0

2 1i = −

z x y i= + ⋅

2013

ا� ��ذ أ�د أ�و ��وت

cos sinie iθ θ θ= +

2013

عداد العقديةاأل

y

0ω

6

α

xO

1ω

3

π3

π2ω

3ω

4ω

5ω

3

π

3

π

3

π3

π

ρ6r = ا���ل ا����ور

���ل �ذور

[ ],z ρ α=

�ن ا��ر���

6n =

1

الحمد هللا

الكتاب الثالث بعد كتاب التحليل الرياضي وكتاب المبادئ األساسية في االحتماالت أضع بين أيديكم مجموعة األعداد المركبةوهو

النظرية معلوماتوقد حرصت أن أضع ال،راجيا من اهللا أن أكون قد وفقت في كتابة هذا الموضوع في ساهم في تطوير قدرات الطالبأن أفي هذا الكتاب حاولت ،محلولة تغطي هذه المبادئ وتمارين

في الدخول إلى ساحة األعداد المركبة في من الطالب ساعد قسم آخرأ و، موضوع األعداد المركبة .المثلثات لبرهان قوانينجديدة وطرق مع إضافات، بالقدر الكافي من المعلومات وتزودهمالجامعات

البحث عن وجود جذر للعدد لقد كان سبب اكتشاف مجموعة األعداد المركبة في القرن السادس عشر هو المركبة إلى تطور واسع في علم الرياضيات وقد أدى اكتشاف مجموعة األعداد السالب

في كل الميادين ومن أهم في الرياضيات تبقى مجموعات األعداد وخواصها محور هذا العلم الهام و والتي تشمل كل المجموعات العددية وقد فتحت آفاق جديدة ،المجموعات هي مجموعة األعداد المركبة

إضافة لحلول المعادالت من الدرجة ،مجموعة األعداد الحقيقية في حل المعادالت التي ال تقبل حال فيكما أن الصيغة األسية للعدد المركب ساهمت كثيرا في استخراج بعض العالقات المثلثية الثالثة والرابعة

وتفسيرها للتحويالت الهندسية وصياغة معادالت خطوط هندسية باستخدام المفهوم الهندسي للعدد المركب

نرجو من اهللا التوفيق واهللا من وراء القصد

15 \ 9 \ األستاذ أحمد أبو نبوت 2013

2

فهرس المواضيع

4.................................شعاعياألعداد المركبة حقل تبديلي وفضاء : الفصل األول

4)..................................................تعريف ونتائج.(مجموعة األعداد المركبة

8...........................................إن مجموعة األعداد العقدية حقل تبديلي: مبرهنة

12.................................شعاعي حقيقيإن مجموعة األعداد العقدية فضاء :مبرهنة

13..........................................أمثلة على العمليات في مجموعة العداد المركبة

16.........................................................................المرافق وخواصه

20............................................للعدد المركبالتمثيل الهندسي : الفصل الثاني

21.............................................................خواص طويلة العدد المركب

24...........................................................على طويلة العدد المركب أمثلة

29.........................................................لعدد المركبالجذران التربيعيان ل

32...............................حل المعادالت في مجموعة األعداد المركبة:الفصل الثالث

41....................... ............تمارين على المعادالت في مجموعة األعداد المركبة

51............................................الصيغة المثلثية للعدد المركب: الفصل الرابع

55..............................................العمليات على العدد العقدي بالشكل المثلثي

59..........................................................................دستور دوموافر

60.............................................الجذور النونية للعدد المركب بالشكل المثلثي

62..............................................تمارين على العمليات على الشكل المثلثي.

3

71...........................................الصيغة األسية للعدد المركب:الفصل الخامس .

72:............................................العمليات على العدد المركب بالصيغة األسية

73.............................................الجذور النونية للعدد المركب بالصيغة األسية

78............................................................................دستورا أويلر

84....................................... استخدام دساتير أويلر في برهان العالقات المثلثية

96...................................التطبيقات الهندسية لألعداد المركبة : الفصل السادس

96.................................الطرحمنتصف قطعة مستقيمة الجمع

102..........................................................الصيغ العقدية لبعض الخطوط

103..........................................العقديةأمثلة على كتابة معادلة خط بالصيغة .

118..............................التحويالت النقطية الشهيرة واألعداد المركبة:الفصل السادس

119....................................التناظر بالنسبة لمستقيم: ① ):االنعكاس(أوالالتناظر

123.........................................................نقطةالتناظر بالنسبة إلى :②

124........................................................................االنسحاب: ثانيا

126..........................................................................التحاكي:ثالثا

128............................................................................الدوران رابعا

132..........................................................األمثلة على التحويالت النقطية

137........،،،،،،،،،،،،،،،)..المعادالت التكعيبية(المعادالت من الدرجة الثالثة :الفصل الرابع

152......،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،..............التمرينات العامة

[ ]1[ ]2[ ]3

4

:األعداد المركبة حقل تبديلي وفضاء شعاعي: الفصل األول

ℂنرمز لها) أو العقدية(مجموعة األعداد المركبة : تعريف

:هي مجموعة تحقق الشرطين

2حيث iتضم عدد غير حقيقي: األول 1i = الوحدة التخيلية iونسمي −

في مجموعة األعداد المعرفتين ممدد عمليتي الضرب والجمع مجموعة مغلقة بالنسبة إلى: الثاني

الحقيقية

مغلفة بالنسبة لعملية معرفة على المجموعة هي عملية تحقق ناتج عنصرين منالمجموعة ال: (مالحظة

)هذه المجموعة بهذه العملية هو عنصر من هذه المجموعة

:نتائج

}مجموعة األعداد المركبة � }i=ℂ ℝ∪ ومنه⊂ℝ ℂ

:الصيغة الجبرية للعدد المركب �

x,إذا كان y ∈ℝ فإن :,x y ∈ℂ

,: ويكون ,x y i∈ℂ وحسب ممدد عملية الضرب علىℂ يكونy i⋅ ∈ℂ

xيكون ℂالجمع علىوحسب ممدد عملية y i+ ⋅ ∈ℂ

5

z: نرمز x y i= + zأو ⋅ x i y= + ندعوه الصيغة الجبرية للعدد المركب أو الصيغة الديكارتية ⋅

zالعدد � x y i= + :مركب من قسمين ⋅

Re( )x z= القسم الحقيقي ،Im( )y z=القسم التخيلي

)Reإذا كان :تعريف ) 0x z= zنقول إن العدد المركب تخيلي بحت ويكون له الشكل = y i= ⋅

0ويكتب ℂ∋0 ) :الصفر(العنصر المحايد للجمع � 0 0 i= + ⋅

1: تساوي عددين مركبين � 1 1z x y i= + 2و ⋅ 2 2z x y i= + ⋅

1 2z z= 1يكافئ 2x x= 1و 2y y=

: iقوى العدد المركب �

2 1i = − ،3i i= − ،4 1i = ،5i i= .......

) : بشكل عام )4 4 hn h m m mi i i i i+= = ⋅ }حيث = }, 0 ,1 , 2 , 3h m∈ ∈ℕ

: نتيجة

(a أيا كانn ∈ℕ فإن :{ }, 1 , , 1ni i i∈ − −

(b من أس قوى 4يمكن إهمال مضاعفات العددi

): أمثلة ) ( )4 5 1 4 8 07 4 3 3 21 1 32 0, , 1i i i i i i i i i i i× + × ++= = = − = = = = = =

6

1: إذا كان : جمع األعداد المركبة � 1 1z x y i= + 2و ⋅ 2 2z x y i= + ⋅

1 :فإن 2 1 2 1 2( ) ( )z z x x y y i+ = + + + 1 و ⋅ 2 1 2 1 2( ) ( )z z x x y y i− = − + − ⋅

إذا كان : ضرب األعداد المركبة �

1 1 1z x y i= + 2 و ⋅ 2 2z x y i= + ⋅

1 :فإن 2 1 1 2 2( ) ( )z z x y i x y i⋅ = + ⋅ +

:حسب ممدد عملية ضرب األعداد الحقيقية

2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2z z x x y y i x y i y x i⋅ = + + +

) ومنه ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2z z x x y y x y y x i⋅ = − + +

:ضرب عدد حقيقي بعدد مركب

λأيا كان ∈ℝ فإنλ ∈ℂ 0ويكتبiλ λ= +

z : فإذا كان x y i= + ⋅

): فإن )( )0z i x yi x yiλ λ λ λ⋅ = + + = +

7

:مالحظة

مجموعة كما هو الحال في ℂ مجموعة العداد المركبة عمليات الجمع والطرح والضرب في يجر ن

} بأحد عناصر المجموعة iمع مراعاة استبدال قوى العددℝ األعداد الحقيقية }, 1 , , 1i i− −

1 :لدينا األعداد المركبة اآلتية: مثال 3 2z i= 2و + 1 4z i= 1zو − i= −

11 :احسب

1 2 1 2 1 2, 3 5 , ,z z z z z z z+ − ⋅

: الحل

1 2

1

3 2 1 4

4 2

z z i i

z z i

+ = + + −+ = −

1 23 5 3(3 2 ) 5(1 4 )

9 6 5 20 4 26

z z i i

i i i

− = + − −= + − + = +

( )( )1 2

2

3 2 1 4

3 12 2 8 11 10 : : 1

z z i i

i i i i

⋅ = + −

= − + + = − = −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

511 11 2 5

5

1 1 1 2 1

32 1 32 1 32 32

z i i i i i

i i i i i

= − = − − = − −

= − − = − − = − −

8

والضرب الجمع لعمليتي بالنسبة تبديلي حقل العقدية األعداد مجموعة إن :مبرهنة

:ألنها تحقق

:زمرة تبديلية بالنسبة لعملية الجمع ℂ: أوال

)تحقق الصفة التبديلية(①

1أيا كان 2,z z ∈ℂ 1: فإن 2 2 1z z z z+ = )يمكن التحقق من تساوي الطرفين بسهولة( +

)حقق الصفة التجميعيةت(②

1أيا كان 2 3, ,z z z ∈ℂ فإن :( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3z z z z z z z z z+ + = + + = + +

) يمكن التحقق من تساوي الطرفين بسهولة(

) ℂإلى ينتميو الصفر عنصر محايد بالنسبة لعملية الجمع(③

zأيا كان ∈ℂ 0: فإن 0z z z+ = + =

zلكل عنصر(④ ∈ℂ نظير جمعيz− ∈ℂ(

zأيا كان ∈ℂ فإنه يوجدz− ∈ℂ :( ) ( ) 0z z z z− + = + − =

}: ثانيا }\ 0ℂ زمرة بالنسبة لعملية الضرب:

)تحقق الصفة التجميعية(①

1أيا كان 2 3, ,z z z ∈ℂ فإن :( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3z z z z z z z z z⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

9

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

1 1 2 3 1 1 2 2 3 3

1 2 1 2 1 2 1 2 3 3

1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

L z z z x y i x y i x y i

x x y y x y y x i x y i

L x x x y y x x y y y x y

x x y y y y x y x y x x i

= ⋅ ⋅ = + + +

= ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ +

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )( )

2 1 2 3 1 1 2 2 3 3

1 1 2 3 2 3 2 3 2 3

2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

L z z z x y i x y i x y i

x y i x x y y x y y x i

L x x x x y y y x y y y x

x x y x y x y x x y y y i

= ⋅ ⋅ = + + +

= + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

1بالموازنة بينهما نالحظ 2L L=

1العدد واحد ( ② 1 0i= ) ℂو ينتمي إلى محايد بالنسبة لعملية الضرب +

zأيا كان ∈ℂ 1: فإن 1z z z⋅ = ⋅ =

zلكل عنصر( ③ ∈ℂ نظير ضربيz ′∈ℂ 1ويسمى المقلوب ويكونz

z′ = (

zأيا كان ∈ℂ فإنه يوجدz ′∈ℂ 1بحيثz z z z′ ′⋅ = ⋅ =

: برهان وجود المقلوب

1الضرب تبديلي 2 2 1z z z z⋅ = نكتفي بحساب النظير من اليمين فيكون هو النظير من اليسار ⋅

, لنفرض 0z x y i z= + ⋅ zو ≠ x y i′ ′ ′= + ⋅

10

: فإن 2 2 2 2

x yz i

x y x y

−′ = ++ +

1zبما أن :البرهان z′ ⋅ ): فإن = ) ( ) 1 0x x y y x y y x i i′ ′ ′ ′− + + = +

)حسب تساوي عددين مركبين (وتكافئ

( )( )

1........ 1

0....... 2

x x y y

x y y x

′ ′− =′ ′+ =

:نجد y: والثانية بـx :نضرب المعادلة األولى بـ

( )

( )

2

2

........ 1

0........ 2

x x y y x x

x y y y x

′′ ′− =

′′ ′+ =

: نجمع المعادلتين نجد

2 2x x x y x′ ′+ ومنه =2 2

xx

x y′ =

+

:نجد x: والثانية بـ−y :نضرب المعادلة األولى بـ

( )

( )

2

2

........ 1

0.............. 2

y x x y y y

x y x y x

′′′ ′− + = −

′′′ ′+ =

نجمع المعادلتين نجد 2 2

yy

x y

−′ =+

11

: ومنه 2 2 2 2

x yz i

x y x y

−′ = ++ +

أي 2 2 2 2

1 x yi

z x y x y

−= ++ +

)تتحقق صفة توزيع الضرب على الجمع( :ثالثا

1أيا كان 2 3, ,z z z ∈ℂ فإن: ( )( )

1 2 1 2

1 2 1 2

z z z z z z z

z z z z z z z

+ ⋅ = ⋅ + ⋅

⋅ + = ⋅ + ⋅

:البرهان

)الضرب تبديلي نكتفي ببرهان أحد الحالتين ولتكن )1 2 1 2z z z z z z z⋅ + = ⋅ + ⋅

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 2 2 2 2

1 2

z z z x y i x x y y i

x x x x y y y y x y x y x y x y i

x x y y x y x y i x x y y x y x y i

z z z z

⋅ + = + + + +

= ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅

مما سبق مجموعة األعداد العقدية حقل بالنسبة لعمليتي الجمع والضرب

)الصفة التبديلية لعملية الضرب( :رابعا

1أيا كان 2,z z ∈ℂ 1: فإن 2 2 1z z z z⋅ = ⋅

النتيجة مجموعة األعداد العقدية حقل تبديلي بالنسبة لعمليتي الجمع والضرب

12

حقيقي بعدد والضرب الجمع لعمليتي بالنسبة حقيقي شعاعي فضاء العقدية األعداد مجموعة :مبرهنة

:ألنها تحقق

): أوال ),+ℂ زمرة تبدبلبة

λ,أيا كان : ثانيا µ ∈ℝ وأيا كان,z z ′∈ℂ فإن:

( )( )( ) ( )

1) 1

1)

3)

4)

z z

z z z z

z z z

z z

λ λ λλ µ λ µλ µ λ µ

⋅ =′ ′⋅ + = ⋅ + ⋅

+ ⋅ = ⋅ + ⋅

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

للفضاء الشعاعي ( ), ,+ ⋅ℂ أساس قانوني{ }1, i

1zألن كل عدد مركب يكتب عبارة وحيدة x y i= ⋅ فيكون عدد أبعاد هذا الفضاء بعدين +

: ℂعملية التقسيم في

11

2 2

1zz

z z= :هي عملة ضرب البسط بمقلوب المقام ومنه ⋅

( ) ( )( ) ( )

( )

1 1 2 21 1

2 2 2 2 2 2

2 1 1 22 2 1 2

2 2 2 2

2 2 2 2

x y i x y ix y i

x y i x y i x y i

x y x y ix x y y

x y x y

+ ⋅ −+ =+ + ⋅ −

−+= ++ +

13

): إذا الحظنا أن : وتعريف مالحظة ) ( )2 2x y x yi x yi+ = + ⋅ −

zورمزنا x yi= zوأسميناه مرافق العدد − x yi= +

هي عملية ضرب البسط والمقام بمرافق المقام ℂعملية التقسيم في ننجز

:النتيجة

:بما أن مجموعة األعداد العقدية حقل تبديلي بالنسبة لعمليتي الجمع والضرب

عداد تصح فيها المتطابقات وحل المعادالت ومنشور ثنائي الحد وكل العمليات التي وجدناها في األ

وألنها فضاء شعاعي لمجموعة األعداد المركبة عمليات وخواص في الجبر الخطي الحقيقية

ليات في مجموعة العداد المركبةأمثلة على العم

:لدينا األعداد المركبة اآلتية :�مثال

1 1z i= 2و + 2 3z i= ): احسب − )2 3 1311 2 1 2 1

2

, 2 , ,z

z z z z zz

+ −

1: الحل 2 3 2z z i+ = −

( ) ( )2 2

1 2 3 2 9 12 4

5 12

z z i i

i

+ = − = − −= −

( ) ( )3 33 2 3 3 2 2 3

2 2 3 8 36 54 27 : 3 3

8 36 54 27 46 9

z i i i i a b a a b ab b

i i i

= − = − + − − = − + −= − − + = − −

14

3

1 22 2(1 ) ( 46 9 )

48 11

z z i i

i

− = + − − −= +

( )( )( )( )

1

2

1 2 31

2 3 2 3 2 3

2 3 2 3 1 5

4 9 13 13

i iz i

z i i i

i ii

+ ++= =− − ++ + −= = − +

+

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

613 213

1

6

1 1 1

2 1 64 1

z i i i

i i i

= + = + +

= + = − +

:�مثال

1اكتب العدد المركب 3

2 3 1 2

i iz i

i i

+= + −− +

بالشكل الجبري له

:بكتابة كل كسر بالشكل الجبري نجد: الحل

( )( )( )( )

( )( )( )

1 2 3 1 23

2 3 2 3 1 2 1 2

2 3 2 3 23

4 9 1 41 5 2 1

313 13 5 5

21 157

65 65

i i i iz i

i i i i

i i ii

i i i

z i

+ + −= + −

− + + −+ + − += + −

+ +

= − + + + −

= −

15

nبرهن أنه لكل : مثال ∈ℕ فإن4

11

1

n

i

i

− = +

:بضرب البسط والمقام بالمرافق :الحل

( )( )( ) ( )

44 2 4411 2

11 1 1 2

nn nnii i

ii i i

− − − = = = − = + + −

)حل آخر )( )

( )( )24 22

2

2

11 21 1

1 21

nn nnii i

i ii

− − −= = = − = + ++

nبرهن أنه من أجل كل : مثال ∈ℕ فإن 8

5

2 3

n

i

i

− −

عدد حقيقي

:الحل

( )( )( )( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

88 8

48 2

4 4

5 2 35 13 13

2 3 2 3 2 3 13

1 1

2 14 : 1

nn n

nn

n n n

i ii i

i i i

i i

i i

− + − + = = − − +

= + = +

= = =

:إذا 8

5

2 3

n

i

i

− −

عدد حقيقي

16

:المرافق وخواصه

zوجدنا أن العدد x yi= zمرافق للعدد − x yi= +

iبـ −iأي أننا نحصل على العدد المرافق لعدد مركب بتبديل كل

:أمثلة

1 3 5 6 2 4

1 3 5 6 2 4

i iz i

i iz i

+ − −− +

:خواص المرافق

zإذا كان : أوال x yi= zفإن + x yi= ويكون −

① z حقيقي⇔ z z= ⇔0y =

② z تخيلي بحت⇔ z z= − ⇔ ) 0y 0xو ≠ =(

③ 2z z x+ )Reأو = )2

z zz

+ مجموع العدد المركب مع مرافقه عدد حقيقي =

④ 2z z yi− )Imأو = )2

z zz i

− = الفرق بين العدد المركب و مرافقه عدد تخيلي بحت ⋅

⑤ 2 2z z x y⋅ = العدد المركب في مرافقه عدد حقيقي حاصل ضرب +

17

⑥ ( )z z= مرافق المرافق هو العدد نفسه

1إذا كان : ثانيا 1 1z x y i= 2 و + 2 2z x y i= +

① 1 2 1 2z z z z+ = +

) : البرهان ) ( )1 2 1 2 1 2z z x x y y i+ = + + +

( ) ( )1 2 1 2 1 2z z x x y y i+ = + − +

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2

z z x y i x y i

z z z z

+ = − + −

+ = +

② 1 2 1 2z z z z⋅ = ⋅

:البرهان

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2

1 2 1 2 2 1 1 2

1 2 1 2 2 1 1 2

2 1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 2 1 1 2

1 2 1 2 2 1 1 2

1 2

L z z x x y y x y x y i

x x y y x y x y i

x x y y x y x y i

L z z x y i x y i

x x y y x y x y i

x x y y x y x y i

L L

= ⋅ = − + +

= − + +

= − − +

= ⋅ = − ⋅ −

= − + − −

= − − +=

18

③ 1 12

2 2

: 0z z

zz z

= ≠

1 :البرهان 1 1

2 2 2

1 1zz z

z z z

= ⋅ = ⋅

1 11

2 2 2

1z zz

z z z

= ⋅ =

④ 1 2 2 1z z z zω = ⋅ + عدد حقيقي ⋅

1 و 2 2 1z z z zµ = ⋅ − عدد تخيلي بحت ⋅

1لبرهان : البرهان 2 2 1z z z zω = ⋅ + ωحقيقي نبرهن ⋅ ω=

( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 2 2 1

1 2 2 1

z z z z z z z z

z z z z

ω

ω

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ =

1أي أن 2 2 1z z z zω = ⋅ + عدد حقيقي ⋅

1لبرهان 2 2 1z z z zµ = ⋅ − µتخيلي بحت نبرهن ⋅ µ= −

( ) ( ) ( )( )

1 2 2 1 1 2 2 1

1 2 2 1 1 2 2 1

z z z z z z z z

z z z z z z z z

µ

µ

= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅

= ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ = −

1أي أن 2 2 1z z z zµ = ⋅ − عدد تخيلي بحت ⋅

19

����� :( ) :n

nz z n= ∈ℤ

:البرهان

nمن أجل ) 1 ∈ℕ باالستقراء الرياضي :

0n 1فإن = محققة =1

)نفرض ) :k

kz z k ∗= ∈ℕ صحيحة ونبرهن صحة ( ) 11

kkz z

++ =

) :برهان )1 :k

k k k kz z z z z z z+ = ⋅ = ⋅ =

) ومنه ) ( ) ( ) 11

k kkz z z z

++ = =

nمن أجل ) 2 −∈ℤ 0وz ≠

r: نفرض n= rيكون − ∈ℕ وبالتالي يكون( ) :r

rz z r= ∈ℕ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

1

1

2

1 1 1:

1

n rr

n r r

r

r

n

L z z zzz z

L zz

z L

−

−

= = = = =

= =

= =

األستاذ أحمد أبو نبوت

20

: المركبالتمثيل الهندسي للعدد :الفصل الثاني

)ليكن المستوي المحدث بمعلم متجانس ), ,o i j� �� ،

يوجد تقابل بين األعداد المركبة ونقط المستوي

: ( , )f z x i y M x y= + →

1و : ( , )f M x y z x i y− → = +

zإن كل عدد مركب x i y= )يمثل في المستوي بنقطة + ),M x y المتجهأو ب oM����

.

)نسمي ),M x y صورة العدد المركبz كنقطة ونرمز لها أيضا ( )M z

zكذلك يمكن أن نقول x i y= )صورة للنقطة + ),M x y )حسب التقابل السابق(

oMنسمي و ����

كمتجه zصورة العدد المركب

oMونرمز z= zطويلة العدد المركب نسميها ����

2ومن الشكل نجد 2oM z x y z z= = + = ⋅����

•

i�

( ),M x y

x

y

�

���ا��

ر و

��ا

���� ا��ور ا�x

y

zj��

o

21

:انظر إلى الشكل المجاور: مثال

,إن النقاط , , , ,A B C D E F

المحددة في الشكل المقابل هي

:صور األعداد المركبة بالترتيب

1 2 3 4

5 6

3 , 1 2 , 2 , 3

2 2 , 2A B C D

E F

z z i z z i z z z z i

z z i z z i

= = = = − + = = − = = − −= = − = = +

: خواص طويلة العدد المركب

oMوجدنا أن � z=2: أي ����� 2z x y= z :وبالتالي + z z= 2أو ⋅

.z z z=

� 1 1z z z⋅ = ⇔ 1أو =1z z

z= ⇔ =

2xبما أن x x≤ ) :فإن = ) ( )Re Rez z z≤ )و ≥ ) ( )Im Imz z z≤ ≤

,إذا كان � ,z w ω فإن ةد مركباعدأ ، :

0 0 (1z z= ⇔ 0 :ألن = 0y z= ⇔ 2و= 2 0 0x y x+ = ⇔ =

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

•

•

•

•

•

E

i

B

C

D

A

F

1z

2z

3z 6z

4z5z

•

22

. . (2z w z w=

2: البرهان . . .z w z w z w= 2تكتب ⋅

. .z w z z w w= ⋅ ⋅

2ومنه 2 2. .z w z w= بجذر الطرفين نجد. .z w z w=

.: نتيجة .z w z wω ω⋅ = :و ⋅nnz z n= ∈ℕ و( ). . ;z zλ λ λ= ∈ℝ

2إذا كان : حالة خاصة هامة zω 2: فإن = zω 2ومنه =zω =

xأي أنه إذا كان yiω = zجذرا تربيعيا للعدد + a bi= 2فإن + 2 2 2x y a b+ = +

: 0 (3zz

ww w

= ≠

: البرهان 2

z z z

w w w =

أي 2

z z z

w w w= ⋅

ومنه 22

2

zz

w wzzبجذر الطرفين نجد =

w w=

|: نتيجة |z z i z= = ،1zz

z z= =

23

(4z w z w+ ≤ +

) : البرهان )( )2z w z w z w+ = + +

( )( )2z w z w z w

z z z w w z w w

+ = + +

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

( )2 2 2..............z w z z w w z w+ = + ⋅ + ⋅ + ∗

zلكن w w z⋅ + ⋅ عدد حقيقي كما مر معنا سابقا

)Reفيكون ) Re ( ) Re ( )z w w z z w w z z w z w⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

)Reلكن ) Re ( ) , Re ( ) Re ( )z z w w= =

2 فيكون Re( )z w w z z w⋅ + ⋅ = ⋅

وحسب الخاصة Re( )z w z w⋅ ≤ ⋅

. �وحسب الخاصة .z w z w=

)مما سبق تكتب )∗ 2 2 2

2z w z z w w+ ≤ + ⋅ +

( )22z w z w+ ≤ +

ومنه

z w z w+ ≤ +

24

:على طويلة العدد المركبأمثلة

1zالذي يحقق zليكن العدد المركب ① =

تخيلي بحت zمن zفرق مقلوب العددأن حقيقي و z إلى zأثبت أن مجموع مقلوب العدد

1zبما أن : الحل 1 فإن =z

z :وبالتالي =

12 Re( )z z z z

z+ = + 1 و =

2 Im( )z z z i zz

− = − = ⋅

:عين طويلة كل عدد من األعداد المركبة اآلتية②

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )42

3

1 2 2 31 21 2 , 2 , 3

3 2 2

i iiz i w

i iω

− − −− += − = =

+ +

):الحل )1 2z i= 2zيكون − =

( )2 ( )21 2

3

iw

i

− +=

+)يكون )2

| 1 2 |

| 3 |

iw

i

− +=

+)ومنه )2

2 1 41 2 5

2| 3 | 3 1

iw

i

+− += = =

+ +

( )3 ( ) ( )( )

4

3

1 2 2 3

2 2

i i

iω

− − −=

+يكون

4

3

| 1 | | 2 2 3 || |

| 2 2 |

i i

iω − − ⋅ −=

+

)ومنه )( )

4

3

2 16| | 2

4ω

⋅= =

25

z,ليكن العددان المركبان ③ w 1 انيحققz w= =

( zإذا كان1( w≠ 1أثبت أن z w

z wω + ⋅=

− هو عدد تخيلي بحت

( 1 إذا كان 2( 0z w+ ⋅ أثبت أن ≠1

z w

z wµ +=

+ ⋅ هو عدد حقيقي

:الحل

( ω تخيلي نثبت أن ωكي نثبت أن 1( ω= −

: اإلثبات 1 1z w z w

z w z wω + ⋅ + ⋅ = = − −

1 بما أن 1z z

z= ⇔ =

1 1 11 1

1 1

1

z wz wz w z w

w z w zz w z w

z w

z w

ω

ω ω

⋅ ++ ⋅ + ⋅⋅= = =− −−⋅

+ ⋅= − = −−

( µ حقيقي نثبت أن µكي نثبت أن 3( µ=

: اإلثبات 1 1

z w z w

z w z wµ + + = = + ⋅ + ⋅

1 بما أن 1z z

z= ⇔ =

1 1

1 1 1 11

w zw zz w z w

z w z wz w z w

µ µ

++ +⋅= = = =⋅ + + ⋅+ ⋅⋅

26

z,ليكن العددان المركبان ④ w و تحقق,z w z w= ≠ ±

( zأثبت أن 1( w

z wω +=

− عدد تخيلي بحت

( )أثبت أن 2( )( )z w z wα = + تخيلي بحت −

1 ليكن: الحل ,z w z w′ ′ ′ ′= = zألن ≠ w= 1 يكون 1,z w

z w′ ′= =

′ ′

( |نكتب 1( | | |

| | | |

z z w w

z z w wω ′ ′+=

′ ′−z ومنه w

z wω

′ ′+=′ ′−

ωتخيلي نثبت أن ωكي نثبت أن ω= − ، 1 1

1 1z w z w z wz w z w

z w

ω+′ ′ ′ ′+ + ′ ′= = = ′ ′ ′ ′− − −

′ ′

أي w z

w z w zw zw z w z z ww z

ω ω

′ ′+′ ′ ′ ′+ +′ ′⋅= = = − = −′ ′− ′ ′ ′ ′− −

′ ′⋅

تخيلي بحت ωإذا

( ) نكتب 2( ) ( ) ( ) ( )2| | | | | | | |z z w w z z w w r z w z wα ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + − = + z ألن − w r= =

αتخيلي نثبت أن αكي نثبت أن α= −

) : اإلثبات )( ) ( ) ( )2 2r z w z w r z w z wα ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + − = + −

( ) ( )2 21 1 z wr z w r z w

z w z wα ′ ′+ ′ ′ ′ ′= + − = − ′ ′ ′ ′⋅

27

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

2 2

2 2

1 1z wr z w r z w

z w w z

r z w w z r z w z w

α

α α

′ ′− ′ ′ ′ ′= + = + − ′ ′ ′ ′⋅

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + − = − + − = −

1zالذي يحقق zليكن العدد المركب ⑤ أن أثبت =2

2

1 Im( )

1 Re( )

Z zi

Z z

− =+

: اإلثبات 2

1 2

1

1

ZL

Z

−=+

zيضرب البسط والمقام بـ

( )( )

2

1 2

2

: 1 1

2 Im( ) Im( )

2 Re( ) Re( )

z z z zz z zL z z z

z z z z z z z

z z i z zi L

z zz z

⋅ ⋅ −⋅ −= = = ⇔ ⋅ =⋅ + ⋅ ⋅ +

− ⋅= = = =+

0z مركب عدد كل أوجد ⑥ 1 ويحقق ≠1z z

z= = +

1z العالقة المفروضة تكافئ : الحل z= 2و +1z =

1z تكافئ z= و +

1z 1تكافئ = 1z+ و =

1z =

z :نعوض x yi= )نجد + )22 2 21 , 1 1x y x y+ = + + =

2وتكافئ 2 1 , 1 2 0x y x+ = + =

2تكافئ 2 11 ,

2x y x+ = = 3تكافئ و − 1

,2 2

y x= ± = −

1: يوجد عددان عقديان يحققان الشرط هما 3 1 3,

2 2 2 2z i z i= − + = − +

28

zأوجد كل عدد مركب ⑦ x yi= 2ويحقق + 3 2z iz i z= − = − −

: الحل

2 3 2z i z i z= − = − −

3 تكافئ 2z i z= − 2zو − i z= −

3 2 (2 1)x yi x y i+ = − − 2xو + yi y xi+ = − − +

( ) ( )2 22 2 3 2 2 1x y x y+ = − + 2و + 2 2 2( 2 )x y y x+ = − − +

2 : تكافئ 23 3 12 4 10 0x y x y+ − + + 1و = 0y + =

2 : تكافئ 4 3 0x x− + 1yو = = −

) : تكافئ )( )1 3 0x x− − 1yو = = −

) : تكافئ 1 , 1)y x= − )أو = 1 , 3)y x= − =

: يوجد عددين يحققان العالقة هما

1 1z i= 2و − 3z i= −

29

: الجذران التربيعيان للعدد المركب

zللبحث عن الجذران التربيعيان للعدد المركب a bi= xنفرض أن هذا الجذر التربيعي + yiω = +

2فيكون zω 2وتكافئ = 2 2x y xyi a ib− + = +

تكافئ 2 2

2

x y a

xy b

− =

=

x,يمكن حل جملة المعادلتين وحساب كال من y وبالتالي حساب الجذرين

2لكن من العالقة zω |2 وجدنا أن = | | |zω 2 أي = 2 2 2x y a b+ = +

xإذا كان : النتيجة yiω = zجذر تربيعي للعدد + a bi= :فإن +

( )( )( )

2 2

2 2 2 2

................... 1

....... 2

2 ......................... 3

x y a

x y a b

xy b

− = + = + =

)بجمع )و 1( xللمجهول متعاكستين نجد قيمتين 2(

)وبطرح )من 1( yللمجهول متعاكستين نجد قيمتين 2(

0bواذا كان )من المعادلة < )Reنستنتج أن 3( ) , Im( )x x y z= من إشارة واحدة =

0bواذا كان )من المعادلة > )Reنستنتج أن 3( ) , Im( )x x y z= من إشارتين مختلفتين =

30

5 المركب للعدد التربعيين الجذرين أوجد : �مثال 12z i= −

xإذا فرضنا :الحل yiω = 5جذر تربيعي للعدد + 12z i= 2: فإن − zω وينتج عن ذلك =

( )( )( )

2 2

2 2

5....... 1

13..... 2

2 12........ 3

x y

x y

xy

− = + = = −

)بجمع )و 1( 22نجد 2( 18x 3x ومنه = = ±

)بطرح )من1( 22نجد 2( 8y 2y ومنه = = ±

)المعادلة )Reتدل على أن 3( ) , Im( )x x y z= من إشارتين مختلفتين =

1: الجذران هما 23 2 , 3 2i iω ω= − = − +

لكل عدد مركب جذران تربيعيان متعاكسان : مالحظة

3أوجد الجذرين التربعيين للعدد المركب : �مثال 4z i= − +

:الحل

xإذا فرضنا yiω = 3جذر تربيعي للعدد + 4z i= − 2: فإن + zω وينتج عن ذلك =

( )( )( )

2 2

2 2

3....... 1

5......... 2

2 4............... 3

x y

x y

xy

− = − + = =

31

)بجمع )و 1( 22نجد 2( 2x 1x ومنه = = ±

)بطرح و من 1( ( 22نجد 2( 8y 2y ومنه = = ±

)المعادلة )Reتدل على أن 3( ) , Im( )x x y z= من نفس اإلشارة =

1 :الجذران هما 21 2 , 1 2i iω ω= + = − −

1zأوجد الجذرين التربعيين للعدد المركب : مثال i= − −

: الحل

xإذا فرضنا yiω = 1zجذر تربيعي للعدد + i= − 2: فإن − zω وينتج عن ذلك =

( )( )( )

2 2

2 2

1......... 1

2........ 2

2 1............... 3

x y

x y

xy

− = − + = = −

)بجمع )و 1( 22نجد 2( 2 1x = 2 ومنه − 1

2x

−= ±

)بطرح )من 1( 22 نجد 2( 2 1y = 2 ومنه + 1

2y

+= ±

)المعادلة )Reتدل على أن 3( ) , Im( )x x y z= من إشارتين مختلفتين =

1: الجذران هما 2

2 1 2 1 2 1 2 1,

2 2 2 2i iω ω− + − += − = − األستاذ أحمد أبو نبوت +

32

:حل المعادالت في مجموعة األعداد المركبة : الفصل الثالث

: zومرافقه zالمعادلة التي تحوي : أوال

zنفرض x yi= x,نبدله مع المرافق في المعادلة ونستنتج منها جملة معادلتين بالمجهولين + y

x,نحل جملة المعادلتين ونحسب y ونبدلهما في الفرضz x yi= يكون هو الحل المنشود +

:مجموعة األعداد المركبة المعادلة ℂحل في: ①مثال

(2 3 ) (1 5 ) 5i z i z i− + + = −

zنفرض : الحل x yi= نبدل في المعادلة +

( ) ( )(2 3 ) (1 5 ) 5i x yi i x yi i− + + + − = −

:باإلصالح نجد

2 3 2 3 5 5 5

(3 8 ) (2 ) 5

x xi yi y x yi xi y i

x y x y i i

− + + + − + + = −+ + + = −

3: وتكافئ 8 5

2 1

x y

x y

+ = + = −

جمع المعادلة الناتجة معنو −8ضرب المعادلة الثانية بالعدد نحل الجملة ل

13المعادلة األولى نجد 13x− 1xومنه = = 1yنبدل في أحد المعادلتين نجد − =

1z هو حل المعادلة i= − +

33

2 :مجموعة األعداد المركبة المعادلة ℂحل في :②مثال | | 3 6z z i− = −

zنفرض : الحل x y i= نبدل في المعادلة +

2 22 2 3 6x yi x y i+ − + = −

): وتكافئ )( )

2 22 3....... 1

2 6........................ 2

x x y

y

− + =

= −

)من 3yنجد 2( = −

)نبدل في 22نجد 1( 9 3x x− + 22وتكتب = 3 9x x− = +

2شرط الحل لهذه المعادلة 3 0x − 3أي ≤,

2x ∈ +∞

2الحظنا إذا( أو 9 9x + 2 كان ≤ 9 3x + 2نجعل ≤ 3 3x − ]ومنه ≤ [3,x ∈ +∞(

2نربع طرفي المعادلة نجد 24 12 9 9x x x− + = )ومنه + 4) 0x x − =

0xإما ال يحقق شرط الحل مرفوض =

4x أو 4حل المعادلة هو فيكون مقبول = 3z i= −

34

2 :مجموعة األعداد المركبة المعادلة ℂحل في :③مثال | | 11 8z z i+ = −

:الحل

2 22 11 8 2( ) 11 8z z i x i y x y i+ = − ⇔ + + + = −

): وتكافئ )( )

2 22 11..... 1

2 8......................... 2

x x y

y

+ + =

= −

)من المعادلة 4yنجد 2( = ) نبدل في − ) نجد 1( )2 16 11 2 ......x x+ = − ∗

2بما أن 16 4x + 11 شرط الحل ≤ 2 4x− 7 أو ≤

2x ≤

)بتربيع طرفي 23واإلصالح ∗( 44 105 0x x− + =

:لها حلين 35

3 ,3

x x= 35األول =

3x ال يحقق شرط الحل مرفوض =

3 هو ة المفروضةيكون حل المعادلف 4z i= −

2المعادلة : ثانيا 0a z b z c+ + =

a,حيث b c أوفي الحالة الخاصة أعداد حقيقية(أعداد مركبة(

0: �حالة , 0a b= cلها حل وحيد ≠z

b= −

2: المعادلة ℂحل في: مثال 3 2 0z i+ − 3 حلها =

2z i= − +

35

2): المعادلة ℂحل في: مثال آخر ) 3 2 0i z i+ + − =

3حلها 2

2

iz

i

− +=+

) يكتب ) ( )( ) ( )3 2 2 6 4 3 2

2 2 5

i i i iz

i i

− + − − + + += =+ −

4 ومنه 7

5 5z i= − +

0 �حالة , 0a b≠ 2: المعادلة تكتب بالشكل = cz

a= −

cأحد جذري ωفإذا كان

azكان للمعادلة حلين − ω= ±

29: المعادلة ℂحل في: مثال 16 0z + ) ℝالحظ هذه المعادلة مستحيلة في( =

2تكتب المعادلة :الحل 16

9z = 2أو − 216

9z i= 4ولها حلين

3z i= ±

1)2: المعادلة ℂحل في: مثال آخر ) 7 0i z i+ − + =

)تكتب المعادلة : الحل )( )

( )( )

( )( )

2 7 7 1

1 1 1

i i iz

i i i

− − −= =

+ + −

2:و بعد اإلصالح نجد 3 4z i= نبحث عن جذور هذا العدد −

zإذا فرضنا x y i= ينتج عن ذلك +

36

( )( )( )

2 2

2 2

3.......... 1

5.......... 2

2 4.............. 3

x y

x y

xy

− = + = = −

)بجمع )و 1( 22نجد 2( 8x 2x ومنه = = ±

)بطرح من 1( ( 22نجد 2( 2y 1y ومنه = = ±

)المعادلة )Reتدل على أن 3( ) , Im( )x x y z= من إشارتين مختلفتين =

1 :الجذران هما 22 , 2z i z i= − = − +

حالة 0 , 0a c≠ ): المعادلة تكتب بالشكل = ) 0z a z b+ =

0zإما bأو =z

a= ويكتب −

2| |

b az

a

⋅= −

)حل المعادلة : مثال ) ( )21 3 2 0i z i z− + + =

)تكتب المعادلة : الحل ) ( )( )1 3 2 0z i z i− + + =

0zأما )أو = ) ( )1 3 2 0i z i− + + =

)تكتب المعادلة األخيرة ) ( )3 2 13 2

1 2

i iiz

i

+ −+= − = −−

5ومنه 1

2 2z i= − +

37

0a �حالة b c⋅ ⋅ 2: المعادلة تكتب بالشكل ≠ 0b c

z za a

+ + =

: وتكافئ 2 2

2 02 2

b b b cz z

a a a a + + − + =

تكافئ 2 2

02 2

b b cz

a a a + − + =

أو 2 2

2

40

2 4

b b acz

a a

− + − =

2: نفرض 4b ac∆ = يسمى مميز المعادلة −

:تكتب المعادلة 2

22 4

bz

a a

∆ + =

∆أحد جذري µأذا كان

فالمعادلة تكافئ 2 2

bz

a a

µ+ = :وبالتالي للمعادلة حلين هما ±

1 2

bz

a

µ− 2 و =+ 2

bz

a

µ− −=

∆0إذا كان : مالحظة 2 فإن = 1 2

bz z

a

−= ونسميه جذر مضاعف =

38

:المعادالت اآلتية ℂفي حل: تمارين

( )

2

2

2

2

1) 2 7 5 0

2) 2 2 0

3) 3 1 6 2 4 0

4) (1 ) 2( 2 3 ) 4 2 0

z z

z z

z i z i

i z i z i

− + =− + =

− − − + =

− − − + − + =

(21: الحل 2 7 5 0z z− + =

2 4 9b ac∆ = − 3µله جذر = =

1الحلين

5

2 2

bz

a

µ− += 2و = 12

bz

a

µ− −= =

22) 2 2 0z z− + =

2 4 4b ac∆ = − = 2iµ له جذر − =

1 الحلين 2

bz

a

µ− 1أي =+

2 21

2

iz i

+= = +

2و 2

bz

a

µ− 2أي =−

2 21

2

iz i

−= = −

0إذا كان : مالحظة , , ,a b c∆ < ∈ℝ 1فإن الجذرين 2,z z مترافقان

( )23) 3 1 6 2 4 0z i z i− − − + =

( )22 4 1 6 12( 2 4 )b ac i i∆ = − = − − − +

39

11ومنه 60i∆ = − xإذا كان له جذر − y iµ = +

فإن ( )( )( )

2 2

2 2

11............................ 1

121 3600 61...... 2

2 60.................................. 3

x y

x y

xy

− = − + = + = = −

)بجمع )و1( 22نجد 2( 50x 5x ومنه = = ±

)بطرح )من1( 22نجد 2( 72y 6y ومنه = = ±

)المعادلة )Reتدل على أن 3( ) , Im( )x x y z= من إشارتين مختلفتين =

5: ∆جذرا 6iµ = 5أو − 6iµ = − نستخدم أحدهما إليجاد وليكن األول +

1الحلين 2

bz

a

µ− 1 أي =+

1 6 5 61 2

6

i iz i

− + −= = −

2و 2

bz

a

µ− 2 أي =−

1 6 5 6 2

6 3

i iz

− − += = −

24) (1 ) (2 3 ) 2 0i z i z i+ − + + + =

( )22 4 2 3 4(1 )(2 )b ac i i i∆ = − = + − + +

5 ومنه 12 4 12 9i i∆ = − + − − = −

3iµ: ∆جذرا 3iµأو = = نستخدم أحدهما إليجاد وليكن األول −

1الحلين 2

bz

a

µ− 1أي =+

2 3 3 1 3

2(1 ) 1

i i iz

i i

+ + += =+ +

)ومنه )( )( )( )1

1 3 12

1 1

i iz i

i i

+ −= = +

+ −

2و 2

bz

a

µ− )أي =− )2

2 3 3 1

2 1 1

i iz

i i

+ −= =+ +

)ومنه )( )( ) ( )2

1 11

1 1 2

iz i

i i

−= = −

+ −

40

2نستنتج المخطط البياني التالي لحل المعادلة 0a z b z c+ + 0aحيث = b c⋅ ⋅ ≠

ب �

2 4b a c∆= − ⋅

α∆=±

α و�ب� ���� دد

α∆=−

0∆=

iα β∆= +

,α β

��ا دأ�� � د

α∆=

��!�د�� �

��ن�� �ذر�ن

1 2

bz

a

α− +=

2 2

bz

a

α− −=

��!�د�� �

�#� ف

2

bz

a

−=

��!�د�� �

�د�ن�ذر�ن

��را$��ن

1 2

b iz

a

α− +=

2 2

b iz

a

α− −=

∆�و�د أد �ذري

xو���ن y iµ = +

����� ���ل ا����رك �

( )( )( )

2 2

2 2 2 2

................. 1

.... 2

2 ....................... 3

x y

x y

xy

α

α ββ

− = + = + =

�د�ن�ذر�ن ���!�د��

1 2

b iz

a

µ− +=

2 2

b iz

a

µ− −=

�)'�ا�

41

المعادالت في مجموعة األعداد المركبة : تمارين

: ①تمرين

∆32iأوجد الجذرين التربيعيين للعدد 1] = −

)أوجد مجموعة حلول المعادلة 2] ) ( )21 4 2 3 0i z iz i− + − − =

:الحل

xبفرض 1] yiµ = ∆32iجذرا للعدد + = :فإن −

( )( )( )

2 2

2 2

0........... 1

32......... 2

2 32............. 3

x y

x y

xy

− = + = = −

)بجمع )مع 1( 22نجد 2( 32x 4xومنه = = ±

)بطرح )من 1( 22نجد 2( 32y 4yومنه = = ±

)المعادلة x,تدل على أن 3( y من إشارتين مختلفتين

∆32i أحد جذري = 4هو − 4 iµ = 4واآلخر − 4 iµ− = − +

42

:نجد ∆لحل المعادلة نحسب مميز المعادلة 2]

( ) ( )( )24 8 1 3

16 24 32 8

32

i i i

i

i

∆ = + − −∆ = − + − −∆ = −

∆32iوجدنا في الطلب األول أن أحد جذري = 4هو − 4iµ = للمعادلة المفروضة حلين −

( )( )( )

( )( )( )

1

1

2 4 14 4 43

2 2 1 2

2 14 4 41

2 2 1 2

i ib i iz i

a i

ib i iz i

a i

µ

µ

− +− + − + −= = = = −−

− +− − − − += = = = − −−

}مجموعة حلول المعادلة }3 , 1S i i= − − −

3المعادلة ℂلدينا في: ②تمرين 2(3 2 ) (1 5 ) 2 2 0z i z i z i− + + + + − =

أوجد مجموعة حلول المعادلة إذا علمت أن لها جذر حقيقي

xإذا فرضنا أن الجذر الحقيقي : الحل ∈ℝ فهو يحقق المعادلة أي

3 2(3 2 ) (1 5 ) 2 2 0x i x i x i− + + + + − فهي تكافئ =

( ) ( )3 2 23 2 2 5 2 0x x x x x i− + + + − + − وتكافئ =

( )( )

3 2

2

3 2 0....... 1

2 5 2 0............ 2

x x x

x x

− + + =

− + − =

43

)نحل المعادلة ℝ : 22في 2( 5 2 0 , 25 16 9x x− + = ∆ = − =

1 ومنه 2

5 3 5 3 12 ,

4 4 2x x

+ −= = = =

1نبدل 2x )في المعادلة = )نجد 1( ) ( )3 22 3 2 2 2 0− + + 2zمحقق أي = جذر حقيقي للمعادلة =

2نبدل

1

2x )في المعادلة = نجد 1(

3 21 1 1

3 2 02 2 2

− + + =

غير محقق

1أي

2z ليس جذر للمعادلة =

2zبعد معرفة )جذر حقيقي للمعادلة تكتب المعادلة = ) ( )22 0z a z bz c− + + =

)وتكافئ ) ( )3 22 2 2 0a z b a z c b z c+ − + − − :بالمطابقة مع المعادلة المفروضة نجد =

( )( )( )( )

1...................... 1

2 3 2 ..... 2

2 1 5 ........ 3

2 2 2 .......... 4

a

b a i

c b i

c i

=

− = − −

− = +− = −

1aبحل جملة المعادالت نجد )نبدل في = 1نجد 2( 2b i= − −

)من 1cنجد 4( i= − b,وعندما نبدل قيمتي + c في( نجدها محققة 3(

)المعادلة المفروضة تكافئ ) ( )( )22 1 2 1 0z z i z i− − + − + =

)نحل المعادلة )2 1 2 1 0z i z i− + − + =

44

( )22 4 1 2 4( 1 )b ac i i∆ = − = + − − ∆1ومنه + 1µله جذر = =

1 2

bz

a

µ− 1أي =+

1 2 11

2

iz i

+ += = +

2و 2

bz

a

µ− 2أي =−

1 2 1

2

iz i

+ −= =

}مجموعة حلول المعادلة }1 22 , 1 ,S z z i z i= = = + =

ℂ :3لدينا في: ③تمرين 2( ) (3 ) (2 5 ) 3f z i z i z i z i= + + + − − −

)احسب )f i ماذا تستنتج ؟ ثم أوجد مجموعة حلول المعادلة( ) 0f z =

3: الحل 2( ) (3 ) (2 5 ) 3f i i i i i i i i= ⋅ + + ⋅ + − ⋅ − −

)ومنه ) 1 3 2 5 3 0f i i i i= − − + + − − =

zنستنتج أن i= جذرا للمعادلة( ) 0f z =

)ولحل المعادلة ) 0f z )نكتب = )( )2( )f z z i a z b z c= − + +

)ومنه ) ( )3 2( )f z a z b a i z c b i z c i= + − + − : وبالمطابقة مع الدالة المفروضة نجد −

( )( )( )( )

...................... 1

3 ......... 2

2 5 ........ 3

3 .......... 4

a i

b a i i

c b i i

c i i

=

− = +

− = −− = − −

45

aبحل جملة المعادالت نجد i= نبدل في( 2bنجد 2( i= +

)من 1نجد 4( 3c i= b,وعندما نبدل قيمتي − c في( نجدها محققة 3(

( ) ( )( )2( ) 2 1 3f z z i i z i z i= − + + + −

:حل آخر لكتابة جداء عوامل بطريقة التقسيم

): نكتب ) ( )( )2( ) 2 1 3f z z i i z i z i= − + + + −

)من أجل ) 0f z zإما = i= أو( )2 2 1 3 0i z i z i+ + + − =

)لحل المعادلة )2 2 1 3 0i z i z i+ + + − )نضرب طرفيها بالعدد = )i− فتصبح

( )2 1 2 3 0z i z i+ − − − =

( )22 4 1 2 4( 3 )b ac i i∆ = − = − − − ∆9ومنه − =

( )

( )( )

2

3 2

3 2

2

2

2 (1 3 )

(3 ) (2 5 ) 3

2 (2 5 ) 3

2 (1 2 )

i z i z i

z i i z i z i z i

i z z

i z i z i

i z i z

+ + + −

− + + + − − −

+ + − − −

+ −

∓ ∓

∓ ∓

(1 3 ) 3

(1 3 ) 3

0 0

i z i

i z i

− − −− ± ±

+∓

46

3µإذا كان له جذر =

1الحلين 2

bz

a

µ− )أي =+ )1

1 2 31

2

iz i

− + += = +

2و 2

bz

a

µ− 2أي =−

1 2 32

2

iz i

− + −= = − +

}مجموعة حلول المعادلة }1 2, 1 , 2S z i z i z i= = = + = − +

:④تمرين

:لدينا في مجموعة األعداد العقدية المعادلة اآلتية

( ) ( ) ( )3 21 2 1 7 5 10 7 0i z i z i z i+ − + + − + + − =

z:إذا علمت أن أحد حلول المعادلة حل تخيلي بحت )1 yi y= ∈ℝ أوجد هذا الحل

)اكتب المعادلة )2 ) ( )2 0z a i z bz c− + + b,حيث = c أعداد عقدية أوجدها

أوجد مجموعة حلول المعادلة)3

)نضرب أطراف المعادلة بـ )1 2 1 2i i+ = نجد المعادلة −

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 21 2 1 2 1 2 1 7 1 2 5 10 1 2 7 0i i z i i z i i z i i− + − − + + − − + + − − =

( ) ( )3 25 5 3 5 3 4 5 15 0z i z i z i− + + + + − =

47

)أو ) ( )3 23 3 4 1 3 0z i z i z i− + + + + − =

zنفرض أن جذر المعادلة التخيلي البحت هو y i= حيثy ∈ℝ فهو يحقق المعادلة أي

( ) ( )( ) ( )

( )( )

3 2

2 3 2

2

3 2

3 4 3 1 3 0

3 4 1 3 3 3 0

3 4 1 0................ 1

3 3 3 0..... 2

y i i y i y i

y y y y y i

y y

y y y

− + + + − + + − =

− + + − + + − =

− + =

− + + − =

)نحل المعادلة )1 :(3 1)( 1) 0y y− − 1نجد =1 ,

3y y= =

إما

1

3y )حقق المعادلة يال = مرفوض 2(

1y أو )تحقق المعادلة = مقبول 2(

)تكتب المعادلة ) 2 )( )2 0z i z bz c− + + :والتي تكافئ =

( )( )( ) ( )

2

3 2

0

0

z i z bz c

z b i z c b i z i c

− + + =

+ − + − − =

:المفروضة نجد وبالمطابقة مع المعادلة

3 .........1

3 4 ......2

1 3 ..........3

b i i

c b i i

i c i

− = − − − = +− = −

3bنجد 1من = 3cنجد 3ومن − i= 2قيمتان تحققان المعادلة +

48

) :تكتب المعادلة ) ( )2 3 3 0z i z z i− − + + =

zإما i= 2أو 3 3 0z z i− + + =

2 4 9 4(3 )b ac i∆ = − = − 3ومنه + 4 i∆ = − −

xبفرض yiµ = 3جذرا للعدد + 4 i∆ = − :فإن −

( )( )( )

2 2

2 2

3........... 1

5............. 2

2 4................ 3

x y

x y

xy

− = − + = = −

)بجمع )مع 1( 22نجد 2( 2x 1xومنه = = ±

)بطرح )من 1( 22نجد 2( 8y 2yومنه = = ±

)المعادلة x,تدل على أن 3( y من إشارتين مختلفتين

3أحد جذري 4 i∆ = − 1هو − 2 iµ = 1واآلخر − 2 iµ− = − +

1الحلين 2

bz

a

µ− 1أي =+

3 1 22

2

iz i

+ −= = −

2و 2

bz

a

µ− 2أي =−

3 1 21

2

iz i

− += = −

}مجموعة حلول المعادلة }1 2, 2 , 1S z i z i z i= = = − = −

49

3المعادلة ℂلدينا في: ⑤تمرين 2(1 3 ) (4 2 ) 2 2 0z i z i z i− + − − + + =

أوجد مجموعة حلول المعادلة إذا علمت أن لها جذر مضاعف

للمعادلة جذر مضاعف فهي تكتب : الحل

( ) ( )20 : ,z a z b a b− − = ∈ℂ

): تكافئ ) ( )20 : ,z a z b a b− − = ∈ℂ

( ) ( )( )

2 2

3 2 2 2

2 0

(2 ) 2 0

z a z a z b

z a b z a ab z a b

− + − =

− + + + − =

بالمطابقة مع المعدلة المفروضة

( )( )( )

2

2

2 1 3 ............. 1

2 4 2 ..... 2

2 2 .............. 3

a b i

a ab i

a b i

+ = +

+ = − +− = +

)من المعادلة )نجد 1( )2 1 3 ......b a i= − + + )نبدل في المعادلة ∗ :نجد 2(

( )2 2 2 1 3 4 2a a a i i+ − + + = − باإلصالح +

( ) ( )( )

2

2

3 2 1 3 4 2 0

4 1 3 48 24 16

a i a i

i i

− + − − =

∆ = + + − =

)إما : ومنه )2 1 3 4 1

6 3

ia i

+ −= = − )من + 5نجد ∗(

43

b i= +

50

)نبدل هذا الحل في نجد 3(

2

1 54 2 2

3 3i i i

− − + + = +

غير محقق فهو مرفوضوهو

)أو )2 1 3 41

6

ia i

+ += = )من + 1bنجد ∗( i= − +

)نبدل هذا الحل في )نجد 3( ) ( )21 1 2 2i i i− + − + = +

)ومنه )(2 ) 1 2 2i i i− − + = +

تكتب المعادلةوهو محقق فهو الحل المنشود

( ) ( )2

1 1 0z i z i− − + − =

1zالحل المضاعف i= 1zوالحل البسيط + i= − +

األستاذ أحمد أبو نبوت

51

:الصيغة المثلثية للعدد المركب: فصل الرابعلا

)ليكن المستوي المحدث بمعلم متجانس ), ,o i j� ��

zكل عدد مركب وجدنا أن x i y= +

)يمثل في المستوي بنقطة ),M x y المتجهأو ب oM����

.

)وأسمينا ),M x y صورة العدد المركبz

) كنقطة ونرمز لها أيضا )M z أوzM

oM و كان ����

كمتجه ونرمز zصورة العدد المركب

oM z r= = zطويلة العدد المركب ����

)إذا كان , ) 2 :ox oM k kθ π= + ∈�� ���

ℤ ، نسمي الزاويةarg( )z θ= حيث] ],θ π π∈ −

zأو سعة العدد المركب zأو عمدة العدد المركب zالمركب زاوية العدد

cos: جد ت لسابقالشكل ا إلى انظر , sinx r y rθ θ= =

zنكتب العدد المركب x i y= )بالشكل + ) ( )cos sinz r r iθ θ= +

)أي )cos sinz r iθ θ= ]أو مختصرا + ],z r θ= الذي يسمى الصيغة المثلثية للعدد العقدي

•

o

( ),M x y

x

y

cosr θ

sinr θr

θ

52

: مالحظة

0zالعدد المركب 0rطويلته = z= زاويته غير معينة ال يكتب بالصيغة المثلثية=

:المركب من الصيغة الجبرية إلى الصيغة المثلثيةطريقة لتحويل العدد

2نحسب: أوال 2r z x y= = +

cosنحسب : ثانيا , sinx y

r rθ θ= θإشارتيهما تحدد الربع الذي ينتهي إليه قوس الزاوية =

| وفق αفهي ترتبط مع زاوية حادة θلتعين الزاوية : ثالثا cos | cos , | sin | sinθ α θ α= =

:مع بيان ذلك حسب الدائرة المثلثية اآلتية

y

M

αx

y'

Ox'

sin

cos

θ α=

θ α= −

θ π α= −

θ α π= −

cos 0 , sin 0

0,2

θ θπθ

> >

∈

cos 0 , sin 0

,2

θ θπθ π

< >

∈

cos 0 , sin 0

,2

θ θπθ π

< <

∈ − −

cos 0 , sin 0

,02

θ θπθ

> <

∈ −

53

نستفيد من الجدول اآلتي لمعرفة بعض الزوايا

:اكتب األعداد المركبة اآلتية بالصيغة المثلثية : مثال

( )3 1z i= + ،( )1 3 2z i= − + ،( )1 3z i= − −

( )2 2 4z i= −

: الحل

( )3 1z i= +

2 2 3 1 2

3 1cos , sin

2 2

r x y

x y

r rθ θ

= + = + =

= = = =

0,2

πθ ∈ تكون

6

πθ =

2 :إذن cos sin6 6

z iπ π = +

,2أو

6z

π =

6 34

3 2 1

cos 2 2 2

1 2 3sin 2 2 2

π ππ

α

α

α

ا�دا��

54

( )1 3 2z i= − +

( ) ( )222 2 1 3 2

1 3cos , sin

2 2

r x y

x y

r rθ θ

= + = − + =

= = − = =

,2

πθ π ∈ ومنه

2

3 3

π πθ π= − =

2

2 ,3

zπ =

( )1 3z i= − −

( ) ( )2 22 2 1 1 2

1 1cos , sin

2 2

3, ,

2 4 4

r x y

x y

r rθ θ

π π πθ π θ π

= + = − + − =

= = − = = −

∈ − − = − = −

3

2 ,4

zπ = −

( )2 2 4z i= −

( ) ( )2 22 2 2 2 2

2 2cos , sin

2 2

r x y

x y

r rθ θ

= + = + − =

= = = = −

, 0 ,2 4

π πθ θ ∈ − = − 2ومنه ,

4z

π = −

55

: مالحظة

0zإذا كان � x i= الصيغة المثلثية له +

إما [ ], 0z x= 0عندما يكونx ]و أ < ],z x π= 0xعندما يكون − <

zإذا كان � yi= الصيغة المثلثية له

,إما 2

z yπ =

0yعندما يكون ,و إ <2

z yπ = − −

0yعندما يكون <

]: أمثلة ] [ ]2 2,0 , 5 5,z z π= = = − = ،7 7, , 9 9,2 2

z i z iπ π = = = − = −

العمليات على العدد العقدي بالشكل المثلثي

]( يتساوى العددان المركبان: التساوي ① ] [ ]1 1 2 2, ,r rθ θ= (

1 (إذا و$�ط إذا 2r r= 1و 2 2 :k kθ θ π= + ∈ℤ(

1ألن :البرهان 2 1 11 2

1 2 2 2

2 :cos cos

2 :

k k

k k

θ θ πθ θ

θ θ π = + ∈

= ⇔ = − + ∈

ℤ

ℤ

1و 2 1 11 2

1 2 2 2

2 :sin sin

2 :

k k

k k

θ θ πθ θ

θ π θ π = + ∈

= ⇔ = − + ∈

ℤ

ℤ

1 للمعادلتين الحل المشترك 2 2 :k kθ θ π= + ∈ℤ

56

]إذا كان : المرافق ② ],z r θ= فإن[ ],z r θ= −

)ألن )cos sinz r iθ θ= )و + )cos sinz r iθ θ= −

)لكن ) ( )cos cosθ θ− )و = ) ( )sin sinθ θ− = −

)يكتب )cos sinz r iθ θ= ]أو − ],z r θ= −

| إذا | | |z z= و( ) ( )arg argz z= −

] كان إذا : المعاكس ③ ],z r θ= فإن [ ],z r π θ− = +

)ألن )cos sinz r iθ θ= )فيكون + )cos sinz r iθ θ− = − −

)لكن ) ( )cos cosθ π θ− = )و + ) ( )sin sinθ π θ− = +

)يكتب ) ( )( )cos sinz r iπ θ π θ− = + + ]أو + ],z r θ π− = +

| إذا | | |z z= )و − ) ( )arg argz z π− = +

] كان إذا : المقلوب④ ]0 : ,r z r θ≠ 1 فإن = 1,

z rθ = −

1ألن z

z z z=

⋅) ومنه ) ( )( ) ( ) ( )( )2

cos cos1 1cos cos

r ii

z r r

θ θθ θ

− + −= = − + −

1أي 1,

z rθ = −

1 إذا 1

z z)و = )1

arg arg zz

= −

57

] : الضرب⑤ ] [ ] [ ]1 1 2 2 1 2 1 2, , ,r r r rθ θ θ θ⋅ = ⋅ ⋅

]: البرهان ] [ ] ( ) ( )1 1 2 2 1 1 1 2 2 2, , cos sin cos sinr r r i r iθ θ θ θ θ θ⋅ = + ⋅ +

[ ] [ ] ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , cos cos sin sin sin cos cos sinr r r r iθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅

]ومنه ] [ ] [ ]1 1 2 2 1 2 1 2, , ,r r r rθ θ θ θ⋅ = ⋅ +

1 إذا 2 1 2| | | | | |z z z z⋅ = )و ⋅ ) ( ) ( )1 2 1 2arg arg argz z z z⋅ = +

] : التقسيم ⑥ ][ ]

1 1 12 1 2

2 2 2

,0 : ,

,

r rr

r r

θθ θ

θ

≠ = −

: البرهان [ ][ ] [ ] [ ]

1 11 1

2 2 2 2

, 1,

, ,

rr

r r

θθ

θ θ= ⋅

[ ][ ] [ ] ( )1 1

1 1 2 1 1 22 2 2 2

, 1 1, , ,

,

rr r

r r r

θθ θ θ θ

θ

= ⋅ − = ⋅ + −

]ومنه ][ ]

1 1 11 2

2 2 2

,,

,

r r

r r

θθ θ

θ

= −

11 إذا

2 2

zz

z z)و = ) ( )1

1 22

arg arg argz

z zz

= −

]: صحيحة قوة إلى الرفع ⑦ ]: , ,n nn r r nθ θ ∈ = ⋅ ℤ

0n: أوال = ،0 1z =

[ ]0 0 , 0 1,0 1z r θ = ⋅ = = محققة

58

n: ثانيا ∗∈ℕ لنثبت صحة العالقة باالستقراء الرياضي

1nمن أجل ]نجد = ]1 1 ,1 ,z r r zθ θ = ⋅ = = العالقة صحيحة

}نفرض أن العالقة صحيحة من أجل }\ 0,1k ∈ℕ 1ونبرهن صحة العالقة من أجلk +

]أي ], ,k kr r kθ θ = ⋅ صحيحة ولنبرهن[ ] ( )1 1, , 1

k kr r kθ θ+ + = + ⋅

]نعلم أن ] [ ] [ ]1, , ,

k kr r rθ θ θ+ = ]أي ⋅ ] [ ]1

, , ,k kr r k rθ θ θ+

= ⋅ ⋅

]ومنه ] 1, ,

k kr r r kθ θ θ+ = ⋅ ⋅ + وبالتالي[ ] ( )1 1, , 1

k kr r kθ θ+ + = + ⋅

1kالعالقة صحيحة من أجل nوبالتالي فهي صحيحة أيا كان + ∗∈ℕ

}: ثالثا }......... 3, 2, 1n ∗−∈ = − − −ℤ

nنفرض m= mتكون − ∗∈ℕ والعالقة[ ], ,m mr r mθ θ = ⋅ صحيحة

]ولنبرهن أن ], ,n nr r nθ θ = ⋅

] البرهان ] [ ], ,n m

r rθ θ −=

[ ][ ]

1 1 1, , ,

,,

n mm mm

r m r mrr mr

θ θ θθθ

− = = = − ⋅ = − ⋅ ⋅

]ومنه ], ,n nr r nθ θ = ⋅ إذا صحيحة ( )( ) ( )arg arg , | | | |

n n nz n z z z= ⋅ =

59

]وجدنا أن : دستور دوموافر ]: , ,n nn r r nθ θ ∈ = ⋅ ℤ

|في الحالة الخاصة عندما يكون | 1z r= ]نجد = ] [ ]: 1, 1,n

n nθ θ∈ = ⋅ℤ

): أو ) ( ) ( )cos sin cos sin :n

i n i n nθ θ θ θ+ = ⋅ + ⋅ ∈Z

)نسبة لمكتشفها العالم دوموافر(دستور دوموافر نسمي هذه العالقة

)باستخدام دستور دوموافر أوجد: مثال ) ( ) ( )cos 2 , sin 2 , tan 2θ θ θ بداللة النسب المثلثية للزاويةθ

: حسب دستور دوموافر لدينا : الحل

( )( ) ( )

2

2 2

cos sin cos 2 sin 2

cos sin 2 sin cos cos 2 sin 2

i i

i i

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

+ = +

− + = +

: وحسب تساوي عددين مركبين بالشكل الجبري نجد

2 2cos 2 cos sin

sin 2 2sin cos

θ θ θθ θ θ

= −=

sinوبما أن 2tan 2

cos 2

θθθ

فإن =2 2

2sin costan 2

cos sin

θ θθθ θ

=−

2cosوبتقسيم البسط والمقام على θ

نجد 2

2 tantan 2

1 tan

θθθ

=−

\و , :2 4

k k kπ πθ π π ∈ + ± + ∈

ℝ ℤ

60

} : المثلثي بالشكل المركب عددلل النونية جذورال ⑧ }2,3,4,.........n ∈

]بفرض ],rω θ= جذرا من المرتبة{ }2,3,4,.........n ]للعدد المركب ∋ ],z ρ α=

n فإن zω ] أي = ], ,n nr nω θ ρ α = ⋅ =

وتكافئ 2 :

nr

n k k

ρθ α π

=

⋅ = + ∈ ℤ

2 ومنه :

nr

kk

n

ρα πθ

= += ∈

ℤ

ونعلم أن

2:

kk

n

α πθ += ∈ℤ هي الصيغة المشتركة لـn من قياسات الزوايا اآلتية :

0 1 2 1

2 4 2( 1), , ,................., n

n

n n n n n n n

α α π α π α πθ θ θ θ −−= = + = + = +

0حد لمتتالية حسابية حدها األول nوهي n

αθ 2وأساسها =

n

π

nrوبالتالي فإن صور هذه الجذور هي رؤوس مضلع منتظم في دائرة نصف قطرها ρ=

2وزاوية المضلع هي

n

π

61

]إذا كان : النتيجة ],z ρ α= عدد مركب فإن جذوره من المرتبةn يساوي عددها n

}: وتعطى بالصيغة المشتركة اآلتية }2, : 0,1,....., 1n

k

kk n

n

α πω ρ + = ∈ −

nr صور هذه الجذور هي رؤوس مضلع منتظم في دائرة نصف قطرهاو ρ=

2وزاوية المضلع المنتظم هي

n

π

y

0ω

6

α

x

y'

O

1ω

3

π3

π

′x

2ω

3ω

4ω

5ω

3

π

3

π

3

π3

π

ρ6r = ا���ل ا����ور

���ل �ذور

[ ],z ρ α=

�ن ا��ر���

6n =

62

:على العمليات على الشكل المثلثي تمارين

8zأوجد الجذور التكعيبية للعدد المركب ① i= الديكارتي(وأكتبها بالشكل الجبري (

ومثل هذه الجذور كمتجهات

:الحل

,8بالشكل المثلثي فنجد أن zنكتب العدد المركب 2

zπ =

]نفرض أن ],rω θ= جذرا تكعيبيا للعددz 3فيكون zω =

} الصيغة المشتركة للجذور التكعيبية }32

, : 0,1, 23k

kk

α πω ρ + = ∈

} أي }32

28 , : 0,1,23k

kk

π πω

+ = ∈

8zلعدد المركب ل i= في مجموعة األعداد المركبةℂ ثالثة جذور تكعيبية هي

0

1

2

2, 2 cos sin 36 6 6

5 5 52, 2 cos sin 3

6 6 6

9 9 92, 2 cos sin 2

6 6 6

i i

i i

i i

π π πω

π π πω

π π πω

= = + = +

= = + = − +

= = + = −

63

إن صور هذه الجذور كنقط رؤوس مثلث متساوي األضالع

وكمتجهات كما هو في الشكل

1ليكن العددان المركبان ② 21 , 1 3z i z i= + = +

1اكتب كال من ) 1 2,z z بالشكل المثلثي.

1 احسب ) 2 2.z z 7بالشكل الجبري والشكل المثلثي واستنتج 7cos , sin

12 12

π π

2 احسب )3

1

z

zcosبالشكل الجبري والشكل المثلثي واستنتج , sin

12 12

π π

ا���ل ا����ور

���ل �ذور

8,2

zπ =

�ن ا��ر���

3n =

y

0ω

6

π

x

y'

O

1ω

2

3

π

′x

2ω

2

3

π 2

3

π

8 2=3r =

64

:الحل

:نكتب )1

1

1 12

2 2

2 cos sin 2 ,4 4 4

z i

iπ π π

= +

= + =

بالمثل نجد 2

2

1 32( ) 2(cos sin )

2 2 3 3

2 ,3

z i i

z

π π

π

= + = +

=

)جبريا 2) ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 3 1 3 1 3z z i i i⋅ = + + = − + +

1 : مثلثيا 2

7. 2 , . 2, 2 2 , 2 2 ,

4 3 4 3 12z z

π π π π π = = + =

1 2

7 72 2 cos sin

12 12z z i

π π ⋅ = +

) والمثلثيةبالمساواة بين النتيجتين الجبرية ) ( ) 7 71 3 1 3 2 2 cos sin

12 12i i

π π − + + = +

7ومنه 71 3 2 2 cos , 1 3 2 2 sin

12 12

π π− = + =

7أي 1 3 7 1 3cos , sin

12 122 2 2 2

π π− += =

65

جبريا ) 3( )( )

( )( )2

1

1 3 11 3

1 1 1

i iz i

z i i i

+ −+= =+ + −

2

1

2

1

1 3 3

4

3 1 3 1

2 2

z i i

z

zi

z

− + +=

+ −= +

2 : مثلثيا

1

2,3

2 , 2 ,3 4 122 ,

4

z

z

ππ π π

π

= = − =

بالمساواة بين النتيجتين الجبرية والمثلثية 3 1 3 1

2 cos sin2 2 12 12

i iπ π+ − + = +

3ومنه 1 3 12 cos , 2 sin

2 12 2 12

π π+ −= =

3أي 1 3 1cos , sin

12 122 2 2 2

π π+ −= =

1z للعدد التربيعيان الجذران أوجد ③ i= − 3 واستنتج ومثلثيا جبريا + 3cos , sin

8 8

π π

wنفرض: جبريا x y i= 1zجذرا تربيعيا للعدد + i= − :عندئذ +

( )( )( )

2 2

2 2

1....... 1

2....... 2

2 1................ 3

x y

x y

xy

− = − + = =

66

)بجمع )و 1( 22 ��د 2( 2 1x = 2 ومنه − 1

2x

−= ±

)بطرح )من 1( 22 ��د 2( 2 1y = 2 ومنه + 1

2y

+= ±

)من x,نستنتج أن 3( y من إشارة واحدة

1: إذا 2

2 1 2 1 2 1 2 1,

2 2 2 2w i w i

− + − += + = − −

: مثلثيا

1 1 3 31 2( ) 2(cos sin )

4 42 2z i i i

π π= − + = − + = +

3 أو 2,

4z

π =

] عددن التربيعيين للللجذريوالصيغة المشتركة ],z ρ θ= هي { }2, : 0,1

2k

kk

α πω ρ + = ∈

3ن للعدديالتربيعي ينلجذر الصيغة المشتركة ل 2,

4z

π = } هي }

32

42 , : 0,12k

kk

π πω

+ = ∈

40

3 3 32 , 2(cos sin )

8 8 8i

π π πω = = +

41

11 11 112 , 2(cos sin )

8 8 8i

π π πω = = +

67

1zبالموازنة بين الجذرين التربيعيين للعدد i= − 3جبريا ومثلثيا ومالحظة +0,

8 2

π π ∈

3أي 3cos 0 ,sin 0

8 8

π π> 0فإن < 1wω =

4ومنه 3 3 2 1 2 12(cos sin )

8 8 2 2i i

π π − ++ = +

4نستنتج 43 2 1 3 2 12 cos , 2 sin

8 2 8 2

π π− += =

3ومنه 2 1 3 2 1cos , sin

8 82 2 2 2

π π− += =

) دستوري أوجد ④ ) ( )cos 3 , sin 3θ θ واستنتج موافردو دستور مستخدما ( )tan 3θبداللة( )tan θ.

) :لدينا: الحل )3cos sin cos3 sin 3i iθ θ θ θ+ = +

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2 33 2

3 2 2 3

3 2

2 3

cos 3 sin cos 3 sin cos sin cos3 sin 3

cos 3sin cos 3sin cos sin cos3 sin 3

cos3 cos 3sin cos..............

sin 3 3sin cos sin

i i i i

i i

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θθ θ θ θ

⇔ + + + = +

⇔ − + − = +

= −⇔ ∗= −

2لكن 21 cos sinθ θ= +

( ) 3 2

2 3

cos 3 cos 3(1 cos )cos

sin 3 3sin (1 sin ) sin

θ θ θ θ

θ θ θ θ

= − −

= − −

تكافئ 3

3

4cos 3cos cos3

3sin 4sin sin 3

θ θ θθ θ θ

− =

− =

68

)نعلم أن ) ( )( )

sin 3tan 3

cos 3

θθ

θ)نبدل العالقات = ) :نجد ∗( )

2 3

3 2

3sin cos sintan 3

cos 3sin cos

θ θ θθθ θ θ

−=−

3cos وبتقسيم البسط والمقام على θ نجد

( )3

2

3tan tantan 3

1 3tan

θ θθθ

−=−

\: حيث :6 3

k kπ πθ ∈ + ∈

ℝ ℤ

)أوجد ⑤ ) ( )cos 4 , sin 4θ θ بداللة النسب المثلثية للزاويةθموافردو مستخدما دستور

) واستنتج )tan 4θبداللة( )tan θ.

: لدينا: الحل

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

4

2 2 3 44 3

4 2 2 4 3 3

4 2 2 4

3

cos sin cos 4 sin 4

cos 4 sin cos 6 sin cos 4cos sin sin cos 4 sin 4

cos 6sin cos sin 4sin cos 4cos sin cos 4 sin 4

cos 4 cos 6sin cos sin

sin 4 4sin cos 4cos si

i i

i i i i i

i i

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θθ θ θ θ

+ = +

+ + + + = +

⇔ − + + − = +

= − +⇔

= −( )

3..............

n θ ∗

)نعلم أن ) ( )( )

sin 4tan 4

cos 4

θθ

θ)نبدل العالقات = :نجد ∗(

( )3 3

4 2 2 4

4sin cos 4cos sintan 4

cos 6sin cos sin

θ θ θ θθθ θ θ θ

−=− +

4cos وبتقسيم البسط والمقام على θ نجد

( ) ( )3

2 4

4 tan tantan 4

1 6 tan tan

θ θθ

θ θ−

=− +

\: حيث , :2 8 4

k k kπ π πθ π ∈ + + ∈

ℝ ℤ

69

2ليكن العدد المركب ⑥ 2 2 2z i= − + +

2أوجد ) 1 4,z z

. zثم استنتج طويلة وسعة العدد 4zأوجد طويلة وسعة العدد ) 2

3استنتج قيم ) 3 3cos , sin

8 8

π π

) ) 1: الحل )22 2 2 2 2 2 2 2 2z i i= − + + = − 4ومنه + 16z i= −

2 (4 16z r= 3وسعته =2

2k

πθ π= 4zأحد الجذور من المرتبة الرابعة للعدد zو +

3 تعطى بالصيغة وسعات هذه الجذور

8 4

kπ πα = 0وبما أن + , 0z zx y> :فإن <

0kتوافق زاوية في الربع األول zسعة 3تكون =0,

8 2

π πα = ∈

3ومنه 32 cos sin

8 8z i

π π = +

3يكون) 3 32 2 2 2 2 cos sin

8 8z i i

π π = − + + = +

3ومنه 2 2 3 2 2cos , sin

8 2 8 2

π π− += =

70

] بفرض⑦ ]1 , : 2z θ θ πκ= 2 أن برهن ≠1 cot

1 2i

z

θ= +−

: الحل

12

2 2 2 2

1 1 [1, ] 1 cos sin 2sin 2 sin cos2 2 2

z i iθ θ θθ θ θ

= = = =− − − − −

ℓ

1

2 2

2

(sin cos ) (sin cos )1 2 2 2 2

sin (sin cos ) sin (cos sin ) sin2 2 2 2 2 2 2

1 t2

i i

i

i co

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ

θ

+ += = =

− +

= + =

ℓ

ℓ

] بفرض⑧ ]1 , : 2z θ θ π πκ= ≠ 2 أن برهن +1 tan

1 2i

z

θ= −+

: الحل

12

2 2 2 2

1 1 [1, ] 1 cos sin 2cos 2 sin cos2 2 2

z i iθ θ θθ θ θ

= = = =+ + + + +

ℓ

1

2 2

2

(cos sin ) (cos sin )1 2 2 2 2

cos (cos sin ) cos (cos sin ) cos2 2 2 2 2 2 2

1 tan2

i i

i

i

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ

θ

− −= = =

+ +

= − =

ℓ

ℓ

األستاذ أحمد أبو نبوت

71

: الصيغة األسية للعدد المركب: الفصل الخامس

cosإذا كان sinz iθ θ= |فإن + | 1z cosنرمز = sin ii e θθ θ+ =

:الصيغتين فيوسنرى التوافق بين العمليات

1 الضرب

2

1 1

2 2

cos sin

cos sin

i

i

e i

e i

θ

θ

θ θθ θ

= +

= +

( )( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 21 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

cos cos sin sin

cos sin sin cos

cos sin

i i

ii i

e e

i

e e i e

θ θ

θ θθ θ

θ θ θ θθ θ θ θ

θ θ θ θ +

⋅ = ⋅ − ⋅

+ ⋅ − ⋅

⋅ = + + + =

( )1 21 2 ii ie e e θ θθ θ +⋅ =

المقلوب

( ) ( )

0

1cos sin

1cos sin

i i

i i i

i

e ei

e e e e

i ez

θ θ

θ θ θ

θ

θ θ

θ θ

− −

−

−

= = = −⋅

= − + − =

1 ii

ee

θθ

−=

المرافق

( ) ( )cos sin cos sini ie i i eθ θθ θ θ θ −= − = − + − =

1| | 1

1i ii

z zz

e ee

θ θθ

−

= ⇔ =

= =

التقسيم

( ) ( ) ( )

1

1 1 2

2 2

1 2

1 2 1 2

1

cos sin

ii i i

i i

i

ee e e

e e

i e

θθ θ θ

θ θ

θ θθ θ θ θ

−

−

= ⋅ = ⋅ =

= − + − =

( )11 2

2

ii

i

ee

e

θθ θ

θ−=

) الرفع لقوة ) ( ) ( )( ) ( ) ( )cos sin cos sinn ni i ne i n i n eθ θθ θ θ θ= + = + =

( )ni i ne eθ θ=

|معدوم يمكن كتابته بالصيغة رعدد مركب غي zإذا كان : تعريف | iz z e θ= والتي تدعى

الصيغة األسية للعدد المركب

72

:العمليات على العدد المركب بالصيغة األسية

1إذا كان : التساوي� 21 2 2 1

i iz r e z r eθ θ= ⋅ = ⋅

1فإن 21 2

1 2 2 :

r rz z

k kθ θ π=

= ⇔ = + ∈ ℤ

izإذا كان : المرافق r e θ= فإنiz r e θ−=

izإذا كان : المقلوب� r e θ= 1فإن 1 iez r

θ−=

izإذا كان : المعاكس r e θ= فإن( )iz r e θ π+− =

1إذا كان : الضرب� 21 2 2 1

i iz r e z r eθ θ= ⋅ = )فإن ⋅ )1 2

1 2 1 2iz z r r e θ θ+⋅ = ⋅ ⋅

1إذا كان : التقسيم� 21 2 2 2 0i iz r e z r eθ θ= ⋅ = ⋅ )فإن ≠ )1 21 1

2 2

iz re

z rθ θ−=

izإذا كان : الرفع لقوة صحيحة� r e θ= فإن: n n i nn z r e θ∈ =ℤ

}: لعدد المركب بالصيغة األسيةل النونية جذورال� }2,3,4,.........n ∈

irبفرض e θω = }جذرا من المرتبة ⋅ }2,3,4,.........n izللعدد المركب ∋ e αρ= ⋅

nفإن zω nأي = n i n ir e eθ αω ρ= ⋅ = ,وتكافئ ⋅ 2 :nr n k kρ θ α π= ⋅ = + ∈ℤ

2ومنه , :n

kr k

n

α πρ θ += = ∈ℤ

73

2ونعلم أن :

kk

n

α πθ += ∈ℤ هي الصيغة المشتركة لـn من قياسات الزوايا اآلتية :

0 1 2 1

2 4 2( 1), , ,................., n

n

n n n n n n n

α α π α π α πθ θ θ θ −−= = + = + = +

izإذا كان : النتيجة e αρ= nعددها nعدد مركب فإن جذوره من المرتبة ⋅

}: وتعطى بالصيغة المشتركة اآلتية }2

: , 0,1,....., 1k

in n

k r e r k nα π

ω ρ+

= ⋅ = ∈ −

الصفر يساوي المركب للعدد n المرتية من الجذور مجموع :①مبرهنة

إن جذور العدد :البرهان

iz e αρ= : هي nوعددها ⋅2 2 ( 1)

0 1 1, ,.................,n

i iin n n nn

nr e r e r eα π α πα

ω ω ω− + +

−= ⋅ = ⋅ = ⋅

0حدها األول nوهي متتالية هندسية عدد حدودها

inr eα

ω = وأساسها ⋅2

inq eπ

ومجموع حدودها =

0

1

1

nqS

qω −=

−)لكن )2 0 1inq e eπ= = 0يكون =

1 10

1S

qω −= =

−

izللعدد المركب nأي أن مجموع الجذور من المرتية e αρ= يساوي الصفر ⋅

izالمركب للعدد n المرتية من الجذور ضرب حاصل :①مبرهنة e αρ= نفسه العدد يساوي ⋅

izإن جذور العدد : البرهان e αρ= : هي nمن المرتبة ⋅

2 2 ( 1)

0 1 1, ,.................,n

i iin n n nn

nr e r e r eα π α πα

ω ω ω− + +

−= ⋅ = ⋅ = ⋅

74

:وحاصل ضربها

2 2 ( 1)

0 1 1........ .................n

i iin n n nn

n r e r e r eα π α πα

ω ω ω− + +

−× × × = ⋅ × ⋅ × × ⋅

2 2 ( 1)( ........... )

0 1 1

2( ) ( 2 )

0 1 1

........

........

nin n n n n n

n

i nn in n

in

r e

r e e

e z

α α π α π

α πα π

α

ω ω ω

ρω ω ω ρ

−+ + + + +⋅−

⋅ +⋅ +

−

× × × =

= =× × × = =

: أمثلة

) :تية بالصيغة األسيةآلاكتب األعداد ا )2 3 2 1z i= + ،( )1 3 2z i= − + ،

( )2 2 2 2 3z i= − − ، ( )2 2 4z i= −

: الحل

( )2 3 2 1z i= +

2 2 12 4 4

3 1cos , sin

2 2

0, ,2 6

r x y

x y

r rθ θ

π πθ θ

= + = + =

= = = =

∈ =

64 :إذن i

z eπ

=

75

( )1 3 2z i= − +

( ) ( )222 2 1 3 2

1 3cos , sin

2 22

, ,2 3 3

r x y

x y

r rθ θ

π π πθ π θ π

= + = − + =

= = − = =

∈ = − =

232

iz e

π

=

( )1 3z i= − −

( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 4

2 2cos , sin

2 23

, ,2 4 4

r x y

x y

r rθ θ

π π πθ π θ π

= + = − + − =

= = − = = −

∈ − − = − = −

3

44i

z eπ−

=

( )2 2 4z i= −

( ) ( )2 22 2 2 2 2

2 2cos , sin

2 2

,0 ,2 4

r x y

x y

r rθ θ

π πθ θ

= + = + − =

= = = = −

∈ − = −

42

iz e

π−=

76

0zإذا كان �: مالحظة x i= الصيغة األسية له +

)إما )0 iz xe= 0عندما يكونx izو أ < xe π= 0xعندما يكون − <

zإذا كان � yi= الصيغة المثلثية له

2 إما i

z yeπ

0yعندما يكون = 2و أ <i

z yeπ−

= 0yعندما يكون − <

): أمثلة )02 2 , 5 5i iz e z eπ= = = − = ،2 24 4 , 6 6i i

z i e z i eπ π θ−

= = = − =

8للعدد المركب من المرتبة الرابعة أوجد الجذور : تدريب 3 8z i= − بالصيغة األسية +

ومثل هذه الجذور كمتجهات

:الحل

بالشكل المثلثي فنجد أن zنكتب العدد المركب 5

63 116 16 : ,

2 2 2

iz i e

π πθ π − = + = ∈

irنفرض أن e θω 4فيكون zللعدد من المرتبة الرابعة جذرا = zω =

} الصيغة المشتركة للجذور التكعيبية }2

44 : 0,1,2,3k

i

k e kα π

ω ρ+

= ∈

} أي }5

26

42 : 0,1, 2,3

ki

k e k

π π

ω+

= ∈

77

8فالعدد المركب 3 8z i= − هي من المرتبة الرابعةجذور أربعة ℂله في مجموعة األعداد المركبة +

5 17 29 41

24 24 24 241 2 3 32 , 2 , 2 , 2

i i i ie e e e

π π π π

ω ω ω ω= = = =

2rصورها كنقاط رؤوس مربع نصف قطر دائرته =

األستاذ أحمد أبو نبوت

y

0ω

5

24

π

x

y'

O

1ω

′x

2ω

16 2=4r =

3ω

78

:دستورا أويلر

cosبما أن sin ii e θθ θ+ cosو = sin ii e θθ θ −− =

2cos: بجمع العالقتين i ie eθ θθ −= 2وبطرح العالقتين + sin i ii e eθ θθ −= −

cos: إذا , sin2 2

i i i ie e e e

i

θ θ θ θ

θ θ− −+ −= يسميان دستورا أويلر =

sinبما أن tan

cos

θθθ

)فإن = )tani i

i i

e e

i e e

θ θ

θ θθ

−

−

−=+

iiبضرب البسط والمقام بـ e θ− نجد2

2

1tan

1

i

i

ei

e

θ

θθ −=+

: تطبيقات على دساتير أويلر

cosيستفاد منهما حساب :أوال , sin , sin cos : , ,n n m r n m nθ θ θ θ ∗⋅ ∈ℕ

θبداللة النسب المثلثية لمضاعفات الزاوية

:ثنائي الحد اآلتيوذلك باستخدام دستور

: ���ور ���,� ا�د

nإذا ��ن ∈ℕ ) -��� دود ا����ورويو دد � �1n ) د +

1 2 2( 1)

( ) .......... :1! 2!

n n n n nn n nx h x x h x h h n− −−+ = + ⋅ + ⋅ + + ∈ℕ

79

!: /ظ ( 1)( 2).......(2)(1)n n n n= − −

�راء ا�ر��#� ���,� ا�د د �ور ���ن �رھ�ن � ب ��دأ ا/

)وا��� ھ� �ن ا���ل ���,� ا�د $� ���ورو��ون أ���ل ا�دود , )C n r

3 ���ث �� ��ل ��� $� ا��دولو� ب � :ا��� ا�ذي �

3 احسب باستخدام دستورا أويلر: ①مثال 4 5cos , sin , sinθ θ θ

θبداللة النسب المثلثية لمضاعفات الزاوية

: الحل

cosحسب دستور أويلر 2

i ie eθ θ

θ نكتب =+−

3

3cos2

i ie eθ θ

θ− +=

0 1 2 3 4 5 6 7 8

�ث �� ��ل��

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 1

5 1 5 10 5 1

6 1 6 1 5 6 1

7 1 7

1

2

5 2 0

1

4 6

10

3 5 35 21 7 1

n

+

+ǁ

ǁ

r

80

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

33 3 2 2 3

3 3

3 33

3

1 1cos 3 3

8 81

38

1 3cos

4 2 4 2

1 3cos cos 3 cos

4 4

i i i i i i i i

i i i i

i i i i

e e e e e e e e

e e e e

e e e e

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ

θ

θ θ θ

− − − −

− −

− −

= + = + ⋅ + ⋅ +

= + + +

+ += +

= +

sinحسب دستور أويلر 2

i ie e

i

θ θ

θ−−= ،

4

4sin2

i ie e

i

θ θ

θ− −=

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

34 4 3 2 2 3 4

4 4 2 2

4 4 2 24

4

1 1sin 4 6 4

16 161

4 616

1 1 3cos

8 2 2 2 8

1 1 3cos cos 4 cos 2

8 2 8

i i i i i i i i i i

i i i i

i i i i

e e e e e e e e e e

e e e e

e e e e

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ

θ

θ θ θ

− − − − −

− −

− −

= − = − ⋅ + ⋅ − ⋅ +

= + − + +

+ += − +

= − +

sinحسب دستور أويلر 2

i ie e

i

θ θ

θ−−= ،

5

5sin2

i ie e

i

θ θ

θ− −=

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

5 5 3 3 5

5 5 3 3

5 5 3 35

5

1sin 5 10 10 5

321

5 1032

1 5 5sin

16 2 16 2 8 2

1 5 5sin sin 5 sin 3 sin

16 16 8

i i i i i i

i i i i i i

i i i i i i

e e e e e ei

e e e e e ei

e e e e e e

i i i

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ

θ

θ θ θ θ

− − −

− − −

− − −

= − + − + −

= − − − + −

− − −= − +

= − +

81

6cosاحسب : ②مثال θ بداللة النسب المثلثية لمضاعفات الزاويةθ

6cosIثم احسب dθ θ= ∫

cosحسب دستور أويلر :الحل2

i ie eθ θ

θ: نكتب =+−

6

6cos2

i ie eθ θ

θ− +=

( )

( ) ( ) ( )

6 6 4 2 2 4 6

6 6 4 4 2 26

6

1cos 6 15 20 15 6

64

1cos 6 15 10

32 2 2 2

1 3 15 5cos cos 6 cos 4 cos 2

32 16 32 16

i i i i i i

i i i i i i

e e e e e e

e e e e e e

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ

θ

θ θ θ θ

− − −

− − −

= + + + + + +

+ + += + + +

= + + +

6cosIلحساب dθ θ= )وجدنا أن ∫ ) ( ) ( )6 1 3 15 5cos cos 6 cos 4 cos 2

32 16 32 16θ θ θ θ= + + +

)يكون ) ( ) ( )6 1 3 15 15cos sin 6 sin 4 sin 2

192 64 64 32I d cθ θ θ θ θ θ= = + + + +∫

3احسب : ③مثال 2sin cos ,θ θ⋅ بداللة النسب المثلثية لمضاعفات الزاويةθ

3ثم احسب 2sin cosJ dθ θ θ= ∫

: الحل3 2

3 2sin cos2 2

i i i ie e e e

i

θ θ θ θ

θ θ− − − +⋅ =

( )( ) ( )

( )( )

2 23 2

23 2 2 2

1sin cos

321

sin cos32

i i i i i i

i i i i

e e e e e ei

e e e ei

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ

θ θ

− − −

− −

−⋅ = − − +

−⋅ = − −

82

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

3 2 4 4

5 3 3 5

5 5 3 33 2

3 2

1sin cos 2

321

2 232

1sin cos 2

16 2 2 2

1 1 1sin cos sin 5 sin 3 sin

16 16 8

i i i i

i i i i i i

i i i i i i

e e e ei

e e e e e ei

e e e e e e

i i i

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ

θ θ

θ θ θ θ θ

− −

− − −

− − −

−⋅ = − − +

−= − + − + −

− − − −⋅ = − −

⋅ = − + +

): يكون ) ( ) ( )3 2 1 1 1sin cos cos 5 cos 3 cos

80 48 8J d cθ θ θ θ θ θ= = − − +∫

|إذا كان : ④مثال | 1z = ،arg( )z θ= برهن أن :

[ ]

[ ]

[ ]

2

2

11 tan : ,

1 22

2 1 tan : 2 ,1 2

23 1 cot : 2 ,

1 2

zi k k

z

i k kz

i k kz

πθ θ π

θ θ π π

θ θ π

− = ≠ + ∈+

= − ≠ + ∈+

= + ≠ ∈−

ℤ

ℤ

ℤ

cosإن : الحل sin | | 1iz e i zθ θ θ= = + ⇔ =

[ ]2

2

11 tan

1

zi

zθ− =

+

نكتب 2 2

1 2 2

1 1

1 1

i

i

z eL

z e

θ

θ− −= =+ +

izبضرب البسط والمقام بـ e θ−= 1 نجد

i i

i i

e eL

e e

θ θ

θ θ

−

−

−=+

1ومنه 2

2 sintan

2cos

iL i L

θ θθ

= = =

83

[ ] 22 1 tan

1 2i

z

θ= ++

1 :نكتب

2 2

1 1 iL

z e θ= =+ +

2بضرب البسط والمقام بـ i

eθ−

: نجد 2

1

2 2

2i

i i

eL

e e

θ

θ θ

−

−=

+

1ومنه 2

2 cos sin cos sin2 2 2 2 1 tan

22cos cos cos2 2 2

i iL i L

θ θ θ θθ

θ θ θ

− = = − = − =

[ ] 23 1 cot

1 2i

z

θ= +−

1نكتب

2 2

1 1 iL

z e θ= =− −

2بضرب البسط والمقام بـ i

eθ−

: نجد 2

1

2 2

2

( )

i

i i

i eL

i e e

θ

θ θ

−

−=

−

1ومنه

2 cos sin2 2

2sin2

i iL

θ θ

θ

− =

−

2 2

sin cos2 2 1 cot

2sin2

iL i L

θ θθ

θ

+= = + =

84

المثلثيةاستخدام دساتير أويلر في برهان العالقات : ثانيا

[ دساتير اإلرجاع للربع األول:1[

)لحساب النسب المثلثية للزوايا ① )k , kπ ± θ ∈ℤ

ال تتغير النسب المثلثية 1))) الزاوية( تتعين اإلشارة بحسب نهاية القوس 2) )kπ ± θ من الدائرة المثلثية

)برهن أن : −θو θ الزاويتان المتعاكستان )( )

θ θθ θ

− = −

− =

sin sin

cos cos

): البرهان )( )

2 2sin sin

ii i ie e e e

i i

θθ θ θ

θ θ− −− −− −− = = − = −

( )( )

cos cos2 2

ii i ie e e eθθ θ θ

θ θ− −− −+ +− = = − =

πو θ الزاويتان متكاملتان θ− : برهن أن( )( )π θ θπ θ θ

− =

− = −

sin sin

cos cos

( )

( ) ( )

2 2

; 12

sin =

sin

i i i i i i

i ii i

e e e e e e

i i

e ee e

i

π θ π θ π θ π θ

θ θπ π

π θ

θ

− − − − −

−−

− ⋅ − ⋅− =

− += = = = −

( )( ) ( )

cos2 2

cos ; 12 2

=i i i i i i

i i i ii i

e e e e e e

e e e ee e

π θ π θ π θ π θ

θ θ θ θπ π

π θ

θ

− − − − −

− −−

+ ⋅ + ⋅− =

− − += = − = − = = −

85

)يرهن أن : πزاويتان الفرق بينهما )( )π θ θπ θ θ

+ = −

+ = −

sin sin

cos cos

( )( ) ( )

2 2

; 12 2

sin =

sin

i i i i i i

i i i ii i

e e e e e e

i i

e e e ee e

i i

π θ π θ π θ π θ

θ θ θ θπ π

π θ

θ

+ − + − −

− −−

− ⋅ − ⋅+ =

− + −= = − = − = = −

( )( ) ( )

cos2 2

cos ; 12 2

=i i i i i i

i i i ii i

e e e e e e

e e e ee e

π θ π θ π θ π θ

θ θ θ θπ π

π θ

θ

+ − + − −

− −−

+ ⋅ + ⋅+ =

− − += = − = − = = −

kلحساب النسب المثلثية للزوايا ②k :

2

π ± θ

عدد صحيح فردي

)تتغير النسب المثلثية 1) ) ( )sin cos tan cot� � , kتتعين اإلشارة بحسب نهاية القوس )2

2

π ± θ

.من الدائرة المثلثية

و θ الزاويتان المتتامتان 2

π θ− : 2برهن أن

2

π θ θ

π θ θ

− =

− =

sin cos

cos sin

2 2 2 2

2 2

2 2 2

cos ; ,2 2

sin =

i i i ii i

i i i ii i

e e e e e e

i i

i e i e e ee i e i

i

π π π πθ θθ θ

π πθ θ θ θ

π θ

θ

− − − − −

− − −

− ⋅ − ⋅ − =

+ += = = = = −

86

2 2 2 2

2 2

cos2 2 2

sin ; ,2 2

=

i i i ii i

i i i ii i

e e e e e e

i e i e e ee i e i

i

π π π πθ θθ θ

π πθ θ θ θ

π θ

θ

− − − − −

− − −

+ ⋅ + ⋅ − =

− −= = − = − = = −

الزاويتان الفرق بينهما 2

π :2

2

π θ θ

π θ θ

+ =

+ = −

sin cos

cos sin

2 2 2 2

2 2

2 2 2

cos ; ,2 2

sin =

i i i ii i

i i i ii i

e e e e e e

i i

i e i e e ee i e i

i

π π π πθ θθ θ

π πθ θ θ θ

π θ

θ

+ − + − −

− − −

− ⋅ − ⋅ + =

+ += = = = = −

2 2 2 2

2 2

cos2 2 2

sin ; ,2 2

=

i i i ii i

i i i ii i

e e e e e e

i e i e e ee i e i

i

π π π πθ θθ θ

π πθ θ θ θ

π θ

θ

+ − + − −

− − −

+ ⋅ + ⋅ + =

− −= = − = − = = −

[ . النسب المثلثية لضعفي قياس زاوية 2[

برهن مايلي

① sin 2 2sin . cosθ θ θ= ②

2 2

2

2

cos 2 cos sin

2cos 1

1 2sin

θ θ θθ

θ

= −= −= −

③ 2

2 tantan 2

1 tan

θθθ

=−

البرهان

① sin 2 2sin . cosθ θ θ=

87

( ) ( )2

2 22 2

1

2sin . cos 22 2

sin 22 2

i i i i

i i i i

e e e eL

i

e e e eL

i i

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ

θ

− −

− −

− += = ⋅

− −= = = =

② 2 2cos 2 cos sinθ θ θ= −

2 2

2 22

2 2 2 2 2 2

1

cos sin2 2

2 2cos2

4 4 2

i i i i

i i i i i i

e e e eL

i

e e e e e eL

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ

θ

− −

− − −

+ −= − = − =

+ + − + += − = = =−

2cos 2 2cos 1θ θ= −

2

22

2 2 2 2

1

2cos 1 12

22 1 cos2

4 2

i i

i i i i

e eL

e e e eL

θ θ

θ θ θ θ

θ

θ

−

− −

+= − = − =

+ + += − = = =

2cos 2 1 2sinθ θ= − 2

22

2 2 2 2

1

1 2sin 1 22

21 2 cos 2

4 2

i i

i i i i

e eL

i

e e e eL

θ θ

θ θ θ θ

θ

θ

−

− −

−= − = − =

− + += − = = =−

2

2 tantan 2

1 tan

θθθ

=−

88

( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 22

2 2 2 22 2 2 2

2

4 4

12 4 2 4 4

12 2 1 12tan 1

1 tan 1 1 11

1

2 1 1tan 2

1 2 1 2 1

i

i ii

i i i

i

i i

i i i i i

ei e e ie

Le e e

ie

e i ei L

e e e e e

θ

θ θθ

θ θ θ

θ

θ θ

θ θ θ θ θ

θθ

θ

−− ++= = =

− − + + −− +

− −= = = =+ + + − + +

[ النسب المثلثية لمجموع قياسي زاويتين أو فرقهما 3[

: برهن صحة العالقات

①

( )( )

cos cos .cos sin .sin

cos cos .cos sin .sin

α β α β α βα β α β α β

+ = −

− = +

( )cos cos .cos sin .sinα β α β α β+ = −

2 . .2 2 2 2

i i i i i i i i

i i i i

e e e e e e e eL

i i

e e e e

α α β β α α β β

α β α β

− − − −

−

+ + − −= −

⋅ + ⋅=i ie eα β−+ ⋅

4

i i i i i ie e e e e eα β α β α β− − −+ ⋅ ⋅ − ⋅+i ie eα β−− ⋅

( ) ( ) ( ) ( )( ) 1

4

2 2cos

4 2

i i

i i i i

e e

e e e eL

α β

α β α β α β α β

α β

− −

+ − + + − +

+ ⋅

+ += = = + =

89

( )cos cos .cos sin .sinα β α β α β− = +

2 . .2 2 2 2

i i i i i i i i

i i

e e e e e e e eL

i i

e e

α α β β α α β β

α β

− − − −+ + − −= +

⋅=i i i i i ie e e e e eα β α β α β− − − −+ ⋅ + ⋅ + ⋅

4

i ie eα β⋅−i i i i i ie e e e e eα β α β α β− − − −− ⋅ − ⋅ + ⋅

( ) ( ) ( ) ( )( ) 1

4

2 2cos

4 2

i i i ie e e eL

α β α β α β α β

α β− − − − − −+ += = = − =

② ( ) tan tantan

1 tan .tan

α βα βα β++ =

−

( )( ) ( )( )( )( )

2 2 2 2

2 22 2

2 2

2 2 2

2 2

1 1 1 11 1

1 11 1

1 11 .

1 1

i i i i

i ii i

i i

i i

i i

e e e ee e

i i e ee eL

e ei i

e e

α β β α

α βα β

α β

α β

α β

− + + − +− −+ + ++ += =

− −−+ +

( )( ) ( )( )( )( )

2 2 2 2

2 2

1 1 1 1

1 1

i i i i

i i

i

e e e e

e e

α β α β

α β

+ + + − −

+ +

21 ie α−=2ie β+ ( )2 21i ie eα β α+− + + 2ie β− ( )2

2 21

i

i i

e

e e

α β

α β

+−+ + ( )2 2 21i i ie e eα β α β++ + − − ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

2

22

2

12

2 2

2 2

1tan

1

i

ii

i

i

ei i

ee

ei L

e

α β

α βα β

α β

α β α β

+

++

+

+

−=++

−= = + =+

③( )( )

sin sin .cos cos .sin

sin sin .cos cos .sin

α β α β α βα β α β α β

+ = +

− = −

( )sin sin .cos cos .sinα β α β α β+ = +

2 . .2 2 2 2

i i i i i i i ie e e e e e e eL

i i

α α β β α α β β− − − −− + + −= +

90

2

i i i ie e e eL

α β α β−⋅ + ⋅=i ie eα β−− ⋅

4

i i i i i ie e e e e e

i

α β α β α β− − −− ⋅ ⋅ − ⋅+i ie eα β−+ ⋅

( ) ( ) ( ) ( )( ) 1

4

2 2sin

4 2

i i

i i i i

e e

i

e e e eL

i

α β

α β α β α β α β

α β

− −

+ − + + − +

− ⋅

− −= = = + =

( )sin sin .cos cos .sinα β α β α β− = −

( ) ( ) ( ) ( )( )

2

1

. .2 2 2 2

4 4

2 2sin

4 2

i i i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

i i i i

e e e e e e e eL

i i

e e e e e e e e e e e e e e e e

i i

e e e eL

i

α α β β α α β β

α β α β α β α β α β α β α β α β

α β α β α β α β

α β

− − − −

− − − − − − − −

− − − − − −

− + + −= −

⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅= −

− −= = = − =

④

( ) tan tantan

1 tan .tan

α βα βα β−− =

+

( )( ) ( )( )( )( )

2 2 2 2

2 22 2

2 2

2 2 2

2 2

1 1 1 11 1

1 11 1

1 11 .

1 1

i i i i

i ii i

i i

i i

i i

e e e ee e

i i e ee eL

e ei i

e e

α β β α

α βα β

α β

α β

α β

− + − − +− −− + ++ += =

− −++ +

( )( ) ( )( )( )( )

2 2 2 2

2 2

1 1 1 1

1 1

i i i i

i i

i

e e e e

e e

α β α β

α β

+ + − − −

+ +

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( )

2 22 2 2 2 2 2

2 22 22 2 2 2

2 2 2 2

122 2 2

1 1 2 2

2 21 1

1tan

1

i ii i i i i i

i ii ii i i i

i i i i

ii i i

e e e e e e e ei i

e ee e e e e e

e e e ei i L

e e e e

α β α βα β α β β α

β αα β α βα β α β

β β α α β

α ββ β αα β

+ +

+ +

− −

=−

− + − − − + + −= =++ + + − + + −

− −= = = + =+ +

91

⑤

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

s in . s in s in s in

c o s . c o s co s c o s 1

α β α β α β

α β α β α β

+ − = −

+ − = + −

( ) ( ) 2 2sin .sin sin sinα β α β α β+ − = −

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

1

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

2 22

sin .sin2 2

2 2

4 4

2 22

sin sin

i i i i

i i i i i i i i

i i i i i i i i

e e e eL

i i

e e e e e e e e

e e e e e e e e

i ii

L

α β α β α β α β

α β β α α α β β

α α β β α α β β

α β α β

α β

+ − + − − −

− − − −

− − − −

− −= + − = ⋅

− + − − − + + += =− −

− − − − −= = −

= − =

( ) ( ) 2 2cos .cos cos cos 1α β α β α β+ − = + −

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

1

2 2 2 22 2 2 2

2 2 2 2

2

2 22

cos .cos2 2

2 2 4

4 4

41

2 22

cos cos 1

i i i i

i i i ii i i i

i i i i i i i i

e e e eL

e e e ee e e e

e e e e e e e e

L

α β α β α β α β

α α β βα β β α

α α β β α α β β

α β α β

α β

+ − + − − −

− −− −

− − − −

+ += + − = ⋅

+ + + + + −+ + += =

+ + − − + += = + −

= + − =

[ .النسب المثلثية لقياس زاوية بداللة تجيب ضعفي قياسها4[

( )2 1 cos 2cos 1

2

θθ +=

2 2

2 2 22

12 1 cos 22cos2 4 2 2

i i

i i i ie e

e e e e

θ θ

θ θ θ θ θθ

−

− −+ + + + + += = = =

92

( )2 1 cos 2sin 2

2

θθ −=

2 2

2 2 22

12 1 cos 22

sin2 4 2 2

i i

i i i i

e ee e e e

i

θ θ

θ θ θ θ θθ

−

− −+−

− + − −= = = = −

( )2 1 cos 2tan 3

1 cos 2

θθθ

−=+

( )

2 22 2 22

2 2 2

2 2

2 2

1 2tan 1

1 2

2 2 2cos 2 1 cos 2

2 2 2cos 2 1 cos 2

i i i i i

i i i i i

i i

i i

e e e e ei i

e e e e e

e e

e e

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

θ θ

θ θ

θ

θ θθ θ

− −

− − −

−

−

− − − += = = − + + + +

− + − −= = =+ + + +

[ .النسب المثلثية لثالثة أمثال قياس زاوية5[

( )3sin 3 3sin 4sin 1θ θ θ= −

( )

( )

333

2

3 2 3 3 3

2 1

3sin 4sin 3 4 : 2 82 2

3 33 sin 3

2 2 2

i i i i

i i i i i i i i

e e e eL i i

i i

e e e e e e e eL L

i i i

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ

θ

− −

− − − −

− −= − = − = −

− − + − −= + = = =

( )3cos3 4cos 3cos 2θ θ θ= −

( )

3

32

3 2 3 3 3

2 1

4cos 3cos 4 32 2

3 3 3 3cos 3

2 2 2

i i i i

i i i i i i i i

e e e eL

e e e e e e e eL L

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ

θ

− −

− − − −

+ += − = −

+ + + + += − + = = =

93

( ) ( )3

2

3tan tantan 3 3

1 3tan

θ θθθ

−=−

\: حيث :6 3

k kπ πθ ∈ + ∈

ℝ ℤ

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

32 2

2 32 2 22 23

2 2 3 22 2 2 2 2

2

2 2 4 2 4 6

2 4 6 2 2

1 13

3 1 1 11 13tan tan

1 3tan 1 1 3 1 11 3

1

3 1 1 2 1 3 3

1 3 3 3 1 1 2

i i

i i ii i

i i i i

i

i i i i i i

i i i i

e ei i

e e i e ie eL

e e e ei

e

e e e i e e e i

e e e e e

θ θ

θ θ θθ θ

θ θ θ θ

θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θθ

− −− − + + −+ +− = = =− − + + + −− +

− + + + − + −=

+ + + + + −( )( ) ( )( ) ( )

( )

4

2 4 6 2 4 6

2 4 6 2 4 6

6 6

14 4

3 3 3 3 1 3 3

1 3 3 3 1

4 4 1tan 3

4 4 1

i i

i i i i i i

i i i i i i

i i

i i

e

e e e e e ei

e e e e e e

e ei i L

e e

θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ

θ θ θ

+

+ − − + − + −=

+ + + + − − +

− −= = = =+ +

[ .دساتير التحويل من جداء إلى مجموع أو فرق وبالعكس6[

cos cos 2cos .cos1 2 2

cos cos 2sin .sin2 2 2

sin sin 2sin .cos3 2 2

sin sin 2cos .sin4 2 2

α β α βα β

α β α βα β

α β α βα β

α β α βα β

+ −+ =

+ −− = −

+ −+ =

+ −− =

( )cos cos 2cos .cos 12 2

α β α βα β + −+ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2

1

2cos .cos 22 2 2 2

cos cos2 2 2

i i i i

i i i i i i i i

e e e eL

e e e e e e e eL

α β α β α β α β

α β α β α α β β

α β α β

α β

+ + − − − −

− − − −

+ − + += = ⋅

+ + + + += = + = + =

94

( )cos cos 2sin .sin 22 2

α β α βα β + −− = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2

1

2sin .sin 22 2 2 2

cos cos2 2 2

i i i i

i i i i i i i i

e e e eL

i i

e e e e e e e eL

α β α β α β α β

α β α β α α β β

α β α β

α β

+ + − − − −

− − − −

+ − − −= − = − ⋅

+ − − − −= − = − = − =−

( )sin sin 2sin .cos 32 2

α β α βα β + −+ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2

1

2sin .cos 22 2 2 2

sin sin2 2 2

i i i i

i i i i i i i i

e e e eL

i

e e e e e e e eL

i i i

α β α β α β α β

α β α β α α β β

α β α β

α β

+ + − −− −

− − − −

+ − − −= = ⋅

+ − − − −= = + = + =

( )sin sin 2cos .sin 42 2

α β α βα β + −− =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2

1

2cos .sin 22 2 2 2

sin sin2 2 2

i i i i

i i i i i i i i

e e e eL

i

e e e e e e e eL

i i i

α β α β α β α β

α β α β α α β β

α β α β

α β

+ + − −− −

− − − −

+ − + −= = ⋅

− − + − −= = − = − =

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1cos .cos cos cos

1 21

sin .sin cos cos2 2

1sin .cos sin sin

3 21

cos .sin sin sin4 2

α β α β α β

α β α β α β

α β α β α β

α β α β α β

= + + −

= − + − −

= + + −

= + − −

95

( ) ( ) ( )1cos .cos cos cos 1

2α β α β α β= + + −

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1

2

cos .cos2 2 4

1 1cos cos

2 2 2 2

i i i ii i i i

i i i i

e e e e e e e eL

e e e eL

α β α β α β α βα α β β

α β α β α β α β

α β

α β α β

+ − + − − −− −

+ − + − − −

+ + + + += = ⋅ =

+ += + = + + − =

( ) ( ) ( )1sin .sin cos cos 2

2α β α β α β= − + − −

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1

2

sin .sin2 2 4

1 1cos cos

2 2 2 2

i i i ii i i i

i i i i

e e e e e e e eL

i i

e e e eL

α β α β α β α βα α β β

α β α β α β α β

α β

α β α β

+ − + − − −− −

+ − + − − −

− − + − −= = ⋅ =−

+ += − − = − + − − =

( ) ( ) ( )1sin .cos sin sin 3

2α β α β α β= + + −

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1

2

sin .cos2 2 4

1 1sin sin

2 2 2 2

i i i ii i i i

i i i i

e e e e e e e eL

i i

e e e eL

i i

α β α β α β α βα α β β

α β α β α β α β

α β

α β α β

+ − + − − −− −

+ − + − − −

− + − + −= = ⋅ =

− −= + = + + − =

( ) ( ) ( )1cos .sin sin sin 4

2α β α β α β= + − −

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1

2

cos .sin2 2 4

1 1sin sin

2 2 2 2

i i i ii i i i

i i i i

e e e e e e e eL

i i

e e e eL

i i

α β α β α β α βα α β β

α β α β α β α β

α β

α β α β

+ − + − − −− −

+ − + − − −

+ − − − += = ⋅ =

− −= − = + − − =

األستاذ أحمد أبو نبوت

96

:التطبيقات الهندسية لألعداد المركبة :الفصل السادس

)وجدنا أنه في المستوي المحدث بمعلم متجانس ), ,o i j� ��

zكل عدد مركب أن x i y= +

)يمثل في المستوي بنقطة ),M x y أو( )M z

oM المتجهبأو x i y j= +���� � ��

)أو ),oM x y����

:جمع وطرح األعداد المركبة هندسيا

[ لمتجهينلمجموع الذي هو نعلم أن المتجه: الجمع1[

OA����

،OB����

OC المتجه هو ����

OACBبحيث يكون

متوازي أضالع كما في الشكل

OA OB OC+ =���� ���� ����

1صورة العدد المركب Aأي أنه إذا كانت 1 1z x i y= +

2صورة العدد المركب Bوكانت 2 2z x i y= +

) صورة العدد المركب Cفإن ) ( )1 2 1 2 1 2z z z x x y y i= + = + + +

o

( ),M x y

x

y

z

x

y

N

x

y

C

A

B

O

97

[ : منتصف قطعة مستقيمة2[

1صورة العدد المركب Aإذا كانت 1 1z x i y= 2صورة العدد المركب Bوكانت + 2 2z x i y= +

1 صورة العدد المركب Nفإن 2

2

z zz x yi

+= + =

[ OBنعلم أن : الطرح3[ OA AB− =���� ���� ����

أو ( )OB OA OB OA

OB OA OM

− = + −

′= + =

���� �������� ����

�������� ����

OMو AB=��������

ABأي أن )صورة ���� )B Az z−

ABكمتجه وزاوية )هي زاوية ���� )B Az z−

2 �:النتيجة 1| | | |z z AB AB− = =����

)و ) ( )arg arg B AAB z z= −����

,إذا كانت � ,A B C صور لألعداد المركبة, ,A B Cz z z

)فإن ) ( )arg arg argB AB A C A

C A

z zz z z z

z z

− = − − − −

)أي ) ( ) arg arg arg arg( )B A

C A

z zAB AC CAB

z z

− = − = −

���� �����

M

A ′

N

x

y

C

A

B

O

98

Bإذا كان A

C A

z zw

z z

−=−

)argعدد حقيقي كانت ) :CAB k kπ= ∈ℤ

,فالنقاط ,A B C على استقامة واحدة

Bإذا كان � A

C A

z zw

z z

−=−

)argعدد تخيلي بحت كانت ) :2

CAB k kπ π= + ∈ℤ

,فالنقاط ,A B C رؤوس مثلث قائم فيA

باستخدام التمثيل الهندسي للعدد المركب إذا كان : ①مثال

1 , 2 2 , 1i i iC B Az e z e z eθ θ θ= − − = + = +

,النقاط أثبت أن ,A B C على استقامة واحدة

Bنحسب :الحل A

C A

z zw

z z

−=−

نجد

1 1

2 2 2

iB A

iC A

z z e

z z e

θ

θ− += = −− − −

,عدد حقيقي فالنقاط ,A B C على استقامة واحدة

باستخدام التمثيل الهندسي للعدد المركب إذا كان : ②مثال

, 2 ,i i iC B Az i e z i e z i eθ θ θ−= − = + = +

,النقاط أثبت أن ,A B C رؤوس مثلث قائم فيA

99

B نحسب: الحل A

C A

z zw

z z

−=−

نجد

2cos

22

B Ai i i i

C A

z z i i i

z z e e e eθ θ θ θ θ− −

− = = − =− − − +

عدد تخيلي بحت

,فالنقاط ,A B C رؤوس مثلث قائم فيA

3لتكن المعادلة : تمرين 2 (1 ) 2 2 0z iz i z i− + − − + =

xحقيقي إذا علمت أن للمعادلة حل ∈ℝ أوجد هذا الحل ثم أوجد الحالن اآلخران لهذه المعادلة

, إذا كانت ,A B C صورا لحلول المعادلةA صورة الحلAz x= ∈ℝ أوجد B A

C A

z zw

z z

−=−

ABCواستنتج نوع المثلث

x: الحل ∈ℝ 3حل للمعادلة يكون 2 (1 ) 2 2 0x i x i x i− + − − + وتكافئ =

( )3 22 ( 2) 0x x i x x+ − − + − =

)وتكافئ )( )

3

2

2 0........ 1

2 0........ 2

x x

x x

+ − =

+ − =

)للمعادلة 2حلين 2( , 1x x= − =

1xاألول فقط )يحقق المعادلة = 1zفهو مقبول أي الحل األول للمعادلة 1( =

100

)تكتب المعادلة ) ( )21 0z z b z c− + + تكافئ=

3 2( 1) ( ) 0z b z c b z c+ − + − − بالمطابقة مع المعادلة المفروضة =

1نجد , 1 , 2 2b i c b i c i− = − − = − − = − 1لها حل مشترك + , 2 2b i c i= − = −

): تصبح المعادلة ) ( )( )21 1 2 2 0z z i z i− + − + − =

1zإما =

)أو )2 1 2 2 0z i z i+ − + − =

( ) ( )2 21 4 2 2 8 6 (1 3 )i i i i∆ = − − − = − + = +

1هو ∆أحد جذري 3iµ = +

1 1

1 1 3 1 1 32 , 1

2 2

i i i iz i z i

− + + + − + − −= = = = − −

1حلول المعادلة 2 , 1A B Cz z i z i= = = − −

( )( )( )( )

1 2 21 2w=

2 2 2

5

5

B A

C A

B A

C A

i iiz z

z z i i i

iz zi

z z

− + − +− +−= =

− − − − − − +

−−= = −

−

Bبما أن A

C A

z zi

z z

−= −

− Aقائم في ABCتخيلي بحت فإن المثلث

101

zصورة العدد M : الصيغ العقدية لبعض الخطوط

الصيغة العقدية الشكل التعريف

:محور القطعة المستقيمة 1

]محور قطعة مستقيمة ]AB هو

التي Mمجموعة نقط المستوي

Bيساوي بعدها عن Aبعدها عنx

y

A

BM

| | | |A Bz z z z− = −

A صورة العددAz

B صورة العددBz

:الدائرة 2

Mهو مجموعة نقط المستوي

vالتي بعدها عن نقطة ثابتة

rيساوي عدد ثابت

x

y

v

M

r

| |vz z r− =

v صورة العددvz

:القطع الناقص 3

Mهو مجموعة نقط المستوي

التي مجموع بعديها عن نقطتين

F,ثابتتين F يساوي عدد ثابت ′

ℓموجب تماما

x

y

FF ′

M

| | | |F Fz z z z ′− + − = ℓ

F صورة العددFz

F Fzصورة العدد ′ ′

ℓ المسافة بين ذروتي القطع

)الواقعتين على محوه )FF ′

102

:القطع الزائد

Mهو مجموعة نقط المستوي

التي فرق بعديها عن نقطتين

F,ثابتتين F يساوي عدد ثابت ′

ℓموجب تماما

x

y

FF ′

M

v

( )| | | | | |F Fz z z z ′− − − = ℓ

F صورة العددFz

F Fzصورة العدد ′ ′

ℓ المسافة بين ذروتي القطع

)الواقعتين على محوه )FF ′

أمثلة على كتابة معادلة خط بالصيغة العقدية

1صورة للعدد المركب F: الحل 2 4z i= Fو − 2صورة للعدد المركب ′ 1 2z i= − +

zنقطة على القطع صورة للعدد Pو x yi= +

PFحسب تعريف القطع PF ′+ = ℓ

1معادلة القطع 2| | | |z z z z− + − = ℓ 10 طول قطره الكبير=ℓ

1 تكتب معادلة القطع 2| z - z | + | z - z |= 10

,2)اكتب بصيغة األعداد المركبة معادلة قطع ناقص محرقاه : �مثال 4) , ( 1,2)F F ′− −

)والمسافة بين ذروتيه الواقعتين على محوره المحرقي )FF 10تساوي ′

103

1صورة للعدد المركب vإذا كانت : الحل 2w i= |تكتب العالقة المفروضة − | 3z w− =

3vPومنه ,1)دائرة مركزها Pأي أن مجموعة النقاط = 2)v 3rونصف قطرها − =

|تكتب العالقة المفروضة: حل آخر 1 2 | 3z i− + |: بالشكل = 1 2 | 3x y i i+ − + =

)أو ) ( )| 1 2 | 3x y i− + + )ومنه = ) ( )2 21 2 3x y− + + )تكافئ = ) ( )2 2

1 2 9x y− + + =

)معادلة لها الصيغة ) ( )2 2 20 0x x y y r− + − =

,1)دائرة مركزها Pعة النقاط أي أن مجمو 2)v 3rونصف قطرها − =

)أوجد مجموعة النقاط : مثال )P z صورة للعددz x yi= من المستوي والتي تحقق +

| 1 2 | | 1 6 | 10z i z i− + + − − دلتها اثم أوجد مع =

) إـذا كانت: الحل , )P x y صورة للعددz x yi= +

,1)وكانت 2)F ′ 1صورة للعدد المركب − 1 2z i= 2صورة للعدد المركب F(1,6)وكانت − 1 6z i= +

1تكتب العالقة المفروضة 2| | | | 10z z z z− + − 10PFأو = PF ′+ =

)أوجد مجموعة النقاط : �مثال )P z صورة للعددz x yi= من المستوي والتي تحقق +

| 1 2 | 3z i− + =

104

,F ،(1(1,6)قطع ناقص محرقاهPحسب تعريف القطع الناقص فإن مجموعة النقاط 2)F ′ −

)البعد بين ذروتيه على محوره المحرقي(وطول قطره الكبير )FF 10يساوي )′

: إيجاد المعادلة

(1,6)F ،(1, 2)F ′ yلهما نفس الفاصلة المحور المحرقي يوازي − y′ 0معادلته 1x =

)و )( )

0

0

6........ 1

2..... 2

y c

y c

+ =

− = −

02بجمعهما نجد 4y 0ومنه = 2y 4cنبدل في إحداهما نجد = =

2طول قطره الكبير 10b= =ℓ 5ومنهb 2لكن = 2 2a b c= 3aومنه − =

)معادلة القطع ) ( )2 2

0 22 2

1x x y y

a b

− −+ بتعويض القيم المحسوبة =

( ) ( )2 21 2

19 25

x y− −+ وهي معادلة القطع المطلوبة =

| :حل آخر 1 2 | | 1 6 | 10z i z i− + + − − |تكافئ = 1 2 | | 1 6 | 10x yi i x yi i+ − + + + − − =

)وتكافئ ) ( ) ( ) ( )| 1 2 | | 1 6 | 10x y i x y i− + + + − + − =

)وتكافئ ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 1 6 10x y x y− + + + − + − =

105

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 10 1 6x y x y− + + = − − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 2 100 20 1 6 1 6x y x y x y− + + = − − + − + − + −

( ) ( )2 24 4 100 20 1 6 12 36y x y y+ = − − + − − +

( ) ( )2 25 1 6 33 4x y y− + − = −

( )2 2 225 1 25 300 900 1089 264 16x y y y y− + − + = − +

( )2 225 1 9 36 189x y y− + − =

( )2 225 1 9( 2) 225x y− + − نجد 225وبالتقسيم على =

( ) ( )2 21 2

19 25

x y− −+ وهي معادلة القطع المطلوبة =

)أوجد مجموعة النقاط : �مثال )P z صورة للعددz x yi= من المستوي والتي تحقق +

|| 5 | | 2 || 4z z i− − − ثم أوجد معدلتها =

) إـذا كانت: : الحل , )P x y صورة للعددz x yi= +

1صورة للعدد المركب F(5,0)وكانت 5z F(0,2)وكانت = 2صورة للعدد المركب ′ 2z i=

1تكتب العالقة المفروضة 2|| | | || 4z z z z− − − |أو = | 4PF PF ′− =

106

F ،(0,2)F(5,0)قطع زائد محرقاهPحسب تعريف القطع الزائد فإن مجموعة النقاط ′

)إليجاد معادلته ال يوجد لها صيغة قياسية ألن )FF ال يوازي أحد محوري اإلحداثيات′

||المعادلة 5 | | 2 || 4z z i− − − )تكافئ = )|| 5 | | 2 || 4x y i x y i− + − + − =

)وتكافئ ) ( )2 22 25 2 4x y x y− + − + − =

) وتكافئ ) ( )2 22 25 4 2x y x y− + = ± + + −

( ) ( ) ( )2 2 22 2 25 16 8 2 2x y x y x y− + = ± + − + + −

( )22 2 2 2 210 25 16 8 2 4 4x x y x y x y y− + + = ± + − + + − +

( )22

2 2 2 2

2 2

4 10 5 8 2

16 100 25 40 80 100 64 64 256 256

36 48 80 100 296 231 0

y x x y

y x y xy x x y y

x y xy x y

− + = ± + −

+ + + − − = + − +− − − + − =

)ما هي مجموعة النقاط : �مثال )P z صورة للعددz x yi= من المستوي والتي تحقق +

| 2 | | |z i z i− + = Pثم أوجد معادلة مجموعة النقاط −

) إـذا كانت: الحل , )P x y صورة للعددz x yi= +

,2)وكانت 1)A 1صورة للعدد المركب − 2z i= 2zصورة للعدد المركب B(0,1)وكانت − i=

107

1تكتب العالقة 2| | | |z z z z− = APأي − BP=

]هي محور القطعة المستقيمة Pحسب تعريف محور قطعة مستقيمة فإن مجموعة النقاط ]AB

:إيجاد المعادلة

| :طريقة أولى 2 | | |x yi i x yi i+ − + = + −

( ) ( ) ( )| 2 1 | | 1 |x y i x y i− + + = + ) ومنه − ) ( ) ( )2 2 222 1 1x y x y− + + = + −

2 2 2 24 4 2 1 2 1x x y y x y y− + + + + = + − +

4 4 4 0x y− − 1أو = 0x y− − =

]إحداثيات منتصف : طريقة ثانية ]AB 2)حيث, 1)A N(1,0)هي B(0,1)و−

)وميل المستقيم )AB 1 هو 1m = ]يكون ميل محور− ]AB 2هو 1m 2ألن = 1 1m m⋅ = −

]معادلة محور ]AB 1هيy x= −

zليكن العدد المركب � مثال x i y= ;*و ليكن +z i

z i

αω αα

−= ∈+

ℝ

)عين مجموعة النقط ),M x y صورة العدد المركبz بحيث يكون :

1111 ω 2222حقيقي ω تخيلي بحت

108

ωحقيقي يكافئ ω 1111 : الحل ω= وz iα≠ ومنه −

z i z i

z i z i

α αα α

− +=+ −

( )( ) ( )( ) 2 ( ) 0 4 0z i z i z i z i z z i xiα α α α α− − = + + ⇔ + = ⇔ =

)الحامل الهندسي لمجموعة النقط ),M x y

0x: هي yحامل المحور( معادلة مستقيم = y′(

zبما أن iα≠ )أي − ), (0, )x y α≠ −

)النقط مجموعة ),M x y 0هي المستقيمx ,0)عدا النقطة = )α−

2222 ω يكافئ بحتتخيليω ω= zو − iα≠ z ومنه − i z i

z i z i

α αα α

− += −+ −

2 2

2 2 2 2

( )( ) ( )( )

( ) ( )

z i z i z i z i

zz z z i zz z z i

zz x y

α α α αα α α α

α α

− − = − + +⇔ − + − = − − + +⇔ = ⇔ + =

)الحامل الهندسي لمجموعة النقط ),M x y ونصف قطرها ) 0,0(دائرة مركزهاα

zبما أن iα≠ )أي − ), (0, )x y α≠ −

)مجموعة النقط ),M x y ونصف قطرها ) 0,0(دائرة مركزهاα 0)النقطة عدا, )α−

109

:حيث ωليكن العدد المركب �مثال

11 :

1

zz

zω +≠ =

−)عين مجموعة النقط ),M x y صورة العدد المركبz بحيث يكون :

1111 ω 2222حقيقي ω تخيلي بحت

يكتب العدد : الحل

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )

2 2

2 2 2 2

2 2 22 2 2

1 11

1 1

1 2 1 2

1 1 1

x y i x y ix y i

x y i x y

x y y i x y yi

x y x y x y

ω

ω

+ + − −+ += =+ − − +

+ − + − + −= = −

− + − + − +

1111 ω أيحقيقيIm( ) 0ω ومنه =( )2 2

2

1

y

x y− +) و ), (1,0)M x y 1z( ألن≠ ≠(

0yأي )مجموعة النقاط وبالتالي = ),M x y 0هو المستقيمy xحامل المحور = x′ (1,0)عدا

2222 ω أي تخيلي بحتRe( ) 0 , Im( ) 0ω ω= ≠

( )( )

2 2

2 2

10

1

x y

x y

+ −=

− +مع

( )2 2

20

1

y

x y≠

− +2ومنه 2 1x y+ 0yمع = ≠

)مجموعة النقاط ),M x y 2هي الدائرة 2 1x y+ )عدا النقطتين = )1,0±

110

)لتكن �مثال ),M x y 1صورة العدد المركبz A,ولتكن ≠ B 21صورتي العددين المركبين , z

:في الحالتين Mأوجد مجموعة النقاط

,النقاط � ,M A B على استقامة واحدة

,النقاط � ,M A B رؤوس مثلث قائم فيA

:الحل

,تكون النقاط � ,M A B على استقامة واحدة عندما يكونB A

M A

z zw

z z

−=−

عدد حقيقي

2 1

1B A

M A

z z zw

z z z

− −= =− −

1 ومنه 1B A

M A

z zw z x y i

z z

−= = + = + +−

0yيكون حقيقي عندما xتقع على المحور Mأي النقطة = x′

,تكون النقاط � ,M A B رؤوس مثلث قائم فيA عندما يكونB A

M A

z zw

z z

−=−

عدد تخيلي بحت

2 1

1B A

M A

z z zw

z z z

− −= =− −

1ومنه 1B A

M A

z zw z x y i

z z

−= = + = + +−

0yيكون تخيلي بحت عندما 1xو ≠ = −

1xتقع على المستقيم Mأي النقطة = )عدا الموقع − )1,0−

111

)عين مجموعة النقط : تدريب ),M x y صورة العدد المركبz في الحاالت اآلتية:

[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]

[ ]

2 2

2 2

2 2

2

22

2

2 2

4

12

25 9 900

5cos 3sin 1 :

1 4

4 | | 8

:

2 1:

1 1

t t

a z z z z

b z z z z

c z z z z

d z i

e z t t i t

j z z z z z

h z e e i t

t tk z i t

t t

θ θ θ

−

+ − − ≤

+ + − =

+ − − =

= + − ∈

= − − ∈

− + = +

= + ∈

−= + ∈+ +

ℝ

ℝ

ℝ

ℝ

( ) ( ) [ ]2 24z z z z a+ − − ≤

2zنعلم أن z x+ 2zو = z y i− بالتعويض =

2 24 4 4x y+ 2 أو ≥ 2 1x y+ ≤

)مجموعة النقاط ),M x y قرص دائري مركزه( )0,0o 1ونصف قطرهr =

( ) ( ) [ ]2 212z z z z b+ + − =

2zنعلم أن z x+ 2zو = z y i− بالتعويض =

2 24 4 12x y− 2أو = 2 3x y− =

112

)مجموعة النقاط ),M x y قطع زائد متساوي الساقين مركزه( )0,0o

xومحوره المحرقي x′ 3 وa b= = ،6c =

( ) ( ) [ ]2 2

25 9 900z z z z c+ − − =

2zنعلم أن z x+ 2zو = z y i− بالتعويض =

2 2100 36 900x y+ أو =2 2

19 25

x y+ =

)مجموعة النقاط ),M x y قطع ناقص

)مركزه )0,0o ومحوره المحرقيy y′ ،3 , 5 , 4a b c= = =

( ) [ ]: 5cos 3sin 1z i dθ θ θ∈ = + −ℝ

5cos

3sin 1

x

y

θθ

= = −

ومنه cos

51

sin3

x

y

θ

θ

= + =

2بما أن 2cos sin 1θ θ+ =

)بالتربيع ثم الجمع نجد )22 11

25 9

yx ++ =

)حامل مجموعة النقاط ),M x y قطع ناقص

)مركزه )0, 1v xومحوره المحرقي يوازي − x′ ،5 , 3 , 4a b c= = =

113

[ ]( ) [ ]5cos 5,5

3sin 1 4, 2

x

y

θθ

= ∈ −

= − ∈ −)مجموعة النقاط ),M x y كل القطع الناقص

( ) [ ]2: 1 4t z t t i e∈ = − −ℝ

( ) ( )( )

21 ...... 1

4 ........... 2

x t

y t

= −

= −)من 1نجد 2(

4t y= )نبدل في − نجد 1(

21

14

x y = − −

)أو )21 16y x+ =

)حامل مجموعة النقاط ),M x y قطع مكافئ

)ذروته )0, 1v xومحوره المحرقي يوازي − x′

( ) [ [21 0,

4

x t

y t

= − ∈ +∞

= − ∈ ℝ)مجموعة النقاط ),M x y كل القطع المكافئ

( ) ( ) [ ]224 | | 8z z z z z j− + = +

( ) ( )22 24 2 16x y x x+ − 2ومنه = 4y x=

)مجموعة النقاط ),M x y قطع مكافئ

)ذروته )0,0o ومحوره المحرقيx x′

114

[ ]: t tt z e e i h−∈ = +ℝ

t

t

x e

y e −

=

=1tبما أن te e −⋅ 1xفيكون = y⋅ =

)حامل مجموعة النقاط ),M x y قطع زائد متساوي الساقين

)مركزه )0,0o ومحوره المحرقي منصف الربع األول

] [] [0,

0,

t

t

x e

y e −

= ∈ +∞

= ∈ +∞)مجموعة النقاط ),M x y فرع القطع الزائد الواقع في الربع األول

[ ]2

2 2

2 1:

1 1

t tt z i k

t t

−∈ = ++ +

ℝ

2

2

2

2

1

1

1

tx

t

ty

t

= +

− = +

بالتربيع والجمع

( )22 2 2 4 2

2 222 2 2

2 1 4 2 1

1 1 1

t t t t tx y

t t t

− + − + + = + = + + +

( )

( )( )

224 22 2

2 22 2

12 1

1 1

tt tx y

t t

++ ++ = =+ +

2ومنه 2 1x y+ =

)حامل مجموعة النقاط ),M x y دائرة مركزها( )0,0o 1نصف قطرهاr =

115

2

2

2

2

1

1

1

tx

t

ty

t

= +

− = +

بدراسة تغيرات كل من الدالتين نجد

) ℝكل من الدالتين اشتقاقية على )lim 0t

x t→±∞

=

)و )( )

( )( )( )

2 2

2 22 2

2 1 12 2 4

1 1

t tt tx t

t t

+ −+ −′ = =+ +

)تنعدم )x t′ 1عندt = )و ± ) ( )1 1 , 1 1x x= − = −

( )( )

1 1

0 0

0 01 1

tx t

x t

−∞ − +∞′ − + −

−ց ր ց

]: من الجدول ]1,1x ∈ −

( )lim 1t

y t→±∞

= )و − )( ) ( )

3 3

2 22 2

2 2 2 2 4

1 1

t t t t ty t

t t

− − − + −′ = =+ +

)تنعدم )y t′ 0عندt )و = )0 1y =

( )( )

0

0

1 1 1

ty t

y t

−∞ +∞′ + −

− −ր ց

[من الجدول ]1,1y ∈ −

116

]بما أن ]1,1x ∈ [و − ]1,1y ∈ −

)فإن مجموعة النقاط ),M x y2الدائرة 2 1x y+ )عدا النقطة = )0, 1−

:حل أخر

tanإذا فرضنا 2

tθ= و( )2 :k kθ π π≠ + ∈ℤ

: فإن 2

2

22

22

2 tan2 2 sin1 1 tan

2

1 tan1 2 cos1 1 tan

2

tx

t

ty

t

θ

θθ

θ

θθ

= = = + + −− = = = + +

sin , cosx yθ θ= 2بالتربع والجمع = 2 1x y+ =

)حامل مجموعة النقاط ),M x y دائرة مركزها( )0,0o 1نصف قطرهاr =

( )2 :k kθ π π≠ + ∈ℤ فإن[ ] ] ]1,1 , 1,1x y= − ∈ −

0θوجود( الحظ sinيجعل θفي مجموعة قيم = 0 0x = ) xي ال يحذف الصفر من قيم أ=

)فإن مجموعة النقاط ),M x y2الدائرة 2 1x y+ )عدا النقطة = )0, 1−

األستاذ أحمد أبو نبوت

117

:التحويالت النقطية الشهيرة واألعداد المركبة:الفصل السادس

)المستوي منسوب لمعلم متجانس , , )o i j� )ونعتبر �� , )M x y صورة العدد المركبz x y i= +

)و , )M x y′ ′ zصورة العدد المركب ′ x y i′ ′ ′= +

التحويل النقطي هو كل دالة من نقط المستوي نحو نقط المستوي : تعريف

)إذا رمزنا ){ }2 , : ,x y x y= ∈ ∈ℝ ℝ ℝ

)فالتحويل النقطي هو دالة ) ( )2 2: , , ,f f x y x y′ ′→ =ℝ ℝ

: التحويل الهندسي

نسمي التحويل النقطي تحويل هندسي عندما يكون تقابل

: من أشهر التحويالت الهندسية

)التشابه(التحاكي، الدوران ، االنسحاب ، ) االنعكاس(التناظر

: النقطة الصامدة

إنها صامدة وفق التحويل النقطيMنقول عن النقطة

f إذا وفقط إذا كان( )f M M=

118

):االنعكاس(التناظر :أوال

: التناظر بالنسبة لمستقيم: ①

]محور القطعة المستقيمة ∆إذا كان المستقيم : تعريف ]MM ′

Mنقول إن ∆بالنسبة إلى Mنظيرة ′

Mنظيرة Mوالعكس ∆بالنسبة إلى ′

:مبرهنة

Mالشرط الالزم والكافي كي تكون ∆بالنسبة لمستقيم Mهي نظيرة ′

z: هو zω α′ = ⋅ ω,حيث + αأعداد مركبة :| | 1 , a b iω α= = +

:البرهان

yإذا كان المستقيم يوازي المحور )1 y′ فإن معادلتهx a=

,يكون 2

x xa y y

′+ ′= 2أو = ,x a x y y′ ′= − =

2z x y i a x y i′ ′ ′ ′= + = − 2zومنه + z a′ = − +

zمن الشكل فهو zω α′ = ⋅ +

x

y

M (x ,y)M (x ,y )′ ′ ′

∆

a

x

y

M(x,y)

M (x ,y )′ ′ ′

∆

v

119

0xإذا كان المستقيم حامل محور التراتيب في الحالة الخاصة =

zكان x y i x y i′ ′ ′ ′= + = − zومنه + z′ = −

zفهي من الشكل zω α′ = ⋅ +

Y:إذا كانت معادلة المستقيم )2 m X b∆ = +

)وكانت , )2 2

x x y yv

′+ ]منتصف + ]MM ′

)أي ∆فهي تنتمي إلى ).............. 12 2

y y x xm b

′ ′+ += +

]ولدينا ]MM 0vأي ∆يعامد ′ MM ′⋅ =� ������

,1)بما أن )v m)و � , )MM x x y y′ ′ ′− −

������

)فإن ) 0x x m y y′ ′− + − )أو = )( )........ 2x x m y y′ ′= − −

)نبدل )في 2( )نجد 1( )

2 2

y y x x m y ym b

′ ′+ + − −= +

( ) ( )( )

2 2

2 2

2

2

( )

2 22 2

1 2 1 2

1 2 2

1

y y x x m y ym b

y y m x m y m y b

m y m x m y b

m y m x by

m

′ ′+ + − −= +

′ ′+ = − + +

′+ = + − +

− + +′ =

+

x

y

M(x,y)

M (x ,y )′ ′ ′

∆

v

120

)نبدل في نجد 2(

( )

( )

2

2

2

2

2 1 2( )

1

1 2 2

1

m x m y hx x m y

m

m x my mbx

m

+ − +′ = − −

+− + −

′ =+

) :إذن ) ( )2 2

2 2

1 2 2 1 2 2

1 1

m x my mb m y m x bz i

m m

− + − − + +′ = +

+ +

2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 2 1 2 2

1 1 1 1 1 1

m m m m mz x y b y x b i

m m m m m m

− −′ = + − + − + + + + + + + +

إذا فرضنا 2

θβ xمع المحور ∆زاوية المستقيم = x′ بالتعريفtanm β=

tanفإن , 2 :2

m k kθ θ π π= ≠ + ∈ℤ

يكون 2

2 2 2

1 2 2cos , cos , cos 1

1 1 1

m m

m m mθ θ θ−= = = +

+ + +

( )( )cos sin sin cos sin cos 1z x y b y x b iθ θ θ θ θ θ′ = + − + − + + +

( ) ( )( ) ( )

( )

cos sin sin cos 1

cos sin cos sin

1i i

z i z b b i

z i z b i i b i

z e z b e iθ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

′ = + − + +

′ = + + + +

′ = + +

zمما سبق فإن zω α′ = |حيث + | 1ω ω,و = αعددان مركبان منℂ

121

∆نقط صامدة بالتناظر بالنسبة إلى ∆نقاط محور التناظر: مالحظة

: الحاالت الخاصة

)إذا كانت , )M x y صورة العدد المركبz x y i= )و + )0,b مع النحور ∆نقطة تقاطعy y′

m,قيمتي b معادلة

∆

ℂدالة التناظر في 2ℝدالة التناظر في محور التناظر

0m b= = 0y هو محور الفواصل =

x x′

( ) ( ), ,f x y x y= − ( )f z z=

0 , 0m b= ≠ y h= مستقيم يوازي محور

xالفواصل x′

( ) ( ), , 2f x y x b y= − ( ) 2f z z b i= +

1 , 0m b= ≠ y x= منصف الربعين األول

والثالث

( ) ( ), ,f x y y x= ( )f z i z=

1 , 0m b= − ≠ y x= منصف الربعين الثاني

والرابع

( ) ( ), ,f x y y x= − − ( )f z i z= −

,m bغير معرفتين

x a= مستقيم يوازي محور

yالتراتيب y′

( ) ( ), 2 ,f x y a x y= − ( ) 2f z z a= − +

,m b غير معرفتين 0x هو محور التراتيب =

y y′

( ) ( ), ,f x y x y= − ( )f z z= −

122

:التناظر بالنسبة إلى نقطة:②

]منتصف القطعة المستقيمة vإذا كانت النقطة : تعربف ]MM ′

Mنقول إن v النقطة بالنسبة إلىMمتناظرتان ′

Mالشرط الالزم والكافي كي تكون : مبرهنة )للنقطة بالنسبة Mهي نظيرة ′ , )v a b

z: هو zω α′ = ⋅ ω,حيث ، + α1: أعداد مركبةω = −

,إن : لزوم الشرط2 2

x x y ya b

′ ′+ += 2ومنه = , 2x a x y b y′ ′= − = −

2 2z x a y i b i′ = − + − )أو + )2z z a b i′ = − + zأي + zω α′ = ⋅ +

zإذا كانت : كفاية الشرط z α′ = − 2حيث + 2a b iα = 2فإن + 2z z a b i′ + = +

)وتكافئ ) 2 2x x y y i a b i′ ′+ + + = + ,2 2

x x y ya b

′ ′+ += =

Mأي )بالنسبة إلى Mمتناظرتان ′ , )v a b

مبدأ اإلحداثيات v(0,0)إذا كانت : حالة خاصة

z x y i′ = − zأو − z′ = zفهي من الشكل − zω α′ = ⋅ +

مركز التناظر نقطة صامدة: مالحظة

x

y

M(x,y)

M (x ,y )′ ′ ′

v(a,b)

123

االنسحاب :نيا ثا

( , ) 0u a b ≠� متجه ثابت في المستوي الموجه �

Mنقول إن نقطة من المستوي ′

نقطه أخرى من المستوي Mصورة

)بانسحاب متجهه , )u a bMMإذا وفقط إذا � u′ =

������ �

Mالشرط الالزم والكافي كي تكون: مبرهنة uمتجهه بانسحاب Mصورة ′�

z: هو zω α′ = ⋅ ω,حيث ، + α1: أعداد مركبةω =

M :لزوم الشرط Mنقطة صورة ′

x,: نستنتج x a y y b′ ′= + = )فاالنسحاب الذي متجهه + , )u a b�

)هو التحويل الهندسي )z x a y b i′ = + + +

zأو z a b i′ = + zأي + z α′ = +

zإذا كان :كفاية الشرط z α′ = zأي + z α′ − zبما أن = z′ MMصورته − ′������

aإذا كانت b iα = )صورته + , )u a bMMفإن � u′ =

������ �Mأي )باالنسحاب Mصورة ′ , )u a b

�

x

y

M(x,y)

M (x ,y )′ ′ ′

u(a,b)�

124

: خاصة أساسية

)صورة ثنائية � ),A B هي ثنائية( ),A B′ ABتحقق ′ A B′ ′=���� ������

)يحافظ على المسافات(وبالتالي االنسحاب تقايس

� M )بانسحاب متجهه Mصورة ′ , )u a bMصورة Mفإن � )بانسحاب متجهه ′ , )u a b− − −

�

:التحاكي: ثالثا

): تعريف , )v a b نقطة ثابتة من المستوي الموجه

}و }\ 0,1, 1k ∈ −ℝ نسمي تحاكي مركزهv ونسبتهk

Mمن المستوي بالنقطة Mالتحويل الهندسي الذي يرفق كل نقطة vMمن المستوي بحيث ′ k vM= ⋅���� ����

Mتختلف عن Mإذا كانت * ,فإن النقاط ′ ,M M v′ تقع على استقامة واحدة

)صورة ثنائية : خاصة أساسية * ),A B هي ثنائية( ),A B′ ABتحقق ′ k A B′ ′= ⋅

|وبما أن | 1k )التحاكي ال يحافظ على المسافات(فالتحاكي ليس تقايسا ≠

| | 1 , 0k k< التحاكي لشكل هندسي هي عملية تصغير له ≠

| | 1k التحاكي لشكل هندسي هي عملية تكبير له <

x

y

M(x,y)

M (x ,y )′ ′ ′

v(a,b)

125

1kإذا كان : مالحظة = vMفإن − vM′ = −����� ����

فهو تقايس vتناظر بالنسبة إلى تحويل في هذه الحالة

)يحافظ على المسافات(

1kإذا كان vM فإن = vM′ =����� ����

تطبيق مطابق فهو تقايس التحويل في هذه الحالة

)يحافظ على المسافات(

0kعندما 0vM فإن = ′ =����� �

تطبيق ثابت يحول أي شكل إلى نقطة المبدأالتحويل في هذه الحالة

مركز التحاكي نقطة صامدة بهذا التحاكي*

دساتير التحاكي *

( , )M x y′ ′ )صورة ′ , )M x y وفق التحاكي الذي مركزه( , )v a b ونسبتهk فإن:

( ) , ( )x a k x a y b k y b′ ′− = − − = −

1)أو ) , (1 )x k x k a y k y k b′ ′= ⋅ + − = ⋅ + −

Mالشرط الالزم والكافي كي تكون: مبرهنة بتحاك Mصورة ′

}نسبته vمركزه }\ 0,1, 1k ∈ −ℝ

z: هو k z α′ = ⋅ عدد مركبαحيث ، +

126

)التحاكي الذي مركزه , )v a b ونسبتهk هو التحويل الهندسي

( ) ( )(1 ) (1 )z kx k a ky k b i′ = + − + + −

(1 )( )z k z k a bi′ = ⋅ + − zأو + k z α′ = ⋅ +

zإذا كان : وبالعكس k z α′ = ⋅ }حيث + }\ 0,1, 1k ∈ −ℝ وa b iα = + ∈ℂ

kωفإن ωنقطة صامدة صورة العدد vإذا كانت ω α= ⋅ )ومنه + )1 k ω α− =

ومنه 1 k

αω =−

وحيدة

zبما أن k z α′ = ⋅ kωو + ω α= ⋅ )بالطرح + )z k zω ω′ − = ⋅ −

)ومنه ) , ( )x a k x a y b k y b′ ′− = − − = −

Mأي )مركزه kبتحاك نسبته Mصورة ′ , )v a b

v(0,0)في الحالة الخاصة إذا كانت

x,فإن k x y k y′ ′= ⋅ + = ⋅

)ومنه ) ( ), ,f x y k x k y= ⋅ ⋅

)و )f z k z= zأو ⋅ k z′ = ⋅

x

y

M(x,y)

M (x ,y )′ ′ ′

o

127

: الدوران ا رابع

) :تعريف , )v a b نقطة ثابتة من المستوي الموجه

}و }\ :k kθ π∈ ∈ℝ ℤ

θوزاويته vنسمي دوران مركزه

Mالتحويل الهندسي الذي يرفق كل نقطة

Mبالنقطة vمن المستوي مختلفة عن من المستوي ′

vMبحيث vM )و =′ ),vM vM θ′ =

���� �����

)إذا كانت: مالحظة ),v a b و( , )M x y′ ′ )صورة ′ , )M x y

2عندما ,k kθ π= ∈ ℤ يكون( )( , ) ,f x y x y= التطبيق المطابق

2عندما ,k kθ π π= + ∈ ℤ يكون( )( , ) 2 , 2f x y a x b y= − )وهو تناظر بالنسبة إلى − ),v a b

: خاصة أساسية

)صورة ثنائية ),A B بالدوران الذي مركزهv وزاويتهθ هي ثنائية( ),A B′ ′

ABتحقق A B′ )و =′ ),A B A B θ′ ′ =

���� )يحافظ على المسافات(فالدوران تقايس ������

x

y

M(x,y)

M (x ,y )′ ′ ′

v(a,b)

θ

α

128

: دساتير الدوران

vMقياس زاوية αإذا كانت xمع المحور ���� x′فإن:

( ) ( )( )| | cos ,| | sinvM vM vMα α=���� ���� ����

)و ) ( )( )| | cos ,| | sinvM vM vMα θ α θ′ ′ ′= + +����� ����� �����

|بما أن | | |vM vM ′=���� فإن �����

( ) ( )( )| | cos cos sin sin ,| | sin cos cos sinvM vM vMα θ α θ α θ α θ′ = − +����� ���� ����

|لكن | cos , | | sinx a vM y b vMα α− = − =���� ����

)إذا ) ( ) ( ) ( )( )cos sin , sin cosvM x a y b x a y bθ θ θ θ′ = − − − − + −�����

) ومنه ) ( ) ( ) ( )cos sin , sin cosx a x a y b y b x a y bθ θ θ θ′ ′− = − − − − = − + −

)أي ) ( )( ) ( )

cos sin

sin cos

x x a y b a

y x a y b b

θ θθ θ

′ = − − − +′ = − + − +

)دساتير الدوران الذي مركزه وهي , )v a b وزاويته θ هو التحويل الهندسي

x

y

M(x,y)

M (x ,y )′ ′ ′

v(a,b)

θ

α

129

Mالشرط الالزم والكافي كي تكون: مبرهنة بدوران Mصورة ′

z: هو θزاويته vمركزه zω α′ = ⋅ α,حيث ، + ωأعداد مركبة و| | 1ω =

:لزوم الشرط

( ) ( )( ) ( ) ( )( )cos sin sin cosz x a y b a x a y b b iθ θ θ θ′ = − − − + + − + − +

)أو ) ( )( ) ( ) ( )( )cos sin sin cosz x a y b i x a y b a ibθ θ θ θ′ = − ⋅ − − + − ⋅ + − + +

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

cos sin sin cos

cos sin sin cos cos sin sin cos

cos sin cos sin

1

i i

i i

z x a y b i x a y b a ib

x y i x y a b i a b a ib

z x y i a b i a ib

z e x y i e a b i a ib

z e x y i e a b i

θ θ

θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

′ = − ⋅ − − + − ⋅ + − + +

= − + + − − + + + +

′ = + + − + + + +

′ = + − + + +

′ = + + − +

)أو )( )1i iz e z e a b iθ θ′ = + − zأي + zω α′ = |و + | 1ω =

zإذا كان : كفاية الشرط zω α′ = + ،| | 1ω =

فإن wنقطة صامدة صورة العدد المركب vوكانت

w wω α= ⋅ ومنه +1

wα

ω=

− حل وحيد فالنقطة الصامدة وحيدة

x

y

M(x,y)

M (x ,y )′ ′ ′

o

θ

α

130

zوبطرح المساواتين zω α′ = wو + wω α= ⋅ )نجد + )z w z wω′ − = −

zومنه w

z wω ′ −=

−|وبما أن | 1ω zهي زاوية ωوزاوية = w

z w

′ −−

)التي هي ),vM vM ′

���� vM و ����� vM ′=

Mأي )وزاويته vوفق دوران مركزه Mصورة ′ ), arg( )vM vM ω′ =

���� �����

v(0,0) مركز الدوران إذا كان : الحالة الخاصة

cos فإن sin

sin cos

x x y

y x y

θ θθ θ

′ = −′ = +

)و ) ( ), cos sin , sin cosf x y x y x yθ θ θ θ= − +

)و ) if z e zθ= أوiz e zθ′ =

)إذا كانت :النتيجة , )M x y صورة العدد المركبz x y i= +

)وكانت , )M x y′ ′ zصورة العدد المركب ′ x y i′ ′ ′= +

zوكان zω α′ = ⋅ ω,حيث + α أعداد مركبة

M فإن وفق تحويل هندسي Mهي صورة ′

131

:ونلخص هذه التحويالت وفق المخطط اآلتي

على التحويالت النقطية األمثلة

لدينا في المستوي المركب االنسحاب①u

t )الذي متجهه � 2,3)u −�

اكتب العبارة في األعداد المركبة لهذا االنسحاب�

5zصورة العدد المركب Nإذا كانت � i= Nو + بهذا االنسحاب Nصورة ′

zأوجد Nالعدد الذي صورته ′ ′

z zω α′ = ⋅ +

ωعدد مركب غير حقيقي ωعدد حقيقي

| | 1ω = { }\ 1ω ∗∈ ±ℝ 1ω = − 1ω =

التحويل هو دوران

حيث θزاويته ie θω vومركزه =

صورة العدد 1

αω−

التحويل هو تحاكي

kنسبته ω=

صورة vومركزه

العدد 1

αω−

التحويل هوانسحاب

)متجهه , )u a b�

a حيث b iα = +

التحويل هو تناظر بالنسبة إلى النقطة

v صورة العدد 2

α

132

)إذا كان� :الحل )u

t M M 2فإن �=′ 3z z i′ = − +

)بما أن � )u

t N N 2و �=′ 3z z i′ = − 5يكون + 2 3 3 4z i i i′ = + − + = +

)الذي مركزه hلدينا في المستوي المركب التحاكي ② 2,3)v −4ونسبته −

تحاكياكتب العبارة في األعداد المركبة لهذا ال�

1صورة العدد المركب Nإذا كانت � 2z i= Nو − بهذا التحاكي Nصورة ′

zأوجد Nالعدد الذي صورته ′ ′

)إذا كان�: الحل )h M M zفإن =′ k z α′ = )لكن + )h v v= أي( )2 3 4 2 3i i α− + = − − + +

10ومنه 15 iα = − 4أي عبارة التحاكي المفروض + 10 15z z i′ = − − +

)بما أن � )h N N 4و =′ 10 15z z i′ = − − 4يكون + 8 10 15 14 23z i i i′ = − + − + = − +

صورة العدد المركب vالذي مركزه rلدينا في المستوي المركب الدوران ③

3 1

2 2w i= − وزاويته +

3

π

اكتب العبارة في األعداد المركبة لهذا الدوران�

2صورة العدد المركب Nإذا كانت � 2z i= − Nو + بهذا الدوران Nصورة ′

zأوجد Nالعدد الذي صورته ′ ′

133

)إذا كان�: الحل )r M M zفإن =′ zω α′ = |و + | 1ω )argحيث = ) 2 :3

k kπω π= + ∈ℤ

3فيكون i

eπ

ω و =5

63 1 5 5cos sin

2 2 6 6

iw i i e

ππ π = − + = + =

)بما أن مركز التحاكي نقطة صامدة )r v v= أيw wω α= ⋅ +

فإن 5 5

6 3 6i i i

e e eπ π π

α= ⋅ +

ومنه 5 7

6 63 1 3 1

2 2 2 2

i ie e i i i

π π

α = − = − + + + =

3 ومنه i

z e z iπ

′ = ⋅ هي عبارة الدوران المفروضة +

)بما أن � )r N N 2و =′ 2z i= − +

أي 3

42 2

2 22 2

iz i e

π = − + =

3 و

iz e z i

π

′ = ⋅ +

يكون 3 13

3 4 122 2i i i

z e e i e iπ π π

′ = ⋅ + = +

ومنه

6 2 6 2 6 2 6 2 22

4 4 2 2z i i i

+ − + − −′ = − + + = − −

134

)التحويل النقطي في المستوي الذي يحول Tليكن ④ )M z إلى( )M z zوفق ′ zω α′ = +

:في كل من الحاالت ميزه ت التي عناصرالو Tعين طبيعة التحويل

( )( )

( )( )( )

1 , 2 3 1

, 1 2

1 3, 3 3

2 23 , 2 4

1 , 6 2 5

i

i i

i i

i

i

ω αω α

ω α

ω αω α

= = −

= − = +

= + = − +

= =

= − = −

الحل

( )1 , 2 3 1iω α= = −

,2)هو انسحاب متجهه Tالتحويل 3)u −�

( ), 1 2i iω α= − = +

2

ii e

π

ω−

= − عدد مركب غير حقيقي فالتحويل دوران =

زاويته 2

πθ = −

1صورة العدد المركب vمركزه و 1

1 1

i

i

αω

+= =− +

v(1,0) أي

135

( )1 3, 3 3

2 2i iω α= + = − +

31 3

2 2

ii e

π

ω = + عدد مركب غير حقيقي فالتحويل دوران زاويته =3

πθ =

3صورة العدد المركب vمركزه 3

1 1 3 1 31

2 2 2 2

i i

i i

αω

− + − += =−

− − −

)ومنه )( )( ) ( )

2 3 1 32 3 2

1 1 3 1 3 1 3

i ii

i i i

αω

− + +− += =− − − +

4وبالتالي 3 43

1 4

ii

αω

− += = − +−

)أي 3,1)v −

( )3 , 2 4iω α= = { }3 \ 1ω ∗= ∈ ±ℝ

3k التحويل الهندسي تحاكي نسبته صورة العدد المركب vمركزه و =

2

1 1 3

ii

αω

= = −− −

,0) أي 1)v −

( )1 , 6 2 5iω α= − = −

1ω = لنقطة بالنسبة) انعكاس(التحويل الهندسي تناظر −

3 صورة العدد المركب vمركزه 2

iα = ,3) أي − 1)v −

األستاذ أحمد أبو نبوت

136

)المعادالت التكعيبية(الدرجة الثالثة منالمعادالت : ابعسالفصل ال

3 : لتكن المعادلة 2 0az bz cz d+ + + =

,: حيث , , , 0a b c d a∈ ≠ℝ

tفرض ون aنقسم طرفي المعادلة على a

ds

a

cr

a

b === ;;

3 :تيفتأخذ المعادلة الشكل اآل 2 0z rz sz t+ + + =

) نفرض )....... 13

rz y= :نعوض في المعادلة فنجد −

0333

23

=+

−+

−+

− tr

ysr

yrr

y

0: بنشر األقواس 393

2279

33

32

232

23 =+

−+

+−+−+− t

rys

rryyr

rry

ryy

0:ومنه 393

2

273

1 322

3223 =+−++−+−+− t

rssy

ryrry

ryrryy

0:نرتب المعادلة 39273

2

3

1 33223 =

+−+−+

+−+ trsrr

ysrry

0 :ومنه 327

2

3

1 323 =

+−+

−+ trs

ryrsy

137

: لنفرض أن 2 3

, 23 27 3

r r rsp s q t= − = − +

) :بالتعويض بالمعادلة نجد )3 0.......... 2y py q+ + =

:نكون بهذه العمليات جعلنا القوى في المعادلة فردية ولحلها نفرض من جديد أن

( )....... 3u v y+ )على أن يكون = )3 ....... 4uv p=−

)بالتعويض في المعادلة ):نجد 1( ) ( )3 0u v p u v q+ + + + =

: بعمليات إصالح

( ) ( )

[ ]( )

3 2 2 3

3 3

3 3

3 3 0

3 0

3 0

u u v uv v pu pv q

u v uv u v p u v q

u v uv p u v q

+ + + + + + =

+ + + + + + =

+ + + + + =

pvuيحققان العالقة ,vuأن بماو :تصبح المعادلة 3..=−

3 3 0u v q+ + )أو = )3 3 ........u v q+ =− ∗

( )تكافئ 4( )

33 3. ........

3

pu v

= − ∗ ∗

)من ) ( ),∗ ∗ 3إن ∗ 3,u v مجموعهما q− وناتج ضربهما 3

3

p −

138

)فهما حالن للمعادلة ) ( )3

20

3

pK q K

+ − =

:لحلها K للمجهولمعادلة من الدرجة الثانية تعتبر

المميز نحسب 3 2 3

2 4 43 2 3

p q pq

∆ = + = + µفإذا كان أحد جذري المميز

:كان للمعادلة حالن

2 3 2 33 3

1 2,2 2 2 3 2 2 2 3

q q q p q q q pK u K v

µ µ− + − − = = = − + + = = = − − +

uو vأو العكس وهو غير مهم بسبب التناظر في الفرضيات بين

∆0:فإذا كان : أوال > : كان للمعادلة جذر حقيقي وجذران عقديان مترافقان

:نجدهما uو vنوجد ℝوفي

2 3 2 3

3 3,2 2 3 2 2 3

q q p q q pu v

= − + + = − − +

:وهي ℂبمالحظة الجذور التكعيبية للعدد واحد في مجموعة األعداد العقدية

( ) ( )1 2 3

1 11 , 1 3 , 1 3

2 2i iω ω ω= = − + = − −

3التي تحقق uو vبمعالجة خيارات 3u v q+ pvu و −= :نجد 3..=−

139

1 1 1y u v u vω ω= ⋅ + ⋅ = +

( ) ( )3 31 12 2 2 22 2 3

3 31 12 2 2 22

2

. .

32 2

y u v u i v i

y u ui v vi

u v u vy i

ω ω= + = − + + − −

= − + − −

+ − = − +

( ) ( )3 31 12 2 2 23 3 2

3 31 12 2 2 23

3

.

32 2

y u v u i v i

y u ui v vi

u v u vy i

ω ω= + = − − + − +

= − − − +

+ − = − −

:النتيجة

( )1

2

3

3

32 3 2

32 3 2

rz u v

u v r u vz i

u v r u vz i

= + −

+ − = − − +

+ − = − − −

3 : المعادلة المركبة األعداد مجموعة في حل مثال 22 2 0z z z− + − =

)نفرض :الحل )2

....... 13

z y= +

140

)نبدل 3في المعادلة المفروضة 1( 2 24 8 8 8 22 2 2 0

3 27 3 9 3y y y y y y+ + + − − − + + − =

) :وباإلصالح )3 1 520......... 2

3 27y y− − =

): نفرض ).....u v y+ = )و ∗ )1

3 .....3

u v⋅ = ∗ )بالتبديل بالمعادلة ∗ :نجد 2(

( ) ( )3 1 520

3 27u v u v+ − + − =

)ومنه ) ( )3 3 1 523 0

3 27u v u v u v u v+ + ⋅ + − + − )بمالحظة = )∗ تكتب المعادلة ∗

( )3 3 52......... 3

27u v+ )ولدينا من = )∗ )نجد ∗ )

33 3 1

..... 49

u v ⋅ =

)المعادلتان )و3( :جذران للمعادلة 3vو 3uتدل على أن 4(

( ) ( )3

2 52 10

27 9K K

− + =

: ومميز هذه المعادلة 2 3

52 1 3004

27 9 9

∆ = − =

: يكون 3

31

26 27 3 2 3

27 3K u

+ + = = =

و 3

32

26 27 3 2 3

27 3K v

− − = = =

141

ومنه 2 3 2 3

,3 3

u v+ −

= 4ومنه =

3y u v= + 2rولدينا = = −

:بالتعويض بالقوانين

( )1

2

3

3

32 3 2

32 3 2

rz u v

u v r u vz i

u v r u vz i

= + −

+ − = − − +

+ − = − − −

1: نجد الحلول 2 3

4 22 , ,

3 3z z i z i= + = = = −

∆0 :إذا كان : ثانيا =

)مكرر مرتين(مضاعف كان للمعادلة جذر حقيقي مكرر ثالث مرات أو جذر حقيقي بسيط وجذر

:والحلول هي

( )1

2 3

3

2 3

rz u v

u v rz z

= + −

+ = = − −

142

:مثال

3: حل في مجموعة األعداد المركبة المعادلة 215 33 847 0z z z− − + =

:الحل

)نفرض )5....... 1z y= +

)نبدل في المعادلة المفروضة 1(

3 2 215 75 125 15 150 375 33 165 847 0y y y y y y+ + + − − − − − + =

) :وباإلصالح )3 108 432 0......... 2y y− + =

): نفرض ).....u v y+ = )و ∗ )3 108.....u v⋅ = ∗ )بالتبديل بالمعادلة ∗ :نجد 2(

( ) ( )3 108 432 0u v u v+ − + + =

)ومنه ) ( )3 3 3 108 432 0u v u v u v u v+ + ⋅ + − + + )بمالحظة = )∗ تكتب المعادلة ∗

( )3 3 432......... 3u v+ = )ولدينا من − )∗ )نجد ∗ ) ( )33 3 36 ..... 4u v⋅ =

)المعادلتان )و3( :جذران للمعادلة 3vو 3uتدل على أن 4(

( ) ( ) ( )2 3

432 36 0K K+ + =

( ) ( )2 3

432 4 36 0∆ = − =

143

3ومنه 3 216u v= = −

6uأي v= 5ومنه حلول المعادلة مع مالحظة −=3

r= −

( )1

2 3

3

2 3

rz u v

u v rz z

= + − + = = − −

أي 1

2 3

7

11

z

z z

= − = =

∆0:إذا كان : ثالثا < كان للمعادلة ثالث جذور حقيقية

أي 3 2 3

2 4 4 03 2 3

p q pq

∆ = + = + < فإن له جذر

2 3

22 3

q piµ

= − −

يكون 2 3

3

2 2 3

q q pu i

= − + − − و

2 33

2 2 3

q q pv i

= − − − −

ننتقل إلى الصيغة المثلثية للعدد المركب ℂإليجاد الجذور التكعيبية لهما في

أو للصيغة األسية للعدد المركب

3بفرض iu e

θρ= فإن

2 2 32

2 2 3

q q pρ

= − − أي

32

27

pρ ومنه −=

3

27

pρ = −

0pفإن >∆0: الحظ cosو >2

qθ

ρ

−و =

( ) ( )2 3

2 3sin

q p

yθρ ρ

− −

= = ±

144

1 2 1 2

3 3 3 3,k k

i i

u e u eθ π θ π

ρ ρ+ +

−

= =

u,الحظ v مترافقان و vuy :فان =+

+=

+=

=

3

4

3cos.2

3

2

3cos.2

3cos.2

3

1

3

3

1

2

3

1

1

πθρ

πθρ

θρ

y

y

y

وبالتالي مجموعة حلول المعادلة

1

31

1

32

1

33

2 .cos3 3

22 .cos

3 3 3

42 .cos

3 3 3

rz

rz

rz

θρ

θ πρ

θ πρ

= −

= + −

= + −

يمكن الحصول على الجذور التكعيبية بالتجريب إن لم تكن الزاوية شهيرة :مالحظة

أو لم نستخدم اآللة الحاسبة

145

3: حل في مجموعة األعداد المركبة المعادلة مثال 22 2 0z z z− − + =

)نفرض :الحل )2

....... 13

z y= +

)نبدل 3في المعادلة المفروضة 1( 2 24 8 8 8 22 2 2 0

3 27 3 9 3y y y y y y+ + + − − − − − + =

) :وباإلصالح )3 7 200......... 2

3 27y y− + =

): نفرض ).....u v y+ = )و ∗ )7

3 .....3

u v⋅ = ∗ )بالتبديل بالمعادلة ∗ :نجد 2(

( ) ( )3 1 200

3 27u v u v+ − + + =

)ومنه ) ( )3 3 1 203 0

3 27u v u v u v u v+ + ⋅ + − + + )بمالحظة = )∗ تكتب المعادلة ∗

( )3 3 20......... 3

27u v+ = )ولدينا من − )∗ )نجد ∗ )

33 3 7

..... 49

u v ⋅ =

)المعادلتان )و3( :جذران للمعادلة 3vو 3uتدل على أن 4(

( ) ( )3

2 20 70

27 9K K

+ + =

): ومميز هذه المعادلة ) ( )2 3 2 2

20 7 1 24 400 1372 3

27 9 27 3

∆ = − = − = −

146

: يكون 3

31

10 9 3 2 3

27 3

i iK u

− + + = = =

و 3

31

10 9 3 2 3

27 3

i iK u

− − − = = =

2أي 3 2 3,

3 3

i iu u

+ −= =

ومنه 2 4 2

23 3 3

z u v= + + = + =

:عندئذ يمكن متابعة الحل بكتابة المعادلة بالشكل

2( 2)( ) 0z z az b− + + )ثم تكتب = ) ( )3 22 2 2 0z a z b a z b+ − + − − =

a,وتحسب b 2بالمطابقة نجد 2 , 2 1 , 2 2a b a b− =− − =− − =

0ثم نحل هذه الجملة نجد , 1a b= = تكتب المعادلة −

2( 2)( 1) 0z z− − 2وحلولها = , 1 , 1z z z= = = −

3وجدنا فيما سبق لحل :الخالصة 2 0az bz cz d+ + + =

, , , , 0a b c d a∈ ≠ℝ المراحل اآلتية :

0aنقسم طرفي المعادلة على )1 ,ونفرض ≠ ,b c dr s t

a a a= = =

147

3: نجد المعادلة من الشكل 2 0z rz sz t+ + + =

) نفرض) 2 )1

........3

z y r= − ∗

) :صالح نجد البا )3 0........ 1y py q+ + =

)نفرض ) 3 ).......u v y+ = ∗ 3uvعلى أن يكون ∗ p=− نجد المعادلة :

033 =++ qvu 3بالحل المشترك معuv p=− نجد:

( ) ( ) 03

3323 =

−+ puqu مميزها

32

42 3

q p ∆ = +

µإذا كان أحد جذريه

3نجد 3,2 2

q qu v

µ µ− + − −= =

u,نحسب v باالستفادة من جذور العدد واحد فيℂ

)وهي ) ( )1 2 3

1 11 , 1 3 , 1 3

2 2i iω ω ω= = − + = − −

148

)من ) 4 )∗ yنجد ∗ u v= )نبدل في + 1نجد ∗(

3z y r= −

:نميز الحاالت

∆0حالة حل حقيقي وحالن عقديان مترافقان: <

( )1

2

3

3

32 3 2

32 3 2

rz u v

u v r u vz i

u v r u vz i

= + −

+ − = − − +

+ − = − − −

∆0حالة الحلول حقيقية حل مكرر ثالث مرات أو حل بسيط وحل مضاعف : =

( )1

2 3

3

2 3

rz u v

u v rz z

= + −

+ = = − −

∆0حالة ثالث حلول حقيقية : >

1

31

1

32

1

33

2 .cos3 3

22 .cos

3 3 3

42 .cos

3 3 3

rz

rz

rz

θρ

θ πρ

θ πρ

= −

= + −

= + −

149

حيث 3

27

pρ = cosو −

2

qθ

ρ

−و =

( ) ( )2 3

2 3sin

q p

yθρ ρ

− −

= = ±

)للمعادلة : الحاالت الخاصةمناقشة )3 0.......... 2y py q+ + =

0q إذا كانت ① p= )تصبح المعادلة = )1 :3 0y 0yلها حل وحيد = =

)بالتعويض في 1نجد للمعادلة المفروضة حل وحيد ∗(

3x r=−

0 إذا كانت ② , 0q p≠ )تصبح المعادلة = )1:3y q= −

:هي في مجموعة األعداد المركبة 1 فإذا الحظنا أن الجذور التكعيبية للعدد

( ) ( )1 2 3

1 11 , 1 3 , 1 3

2 2i iω ω ω= = − + = − −

3yفإن للمعادلة q= :ثالثة حلول هي ℂفي مجموعة األعداد المركبة −

( )

( )

3 31 1

3 32 2

3 33 3

11 3

21

1 32

y q q

y q q i

y q q i

ω

ω

ω

= − = − = − = − − + = − = − − −

:للمعادلة المفروضة ثالث جذور هي نإوبالتالي ف

( )

( )

31

32

33

1

31 1

1 32 31 1

1 32 3

x q r

x q i r

x q i r

= − − = − − + − = − − − −

150

0 إذا كانت ③ , 0q p= :نميز حالتين ≠

� 0>p

)تصبح المعادلة )1 :3 0y py+ )2 ومنه = ) 0y y p+ =

:ثالثة حلول هي ℂفي مجموعة األعداد المركبة لها

1 2 30 , ,y y p i y p i= = = −

:للمعادلة المفروضة ثالث حلول وبالتالي

1 2 3

1 1 1, ,

3 3 3x r x r p i x r p i= − = − + = − −

� 0<p تصبح المعادلة( )1 :3 0y py+ )2ومنه = ) 0y y p+ =

:ثالثة حلول هي ℝفي مجموعة األعداد الحقيقية لها

1 2 30 , ,y y p y p= = − = − −

:للمعادلة المفروضة ثالث حلول وبالتالي

1 2 3

1 1 1, ,

3 3 3x r x r p x r p= − = − + − = − − −

األستاذ أحمد أبو نبوت

151

تمرينات العامةال

� )لدينا المعادلة �1 ) ( )21 3 2 0i z i z i− − + + =

zتحقق أن � i= حال لمعادلة ثم أوجد الحل اآلخرz ′

z واحسب بهذه الصيغة اكتب كل من جذري المعادلة بالصيغة األسية� z zو ⋅′

z

′

zللعددأوجد الجذور من المرتبة الخامسة ومثل هذه الجذور بمتجهات ′

: الحل

z العدد دلةانبدل في المع � i= نجد ( ) ( ) ?21 3 2 0i i i i i− − + + =

1ومنه 3 1 2 0i i i− + − + + محقق =

zأي i= جذر للمعادلة

b نعلم أن إليجاد الحذر اآلخر z z

a′+ = )أي − )( )

( )( )

3 131 2

1 1 1

i iii z i

i i i

+ ++′+ = = = +

− − +

1ومنه 2i z i′+ = 1zأي + i′ = +

4 الصيغ األسية للجذرين �1 1

2 22 2

i

z i eπ ′ = + =

،2i

z i eπ

= =

152

3

4 2 42 2i i i

z z e e eπ π π

′⋅ = ⋅ = ،4

4

2

22

ii

i

z ee

ze

ππ

π

−′= =

2i

z i eπ

= الصيغة المشتركة للجذور من المرتبة الخامسة =2

25 :

ki

k e k

π π

ω+

= ∈ℤ

4

10 :k

i

k e kπ π

ω+

= ∈ℤ

: والجذور هي

9 13 17

10 10 10 1020 1 2 3 4, , , ,

i i i iie e e e e

π π π ππ

ω ω ω ω ω= = = = =

1rفي دائرة نصف قطرها صور هذه الجذور رؤوس مضلع منتظم =

x

y

0ω

1ω

2ω

3ω 4ω

10

π

2

5

π2

5

π

2

5

π

2

5

π

2

5

π

153

[ )لدينا المعادلة 2[ )3 22 2 1 0z z i z i− + − − + =

λإذا علمت أن للمعادلة حل حقيقي � ∈ℝ أوجد هذا الحل

a,أوجد� b ∈ℂ بحيث( )( )2 0z z a z bλ− + + ثم أوجد مجموعة حلول المعادلة =

,إذا كانت ,A B C صورا لجذور المعادلةA صورة الجذر الحقيقي λ

Bاحسب A

C A

z z

z z

−−

BACواستنتج قياس الزاوية

: حلال

� λ ∈ℝ أي حل فهو يحقق المعادلة( )3 22 2 1 0i iλ λ λ− + − − + =

)باإلصالح )3 22 2 1 1 0iλ λ λ λ− + − + − =

) تكافئو )( )

3 22 2 1 0.... 1

1 0....................... 2

λ λ λλ

− + − =

− =

)من 1λنجد 2( )نبدل في = )نجد 1( ) ( ) ( )3 21 2 1 2 1 1 0− + − محقق =

1λإذا هو الحل الحقيقي المطلوب =

� ( ) ( )21 0z z a z b− + + =

3تكافئ 2( 1) ( ) 0z a z b a z b+ − + − − =

154

:بالمطابقة مع المعادلة المفروضة نجد

{ 1 2 , 2 , 1 }a b a i b i− = − − = − − = −

1لها حل مشترك , 1a b i= − = −

)تكتب المعادلة )( )21 1 0z z z i− − + − =

1zإما =

2أو 1 0z z i− + − 23مميزها ، = 4 (1 2 )i i∆ = − + = 1أحد جذريه + 2iµ = +

1الحالن اآلخران للمعادلة 21 ,2 2

b bz i z i

a a

µ µ− + − −= = + = = −

}مجموعة حلول المعادلة }1 21 , 1 ,S z z i z i= = = + = −

{ }1 , 1 ,A B CS z z i z i= = = + = −

1يكون

1 2B A

C A

z z i i

z z i

− − −= =− − −

�arg B A

C A

z zBAC

z z

−=

−

ومنه 3

41 1 1 1

2 2 2 2

iB A

C A

z zi e

z z

π−− = − − = −

ومنه ( )3| | 135

4BAC

π= − = �

155

� 1wليكن العدد المركب �3 =

0أوجد � 1 2 3 4, , , ,ω ω ω ω ω 1جذور العددw من المرتبة الخامسة =

1واذا فرضنا 4a ω ω= 2و + 3b ω ω= 1برهن أن + 0a b+ + 1و = 0a b⋅ + =

a,تحقق أن � b 2حالن للمعادلة 1 0z z+ − =

4بين أن 1 1ω ω= ثم احسبa 2بداللة

cos5

π

2حل المعادلة � 1 0z z+ − 2واستنتج قيمة =cos

5

π

) : الحل )01 iw e= =

الصيغة المشتركة للجذور من المرتبة الخامسة � 2

5 :k

i

k e kπ

ω = ∈ℤ

:والجذور هي

( )2 4 6 8

0 5 5 5 50 1 2 3 41 , , , ,

i i i iie e e e eπ π π π

ω ω ω ω ω = = = = = =

0 1 2 3 41 0a b ω ω ω ω ω+ + = + + + + =

حسب خاصية مجموع جذور عدد مركب تساوي الصفر

156

( ) ( )1 4 2 3 1 2 1 3 4 2 4 3

2 24 6 8 4 8 65 55 5 5 5 5 5

1

1 1i ii i i i i i

a b

a b e e e e e e e eπ ππ π π π π π

ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

⋅ + = + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

6 8 12 14

5 5 5 51 1i i i i

a b e e e eπ π π π

⋅ + = + + + +

6 8 2 4

5 5 5 51 1i i i i

a b e e e eπ π π π

⋅ + = + + + +

3 4 1 21 1 0a b ω ω ω ω⋅ + = + + + + )مجموع جذور عدد مركب تساوي الصفر( =

� 2 1 0z z+ − =

1نبدل 4a ω ω= نجد +

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

?2

1 4 1 4

2 8?2 2 5 51 4 1 4 1 4 1 4

4 6 2 8 ?5 5 5 5

1 0

2 1 0 : 1

2 1 0

i i

i i i i

e e

e e e e

π π

π π π π

ω ω ω ω

ω ω ω ω ω ω ω ω

+ + + − =

+ + ⋅ + + − = ⋅ = ⋅ =

+ + + + − =

2ومنه 3 1 4 1 0ω ω ω ω+ + + + محقق =

1 أي أن 4a ω ω= جذرا للمعادلة المفروضة +

2 ونبدل 3b ω ω= في المعادلة +

) نجد ) ( )?2

2 3 2 3 1 0ω ω ω ω+ + + − =

8 2 4 6

5 5 5 52 1 0i i i i

e e e eπ π π π

+ + + + − =

2 1 0z z+ − =

157

4 ومنه 1 2 3 1 0ω ω ω ω+ + + + محقق =

2أي أن 3b ω ω= جذرا للمعادلة المفروضة +

41 1ω ω= ،

88 224 55 5

1 1

ii ie e e

ππ ππω ω

− − = = = =

1 نعلم بالفرض 4a ω ω= +

4ومنه 1 1 1 1 1

22 Re( ) 2cos

5a

πω ω ω ω ω= + = + = =

2 1 0z z+ − ∆5مميزها = =

1وجذراها 2

1 5 1 50 , 0

2 2z z

+ −= > = <

2بما أن cos 0

5

π 2 ألن الزاوية <0,

5 2

π π ∈

حادة

1a فإن z= 2 أي 1 52cos

5 2

π +=

2إذا 1 5cos

5 4

π +=

158

� 1لتكن األعداد المركبة �4 , 1 , 1i iA B Cz e z e zθ θ= + = − =

Aاحسب � C

B C

z z

z z

−−

,واستنتج أن النقاط ,A B Cتقع على استقامة واحدة

Cمتناظرتان بالنسبة إلى Aو Bبين أن �

B,طويلة وزاوية كل من θعين بداللة � Az z

Aأثبت أن �

B

z

z عدد تخيلي بحت

ℝفي θعندما تتغير Aعين مجموعة النقاط �

:الحل

� 1 11

1 1

i iA C

i iB C

z z e e

z z e e

θ θ

θ θ− + −= = = −− − − −

،�arg B A

C A

z zBAC

z z

−=

−

,عدد حقيقي فالنقاط ,A B C تقع على استقامة واحدة

� 12

A BC

z zz

+ = Cمتناظرتان بالنسبة إلى Aو Bفتكون =

� 2 2 21i i ii

Az e e e eθ θ θ

θ − = + = +

cosحسب دستور أويلر 2

i ie eα α

α−+ 22cosنكتب =

2

i

Az eθθ= ⋅

159

|أي | 2cos , arg( )2 2A Az zθ θ= =

2 2 2 21 2 sin2

i i i iiBz e e e e i e

θ θ θ θθ θ−

= − = − − = − ⋅

sinحسب دستور أويلر 2

i ie e

i

α α

α−− 22sinفإن =

2

i

Bz eθ πθ −

= ⋅

|أي | 2sin , arg( )2 2B Bz zθ θ π−= =

� 2

2 2

2

2cos2 cot

22sin

2

i

iA

iB

eze

ze

θ

θ θ π

θ π

θθ

θ

− −

−

⋅= =

⋅

2cot cot2 2

iA

B

ze i

z

πθ θ = وهو عدد تخيلي بحت =

� 1 cos sinAz iθ θ= + +

1 cos

sin

x

y

θ

θ

= + =

ومنه 1 cos

sin

x

y

θ

θ

− = =

)بالتربيع والجمع )2 21 1x y− + )وهي معادلة دائرة مركزها = 1rنصف قطرها 1,0( =

[ ]

[ ]

1 cos 1,1

sin 1,1

x

y

θ

θ

− = ∈ − = ∈ −

ومنه [ ]

[ ]

0,2

1,1

x

y

∈ ∈ −

كامل نقط الدائرة السابقةAمجموعة النقاط

160

� �5

4ـوجد الجذران التربيعيان للعدد المركب أ � 3w i= −

)لدينا المعادلة � ) ( )3 22 4 1 16 1 0z z i z i+ + − + + + =

حل المعادلة إذا علمت أن لها حل تخيلي بحت

الدوران إذا كانت �

قائم ومتساوي الساقين واستنتج أن المثلث احسب

الدورانوفق هذا صورة وتكون اكتب عبارة الدوران الذي مركزه �

2أوجد الجذور التكعيبية للعدد � Cz واكتبها بالصيغة الجبرية

:الحل

xإذا فرضنا � yiω = 4جذر تربيعي للعدد + 3w i= 2: فإن − wω وينتج عن ذلك =

( )( )( )

2 2

2 2

4....... 1

5......... 2

2 3.............. 3

x y

x y

xy

− = + = = −

)بجمع )و 1( 22نجد 2( 9x 3 ومنه =

2x = ±

4 , 2 , 2 2A B Cz z i z i= − = = −

C B

A B

z z

z z

−−

ABC

BAC

161

)بطرح )من 1( 22 نجد 2( 1y 1 ومنه=

2y = ±

)المعادلة )Reتدل على أن 3( ) , Im( )x x y z= من نفس إشارتين مختلفتين =

) : الجذران هما ) ( )1 2

1 13 , 3

2 2i iω ω= − = − +

yإذا فرضنا الحل التخيلي البحت� i فهو يحقق المعادلة فإن

( ) ( ) ( )3 22 4 1 16 1 0y i y i i y i− − + − + + + وتكافئ =

( )( )

3

2

4 16 0......... 1

2 4 16 0......... 2

y y

y y

− − + =

− − + =

)بحل المعادلة الثانية )2 2 8 0......... 2y y+ − 4نجد = , 2y y= − =

2y من هذين الحلين الحل )هو الذي يحقق المعادلة = )1

2zفالحل التخيلي البحت للمعادلة المفروضة i=

)تكتب المعادلة المفروضة )( )22 0z i z a z b− + + =

)وتكافئ ) ( )3 22 2 2 0z a i z b i z b i+ − + − − بالمطابقة مع المعادلة المفروضة نجد =

( )( )

2 2

2 4 4

2 16 16

a i

b a i i

b i i

− =

− = − +− = +

2حل مشترك ذه المعادالتوله 2

8 8

a i

b i

= + = − +

162

) تكتب المعادلة المفروضة ) ( )( )22 2 2 8 8 0z i z i z i− + + − + =

2zإما i=

)أو )2 2 2 8 8 0z i z i+ + − + )ومميزها = )8 32 32 8 4 3i i i∆ = + − = −

) حسب الطلب األول له جذران ) ( )1 22 3 , 2 3i iµ µ= − = − +

)للمعادلة )2 2 2 8 8 0z i z i+ + − + )ليكن و∆ يذر أحد جمن أجل حالن = )2 3 iµ = −

1

2 2 6 22 2

2 2

b i iz i

a

µ− + − − + −= = = −

2و

2 2 6 24

2 2

b i iz

a

µ− − − − − += = = −

}مجموعة حلول المعادلة }2 ,2 2 , 4S i i= − −

�

قائم في تخيلي بحت فالمثلث بما أن

فإن بما أن

Bوبرهنا أنه قائم في فالمثلث متساوي الساقين أي

( )4 22 2 2 2 4

4 2 4 2 4 2C B

A B

i iz z i i ii

z z i i i

− −− − − −= = = =− − − − − − −

C B

A B

z z

z z

−−

ABCB

| | 1C B

A B

z zi

z z

− = =−C B A Bz z z z− = −

AB CB=

163

zعبارة الدوران � zω α′ = +

: مركز الدوران هي النقطة الوحيدة الصامدة وهي

أي

وفق هذا الدوران صورة ,و

نجد من وبطرح

ومنه

زاوية الدورانأي أن ومنه

وعبارة الدوران المطلوبة نجد بالتبديل في

2أوجد الجذور التكعيبية للعدد � Cz

( )22 22 2 8 8i

Cz i i eπ−

= − = − =

}الصيغة المشتركة للجذور التكعيبية }2

6 32 : 0,1, 2k

i

k e kπ π

ω − + = ∈

فهي 7

6 620 1 22 , 2 , 2

i iie e e

π ππ

ω ω ω−

= = =

:والصيغة الجبرية لهذه الجذور

B2Bz i=

( )2 2 ..... 1i i ω α= +

AC( ) ( )4 2 2 ..... 2i ω α− = − +

( )2( )1( )4 2 2 4i i ω+ = − +

( )2 44 2

2 4 2 4

i iii

i iω

− − ++= = = −− + − +

2i

i eπ

ω−

= − =2

πθ = −

( )12 2 iα = − +2 2z i z i′ = − − +

164

0

1

2

2 cos sin 36 6

cos sin 22 2

7 7cos sin 3

6 6

i i

i i

i i

π πω

π πω

π πω

− − = + = −

= + =

= + = − −

� 4 لتكن المعادلة �6 2(1 ) 0z i z i− + + zحيث = ∈ ℂ

بالصيغة الجبرية واكتبهاأوجد مجموعة حلول المعادلة �

λحقيقيناتج قسمة أحد الجذرين غير الحقيقيين على اآلخر هو عدد تساويأثبت � ∈ ℝ

8وأوجد مجموعة حلول المعادلة � 0z λ+ ومثلها بالمستوي مكتوبة بالصيغة الجبرية =

: الحل

22مميز المعادلة � 4 2 (1 )i i i i∆ = − = − = 1أحد جذريه − iµ = −

2إما 1 11

2 2

b i iz

a

µ− + + + −= = =

2و 1 1

2 2

b i iz i

a

µ− − + − += = =

2حالة 1z 1z لها حلين = = ±

2حالة 2i

z i eπ

= لها حلين =

165

4 إما 2 2

cos sin4 4 2 2

iz e i i

π π π= = + = +

أو 5

45 5 2 2

cos sin4 4 2 2

iz e i i

π π π= = + = − −

جذرا المعادلة المفروضة غير الحقيقيين � 5

4 41 2,

i i

z e z eπ π

= =

: وحاصل قسمة أحدهما على اآلخر

5

4 41 2

5

42 14

1 , 1

i i

i i

ii

z e z ez e z ez z

ee

π π

π π

ππ

−= = = = − = = = =−

1λ إذا =−

8المعادلة � 0z λ+ 8تكتب = 1z 8من المرتبة zحلولها هي جذور =

)تكتب المعادلة )08 iz e= والصيغة المشتركة لحلولها

{ }2

8 4 : 0,1,2, 3, 4,5,6,7k k

i i

kz e e kπ π

= = :فهي ∋

( )0

0 1i

z e= = ،( )41

21

2

i

z e iπ

= = + ،22

i

z e iπ

= = ،( )3

43

21

2

i

z e iπ

= = − +

4 1i

z eπ

= = − ،( )5

45

21

2

i

z e iπ

= =− + ،3

26

i

z e iπ

= =− ( )7

47

21

2

i

z e iπ

= = −

166

�� ا���� وا����ء ا�� هللا �� ���ن

ال تنسونا من صالح دعائكم

٢٠١٣- ٩- ١٣ –درعا –األستاذ أحمد أبو نبوت سوريا

-1 1

-1

1

x

y

0ω

1ω

2ω

3ω

4ω

5ω

6ω

7ω

o