Η συνάρτηση του ημιτόνου

ΧΡΗΣΗ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

για τη μελέτη της συνάρτησης f(x)=ρημ(ωχ+κ)

Ι. Ανασκόπηση (ή επισκόπηση;) σεναρίου 1. Κεντρική ιδέα Η χρήση κατάλληλου λογισμικού για • τη δημιουργία πίνακα τιμών και γραφικής παράστασης της ψ=ημχ, με σκοπό τη

μελέτη της (αναζήτηση μεγίστου/ων - ελαχίστου/ων, έλεγχος αν είναι άρτια ή περιττή κ.λπ.) 1σελ. 10-13

• τη δημιουργία πίνακα τιμών και γραφικής παράστασης συναρτήσεων της μορφής ψ=ρημχ (ρ∈R), ψ=ημωχ (ω∈R), ψ=ημ(ωχ+κ) (κ∈R) και σύγκριση με τον πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση της ψ=ημχ σελ. 16-19

• τον πειραματισμό, με σκοπό την εύρεση του τύπου της συνάρτησης που αντιστοιχεί σε μια ημιτονοειδή καμπύλη σελ. 18, άσκηση 1, Β’ Ομάδας

• τη μελέτη της εξίσωσης ημχ=α σελ. 18-21

2. Τεχνολογικά εργαλεία Εργαλεία που διαθέτουν ψηφίδες για τη δημιουργία πίνακα τιμών και γραφικής παράστασης (Excel, MathLab, Function Probe κ.ά.). Για το συγκεκριμένο θέμα προτείνεται το Function Probe.

3. Συμπληρωματικό υλικό Εκτυπώσεις, Φωτοτυπίες, Διαφανές χαρτί Α4, Φύλλα εργασίας

4. Αναμενόμενα αποτελέσματα Οι δραστηριότητες που περιγράφονται στη συνέχεια έχουν ως στόχο την μέσω πειραματισμού προσέγγιση και κατανόηση βασικών μαθηματικών εννοιών και συγκεκριμένα: • μετάβαση από την έννοια του τριγωνομετρικού αριθμού που προσεγγίστηκε σε

μικρότερες τάξεις στην έννοια της τριγωνομετρικής συνάρτησης πραγματικής μεταβλητής

• έννοια άρτιας-περιττής συνάρτησης • έννοια κυκλικής συνάρτησης • έννοια περιόδου και παράγοντες που την καθορίζουν • έννοια μεγίστων - ελαχίστων περιοδικώς εμφανιζομένων • συσχετισμός των διαφόρων μορφών της ημιτονοειδούς συνάρτησης με

μετασχηματισμούς στο επίπεδο • αναγνώριση, τέλος, του τύπου f(x)=ρημ(ωχ+κ) ως γενίκευσης των μορφών που

προσεγγίστηκαν πειραματικά και σημασία των τελεστών του

1 Οι σελίδες αναφέρονται στο σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Β’ Ενιαίου Λυκείου, έκδοση 1998

ΕΙΔΙΚΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Άλγεβρα Β’ Λυκείου, Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Λέττα Στεργιοπούλου

σελίδα 2

5. Σχεδιασμός δραστηριοτήτων 1η δραστηριότητα: Αντιστοιχία μοιρών - πραγματικών αριθμών

Έχει προηγουμένως γίνει λόγος για τη συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής f(x)=ημχ,. Με τη βοήθεια του πίνακα τιμών οι μαθητές εξοικειώ-νονται στην αντιστοιχία μοιρών-πραγματικών αριθμών (ακτίνια). Στο διπλανό πίνακα χρησιμοποιείται ως βήμα μεταβολής το π/8 (η τιμή του υπολογίζεται με την αριθμομηχανή), το αντίστοιχο, δηλαδή, των 22,5°. Εκτυπώνουμε και αναπαράγουμε τον πίνακα και ενθαρρύνουμε τους μαθητές να προσέξουν και να σημειώσουν μερικές βασικές αντιστοιχίες (π.χ. π 3,14 180, π / 2 1,57 90 κ.τ.λ.).

2 η δρασ τηρ ι ό τ η τα : Δημιουργία του πίνακα τιμών Περιορίζουμε τη μελέτη μας στο διάστημα [-π, π], «γεμίζοντας» (Table/Fill) τη στήλη

του x με τιμές που μεταβάλλονται με βήμα υποπολλαπλάσιο του π, για παράδειγμα π/8. Οι «ακριβείς» τιμές των π και π/8 υπολογίζονται και εισάγονται με τη βοήθεια της αριθμομηχανής (calculator).


σελίδα

3

Στη διπλανή στήλη (του y) γράφουμε τον τύπο y=sinx, οπότε συμπληρώνεται αυτομάτως ο πίνακας τιμών.

Επιμένουμε και πάλι να αναζητήσουν και να σημειώσουν οι μαθητές τις τιμές με τις οποίες έχουν εξοικειωθεί σε προηγούμενες χρονιές (π.χ. π 3,14 180 ⇒ ημπ ημ ( 3,14) ημ ( 180)=0 κ.τ.λ.).

3 η δρασ τηρ ι ό τ η τα : Δημιουργία γραφήματος- γραφικής παράστασης Το γράφημα των σημείων που αντιστοιχούν στον πίνακα τιμών δίνει μια πρώτη ιδέα της ημιτονοειδούς καμπύλης. Στο μέτρο του διαθέσιμου χρόνου παροτρύνουμε τους μαθητές να δημιουργήσουν κι άλλο, πιο «πυκνό» πίνακα τιμών και το αντίστοιχο γράφημα (φροντίζουμε προηγουμένως να σώσουμε τον αρχικό πίνακα, με όνομα π.χ. sin.tbl). Τέλος, υποδεικνύουμε τον τρόπο κατασκευής της γραφικής παράστασης για χ∈R, στο παράθυρο γραφικών. 4 η δρασ τηρ ι ό τ η τα : Μελέτη της καμπύλης y=ημχ α) κυκλική συνάρτηση: • Ζητάμε από τους μαθητές να επισημάνουν πάνω σε αντίτυπο της γραφικής

παράστασης σε χαρτί, σημεία της καμπύλης που έχουν την ίδια τιμή και την ίδια φάση. Επιβεβαιώνουμε την ορθότητα του δείγματος με τη βοήθεια της αριθμομηχανής (μπορούμε να κατασκευάσουμε αντίστοιχο πλήκτρο).

• Αναζητούμε τη σχέση που συνδέει τα σημεία αυτά. Επιβεβαιώνουμε την ορθότητα του τύπου με δοκιμές στον πίνακα τιμών.

β) περιττή (συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων): • Ο πειραματισμός μπορεί να γίνει και αλγεβρικά (με τη βοήθεια του πίνακα τιμών)

και γραφικά με μετασχηματισμούς (;) 5 η δρασ τηρ ι ό τ η τα : Μελέτη της y=ρημχ • Στον πίνακα sin.tbl συμπληρώνουμε στήλες με τους τύπους y=2sinx και y=3sinx.

Συγκρίνουμε τις νέες τιμές με αυτήν της στήλης y=sinx προσπαθώντας να ανακαλύψουμε τις νέες αντιστοιχίες, τα νέα μέγιστα και ελάχιστα και να ερμηνεύσουμε το φαινόμενο.


σελίδα

4

• Δημιουργούμε τις γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων στο ίδιο γραφικό παράθυρο, με διαφορετικά χρώματα (η συμφωνία χρωμάτων στις γραφικές παραστάσεις και στις αντίστοιχες στήλες τιμών του πίνακα ενισχύει την εποπτεία).

• Ζητάμε από τους μαθητές να μαντέψουν τη γραφική παράσταση των y=0.5sinx, y=0.3sinx κ.τ.λ. Καλό είναι να έχουμε ετοιμάσει φύλλο εργασίας, όπου θα σχεδιάσουν πρόχειρα και τις καμπύλες των συναρτήσεων, μαζί με την καμπύλη της y=sinx.

• Ζητάμε να διατυπώσουν συμπεράσματα, σχετικά με το ρόλο του ρ στη μελέτη της συνάρτησης.

6 η δρασ τηρ ι ό τ η τα : Μετασχηματισμός καμπύλης με το εργαλείο κατακόρυφης στρέβλωσης • Με το εργαλείο κατακόρυφης στρέβλωσης μεταβάλλουμε το ύψος της καμπύλης

κατά ένα-δύο τετραγωνάκια προς τα πάνω ή προς τα κάτω (αλλάζουμε την τιμή του μέγιστου-ελάχιστου), παρακολουθώντας το μετασχηματισμό του τύπου της.

• Συνεχίζουμε τον πειραματισμό με κατακόρυφες στρεβλώσεις τυχαίου ύψους. • Η εμφάνιση του «ιστορικού» του παραθύρου γραφικών βοηθά στον αναλογισμό του

φαινομένου της κατακόρυφης παραμόρφωσης. • Η ονομασία (define) κάθε καμπύλης μας βοηθά να κάνουμε συγκεκριμένες

αναφορές σε προηγούμενα στάδια. • Η δυνατότητα δημιουργίας πλήκτρου στην αριθμομηχανή για τον τύπο

συγκεκριμένης συνάρτησης επιτρέπει τις επαληθεύσεις. 7 η δρασ τηρ ι ό τ η τα : Μελέτη της y=ημωχ • Με αντίστοιχα βήματα και πειραματισμούς οδηγούμε τους μαθητές σε

συμπεράσματα για το ρόλο που παίζει το ω στην περίοδο της συνάρτησης. • Με το εργαλείο οριζόντιας παραμόρφωσης μεταβάλλουμε την περίοδο της

καμπύλης, παρακολουθώντας το μετασχηματισμό του τύπου της.


σελίδα

5

8 η δρασ τηρ ι ό τ η τα : Μελέτη της y=ημ(χ+κ) • Με αντίστοιχα βήματα και με τη βοήθεια του εργαλείου οριζόντιας μετατόπισης

μελετάμε και αυτό τον τύπο συνάρτησης, σε σχέση πάντα με την y=ημχ.

9 η δρασ τηρ ι ό τ η τα : Μελέτη της εξίσωσης ημχ=α • Στο παράθυρο γραφικών ζητάμε την κατασκευή της y=ημχ και στη συνέχεια της

τέμνουσας ευθεία y=α.. Με κατάλληλες ερωτήσεις κινητοποιούμε τους μαθητές να σκεφτούν σχετικά με την τιμή του α.

• Με τη βοήθεια του εργαλείου συντεταγμένων, ελέγχουμε τις συντεταγμένες των σημείων στα οποία η ευθεία τέμνει την καμπύλη.

• Με την κατακόρυφη μετακίνηση της ευθείας y=α διερευνούμε την επίλυση της εξίσωσης ημχ=α.


σελίδα

6

ΙΙ. Παιδαγωγική Σημασία του Σεναρίου

1. Σημασία του συγκεκριμένου εργαλείου Το Function Probe είναι ειδικά σχεδιασμένο για τον πειραματισμό και τη μελέτη γραφικών συναρτήσεων, ενώ η δυνατότητα αποθήκευσης παραθύρων και καταστάσεων (κλίμακα γραφικού παραθύρου κ.ά.) διευκολύνει τη διοργάνωση δραστηριοτήτων που καλύπτουν μεγάλες ενότητες και πραγματοποιούνται σε περισσότερα του ενός μαθήματα. Ιδιαίτερα στην περίπτωση των κυκλικών συναρτήσεων, στις οποίες ανήκει και η επιλεγείσα ενότητα, η χρήση του συγκεκριμένου λογισμικού αποκτά μεγάλη σημασία. Ο σχεδιασμός της ημιτονοειδούς καμπύλης είναι εξαιρετικά δύσκολος χωρίς τη βοήθεια του υπολογιστή, για τον κύριο λόγο ότι είναι δύσκολος και ο υπολογισμός των τιμών του ψ, σε σύγκριση με τις πολυωνυμικές συναρτήσεις, και ο προσδιορισμός των σημείων στο καρτεσιανό επίπεδο, αλλά και ο χειρισμός του ίδιου του χ: το βήμα μεταβολής του δεν είναι δεκαδική μονάδα αλλά υποπολλαπλάσιο του π. Αυτές οι υπολογιστικής φύσεως δυσκολίες έχουν γίνει αιτία πολλών διδακτικών εμποδίων, με ολέθριες συνέπειες στην ίδια τη μάθηση: • Συνήθως δηλώνουμε ότι «δημιουργούμε» τον πίνακα τιμών, αλλά στην

πραγματικότητα είμαστε αναγκασμένοι να τον παρατηρούμε παθητικά στις σελίδες ενός βιβλίου, χωρίς να μπορούμε εύκολα να αυτενεργήσουμε.

• Στους πίνακες τιμών αναφέρονται συνήθως τα πολλαπλάσια του π, με συνέπεια να μην εξοικειώνεται κανείς με τους αντίστοιχους πραγματικούς αριθμούς, οπότε προκύπτει η πρόσθετη δυσκολία να δυσχεραίνεται η αντίληψη του γραφήματος, από την έλλειψη άμεσης κατανόησης των χρησιμοποιούμενων μονάδων στον άξονα των χ.

• Αντίστοιχες δυσκολίες παρουσιάζονται κατά τη μελέτη της συνάρτησης (άρτια - περιττή κ.τ.λ.), η οποία περιορίζεται στις γνωστές μόνο τιμές τριγωνομετρικών αριθμών.

2. Καινοτομικά στοιχεία • Η δυνατότητα πειραματισμού σε κάθε φάση της μελέτης και η ευκολία του

περάσματος από τον ένα τρόπο αναπαράστασης σε άλλο διευρύνουν εντυπωσιακά τις πιθανότητες επίτευξης των διδακτικών στόχων

• Η δυναμική μεταβολή των γραφικών παραστάσεων έλκει τον ενδιαφέρον των μαθητών και συντελεί στην κατανόηση του μηχανισμού που εμπεριέχεται σ’αυτό το μαθηματικό μοντέλο.

3. Ρόλος μαθητή-καθηγητή • Ο μαθητής δεν καλείται απλά να «πεισθεί» γι αυτά που ακούει αλλά να ανακαλύψει

μόνος τους αυτά που πρέπει να μάθει, «πασπατεύοντας» κάθε τι που του κεντρίζει το ενδιαφέρον και τον οδηγεί στη γνώση.

• Ο καθηγητής δεν απαγγέλλει κανόνες και αποδείξεις, παρακολουθεί και κατευθύνει τις δραστηριότητες των μαθητών του, βοηθώντας τους να προσεγγίσουν και να διατυπώσουν μόνοι τους κανόνες που ανακάλυψαν μέσα από τον πειραματισμό.


σελίδα

7

ΙΙΙ. Συμβολή στη διαδικασία μάθησης 1. Επιστημολογική υπόσταση γνωστικού αντικειμένου και μαθησιακές δυσκολίες. Το πέρασμα από την έννοια των τριγωνομετρικών αριθμών στην έννοια της τριγωνομετρικής συνάρτησης και ο λόγος εκτοπισμού των «βολικών» μοιρών από τα «παράξενα και άβολα» ακτίνια δεν είναι καθόλου εμφανή, ενώ η δυσκολία δοκιμών για τη μελέτη των συναρτήσεων, όπως μας έχουν καλοσυνηθίσει οι πολυωνυμικές συναρτήσεις, αποτελούν σοβαρό διδακτικό εμπόδιο για την κατανόηση σημαντικών εννοιών, όπως είναι η περιοδικότητα κ.τ.λ.

ΙV. Απαιτούμενες γνώσεις και διαδικασίες για επίτευξη του στόχου

1. Απαιτούμενες γνώσεις και προϋποθέσεις • Οι μαθητές έχουν παρακολουθήσει σε προηγούμενες ενότητες τη μελέτη

πολυωνυμικών συναρτήσεων και έχουν πειραματιστεί με την κατάρτιση πίνακα τιμών και τους μετασχηματισμούς γραφικών παραστάσεων με τη βοήθεια της Τεχνολογίας. Οι επιπτώσεις, όμως, των αντίστοιχων φαινομένων στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι πολύ περισσότερο σύνθετες και πολύ πιο δύσκολο να γίνουν κατανοητές, χωρίς τη βοήθεια κατάλληλα σχεδιασμένων εργαλείων, όπως είναι το Function Probe.

• Η αυτενέργεια των μαθητών που ενθαρρύνεται από καλά σχεδιασμένα εργαλεία συντελεί σε μεγάλο βαθμό στην ανακάλυψη της γνώσης και στην κατανόηση δύσκολων εννοιών.

2. Διδακτικές μέθοδοι που απαιτούνται Οι δραστηριότητες που προηγήθηκαν καλύπτουν μία μεγάλη διδακτική ενότητα και ολοκληρώνονται σε μια σειρά από μαθήματα. Από την περιγραφή των δραστηριοτήτων γίνεται εμφανές ότι η διδακτική πράξη είναι ιδιαίτερα πυκνή, και ως εκ τούτου πρέπει να είναι άριστα προσχεδιασμένη σε κάθε βήμα. • Η καθοδήγηση των μαθητών προς το διδακτικό στόχο και την ανακάλυψη της

γνώσης επιτυγχάνεται με καλά σχεδιασμένη ακολουθία δραστηριοτήτων. Σε αντίθετη περίπτωση, υπάρχει κίνδυνος να χαθεί πολύτιμος χρόνος με συνέπεια την απογοήτευση τόσο των μαθητών όσο και των εκπαιδευτικών, σχετικά με τη συμβολή του εργαλείου στη διαδικασία μάθησης.

• Ο εκπαιδευτικός πρέπει να γνωρίζει άριστα το εργαλείο και τις δυνατότητές του (πράγμα που δεν απαιτείται από τους ίδιους τους μαθητές), ώστε να καθοδηγεί με σίγουρα βήματα την πορεία των πειραματισμών και να επιτυγχάνεται η καλύτερη δυνατή αξιοποίηση του λογισμικού.

• Τα προετοιμασμένα φύλλα εργασίας λειτουργούν πολλές φορές καταλυτικά στο πέρασμα από τη μία φάση στην άλλη, ενώ οι εκτυπώσεις σε διαφανές χαρτί προσφέρουν πρόσθετα εργαλεία για τη μελέτη σχημάτων που προκύπτουν από μετασχηματισμούς.


σελίδα

8

V. Προβλήματα της εφαρμογής στη σχολική μονάδα Η χρήση της Τεχνολογίας στο μάθημα των Μαθηματικών απαιτεί προσαρμογές όχι μόνο στη διδακτική πρακτική του ίδιου του μαθήματος, αλλά πολλές φορές στο σύνολο της λειτουργίας του σχολείου, ιδιαίτερα αν έχουν εισαχθεί τέτοιες καινοτομίες και σε άλλα μαθήματα:

1. ανάγκη ύπαρξης εργαστηρίου Ο πειραματισμός με τη βοήθεια κατάλληλου λογισμικού απαιτεί πάνω απ’όλα εργαστήριο με 10 τουλάχιστον θέσεις, ώστε να μπορούν να εργαστούν οι μαθητές ανά τρεις. Αυτό όμως είναι περισσότερο ευχή, παρά πραγματικότητα, τουλάχιστον στη δημόσια εκπαίδευση.

VΙ. Κριτική προσέγγιση σεναρίου και εφαρμογής του πλεονεκτήματα-αδυναμίες πρέπει να αναζητούνται και να διατυπώνονται .....

Documents

Η συνάρτηση του ημιτόνου