التوازي و منتصفات أضلاع المثلث

التىازي و منتصفاث أضـــالع مثلث

. الهشمي عبد اإلله: إعداد إعداديالثانيت: المستىي الرياضياث: مادة

: احلل 1

(1

(2(EF) // (BC)

AEF

EFABC

B[AE]

(EF) // (BC)

C [AF]

(3

*

ABC

M[AB]

1

2MN BC

N [AC]

II _ املستقيم املار من منتصف أحد أضالع مثلث و املوازي حلامل الضلع الثاني :

: مثال – 1)

ABCM[AB]

( )M(BC)

[AC]N

N[AC]

: خاصية – 2)

*

ABC مثلث :

M منتصف[AB]

إذا كان و

مستقيم يمر مه M و يوازي (BC) ويقطع [AC] في N

. [AC] منتصف N: فإن



2

*

ABCDOM[AB]

(OM)[CD]N

N[CD]

(1

(2N[CD]

((OM) // (AD)

ABC

O[AC])(

M[AB]

(OM) // (AD)

ABCD(BC) // (AD)

(OM) // (AD)

(N[CD]

ADC

O[AC])(

(OM)M(AD)[DC]N

N[AD]

III _ املستقيم املوازي لضلع يف مثلث :

: مثال – 1)

ABC

M[AB]

(MN) // (BC)

N[AC]

AM AN MN

AB AC BC

: خاصية – 2)

ABC



3 M [AB]

AM AN MN

AB AC BC

N[AC]

:مترين تطبيقي *

ABC

M[AB]N[AC]

1

2

AM AN MN

AB AC BC

:احلل

(1

(21

2

AM AN MN

AB AC BC

((BC) // (MN)

ABC

M[AB]

(MN) // (BC)

N[AC]

M AB

N AC

(MN) // (BC)AM AN MN

AB AC BC

M[AB]

N[AC]

1

2MN BC

1

2

MN

BC

1

2

AM AN MN

AB AC BC

ثالمستقيماث الهـامــت في مثل

. الهشمي عبد اإلله: إعداد إعداديالثانيت: المستوى الرياضياث: مادة

1 I _ واسطــات مجلح :

: التعريف – 1)

: مجال – 2)

ABC(D)

[BC]

(D)

ABC

: مركز الدائرة احمليطة مبجلح – 3)

: تعريف *

: مجال *

ABC

( C )ABC

O

: مالحظة هامة *

II _ منصفات مجلح :


: مجال – 2)

ABC[BM)

ÂBC

[BM)

ABC

: مركز الدائرة احملاطة مبجلح – 3)

: تعريف *

: مجال *

ABC

ABC

O



2

مالحظة هامة*

III _ إرتفاعات مجلح :


: مجال – 2)

ABC(AH)A

(BC)H

(AH)ABC[BC]

: مالحظة هاهة *

(AH)

[AH]AH

: حالة خاصة *

ABCÂBC

H[BC]

: مركز تعامد مجلح – 3)

: تعريف *

: مجال *

ABC

OABC



3

_IV متوسطات مجلح :


: مجال – 2)

ABC(D)AM[BC]

(D)ABC

: مركز ثقل مجلح – 3)

: تعريف *

مركز ثقل مثلث هي نقطة تالقي متوسطاته

: مجال *

ABC

GABC

: خاصية *

منتصف M مركز ثقله بحيث G مثلث و ABCإذا كان

[BC]فإن:AM 2

3 = AG

تقديــم األعــداد الـجــذريــت

. الهشمي عبد اإلله: إعداد إعداديالثانيت: المستوى الزياضياث: مادة

1 I _ العدد اجلذري :

: تعزيف – 1)

b على عذد صحح وسث غش مىعذم aالعذد الجزسي هو خاسج عذد صحح وسث

: و كتة a

b

: أمثلة – 2)

: األعذاد اتح ه أعذاد جزسح 2

3

و

5

4

و

23

7 و

11

2.

: مالحظات هامة *

وعتثش العذد الجزسي -- ) أa

b.

a سمى الثسط و b سمى لمقام .

: مكه كتاتح العذد الجزسي على شكــل -- )ب2,5

3

;;

1

0,5 ;;

3,7

2,4

: إشارة عدد جذري – 3)

كون عذد جزسي – 1a

b . وفس اإلشاسج b و a موجثا إرا كان للعذده

كون عذد جزسي – 2a

b . إشاسته مختلفتهb و a سالثا إرا كان للعذده

:أمثلة

17

11 و

13

5

. عذدان جزسان موجثان

11

5

و

3

16 . عذدان جزسان سالثان

: مالحظة هامة * a a a

b b b

: العدد اجلذري و املعادالت – 4)

العذد الجزسي a

bbx هو حل المعادلح a تحث :

a عذد عششي وسث و bعذد عششي وسث غش مىعذم .

: أمثلة *

2 حــل المعادلح ** 5x هو العذد الجزسي 5

2.

3 حــل المعادلح ** 1x هو العذ الجزسي 1

3

.

4 حــل المعادلح ** 3x هو العذد الجزسي 3

4

II _ تساوي عددين جذريني :

: قاعــدة – 1)

a

b و

x

y . عذدان جزسان

تقديــم األعــداد الـجــذريــت

. الهشمي عبد اإلله: إعداد إعداديالثانيت: المستوى الزياضياث: مادة

2 a x

b y عى أن :a y b x

:1 مثال– 2)

لىقاسن العذده الجزسه * 2

5 و

4

10

.

: لذىا

4 ( 5) 20

10 2 20

عى أن

4 ( 5) 10 2

: و مىه فإن 4 2

10 5

: 2 مثال– 3)

لىقاسن العذده الجزسه *3

6 و

8

12.

: لذىا

8 6 48

12 3 36

8 عى أن 6 12 3

: و مىه فإن 3 8

6 12

جمنــوع و فــزق عـددين جــذريني

I _ جمنوع و فزق عددين جذريني :

:1 قاعذج – 1)

a

b و

c

b. عذدان جزسان

a c a c

b b b

و

a c a c

b b b

: أمثلة *

2 11 2 11 9

5 5 5 5

3 5 3 5 3 5 8

7 7 7 7 7 7

6 5 6 ( 5) 6 5 111

11 11 11 11 11

: 2 قاعدة – 2)

a

b و

c

d. عذدان جزسان

a c ad bc ad bc

b d bd bd bd

و

a c ad bc ad bc

b d bd bd bd



1 : أمجلة *

3 4 3 3 4 5 9 20 11

5 3 5 3 5 3 15 15 15

7 5 21 10 21 10 31

8 12 24 24 24 24

6 11 12 11 12 11 1

7 14 14 14 14 14

: العددان اجلذريان املتقابالن– 3)

: تعزيف *

وقول أن انعذد انجزسي a

b هو مقابم انعذد انجزسي

x

y0: إرا كان

a x

b y .

: أمجلة *

مقابم انعذد -- 5

2

هو انعذد

5

2مقابم انعذد --

5

11

هو انعذد

5

11

مقابم انعذد -- 9

13 هو انعذد

9

13مقابم انعذد --

22

17 هو انعذد

22

17

: قاعدة تزتيب حدي جمنوع– 4)

: مجال *

: نذيىا

2 1 14 5 14 ( 5) 9

5 7 35 35 35 35

1 2 5 14 5 14 9

7 5 35 35 35 35

: وال حظ أن 2 1 1 2

5 7 7 5

: قاعدة *

ال يتغيش مجمـــــــوع عذديه جزسييه إرا غيشوا تشتيبحذيه

: بتعبيش آخش :*

a

b و

x

y. عذدان جزسيان

a x x a

b y y b

II _ جمنوع ثالث أعداد جذرية :

: قاعدة – 1)

a و b و cأعذاد جزسيت .

a b c a b c

a b c

a c b



2

: أمجلة – 1)

جــداء و خــارج عددين جــذريني

I _ جداء عددين جذريني :

: قاعدة – 1)

a

b و

c

d. عذدان جزسيان

a c a c

b d b d

: قاعدة اإلشارات – 2)

وعتبش a

b و

c

d. عذديه جزسييه

0يكون --a c

b d إرا كان نهعذديه انجزسييه

a

b و

c

d وفس اإلشاسة

0يكون --a c

b d إرا كان نهعذديه انجزسييه

a

b و

c

d إشاستيه

مختهفتيه

: أمجلة *

2 1 4 2 4 1

5 3 5 5 5 3

6 1

5 3

18 5

15 15

23

15

5 7 1 5 7 1

3 3 9 3 3 9

5 7 1

3 9

2 1

3 9

6 1

9

5

9

8 3 1 8 3 1

3 10 10 3 10 10

8 2

3 10

8 1

3 5

40 3

15

37

15

3 10 1 5

16 18 8 6

5

48

4 32 43,2

16 10 16

2 2

5 1

4 4

5 5



1 : جداء عدد جذري و واحــد – 3)

: قاعدة *

a

b1. عدد جرزي 1

a a a

b b b

: أمثلة *

11 111

8 8 ;;

7 71

5 5

;;

5 51

9 9

: جداء عدد جذري و صفز – 4)

: قاعدة *

a

b0. عدد جرزي 0 0

a a

b b

: أمثلة *

80 0

11

;;

1570 0

661

;; 117

0 058

: خــاصية إضــافية – 5)

a و b 0: عددان عشسيان وسثيان تحيثb .1 1 a

a ab b b

: مثال *

1 11( 11)

7 7

;;

1 5151

8 8

_II جــداء ثالثة أعداد جذرية :

: قاعدة – 1)

aو bو c أعداد جرزيح .

a b c a b c

a b c

a c b

: أمثلة – 2)

2 10 1

5 2 7

2 10 1

5 2 7

1 2 1 2 1 2

1 1 7 1 7 7

A

32,5 10

4

3 25 3 752,5 10

4 1 4 4

B

3 10,5

2 5

3 5 1

2 10 5

3 1 1 3 1 3

2 10 1 2 10 20

C



2

_III خــارج عددين جذريني :

: مقلــوب عدد جذري غري منعدم – 1)

: قاعدة *

a عدد جرزي غيس مىعدو .

هو انعدد aمقهــوب انعدد 1

a .

1: و وكتة 1aوسمز نه تانسمز 1a

a

: مثال *

: هو 5مقهــوب انعدد انجرزي 1 1

55

مقهــوب انعدد انجرزي 3

7

: هو

13 1 7

37 3

7

: خاصيح – 2)

a

b1. عدد جرزي غيس مىعدو

a b

b a

x عدد جرزي غيس مىعدو .1 1x x

: مثال *

11 81

8 11

;;

1141 141

1200 200

: تمسيه تطثيقي *

xو yعددان جرزيان غيس مىعدميه .

: وضع 1 1A x x y y x y

2: تيه أن 2A xy

: انحــم

: نديىا

1 1

1 1

1 1

1 1

2 2

A x x y y x y

x x x y y x y y

xy xy

xy xy

xy

: خازج عدديه جرزييه – 3)

: قاعدج *

a

b و

x

y0x عددان جرزيان تحيث .



3 a

a y aybx b x bx

y

: تمسيه تطثيقي *

: أحسة ما يهي مع االختزال إذا كان ممكىا

102 125 2515 23;; ;;

239 21 7

12

: انحــم

5 25 5 7

21 7 21 25

1 1 1

3 5 15

1212 1223

23 23 23

12

144 144

529 529

102102 115

9 15 9

34 1 34

15 3 45

10قــوى العدد


الكتابة األسية :10 قــوى العدد – 1) 1

: مثال *

510 100000 ;; 710 0,0000001

:10 بعض قيم قوى – 2)

109

105

104

103

102

10*....*10*10 10*10*10*10*10 10*10*10*10 10*10*10 10*10

1000000000 100000 10000 1000 100

: تفكيك عدد صحيح طبيعي – 3)

91374 = 9*104+103+3*102+7*10+4

: الكتابة العلمية لعدد عشري نسيب –4)

x عدد عشـري وسب و aعدد عشري و n عدد صحح وسب .

10nx: كم مه انكتابته a 10 وnx a

1: بحث xتسمى انكتابة انعهمة نهعدد 10a

: أمثـلـة – 2)

. 1240000: نىحدد انكتابة انعهمة نهعدد – 1)

: ندىا

4

2 4

2 4

6

1240000 124 10

1,24 10 10

1,24 10

1,24 10

61,24: ه 1240000 إذن انكتابة انعهمة نهعدد 10 .

70,00131: نىحدد انكتابة انعهمة نهعدد – 2) 10a .

: ندىا

7 3 7

3 7

4

0,00131 10 1,31 10 10

1,3110

1,31 10

a

: ه a إذن انكتابة انعهمة نهعدد 41,31 10 .

. 2,045b: نىحدد انكتابة انعهمة نهعدد – 3)

: ندىا

02,045 2,045 10

02,045: ه b إذن انكتابة انعهمة نهعدد 10 . 51ص

nعدد صحيح طبيعي .

10 1000............0n

nمن األصفار

nعدد صحيح طبيعي .

nمن األصفار

القــــــــــــــــوى

. الهشم عبد اإلله: إعداد إعدادالثانت: المستوى الراضاث: مادة

1 I _ قــوة عدد جذري :

: التعزيف – 1)

a عدد جرزي n1 أكبس قطعا من عدد صحيح طبيعي

.........na a a a a

n مـــسة

: حالة خاصة – 2)

: عددا جرزيا غيس منعدم فإن a إذا كان

1

0 1

a a

a

القوة : مالحظت هامت *. ال معني لها 00

: قوة أسها سالب – 3)

a عدد جرزي غيس منعدم و nعدد صحيح طبيعي

1nn

aa

: نتجت *

a

b عدد صحيح طبيعيn عدد جرزي غيس منعدم و

n na b

b a

: مثال *

2

2

1 1 13

3 3 93

3 32 3 3 3 3 27

3 2 2 2 2 8

: إشارة قوة أساسها سالب – 4)

: تكىن قىة أساسها سالب

إذا كان أسها عددا شوجيا: مىجبت .

إذا كان أسها عددا فسديا: سالبت.

: مثال * 24

11 عدد شوجي24 عدد مىجب ألن

334

7

: مالحظت هامت * عدد فسدي 33 عدد سالب ألن 2 25 5

: ألن

2

2

5 5 5 25

5 5 5 25و

II _ خـصــــــــائص :

: جداء قوتني هلما نفس األساس – 1)

a عدد جرزي غيس منعدم .

m و nعددان صحيحان طبيعيان .

m n m na a a

القــــــــــــــــوى

. الهشم عبد اإلله: إعداد إعدادالثانت: المستوى الراضاث: مادة

: مثال * 22 15 2 15 177 7 7 7

: خارج قوتني هلما نفس األساس – 2)



mm n

n

aa

a

: مثال *7

7 2 5

2

2,52,5 2,5

2,5

: جداء قوتني هلما نفس األس – 3)

a و b عددان جرزيان غيس منعدمين .mعدد صحيح طبيعي .

mm ma b ab

: مثال * 1111 11 114,7 2 4,7 2 9,4

: خارج قوتني هلما نفس األس – 4)

a و b عددان جرزيان غيس منعدمين .mعدد صحيح طبيعي .

mm

m

a a

bb

: مثال *

555

5

21 217

33

: قــوة قــوة – 5)



nm m na a

: مثال * 2

5 5 2 107,2 7,2 7,2

التمــــــــاثـــل المـحــــــــــــــوري


1 I _ مماثـلة نقطة بالنسبة ملستقيه :

: مثال – 1)

(D)M

M’(D)

[MM]

M’M(D)

: قاعدة – 2)

(D)M

M’M(D)(D)

[MM’]

: حالة خاصة *

(D)M

M’M(D)

: مترين تطبيقي *

ABC A

C’CA

C’C(AB)

: احلــل

(1

(2C’C(AB)

(AB)[CC’]

C’CA

A[CC’]

ABCA

(AB)(AC)

(AB)(CC’)

(AB) [CC’]

C’C(AB)

مماثـلت نقطت بالنسبت لمستقيم تنتمي إليه هى النقطت نفسها

نفسهاM هي Mنالحظ أن مماثلت النقطت



2 II _ مماثـل مستقيه بالنسبة ملستقيه :

: مثال – 1)

: احلــالة األوىل *

(D)(L)

(D’)(D)

(L)

**

(D)(L)

(D)

(L))

(D’)(D)(L)

(D’) // (L)

: احلالة الثانية *

(D)(L)O

(D’)(D)(L)

**

(D’)O

: خاصية – 2)

(D)(L)(D’)(D)

(L)

1(D) // (L)(D’) // (L)

2(D)(L)M(D’)(L)

M

III _ احلفاظ على استقامية النقط :

: مثال – 1)

(D)ABC

(D)

A’B’C’ABC

(D)

: خاصية – 2)

’C و ’B و’A: نالحظ أن

. هي كرلك نقط مستقيميت



3 IV _ مماثـل نصف مستقيه بالنسبة ملستقيه :

: مثال – 1)

(D)[AB)

( )A D( )B D

[A’B’)

[AB)

(D)

(AB] : خاصية – 2)

(D) [A’B’)A’B’AB

(D)

_V مماثـلة قطعة بالنسبة ملستقيه :

: مثال – 1)

[AB](D)

[A’B’][AB]

(D)

[AB] (D) : خاصية – 2)

A’B’A B

(D)[A’B’]

[AB](D)

_VI خاصية احلفاظ على املسافة :

: مثال – 1)

(D)AB

(D) A’B’AB

(D) ABA’B’

AB = A’B’

: خاصية – 2)

*

ABC

A(D)

(1A’B’C’ABC

(D)

(2A’B’C’



4

(1

(2A’B’C’

A’A(D)

B’B(D)

C’C(D)

AB = A’B’

AC = A’C’

AB = AC)ABCA(

A’B’ = A’C’ A’B’C’A’

_VII مماثلة زاوية بالنسبة ملستقيه :

: مثال – 1)

(D)ÂOB40°

A’ O’B’OB

(D)

ˆ 40AOB

خاصية2)

*(D)ÂOB

A’O’B’AOB

(D)ˆ ˆ' ' 'AOB A O B

_VIII مماثلة زاوية بالنسبة ملستقيه :

: مثال – 1)

( C )Or

(D)( C )

A( C )

O’A’OA

(D)



5

(D)مماثلة الدائرة بالنسبة للنستقيه (’C )نسني الدائرة *

( C ) ( C’)r

:O’OD

A’A(D)

OA = O’A’)(

OA = r : rO’A’ =

: خاصية – 2)

مركزها (’C )هي الدائرة (D) بالنسبت لمستقيم r و شعاعها Oمركزها ( C )مماثلت دائرة

O’ مماثل O بالنسبت للمستقيم (D) و شعاعها r

*

(D)

(D)

المستقيمــات المــوازية ألضـــالع

مثلج

I _ املستقيه املار من منتصفي ضلعي مثلث :

: مثال – 1)

ABC

M [AB]

N[AC]

(MN) // (BC)

: خاصية – 2

* ABC مثلث :

M منتصف [AB]

(BC) // (MN): فإن إذا كان و

N منتصف [AC]

: مترين تطبيقي *

ABC

EABFA

C

(EF) // (BC)

Documents

التوازي و منتصفات أضلاع المثلث