ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ, АКСІОМИ СТЕРЕОМЕТРІЇ І НАЙПРОСТІШІ НАСЛІДКИ З НИХ Стереометрія – це розділ геометрії в якому вивчаються фігури простору. Властивості геометричних фігур встановлюються доведенням відповідних теорем. Властивості основних геометричних фігур виражаються аксіомами. Аксіома – це твердження, яке приймається без доведення. Основними фігурами простору є:

• точка; • пряма; • площина.

Група аксіом планіметрії виражає основні властивості точки і прямої. Розглянемо групу аксіом стереометрії, яка виражає основні властивості площини у просторі. Аксіоми стереометрії: 1) Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, що не належать їй. 2) Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка

проходить через цю точку. 3) Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину і до того ж

тільки одну. Наслідки з аксіом стереометрії: Теорема 1. Через пряму і точку, яка не лежить на ній, можна провести площину і до того ж

тільки одну. Теорема 2. Якщо дві точки прямої належать площині, то і вся пряма належить цій площині. Наслідок з теореми 2: площина і пряма, яка не лежить на ній, або не перетинаються, або

перетинаються в одній точці. Теорема 3. Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину і до того ж

тільки одну. Точка А не належить площині β ( А ∉ β ) Точка В належить площині β ( В ∈ β )

Площини β і γ мають спільну точку М, то вони перетинаються по прямій т, що проходить через точку М. β ∩ γ = т

Через прямі т і п, що перетинаються в точці О, можна провести єдину площину β.

Взаємне розміщення двох прямих у просторі: • паралельні прямі; • перпендикулярні прямі; • мимобіжні прямі.

Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються. Дві прямі у просторі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом. Дві прямі в просторі називаються мимобіжними, якщо вони не лежать в одній площині і не перетинаються. Теорема. Площина розбиває простір на два півпростори. Якщо точки Х і Y належать одному

півпростору, то відрізок ХY не перетинає площини. Якщо ж точки Х і Y належать різним півпросторам, то відрізок ХY перетинає площину.

ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ У ПРОСТОРІ Теорема. Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну цій

прямій, і тільки одну. Ознака паралельності прямих у просторі

Теорема. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою. ПАРАЛЕЛЬНЕ ПРОЕКТУВАННЯ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ При розв'язуванні задач із стереометрії, часто доводиться розглядати або використовувати зображення просторової фігури на площині малюнка. Зображення просторових фігур на площині одержують паралельним проектуванням. Зображення просторової фігури називається проекцією фігури на дану площину. Паралельне проектування – це перенесення точок фігури вздовж паралельних прямих на площину проекції. При паралельному проектуванні вибирають пряму проектування, яка не повинна бути

паралельною до площини проекції, а також до жодного відрізка фігури. Властивості паралельного проектування: 1) Прямолінійні відрізки фігури зображаються на площині малюнка відрізками.

2) Паралельні відрізки фігури зображаються на площині малюнка паралельними відрізками.

3) Відношення відрізків прямої або паралельних прямих зберігається при паралельному

проектуванні.

11

11

CB

CA

BC

AC=

ЗОБРАЖЕННЯ ФІГУР У СТЕРЕОМЕТРІЇ

У стереометрії зображенням фігури (оригіналу) називатимемо будь-яку фігуру, подібну паралельній проекції даної фігури на деяку площину. Для даної фігури форма її зображення залежить від положення оригіналу відносно площини проекцій, а також від вибору прямої l, паралельно якій виконують проектування.

Мал. 1 Мал.2

Задачу побудови зображення фігури вважають розв'язаною, якщо побудовано будь-яке

зображення фігури, досить наочне і зручне для проведення на ньому додаткових ліній. Способи

побудови зображень, якими ми будемо користуватися, грунтуються на властивостях

паралельного проектування. Т р и к у т н и к . Спостерігаючи тінь моделі трикутника (мал.1), природно припустити, що

проекція цього трикутника може бути трикутником будь-якої форми. Правильне таке

твердження: довільний трикутник, який лежить у площині проекцій, можна вважати зображенням даного трикутника. Цього ми не будемо доводити.

Зокрема, рівносторонній трикутник можна зображати у вигляді будь-якого

різностороннього трикутника. Приходимо до висновку: при паралельному проектуванні

величина кута і відношення довжин непаралельних відрізків, взагалі кажучи, не зберігаються. Властивість 3 паралельної проекції дає можливість, зокрема, зробити висновок, що медіана

трикутника зображається медіаною зображення цього трикутника (мал. 2). П а р а л е л о г р а м . Оскільки паралельність прямих при паралельному проектуванні

зберігається, то зображенням паралелограма ( зокрема, прямокутника, ромба, квадрата) є

паралелограм (мал. 3). Довжини сторін і величини кутів цього паралелограма (зображення)

можна взяти довільно. Для обгрунтування останнього твердження досить застосувати правило зображення

трикутника (пункт 1) до трикутника, утвореного після проведення діагоналі паралелограма-

оригіналу (мал. 3).

Мал.3 Мал.4

Т р а п е ц і я . Властивості паралельної проекції дають можливість зробити висновок, що

трапеція А1В1С1D1 зобразиться у вигляді трапеції АВСD (мал. 4), в якої відношення | А В | : |СD|

основ дорівнює відношенню | А1В1 |: | С1D1 | основ оригіналу. Рівнобедрена трапеція має вісь симетрії. Користуючись цим, побудуємо (мал. 5) зображення

висоти [DЕ ] цієї трапеції: | В N | = | N А | , |СМ | = | M D | , (DE) || (МN).

Мал. 5 Мал. 6

П р а в и л ь н и й ш е с т и к у т н и к . Розглянемо правильний шестикутник А1В1С1D1Е1F1

(мал. 6, а). Проведемо в ньому діагоналі A1D1 і C1F1. Дістанемо ромби A1D1C1O1 і О1D1E1F1

симетричні відносно точки O1. Ромб A1D1C1O1 зображуємо, згідно з пунктом 2, у вигляді довільного паралелограма АВСО

(мал. 6, б ) . Потім зображуємо паралелограм ODEF, симетричний паралелограму АВСО

відносно точки О . Сполучивши точки С і D, А і F, дістанемо шукане зображення АВСDЕF. Т е т р а е д р . Розглянемо тінь каркасної моделі тетраедра (мал. 7). Можна припустити, що зображенням цього тетраедра може бути довільний опуклий або неопуклий чотирикутник

АВСD з його діагоналями АС і ВD. (малюнки 8 і 9). Цей факт, яким користуватимемося далі, не доводимо.

Мал. 7 Мал.8

П а р а л е л е п і п е д . Нехай дано паралелепіпед АВСDА1В1С1D1 (оригінал). Візьмемо три

його ребра А В , А D , А А 1 (мал. 10), які виходять з однієї вершини. Розглянемо тетраедр

А1АВD. Користуючись правилом зображення тетраедра, приходимо до висновку, що ребра А В ,

АD, АА1 можна зобразити у вигляді трьох довільних відрізків, що виходять з однієї точки (мал.

11, а ) . На цьому «довільність» при зображенні паралелепіпеда закінчується. Інші його ребра

доведеться зображувати цілком певними відрізками (мал. 11, б ) : кожний з них паралельний

одному з побудованих відрізків і дорівнює йому за довжиною.

Мал. 9 Мал. 10

Мал. 11 Мал. 12

Правильно виконане зображення паралелепіпеда (як і інших фігур) може іноді мати трохи

незвичний вигляд. Наприклад, на малюнку 12 наведено зображення куба, які можна дістати при

відповідному доборі проектування. Зрозуміло, що ми надамо перевагу звичному зображенню

куба. Способи зображення багатьох інших фігур будуть розглянуті пізніше. ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ Взаємне розміщення прямої і площини:

1) Пряма належить площині;

β∈b

2) Пряма перетинає площину;

Ma =βI

3) Пряма не перетинає площину.

m || β Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. Ознака паралельності прямої і площини

Теорема. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПЛОЩИН Взаємне розміщення двох площин у просторі:

1) дві площини перетинаються; 2) дві площини не перетинаються.

β ∩ γ = m α || β

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. Ознака паралельності площин

Теорема. Якщо дві прямі, які перетинаються, однієї площини, відповідно паралельні двом прямим другої площини, то ці площини паралельні.

Існування площини, паралельної даній площині

Теорема. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній і до того ж тільки одну.

Властивості паралельних площин: 1) Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні.

α || β, a || b

2) Відрізки паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами, рівні.

α || β, m || n, A1A2 = B1B2