РОБОТА ГРУПИ «ІСТОРИКИ»

ми. В алгебрі

вивчається за-

гальні властиво-

сті дій над вели-

чинами.

Необхідність ро-

зв'язувати рів-

няння не тільки

першого, а й

другого порядку

виникла в зв'яз-

ку з потребою

вирішувати пи-

тання, пов'язані

з земельними

ділянками, з ро-

звитком астро-

номії та й самої

математики.

Алгебра виник-

ла у зв'язку з ви-

рішенням різно-

манітних задач

за допомогою

рівнянь. Зазви-

чай в задачах

потрібно знайти

одну або кілька

невідомих, зна-

ючи при цьому

результати де-

яких дій, вироб-

лених над шука-

ними і даними

величинами. Та-

кі завдання зво-

дяться до вирі-

шення одного

або системи кі-

лькох рівнянь,

до знаходження

шуканих з допо-

могою алгебраї-

чних дій над да-

ними величина-

Необхідність відкриття квадратних рівнянь

Квадратні рівняння в Стародавньому

Єгипті Наші знання про ма-

тематику Стародва-

нього Єгипту обме-

жені. Вони

вміщуються в

декількох невеликих

папірусах і двох ве-

ликих. Саме в цих

великих папірусах і

зустрічаємо згаду-

вання про квадратні

рівняння. Це при-

близно 2000 р. до

н.е.

В папірусі, який

знаходиться в бер-

линському музеї

зустрічається така

задача: Квадрат та

інший квадрат,

сторона якого є

1/2+1/4 сторони

першого квадрата,

мають разом площу

100. Обчисли мені

це

Цю задачу можна

розв'язати склавши

ГРУДЕНЬ 2013 Р.

СИВІ ДАВНИНИ АБО ІСТОРІЯ РОЗВИТКУ КВАДРАТНИХ РІВНЯНЬ

Вигляд квадратного

рівняння:

0

,

,,

,2

a

чомупричисла

деякіcbaде

cbxax

рівняння.

x2+(1/2+1/4)2x2=100

Хід розв'язку самими

єгиптянами зберігся

не повністю, тому

прослідкувати хід їх

думок вченим не вда-

лось.

Папірус Райнда

Вавілоняни вміли розв'я-

зувати квадратні рівняння

більше ніж 4000 р тому. В ті

часи царем Вавілону був

великий Хаммурапі. Прави-

ло розв'язків того часу

майже співпадає з су-

часним, але невідомо яким

чином вавілоняни дійшли до

цього. В клинописних

текстах відсутні згадування

про від'ємні числа та загаль-

ний метод розв'язування

квадратних рівнянь.

Ось одна з вавілонських

задач: «Площа А, яка склада-

ється з суми двох квадратів,

складає 1000, сторона одно-

го з квадратів складає 2/3

сторони іншого, зменшені

на 10. Які сторони квадра-

тів?»

y2+x2=1000

y=2/3x–10

(2/3x–10)2+x2=1000

Розв'язування такого рівнян-ня приводить до одного додатного кореня рівного 30.

А в книзі записано простий

хід розв'язування: “Піднеси

до квадрату 10, це дає 100,

відніми 100 від 1000, це

дає 900...” і т.д.

відстані 20 бу(1 бу=1,6м)

від північних воріт(за ме-

жами міста) стоїть стовп,

якщо пройти від півден-

них воріт 14 бу прямо,

потім повернути на захід і

пройти ще 1775 бу, то

можна побачити стовп.

Яка межа міста?”

Розв'язком цієї задачі є

відповідь 250 бу. І знову

ж таки китайські вчені

від'ємний варіант розв'я-

У Стародавньому Китаї

відомості про квадратні

рівняння починають зу-

стрічатись приблизно в ІІІ

ст до н.е.

Наведемо приклад з тра-

ктату “Математика в де-

в'яти книгах”(ІІ ст до н.е.)

“Маємо місто з межею у

вигляді квадрата зі сторо-

ною невідомої величини,

в центрі кожної сторони

знаходяться ворота, на

зку рівняння не розгляда-

ють.

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ СТАРОДАВНЬОГО

ВАВІЛОНУ

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ У СТАРОДАВНЬОМУ КИТАЇ

подання ребра прави-

льного багатогранника

через діаметр описаної

кулі і т.д. Метод розв'яз-

ку залежав від вигляду

квадратного рівняння.

Такі методи давали

лише один додатний

корінь. Стародавні

математики розуміли

н е о б х і д н і с т ь т а к

формулювати умову

задач, щоб вони

заздалегідь мали додат-

ні розв'язки.

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ В СТАРОДАВНІЙ ГРЕЦІЇ

Математики Стародав-

ньої Греції використо-

вували для розв'язу-

вання лінійних і квад-

ратних рівнянь метод

прикладання площин.

Прикладами таких за-

дач є відшукання сто-

рін правильних вписа-

них багатокутників, яке

називають “золотим

перетином” відрізка,

Те, що я встиг пізнати, чудове. Сподіваюсь, таке ж чудове те, що мені ще доведеться пізнати.

Сократ

Стр. 2

СИВІ ДАВНИНИ

Фрагмент клинописної

книги

Стародавній Вавілон

Храм Зевса. Реконструкція

Рисунок до задачі Стародавній Китай

Задачі на квадратні

рівняння зустрічаються

в астрономічних трак-

татах “Аріабхатія”, у

499 р індійським мате-

матиком і астрономом

Аріабхатою. Інший ін-

дійський вчений Брах-

магупта(VII ст) виклав

загальне правило роз-

в'язування квадратних

рівнянь. А ось одна з

задач відомого індійсь-

кого математика ХІІ ст.

Бхаскари:

Розділившись на дві

зграї,

Забавлялись мавпи в гаї.

Одна восьма їх в квадра-

ті

Танцювали, вельми раді.

А дванадцять на деревах

Підняли веселий регіт,

Що навколо аж гуло.

Скільки їх всього було?

І саме в розв'язанні

Бхаскари помічаємо,

що він знаходить два

корнеі рівняння, отже

він знав про двояку вла-

стивість кореня.

(x/8)2+12=x

x2–64x=–768

x2–64x+322=–768+1024

(x–32)2=256

x1=16 x2=48

Фібоначчі. Ця книга сприяла

розповсюдженню алгебраїч-

них знань не лише в Італії, а

й в Германії, франції і інших

країнах європи. Велика кіль-

кість задач цієї книги пере-

ходила до майже всіх євро-

пейських підручників 14-17

ст. Загальне правило розв'я-

зування квадратних рівнянь,

зведених до єдиного каноні-

чного вигляду x²+bx=c було

сформульоване в Європі

лише 1544 році Штифелем.

Формули

розв'язу-

вання

квадрат-

них рів-

нянь в

Європі

були впе-

рше ви-

кладені в

“Книзі

абака”, яку

написав у 1202 році італій-

ський математик Леонардо

Вивід формули розв'язуван-

ня квадратного рівняння в

загальному вигляді зустріча-

ється у Вієта, але Вієт розг-

лядав лише додатні корені.

Італійські математики 16 ст.

враховують окрім додатних

коренів ще й від'ємні. Лише

у 17 ст. завдяки працям

Жирара, Декарта, ньютона і

інших вчених спосіб розв'я-

зування квадратних рівнянь

приймає сучасний вигляд.

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ В ІНДІЇ

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ В ЄВРОПІ 13-17 ст.

Площа більшого квадрата

дорівнює (x+5)2. Вона

складається з площі фігу-

ри x2+10x і площі чоти-

рьох квадратів зі сторо-

ною 5/2.

(x+5)2=39+25

x+5=±8

x1=3

x2=–13

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ В СЕРЕДНІЙ АЗІЇ

Середньоазіатський вче-

ний аль-Хорезмі(ІХ ст.) в

трактаті “Китаб альджерб

валь-мукабала” отримав

формулу коренів квадрат-

ного рівняння методом

виділення повного квад-

рата за допомогою геоме-

тричної ілюстрації. Сут-

ність його роздумів мож-

на побачити на рисунку,

він розглядає рівняння

x2+10x=39.

Стр. 3

СИВІ ДАВНИНИ

Аріабхата

Леонардо Фібоначчі

Аль-Хорезмі

Адреса школи:

Кыровоградська область

м.Знам'янка

вул.Фрунзе, 89

Вчитель математики:

Коваль Галина Василівна

http://uk.wikipedia.org

http://m2.kspu.kr.ua

http://lib.znaimo.com.ua/

docs/322/index-

976453.html

http://rumvi.com

РОБОТА ГРУПИ «ІСТОРИКИ»

На вишні заквітчаній кілька гілок,

На них сіли порівну двісті бджілок.

Коли б на п`ять менше гілок розцвіло,

На кожній би бджіл на дві більше було б.

То ж скільки гілок на цій вишеньці гожій,

І скільки бджілок працювало на кожній?

Перевір себе

Розв'яжи задачу