Міністерство освіти і науки України

Хмельницький національний університет

«Затверджую»

Проректор з НПР

__________Матюх С.А.

«___»__________2018 р.

ПРОГРАМА фахового вступного випробування для навчання

за освітньо-професійною програмою магістра

спеціальності 113 – Прикладна математика

Затверджено

на засіданні кафедри прикладної математики та соціальної інформатики

Протокол №__ від __ січня 2018 р.

Завідувач кафедри ІПЗ

_______________ д.ф.м.н., проф. Бедратюк Л.П.

Затверджую

Декан ФПКТС

_______________к.т.н., доцент Савенко О.С.

Схвалено Вченою радою ФПКТС

Протокол №__ від __ _______ 2018 р.

Голова Вченої ради ФПКТС

_______________к.т.н., доцент Савенко О.С.

Міністерство освіти і науки України

Хмельницький національний університет

«Затверджую»

Проректор з НПР

__________Матюх С.А.

«___»__________2018 р.

ПРОГРАМА додаткового вступного випробування для навчання

за освітньо-професійною програмою магістра

спеціальності 113 – Прикладна математика

Затверджено

на засіданні кафедри прикладної математики та соціальної інформатики

Протокол №__ від __ січня 2018 р.

Завідувач кафедри ІПЗ

_______________ д.ф.м.н., проф. Бедратюк Л.П.

Затверджую

Декан ФПКТС

_______________к.т.н., доцент Савенко О.С.

Схвалено Вченою радою ФПКТС

Протокол №__ від __ _______ 2018 р.

Голова Вченої ради ФПКТС

_______________к.т.н., доцент Савенко О.С.

Міністерство освіти і науки України

Хмельницький національний університет

«Затверджую»

Проректор з НПР

__________Матюх С.А.

«___»__________2018 р.

ПРОГРАМА атестаційного іспиту за ступенем бакалавра

спеціальності 113 - Прикладна математика (Інформатика)

Затверджено

на засіданні кафедри прикладної математики та соціальної інформатики

Протокол №__ від __ січня 2018 р.

Завідувач кафедри ІПЗ

_______________ д.ф.м.н., проф. Бедратюк Л.П.

Затверджую

Декан ФПКТС

_______________к.т.н., доцент Савенко О.С.

Схвалено Вченою радою ФПКТС

Протокол №__ від __ _______ 2018 р.

Голова Вченої ради ФПКТС

_______________к.т.н., доцент Савенко О.С.

Зміст навчального матеріалу

1 Дискретна математика

Множини. Основні поняття. Операції над множинами.

Поняття множини, способи її задання, булеан. Мультимножина.

Операції над множинами: об’єднання, перетин, різниця, симетрична різниця,

сума, доповнення. Зображення основних операцій над множинами за

допомогою кругів Ейлера-Венна. Властивості операцій над множинами.

Метод включень і вилучень. Метод повної математичної індукції.

Теорема потужності об’єднання множин, що мають спільні елементи.

Застосування. Узагальнення операцій над множинами. Метод повної

математичної індукції.

Покриття та розбиття множин. Розбиття числа на частини з

повтореннями та без повторень. Елементарні комбінаторні співвідношення.

Потужність множини. Зліченні і незліченні множини.

Потужність множин. Зліченні і незліченні множини. Множини

потужності континууму. Нечіткі множини та лінгвіністичні змінні.

Поняття векторів та прямих добутків. Потужність множини прямого

добутку скінчених множин. Кортеж.

Бінарні відношення. Область визначення і область значення відношень.

Часткові випадки відношень. Поняття фактор-множини. Композиція

відношень. Загальні властивості відношень: рефлективність і

антирефлексивність, симетричність і антисиметричність, транзитивність.

Композиція відношень.

Відображення. Типи відображень. Сюр’єктивні, інєктивні, бієктивні

відображення. Поняття відношення порядку.

Функціональне відношення. Функції.

Функціональне відношення, його матриця і граф. Функції як

відношення. Прикладне значення функцій.

Задача Ейлера про походження графів. Орієнтовані та неорієнтовані

графи. Зважені графи. Граничні вершини, петлі, кратні ребра, степені

вершин. Типи скінчених графів: простий, мультиграф, псевдограф, порожній,

повний, регулярний.

Операції над графами.

Операції над графами. Видалення вершин та ребер. Об’єднання графів.

Добуток графів. Ототожнення (злиття) вершин. Стягування ребер.

Розщеплення вершини. Число Хадвігера.

Властивості графів.

Ізоморфізм графів. Маршрути, ланцюг, простий ланцюг. Цикл, простий

цикл, ейлерів та гамільтоновий цикли. Шлях та простий шлях, простий

контур. Теорема Ейлера.

Представлення графів. Матриці суміжності та інцидентності.

Суміжність вершин графа. Матриця суміжності. Інцидентність вершин

та ребер графа. Матриця інцидентності.

Планарність, укладання і розфарбування графів.

Планарність графів. Ізоморфізм графів з точністю до вершини другого

степеня. Задача комівояжера. Задача про мінімальне з’єднання. Потоки.

Максимальні потоки.

Кореневі дерева. Дерева графа.

Поняття кореневого дерева. Кількість різних кореневих дерев. Фактори.

Субдерева.

Кореневі послідовності. Ідентифікація дерев. Стандартна процедура вибору

кореня дерева. Центр, біцентр. Висота вершини. Ізоморфні дерева.

Поняття мереж. Мережі Петрі.

Поняття мереж та їх види. Мережі Петрі. Формалізація та властивості

мереж Петрі. Задача досяжності. Матричний підхід до мереж Петрі.

Основні елементи комбінаторики. Теореми суми та добутку.

Вибірка елементів. Теореми суми та добутку. Основні правила

комбінаторики. Елементарні комбінаторні співвідношення.

Комбінаторні схеми без повторень та з повтореннями.

Поняття перестановок, розміщень та сполучень без повторень. Число

підмножин даної множини. Поняття перестановок, розміщень та сполучень з

повтореннями. Перестановки і розміщення упорядкованих множин.

Біном Ньютона та рекурентні співвідношення.

Біном Ньютона. Поліноміальна формула. Рекурентні співвідношення.

Основи логіки висловлювань. Визначення висловлювання. Операції

над висловлюваннями (кон’юнкція, диз’юнкція, заперечення, імплікація,

еквіваленція). Таблиці істинності. Алгебра висловлювань. Формули логіки

висловлювань. Рівносильність формул. Запис складного висловлення у

вигляді логіки висловлювань. Тотожньо-істинні і тотожньо-хибні формули.

Проблема вирішення (розв’язності). Формалізація міркувань. Правильні

міркування.

Основи логіки предикатів. Визначення предиката. Квантори. Формули

логіки предикатів. Рівносильність формул. Приведені і нормальні формули.

Вираження міркування у вигляді формули логіки предикатів. Інтерпретація

формули логіки предикатів у вигляді міркування. виконуваність.

Загальнозначущість.

Формальні аксіоматичні теорії (числення). Принципи побудови

формальних теорій. Числення висловлень. Числення предикатів.

Автоматичне доведення теорем. Метод резолюцій.

Елементи нечіткої логіки. Нечіткі множини. Нечіткі висловлення.

Нечіткі предикати. Поняття нечіткої змінної. Функції нечітких змінних.

2 Диференціальні рівняння

Функції однієї змінної: границя, неперервність, первісна та похідна.

Формула Ньютона-Лейбніца.

Функції багатьох змінних: векторний простір, метричний простір,

границя та неперервність, диференційованість функції

Невластиві інтеграли. Теорія поля, диференціювання та інтегрування

векторних та скалярних полів. Формули Стокса, Гауса та Остроградського.

Ротор та дивергенція векторного поля, диференціальні операції вищих

порядків. Багатовимiрнi інтеграли.

Динамічні моделі і диференціальні рівняння.

Найпростіше диференціальне рівняння. Деякі динамічні моделі

(радіоактивний розпад, прогнозування попиту, вільні коливання тощо).

Звичайні диференціальні рівняння (ДР). Задача Коші. Рівняння з

відокремлюваними змінними.

Рівняння розв’язані щодо похідної.

Загальні зауваження. Однорідні функції. Однорідні рівняння. Зведення

ДР до однорідних. Лінійні рівняння першого порядку (однорідні і

неоднорідні). Метод варіації довільної сталої. Заміна змінних. Рівняння

Бернулі.

Існування та єдиність розв’язку задачі Коші.

Наближені методи розв’язування ДР (метод ізоклін, метод послідовних

наближень Пікара). Теорема Коші про існування та єдиність розв’язку.

Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник.

Рівняння не розв’язані щодо похідної.

Неповні рівняння. Рівняння Лагранжа та Клеро. Особливі точки і

особливі розв’язки ДР першого порядку. Обвідна сім’ї кривих.

Неповні диференціальні рівняння вищих порядків.

Основні поняття. Теореми існування. Неповні диференціальні рівняння.

Неповні ДР другого порядку. Загальний підхід до зниження порядку ДР.

Лінійні диференціальні рівняння -го порядку.

Лінійне однорідне диференціальне рівняння (ЛОДР). Властивості

розв’язків ЛОДР -го порядку. Лінійна залежність функцій. Вронскіан.

Фундаментальна система розв’язків. Загальний розв’язок ЛОДР -го порядку.

Формула Ліувіля-Остроградського. Формула Абеля.

ЛОДР -го порядку з сталими коефіцієнтами.

Частинні і загальний розв’язки ЛОДР -го порядку. Випадок простих

коренів характерист. рівняння (ХР). Ви-падок комплексних коренів ХР.

Випадок кратних коренів.

Лінійні неоднорідні рівняння (ЛНДР) -го порядку.

Структура загального розв’язку ЛНДР. Метод варіацаї довільних

сталих (метод Лагранжа). Властивості розв’язків ЛНДР. Неоднорідні

рівняння із сталими коефіцієнтами. Метод невизначених коефіцієнтів.

Нормальні системи диференціальних рівнянь.

Нормальна система ДР. Інтеграли системи. Існування і єдиність

розв’язку.Зведення системи до одного рівняння -го порядку. Загальні методи

інтегрування систем: виключення змінних, інтегровних комбінацій.

Лінійні системи диференціальних рівнянь.

Векторно-матрична форма запису. Неоднорідні і однорідні системи.

Стандартна лінійна система ДР. Лінійні однорідні системи (ЛОС).

Фундаментальна матриця (ФМ) системи. Формула Ліувіля-Остроградського-

Якобі.

Стандартна лінійна система з сталою матрицею.

Елементарні перетворення подібності. Зведення матриці до форми

Фробеніуса. Стандартна система. ФМ однорідної стандартної системи: 1)

випадок простих коренів характеристичного полінома; 2) випадок кратних

коренів.

Лінійна однорідна система ДР з сталою матрицею.

Зведення системи до стандартного вигляду. Правило послідовного

диференціювання. Алгоритм побудови фундаментальної матриці.

Нормування ФМ.

Лінійні неодн. системи ДР з сталими коефіцієнтами.

Метод варіації довільних сталих. ЛНС ДР з сталими коефіцієнтами.

Зведення ЛНС ДР до одного рівняння. Побудова частинного розв’язку.

Алгоритм побудови загального розв’язку.

3 Методи оптимізації та дослідження операцій

Математична модель процесу. Класифікація математичних моделей.

Приклади. Отимізаційні моделі. Оптимізація функцій. Задача математичного

програмування.

Многогранні множини.

Півплощини і півпростори. Системи лінійних нерівностей. Опуклі множини

та їх крайні точки. Многогранні множини. Многогранники.

Задача лінійного програмування (ЗЛП).

Екстремум лінійної форми, визначеної на многогранній множині.

Задача лінійного програмування. Форми запису її. Графічний мегод

розв'язання ЗЛП.

Симплексний метод розв’язування ЗЛП.

Опорні розв’язки СЛР. Перетворення однократного заміщення.

Зведення ЗЛП до канонічного вигляду. Крайні точки системи рівнянь-

обмежень ЗЛП. Самплекс-метод.

Розв'язування ЗЛП симплексним методом.

Побудова вихідного опорного плану ЗЛП методом штучного базису. М-

метод штучного базису. Розв’язування ЗЛП при допомозі математичних

пакетів.

Подвійність в лінійному програмуванні.

Симетричні подвійні задачі. Достатня ознака оптимальності. Основна

теорема подвійності. Несиметричні подвійні задачі.

Теореми подвійності. Якісний аналіз розв’язку ЗЛП.

Друга теорема подвійності. Умови нежорсткості. Теорема про оцінки.

Розв’язування пари подвійних задач симплексним методом. Економічна

інтерпретація пари подвійних задач. Якісний аналіз їх розв’язку.

Транспортна задача лінійного програмування (ТЗ).

Постановка задачі та її математична модель. Сумісність системи

рівнянь-обмежень ТЗ. Розв’язування ТЗ симплексним методом. Побудова

опорного плану перевезень.

Методи розв’язування транспортних задач.

Замкнуті контури і вектори-стовпчики системи рівнянь-обмежень ТЗ.

Розподільчий метод. Задача подвійна до транспортної. Метод потенціалів.

Алгоритм методу.

Задачі і методи дискретного програмування.

Задачі дискретного програмування та їх класифікація.

Задача про призначення, розв’язування її методом потенціалів. Задачі на

незв’язних областях.

Цілочисельне програмування. Алгоритми Гоморі.

Виробничі задачі з вимогою цілочисельності. Ціло-чисельна ЗЛП.

Методи відтинань. Алгоритми Гоморі.

Задача комівояжера.

Задача комівояжера (ЗК) та її математична модель. Задача з

симетричною матрицею. Графічні методи розв’язування ЗК.

Комбінаторні методи. Метод віток і границь.

Метод віток і границь. Модифікований алгоритм Літла для задачі

комівояжера.

Сітьові методи.

Задача про оптимальний потік на сітці. Задача про найкоротший шлях.

Метод Форда-Фулкерсона.

Задача нелінійного програмування.

Задача нелінійного програмування (ЗНП). Форми запису ЗНП.

Графічний метод розв’язування ЗНП. Метод виключення змінних.

Метод множників Лагранжа. Теорема Куна-Таккера.

Опуклі функції та їх властивості. Метод множників Лагранжа. Теорема

Куна-Таккера. Локальні диференціальні умови Куна-Таккера.

Задачі і методи квадратичного програмування.

Нелінійні задачі з лінійними обмеженнями. Квадратична форма та її

властивості. Задача квадратичного програмування (ЗКП). Зведення її до

системи лінійних рівнянь з нелінійним обмеженням.

Алгоритм Вольфа.

Зведення ЗКП до ЗЛП. Реалізація алгоритму Вольфа перетворенням

симплекс-таблиць та при допомозі математичних пакетів.

Методи дробово-лінійного програмування.

Задача ДЛП та її властивості. Графічний метод розв’язування задач

ДЛП. Зведення задачі ДЛП до ЗЛП.

Чисельні методи оптимізації без обмежень.

Задача одновимірної оптимізації (ОП). Чисельні методи розв’язання її

(поділу відрізка, золотого перерізу). Оптимізація функції багатьох змінних.

Методи прямого пошуку. Градієнтний метод із сталим кроком.

Чисельні методи розв’язування ЗНП.

Обмеження у вигляді рівностей (нерівностей). Методи проекцій

градієнта. Метод Франка-Вульфа. Метод штрафних функцій.

Випадкові процеси та їх класифікація Поняття випадкового процесу

Класифікація випадкових процесів Приклади випадкових процесів

різних типів Закони розподілу та основні характеристики випадкових

процесів Задання випадкових процесів елементарними випадковими

функціями Закони розподілу випадкових процесів Основні характеристики

випадкових процесів

Основні поняття і задачі теорії масового обслуговування Предметна

область теорії масового обслуговування Характеристики найпростішого

потоку подій Основні елементи і класифікація моделей масового

обслуговування Стан СМО Вхідний потік Дисципліна черги Застосування

випадкових процесів у смо Класифікація СМО Елементарний потік в теорії

масового обслуговування Узагальнена модель СМО

4 Математичне моделювання

Поняття про модель; вербальні, графічні та абстрактні моделі. Модель і

науковий закон, модель і теорія. Модель «чорного ящика». Приклади

моделей

Основні вимоги до моделей: адекватність, простота, повнота, стійкість.

Математичні методи перевірки коректності моделей. Ідентифікація

параметрів моделей. Формулювання цілей моделювання, цільові функції та

функціонали.

Неперервні та дискретні моделі, моделі з дискретним часом.

Стохастичні моделі. Основні засоби моделювання: функціональні залежності,

диференціальні та скінченно-різницеві рівняння, скінченні та клітинні

автомати.

Фізичні моделі. Моделі механіки, теорії електромагнетизму, квантової

механіки

Моделі математичної екології. Точкові та просторові моделі. Моделі

Мальтуса, Ферхюльста-Перла, Лотки-Вольтерри

Моделі у соціології, багатоагентні моделі. Економічне моделювання та

прогнозування, балансні моделі.

Вступ до моделювання екологічних, економічних та соціальних

процесів. Математична модель процесу. Формування математичної моделі.

Класифікація математичних моделей. Приклади математичних моделей.

Модель міжгалузевого балансу (ММБ). Статична ММБ. Розширена

статистична ММБ. Оптимізаційні ММБ. Дискретна динамічна ММБ.

Неперервна динамічна ММБ.

Задача виробничого планування.

Моделі використання ресурсів. Модель з врахуванням способів

виробництва і мінімізацією витрат. Загальна задача виробничого планування

Канторовича. Якісний аналіз виробничих програм. Технологічні моделі

планування виробництва. Задачі розкрою матеріалів.

Оптимальне завантаження виробничих потужностей.

Задача оптимального розподілу виробничої програми. Загальна

розподільча задача. Задача про прикріплення. Задача календарного

планування.

Моделювання транспортних перевезень.

Транспортна ЗЛП. Модель з обмеженням на пропускну здатність.

Задача мінімізації часу перевезень. Моделі прикріплення споживачів.

Транспортна задача з врахуванням порожнього пробігу.

Динамічні моделі екосоціальних процесів. Моделі росту популяції.

Модель двовидової популяції. Модель взаємодії популяцій. Схема побудови

моделі Лотки-Вольтерра. Двовимірна модель. Модель третього порядку.

Логістичні динамічні моделі. Узагальнена система Лотки-Вольтерра.

Сітьові моделі Основні параметри сітьових графіків. Оптимізація

параметрів часу сітьового графіка. Вартісна оптимізація сітьового графіка.

Загальна задача прийняття рішень. Бінарні відношення. Властивості

бінарних відношень, їх класи. Функції вибору, їх властивості. Функції

корисності. Максимінний критерій та критерій Байєса-Лапласа. Критерій

мінімальної дисперсії та критерій максимальної імовірності. Модальний

критерій оптимальності. Критерії Севіджа і Гурвиця. Критерії Ходжа-

Лемана, Гермейєра. Критерій добутків.

Функції колективної корисності. Загальні проблеми експертних

процедур при прийнятті рішень. Статистичні методи обробки експертної

інформації. Алгебраїчні методи обробки експертної інформації.

Використання методів шкалювання для обробки експертної інформації.

Методи голосування в теорії прийняття рішень. Колективний порядок.

Парадокс Ерроу. Додаткові правила ранжування результатів голосування.

Розділ 2

Перелік екзаменаційних питань

1 Дискретна математика

1. Предмет і задачі дискретної математики.

2. Поняття множини, види множин.

3. Операції над множинами.

4. Розбиття та покриття множин, приклади, графічне зображення.

5. Основні закони операцій над множинами.

6. Прямий добуток множин.

7. Теорема про потужність прямого добутку множин.

8. Методи математичної індукції.

9. Відповідність між множинами.

10. Види бінарних відповідностей.

11. Відображення, види відображень.

12. Перетворення множини. Види перетворень.

13. Логічні операції.

14. Основні закони алгебри логіки.

15. Булеві вирази.

16. Диз’юнктивні нормальні форми.

17. Кон’юнктивні нормальні форми.

18. Комбінаторика. Основні правила комбінаторики.

19. Комбінації з повтореннями.

20. Комбінації без повторень.

21. Біном Ньютона. Властивості біноміальних коефіцієнтів.

22. Поліноміальна формула.

23. Основні поняття теорії графів.

24. Приклади задач, які розв’язуються за допомогою теорії графів.

25. Двочасткові графи, орієнтовані графи.

26. Планарність графів.

27. Ейлерові графи.

28. Гамільтонові графи.

29. Регулярні графи. Ізоморфізм графів.

30. Операції над графами.

2 Диференціальні рівняння

1. Найпростіше диференціальне рівняння. Рівняння з відокремленими

змінними.

2. Деякі динамічні моделі (технічних, екологічних, соціально-

економічних задач).

3. Диференціальне рівняння і його порядок. Загальний і частинні

розв’язки рівняння.

4. Рівняння пешого порядку. Задача Коші. Рівняння, розв’язані щодо

похідної.

5. Рівняння з відокремлюваними змінними. Рівняння, що зводяться до

них.

6. Однорідні рівняння. Рівняння, що зводяться до них.

7. Лінійні рівняння першого порядку (однорідні і неоднорідні).

8. Рівняння, що зводяться до лінійних рівнянь першого порядку.

9. Рівняння в повних диференціалах. Теорема про умови повноти.

10. Задача Коші для рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий

множник.

11. Метод послідовних наближень (Пікара). Теорема Коші про існування

та єдиність розв’язку.

12. Метод ізоклін. Приклад побудови інтегральних кривих.

13. Неповні рівняння, не розв’язані щодо похідної (не містить x або y , або

x і y ).

14. Рівняння Лагранжа.

15. Рівняння Клєро. Особливі розв’язки диференціальних рівнянь першого

порядку.

16. Особливі точки диференціальних рівнянь першого порядку.

17. Задачі, що приводять до диференціальних рівнянь вищих порядків.

Теорема про існування та єдиність розв’язку.

18. Неповні диференціальні рівняння n -го порядку.

19. Неповні диференціальні рівняння 2 -го порядку.

20. Лінійний диференціальний оператор та його властивості.

21. Лінійні однорідні диференціальні рівняння (ЛОДР) n -го порядку.

Властивості їх розв’язків.

22. Детермінант Вронського та його властивості.

23. Структура загального розв’язку ЛОДР n -го порядку.

24. Формула Остроградського-Ліувіля для ЛОДР n -го порядку.

25. Формула Абеля та її застосування.

26. ЛОДР n -го порядку з сталими коефіцієнтами. Випадок різних коренів

характеристичного рівняння.

27. ЛОДР n -го порядку з сталими коефіцієнтами. Випадок пари

комплексних коренів.

28. ЛОДР n -го порядку з сталими коефіцієнтами. Випадок кратних

коренів.

29. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння (ЛНДР) n -го порядку.

Структура їх загального розв’язку.

30. Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа).

3 Методи оптимізації та дослідження операцій

1. Екстремум лінійної форми, визначеної на многогранній множині. 2. Задача лінійного програмування (ЗЛП). Форми запису ЗЛП. Графічний

метод розв'язування ЗЛП. 3. Симплексний метод розв’язування ЗЛП. 4. Побудова вихідного опорного плану ЗЛП (метод штучного базису, М-

метод штучного базису). 5. Симетричні подвійні ЗЛП. Достатня ознака оптимальності. 6. Несиметричні подвійні задачі. Основна теорема подвійності. 7. Друга теорема подвійності. Умови нежорсткості. 8. Теореми про оцінки. Розв’язування пари подвійних задач симплекс-

методом. 9. Економічна інтерпретація пари подвійних задач. Якісний аналіз їх

розв’язку. 10. Транспортна задача (ТЗ) та її математична модель. Сумісність системи

рівнянь-обмежень ТЗ. Розв’язування ТЗ симплексним методом. 11. Задача подвійна до транспортної. Метод потенціалів. Алгоритм методу. 12. Відкриті моделі транспортних задач. Моделі з додатковими

обмеженнями. 13. Вироджені транспортні задачі. 14. Задачі дискретного програмування та їх класифікація. 15. Задача про призначення, розв’язування її методом потенціалів. Задачі

на незв’язних областях. 16. Виробничі задачі з вимогою цілочисельності. Цілочисельна ЗЛП.

Методи відтинань. Перший алгоритм Гоморі. 17. Другий алгоритм Гоморі. Ідеї третього алгоритму Гоморі. 18. Задача комівояжера (ЗК) та її математична модель. Задача з

симетричною матрицею. Графічні методи розв’язування ЗК. 19. Задача про оптимальний потік на сітці. 20. Задача про найкоротший шлях. Метод Форда-Фулкерсона. 21. Задача нелінійного програмув. (ЗНП). Графічний метод розв’язування

ЗНП. 22. Метод виключення змінних. Метод множників Лагранжа. 23. Теорема Куна-Таккера. Сідлова точка. Диференціальні умови Куна-

Таккера. 24. Задача квадратичного програмування (ЗКП). Необхідні умови

існування розв’язку. 25. Розв’язування ЗКП методом Вульфа. 26. Задача дробово-лінійного програмування (ДЛП). Графічний метод

розв’язування задачі ДЛП.

27. Зведення ДЛП до ЗЛП. Теорема про узгодженість розв’язків. 28. Задача безумовної оптимізації. Необхідні і достатні умови екстремуму. 29. Метод найшвидшого підйому (спуску). Приклади задач з негладкою

цільовою функцією. 30. Метод проекцій градієнта. Залежність від вибору початкової точки.

4 Математичне моделювання

1. Математична модель процесу. Формування моделі.

2. Класифікація математичних моделей. Приклади моделей

економічних, екологічних та соціальних процесів.

3. Статична модель міжгалузевого балансу.

4. Розширена статична модель міжгалузевого балансу.

5. Дискретна динамічна модель міжгалузевого балансу.

6. Неперервна динамічна модель міжгалузевого балансу.

7. Модель Неймана-Гейла.

8. Моделі використання ресурсів

9. Загальна задача виробничого планування Канторовича

10. Економічна інтерпретація взаємноподвійної задачі.

11. Якісний аналіз виробничих програм

12. Задача оптимального розподілу виробничих програм

13. Загальна розподільча задача

14. Задача про прикріплення

15. Задача розкрою матеріалів для одержання заданої кількості

деталей

16. Задача розкрою матеріалів для одержання найбільшого числа

комплектів деталей

17. Модель розкрою з одночасною побудовою способів розкрою

18. Транспортна задача з обмеженням на пропускну здатність

19. Транспортна задача з мінімізацією часу перевезень

20. Транспортна задача з урахуванням порожнього пробігу

21. Сітьові моделі планування та управління в економіці

22. Аналіз основних параметрів сітьового графіка. Оптимізація

параметрів сітьового графіка

23. Моделі Мальтуса та Ферхюльста

24. Модель співіснування видів

25. Модель «хижак-жертва»

26. Основні гіпотези співіснування декількох видів

27. Узагальнена модель Лотки-Вольтерра

28. Стійкість положень рівноваги узагальненої моделі Лотки-

Вольтерра

29. Екосоціальні моделі

30. Основні параметри сітьових графіків. Оптимізація параметрів

часу сітьового графіка. Вартісна оптимізація сітьового графіка.

Література

1. Бардачов Ю.М., Соколова Н.А., Ходаков В.Е. Дискретна математика:

Підручник. – К.: Вища школа, 2002. – 287 с.

2. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. - М.: Наука,1972.

3. Горбатов В.А. Основы дискретной математики: Учеб. пособие для

студентов вузов. – М.: Выcш. Школа, 1986. – 311 с.

4. Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы: Пер. с англ. – М.: Мир,

1971. – 246 с.

5. Капітонова Ю.В., Кривий С.Л., Летичевський О.А., Луцький Г.М.,

Печорін М.К., Основи дискретної математики. – К.: Наукова думка. –

2002. – 579 с.

6. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Мир, 1988. –

320 с.

7. Андерсон Д. А. Дискретная математика и комбинаторика. — М.:

Вильямс, 2003. — 960 с.

8. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ

вычислительных алгоритмов. — М.: Мир, 1979. — 536 с.

9. Гамова А.Н. Математическая логика и теория алгоритмов. Учебное

пособие. – М.: Наука, 1994.

10. Гуц А.К. Математическая логика и теория алгоритмов. - Омск: Из-во

Наследие. Диалог-Сибирь, 2003. - 108 с.

11. Капітонова Ю. В., Кривий С. Л., Летичевський О. А., Луцький Г. М.,

Печурін М. К. Основи дискретної математики. — К.: Наукова думка,

2002. — 579 с.

12. Катленд Н. Вычислимость. Введение в теорию рекурсивних функций.

— М.: Мир, 1983. — 256 с.

13. Клини C. Математическая логика. — М.: Мир, 1973. — 480 с.

14. Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств,

математической логике и теории алгоритмов. — М.: Наука, 1975. —

240 с.

15. Шкільняк С. С. Математична логіка: приклади і задачі. — К.: ВПЦ

Київ. ун-т, 2002. — 56 с.

16. Шкільняк С. С. Теорія алгоритмів: приклади і задачі. — К., 2003. — 93

с.

17. Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Калайда О. Ф. Диференціальні

рівняння. К.: Вища шк., 1981. – 504 с.

18. Самойленко А. М., Перестюк М. О., Парасюк І. О. Диференціальні

рівняння. К.: Либідь, 1994. – 360 с.

19. Шкіль М. І., Лейфура В.М., Самусенко П. Ф. Диференціальні рівняння:

Навч. посібник. – К.: Техныка, 2003. – 368 с.

20. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике / Под ред.

А.П.Рябушко. – Минск: Вышэйш. шк. – Ч.1. - 1990.

21. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике / Под ред.

А.П.Рябушко. – Минск: Вышэйш. шк. – Ч.2. - 1991.

22. Перестюк М. О., Свіщук М. Я. Збірник задач з диференціальних

рівнянь: Навч.посібник. – К.: Либідь, 1997. – 192 с.

23. Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.:

Наука, 1987. – 153 с.

24. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приёмы качественного

исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. –

488 с.

25. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.:

Наука, 1967. – 472с.

26. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным

уравнениям. М.: Наука, 1976. – 576 с.

27. Ашманов С.А., Тимохов А.В. Теория оптимизации в задачах и

упражнениях. -– М.: Наука, 1991.

28. Исследование операций 1. Методологические основы и

математические методы. Пер. с англ./ Под ред. Дж. Моудера, С.

Элмаграби. – М.: Мир, 1981. – 712 с.

29. Калихман И. Л. Сборник задач по математическому

программированию. – М.: Высш. шк., 1975. – 270 c.

30. Крушевский А.В., Швецов К.И. Математическое программирование и

моделирование в экономике. – К.: Вища школа, 1989. – 456 с.

31. Кузнецов Ю. Н., Кузубов В. И., Волощенко А. Б. Математическое

программирование. -М.: Высш. шк., 1980. – 352 с.

32. Ляшенко И. Н., Карагодова Е.А., Черникова Н.В., Шор Н.З. Линейное и

нелинейное программирование.- К.; Высш. шк., 1975. – 372 с.

33. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации.

– М.: Наука, 1978. – 352 с.

34. Морозов В.В., Сухарев Ф.Г., Фёдоров В.В. Исследование операций в

задачах и упражнениях. – М.: Высшая школа, 1986. – 287 с.

35. Сборник задач по курсу математические методы в планировании

отраслей и предприятий / Под ред. Попова И.Г. – М: «Экономика»,

1971. – 166 с.