ ψ= ， 0E∆ =

( ) ( ) ( )ˆi t H t Etψ ψ ψ∂

= =∂

t ，

( ) ( )-

e 0i E t

tψ ψ= ，

任意力学量平均值

( ) ( ) ( )ˆO Ot tψ ψ= t ，

若 不显含时间， O

( ) ( ) ( )ˆO 0 O 0t Oψ ψ= = (0)，

说明在能量本征态，任意不含时间的力学量的平均值与时间无关，

Oddt

= 0， = O/ Odtdt

∆ ∆ →∞。

11.两个力学量同时有确定值的条件

由不确定关系，只说明当量力学量算符对易时，可能在某一个态两个力学量同时有确定

值。那么同时取确定值的条件是什么呢？

定理：若 A， B有完备的共同本征函数系，则 A， B对易。

证明：设完备的共同本征函数系为 n

由 ˆnA n a n= ， ˆ

nB n b n= ，

2

在由 n 构成的 Hilbert空间，任意态n

n nψ ψ=∑ ，

( ) ( )( )( )

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

0

n

n nn

n n n nn

AB BA AB BA n n

b A a B n n

b a a b n n

ψ ψ

ψ

ψ

− −

= −

= −

=

∑

∑

∑

=

ψ 是任意态，故 ˆ ˆ, 0A B⎢ ⎥ =⎣ ⎦ 。

逆定理：若 A， B对易，则 A， B可以有完备的共同本征函数系。

证明： 设 ˆnA n a n= ，

由 ， ˆ ˆ, 0A B⎡ ⎤ =⎣ ⎦

有 ˆ ˆˆ ˆ ˆnAB n BA n a B n= = 。

说明 B n 也是 A的属于本征值 的本征态。若na A无简并，则 B n 与 n 是同一个态，只能相差

一个常数：

ˆ = nB n b n

故 n 也是 B的本征态，即 A， B有共同的完备本征函数系。

若 A有简并，则可以用施密特方法来证明有同样的结果。

结论：多个力学量相互对易时，它们可以有共同的本征函数系。当体系处于这些共同本征

态时，它们同时有确定的值。

例如：若2ˆˆ

2pHm

= ，⎡⎣ ，p与ˆˆ , 0p H ⎤ =⎦ ˆ H有共同的本征函数系 p 。在共同的本征函数系 p ，

与p H同时有确定值2

, 2pp Em

= 。

注意， ， ，只说明 A，B可以同时有确定值，B，C可以同时有确定值。

但 A，C 不一定同时有确定值。例如：对于轨道角动量，

ˆ ˆ, 0A B⎢ ⎥ =⎣ ⎦ˆˆ,B C⎢ ⎥ =⎣ ⎦ 0

L r p= × ， 2ˆ ˆ, =xL L 0⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

， 2ˆ ˆ, =yL L⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

0，

。说明ˆ ˆ,x yL L⎡ ⎤ ≠⎣ ⎦ 0 2L ， 可以同时有确定值，ˆxL 2L ， 可以同时有确定值，但 ， 不可能同

时有确定值（ =0时除外）。

ˆyL ˆ

xL ˆyL

ˆzL

3

第三章 坐标表象的 Schrödinger方程

一维 Schrödinger方程

),,(ˆ),( txHtxt

i ψψ =∂∂ ),(

2ˆ

2

22

txVxm

H +∂∂

−=

三维 Schrödinger方程

),,(ˆ),( trHtrt

i ψψ =∂∂ ),(

2ˆ 2

2

trVm

H +∇−=

1.定态 Schrödinger方程

若 H不显含时间 t，即 ， )(rV

尝试将态函数分离变量：

( ) ( ) (,r t r f t )ψ ϕ= ，

则 ( ) ( ) ( ) ( )ˆi r f t H r f ttϕ ϕ∂

=∂

两边同除以 ( ) ( )r f tϕ

1 1 ˆdfi Hf dt

ϕϕ

=

要使左右两边相等，只能等于一个不依赖于 r和 的常数 E： t

ˆ, dfi Ef Hdt

Eϕ ϕ= =

故 Schrödinger方程的特解为

( ) ( ) ( )ˆ( , ) ( ) ( ), , i Et

r t r f t H r E r f t Ceψ ϕ ϕ ϕ−

= = = 。

常数 E 就是能量本征值，特解就是能量有确定值的态，称为定态， 称为定态

Schroedinger方程，即能量本征方程。

( ) ( )ˆ H r E rϕ ϕ=

注意： H不显含时间 t的 Schrödinger方程的通解是定态的线性叠加：

( ) ( ) ( ), , ni E t

n n n nn n

r t C r t C r eψ ψ ϕ−

= =∑ ∑ ，

已不再是定态，不再是能量的本征态。

2.定态的性质

1）几率密度 ( ) ( ) ( ) (2 2, ,r t r t r rρ ψ ϕ ρ= = = ),0 与时间无关，

4

几率流密度 ( ) (, ),0j r t j r= （请自己证明）与时间无关。

任意不显含时间 的力学量 的平均值 t O

( ) ( ) ( ) (*ˆ ˆ, ,O t O t dx x t O x i xx

ψ ψ ψ ψ∂⎛ ⎞= = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ), t

( ) ( )* ˆ ,dx x O x i xx

ϕ ϕ∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫

与时间无关。这也是为什么称能量本征态为定态的原因。

2）若势 具有空间反演不变形( )V r ( ) ( )V r V r− = ，则

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

22

22

,2

2

V r r E rm

V r r E rm

ϕ ϕ

ϕ ϕ

⎛ ⎞− ∇ + =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞− ∇ + − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

说明 和 是定态方程属于同一能量( )rϕ ( rϕ − ) E的两个解。

若定态不简并，

( ) (r C rϕ ϕ− = )

r

，

将 ，得到 r →−

( ) ( ) 2 ( )r C r C rϕ ϕ ϕ= − = ， 2 1C = ， 1C = ± 。

当 ，系统处于偶宇称态， ( ) ( )rϕ ϕ= −r

r

)

( ) ( )rϕ ϕ= − − ，系统处于奇宇称态。

说明：当 时，无简并定态具有确定的宇称，或为偶宇称态，或为奇宇称态。 ( ) (V r V r− =

5

3.一维束缚态问题

若粒子只能在有限空间运动，即 ( )lim , 0r

r tψ→∞

→ ，称态 ( ),r tψ 为束缚态。

1）若 ( ) ( )1 2,x xψ ψ 是属于同一能量E的两个态，由能量本征方程

( )( )

( )( )

1 12

2 22

2 0,

2 0

m E V x

m E V x

ψ ψ

ψ ψ

′′+ − =

′′ + − =

有 1 2 2 1 0ψ ψ ψ ψ′′ ′′− = ，

即 ( )'1 2 2 1

1 2 2 1

0, , const

ψ ψ ψ ψψ ψ ψ ψ

′ ′− =

′ ′− =

对于束缚态， ( ) 0xψ →∞ → ，

有 ' '1 2 2 1 0ψ ψ ψ ψ− = 。

在 ( ) 0xψ ≠ 的区间，有 1 2

1 2

ψ ψψ ψ′ ′= ，

即 1

2

ln 0ψψ

′⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠，

1

2

ln ln Cψψ

= ，

( ) ( )1 2x C xψ ψ=

说明：1）一维束缚态无简并；

2）当 ( ) ( )V x V x− = ，一维束缚态有确定宇称。

2）波函数的连续性

定态方程： ( ) ( )( ) ( )2

2mx E V x xϕ ϕ′′ = − − ，

a) 若 连续，则( )V x , ,ϕ ϕ ϕ′′ ′ 连续。

b) 若 不连续，则( )V x ϕ′′不连续。在不连续点 附近的邻域积分： a

( ) ( ) ( )( ) ( )2

2 a

a

ma a E V x xε

ε

ϕ ε ϕ ε ϕ+

−

′ ′+ − − = − −∫ dx

若 有限，则积分 ，V∆ 0→ ϕ′和ϕ均连续。

1

若 积分为 , V∆ →∞ ( )( ) ( ), '

' '

a

a

E V x x dxε

ε

ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ

+

−

∞⎧⎪− = ⎨⎪⎩

∫和 均不连续

有限, 不连续, 连续

0, 和 均连续

ϕ

3）δ 势阱

( ) ( ) ( )V x x V xγδ= − = − ，

在 尝试0 , , ,x V V= → −∞ ∆ →处 ∞ ϕ连续的束缚定态解。

0x ≠ 的定态 Schroedinger方程 2

2 0mEϕ ϕ′′ + =

考虑 的情形，令 0E < 22

2mEk = − ，

则 ( ) 00

kx kx

kx kx

Ae A e xx

Ce C e xϕ

−

−

′⎧ + <= ⎨ ′+ >⎩

.

要求 有限，故 (xϕ → ±∞) ( ) 0' 0,

0

kx

kx

Ae xA C x

C e xϕ

−

⎧ <= = = ⎨ ′ >⎩

，

此时 ，为束缚态（这就是取( ) 0xϕ → ±∞ → 0E < 的原因，E>0时无束缚定态解）。

由于 ，一维束缚态有确定宇称，即 ( ) (V x V x− = )

偶宇称态 ， ( ) ( ) , ' , s sx x C Aϕ ϕ− = =

( ) 00

kx

s kx

Ae xx

Ae xϕ

−

⎧ <= ⎨

>⎩

，

或奇宇称态 ( ) ( ) , ' , a ax x C Aϕ ϕ− = − = − ，

( ) 00

kx

a kx

Ae xx

Ae xϕ

−

⎧ <= ⎨

− >⎩

.

A由归一化决定。

但由于 ( )a xϕ 在 不连续，故不存在奇宇称态解。 0x =

2

由 ( )s xϕ 在 处的定态方程 0x =

( )( )2

2s s

m E xϕ γδ ϕ′′ = − +

有 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0

2 20

2 20 0s s s sm mE x x dxϕ ϕ γδ ϕ γϕ

+

−

+−′ ′− = − + = −∫ 0 ，

则 2

22 mkA Aγ− = − ，

2

22mE γ

= − ，

只有一个束缚定态解。

4）一维方势阱

( )0

0 x aV x

V x⎧ >⎪= ⎨ a− <⎪⎩

定态 Schrödinger方程 ( )

2

02

2 0

20

mE x a

m E Vx a

ϕ ϕ

ϕ ϕ

⎧ ′′ + =⎪⎪⎨ +⎪ ′′ + =⎪⎩

>

<，

取 ，（对应束缚态），解为 0 0V E− < < ( )

kx kx

ik x ik x

kx kx

Ae A e x ax Be B e x

Ce C e x a

ϕ

−

′ ′−

−

′⎧

a+ < −

⎪= ′+ <⎨⎪ ′+ >⎩

，

( )02 22 2

22 ,m E VmEk k

+′= − =

要求 x → ±∞时，ϕ有限，有 ( )

kx

ik x ik x

kx

Ae x ax Be B e x a

C e x aϕ ′ ′−

−

⎧ < −⎪ ′= + <⎨⎪ ′ >⎩

此时 ( )lim 0,x

xϕ→±∞

= 为束缚态。

3

由于 ，且一维束缚态无简并，故( ) (V x V x− = ) ( )xϕ 应具有确定宇。:

偶宇称态 ( ) ( )' , ' , 2

kx

ik x ik xs

kx

Ae x

C A B B x B e e BCosk x x

a

a

Ae x

ϕ ′ ′−

−

⎧ < −⎪⎪ ′= = = + = <⎨⎪ >⎪⎩

a

奇宇称态 ( ) ( )' , ' , 2

kx

ik x ik xa

kx

Ae x

C A B B x B e e iBSink x x a

a

Ae x

ϕ ′ ′−

−

⎧ < −⎪⎪ ′= − = − = − = <⎨⎪ − >⎪⎩

a

.

由于在 ,x a a= − 处势的变化有限， ,ϕ ϕ′连续。先考虑偶宇称态。

由 ,s sϕ ϕ ′在 处的连续性，有 x = −a 22 '

ka

ka

Ae BCosk aAke Bk Sink a

−

−

′=′=

,

注意： 处的连续性条件给出相同的方程。 x a=

故 12

sn

ka

k tgk a k E

B Ae Seck a−

′ ′⎧ = →⎪⎨

′=⎪⎩

分离能量谱

，

( )

kx

kas

kx

Ae x ax Ae Seck aCosk x x a

Ae x aϕ −

−

⎧ < −⎪ ′ ′= <⎨⎪ >⎩

归一化条件 ( ) 21s x dx Aϕ

∞

−∞

= →∫ .

类似，由 ,a aϕ ϕ ′在 处的连续性条件，有 x = −a

ank ctgk a k E′ ′ = − →分离能谱

( )

kx

kaa

kx

Ae x ax Ae Csck aSink x x a

Ae x aϕ −

−

⎧ < −⎪ ′ ′= − <⎨⎪ − >⎩

,

( ) 21a x dx Aϕ

∞

−∞

= →∫

4.一维散射问题

束缚态问题：约束条件 ( ) 0rϕ →∞ = →分离能谱。

4

散射问题：

弹性散射问题：入射能量在散射过程中保持不变，只改变动量的方向，求粒子散射到

( , ,d r )θ ϕΦ →∞ 方向的几率。

一维散射问题： 0,θ π= ，求反射几率 R和透射几率 T，R＋T＝1。

1）δ 势阱的散射态

( ) ( )V x xγδ= −

0x ≠ 处的定态方程 2

2 0mEϕ ϕ′′ + =

取 ，则 0E > ( ) 00

ikx ikx

ikx ikx

Ae A e xx

Ce C e xϕ

−

−

′⎧ + <= ⎨ ′+ >⎩

，

22

2mEk = 。

设入射波从左至右入射时， ，只剩下 3个待定常数 A，A’，C。 0C′ =

由ϕ在 的连续性条件，得 0x =

A A C′+ = ； 只剩下 2个待定常数。

由ϕ在 满足的方程的积分， 0x =

( ) ( ) ( )2

20 0 mϕ ϕ γϕ+−′ ′− = − 0 ，

即 ( ) (2

2mik C A A A Aγ )′ ′− + = − + ，只剩下 1个待定常数，取为 A。

5

解得 2

11 1

i mA A C Ai i kβ γββ β

′ = =− −

， ， =

反射几率： R =反射几率流

入射几率流，

透射几率： T =透射几率流

入射几率流

由几率流的公式 *

*

2ijm x x

ψ ψψ ψ⎛ ⎞∂ ∂

= − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2 2

2 21A

RA

ββ

′= =

+

2

2 2

11

CT

A β= =

+

几率守恒： 1R T+ = 。

6

2）一维方势阱的散射态

( )0

0 x aV x

V x⎧ >⎪= ⎨− <⎪⎩

a

定态 Schroedinger方程 2

02

2" 0,

2 ( )" 0,

mE x a

m E V x a

ϕ ϕ

ϕ ϕ

⎧ + = >⎪⎪⎨ +⎪ + = <⎪⎩

考虑 的情形（散射问题）： 0E > ( )

ikx ikx

ik x ik x

ikx ikx

Ae A e x ax Be B e x

Ce C e x a

ϕ

−

′ ′−

−

′⎧

a+ < −

⎪= ′+ <⎨⎪ ′+ >⎩

,

( )02 22 2

22 , m E VmEk k

+′= =

当入射波从左至右入射时：

0C′ = ， 只有 5个待定常数 A，A’，B，B’，C。

由 在 点有限，V∆ ,a a− ,ϕ ϕ′在 ,x a a= − 处连续，

0

0

ika ik a ik a ika

ika ik a ik a ika

ik a ik a ika

ik a ik a ika

A e Be B e AeA ike Bik e B ik e Aike

Be B e CeBik e B ik e Cike

′ ′− −

′ ′− −

′ ′−

′ ′−

′ ′⎧ − − = −⎪ ′ ′ ′ ′+ − =⎪⎨ ′+ − =⎪⎪ ′ ′ ′− − =⎩

，

只有 1个待定常数，选为 A，而 , , ,A B B C′ ′ 作为 A的函数。若只对反射系数和透射系数感兴趣，

只求 A’和 C，

2222 2

2

ikai Sin k aeA A

Cos k a i Sin k a

η

ε

−′′ =

′ ′−，

2

2 22

ikaeC ACos k a i Sin k aε

−

=′ ′−

, k k k kk k k k

ε η′ ′

= + = −′ ′

1

反射系数

222

2 22 2

24

2 24

Sin k aAR

A Cos k a Sin k a

η

ε

′′= =

′ ′+,

透射系数 2

2 22 2

1

2 24

CT

A Cos k a Sin k aε= =

′ ′+

可以证明： 1R T+ = .

考虑两种特殊情形：

a） 无相互作用，0 0,V = , 0k k η′ = = ，则 0, 1R T= = ，全透射。

b） 但 ， 共振透射，全透射。 0 0,V ≠ 2 0sin k a′ = 0, 1,R T= =

共振能量： 2 , 1,k a n n 2π′ = = ⋯，2 2 2

0 28nnE V

maπ

= − + 。

5.讨论：

1）经典力学运动区间： ，粒子不能在E T V V= + ≥ E V< 的区间运动。

量子力学运动区间：由 Schrödinger方程，粒子可以在V ≠ ∞的所有区间运动。

固定 E时，经典力学运动区间与量子力学运动区间一般不同。

经典与量子粒子有共同的运动区间，

经典束缚态，量子束缚态。

量子比经典粒子有更大的运动区间，

可以向两边扩展，量子遂道效应。

量子比经典粒子有更大的运动区间，

可以向右边扩展，量子遂道效应。

2

量子与经典粒子有相同的运动区间，

但量子有反射。

2）在量子力学中，由于 ˆ ˆ ˆ, ,H T V 一般不对易，有

E T V≠ + ；

但 minE T V V V= + ≥ ≥

对于定态 E E= ，

故 。 minE V≥

这就是为什么在一维势阱中要求 的原因。 0E V> −

3）经典能量可以为零，意味着粒子不动。

量子情形，例如对于一维方势阱束缚态问题，能量 0E = 不是定态方程的解。

由E ω= ，意味着无频率为零的波，无静止的波。

6.三维束缚态

1）轨道角动量算符

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ , , , 1, 2,3i ijk j k

L r p L r p

L x p i j kε

= × → = ×

= =

由 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 0, , 0, ,i j i j i j ijx x p p x p i δ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

=

2z

⎤ =⎥

可以证明 ⎡ ⎤⎣ ⎦ ， ˆ ˆ ˆ,i j ijk kL L i Lε

即 ⎡ ⎤⎣ ⎦ ， ， ˆ ˆ ˆ,x y zL L i L ˆ ˆ ˆ,y z xL L i L⎡ ⎤ =⎣ ⎦ˆ ˆ ˆ,z x yL L i L⎡ ⎤ =⎣ ⎦

定义 ， 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆx yL L L L= + +

可以证明 ⎡⎢⎣ ⎦， 2ˆ ˆ, 0iL L

表明：角动量三个分量中的任意两个一般不可能同时有确定值，而总角动量与任意一个分量均

能同时有确定值。

3

以上对易关系不依赖于表象。

在坐标表象下直角坐标系：

ˆ ˆL i r= − ×∇ ，

ˆxL i y z

z y⎛ ⎞∂ ∂

= − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠， ˆ

yL i z xx z∂ ∂⎛ ⎞= − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

， ˆzL i x y

y x⎛ ⎞∂ ∂

= − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

在球坐标系：

, , , ,x y z r θ ϕ→ ，

ˆxL i Sin ctg Cosϕ θ ϕ

θ ϕ⎛ ⎞∂ ∂

= +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠，

ˆyL i Cos ctg Sinϕ θ ϕ

θ ϕ⎛ ⎞∂ ∂

= − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠，

ˆzL i

ϕ∂

= −∂

(与θ无关)，

22 2

2 2

1 1L SinSin Sin

θθ θ θ θ ϕ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

ˆzL 的本征方程：

( ) ( )ˆz zL Lϕ ϕΦ = Φ ，

( ) ( )zdi L

dϕ ϕ

ϕ− Φ = Φ ，

解为 ( ) zi L

Aeϕ

ϕΦ = 。

考虑单值性， ( ) ( )( )

2 , 0, 1, ,z

im

L m m

Ae ϕ

ϕ ϕ π

ϕ

Φ = Φ + → = = ± ±

Φ =

∞

归一化， ( )2

2

0

112

d Aπ

ϕ ϕπ

Φ = → =∫ .

故解为 ( ) 12

ime ϕϕπ

Φ = 。.

2L 的本征方程：

( ) (2 2ˆ , ,L Y L Y )θ ϕ θ= ϕ

由分离变量法，加上Y 的单值性、有限性条件，

4

本征值为 ( )2 21 ,L l l= + ( )1L l l= + ， 角量子数 0,1, 2l = ∞。

本征态为 球谐函数 ( ) ( ), m imlm lm lY N P cos e ϕθ ϕ θ= ， ( )m

lP x 为连带 Legendre多项式。

磁量子数 共0, 1, 2,m l= ± ± ±, 2 1l + 个。

简并度： 本征值 只与角量子数有关，但本征态还与磁量子数有关，简并度2L 2 1g l= + 。

归一化： ( ) ( ) ( )( )

2 2

0 0

! 2 1, 1

!4lm lm

l m lSin d d Y N

l mπ π

θ θ ϕ θ ϕπ

− += → =

+∫ ∫

2L 与 的共同本征态： ˆzL

由于 可以有共同本征态。事实上，由于 与2ˆ ˆ, zL L⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦0, ˆ

zL θ无关，而 ( ),lmY θ ϕ 中与ϕ有关的部分

就是 的本征态，故ˆzL ( ),lmY θ ϕ 是 的共同本征态： 2ˆ ˆ, zL L

( ) ( ) (2 2ˆ , 1lm lmL Y l l Y ),θ ϕ θ= + ϕ

l±

，

( ) ( )ˆ , ,0,1,2,... , 0, 1,...

z lm lmL Y m Yl m

θ ϕ θ ϕ=

= ∞ = ±

注意： 由于角动量分量的取值受到总角动量的约束， 中的 不能取值到 。 lmY m ±∞

5

2）粒子在中心场中的运动

中心势场： ( ) ( )V r V r= ，

定态方程： ( ) ( ) ( )2

2

2V r r E r

mψ ψ

⎛ ⎞− ∇ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

在球坐标系： ( ) ( ) ( )2 2 2

2 2

ˆ1 , , , ,2 2

Lr V r r E rm r r mr

ψ θ ϕ ψ θ ϕ⎛ ⎞∂⎜ ⎟− + + =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

，

即 ( )( ) ( ) ( )2 2

22 2

ˆ2 , , , ,mr Lr V r E r rr r

ψ θ ϕ ψ θ ϕ⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞ − − =⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

L为轨道角动量。

分离变量： ( ) ( ) (, , ,r R r Y )ψ θ ϕ θ ϕ= ，

( )( )2 2

22 2

ˆ2d dR mr Lr V r E R Ydr dr

Y R⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥− − =⎜ ⎟⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

两边同除以 RY ： ( )( )2 2

22 2

ˆ1 2 1d dR mr Lr V r E R YR dr dr Y

⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥− − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2

C=

则有 ( ) ( )2ˆ , , L Y CYθ ϕ θ ϕ= 角向方程

( )( )2

22 2

2 d dR mr Cr V r E R Rdr dr

⎛ ⎞ − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

径向方程。

由角动量本征方程，有

( ) ( ) ( ) 2, , , 10,1,...... , 0, 1,......

lmY Y C l ll mθ ϕ θ ϕ= =

= ∞ = ± ± l+

。

中心场只与径向方程有关

( )( ) ( )2

22

2 1d dR mrr V r E R l ldr dr

⎛ ⎞ − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

R+ ，

决定径向波函数 ( )R r 和能级 E。

归一化条件： 23 ( ) 1d r rψ =∫ ,

( ) 2 22

0( , ) 1lmr dr d R r Y θ ϕ

∞Ω =∫ ∫

由于有 2( , ) 1lmd Y θ ϕΩ =∫ ，

1

故 ( ) 2 2

01R r r dr

∞=∫ 。

令 u ， rR=

径向方程变为 ( )2 2 2

2 2

12 2

effV

l ld u V um dr m r

+⎛ ⎞− + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠Eu，

这类似于势为 的一维定态 Schrödinger方程。 effV

归一化条件为 ( ) 2

01u r dr

∞=∫ 。

3）类氢原子

( )2ZeV r

r= −

二体问题： ( ) ( ) (2 2

2 21 2 1 2 1 2 1 2

1 2

, ,2 2 tV r r r r E r rm m

⎛ ⎞− ∇ − ∇ + − Ψ = Ψ⎜ ⎟⎝ ⎠

)，

tE 为总能量。

坐标变换： 质心坐标1 2,r r → 1 1 2 2

1 2

m r m rRm m

+=

+，相对坐标 1r r r2= −

方程化为 ( ) ( ) ( )2 2

2 2 , ,2 2r R tV r r R E r R

Mµ⎛ ⎞− ∇ − ∇ + Ψ = Ψ⎜ ⎟⎝ ⎠

，

总质量 1 2 ,M m m= + 约化质量 1 2

1 2

m mm m

µ =+i。

分离变量： ( ) ( ) ( ),r R r RψΨ = Φ ，

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2

2 2r RV r r R E R rM

ψ ψµ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ∇ + Φ = ∇ + Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 21 12 2r RV r r E R E

r MRψ

ψ µ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ∇ + = ∇ + Φ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

Φ⎝ ⎠ ⎝ ⎠t

方程化为：

2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

22

22

2

2

r

R t

V r r E r

R E E RM

ψ ψµ

⎧⎛ ⎞− ∇ + =⎪⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎨

⎪ − ∇ Φ = − Φ⎪⎩

，

( )RΦ ：质心运动波函数，与内部性质 无关，是平面波。质心运动能量为 ； ( )V r tE E−

( )rψ ：相对运动波函数，分离变量常数 E代表相对运动能量。

通过再一次分离变量 ( ) ( ) ( ),r R r Yψ θ ϕ= ，它的角向部分为球谐函数 ( ),lmY θ ϕ ，径向部分满足

方程：

( )2 2

22

2 1d dR r Zer E R ldr dr r

µ ⎛ ⎞⎛ ⎞ + + = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

l R。

考虑边界条件： 时， 必须有限，最终解为： 0,r → ∞ ( )R r

( )( )

0

0 0, ,

2 4

2 2

2 21, 2 2,

2

lZrna

nl nl

F

n

Z ZR r N e r F n l l rna na

Z eEn

α γ ξ

µ

−⎧ ⎛ ⎞ ⎛⎪ = − + + +⎜ ⎟ ⎜⎪ ⎝ ⎠ ⎝⎪⎨⎪⎪ = −⎪⎩

合流超几何函数

⎞⎟⎠，

主量子数： 1, 2,3,n = ∞，角量子数 0,1, , 1l n= −⋯ ，磁量子数 。 0, 1, ,m l= ± ±⋯

注意：受到径向方程的影响， 不能取值到l ∞。

nlN 由归一化决定： ( ) 2 2

01nlR r r dr

∞=∫ ，

2

0 2aeµ

= 为 半径。 Bohr

总的相对运动波函数： ( ) ( ) ( )4

2 2, , , , 2nlm nl lm n

er R r Y Enµψ θ ψ θ ϕ= = − .

讨论：

a) 零点能 4

1 2 02

eE µ= − ≠ 。

b) 能量简并度： 。 ( )1

2

0

2 1n

l

g l−

=

= + =∑ n

c) 径向方程含 ，对于一般中心场有 。由于库仑场对称性高，l nlE E只与 相关。 n

3

d) 当用力学量组 2ˆˆ ˆ, , zH L L 描述状态时，简并消除，称为力学量完备组。注意，

2 2 22

2 2

ˆ1 ˆˆ ˆ( ) , , 2 2 z

LH r V rr r rµ µ∂

= − + +∂

L L 两两对易，有共同本征态 ( ), , ( ) ( , )nlm nl lmr R r Yψ θ ψ θ ϕ= 。

e) 径向几率分布： ( ) ( )2 22 23 21 ( ) ( , )nlm nl lm nlr d r R r Y r drd R r r drψ θ ϕ= = Ω =∫ ∫ ∫ 2 ，

( ) ( ) 2 2nl nlr R r rρ = 电子处于半径为 的球面上的几率 r

角分布： ( ) ( ) 2,lm lmY ,ρ θ ϕ θ ϕ= 电子处于单位立体角Ω方向的几率

f) 氢原子光谱：

4

3 2 2

1 1,4n m

eE E hn m

µν νπ

⎛ ⎞− = = −⎜ ⎟⎝ ⎠

， Rydberg公式。

第四章 谐振子与角动量

1. 一维线形谐振子

( ) 2 212

V x m xω=

对于任意势，在某个最小点 0x 附近，均可以按Tay 展开： lor

( ) ( ) ( )( ) ( )( )20 0 0 0 0

12

V x V x V x x x V x x x′ ′′= + − + − +

其中，常数项 可以归并到能量中去。在势最小值点，有( )0V x ( )0 0V x′ = 。略去高阶项，有

( ) ( )( )20 0

12

V x V x x x′′ − ，

近似为谐振子势。故研究谐振子问题具有普遍意义。

经典： 2

2 212 2pH mm

ω= + x

4

量子： [ ]

22 2ˆ 1ˆ ˆ

2 2ˆ ˆ,

pH m xm

x p i

ω⎧

= +⎪⎨⎪ =⎩

上式与表象无关。

1）在坐标表象求解

( ) ( )

( )

2 22 2

2

12 2

lim 0, x

d m x x E xm dx

x

ω ψ ψ

ψ→±∞

⎧⎛ ⎞− + =⎪⎜ ⎟⎝ ⎠⎨⎪ =⎩ 束缚条件

，

解为(见 Griffiths书)：

( )1/ 4

2

1 , 0,1, 2 2

12 2 !

n

m x

n nn

E n n

m mx Hn

x eω

ω

ω ωψ−

⎧ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎨ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎪ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

( )nH x Hermite为 多项式。

5

2）代数解法

由 [ ]ˆ ˆ,x p i= ，

有 2

2 2ˆ 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2p m i iH m x x p x pm m m

ωω ω ωω ω

⎛ ⎞⎛ ⎞= + = − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

定义新算符

ˆ ˆ2m ia x

mω

ω⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

p ， ˆ ˆ2m ia x

mω

ω+ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠p ，

则

[ ]

22 2

1ˆ 1 ˆ ˆ ˆˆ ˆ 2 2 2ˆ ˆ, ˆ ˆ, 1

p H a aH m xmx p i a a

ωω+

+

⎧ ⎛ ⎞⎧ = +⎜ ⎟= + ⎪⎪ ⎝ ⎠→⎨ ⎨⎪ ⎪= ⎡ ⎤ =⎩ ⎣ ⎦⎩

。

显然， 不是厄米算符， 。但a a+ ≠ a ˆ ˆa a+ 是厄米算符， ( )ˆ ˆ ˆ ˆa a a a++ += 。

问题： 是什么力学量？ ˆ ˆa a+

由于 与ˆ ˆa a+ H只差一个常数，故 ˆ ˆa a+ 与 H的本征态相同。

设 ˆ ˆa a n n n+ = ，

则 1ˆ2

H n n nω⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

，

12nE n ω⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠。

问题是：本征值 坐标表象本征态?n = x n 是什么？

2.1） 设 a n b= ，

则 ˆn a b+ = ， ˆ ˆn a a n b b+ = ，n n n b b=

0, 0b b n n≥ ≥∵ ，

0n∴ ≥ 。

2.2） ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1a a a n aa a n a a a n n a n+ + += − = − = −∵ 1

( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1a a a n a aa n a a a n n a n+ + + + + + += = + = +

∴如果 n 是 的本征态，则ˆ ˆa a+ a n ， a n+ 也是 ˆ ˆa a+ 的本征态，并有下列关系：

1

( )

†

2

ˆˆ ˆ

5ˆ 223ˆ 12

a a H

a n n n

a n n n

n n

ω

ω

+

+

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

本征态 的本征值 的本征值

( )2

12

1ˆ 123ˆ 22

n

a n n n

a n n n

ω

ω

ω

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

故称 为下降算符，a a+为上升算符。结合 的结论，0n ≥ ˆ ˆa a+ 的本征值为

0

0

, , 1, , 1,0

n n n nn− +⎧

⎨ ≥⎩

2.3）对于最小值 ，有 0n

0 0 0ˆ ˆa a n n n+ =

如果 ，因为0 0n > 0a n 仍然是本征态，

( ) ( )0 0ˆ ˆ ˆ ˆ1a a a n n a n+ = − 0

n− <

本征值 n ，与 为最小本征值的假设矛盾。 0 01 0n

如果 ，由 0 0n =

0ˆ ˆ 0a a n+ = ，2

0 0 0ˆ ˆ ˆ0, 0n a a n a n+ = = ， 0ˆ 0a n = ， ( ) 0ˆ ˆ ˆ 0a a a n+ = ，

说明 0a n 仍然是 的本征态，且本征值为ˆ ˆa a+ 0 0n = ，与 为最小本征值的假设不矛盾。故

。

0n

0 0n =

结论：

12

0,1,2,

nE n

n

ω⎧ ⎛ ⎞= +⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎨

⎪ =⎩

，

注意，到此仅仅用到了对易关系，没有进入具体表象。

2.4) 由于 a n 对应本征值为 ，考虑到一维束缚态无简并，有 1n−

ˆ 1na n a n= − ，

2

同理， ˆ 1na n b n+ = + 。

* *ˆ ˆ1 , 1n nn a n a n a n b+ = − = +∵ ，

2 2ˆ ˆ 1 1 , , n nn a a n a n n n a a n+n∴ = − − = = ，

2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 , 1 , 1 , 1n n nn aa n b n n n a a n b n b b n+ += + + + = + = =n +

故

, 1n na n b n= = + 。

ˆ 1

ˆ 1 1

a n n n

a n n n+

⎧ = −⎪⎨

= + +⎪⎩。

2.5）进入 H与 的共同表象 ˆ ˆa a+

( )ˆ ˆ ˆ ˆ mnmna a m a a n n m n nδ+ += = = ，

1ˆ2mn mnH m H n n ωδ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

均为对角矩阵，这不难理解，因为是在自身表象。

, 1ˆ 1mn m na m a n n m n nδ −= = − = ，

, 11 1 1mn m na m a n n m n n δ+ ++= = + + = +

( )ˆ ˆ2

ˆx a amω

+= + ， ( )ˆ ˆ2m ˆp i aω a+= − ，

则

( ) ( ), 1 , 112 2mn mn mn m n m nx a a n nm m

δ δω ω

+− += + = + +

( ), 1 , 112mn m n m nmp i n nω δ δ− += − + ，

均不是对角阵。

2.6）进入坐标表象

对于基态 0 ，

ˆ 0a = 0， 即 ˆ ˆ 0 0ix pmω

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

，

ˆ ˆ 0ix x pmω

′ + = 0， ˆ ˆ 0 0idx x x p x xmω

′′ ′ ′′ ′′+ =∫ ，

3

( ) ( )ˆ ˆ' , ' dx x x x x x x p x i x xdx

δ δ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′′= − = − −′

∵ ， ( )00 ,x xψ′′ ′′=

( )0 0dx xm dx

ψω

⎛ ⎞′ ′∴ + =⎜ ⎟′⎝ ⎠，

一阶常微分方程的解为 ( )2

20

m xx Ce

ω

ψ−

= ，

考虑到归一化条件， ( )2

14

20

m xmx eωωψ

π−⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠。

激发态

( )( )

( )21 11 21

n x x n x a n x a nn n n

ψ + += = − = −−

( ) 21 1 ˆ ˆ0 02! !

n nn m ix a x x p

mn nω

ω+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

1 1 1 2 11 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0

2!

n

n nm i i idx dx x x p x x x p x x x p x x

m m mnω

ω ω ω−⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ n n

代入 ( ) ( )ˆ ˆ, dx x x x x x x p x i x xdx

δ δ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′′= − = − −′，有

( )2

01( )

2!

n n

nm dx x x

m dxnωψ ψ

ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

至此，一维谐振子问题全部解决。

2．7） 的物理意义 ˆ ˆa a+

谐振子的能量： 1 , 0,1, 2,32nE n nω⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠；

零点能： 012

E ω= ，

表明：存在一种量子，能量为ε ω= ，当谐振子处于第 个激发态上，意味着有 个量子

被激发了。

n n

:n 量子数，粒子数；

†ˆ ˆ ˆN a a= ：粒子数算符；

H和 的共同表象：粒子数表象。 N

4

总结代数解法的思路：

束缚态→分离谱→寻找分离量子数的下降、上升算符。

问题：

1）分离谱是由于束缚态引起的，但上面代数解法似乎没用到束缚条件，如何解释？

2）在何处用到了不简并的假设？

5

2.角动量

力学量的一般定义由对易关系确定。

例如坐标和动量的定义是

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 0, , 0, ,i j i j i j ijx x p p x p i δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ =

=

，

不依赖于表象。

角动量 的一般定义由其对易关系确定： J

ˆ ˆ ˆ,i j ijk kJ J i Jε⎡ ⎤ =⎣ ⎦

或者

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , , , x y z y z x z x yJ J i J J J i J J J i J J J i J⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = ×⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 。

满足该定义的力学量称为角动量。显然，轨道角动量 L满足这个定义。

定义角动量平方

2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆx y z iJ J J J J J= + + = ˆ

i，

描述角动量的大小。

以下用类似于求解谐振子本征值的代数方法来求解 2ˆ ˆ, zJ J 的本征值。

1） ， 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,j i i j i j i ijk i k ijk k i ijk i k kji i kJ J J J J J J J i J J i J J i J J i J Jε ε ε ε⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦0=

此处用到了 ijkε 的反对称性质： ijk jikε ε= − 。

故 与 有共同本征函数。 2J ˆzJ

因为 不仅仅依赖于 ，共同本征态至少应有两个量子数，记为2J ˆzJ ,mλ 。量子数一般

无量纲。考虑到 和 的量纲，记 2J ˆzJ

2 2ˆ , ,J m mλ λ λ= ， ˆ , ,zJ m m mλ λ= ，

问题： ?, ?mλ = =

2）构造新的算符组

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,

ˆ

x y

x y z x y

z

J J iJ

J J J J J iJ J

J

+

+− +

⎧ = +⎪⎪→ = − =⎨⎪⎪⎩

，

1

( )

2 2

2 2

2 2

ˆˆ ˆ ˆ ˆ , ˆˆ ˆ ˆ ˆ ,

1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2

z z

z z

z

J J J J J

J J J J J

J J J J J

+ −

− +

+ − − +

= − +

= − −

= + +

∵

J

= −

0

有新的对易关系：

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 2 , , , , ,z z zJ J J J J J J J J+ − − − + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 2 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, , , zJ J J J J J+ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

3） 2 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,2zm J J m m J J J J mλ λ λ + − − +− = + ˆ ,λ

( )2 2

0 0 0

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , , ,2 2

m m m m J J m m J J mλ λ λ λ λ λ λ+ +− − + +

≥ ≥ ≥

− = + 0≥ ，

故 2mλ ≥

4） ( ) ( )

2 2 2ˆ ˆˆ ˆ ˆ, , ,ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , 1z z

J J m J J m J m

J J m J J J m m J m

λ λ λ λ

λ λ+ + +

+ + + +

⎧ = =⎪⎨

= + = +⎪⎩ ,λ

( ) ( )

2 2 2ˆ ˆˆ ˆ ˆ, , ,ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , 1z z

J J m J J m J m

J J m J J J m m J m

λ λ λ λ

λ λ− − −

− − − −

⎧ = =

,λ= − + = −⎪⎩

⎪⎨

说明：若 ,mλ 是 ， 的共同本征态，则2J ˆzJ ˆ ˆ, , ,J m J mλ λ+ − 也是它们的共同本征态。这

些本征值和本征态的关系为：

( ) ( )

( )

2

2 2

2

ˆˆ

ˆ , 2

ˆ , 1

,

zJ J

J m m

J m m

m m

λ λ

λ λ

λ

+

+

+

+

共同本征态 本征值 本征值

( )

( ) ( )

2

2

2 2

ˆ , 1

ˆ , 2

J m m

J m m

λ

λ λ

λ λ

−

−

−

−

故称 为下降算符，J− J+为上升算符。

结合上面的结论，

2J 的本征值为 2λ ；

2

ˆzJ 的本征值为 ( ， , , 1, , 1, )j m m m j′ − +

有最大值与最小值的原因是 2 2, 'j jλ λ≥ ≥ 。

5） 对于最大值 j：

ˆ , 0J jλ+ = ，

否则与 是 最大本征值相矛盾。 j ˆzJ

故 ( ) ( )2 2 2 2ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 , ,z zJ J j J J J j j j jλ λ λ− += = − − = − − ,λ ，

即 ( )1j jλ = + 。

对于最小值 ： j′

ˆ , 0J jλ− ′ = ，

否则与 是 最小本征值相矛盾。 'j ˆzJ

故 ( ) ( )2 2 2 2ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 , ,z zJ J j J J J j j j jλ λ λ+ − ,λ′ ′ ′ ′= = − + = − + ′ ，

即 ， ( )1j jλ ′ ′= −

由 ( ) ( )1 1j j j j′ ′+ = − ，

有 1j

jj+⎧′ = ⎨ −⎩，

而 与1j j′ = + > j j为最大值， 为最小值的假设不符，故取 'j

j j′ = − 。

故 的本征值： 2J 2λ ， ( )1j jλ = +

ˆzJ 的本征值： ， 。 m , 1, , 1,m j j j= − − + − j

, ,m j mλ → 。 剩下的问题是： ?j =

6）态 , jλ 用下降算符 作用 次后变为J− 2 j , jλ − ，或态 , jλ − 用上升算符 作用 次后

变为

J+ 2 j

, jλ ，故

2 0j = ,正整数， j为零，正整数，和半整数。

总结： ( )2 2ˆ , 1 ,J j m j j j m= + ，1 30, ,1, ,2 2

j =

3

ˆ , ,zJ j m m j m= ， , 1, , 1m j j j , j= − − + − ，

问题： 时， 可用轨道角动量0,1, 2,3,j = J L来解释，而 1 3, ,2 2

j = 时， 的物理意义是

什么？这说明由角动量的定义，即对易关系出发，一定还存在一种新的角动量。

J

7）由 2 2

2 2

ˆ ˆ, 1 ( 1) , 1 , , 1 ( 1) , 1 ,ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ( 1) , , , ( 1) , ,

z

z

J j m j j j m J j m m j m

J J j m j j J j m J J j m m J j m+ + + +

+ = + + + = + +

= + = +

由于 ,j m与 ,j m 一一对应，无间并，故

ˆ , ,jmJ j m a j m+ = +1 ，

同理 ˆ , ,jmJ j m b j m− = −1 ，

故 *ˆ, , 1 jmj m J j m a− = + ，

*ˆ, , 1 jmj m J j m b+ = −

2 2 2ˆˆ ˆ ˆ ˆ, 1 , 1 , , , ,jm z za j m j m j m J J j m j m J J J j m− ++ + = = − −

( )( )2 21 ,j j m m j m j m= + − − , ，

( )( )2 21 ( 1)jma j j m m= + − + ，

取 ( ) ( ) ( )( )1 1jma j j m m j m j m= + − + = − + +1

)

。

类似，可得

( )( 1jmb j m j m= + − + ，

即 ( )( )( )( )

ˆ , 1

ˆ , 1

J j m j m j m j m

J j m j m j m j m

+

−

⎧ = − + + +⎪⎨

= + − + −⎪⎩

, 1

, 1，

( )( )

1ˆ ˆ ˆ21ˆ ˆ2

x

y

J J J

J Ji

+ −

+ −

⎧ = +⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩

∵J，

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

ˆ , 1 , 12 2

ˆ , 1 , 12 2

x

y

J j m j m j m j m j m j m j m

J j m j m j m j m j m j m j mi i

⎧ = − + + + + + − + −⎪⎪1 , 1

1 , 1∴⎨⎪ = − + + + − + − + −⎪⎩

8）进入 与 的共同表象 2J ˆzJ

4

基矢为 ,j m 。当 j确定时，即 2J 的本征值确定时，存在一个由 的本征态构成的子

空间，维数

ˆzJ

2D j= +1。

矩阵元

( )2 2ˆ, , 1 nmj n J j m j j δ= + ， ˆ, ,z nj n J j m m mδ= ，

( )( ) ( )( ), 1 , 1ˆ, , 1 1

2 2x n mj n J j m j m j m j m j mδ δn m+ −= − + + + + − +

( )( ) ( )( ), 1 , 1ˆ, , 1 1

2 2y n mj n J j m j m j m j m j mi i

δ δn m+ −= − + + − + − +

9）例题

例 1： 12

j = （电子自旋）

( )2 2 2314

J j j= + = ，1 1, ,2 2zJ m m= = −

当12

j = 时， ，在这个子空间选第一个基矢为2D =1 1,2 2

，第二个基矢为1 1,2 2− ，有

0 / 2 0 1,

/ 2 0 1 02 2x xJ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 0202 20

2

y y

ii

Ji i

σ

⎛ ⎞−⎜ ⎟ −⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

= ，

/ 2 0 1 00 / 2 0 12 2z zJ σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

z

，

, ,x yσ σ σ 为 矩阵。 Pauli

设 的本征态为 ，有本征方程 zJab⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

/ 2 00 / 2

a am

b b⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠，

考虑到归一化条件，得：

12

m = 时，本征态为 ， 10⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

12

m = − 时，本征态为 。 01⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

例 2： （光子自旋） 1j =

5

( )2 2 21 2J j j= + = , 1,0, 1zJ m m= = −， 。

在 的子空间，选第一个基矢为3D = 1,1 ，第二个基矢为 1,0 ，第二个基矢为 1, 1− ，

有

0 1 0 0 0 1 0 01 0 1 , 0 , 0 0 1

2 20 1 0 0 0 0 0 1x y z

iJ J i i J

i

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜

⎞⎟⎟⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0

1

本征值本征态为

1 01, 0 ; 0, 1 ; 1, 0

0 0m m m

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

。

6

3.自旋

由角动量 的一般理论分析与计算，存在不同于轨道角动量J L的新角动量，其量子数

可以为半整数。

j

1）实验分析：

Stern-Gelach实验：

基态原子射线在磁场中分裂为两条。

分析： 分裂是由于粒子磁矩与磁场相互作用引起的。势V M= − Bi 。

磁矩与角动量相关，M Jγ= 。

基态无轨道角动量，无轨道磁矩，必存在内禀磁矩 SM ，内禀角动量 ，称为自

旋角动量。

S

射线分为两束→ 在任意方向的投影只有两个值。由上节理论推导的角动量一般

性质，粒子自旋量子数

S

12

s = 。

由射线强度分析，有 SeM Sµ

= − （注意：对于轨道角动量，2LeM Lµ

= − ）。

2)自旋角动量 的性质： S

无经典对应。

与空间运动无关，是粒子内部自由度。微观粒子内部自由度还有宇称、色、味等等。

相对论效应。自洽处理在相对论量子力学中，Dirac方程。

对易关系： 。 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, , i j ijk kS S i S S S i Sε⎡ ⎤ = ×⎣ ⎦ =

本征值： , ,2x y zS S S = ± ，

22 2 2

4x y zS S S= = = ，

注意：只有一个本征值的算符如同一个经典量。

1

引入 Pauli算符σ ： ˆ ˆ2

S σ= ， ˆ ˆ ˆ, 2i j ijk kiσ σ ε⎡ ⎤ =⎣ ⎦ σ

, , 1x y zσ σ σ = ± ， 2 2 2 1x y zσ σ σ= = = 。

由于

( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 02 2 2 2x y y x y z z y y y y z z y z y y z z zi i i i

σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ+ = − + − = − + = − + = ，

有反对易关系 ˆ ˆ, 2i j ijσ σ δ= ，

其中 ˆ ˆˆ ˆ ˆ, ,A B AB BA= + ˆ 。

在 zσ 表象： 0 1 0 1 0

, , 1 0 0 0 1x y z

ii

σ σ σ−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎞⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠。

3）自旋态

引入自旋后，粒子的 3个自由度 r 4个自由度→ , zr S ，Hilbert空间是坐标（连续）空间与

自旋空间（分离， ）的直积。 2D =

中心场力学量完备组 2 2ˆ ˆˆ ˆ, , , , ,z zH L L H L L S→ z ，

态 ( );r tψ → ( ) ( )( )

1/ 2

1/ 2

;, ;

;z

r tr S t

r tψ

ψψ−

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

。

( ) 21/ 2 ;r tψ± 为粒子

2zS = ± ，位置在 r的几率，

( ) ( )21/ 2 1/ 2;r t r tψ ψ−+

2; 为粒子位置在 r的几率，

( ) 231/ 2 ;d r r tψ±∫ 为粒子

2zS = ± 的几率。

归一化条件为： ( ) ( )( )2 231/ 2 1/ 2; ;d r r t r tψ ψ− 1+ =∫ 。

任意力学量 的平均值 G

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

3

11 12 1/ 23 * *1/ 2 1/ 2

21 23 1/ 2

ˆ, ; , ;

; ; , ;

;

z zG d r r s t G r s t

G G r td r r t r t

G G r t

ψ ψ

ψψ ψ

ψ

+

−−

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

∫

∫，

力学量在自旋空间中是一 2X2的矩阵。

2

4）简单 Zeeman效应

中心场中电子的运动：

( )2

20

0

ˆ , 2

ˆnl

H V

H nlm E nlm

µ= − ∇ +

=

r

( ) ( ) ( ),nlm nl lmr r nlm R r Y ,ψ θ ϕ= = 简并度 2 1g l= + 。

特例： 库伦势 ( ) 1V rr

∼ ， 2, nE g n= 。

考虑磁相互作用：

1)轨道磁矩和自旋磁矩与外磁场作用：V M= − Bi ，

2)自旋磁矩与轨道运动产生的磁场相互作用: ˆˆV L S∼ i 。

对于强外磁场，内部磁场可以忽略，即ˆL Si 可忽略。

选外磁场方向为 轴： z

( ) ( ) ( )0 0 0ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2

2z zL S L S z zeBH H M M B H M M B H L S Bµ

= − + = − + = + +i 。

在自旋空间的定态 Schroedinger方程：

1/ 2

1/ 2

ˆ , H Eψ

ψ ψ ψψ−

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠，

( )

( )

0 1/ 2

0 1/ 2

ˆ ˆ2

ˆ ˆ2

z

z

eBH L E

eBH L E

ψ ψµ

ψ ψµ − −

⎧ ⎛ ⎞+ + =⎪ ⎜ ⎟

⎪ ⎝ ⎠⎨⎛ ⎞⎪ + − =⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎩

1/ 2

1/ 2

由于 0ˆ ˆ, nl zH nlm E nlm L nlm m nlm= = ，

故定态方程的解为

( )1/ 2 1/ 2, 0, , 120 nlm nl

nlm eBnlm E E mψ ψ ψµ

+−

⎛ ⎞= = = = +⎜ ⎟

⎝ ⎠+ ，

和 ( )1/ 2 1/ 2

0, 0, , 1

2nlm nleBnlm E E m

nlmψ ψ ψ

µ−

−

⎛ ⎞= = = = +⎜ ⎟

⎝ ⎠−

结论： 有外磁场时，能级发生分裂，与轨道角动量和自旋角动量有关：

nl nlmE E±→

3

例如，在基态， ，自旋使得能级分裂 1, 0, 0n l m= = =

10

10

10

2

2

eBEE

eBE

µ

µ

+→

− ，

这就是 Stern－Gelach实验的结果。

5） 进动 Larmor

电子自旋磁矩： ˆˆS

eM Sµ

= −

外均匀磁场： B

选择外场方向为 方向，对于静止电子， z

ˆˆS z

eH M B BSµ

= − =i

定态 Schrödinger方程

H Eϕ ϕ= ， 1 1

2 2

1 00 12

c ce B Ec cµ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠。

解为

1 2, 1, 02

10

i E t

e BE c c

e

µ

ϕ +

+

−

+

⎧ = =⎪⎪⎨

⎛ ⎞⎪ = ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

=

， 和

1 2, 0, 12

01

i E t

e BE c

e

µ

ϕ −

−

−

−

⎧ c= − =⎪⎪⎨

⎛ ⎞⎪ = ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

=

。

一般态： ,a bψ ϕ ϕ+ −= +

由归一化， ， 2 2 1a b+ =

取 , 2 2

a Cos b Sinα α= = ，

则一般态： 2

2

i E t

i E t

Cos e

Sin e

α

ψα

+

−

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

。

自旋 的平均值： ˆiS ˆ

i iS Sψ ψ= ，

代入矩阵形式，有

4

cos/ 2 0 2cos sin cos0 / 22 2 2

sin2

i E ti iE t E t

z i E t

eS e e

e

αα α α

α

+

+ −

−

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2

x

y

eS Sin Cos

eS Sin Sin

α Bt

Bt

µ

αµ

=

=

在垂直于磁场方向的频率e Bωµ

= ，称为 Larmor频率，在自旋空间的运动形态称为 Larmor

进动。

5

4.两个角动量耦合

自旋角动量与轨道运动产生的磁场之间的相互作用ˆˆV L S⋅∼ 。

由于 ( )22 2ˆ ˆˆ ˆ 2 ˆˆL S L S L+ = + + ⋅S ，

( )22 21ˆ ˆˆ ˆ ˆ

2L S L S L S⎡ ⎤⋅ = + − −⎢ ⎥

⎣ ⎦ˆ，

要了解ˆL S⋅ 耦合，必须考虑两个角动量之和。

先考虑任意两个角动量 的耦合。 1ˆ ˆ, J J2

=

2

1 1 1 2 2 2 1 2

2 2 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , , 0

( 1) , , ,...,

( 1) , , ,...,

i j ijk k i j ijk k i j

z

z

J J i J J J i J J J

J j j J m m j j

J j j J m m j j

ε ε⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= + = = −

= + = = −

令 ， 1ˆ ˆ ˆJ J J= +

容易证明： ˆ ˆ ˆ,i j ijk kJ J i Jε⎡ ⎤ =⎣ ⎦

故 仍是一个角动量算符，称为总角动量。 J

2J 的本征值： ( )2 21 , zJ j j J m= + = 。

问题：由于 与 有关，而 对易，可以同时有确定取值，则 的取值怎

样约束 的取值？

J 1ˆ ˆ, J J2 2

ˆz

1ˆ ˆ, J J 1 2 1 2, , ,j j m m

, j m

1）两个表象

1J 与 相互对易，故2J 2 21 1 2 2

ˆ ˆˆ, , , zJ J J J 有共同本征矢。总的矢量空间是两个独立子空间的直

积，构成无耦合表象：

1 1 2 2 1 1 2 2j m j m j m j m= ，

( )2 21 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2

ˆ 1J j m j m j j j m j m= + ， 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2ˆ

zJ j m j m m j m j m=

( )2 22 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2

ˆ 1J j m j m j j j m j m= + ， 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2ˆ

zJ j m j m m j m j m=

1 1 1 2 2, , , , ,m j j m j= − = − 2j

由于在无耦合表象，

1

2 21 2

ˆ ˆˆ ˆ, 0, ,z zJ J J J⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0≠ ≠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦，

故 不是对角矩阵，不便求解2J 2 2 21 2 1 2

1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2

J J J J J⎡ ⎤⋅ = − −⎢ ⎥⎣ ⎦的本征值。

由于

2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, , , , , ,z z zJ J J J J J J J J J J J⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦0= ，

故 有共同本征矢2 2 21 2

ˆ ˆ ˆ ˆ, , , zJ J J J 1 2j j jm ，构成耦合表象：

( )2 21 1 2 1 1 1 2

ˆ 1J j j jm j j j j jm= + ， ( )2 22 1 2 2 2 1 2

ˆ 1J j j jm j j j j jm= +

( )2 21 2 1 2

ˆ 1J j j jm j j j j jm= + ， 1 2 1 2ˆ

zJ j j jm m j j jm=

在耦合表象， 是对角矩阵，本征值就是对角元。 2ˆ ˆ, zJ J

由于已知的是 的本征值和本征矢，为了用它们来表示总角动量 的本征

值，必须联系两个表象，即进行表象变换。

2 21 1 2 2

ˆ ˆˆ, , ,zJ J J J z2ˆ ˆ, zJ J

由无耦合表象的完备性条件

1 2

1 1 2 2 1 1 2 2,

1m m

j m j m j m j m =∑ ，

有表象变换：

1 2

1 2

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2,

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2, Clebsch Gordon

m m

m m

j j jm j m j m j m j m j j jm

j m j m j j jm j m j m−

=

=

∑

∑有耦合表象基矢

表象变换矩阵元， 系数 无耦合表象基矢

2）耦合表象的本征值 ( ),j m

将上式用 作用， ˆzJ

( )1 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2,

ˆ ˆz z

m mJ j j jm j m j m j j jm J J j m j m= +∑ ˆ

z ，

( )1 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2,

0m m

m m m j m j m j j jm j m j m− − =∑

在无耦合表象中，基矢 1 1 2 2j m j m 是相互独立的，故上式存立的条件是每个基矢前的系数都

必须等于零。即要么 CG系数=0，要么 1m m m2= + 。我们要求的就是不等于零的 CG系数，

因此取

2

1 2m m m= + 。

再考虑 的取值。设 j

min maxj j j≤ ≤ ，

( ) ( )max max 1 2 1 2max maxj m m m j= = + = + j 。

)

1+

1+

由无耦合表象维数

( )(1 22 1 2 1D j j= + + ，

与耦合表象维数

( )max

min

2 2max min max2 1 2

j

j j

D j j j j=

= + = − +∑

必须相等，否则破坏正交性，完备性条件，

( )( ) ( ) ( )2 21 2 1 2 min 1 22 1 2 1 2j j j j j j j+ + = + − + + ，

( )22min 1 2j j j= − ， min 1 2j j j= − 。

故当 确定时，总角动量 的取值： 1 2,j j 2ˆ ˆ, zJ J

( )2 21 2 11 , , ,J j j j j j j= + = − + 2j

+

1 2, zJ m m m m= =

3）耦合表象的本征态 1 2j j jm

关键是如何求 CG系数。不做一般讨论，有专门表可查。

下面以 耦合为例来说明求法。 ˆL S⋅

1 2ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , J L S J L J S= + = = ，

耦合表象基矢 1, , ,2 jl j m ， 无耦合表象基矢 1, , ,

2l sl m m 。

表象变换：

,,

1 1, , ,2 2

1 1 1 1 , , , , , ,2 2 2 2

l s

l s

l l

l

j m m l sm m

m l m lm

l jm C l m m

A l m B l m

=

⎡ −= +⎢ ⎥

⎣ ⎦

∑

∑ ⎤

由于 1/ 2, 1/ 2

, 1/ 2, 1/ 2

jj l s l j s

j

m sm m m m m m

m s− =⎧⎪= + = − = ⎨ + = −⎪⎩

当

当

3

故 1 1 1, , , , 1, ,2 2 2j l ll jm A l m B l m 1 1

2 2−

= + +

这就是两个表象之间的变换，但 CG系数 , ?A B =

由 的本征方程 2J

( )2 21 112 2j jJ l jm j j l jm= + ，

代人在无耦合表象的自旋子空间 的矩阵形式 2J

2 2

2 2 2

2 2

3ˆ ˆ ˆ42

3ˆˆ ˆ4

z

z

L L LJ L S L S

L L

−

+

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟= + + = ⎜ ⎟

⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

Li

y

，

其中 为轨道角动量上升、下降算符， ˆ ˆ ˆxL L iL± = ±

以及1 1 1 1, , , , 1, ,2 2 2 2l ll m l m −

+， 的矩阵形式

,1 1 1 1, , , , , 2 2 2 2 0

01 1 1 1, 1, , , 1 ,, 12 2 2 2

ll l

l ll

l ml m l m

l m l ml m

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞−+ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

＝ ＝ ，

－＝ ＋ ＝

＋

2J 的本征方程在无耦合表象变成两个方程

( )

( )

2 2 2

2 2 2

3ˆ ˆ ˆ1 , , 14

3ˆˆ ˆ, 14

z l

l z

A L L j j l m B L l m

A L l m B L L j j l m

−

+

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞+ + − + + + =⎪ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎣ ⎦⎨

⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ + + − − + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩

0

, 1 0

l

l =

即 ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

31 1 1 , 0 4

31 1 1 1 , 14

l l l l

l l l l

l l m j j A l m l m B l m

l m l m A l l m j j B l m

⎧⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞+ + + − + + − + + =⎪⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎪⎩ ⎭⎨⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ 0+ − + + + + − + − + + =⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭⎩

即 ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

31 1 1 0 4

,31 1 1 1 04

l l l

l l l

l l m j j A l m l m BA B

l m l m A l l m j j B

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞+ + + − + + − + + =⎪ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎣ ⎦ →⎨⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ + − + + + + − + − + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩

4

j可能取值： 1 1, 2 2

j l l= − + 共两个值。

当12

j l= + 时，

1l

l

l mAB l m

+ +=

−，

归一化后： 11 1 1, , , , 1, ,

2 2 1 2 2 2 1 2l l

j l l

CG CG

l m l ml jm l m l ml l

+ + − 1 12−

== + ++ +

有耦合表象 无耦合表象 无耦合表象

，

同理，当12

j l= − 时，

11 1 1, , , , 1, ,2 2 1 2 2 2 1 2

l lj l l

l m l ml jm l m l ml l− − + 1 1

2−

= − + ++ +

。

5

第五章 对称性

对称性是一个体系最重要的性质。前面求解一维 Schroedinger 方程时，我们看到，利

用体系相互作用的左右对称性，导致态有确定的宇称，可以大大简化方程的求解。

1.守恒量

若力学量的平均值不随时间变化

0d F

dt= ，

则称力学量 为守恒量。 F

由 ˆF Fψ ψ=

和 Schrodinger方程 ˆi Htψ ψ∂

=∂

，

有

ˆˆ ˆ

ˆ 1 ˆ ˆ ,

d F FF Fdt t t t

F F Ht i

ψ ψψ ψ ψ ψ

∂ ∂∂= + +

∂ ∂ ∂

∂ ⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∂

若 不显含时间 ， F t

1 ˆ ˆ,d F

F Hdt i

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

若 与F H对易，则 为守恒量。 F

例如：

a）对于自由粒子体系，2ˆˆ

2pHm

= ，动量 不显含时间 t，且p ˆˆ ,p H⎡ ⎤ 0=⎣ ⎦ ，有动量守恒；

b）对于一般体系， ( )2ˆˆ

2pH V xm

= + ˆˆ , 0p H⎡ ⎤， ≠⎣ ⎦ ，动量不守恒；

c）对于中心场体系， ( ) ( )2 2 2

22

ˆˆˆ2 2 2p LH V r r Vm mr r r mr

∂ ∂⎛ ⎞= + = − + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ 2 r ，轨道角动量算符 2L ，

均不显含时间 ，且 ，有轨道角动量及其任意分量守恒； ˆiL t 2ˆ ˆ ˆ ˆ, ,iL H L H⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

0=

d）若 H不显含时间 ， ，有能量守恒。 t ˆ ˆ,H H⎡ ⎤ =⎣ ⎦ 0

故一个力学量是否为守恒量，由体系的性质，即 H的性质来决定。

1

守恒量的性质：

a）在任意态的平均值与时间无关（定义）；

b）在任意态的取值几率与时间无关

证明：

， ，ˆ ˆ, 0F H⎡ ⎤ =⎣ ⎦ F H有共同完备本征矢 n ，

ˆnF n F n= ， ˆ

nH n E n=

对于任一态 ( ) ( )nn

t C tψ =∑ n ， ( ) ( )nC t n tψ= ，

F取值为 的几率为 nF 2( )nC t 。

因为 1 ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nn n

E Ed C t n t n H t n t C tdt t i i i

ψ ψ ψ∂= = = =

∂，

故 ( ) (0) ni E t

n nC t C e−

= ，

2( ) (0)n nC t C= 2与时间无关。

推论：

a）若体系初始时处于守恒量的本征态，则恒处于该本征态；

b）若体系初始时不处于守恒量的本征态，则恒不处于该守恒量的本征态；

c）量子力学中习惯用描述力学量本征值的量子数来标志状态，例如中心场中的状态 nlm 用

能量，角动量，角动量分量的量子数描述。但非守恒量的量子数不适合描述状态，因为即使

初始状态是这些力学量的本征态，可用这些量子数来描述，但演化以后的状态不再是这些力

学量的本征态，不能再用这些量子数来描述。只有守恒量的量子数才是描述状态的好量子数：

当体系初始时处于守恒量的本征态，则恒处于该本征态。

注意两个概念：

守恒量： 守恒量在任意态中的平均值及取值几率不随时间变化

定态： 而任意力学量在定态中的平均值及取值几率不随时间变化。

2.对称性与守恒量

定义变换 ， S Sψ ψ ψ′→ = ，

变换前态 ψ 满足 Schroedinger方程： ˆi Htψ ψ∂

=∂

。

由左作用不含时间 t的变换 ： S

2

1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆi S SH SHS St

ψ ψ ψ−∂= =

∂，

变换后态 ψ ′ 仍满足 Schroedinger方程： ˆi Htψ ψ∂ ′ ′ ′=

∂， 。 1ˆ ˆˆ ˆH SHS −′ =

若 H在变换前后保持不变： 1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, H SHS H SH HS−′ = = = ，

即 ， ˆ ˆ, 0S H⎡ ⎤ =⎣ ⎦

则 ψ ′ 与 ψ 满足相同的 Schroedinger方程，

ˆi Htψ ψ∂ ′ ′=

∂

称体系在变换 下具有不变性，或对称性。 S

对称性 意味着：若ˆ ˆ,S H⎡ ⎤ =⎣ ⎦ 0 ˆ ˆS S += ， 为力学量，是守恒量；若 ，但 由某一

力学量 生成， ，若

S ˆ ˆS S +≠ S

ˆ ˆF F += ˆ ˆ( )S F ˆ ˆ,S H⎡ ⎤ 0=⎣ ⎦ 可导致 ˆ ˆ, 0F H⎡ ⎤ =⎣ ⎦ F

r

， 为守恒量。

对称性→守恒量

1）空间平移不变性与动量守恒

r r r δ′→ = + ， ( ) ( ) ( )ˆr r S rψ ψ ψ′→ =

( ) : ( ), '

' : '( ), '( ')

O x x

O x x

ψ ψ

ψ ψ

平移前的坐标系

平移后的坐标系

( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆr r S r S r rψ ψ ψ ψ′ ′ ′= = = +∵ δ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21ˆ2

S r r r r r r r rψ ψ δ ψ δ ψ δ ψ∴ = − = − •∇ + •∇ + ( )ˆi r p

e rδ

ψ− •

= ，

空间平移算符

ˆ ˆˆ , ( )i r p

S e p iδ− •

= = − ∇

由动量算符 p生成。

3

若体系具有空间平移不变性， ˆ ˆ, 0S H⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ，则 ˆˆ ,p H⎡ ⎤ 0=⎣ ⎦ ，动量守恒。

2）时间平移不变性与能量守恒

t t t tδ′→ = + ， ( ) ( ) ( )ˆt t S tψ ψ ψ′→ =

( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆt t S t S t tψ ψ ψ ψ′ ′ ′= = = +∵ δ ，

( ) ( ) ( ) ( )ˆˆ

it tHtS t t t e t e t

δ δψ ψ δ ψ ψ

∂−

∂∴ = − = =

时间平移算符

ˆˆ ˆ, ( )i tH

S e i Ht

δψ ψ∂

= =∂

由 H生成。

若体系具有时间平移不变性， ˆ ˆ, 0S H⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ，则 ˆ ˆ,H H⎡ ⎤ 0=⎣ ⎦ ，能量守恒。

3）空间旋转不变性与角动量守恒（略）

4）空间反演不变性与宇称守恒

r r′→ = −r， ( ) ( ) ( )ˆr r I rψ ψ ψ′→ =

( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆr r I r Iψ ψ ψ ψ′ ′ ′= = = −∵ r ，

( ) ( )I r rψ ψ∴ = − 。

对于任意态 ( )rψ 和 ( )rϕ ，有

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )*3 * 3 * 3 * 3ˆ ˆd r r I r d r r r d r r r d r I r rψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ= − = − =∫ ∫ ∫ ∫ ，

所以 I 为厄米算符，表示一力学量，称为宇称。

由 ( ) ( )I r rψ ψ= − ， ( ) ( ) ( )2ˆ ˆI r I r rψ ψ ψ= − = ，

2I 的本征值为 1，宇称算符 I 的本征值为 1 和 -1，

本征态为 ( ) ( )s sr rψ ψ= − 和 ( ) ( )a ar rψ ψ= − − ，

本征方程为 ( ) ( )ˆs sI rψ ψ= r 和 ( ) ( )ˆ

a aI r rψ ψ= − 。

若体系具有空间反演不变性， ˆ ˆ,I H⎡ ⎤ 0=⎣ ⎦ ，则

a）宇称守恒；

b）宇称 I 与 H有共同本征态。

4

例如： ( )2

2ˆ2

H V rm

= − ∇ + ( )，若 ( )V r V r− = ，有 1ˆ ˆ ˆ ˆIHI H− = ，故宇称守恒，宇称与 H有共同

本征态。对于一维束缚态问题，无简并，故 H的所有本征态都是 I 的本征态。

例题：

ˆ ˆL r p= × ， ， p i= − ∇

1 1 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆILI IrI IpI r p L− − −= × = × = ˆˆ, 0I L⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦， 2ˆˆ, 0I L⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

， ，

故 I 与 2L ， 有共同本征态。 ˆzL

问题：共同本征态＝？

2L ， 的共同本征态是球谐函数ˆzL ( ),lmY θ ϕ ，

( ) ( ), cosm imlm lm lY N P e ϕθ ϕ θ=∵ ，

( ) ( ) ( )| |

| |/ 22 21cos 1 cos cos 12 ! cos

l mm lm

l l

dPl d

θ θθ

+⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

θ

在 I 变换 下， r →−r

r r→ ，θ π θ→ − ，ϕ π ϕ→ + ，cos cosθ θ→ − ，

( ) ( ) ( )cos 1 cosl mm ml lP Pθ θ+∴ → − ， ( ) ( )| |1 1m mim im ime e eϕ ϕ ϕ→ − = − ，

故

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2| |ˆ , 1 , 1 ,l m llm lm lmIY Y Yθ ϕ θ ϕ+= − = − θ ϕ ，

I 与 2L ， 的共同本征态就是球谐函数ˆzL ( ),lmY θ ϕ ， I 的本征值为 ( 1)lI = − 。

问题：为什么在经典力学中无宇称这一力学量？

回答：在经典力学中无突变，不能从 r突变到 r− 。

5

3.全同粒子对称性

全同粒子：内禀性质（质量，电荷，自旋等）完全相同的粒子。由于经典力学中物理量的连

续性，两粒子的性质可以无限接近，但不会全同，总是可以区分的。故在经典力学中无全同

粒子的概念。量子力学中物理量的取值可以是分离值，要么完全相同，要么完全不同。因此

具有全同粒子的问题。

那么怎么区分全同粒子呢？

1）全同性原理

在经典力学中即使有“全同”粒子，可以通过轨道区分“全同”粒子。但在量子力学中，无轨道，

状态用波函数描述。

设单粒子状态为 ( )n xψ

两全同粒子的波函数不重叠时，可区分全同粒子

若在重叠区内发现一个粒子，不能区分它是第一个还是第二个粒子，即波函数重叠时不可区

分全同粒子。

交换两个粒子位置时，即将 1 2 2( ), ( ) ( ), ( )n m n m 1x x xψ ψ ψ ψ→ x 时，发现粒子的几率分布相同，

即状态不改变。

故 1 2( ), ( )n mx xψ ψ 与 2( ), ( )n m 1x xψ ψ 描述的是同一状态。

全同性原理：交换两个全同粒子不改变体系的状态。

问题：这一原理对态有有什么限制呢？

1

2）波函数的交换对称性

对于包含 N个粒子的体系，态

... ... ...i j ，

定义交换算符 ： ijP

ˆ ... ... ... ... ... ... ... ... ...ijP i j j i i jλ= = ，

第二个等式用到了全同性原理。

因为 2ˆ ˆ... ... ... ... ... ... ... ... ...ij ijP i j P j i i j= = ，

所以 的本征值为 1， 的本征值2ijP ijP 1λ = ± 。

即

ˆ ... ... ... ... ... ...ijP i j i j= ± 。

交换对称性：全同粒子体系的波函数在交换任意两个粒子时必须是对称或者是反对称的。

问题：全同粒子体系的波函数可不可以一会儿处于对称态，一会儿处于反对称态呢？

由于

( ) ( )ˆ ˆ. ... . . ... . . ... . . ... . . ... . . ... .ij iji j P i j i j i j i j P i jλ= = ，

故 是一力学量算符。 ijP

若体系的 H满足交换对称性，

( ) ( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ...ij ijP H i j P H j i H i j− = = ，

即 ， ˆ ˆ, 0ijP H⎡ ⎤ =⎣ ⎦

则 是守恒力学量。若体系在初始时处于 的某个本征态（对称态或者反对称态），则恒处

于该本征态。即全同粒子体系波函数的对称性不随时间改变。

ijP ijP

实验表明，交换对称性由自旋决定：对于玻色子（自旋为整数的粒子）组成的全同粒子系统，

状态是交换对称的，对于费米子（自旋为半整数的粒子）组成的全同粒子系统，状态是交换

反对称的。

问题：全同粒子系统的状态一方面要满足交换对称性，另一方面要满足 Schroedinger方程，

怎样构造满足二者的态？

3）两全同粒子的态

2

设 ， ( ) ( ) (ˆ 1, 2 1,2 1,2H Eψ ψ= )

)则 ， ( ) ( ) (ˆ 2,1 2,1 2,1H Eψ ψ=

若体系的 H满足交换对称性， ( ) ( )ˆ ˆ1, 2 2,1H H= ，

有 。 ( ) ( ) (ˆ 1, 2 2,1 2,1H Eψ ψ= )

)所以， (1,2ψ 与 (2,1)ψ 都是属于 H的同一本征值E的本征态。

若 (1,2)ψ 不满足交换对称性，即 ( ) ( )2,1 1,2ψ ψ≠ ± ，可以构造对称波函数：

玻色子系统： ( ) ( ) ( )1,2 1,2 2,1ψ ψ ψ+ = + ，

费米子系统： ( ) ( ) ( )1,2 1,2 2,1ψ ψ ψ− = − 。

它们仍然是系统 H的属于本征值 E的本征态：

( ) (ˆ 1, 2 1,2H Eψ ψ± ±= )

)

)

)

。

例如：若不考虑两粒子的相互作用

( ) ( ) (0 0ˆ ˆ ˆ1, 2 1 2H H H= + ，

设 ( ) ( )0ˆ , 1, 2n n nH i i iϕ ε ϕ= =

则 ( ) (ˆ 1, 2 1,2H Eψ ψ=

的解为 ， ( ) ( ) ( )

1, 2 1 2 n m

n m

E ε εψ ϕ ϕ= +⎧

⎨ =⎩

(1,2ψ 一般不满足交换对称性。为达到交换对称性要求，我们如下构造态函数：

玻色子系统： ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 2 2 1 ,1, 2 2

1 2

n m n m

n m

n m

n m

ϕ ϕ ϕ ϕψ

ϕ ϕ+

⎧ + ≠⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦= ⎨⎪ =⎩

费米子系统： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( )

)1 21 11, 2 1 2 2 11 22 2

n nn m n m

m m

ϕ ϕψ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ− = − =⎡ ⎤⎣ ⎦ 。

对于费米子系统，若两粒子处于同一状态（具有相同量子数）时， ，n m= ( )1,2 0, ψ− = →

Pauli不相容原理：两个全同费米子不能处于同一状态。

以上关于波函数对称性的讨论，可推广到个全同粒子体系 二次量子化，量子场论 →

4）全同性原理的观察效应

例 1：两个全同自由粒子的空间波函数

3

a）不考虑交换对称性：

( )( )

( )1 1 2 2

1 2 1 1 2 2 31, ( , ) ( , )

2i k r k rr r k r k r eψ ϕ ϕ

π• + •= = ，

引入质心坐标： ( 1 212

)R r r= + ， 相对坐标： 1r r r= − ，

总动量： 1 2K k k= + ， 相对动量： ( )1 212

k k k= − ，

波函数为 ( )( )3

1,2

iK R ik rR r e eψπ

• •= 。

在以一个粒子为中心，半径为 的球壳内找到另一个粒子的几率为 r

( ) ( ) 2 3 2 2r ,P R r d Rr dψ= Ω∫ Ar=

)

。

b）对称波函数

( ) (1 2 2 1, ,r r r rψ ψ≠ ±

( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 2 11, ,2

r r r r r r,ψ ψ ψ+ = + ，

( )( )

( )( )

( )3 3

1 1 1, 222 2

iK R ik r ik r iK R cosR r e e e e k rψπ π

• • − • •+ = + = • ，

( ) ( ) 2 3 2 2 sin 2r , 12

krP R r d Rr d Arkr

ψ+ +⎛ ⎞= Ω = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫

c）反对称波函数

( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 2 11, ,2

r r r r r r,ψ ψ ψ− = − ，

( )( )

(31, 2 si

2iK R )nR r e i k rψ

π•

− = • ， ( ) 2 sin 2r 12

krP Arkr−

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

2 . 5 5 7 . 5 1 0 1 2 . 5 1 5 1 7 . 5 2 0

2 k r

0 . 2 5

0 . 5

0 . 7 5

1

1 . 2 5

1 . 5

1 . 7 5

2

P ê A r 2

P + ê A r 2

P - ê A r 2

4

说明：对称空间波函数 两粒子靠近的几率大， →

反对称空间波函数 两粒子靠近的几率小， →

似乎在全同粒子间存在一种作用力，对于全同玻色子，是吸引力，费米子是排斥力。这种力

称为交换力，它不是一种真正意义上的力，无施力者，在 r 时，交换力消失。 →∞

例 2：两粒子体系的力学量平均值

设力学量 ( )1 2F r r− ，

不考虑交换对称性， ( ) ( ) ( )* 31 2 1 2 1 2 1 2

ˆ, , 3F r r F r r r r d r d rψ ψ= −∫ ；

考虑交换对称性， ( ) ( ) ( )* 31 2 1 2 1 2 1 2

ˆ, ,F r r F r r r r d r d rψ ψ± ±±= −∫ 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1

1 ˆ ˆ[ , , , ,2

r r F r r r r r r F r r r rψ ψ ψ ψ= − + −∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2

ˆ ˆ, , , ,r r F r r r r r r F r r r r d r d rψ ψ ψ ψ± − ± − 3 3]

( ) ( ) ( )* 31 2 1 2 2 1 1 2

ˆ, ,F r r F r r r r d rd r

F

ψ ψ= ± −

≠∫ 3

5

4.两全同费米子体系的自旋波函数

总波函数 ( )1 1 2 2, ; ,z zr s r sψ 。

若忽略 耦合，则 ˆL S•

( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2, ; , , ,z z zr s r s r r s s zψ ψ χ=

(总的 Hilbert空间是位形空间和自旋空间的直积)

总波函数交换反对称性要求：

a) 空间对称 ( 1 2,r r )ψ + ，自旋反对称 ( )1 2,z zs sχ− ，

或 b) 空间反对称 ( 1 2,r r )ψ − ，自旋对称 ( )1 2,z zs sχ+ 。

若忽略 耦合，总自旋波函数是单费米子自旋算符 的本征态的直积 1ˆ ˆS S• 2

)

ˆzS

( ) ( ) (1 2 1 2,z z z zs s s sχ χ χ= 。

因为单费米子的 只有两个本征态 ˆzS

12

10

χ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠， 1

2

01

χ−

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠，

所以两个费米子体系有 4个独立的自旋波函数：

( ) ( )1 12 2

1χ χ 2 ， ( ) ( )1 12 2

1χ χ−

2 ， ( ) ( )1 12 2

1 2χ χ−

， ( ) ( )1 12 2

1 2χ χ− −

，

可以构成 4个独立的对称或反对称自旋态：

( ) ( ) ( )11 2 1 1

2 2

, 1z zs sχ χ χ+ = 2 ，

( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 2 1 1 1 1

2 2 2 2

1, 1 2 22z zs sχ χ χ χ+

− −

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠1χ ，

( ) ( ) ( )31 2 1 1

2 2

, 1z zs sχ χ χ+− −

= 2 ，

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 12 2 2 2

1, 1 2 22z zs sχ χ χ χ−

− −

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠1χ

z

。

但这 4个自旋态是否是总自旋角动量

( )22 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2x x y y z zS S S S S S S S S S S= + = + + + +

和 1 2ˆ ˆ ˆ

z zS S S= +

的本征态呢？

1

本征值：

2 2

2 2

2

( 1) , , 0,1, ,...

2 , , 0,

0, 0

z

z

z

S s s S m s m s

S S

S S

= + = = = −

= = −

= =

s

因为两自旋子空间相互独立，有

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 21 1 1 1 2 1

2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ1 2 1 2S S Sχ χ χ χ χ+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎠

= +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 12 2 2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 1 2 2 1x x y y z zS S S S S Sχ χ χ χ χ χ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛

+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

2⎞⎟⎠

( ) ( ) ( ) ( )11 1 1 1 2 1

2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ1 2 1 2z z zS S Sχ χ χ χ χ+

⎛ ⎞ ⎛= +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

2 2 21 2

1 03ˆ ˆ 0 14

S S ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∵ ， 1 2

0 1ˆ ˆ1 02x xS S ⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

，

1 2

0ˆ ˆ02y y

iS S

i−⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

， 1 2

1 0ˆ ˆ0 12z zS S ⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟−⎝ ⎠，

2 1 2 1ˆ 2S χ χ+ +∴ = ， 1 1ˆzS χ χ+ += ，

同理可证明

2 2 2 2ˆ 2S χ χ+ += ， ， 2ˆ 0zS χ+ =

2 3 2 3ˆ 2S χ χ+ += ， 3 3ˆzS χ χ+ += −

2ˆ 0S χ− = ， 。 ˆ 0zS χ− =

故 χ+， χ−都是 ， 的本征态： 2S ˆzS

本征值 本征态

2 22S = ， ， 1, 0zS S⎧⎪= = ⎨⎪−⎩

1

2

3

χχχ

+

+

+

对称三重态；

2 0S = ， 0, 0zS S= = ， χ− 反对称单态。

问题：两全同费米子体系的自旋波函数是否一定是上述 4个态之一呢？

回答：若体系取反对称自旋态，必为 χ−；若取对称自旋态，可以是1χ+，

2χ+，3χ+的线形组合，

不再是自旋的本征态。

以上分别考虑了空间波函数和自旋波函数的对称性，以下考虑实际的全同粒子体系。

5.原子态

2

1）氦原子态

设含有 Z个电子的原子的哈密顿量为

2 22

1 , 1 (

1ˆ2 2

z z

jj j kj j k

Ze eHm r r r= =

⎛ ⎞= − ∇ − +⎜ ⎟⎜ ⎟

2

)j k≠ −⎝ ⎠∑ ∑ ，

第一项是电子动能，第二项是电子－原子核相互作用，第三项是两电子之间相互作用，忽略

了三体以上相互作用。在第三项中，两电子的相互作用在求和中进行了两次，故有因子 1/2。

由于没考虑 耦合，原子态为 ˆL S•

( ) (1 1, , ,...,z z zr r s s )zψ χ 。

对于氦原子， ，对称或反对称的自旋态上面巳给出。若不考虑两电子之间相互作用，

空间波函数为

2z =

( ) ( ) (1 2 1 2, nlm n l mr r r r )ψ ψ ψ ′ ′ ′= ， n nE ε ε ′= + ，( )22

2 2

12n

m Zen

ε = − 。

对于基态， 对称的空间波函数 ' 1, ' ' 0,n n l l m m= = = = = =

( ) ( ) ( ) ( )1 22 /1 2 100 1 100 2 3

8, r r ar r r r ea

ψ ψ ψπ

− ++ = = ， 109 E = − eV，

无反对称的空间波函数。

总的波函数为

( ) (1 2 1 2, ,z zr r s s )ψ χ+ 。

由于两电子相互作用势2

1 2

0er r

>−

，实际的基态能量要大于 109 eV− 。这时需要用微扰方法

来求解基态能。

如果不是基态，必须考虑空间波函数的对称和反对称结构。

2）原子的角动量

系统的行为由价电子决定，可以看成是由全同价电子构成的体系。

考虑有 2个价电子的原子。

自旋角动量：

1 2 1

1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ

1 1 0,12 2

S S S S

s s S

2S= +

= = =

量子数

轨道角动量：

3

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

, , 0, , 2L L L L Ll l l l L l l l l

= +

= = = − + =

量子数 l

总角动量 ： ˆˆ ˆJ L S= + ，

量子数 0

, ,1, , 1 1

L Sj L S L S

L L L S=⎧

= − + = ⎨ − + =⎩

。

问题：交换对称性对于 L和 S的取值有无限制？

总的波函数应该是反对称的。

空间波函数可分成质心与相对两部分。

质心部分 ( )RΦ ， ( 1 212

)R r r= + ，交换两个电子时，R R→ ，是交换对称的，

相对部分 ( ) ( )( ) ,NL LMr R r Y θ ϕΨ = ，交换两个电子时，r r→− ，故交换算符等价于宇称算符，

，由上一节的结果， 12P ⇔ I

)( ) ( ) (12ˆ , 1 ,L

LM LMP Y Yθ ϕ θ= − ϕ 。

故 L为偶数时，空间波函数是对称的； L为奇数时，空间波函数是反对称的。

考虑总波函数的反对称要求：

空间对称，自旋反对称，此时 L为偶数， 0S = ；

或空间反对称，自旋对称，此时 L为奇数， 1S = 。

不论何种情形，都有 L S+ 为偶数。表明受波函数交换对称性的限制， L和 不能任意组合。 S

6.Pauli效应导致的压强

固体中的电子可近似看成是自由电子气。

设固体的范围为

0 ,0 ,0x y zx L y L z< < < < < < L

对于每个电子：

固体内： 2

2

2E

mψ ψ− ∇ =

固体外： 0ψ =

分离变量： ( ) ( ) ( ) ( ), ,x y z X x Y y Z zψ =

( )( )( )sin cos sin cos sin cosx x x x y y y y z z z zA k x B k x A k y B k y A k z B k z= + + +

4

2 xx

mEk = ，

2 yy

mEk = ，

2 zz

mEk = ，

x y zE E E E= + + ， ，xE yE ， 为分离变量常数。 zE

由连续性条件：

( ) ( )0, , , , 0xy z L y zψ ψ= = ， ( ) ( ), 0, , , 0yx z x L zψ ψ= = ， ( ) ( ), ,0 , , 0zx y x y Lψ ψ= = ，

单电子空间态函数

( ), , 8 / sin sin sinx y zn n n x y zx y z V k x k y k zψ = ，

xx

x

nkLπ

= ， yy

y

nk

Lπ

= ， zz

z

nkLπ

= ， , , 1, 2,3x y zn n n = ，

x y zV L L L= 是固体体积，

单电子能量

( )2 2

2 2 2

2 2x y zn n n x y zE k k k km m

= + + = 2。

每个单电子态，即确定 ， ， ，在动量空间的体积为 xk yk zk

3 3

x y zx y z

k k kL L L Vπ π

∆ ∆ ∆ = = 。

设固体中有 个原子， 个电子。每个确定电子动量态最多只能有 2个电子（一个自旋为N Nq

12，一个自旋为

12

− ），则 个电子至少占据 个电子动量态。基态所占据的电子动量

空间体积为

Nq / 2Nq

331 4

8 3 2FNqk

Vπ π⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎟，

其中 为费米动量，即电子最大动量，1/8是考虑了动量空间中 ， ， 的限

制。故电子在坐标空间的数密度

Fk 0xk > 0yk > 0zk >

3

23FkNqn

V π= = 。

由于动量为 k厚度为 的球壳内对应的电子态数为 dk

( )2

23 2

1 482

/

k dk V k dkV

π

π π= ，

5

基态的总能量为 2 52 2

22 20 2 1

FkFk Vk VE k dk

m mπ π= =∫ 0

，

能量密度 2 5

210FkE

V mε

π= = ，

由热力学关系

FP nε µ= − + ，

化学势 Fµ 就是单电子的最高能量

22

2F FE km

µ = = F，

故基态的压强为

23

P ε= 。

注意：这个压强不是由于电子间的相互作用引起的，也不是由于热运动引起的，而完全是由

于全同粒子效应，即 Pauli不相容原理引起的，是量子效应。

6

第六章 定态近似方法 坐标表象的 Schroedinger方程

( ) (ˆ, ,i r t H rtψ ψ∂

=∂

)t 。

可以精确求解的物理问题太少，大部分实际问题不能严格求解，只能用近似方法。

不同的问题用不同的近似方法。

1） H不含时

求解定态 Schroedinger方程 ( ) ( )H r E rψ ψ=

束缚问题：求能谱 与态函数nE ( )n rψ

散射问题：求散射几率 ( ),σ θ ϕ

方法：定态微扰论，变分法，强耦合展开

2） H含时

能量无确定值，而是以一定的几率取一定能量值，可以在不能级间产生跃迁

求跃迁几率 mnW

方法：含时微扰论

1．定态微扰论思想

定态方程 ˆnH n E n=

令 ( ) ( )0 1ˆ ˆ ˆH H H= + ，

1） ( )0H 包含了 H 的主要部分，即 ( )1H 很小。由于 ( )0H 与 ( )1H 均为算符，比较大小可从经典

对应来理解。严格来说，是比较这两个算符的矩阵元，见下面讨论。

2）要求 ( )0H 的定态方程 ( ) ( ) ( ) ( )00 0ˆnH n E n= 0 可严格求解，在 ( )0H 表象近似求解 和nE n 。

( ) ( ) ( )0 1 2n n n nE E E E= + + + ，

( ) ( ) ( )0 1 2n n n n= + + +

代入待求的定态 Schroedinger方程

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )0 1 2 0 1 20 1 0 1 2ˆ ˆn n nH H n n n E E E n n n+ + + + = + + + + + + ，

1

然后，逐级近似求解该方程。

零级近似： ( ) ( ) ( ) ( )0 00 0ˆnH n E n= ，

通过严格求解得到 ( )0nE 和

( )0n 。

一级近似： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 10 1 0 1ˆ ˆn nH n H n E n E n+ = + 0

即 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 00 0 1 1ˆ ˆn nH E n H E n− = − − ，

进入 ( )0H 表象，求解 ( )1nE 和

( )1n 。

二级近似： ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 10 0 1 1 2ˆ ˆn n

0nH E n H E n E n− = − − + ，

进入 ( )0H 表象，求解 ( )2nE 和

( )2n 。

……

一般情形，只求到第一个不为零的修正项。

因为求解微扰修正是在 ( )0H 表象，要考虑 ( )0H 的本征态是否有简并的情形。

先考虑无简并情形。

2．零级能量无简并

1）将一级近似方程进入 ( )0H 表象：

( ) ( ) ( )1 0 (0)

in i i n=∑ 1

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0 0 1 00 0 1 1ˆ ˆn n

iH E i i n H E n− = − −∑

左乘( )0 m ，得

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 00 0 1 1 (1) (1)ˆi n mi n mn mn n mn

iE E i n m H n E H Eδ δ δ− = − + = −∑ + ，

其中， ( ) (0) (0)1 (1)ˆmnH m H n= 是 ( )1H 在 ( )0H 表象的矩阵元，上式巳经考虑了 ( )0H 的本征态的正

交归一化。

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 10 0 1 1m n mn nE E m n H E mnδ− = − +

当m 时， n= ( ) ( )1 1n nE H= n ，

当m 时， n≠ ( ) ( )( )

( ) ( )

10 1

0 0mn

n m

Hm nE E

=−

，

2

为了求得完整的( ) (1)1 (0)(0)

m

n m m=∑ n ，还需知道( ) ( )0 1n n 。

由近似到一级的归一化（忽略二级及二级以上高级修正）： ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 1 0 0 1 0 01 n n n n n n n n n n n n= = + + + + 1

，

由于 ( ) ( )0 0 1n n = ，

有 ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 0 0n n n n+ = ，

( ) ( ) ( ) ( )( )*0 1 0 1 0n n n n+ = ，

要求( ) ( )0 n n 1

的实部为零，只有虚部，即

( ) ( )0 1n n iα=

故 ( ) (1)0 (0)(0)

m

n n m m n= +∑ ( ) ( )( )

( ) ( )( )

10 0

0 0mn

m n n m

Hn i n mE E

α≠

= + +−

∑ 0

( )( )

( ) ( )( )

10 0

0 0i mn

m n n m

He n mE E

α

≠

= +−

∑ ( )( )

( ) ( )( )

10

0 0i mn

m n n m

He n mE E

α

≠

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

∑ 0（近似到一级）

说明：( ) ( )0 1n n iα= 的贡献只是增加一个相因子，α的取值不影响几率计算的结果。

可取 0α = ，近似到一级的定态 Schroedinger方程的解是

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

0 1

10 0

0 0

n n nn

mn

m n n m

E E H

Hn n mE E≠

⎧ = +⎪⎨

= +⎪ −⎩∑

。

2）将二级近似方程进入 ( )0H 表象：

( ) ( ) ( ) ( )2 0 0

in i i n=∑ 2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 2 0 0 1 00 0 1 1 2ˆ ˆn n

i i nH E i i n H E i i n E n

≠

− = − − +∑ ∑ n

左乘( )0 m ，得

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )0 2 0 10 0 1 1 2i n mi mi n mi n mn

i i nE E i n H E i n Eδ δ δ

≠

− = − −∑ ∑ + ，

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 2 (0) 1 0 10 0 1 1 2m n mi n n mn

i nE E m n H i n E m n E δ

≠

− = − + +∑

当 时， m n= ( ) ( )0 1 0n n iα= = ，

3

( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

211 1(0) (1)2 (1)

0 0 0 0

inni inn ni

i n i n i nn i n i

HH HE H i nE E E E≠ ≠ ≠

= = =− −

∑ ∑ ∑

当m 时，可以得到n≠ ( ) ( )1 m n 2 （自己看书，计算）。

于是，近似到二级的定态 Schroedinger方程的解是

( ) ( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

210 1

0 0

10 0

0 0

in

n n nni n n i

in

i n n i

HE E H

E E

Hn n i nE E

≠

≠

⎧⎪ = + +⎪ −⎨⎪

= + +⎪−⎩

∑

∑ 2

3）收敛性讨论：

微扰论能实际应用的条件是收敛性，即

( )

( ) ( )

1

0 0 1in

n i

HE E

<<−

，

即 ( ) ( ) ( )1 0in n iH E E<< − 0

。

这就是 ( )1H 远小于 ( )0H 的意义：在 ( )0H 表象， ( )1H 的矩阵元远小于 ( )0H 的两个对应能级之差。

由此可知：

1）上述方法只适用于 ( )0H 有分离谱。对于连续谱， ( ) ( )0 0 0n iE E− → ，上述不等式不可能存立。

2） ( )0H 有简并时也不能用。有简并时，对态求和i∑ 包含了与

( )0n 有相同能量 ( )0nE 的简并

态，此时 ( ) ( )0 0 0n iE E− = ，上述不等式也不可能存立。

例题：带电谐振子在外电场中的运动。

设电荷为 ，场强q ε，

2 22 2

2

1ˆ2 2

dH m xm dx

q xω ε= − + −

对于弱电场ε，取

( ) ( )0 1ˆ ˆ ˆH H H= + ，

( )2 2

0 2 22

1ˆ2 2

dH m xm dx

ω= − + ， ( )1H q xε= −

4

零级近似： ( ) ( ) ( ) ( )0 00 0ˆnH n E n= ，

( )0 12nE n ω⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠， ( )0 ( )nx n ψ= x ，厄米多项式，无简并。

一级近似： ( ) ( )1 1n nnE H q xnnε= = − ，

( ) ( )0 0, 1 , 1

1ˆ2 2mn m n m n

n nx m x nm

δ δω + −

⎛ ⎞+= = +⎜⎜

⎝ ⎠⎟⎟， 0nnx = ， ( )1 0nE = 。

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

11 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0 0 01 1

1 1 12

mn mn

m n m nn m n m

n n n n

H xn m q mE E E E

n nq nm E E E E

ε

εω

≠ ≠

+ −

= = −− −

⎛ ⎞+= − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

∑ ∑

n

( ) ( )( )0 0

31 1 1

2q n n n nmεω

= + + − − 。

进入坐标表象：

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 01

31 1 1

2n

qx x n n x n n x nm

0εψω

= = + + − −

( ) ( ) ( ) ( )( )0 01 13

12

n nq n x nm

xε ψ ψω

+ −= + − 。

二级近似： ( )( )

( ) ( )

212

0 0

mnn

m n n m

HE

E E≠

=−

∑ ( ) ( )

2

, 1 , 12 2 2 2

20 0

12 2

2

m n m n

m n n m

n nq q

m mE E

δ δε ε

ω ω

+ −

≠

⎛ ⎞++⎜ ⎟

⎝ ⎠= =−

∑ −

故精确到第一个不为零的修正项，有

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2

2

0 1 0 0 01 13

1 2 2

12

n

n n n n n n

qE nm

qx x x x n x nm

εωω

ψ ψ ψ ψ ψ ψω

+ −

⎧ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⎨⎪ = + = + + −⎪⎩

x 。

能否有精确解？

( ) ( )2 2

2 22

12 2

d m x q x x E xm dx

ω ε ψ ψ⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

配平方： ( ) ( )22 2 2 2

22 2

12 2 2

d q qm x x E xm dx m m

ε εω ψω ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− + − = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠2 ψ

5

令 2

qxmεξω

= − ，

有 ( ) ( )2 2 2 2

2 22 2

12 2 2

d qm Em d m

εω ξ ψ ξ ψ ξξ ω

⎛ ⎞ ⎛− + = +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

解为 ( )

2 2 2 2

2 2

2

1 1 2 2 2 2

,

n n

n n

q qE n E nm m

qxm

ε εω ωω ω

εψ ξ ψω

⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + → = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨

⎛ ⎞⎪ = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩厄米多项式

说明：能量近似到二级巳是精确解。

6

6.3简并微扰论

( ) ( ) ( ) ( )0 00 0ˆ , ,nH n i E n i= ， 1, 2, ,i a= ，

零级能量有a重简并，但通过 Schmidt方法等可以保证互相之间正交归一，

( ) ( )0 0, , ijn i n j δ= 。

问题：选取( )0,n i 中的哪一个作为 H的零级波函数？

取一般形式，

( ) ( )0 0

1,

a

ii

n c n i=

= ∑ ，

它仍是 ( )0H 的属于 ( )0nE 的本征态。

问题： 怎样取？ ic

在简并子空间中，将( )0n 代入一级近似方程：

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 00 0 1 1ˆ ˆn nH E n H E n− = − − ，

有 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 00 0 1 1

1

ˆ ˆ ,a

n i ni

H E n c H E n i=

− = − −∑ ，

左乘( )0 , ( 1,......, )n j j a= ：

( ) ( )( )1 1

1

0a

i ji n jii

c H E δ=

= −∑ ， ( ) ( ) ( ) ( )0 01 1ˆ, ,jiH n j H n i= ，

该齐次方程组（a个方程）确定 个系数a ( 1,......, )ic i a= 。

ic 不全为零的条件是系数行列式等于零：

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 111 12 1

1 1 1 121 22 2

1 1 1 11 2

0

n a

n a

a a aa n

H E H H

H H E H

H H H E

−

−=

−

，

久期方程 能量一级修正→ ( )1nE 的 个根a ( )1

niE 。

( ) ( )0 0 (1) , i 1,...n ni n niE E E E→ = + = a

1

如果久期方程的 a个根互不相等，间并完全消去，如果有重根，间并部分消去。

将每一个 ( )1niE 代回齐次方程组，可以得到一组系数 1 2, , ,i i iac c c ，则得到一个与 niE 相

应的 H的零级波函数

( ) ( )0 0

1, ,

a

ijj

n i c n j=

=∑ ，

高级修正可参考教科书。

例 1：二重简并体系 ( )0nE ，

( )0,1n ，( )0, 2n 。

在 2维简并子空间中的久期方程为

(1) (1) (1)(0) (0)(1) (1)11 12

(1) (1) (1)21 22

ˆ0, , ,nij

n

H E HH n i H n j

H H E−

= =−

，

即 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 1 1 1 1 111 22 11 22 12 0n nE H H E H H H− + + − = ，

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 21 1 1 1 111 22 11 22 12

1 42nE H H H H H⎛ ⎞

= + ± − +⎜ ⎟⎝ ⎠

1

若 ( )112 0H = ，

则 ， ， ( ) ( )1 11 1nE H= 1

12

( ) ( )12 2nE H= ( ) ( )0

1 1n nE E H= + 11 ， ( ) ( )0 1

2 2n nE E H= + 2。

例 2：外电场中的氢原子。

2 2 2 22 2ˆ cos

2 2e eH e r er r

rε ε θµ µ

= − ∇ − + ⋅ = − ∇ − +

已选外电场ε 的方向为 轴。 z

对于弱电场ε，

( )2 2

0 2ˆ2

eHrµ

= − ∇ − ， ( )1ˆ cosH e rε θ=

零级近似： ( )4

02 22neE

nµ

= − ， 重简并态2n ( )nlm rψ

对于 ： 2n = ( )02E ，4重简并态 1 200ϕ ψ= ， 2 210ϕ ψ= ， 3 211ϕ ψ= ， 。 4 21ϕ ψ −= 1

为求解久期方程，先计算微扰矩阵元

( ) ( ) ( ) ( )1 13 * ˆij i jH d r r H rϕ ϕ= ∫ ，

2

有 ( ) ( )1 112 21 03H H e aε= = − ，其他矩阵元都为零。

在 4维简并子空间中的久期方程为

( )

( )

( )

( )

12 0

10 2

12

12

3 0 0

3 00

0 0 0

0 0 0

E e a

e a E

E

E

ε

ε

− −

− − 0=

−

−

有 ( )12,1 03E e aε= ， ( )1

2,2 03E e a ( ) ( )1 12,3 2,4 0E E= = 。 ε= − ，

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 02 2 2 0 2 0 2(4 +3 , 3 , (2iE E E e a E e a Eε ε→ =重间并） － 重间并）

零级能量 ( )02E 的 4重简并部分消除：

将 ( )12iE 代入齐次方程组，

( )

( )

( )

( )

12 0 1

10 2 2

132

1 42

3 0 0

3 0 00

0 0 0

0 0 0

i i

i i

ii

ii

E e a ce a E c

cEcE

ε

ε

⎛ ⎞− − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠−⎝ ⎠

得到系数 1 2 3 4, , ,i i i ic c c c ，

则 ( )4

02

1i ij

jc jψ ϕ

=

=∑ 与 ( )0 (1)2 2 2+iE E E= i 对应。

例 3：氢原子的相对论修正。

非相对论动能 2

2pTm

= ，

相对论动能 2 4

2 2 2 4 23 22 8

p pT p c m c mcm m c

= + − = − + ，

只保留 4p 项，有 2 2 4

3 2

ˆ ˆˆ2 8p e pHm r m c

= − − 。

取 ( )2 2

0 ˆˆ2p eHm r

= − ， ( )4

13 2

ˆˆ8

pHm c

= − 。

零级近似： 能量 ( )0nE ， 重简并态2n ( ) ( )( ) ,nlm nl lmr N r Yψ θ ϕ= ， 0,... 1, ,...l n m l l= − = − 。

3

在 维简并子空间中的微扰矩阵元 2n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 01 1 4, 3 2

1ˆ ˆ8nlm nl mH nlm H nl m nlm p nl mm c′ ′

0′ ′ ′= = − ′ ，

由定态 S 方程 hrodinger

( ) ( ) ( ) ( )2

0 00ˆ2 np V r nlm E nlmm

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠，

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )0 00 02 (0) 2 (0)ˆ ˆ2 , 2n np nlm m E V r nlm nlm p nlm m E V r= − = −

故 ( ) ( ) ( )( ) ( )20 00(1), ' ' 2

12nlm nl m nH nlm E V rmc

nl m′ ′= − −

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 0 0 00 0 22

1 22 n ll mm nE E nlm V r nl m nlm V r nl mmc

δ δ′ ′0′ ′ ′= − − + ′

由于 与( )V r θ，ϕ无关，

( ) ( ) ( )2 2

0 0 2' 2( ) ( )nl nl ll mm ll mm

e enlm V r nl m drr N r N rr n a

δ δ δ δ′ ′ ′′ ′ = =∫ ′− ，

( ) ( ) ( )

( )4

0 023 21/ 2 ll mm

enlm V r nl ml n a

δ δ′ ′′ ′ =+

故 ( ) ( )1 1,nlm nl m nl ll mmH H δ δ′ ′ ′ ′= ， ( ) ( )( ) ( )

( )2 421 0 0

2 2

1 22 1nl n n

e eH E Emc n a l n a

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

3 2/ 2，

说明：微扰矩阵元 在由 的本征态构成的简并空间中是对角的，久期方程的根是 ( )1,nlm nl mH ′ ′

2ˆ ˆ, zL L

( )1(1)nl nlE H= ，

( )1(0) 2 (0) ( ( n nl n nlE n E E H l→ = + +重间并） 重间并）2 1 。

例 4：光谱的精细结构。

考虑氢原子的自旋-轨道耦合

( ) ( )0 1ˆ ˆ ˆH H H= + ， ( ) ( )2

0 2ˆ2

H V rµ

= − ∇ + ( ) ( ) ( )12

1 1 ˆ ˆˆ ˆˆ2

dV rH L S r L S

r drξ

µ= − • = •，

( )1H 的形式是由相对论量子力学给出的。

零级近似：

本征值 ( )0nE ， 重简并态可用由守恒力学量组22n 2ˆ ˆˆ ˆ, , ,z zH L L S 构成的无耦合表象中的

4

l snlm m 描述，也可用由守恒力学量组 2 2ˆ ˆ ˆˆ , , , zH L J J 构成的有耦合表象中的 jnljm 描述。

零级态有简并，需求解久期方程。

到底取哪个表象？

若在无耦合表象考虑久期方程，由于 ( )1ˆ ˆ, 0zH L⎡ ⎤ ≠⎣ ⎦ ， ( )1 ˆˆ , zH S⎡ ⎤ 0≠⎣ ⎦ ，零级态，即 2L ， 和

的共同本征态不是

ˆzL

ˆzS ( )1H 的本征态，那么矩阵 ( )1H 在由 2L ， 和 构成的简并空间有非对

角元

ˆzL ˆ

zS

( )1ˆl s l snlm m H nl m m′ ′ ′ ，久期方程结构会很复杂。

若在有耦合表象考虑久期方程，由于 ( ) ( ) ( )1 1 12 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, , , zH J H L H J⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ，零级态，即

2 2ˆˆ ,L J ，和 的共同本征态是ˆzJ ( )1H 的本征态，故 ( )1H 矩阵在由 2L ， 2J ， 构成的简并空间是

对角矩阵，能量的一级修正就是对角元

ˆzJ

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 2 2

22 2

0

ˆˆˆ

ˆˆ ˆ 2

1 1 ( 1)2

nlj j j j j

j j

nl

E nljm H nljm nljm r L S nljm

rnljm J L S nljm

j j l l s s R r r r dr

ξ

ξ

ξ∞

= = •

= − −

= + − + − +⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫

，

( )1(0) 2 (0) (2 2 1 n nlj n nljE n E E E j→ = + +重间并） （ 重间并)。

例如取 ， 2n =

( )

( )

( )

1(0)2 321

2

1(0) (0)2 2 21

2

1(0)2 120

2

(8 nlj

E E

E E E E

E E

⎧+⎪

⎪⎪→ = +⎨⎪⎪ +⎪⎩

(4重间并)

重间并） (2重间并)

(2重间并)

1 。

注意： 时，0l = j s= ， ( )11202

0E = 。

5

6.4变分法

非微扰近似方法。

ˆnH n E n= ，

对于任意态

nn

c nψ =∑ ，

能量平均值 2* *

0, ,

ˆ ˆm n m n n mn n n

n m n m n

E H c c m H n c c E c Eψ ψ δ= = = =∑ ∑ ∑ E≥ （基态能量）。

变分方法思想：

取不同的态 ψ ，计算 ˆE Hψ ψ= ，其中最小的 E 最接近 ，可近似看成基态能 。 0E 0E

方法：

由体系的物理性质猜测含参量λ的尝试波函数 ( )ψ λ ，计算

( ) ( ) ( )ˆE Hλ ψ λ ψ λ= ，

由 ( ) 0d E

dλ

λ= ，

( )2

2 0d E

dλ

λ>

0 λ→ ，能量最小值 ( )0E λ 。

则基态能

( )0 0E E λ≈ 。

例：氦原子基态。

( )2 2 2 2 2

02 21 2

1 2 1 2 1

2 2ˆ ˆ2 2

e e e eH Hr r r r r rµ µ

= − ∇ − ∇ − − + = +2

2− −

（已近似认为原子核固定不动）

对于 ( )0H ，基态 ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2, , , , ,z z z zr r S S r r S Sψ ψ χ+ −= ，

( ) ( ) ( )1 2 100 1 100 2,r r r rψ ψ ψ+ = ， ( ) 0

3/ 2

1000

1 Z raZr e

aψ

π

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠2， Z = 。

注意：由 ( )100 1rψ 和 ( )100 2rψ 不能组成反对称空间态。

对于 H，考虑两电子间相互作用后，两电子之间的屏蔽使得有效电荷 2Z < 。取 Z为参数，

1

( ) ( )1 2 1 2, , ,z zr r Z S Sψ χ+ −ˆ为H的尝试波函数。

由于 H与自旋无关，

( ) ( ) ( )* 31 2 1 2 1 2

ˆ, , , , 3E Z r r Z H r r Z d r d rψ ψ+ += ∫ ，

22 272

4 2eZ Za

−⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

，

由 ( ) 0d E Z

dZ= ， ( )2

2 0d E Z

dZ>

得 02716

Z = ，

基态能 ( )2

0 00

2.85 eE E Za

≈ = − ，

与 对应的基态波函数为0E ( )1 2 0, ,r r Zψ+ 。

基态能实验值为2

0

2.904 ea

− 。

也可用微扰论的方法来求解基态能量修正：

( )2

1

1 2

ˆ eHr r

=−，

基态不简并，用非简并微扰论，得

( ) ( ) ( )2 2

1 3 3 *0 1 2 1 2 1 2

1 2 0

5, ,4

e eE d r d r r r r rr r a

ψ ψ+ += =−∫ ，

2 2

00 0

54 2.754

e e eEa a a

− + = −2

0

。

可见，变分的结果更接近实验值，更好。

6.5强耦合 方程 Shrodinger

1999年，李政道等提出了一种求解强耦合 Schroedinger方程的方法，以下用汤川势为例来

简单介绍。

汤川势

( ) 2reV r g

r

α−

= − ， 强耦合 。 1g >

2

能量本征方程

( ) ( ) ( )2

2

2V r r E rψ ψ

µ⎛ ⎞− ∇ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

无严格解析解。

令 ，以简化计算过程。 1=

基态波函数与角度无关，令

( ) ( )S rr eψ −= ，

将本征值E和本征态的指数函数 用 来展开： ( )S r 21/ g

4 20 1 2E g E g E E= + + + ，

2 20 1 2S g S S g S−= + + +

这样展开的目的是使得V 不出现在 与 的方程中。 0E 0S

代入定态 Schroedinger方程，并比较 g的相同幂次，得到

( )2

0 02S m∇ = − E

20 1 0 1

12

reS S S m Er

α−⎛ ⎞∇ •∇ = ∇ − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )2 20 2 1 1

1 12 2

S S S S mE∇ •∇ = − ∇ + ∇ − 2

……

零级方程的解

( )0 02 S r mE r= − ，

开方只取正号是考虑了无穷远处波函数 ( )rψ 为零的约束条件。

将 ( )0S r 代入一级方程

( )10 0

12 2 rdSmE mE me mEdr r

α−− = − − − 1，

要求ψ 和ψ 的一级导数连续，故要求 1dSdr在 0r = 处非奇异，有

0

0

2lim

r

r

mE mer

α−

→

− − 有限，

3

故

( )

( )

0

0

1 10

/ 2, ,

1 1r r

E mS r mr

S dr e Er

α ′−

= −

=

⎛ ⎞′= −⎜ ⎟′⎝ ⎠∫ −

代入二级方程，要求 2dSdr在 处非奇异，有 0r =

1E α= 。

如此逐级求解，基态能

2 24 2 2

2

32 4 2mE g g g

m mα αα −= − + − + + 。

若取 0α = ，汤川势退化为库仑势，此时

( ) ( )2 20

4

2g S r mg r

mE g

r e eψ − −

⎧ = −⎪⎨⎪ = =⎩

，

与氢原子问题的严格解完全相同。

第七章 散射 上面讨论的微扰方法主要适用于束缚态，即分离谱的情形。如何求解连续谱的问题？

连续谱对应的物理问题就是散射。

1. 一般描述

4

入射平面波经散射变为球面波。

求在Ω方向单位立体角内发现一个粒子的几率 ( ),σ θ ϕ 。

( , )σ θ ϕ 与相互作用、靶的性质相关，用来了解靶粒子的内部结构和发现新粒子。

散射分为弹性散射和非弹性散射。

弹性散射：散射前后粒子的性质不改变，不激发，不产生新粒子，只改变粒子运动的方向。

非弹性散射：散射后粒子被激发，后者产生新粒子。

我们只考虑弹性散射。

设入射平面波为

( )1ikzr Aeψ = ，

入射粒子几率流密度（单位时间内穿过单位面积的几率）为

*2*1 1

1 12zi kJ A

z zψ ψψ ψ

µ µ⎛ ⎞∂ ∂

= − =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠，

这些入射粒子在单位时间内散射到 dΩ方向的几率为

( ),zdN J dσ θ ϕ= Ω。

分析σ 的量纲： [ ] 1dNT

=∵ ， [ ] 2

1zJ

L T= ， [ ] 1dΩ = ，

[ ] 2Lσ∴ = ，面积量纲，故称 ( ),σ θ ϕ 为微分散射截面。

2.计算 ( , )σ θ ϕ 的一般方法

当 r ， ，→∞ ( ) 0V r → ( )rψ 包含两部分：没受相互作用影响沿 方向传播的入射波和沿z r方

向传播的散射球面波

( ) ( ) ( ) ( )1 2 ,ikr

ikz er r r r Ae Afr

ψ ψ ψ θ ϕ→∞ + = + 。

注意：1）球面波与θ，ϕ有关，可调节 ( ),f θ ϕ 使得 2ψ 与 1ψ 有相同常数 A， ( ,f )θ ϕ 的具体

形式由相互作用决定。2）弹性散射，能量不变， 大小不变，但方向变化。 k

散射粒子几率流密度

( ) ( )2 2*

2*2 22 2 2 2

, ,2r z

f fi kJ Ar r r r

Jθ ϕ θψ ψψ ψ

µ µ⎛ ⎞∂ ∂

= − = =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

ϕ，

5

单位时间内散射到 d 内的几率为 Ω

( ) 22 ,r r zdN J dS J r d J f dθ ϕ= = Ω = Ω，

与微分散射截面的定义式

( ),zdN J dσ θ ϕ= Ω

比较，得

( ) ( ) 2, ,fσ θ ϕ θ ϕ= ，

( ,f )θ ϕ 可称为散射振幅。

结论：计算 ( , )σ θ ϕ 的一般方法：

1）求解具体的 Schroedinger方程得到 ( )rψ ；

2）将其渐进解 与一般渐进解(r →∞) ( ) ( ),ikr

ikz er Ae Afr

ψ θ ϕ→∞ = + 比较，得到 ( ),f θ ϕ ；

3） ( ) ( ) 2, ,fσ θ ϕ θ ϕ= 。

6

3. 定态方程的积分形式

用 Green函数方法求解 Schroedinger方程

定态方程

( ) ( ) ( )2

2

2V r r E rψ ψ

µ⎛ ⎞− ∇ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

，

令 22

2 Ek µ= ， ( ) ( )2

2U r V rµ= ，

有 ( ) ( ) ( ) ( )2 2k r U r rψ ψ∇ + =

')

，

具有连续源 。 ( )U r

先求解点源 (r rδ − 对应的定态方程

( ) ( ) ( )2 2 ,r k G r r r rδ′ ′∇ + = − ，

解为 Green函数 ( ) 1,4

ik r reG r rr rπ

′−

′ = −′−。

因为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 'k r d r U r r r rψ ψ δ′ ′ ′∇ + = −∫

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 2 2

2 2 3

,

,

rd r U r r k G r r

k d r U r r G r r

ψ

ψ

′ ′ ′= ∇ + ′

′ ′ ′= ∇ +

∫′∫

，

所以定态方程的一个特解为

( ) ( ) ( ) ( )3 ,r d r U r r G r rψ ψ′ ′ ′= ∫ ′ 。

由于定态方程对应的齐次方程（无源方程）

( ) ( )2 2 (0) 0k rψ∇ + =

的解可取为

( )(0) ik rr Aeψ ⋅= ，

故定态方程（非齐次方程）的通解为

( ) ( ) ( ) ( )3 ,ik rr Ae d r U r r G r rψ ψ⋅ ′ ′ ′ ′= + ∫ 。

这是一个关于 ( )rψ 的积分方程，Lippmann－Schwinger方程，与定态方程的微分形式完全

等价。

1

积分方程有其优点：

1）边界条件已包含在方程中；

2）可用迭代法求解。

4. 一级 Born近似

若势能 是一个弱势，积分方程零阶解可取为 ( )V r

( ) ( )0 ik rr Aeψ ⋅= ，

一级近似 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 03 ,ik rr Ae d r U r r G r rψ ψ⋅ ′ ′ ′ ′= + ∫

由于势能 ( )V r′ 的有效区域有限，当 时，有 r →∞

r r′ << ，

( ) ( )1/ 2

1/ 22 2 222 1 2 r r r rr r r r r r r r r r

r r′ ′• •⎛ ⎞′ ′ ′ ′− = − = + − • ≈ − ≈ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( ) ( )1 3 '1 4

r rikr ikik r ik rrer r Ae A d r e U r er

ψπ

′•−⋅ ⋅′ ′→ ∞ − ∫

注意：相位中 'r r− 保留到一级近似，分母中 'r r− 只保持到零级。

与标准渐进解

( ) ( ),ikr

ik r er Ae Afr

ψ θ ϕ⋅= +

比较，得 ( ) ( )3 '1,4

r rik ik rrf d r e U r eθ ϕπ

′•− ⋅′ ′= − ∫

令 rk kr

′ = ，

则 ( ) ( ) ( )31,4

i k k rf d r e U rθ ϕπ

′ ′− •′ ′= − ∫ 。

k

q k

'k

k

'krr

Θ

2

对于低能散射，入射波矢 | 很小，相位在有效相互作用范围内可看成一个常数，提到

积分号外，对

|k

σ 无贡献，

( ) ( )31,4

f d r U rθ ϕπ

′ ′= − ∫ 。

a

例题：低能散射势 0 , ( )

0, V r

V rr a≤⎧

= ⎨ >⎩

( ) ( )3 30 02 2

1 4,4 2 2r a

V V 3

3f d rU r d r aµ µθ ϕ π

π π π≤

= − = − = −∫ ∫ ，

23

2 02

2( , ) ( , )3V af µσ θ ϕ θ ϕ

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

总截面 23

02

2( , ) 43totV ad µσ σ θ ϕ π

⎛ ⎞= Ω = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ 。

对于高能散射，如果为中心势场

( ) ( )V r V r= ，

( ) ( )22 c

0 0 0

1, ' sin4

iqr osf dr r U r d e dπ πθθ ϕ θ θ ϕ

π∞ ′ ′−′ ′ ′ ′ ′= − ∫ ∫ ∫

( ) ( )20 0

1 2' sin ' sindr U r r qr dr V r r qrq q

µ∞ ∞′ ′ ′ ′ ′= − = −∫ ∫ ′，

其中 q是θ的函数

( )2 2 2 2 22 cos 2 1 cos 4 sin 2 sin2 2

q k k k k kk k k kθ θθ θ′ ′ ′= − = + − = − = = 。

微分散截面

( ) ( ) 2fσ θ θ= 。

注意：使用 Born近似的条件是弱势散射。

5. Born级数

Lippmann－Schwinger方程

( ) ( ) ( ) ( )(0) 3( ) ,r r d r G r r U r rψ ψ ψ′ ′ ′= + ∫ ′ 。

零级近似： (0) ( )rψ

3

一级近似： ( ) ( ) ( ) ( )(1) (0) 3 (0)( ) ,r r d r G r r U r rψ ψ ψ′ ′ ′= + ∫ ′

二级近似：

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

(2) (0) 3 (1)

(0) 3 (0) 3 (0)

(0) 3 (0)

3 3

( ) ,

( ) , ( ') " ', " " "

( ) ,

" , ',

r r d r G r r U r r

r d r G r r U r r d r G r r U r r

r d r G r r U r r

d r d r G r r U r G r

ψ ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

′ ′ ′ ′= +

ψ⎡ ⎤′ ′ ′= + +⎣ ⎦′ ′ ′ ′= +

′ ′ ′+

∫∫ ∫∫

( ) ( ) ( )(0)" " "r U r rψ∫

上面级数展开可以用下面的图形来表示，

ΨΨ0Ψ0 Ψ0V V

VG G G ......

Green函数是传播函数。

4

6.分波法

求中心势场的散射振幅。

1) 思想

入射波 ikzAe 是自由粒子 ˆ ˆˆ, , zH p L 的共同本征态，本征值为

2 2

, 0, , 02 x y z zkE p p p k Lµ

= = = = = 。

对于中心势， p不是守恒量，但 是守恒量。守恒力学量组为2L 2ˆˆ ˆ, , zH L L 。故在用守恒力学

量组的共同本征态构成的 Hilbert空间能方便地描述中心场散射问题。

将 ikzAe 按照 2ˆˆ ˆ, , zH L L 的共同本征态来展开。由于 ikzAe 是 H和 2L 的本征态，由能量守恒

不变， 守恒 不变，故将

→

k ˆzL → 0m = ikzAe 按照 2L 的 0m = 的本征态来展开，即分波（ l）展

开。

平面波的被散射变成分波散射之和。

2）平面波的分波展开

由数学物理方法，将平面波 ikzAe 用 0m = 时 2L 的本征态 ( )coslP θ 展开，

( ) ( ) (cos

02 1 cosikz ikr l

l ll

e e l i j kr Pθ )θ∞

=

= = +∑ ，

( )lj kr ： 阶球 Bessel函数。 l

当 r 时，→∞ ( ) 1 sin2llj kr kr

krπ⎛ ⎞→ −⎜ ⎟

⎝ ⎠，

( ) ( )0

12 1 sin cos2

ikz ll

l

le l i kr Pkr

π θ∞

=

⎛ ⎞→ + −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ，

标准渐进解

( ) ( )

( ) ( ) ( )0

lim

1 2 1 sin cos .2

ikrikz

r

ikrl

ll

er Ae Afr

l eA l i kr P Afkr r

ψ θ

π θ θ

→∞

∞

=

= +

⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

3）中心场中态的分波展开

中心场问题定态 Schroedinger方程满足能量守恒，m固定的一般解

1

( ) ( ) (0

, cl ll

r R r P )osψ θ θ∞

=

=∑ ，

( )lR r 由径向方程决定

( ) ( )2 22 2 2

11 2 0ll

l ldRd r k V r Rr dr dr r

µ +⎛ ⎞⎛ ⎞ + − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

。

当 r 时， ， →∞ ( ) 0V r →

( ) ( )2

22 0l

l

d rRk rR

dr+ = ，

故 ( ) sin2

ll l

A lR r A krkr

π δ⎛ ⎞→∞ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

，

两个待定常数 和lA lδ ，与具体中心场 ( )V r 有关，2l π− 和 A是为了计算方便引入的。故渐进

解为

( ) ( )0

lim , sin cos2

ll lr l

A lr A kr Pkr

ψ θ π δ∞

→∞=

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ θ 。

与标准渐进解相比较，有

( ) ( ) ( ) ( )0 0

12 1 sin cos sin cos2 2

ikrl l

l ll l

Al e ll i kr P f kr Pkr r kr lπ θ θ π δ

∞ ∞

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ θ 。

利用 sin2

ix ixe exi

−−= ，

有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ 2/ 2

0 0

0 2 2 1 cos cosli ll il ikrl l l

l l

kif l i e P Ae P eδ ππθ θ∞ ∞

−−

= =

⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ θ

( ) ( ) ( ) ( )/ 2/ 2

0 0

2 1 cos cosli ll il ikrl l l

l l

l i e P Ae P eδ ππ θ θ∞ ∞

− − −

= =

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ ，

对任意的 均成立的条件是 和 前面的系数分别为零，即 r ikre ikre−

( )

( ) ( ) ( ) (0 0

2 1

1 2 1 cos sin

l

l

ill

il l

l l

A l i e

f l P ek

δ

δ )lfθ θ δ∞ ∞

= =

= +

= + =∑ ∑ θ

分波散射振幅： ( ) ( ) ( )1 2 1 cos sinlil lf l P e

kδ

lθ θ δ= +

2

总散射振幅是分波散射振幅之和。

分波散射振幅只与 lδ 有关，关键是求 lδ 。

结论：求中心场微分散射截面的方法：

1）将 代入径向方程，得到 ( )V r ( )lR r

2）将 ( )lim lrR r

→∞与 sin

2l

lA lA krkr

π δ⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

相比得到 lδ

3）分波散射振幅 ( )lf θ ，则 ( ) ( )2

0l

lfσ θ θ

∞

=

= ∑ 。

lδ 的物理意义：

散射前的分波为 1 sin2lkr

krπ⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠，

散射后的分波为 1 sin2 llkr

krπ δ⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠，

可见，散射前后是同一分波，只是有一总体的相移 lδ 。

4）收敛性

求和收敛性的半经典估计：

动量 p固定时（平面波，动量守恒），角动量 L pr∼ 越大，两粒子相距越远，受势场的影响

越小。设 的有效半经为 ，( )V r a L pa< 时才有散射，即只有当 l满足 ( )1l l ka+ < 时，才有

贡献。当入射能量 较小时，可只取低次分波的贡献，例如 分波。 ( )E k s

低能散射的收敛性好。

例：低能粒子被球对称势阱的散射。 ( ) 0

0V r

V rr a

a− ≤⎧= ⎨ >⎩

3

径向方程 ( ) ( )2 22 2 2

11 2 0ll

l ldRd r k V r Rr dr dr r

µ +⎛ ⎞⎛ ⎞ + − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

只考虑 s分波 ( ，则 0l = )

( ) ( )

( ) ( )

20 2

02

20 2

02

0

0

d rRk rR r a

drd rR

k rR r adr

⎧′+ =⎪⎪

⎨⎪

≤

+ = >⎪⎩

，

22

2 Ek µ= ， 2 2

02

2k k Vµ′ = + ，

解为 ( )0

0

00

0

sin( )

sin( )

CA k r B rrR rCA kr B rr

′⎧ ′ ′+ ≤⎪⎪= ⎨⎪ + >⎪⎩

a

a

要求 时， 有限，故 0r = ( )0R r 0 0B′ = ，

又要求 r 时， ，a= ( )0R r ( )0dR rdr

连续，0 0

0 arctan tan

C CkB k a kak

′ =⎧⎪⎨ ⎛ ⎞′= −⎜ ⎟⎪ ′⎝ ⎠⎩

。

将 ( ) 00 0lim sin( )

r

CR r A kr Br→∞

= +

与中心势的标准渐进式

( ) ( )00 0lim sin

r

AR r A krkr

δ→∞

= +

比较，有 波相位移 s

0 0Bδ = ，

由于 0 (cos ) 1P θ = ，

( ) 00 0

1 sinif ek

δθ δ= ，

( )0( )f fθ θ∼ ，

( ) ( ) ( )2

2 2 00 2

sinf fkδσ θ θ θ= = 。

低能时， ， 0k →

4

arctan tan tank kk a k ak k

⎛ ⎞′ ′→⎜ ⎟′ ′⎝ ⎠， 2

02

2k Vµ′ → ，

0tantan 1k kk a ka ka

k kδ a

a′⎛ ⎞′ − = −⎜ ⎟′ ′⎝ ⎠

，

( )22 2

20 02 2

sin tan 1k aak k k aδ δσ θ

′⎛ ⎞−⎜ ⎟′⎝ ⎠。

由于只考虑了 s分波，σ 与θ无关。

总散射截面 ( )2

2 tan4 1totk ad a

k aσ σ θ π

′⎛ ⎞= Ω = −⎜ ⎟′⎝ ⎠∫ 。

5