ΠΔΡΗΓΡΑΦΗΚΖ ΣΑΣΗΣΗΚΖ

ηαηηζηηθή είλαη έλα ζύλνιν αξρώλ θαη κεζνδνινγηώλ γηα

ην ζρεδηαζκό ηεο δηαδηθαζίαο ζπιινγήο δεδνκέλσλ ( ζρεδηαζκόο

πεηξακάησλ)

ηε ζπλνπηηθή θαη απνηειεζκαηηθή παξνπζίαζε ηνπο ( πεξηγξαθηθή

ζηαηηζηηθή)

ηελ αλάιπζε θαη εμαγσγή αληίζηνηρσλ ζπκπεξαζκάησλ (επαγσγηθή

ζηαηηζηηθή ή ζηαηηζηηθή ζπκπεξαζκαηνινγία)

Πιεζσζκός είλαη έλα ζύλνιν ηνπ νπνίνπ εμεηάδνπκε ηα ζηνηρεία ηνπ σο πξνο

έλα ή πεξηζζόηεξα ραξαθηεξηζηηθά

Απογράθε έρνπκε όηαλ εμεηάδνπκε όια ηα άηνκα ηνπ πιεζπζκνύ σο πξνο ην

ραξαθηεξηζηηθό πνπ καο ελδηαθέξεη

Γείγκα είλαη έλα ππνζύλνιν ηνπ πιεζπζκνύ

Αληηπροζφπεσηηθό δείγκα είλαη ην δείγκα πνπ ε επηινγή ηνπ ζα γίλεη κε

ζσζηό ηξόπν ώζηε λα κπνξέζνπκε λα γεληθεύζνπκε ηα ζπκπεξάζκαηα καο ζε

νιόθιεξν ηνλ πιεζπζκό

Άηοκο ή Μολάδα νλνκάδεηαη θάζε ζηνηρείν ηνπ πιεζπζκνύ ή ηνπ δείγκαηνο

Μέγεζος ηοσ πιεζσζκού ή ηοσ δείγκαηος λ νλνκάδεηαη ην πιήζνο ησλ

αηόκσλ ελόο πιεζπζκνύ ή ελόο δείγκαηνο νλνκάδεηαη

Μεηαβιεηές x Σα ραξαθηεξηζηηθά σο πξνο ην νπνία εμεηάδνπκε ηνλ

πιεζπζκό ιέγνληαη κεηαβιεηέο

Οη κεηαβιεηέο δηαθξίλνληαη σο εμήο :

Ποηοηηθές Ποζοηηθές

Δίλαη εθείλεο πνπ θαλεξώλνπλ ηδηόηεηα, Δίλαη εθείλεο πνπ νη ηηκέο ηνπο

νη ηηκέο ηνπο δελ είλαη αξηζκνί π.ρ. ρξώκα είλαη αξηζκνί. Απηέο ρσξίδνληαη

καηηώλ, επάγγεικα θ.η.ι. κε ηε ζεηξά ηνπο ζε :

σλετείς Γηαθρηηές

Παίξλνπλ δηαθεθξηκέλεο ηηκέο Παίξλνπλ νπνηαδήπνηε

π.ρ πιήζνο παηδηώλ ζε ηηκή ελόο δηαζηήκαηνο

κηα νηθνγέλεηα πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ (α,β)

π.ρ. ύςνο, βάξνο

ηαηηζηηθοί πίλαθες Μεηά ηε ζπιινγή ησλ ζηαηηζηηθώλ δεδνκέλσλ είλαη

αλαγθαία ε θαηαζθεπή ζπλνπηηθώλ πηλάθσλ ή γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ ώζηε

λα είλαη εύθνιε ε θαηαλόεζε ηνπο θαη ε εμαγσγή ζσζηώλ ζπκπεξαζκάησλ

Οη πίλαθεο δηαθξίλνληαη ζηνπο :

γεληθούς πίλαθες πνπ πεξηέρνπλ όιεο ηηο πιεξνθνξίεο πνπ

πξνθύπηνπλ από κία ζηαηηζηηθή έξεπλα. Απνηεινύλ πεγέο

ζηαηηζηηθώλ πιεξνθνξηώλ γηα ηνπο επηζηήκνλεο γηα παξαπέξα

αλάιπζε θαη εμαγσγή ζπκπεξαζκάησλ

εηδηθούς πίλαθες πνπ είλαη ζπλνπηηθνί θαη ζαθείο. Σα ζηνηρεία ηνπο

έρνπλ ιεθζεί από ηνπο γεληθνύο πίλαθεο

Γηα λα θαηαζθεπαζηεί ζσζηά έλαο πίλαθαο πξέπεη λα πεξηέρεη

ηολ ηίηιο γξάθεηαη ζην πάλσ κέξνο ηνπ πίλαθα θαη δειώλεη κε

ζαθήλεηα ην πεξηερόκελό ηνπ

ηης επηθεθαιίδες ησλ γξακκώλ θαη ησλ ζηειώλ πνπ δείρλνπλ ηε θύζε

θαη ηηο κνλάδεο κέηξεζεο ησλ δεδνκέλσλ

ηο θύρηο ζώκα ( θορκό ) πνπ πεξηέρεη ηα ζηαηηζηηθά δεδνκέλα

δηαρσξηζκέλα κέζα ζηηο γξακκέο θαη ζηήιεο

ηελ πεγή γξάθεηαη ζην θάησ κέξνο ηνπ πίλαθα θαη δείρλεη ηελ

πξνέιεπζε ησλ ζηαηηζηηθώλ δεδνκέλσλ

ΠΗΝΑΚΔ ΚΑΣΑΝΟΜΖ ΤΥΝΟΣΖΣΩΝ

A. ΒΑΗΚΔ ΔΝΝΟΗΔ ΓΗΑ ΣΖ ΚΑΣΑΚΔΤΖ ΣΟΤ

Μέγεζος ηοσ δείγκαηος λ νλνκάδεηαη ην πιήζνο ησλ αηόκσλ ηνπ δείγκαηνο

πνπ εμεηάδνπκε

στλόηεηα λi ιέγεηαη ν αξηζκόο ησλ θνξώλ πνπ επαλαιακβάλεηαη κία

ζπγθεθξηκέλε κεηαβιεηή xi . Ηζρύεη όηη λ1+λ2+…+λθ = λ

τεηηθή ζστλόηεηα fi νλνκάδεηαη ν ιόγνο ηεο ζπρλόηεηαο πξνο ην κέγεζνο

ηνπ δείγκαηνο

iif . Ηζρύεη όηη f1+f2+…+fk =1

τεηηθή ζστλόηεηα επί ηοης εθαηό fi% fi% =fi .100

Ηζρύεη όηη f1%+f2%+…+fk% =100

Aζροηζηηθή ζστλόηεηα Ni ηες ηηκής xi ιέγεηαη ην άζξνηζκα ησλ

ζπρλνηήησλ λi ησλ ηηκώλ πνπ είλαη κηθξόηεξεο ή ίζεο κε ηε ηηκή απηή.

Νi = λ1+λ2+…+λi

Αζροηζηηθή ζτεηηθή ζστλόηεηα Fi ηες ηηκής xi ιέγεηαη ην άζξνηζκα ησλ

ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ fi ησλ ηηκώλ πνπ είλαη κηθξόηεξεο ή ίζεο κε ηε ηηκή

απηή. Fi = f1+f2+…+fi

Αζροηζηηθή ζτεηηθή ζστλόηεηα επί ηοης εθαηό Fi% ηες ηηκής xi ιέγεηαη

ην άζξνηζκα ησλ ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ επη ηνηο εθαηό fi% ησλ ηηκώλ πνπ

είλαη κηθξόηεξεο ή ίζεο κε ηε ηηκή απηή. Fi%= f1%+f2%+…+fi%

Δπίζεο Fi% = Fi .100

ΠΡΟΟΥΖ ΣΗ ΠΟΗΟΣΗΚΔ ΜΔΣΑΒΛΖΣΔ ΓΔΝ ΤΠΟΛΟΓΗΕΟΝΣΑΗ ΟΗ

ΑΘΡΟΗΣΗΚΔ ΤΥΝΟΣΖΣΔ Νi ,Fi , Fi%. ΑΦΟΤ ΔΥΟΤΝ ΝΟΖΜΑ

ΜΟΝΟ ΓΗΑ ΣΗ ΠΟΟΣΗΚΔ ΜΔΣΑΒΛΖΣΔ

Β. Οη πνζόηεηεο xi , λi , fi γηα έλα δείγκα ζπγθεληξώλνληαη ζε έλα ζπλνπηηθό

πίλαθα, πνπ ιέγεηαη πίλαθας θαηαλοκής ζστλοηήηφλ ή απιά πίλαθαο

ζπρλνηήησλ.

Γηα κηα κεηαβιεηή ην ζύλνιν ησλ δεπγώλ (xi,λi) ιέκε όηη απνηειεί ηελ

θαηαλοκή ζστλοηήηφλ θαη ην ζύλνιν ησλ δεπγώλ (xi, fi) ή (xi, fi%) ηελ

θαηαλοκή ζτεηηθώλ ζστλοηήηφλ

ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑΣΑ

1) Ρσηήζακε 10 άηνκα ηη ρξώκα κάηηα έρνπλ θαη πήξακε ηηο εμήο απαληήζεηο:

θαζηαλά, καύξα, θαζηαλά, θαζηαλά, καύξα, γαιάδηα, καύξα, γαιάδηα, θαζηαλά,

πξάζηλα. Καηαζθεπάδνπκε ην πίλαθα

Έρνπκε όηη : κέγεζνο δείγκαηνο λ=10

κεηαβιεηή x = ρξώκα καηηώλ

ηηκέο : x1=θαζηαλά, x2 = καύξα, x3 = γαιάδηα, x4 = πξάζηλα

Υξώκα καηηώλ xi πρλόηεηα λi ρεηηθή ζπρλόηεηα fi ρεηηθή ζπρλόηεηα επί ηνηο

εθαηό fi%

Καζηαλά 4 0,4 40

Μαύξα 3 0,3 30

Γαιάδηα 2 0,2 20

Πξάζηλα 1 0,1 10

ύλνιν λ =10 1 100

Ζ ΜΔΣΑΒΛΖΣΖ ΔΗΝΑΗ ΠΟΗΟΣΗΚΖ ΑΡΑ ΓΔΝ ΤΠΟΛΟΓΗΕΟΤΜΔ ΣΗ ΑΘΡΟΗΣΗΚΔ ΤΥΝΟΣΖΣΔ

2) Ρσηήζακε 10 νηθνγέλεηεο γηα ηνλ αξηζκό ησλ παηδηώλ ηνπο θαη πήξακε ηηο εμήο

απαληήζεηο: 0, 1, 1, 2, 2, 0, 2, 2, 3, 4. Καηαζθεπάδνπκε ην πίλαθα

Έρνπκε όηη : κέγεζνο δείγκαηνο λ=10

κεηαβιεηή x = αξηζκόο παηδηώλ

ηηκέο : x1=0, x2 = 1, x3 = 2, x4 =3, x5 = 4

Αξηζκόο

παηδηώλ

xi

πρλόηεηα

λi

ρεηηθή

ζπρλόηεηα

fi

ρεηηθή

ζπρλόηεηα

επί ηνηο

εθαηό fi%

Αζξνηζηηθή

ζπρλόηεηα

Νi

Αζξνηζηηθή

ρεηηθή

ζπρλόηεηα

Fi

Αζξνηζηηθή

ρεηηθή

ζπρλόηεηα επί

ηνηο εθαηό

Fi%

0 2 0,2 20 2 0,2 20

1 2 0,2 20 4 0,4 40

2 4 0,4 40 8 0,8 80

3 1 0,1 10 9 0,9 90

4 1 0,1 10 10 1 100

ύλνιν 10 1 100

ΠΡΟΟΥΖ: Όηαλ νη ηηκέο γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο fi ρξεηάδνληαη ζηξνγγπινπνίεζε

ζα πξέπεη λα ιακβάλνπκε ππόςε όηη f1 +f2 +…+fk = 1

ΠΑΡΑΣΖΡΖΔΗ

Ζ ζπρλόηεηα λi καο δίλεη ηνλ αξηζκό (πιήζνο) ησλ αηόκσλ πνπ αληηζηνηρνύλ

ζηε ηηκή xi ηεο κεηαβιεηήο

Ζ ζρεηηθή ζπρλόηεηα επί ηνηο εθαηό fi% καο δίλεη ην πνζνζηό πνπ

αληηζηνηρεί ζηε ηηκή xi ηεο κεηαβιεηήο

Όηαλ ζα αθνύσ ηηο θξάζεηο:

1) ηο ποιύ α : κεηξάσ αληίζηνηρα ηνλ αξηζκό ή ην πνζνζηό ησλ

κηθξόηεξσλ ηηκώλ κέρξη θαη ηε ηηκή α πνπ κνπ δεηείηαη

2) ηοσιάτηζηολ α : κεηξάσ αληίζηνηρα ηνλ αξηζκό ή ην πνζνζηό από ηε

ηηκή α πνπ κνπ δεηείηαη θαη ησλ κεγαιύηεξσλ ηηκώλ απηήο

3) από α έφς β : κεηξάσ αληίζηνηρα ηνλ αξηζκό ή ην πνζνζηό από ηε

ηηκή α έσο ηε ηηκή β πνπ κνπ δεηείηαη

ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ

Αλαθεξόκαζηε ζην παξάδεηγκα 2 παξαπάλσ

1) Πόζεο νηθνγέλεηεο έρνπλ 3 παηδηά;

Οη νηθνγέλεηεο πνπ έρνπλ 3 παηδηά είλαη λ4 = 1 νηθνγέλεηα

2) Ση πνζνζηό νηθνγελεηώλ έρνπλ 2 παηδηά;

Σν πνζνζηό ησλ νηθνγελεηώλ πνπ έρνπλ 2 παηδηά είλαη f3% = 40%

3) Πόζεο νηθνγέλεηεο έρνπλ ην πνιύ 2 παηδηά;

Οη νηθνγέλεηεο πνπ έρνπλ ην πνιύ 2 παηδηά είλαη λ1+λ2+λ3 = 8 νηθνγέλεηεο

4) Ση πνζνζηό νηθνγελεηώλ έρνπλ ηνπιάρηζηνλ 3 παηδηά;

Σν πνζνζηό ησλ νηθνγελεηώλ πνπ έρνπλ ηνπιάρηζηνλ 3 παηδηά είλαη

f4%+ f5%= 20%

5) Πόζεο νηθνγέλεηεο έρνπλ από 2 έσο 4 παηδηά;

Οη νηθνγέλεηεο πνπ έρνπλ από 2 έσο 4 παηδηά είλαη λ3+λ4+λ5 = 6 νηθνγέλεηεο

ΑΚΖΔΗ 1. Καηαλόεζε αρτηθώλ ελλοηώλ

1) ε κηα δεηγκαηνιεπηηθή έξεπλα, ζηελ απνζήθε εξγνζηαζίνπ, γηα ην βάξνο

ησλ θηβσηίσλ κε ηα εκπνξεύκαηα βξήθακε ζε θηιά:23, 24, 22, 25, 20, 21, 24,

23, 23.

Πνηνο είλαη ν πιεζπζκόο;

Πνηα είλαη ηα άηνκα;

Πνην είλαη ην δείγκα;

Πνηα είλαη ε κεηαβιεηή; Ση είδνο κεηαβιεηήο έρνπκε;

Πνηεο είλαη νη ηηκέο πνπ παίξλεη ε παξαπάλσ κεηαβιεηή;

2) ε ιύθεην έρνπκε πάξεη ηε βαζκνινγία 10 καζεηώλ ηεο ΄Γ Λπθείνπ ζηα

καζεκαηηθά. Οη βαζκνί ηνπο είλαη 11, 13, 14, 17, 12, 13, 19, 14, 15, 14.

Πνηνο είλαη ν πιεζπζκόο;

Πνηα είλαη ηα άηνκα;

Πνην είλαη ην δείγκα;

Πνηα είλαη ε κεηαβιεηή; Ση είδνο κεηαβιεηήο έρνπκε;

Πνηεο είλαη νη ηηκέο πνπ παίξλεη ε παξαπάλσ κεηαβιεηή;

3) Μειεηάκε ηνπο θαηνίθνπο κηαο πεξηνρήο σο πξνο ηηο κεηαβιεηέο: ειηθία, ύςνο, εηζόδεκα, επάγγεικα, κνξθσηηθό επίπεδν. Πνηεο από ηηο

κεηαβιεηέο είλαη πνηνηηθέο θαη πνηεο πνζνηηθέο; Από ηηο πνζνηηθέο πνηεο είλαη

δηαθξηηέο θαη πνηεο ζπλερείο;

4) ε θάζε κία από ηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο δώζηε κηα ηνπιάρηζηνλ αηηηνινγία

γηαηί ηα επηιεγκέλα δείγκαηα δελ είλαη αληηπξνζσπεπηηθά. i) Γηα λα ειέγμνπκε ην κνξθσηηθό επίπεδν κηαο πεξηνρήο

ησλ Αζελώλ πήγακε ζε έλα Λύθεην θαη ξσηήζακε ηνπο

καζεηέο γηα ην κνξθσηηθό επίπεδν ηεο νηθνγέλεηαο ηνπο.

ii) Γηα λα εθηηκήζνπκε ην απνηέιεζκα ησλ επεξρόκελσλ

βνπιεπηηθώλ εθινγώλ ξσηήζακε ηνπο ζπλδξνκεηέο κηαο

ζπγθεθξηκέλεο εθεκεξίδαο.

2. Δρφηήζεης ηοσ ηύποσ « φζηό- Λάζος»

1) Σν ρξώκα θάζε απηνθηλήηνπ είλαη πνηνηηθή κεηαβιεηή

2) Ο αξηζκόο ησλ αλζξώπσλ πνπ παξαθνινπζνύλ κηα ζπγθεθξηκέλε ηειενπηηθή

εθπνκπή είλαη δηαθξηηή πνζνηηθή κεηαβιεηή

3) Ο αξηζκόο ησλ απνπζηώλ ησλ καζεηώλ ηεο ΄Γ Λπθείνπ είλαη ζπλερήο

πνζνηηθή κεηαβιεηή

4) πρλόηεηα λi ηεο ηηκήο xi κηαο κεηαβιεηήο x είλαη ν θπζηθόο αξηζκόο πνπ

δείρλεη πόζεο θνξέο εκθαλίδεηαη ε ηηκή xi

5) Ζ ζπρλόηεηα λi ηεο ηηκήο xi κηαο κεηαβιεηήο x είλαη αξλεηηθόο αξηζκόο

6) Ο ιόγνο

i καο δίλεη ηε ζρεηηθή ζπρλόηεηα fi ηεο ηηκήο xi

7) Σν άζξνηζκα όισλ ησλ ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ κηαο θαηαλνκήο είλαη ίζν κε ην

κέγεζνο λ ηνπ δείγκαηνο

8) Ηζρύεη όηη λ1+λ2+…+λθ = 1

9) Σν ζύλνιν ησλ δεπγώλ ( xi,fi) απνηειεί ηε θαηαλνκή ησλ ζρεηηθώλ

ζπρλνηήησλ

10) Οη αζξνηζηηθέο ζπρλόηεηεο Νi θαη νη αζξνηζηηθέο ζρεηηθέο ζπρλόηεηεο Fi

ρξεζηκνπνηνύληαη ζηε πεξίπησζε ησλ πνηνηηθώλ κεηαβιεηώλ

11) Οη αζξνηζηηθέο ζρεηηθέο ζπρλόηεηεο Fi κηαο θαηαλνκήο εθθξάδνπλ ην

πνζνζηό ησλ παξαηεξήζεσλ πνπ είλαη κεγαιύηεξεο ή ίζεο ηεο ηηκήο xi

12) Οη αζξνηζηηθέο ζπρλόηεηεο Ni κηαο θαηαλνκήο εθθξάδνπλ ην πιήζνο ησλ

παξαηεξήζεσλ πνπ είλαη κηθξόηεξεο ή ίζεο ηεο ηηκήο xi

3. Δρφηήζεης ποιιαπιής επηιογής

1) Από ηηο παξαθάησ κεηαβιεηέο δηαθξηηή πνζνηηθή είλαη

i) ην βάξνο καζεηώλ

ii) ε κεληαία θαηαλάισζε ξεύκαηνο

iii) ν ραξαθηεξηζκόο ηεο δηαγσγήο ησλ καζεηώλ

iv) ν αξηζκόο απνπζηώλ

v) ε πνηόηεηα ηνπ πεξηερνκέλνπ ησλ βηβιίσλ

2) Σν δεύγνο πνπ απνηειεί ηε θαηαλνκή ζπρλνηήησλ είλαη

i) ( xi,λi)

ii) ( xi, f)

iii) (λi,fi)

iv) (xifi,λxi)

v) (λfi,xi)

3) Ζ ζρεηηθή ζπρλόηεηα fi ηζνύηαη κε

i)

iif

ii) i

f i

iii)

100if

iv) if i

v) if i

4) Αλ x1, x2, … ,xθ νη ηηκέο κηαο κεηαβιεηήο ελόο δείγκαηνο κεγέζνπο λ, ηόηε

i) λ1+λ2+…+λθ = 100

ii) λ1+λ2+…+λθ = 1

iii) λ1+λ2+…+λθ = λ

iv) λ1+λ2+…+λθ = θ

v) λ1+λ2+…+λθ = λθ

5) Αλ x1, x2, … ,xθ νη ηηκέο κηαο κεηαβιεηήο ελόο δείγκαηνο κεγέζνπο λ, ηόηε

i) f1 +f2 +…+fk = 100

ii) f1 +f2 +…+fk = 1

iii) f1 +f2 +…+fk = θ

iv) f1 +f2 +…+fk = 100θ

v) f1 +f2 +…+fk = λ

4. Δρφηήζεης ζσκπιήρφζες ζύληοκες απάληεζες

ζα θνιιήζσ ζει53 ζηόρνο 1-12

5. Οη παξαθάησ αξηζκνί παξνπζηάδνπλ ηηο ελδείμεηο ελόο δαξηνύ πνπ ξίμακε 30

θνξέο. 2 5 6 1 2 5 4 3 2 5

1 3 5 4 1 3 2 6 5 4

1 2 6 2 4 3 1 6 4 5

Να θαηαζθεπαζηεί ν πίλαθαο ζπρλνηήησλ θαη αζξνηζηηθώλ ζπρλνηήησλ

6. ε κηα πόιε κεηξήζακε ηε κεγαιύηεξε εκεξήζηα ζεξκνθξαζία επη 30 ζπλερείο

εκέξεο θαη βξήθακε:

25 26 26 26 24 21 21 22 24 26

25 27 22 22 24 23 23 26 25 26

22 23 27 24 23 21 21 23 23 22

α) Να θαηαζθεπαζηεί ν πίλαθαο ζπρλνηήησλ θαη αζξνηζηηθώλ ζπρλνηήησλ

β) Πόζεο κέξεο ε ζεξκνθξαζία ήηαλ ην πνιύ 23 βαζκνύο;

γ) Πόζεο κέξεο ε ζεξκνθξαζία ήηαλ ηνπιάρηζηνλ 24 βαζκνύο;

δ) Ση πνζνζηό εκεξώλ είρακε ζεξκνθξαζία από 22 κέρξη 25 βαζκνύο

7. Οη απνζηάζεηο ζε km ησλ 26 θνηλνηήησλ ελόο λνκνύ από ην πιεζηέζηεξν

λνζνθνκείν είλαη:

5 10 8 8 13 10 4 2 0 16 5 15 9

6 4 7 5 4 6 7 7 5 8 10 3 9

α) Να θαηαζθεπαζηεί ν πίλαθαο ζπρλνηήησλ θαη αζξνηζηηθώλ ζπρλνηήησλ

β) Πόζεο θνηλόηεηεο απέρνπλ από ην λνζνθνκείν πεξηζζόηεξν από 10 km ;

8. Υξεζηκνπνηώληαο ηνλ παξαθάησ πίλαθα ζπρλνηήησλ πνπ δίλεη ηε θαηαλνκή

ζπρλνηήησλ 50 νηθνγελεηώλ σο πξνο ηνλ αξηζκό ησλ παηδηώλ ηνπο, λα βξεζεί ν

αξηζκόο θαη ην πνζνζηό ησλ νηθνγελεηώλ πνπ έρνπλ

α) ηνπιάρηζηνλ 12 παηδί

β) πάλσ από 3 παηδηά

γ) από 3 έσο θαη 5 παηδηά

δ) ην πνιύ 6 παηδηά

ε) αθξηβώο 6 παηδηά

Αξηζκόο παηδηώλ xi Αξηζκόο νηθνγελεησλ

λi

0 5

1 10

2 15

3 8

4 5

5 4

6 3

ύλνιν 50

9. Οη βαζκνί 25 θνηηεηώλ πνπ πέξαζαλ ην κάζεκα ηεο ηαηηζηηθήο ήηαλ

6 5 7 5 9 5 6 6 8 10

8 5 6 7 5 6 5 7 8 9

5 6 7 5 8

α) Να γίλεη πίλαθαο θαηαλνκήο ζπρλνηήησλ θαη ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ (απόιπησλ

θαη αζξνηζηηθώλ)

β) Πόζνη θνηηεηέο πήξαλ βαζκό 6;

γ) Πνην ην πνζνζηό ησλ θνηηεηώλ πνπ πήξαλ βαζκό 5;

δ) Πόζνη θνηηεηέο πήξαλ ην πνιύ βαζκό 7;

ε) Πόζνη θνηηεηεο πήξαλ ηνπιάρηζηνλ βαζκό 7;

ζη) Πνην ην πνζνζηό ησλ θνηηεηώλ πνπ πήξαλ βαζκό από 6 έσο 8;

ΓΡΑΦΗΚΔ ΠΑΡΑΣΑΔΗ - ΟΜΑΓΟΠΟΗΖΖ

Ραβδόγρακκα Υξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ παξνπζίαζε πνηνηηθώλ δεδνκέλσλ.

ηνλ νξηδόληην άμνλα βάδνπκε ηηο ηηκέο ησλ ρη .

ηνλ θαηαθόξπθν άμνλα βάδνπκε ηηο αληίζηνηρεο ζπρλόηεηεο ή ζρεηηθέο

ζπρλόηεηεο.

Καηαζθεπάδνπκε ηα νξζνγώληα κε ύςνο ίζν κε ηηο αληίζηνηρεο ζπρλόηεηεο ή

ζρεηηθέο ζπρλόηεηεο. .

ΠΡΟΟΥΖ:

o Σν εκβαδόλ θάζε ξάβδνπ είλαη ίζν κε ηε ζπρλόηεηα ή ζρεηηθή ή ζρεηηθή επί

ηνηο εθαηό ζπρλόηεηα αληίζηνηρα

o Σν άζξνηζκα ησλ εκβαδώλ όισλ ησλ ξάβδσλ, όηαλ έρσ ξαβδόγξακκα

ζπρλνηήησλ είλαη ίζν κε λ, όηαλ έρσ ξαβδόγξακκα ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ

είλαη ίζν κε 1, όηαλ έρσ ξαβδόγξακκα ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ επί ηνηο εθαηό

είλαη ίζν κε 100.

Kσθιηθό δηάγρακκα ή πίηα Υξεζηκνπνηείηαη ζηε παξνπζίαζε ηόζν

πνηνηηθώλ όζν θαη πνζνηηθώλ δεδνκέλσλ. Υσξίδνπκε ηνλ θύθιν ζε γσλίεο

αλάινγεο ησλ ζπρλνηήησλ ζύκθσλα κε ηνλ ηύπν âi = fi * 360

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

Γηάγρακκα ζστλοηήηφλ Υξεζηκνπνηείηαη ζηε παξνπζίαζε πνζνηηθώλ

δηαθξηηώλ δεδνκέλσλ. ηνλ νξηδόληην άμνλα βάδνπκε ηηο ηηκέο ησλ xη ηνλ

θαηαθόξπθν άμνλα βάδνπκε ηηο αληίζηνηρεο ζπρλόηεηεο(ζρεηηθέο ζπρλόηεηεο

θ.η.ι.). ε θάζε ηηκή πςώλσ θάζεηε γξακκή κέρξη ην ύςνο ηεο αληίζηνηρεο

ζπρλόηεηαο.

Ποιύγφλο ζστλοηήηφλ

Σν πνιύγσλν ζπρλνηήησλ πξνθύπηεη αλ ελώζνπκε ηα ζεκεία (xi,λi)

Σν πνιύγσλν ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ πξνθύπηεη αλ ελώζνπκε ηα ζεκεία (xi,fi)

Σν πνιύγσλν αζξνηζηηθώλ ζπρλνηήησλ πξνθύπηεη αλ ελώζνπκε ηα ζεκεία (xi,Ni)

Σν πνιύγσλν αζξνηζηηθώλ ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ πξνθύπηεη αλ ελώζνπκε ηα

ζεκεία (xi,Fi)

Σν πνιύγσλν καο δίλεη κηα γεληθή ηδέα γηα ηε κεηαβνιή ηεο ζπρλόηεηαο, ηεο

ζρεηηθήο ζπρλόηεηαο θαη ησλ αζξνηζηηθώλ ζπρλνηήησλ αληίζηνηρα, όζν

κεηαβάιιεηαη ε ηηκή ηεο κεηαβιεηήο πνπ εμεηάδνπκε.

ΠΑΡΑΣΖΡΖΖ

Πέξα από ηνπο παξαπάλσ ηξόπνπο παξνπζίαζεο δεδνκέλσλ έρνπκε:

1. Σο ζεκεηόγρακκα, ρξεζηκνπνηείηαη ζηε παξνπζίαζε πνζνηηθώλ δηαθξηηώλ

δεδνκέλσλ όηαλ έρνπκε ιίγεο παξαηεξήζεηο, ζην νπνίν νη ηηκέο

παξηζηάλνληαη γξαθηθά ζαλ ζεκεία ππεξάλσ ελόο νξηδόληηνπ άμνλα.

2. Σο τρολόγρακκα, ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ παξνπζίαζε κηαο δηαρξνληθήο

εμέιημεο ελόο νηθνλνκηθνύ, δεκνγξαθηθνύ ή άιινπ κεγέζνπο.

Oκαδοποίεζε παραηερήζεφλ Οκαδνπνίεζε παξαηεξήζεσλ ρξεηάδεηαη λα

θάλνπκε όηαλ έρνπκε ζε δηαθξηηή κεηαβιεηή ποιύ κεγάιο δείγκα ή όηαλ

έρνπκε ζσλετή κεηαβιεηή.

Γηα λα θάλνπκε νκαδνπνίεζε, ζα πξέπεη:

Α. Να βξνύκε ην πιήζος θ ησλ δηαζηεκάησλ (θιάζεσλ) πνπ ζα βάινπκε ζηνλ

πίλαθα ζπρλνηήησλ.

Β. Να βξνύκε ηο εύρος R = xmax – xmin ηνπ δείγκαηνο.

Γ. Να ππνινγίζνπκε ην πιάηος c, ηνπ θάζε δηαζηήκαηνο, σο εμήο:

c =

R

Γ. Καηαζθεπάδνπκε ηηο θιάζεηο, μεθηλώληαο από ηε κηθξόηεξε παξαηήξεζε θαη

πξνζζέηνληαο θάζε θνξά ην πιάηνο c.

Πξνζέρνπκε λα ζπκπεξηιάβνπκε όιεο ηηο παξαηεξήζεηο θαη ε κεγαιύηεξε

παξαηήξεζε λα κε βξίζθεηαη ζην δεμί άθξν ηεο ηειεπηαίαο θιάζεο.

Οη ζηξνγγπινπνηήζεηο γηα ην c γίλνληαη πάληα πξνο ηα πάλσ

Ηζηόγρακκα απόισηφλ θαη ζτεηηθώλ ζστλοηήηφλ Υξεζηκνπνηείηαη ζηε

παξνπζίαζε νκαδνπνηεκέλσλ δεδνκέλσλ.

ηνλ νξηδόληην άμνλα βάδνπκε ηα άθξα ησλ δηαζηεκάησλ.

ηνλ θαηαθόξπθν άμνλα βάδνπκε ηηο αληίζηνηρεο ζπρλόηεηεο.

Καηαζθεπάδνπκε ηα αληίζηνηρα νξζνγώληα.

Σν εκβαδόλ θάζε νξζνγσλίνπ είλαη ίζν κε ηε ζπρλόηεηα ή ζρεηηθή ή ζρεηηθή επί ηνηο

εθαηό ζπρλόηεηα ηεο θάζε θιάζεο αληίζηνηρα, ζεσξώληαο ην πιάηνο θάζε θιάζεο σο

κνλάδα κέηξεζεο.

Σν άζξνηζκα ησλ εκβαδώλ όισλ ησλ νξζνγσλίσλ, όηαλ έρσ ηζηόγξακκα ζπρλνηήησλ

είλαη ίζν κε λ, όηαλ έρσ ηζηόγξακκα ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ είλαη ίζν κε 1, όηαλ έρσ

ηζηόγξακκα ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ επί ηνηο εθαηό είλαη ίζν κε 100.

Ποιύγφλο ζστλοηήηφλ Σν πνιύγσλν θαηαζθεπάδεηαη σο εμήο:

Καηαζθεπάδνπκε ην ηζηόγξακκα .Θεσξνύκε όηη ππάξρνπλ δύν θιάζεηο αξηζηεξά

θαη δεμηά ηνπ ηζηνγξάκκαηνο κε κεδεληθή ζπρλόηεηα. Δλώλνπκε ηα κέζα ησλ άλσ

βάζεσλ ησλ νξζνγσλίσλ κε ηα κέζα ησλ κεδεληθώλ θιάζεσλ

Σν εκβαδόλ κεηαμύ ηνπ πνιπγώλνπ θαη ηνπ άμνλα xx΄ είλαη αληίζηνηρα ίζν κε λ

όηαλ έρσ ηζηόγξακκα ζπρλνηήησλ, όηαλ έρσ ηζηόγξακκα ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ

είλαη ίζν κε 1, όηαλ έρσ ηζηόγξακκα ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ επί ηνηο εθαηό είλαη

ίζν κε 100.

Ηζηόγρακκα αζροηζηηθώλ ζστλοηήηφλ Υξεζηκνπνηείηαη ζηε παξνπζίαζε

νκαδνπνηεκέλσλ δεδνκέλσλ. ηνλ νξηδόληην άμνλα βάδνπκε ηα άθξα ησλ

δηαζηεκάησλ. ηνλ θαηαθόξπθν άμνλα βάδνπκε ηηο αληίζηνηρεο αζξνηζηηθέο

ζπρλόηεηεο.

Καηαζθεπάδνπκε ηα αληίζηνηρα νξζνγώληα. Σν εκβαδόλ θάζε νξζνγσλίνπ είλαη ίζν

κε ην άζξνηζκα ησλ εκβαδώλ ησλ πξνεγνύκελσλ νξζνγσλίσλ

Ποιύγφλο αζροηζηηθώλ ζστλοηήηφλ Σν πνιύγσλν θαηαζθεπάδεηαη σο εμήο:

Καηαζθεπάδνπκε ην ηζηόγξακκα . Δλώλνπκε ην αξηζηεξό θάησ άθξν ηνπ πξώηνπ

νξζνγσλίνπ κε ηα δεμηά άλσ άθξα ησλ ππόινηπσλ νξζνγσλίσλ

Κακπύιες ζστλοηήηφλ ζηοτος ζει 39

Παράδεηγκα οκαδοποίεζες θαη θαηαζθεσή πίλαθα ζστλοηήηφλ

Οη ρξόλνη αλακνλήο ζε ιεπηά ζε κηα ηξάπεδα ήηαλ νη εμήο:

4 2 4 3 12 3 14 16 14 15

8 7 6 8 7 5 4 7 9 12

13 14 12 14 18 16 17 22 18 17

19 21 17 19 8 19 21 23 24 16

14 17 18 8 15 17

Να θαηαζθεπαζηεί ν πίλαθαο ζπρλνηήησλ απόιπησλ, ζρεηηθώλ θαη αζξνηζηηθώλ,

νκαδνπνηώληαο ηα δεδνκέλα ζε 6 θιάζεηο

Έρνπκε : θ = 6

R = 24- 2 = 22

c =

R= 6

22= 3.66 = 4

Κιάζεηο Κεληξηθή

ηηκή xi

λi fi fi% Ni Fi Fi %

[2, 6) 4 7 0,16 16 7 0,16 16

[6, 10) 8 9 0,2 20 16 0,36 36

[10, 14) 12 4 0,09 9 20 0,45 45

[14, 18) 16 14 0,31 31 34 0,76 76

[18,22) 20 8 0,18 18 42 0,94 94

[22, 26) 24 3 0,06 6 45 1 100

ύλνιν 45 1 100

ΠΑΡΑΣΖΡΖΖ: ε δηαθνξά ζηε θαηαζθεπή ηνπ πίλαθα είλαη όηη πξέπεη λα βξσ ηηο θεληξηθέο ηηκέο ησλ θιάζεσλ όπνπ γηα θάζε θιάζε [α, β) είλαη xi = α + β

2

ΑΚΖΔΗ

1. Δρφηήζεης ηοσ ηύποσ « φζηό- Λάζος»

1) Σν ξαβδόγξακκα ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηε γξαθηθή παξάζηαζε ησλ ηηκώλ κηαο

πνζνηηθήο κεηαβιεηήο

2) Όηαλ ζέινπκε λα θάλνπκε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ησλ ηηκώλ ηεο κεηαβιεηεο

Υ: «αξηζκόο αδειθώλ ησλ καζεηώλ ηεο ηάμεο ΄Γ Λπθείνπ» ρξεζηκνπνηνύκε ην

δηάγξακκα ζπρλνηήησλ

3) Σν θπθιηθό δηάγξακκα ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηε γξαθηθή παξάζηαζε κόλν

πνηνηηθώλ δεδνκέλσλ

4) Σν θπθιηθό δηάγξακκα είλαη έλαο θπθιηθόο δίζθνο ρσξηζκέλνο ζε θπθιηθνύο

ηνκείο ηα εκβαδά ησλ νπνίσλ είλαη αληηζηξόθσο αλάινγα πξνο ηηο αληίζηνηρεο

ζπρλόηεηεο λi

5) Σν ζεκεηόγξακκα ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηε γξαθηθή απεηθόληζε ηεο δηαρξνληθήο

εμέιημεο κηαο εμεηαδόκελεο κεηαβιεηήο

θνιιεκα ζει 48 ζηόρνοαζθ.18-29

2. Δρφηήζεης ποιιαπιής επηιογής

1) ην θπθιηθό δηάγξακκα ζπρλνηήησλ αλ ζπκβνιίζνπκε κε αi ην αληίζηνηρν ηόμν

ελόο θπθιηθνύ ηκήκαηνο, ηόηε ην αi ηζνύηαη κε

α) 360.λi

β) 360.fi

γ) 90.fi

δ) 180.λi

ε) 180.fi

2) Καηά ηελ νκαδνπνίεζε παξαηεξήζεσλ ,αλ R είλαη ην εύξνο ηνπ δείγκαηνο θαη θ

ν αξηζκόο ησλ θιάζεσλ, ην πιάηνο ησλ θιάζεσλ c ζα είλαη

α) c= R

θ

β) c= θ

R

γ) c = R.θ

δ) c = R-θ

ε) c = θ-R

KOLLHMA STOXOW SEL50 ASK 8. 9

3. Δρφηήζεης ζσκπιήρφζες ζύληοκες απάληεζες

1) To ………………….. ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηε γξαθηθή παξάζηαζε ησλ ηηκώλ κηαο

πνηνηηθήο κεηαβιεηήο. ηε πεξίπησζε πνπ έρνπκε κηα πνζνηηθή κεηαβιεηή

ρξεζηκνπνηείηαη ην δηάγξακκα ……………………

2) Σν ………………. δηάγξακκα ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηόζν

ησλ πνηνηηθώλ όζν θαη ησλ πνζνηηθώλ δεδνκέλσλ, όηαλ νη δηαθνξεηηθέο ηηκέο ηεο

κεηαβιεηήο είλαη ζρεηηθά ιίγεο.

3) Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ελόο πίλαθα ζπρλνηήησλ κε νκαδνπνηεκέλα δεδνκέλα

γίλεηαη κε ην ……………….

4.Να θαηαζθεπάζεηε ηνλ πίλαθα ζπρλνηήησλ πνπ αληηζηνηρεί ζην παξαθάησ

πνιύγσλν ζπρλνηήησλ, ην νπνίν παξνπζηάδεη ηνπο βαζκνύο ησλ θνηηεηώλ κηαο

ζρνιήο ζε έλα κάζεκα. θνιιεκα ην ζρήκα ζει 55 ζηνρνο αζθ1

5. Σν παξαθάησ ηζηόγξακκα αζξνηζηηθώλ ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ αλαθέξεηαη ζηνπο

κηζζνύο δείγκαηνο 150ζηειερσλ κηαο επηρείξεζεο.

a) Να ζρεδηάζεηε ηα πνιύγσλα ζπρλνηήησλ θαη αζξνηζηηθώλ ζρεηηθώλ

ζπρλνηήησλ.

b) Πνην πνζνζηό ηνπ δείγκαηνο έρεη κηζζό από 360000 έσο θαη 390000;

c) Αλ μερσξίζνπκε από ηα 150 άηνκα ηνπ δείγκαηνο ηνπο 75 κε ηνπο

κεγαιύηεξνπο κηζζνύο ηόηε πνην κηζζό θαη πάλσ ζα έρνπλ απηνί; θόιιεκα ην

ζρήκα

6. Μπνξνύκε λα ρσξίζνπκε ηα εηζνδήκαηα αλάινγα κε ηελ επκάξεηα ηνπο ζε 5

ηζνπιεζείο πνιηηείεο ησλ Ζ.Π.Α., όπνπ Α ε πινπζηόηεξε θαη Δ ε θησρόηεξε. Ο

παξαθάησ πίλαθαο δείρλεη πνην κεξίδην είραλ απηέο νη πνιηηείεο επη ηνηο εθαην από ηα

ζπλνιηθά εηζνδήκαηα ησλ πνιηηεηώλ απηώλ ηα έηε 1967, 1977, 1987 θαη 1997.

ΚΑΣΖΓΟΡΗΑ 1967 1977 1987 1997

Α 43,8 43,6 46,2 49,4

Β 24,2 24,8 24,3 23,1

Γ 17,2 17 16,1 15

Γ 10,8 10,2 9,6 8,9

Δ 4 4,4 3,8 3,6

a) Να θαηαζθεπάζεηε θπθιηθά δηαγξάκκαηα πνπ δείρλνπλ ην κεξίδην θάζε

πνιηηείαο γηα θάζε έλα από ηα έηε απηά

b) Να θαηαζθεπάζεηε ρξνλόγξακκα πνπ λα δείρλεη ηελ εμέιημε ησλ

εηζνδεκάησλ ησλ 5 πνιηηεηώλ ηα αληίζηνηρα έηε.

7. Έλαο καζεηήο θαηαλέκεη ζπλήζσο σο εμήο έλα 24σξό γηα ηηο δηάθνξεο αλάγθεο

ηνπ: Γηα ύπλν 9 ώξεο, γηα ζρνιείν 6 ώξεο, γηα δηαζθέδαζε 4 ώξεο θαη γηα δηάβαζκα 5

ώξεο. Να θαηαζθεπάζεηε ην θπθιηθό δηάγξακκα ησλ ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ κηαο

κέξαο ηνπ καζεηή.

8. ε έλα θπθιηθό δηάγξακκα παξηζηάλεηαη ε βαζκνινγία 450 καζεηώλ ελόο

ζρνιείνπ ζε ηέζζεξεηο θαηεγνξίεο «Άξηζηα», «Λίαλ θαιώο», «Καιώο» θαη «ρεδόλ

θαιώο».Σν 30% ησλ καζεηώλ έρνπλ επίδνζε «Λίαλ θαιώο». Ζ γσλία ηνπ θπθιηθνύ

ηνκέα γηα ηελ επίδνζε «Καιώο» είλαη 144º. Οη καζεηέο κε βαζκό «ρεδόλ θαιώο»

είλαη δηπιάζηνη ησλ καζεηώλ κε «Άξηζηα». Να κεηαηξέςεηε ην θπθιηθό δηάγξακκα ζε

ξαβδόγξακκα ζρεηηθώλ % ζπρλνηήησλ.

9. Σν ύςνο ελόο παηδηνύ κεηξήζεθε θάζε ρξόλν από ηνλ γηαηξό ηνπ θαη βξέζεθε

Ζιηθία 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Ύςνο ζε cm 135 137 140 145 148 155 158 160 161

α) Να ζρεδηάζεηε ην ρξνλόγξακκα εμέιημεο ηνπ ύςνπο ηνπ παηδηνύ

β) Πνηα ρξνληά ην παηδί ςήισλε πην γξήγνξα;

γ) Να εθηηκήζεηε ην ύςνο ηνπ παηδηνύ όηαλ ήηαλ 10,5 εηώλ ( από ην ρξνλόγξακκα )

10. Παξαθάησ θαίλνληαη νη ηηκέο ξαδηελεξγνύο νπζίαο πνπ βξέζεθε ζηνλ νξγαληζκό

50 κηθξώλ δώσλ πνπ ήηαλ εθηεζεηκέλα ζε κηα ξαδηελεξγό πεγή.

4 3 6 10 12 2 3 8 11 5

10 4 7 9 12 3 3 11 5 11

8 10 9 10 7 8 4 4 9 5

5 7 10 9 8 6 5 10 3 2

11 10 4 7 6 9 9 5 4 8

α) Να παξαζηήζεηε ηα δεδνκέλα ζε πίλαθα ζπρλνηήησλ

β) Να θαηαζθεπάζεηε δηάγξακκα ζρεηηθώλ θαη αζξνηζηηθώλ ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ

γ) Να θαηαζθεπάζεηε δηάγξακκα θαη πνιύγσλν ζπρλνηήησλ θαη αζξνηζηηθώλ

ζπρλνηήησλ

11. Σα 16 ηκήκαηα ελόο Λπθείνπ έρνπλ ηνλ εμήο αξηζκό καζεηώλ:

31 27 28 30 29 31 31 27

29 29 28 28 30 29 27 29

α) Να θαηαζθεπάζεηε πίλαθα ζρεηηθώλ θαη αζξνηζηηθώλ ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ

β) Να θάλεηε ην δηάγξακκα ζπρλνηήησλ θαη αζξνηζηηθώλ ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ

γ) Να θάλεηε ην πνιύγσλν ζπρλνηήησλ

12. α) Να ζπκπιεξσζεί ν πίλαθαο

Ήπεηρος Έθηαζε fi%

Ακεξηθή 20,8

Αζία 44

Αθξηθή 30,5

Δπξώπε 10,5

Ωθεαλία 9

114,8

β) Να ζρεδηαζηεί ην θπθιηθό δηάγξακκα

13. Σν βάξνο ελόο δώνπ θαηά ηνπο πξώηνπο 10 κήλεο ηεο δσήο ηνπ θαίλεηαη ζηνλ

πίλαθα

Μήλεο 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Βάξνο

ζε θηιά 2 3 4,5 5,3 6 7 9 10,5 13 15 19

Να θαηαζθεπάζεηε ην ρξνλόγξακκα εμέιημεο ηνπ βάξνπο ηνπ

14. Ο παξαθάησ πίλαθαο παξνπζηάδεη ηε δηάξθεηα δσήο 400 νζόλσλ ηειεόξαζεο από

ηε παξαγσγή ελόο εξγνζηαζίνπ.

α) Να ζπκπιεξώζεηε ηνλ πίλαθα

Γηάξθεηα δσήο

ζε ώξεο

Νi fi% Ni Fi%

400-500 15

500-600 45

600-700 60

700-800 75

800-900 70

900-1000 60

1000-1100 50

1100-1200 25

ύλνια 400

β) Να θάλεηε ηζηόγξακκα ζπρλνηήησλ , ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ θαη αζξνηζηηθώλ

ζπρλνηήησλ

15. ε θπθιηθό δηάγξακκα παξηζηάλεηαη ε θπζηθή θαηάζηαζε 125 αζιεηώλ ζε έλα

καξαζώλην ζε πέληε θαηεγνξίεο «Αξίζηε», «Πνιύ θαιή», «Καιή», «Μέηξηα»,

«Καθή». Οη αζιεηέο κε Άξηζηε θπζηθή θαηάζηαζε είλαη όζνη νη αζιεηέο κε κέηξηα

θαη κε θαθή θπζηθή θαηάζηαζε καδί. Οη αζιεηέο κε πνιύ θαιή θπζηθή θαηάζηαζε

είλαη δηπιάζηνη από απηνύο κε θαιή. Ζ γσλία ηνπ θπθιηθνύ ηνκέα γηα ηνπο αζιεηέο

κε θαιή είλαη 72º, ελώ νη αζιεηέο κε θαθή θπζηθή θαηάζηαζε είλαη ην 8% όισλ ησλ

αζιεηώλ. Να κεηαηξέςεηε ην θπθιηθό δηάγξακκα ζε ξαβδόγξακκα ζπρλνηήησλ.

Αζθήζεης κε πίλαθες όποσ πρέπεη λα ζσκπιερώζοσκε θελά ε αζθήζεηο όπνπ έρνπκε πίλαθεο κε θελά ζα πξέπεη λα ζπκόκαζηε ηα εμήο:

Ξεθηλάσ από ηηο γξακκέο πνπ έρσ ηα πην πνιιά δεδνκέλα θαη ζηγά

ζηγά ζπκπιεξώλσ ηα θελά

Σνπο ηύπνπο ησλ ζπρλνηήησλ θαη πσο ζπλδένληαη απηέο κεηαμύ ηνπο

π.ρ.

iif , fi% =fi

.100 , Νi = λ1+λ2+…+λi

Δπίζεο όηη πνιιέο θνξέο αθνινπζνύκε ηελ αληίζηξνθε δηαδηθαζία π.ρ.

iif αιιά θαη λi =fi

. λ θ.η.ι.

Θπκόκαζηε όηη λ1+λ2+…+λθ = λ

f1%+f2%+…+fk% =100

f1+f2+…+fk =1

Δπίζεο όηη ηα ηειεπηαία θνπηάθηα ζηηο ζηήιεο ησλ Ni, Fi, Fi% είλαη

αληίζηνηρα λ, 1 θαη 100.

π.τ.

xi λi fi fi% Ni Fi Fi%

1 12 0,1 10 12 0,1 10

2 15 0,125 12,5 27 0,225 22,5

3 48 0,4 40 75 0,625 62,5

4 30 0,25 25 105 0,875 87,5

5 15 0,125 12,5 120 1 100

ύλοια 120 1 100 - - -

Αζθήζεης σποιογηζκού αρηζκού ή ποζοζηού ζε θιάζεης όηαλ κοσ δεηείηαη

δηάζηεκα αλάκεζα ζηης θιάζεης

( ++++++++++)

ΑΚΖΔΗ

1. Να ζπκπιεξσζεί ν πίλαθαο, ν νπνίνο παξνπζηάδεη ηνπο αλεμεηαζηένπο καζεηέο

ηεο Ά Λπθείνπ ζε έλα ζρνιείν

Μαζήκαηα xi λi fi%

Αξραία ειιεληθά 6

Νέα ειιεληθά 5

Αγγιηθά 8

Μαζεκαηηθά 8

Φπζηθή 10 25

Υεκεία

ύλοια

2. Μεξηθά από ηα απνηειέζκαηα ησλ εθινγώλ ζε έλα εθινγηθό ηκήκα δίλνληαη ζηνλ

παξαθάησ πίλαθα

Κόκκαηα στλόηεηα λi ( υήθοη ) τεηηθή ζστλόηεηα fi%

Α 3000

Β 50

Γ

Γ 2000 10

ύλοια 100

Πόζνπο ςήθνπο πήξε ην θάζε θόκκα;

3. ε κηα έξεπλα κεηαμύ 500 αλέξγσλ γηα ην ρξόλν ζε κήλεο πνπ είλαη άλεξγνη

πξνέθπςε ν παξαθάησ πίλαθαο

Υρόλος αλεργίας λi fi% Ni

[0 , 3) 19

[3 , 6) 38,6

[6 , 9) 24,4

[9 , 12) 13,6

[12 , 15) 4,4

ύλοια

α) Να ζπκπιεξώζεηε ηνλ πίλαθα

β) Να θαηαζθεπάζεηε πνιύγσλν αζξνηζηηθώλ ζπρλνηήησλ

4. Να ζπκπιεξώζεηε ηνλ πίλαθα

xi λi fi Ni Fi fi% Fi%

1 8 0,4

2 10

3 5 0,25 15

4 18

5 10

ύλνια

5. α) Να ζπκπιεξσζεί ν παξαθάησ πίλαθαο, ν νπνίνο παξνπζηάδεη ηηο θιήζεηο γηα

ππξθαγηά πνπ δέρεηαη ην ηειεθσληθό θέληξν ηεο Ππξνζβεζηηθήο ππεξεζίαο θαηά ηε

δηάξθεηα ελόο 24ώξνπ γηα 40 εκέξεο.

Κιάζεης xi λi Ni fi% Fi%

1-3 15

3-5 25

5-7 18

7-9

9-11 6 90

11-13

ύλοια 40

β) Να θαηαζθεπαζηνύλ ηα ηζηνγξάκκαηα θαη ηα αληίζηνηρα πνιύγσλα ζπρλνηήησλ

θαη αζξνηζηηθώλ ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ επί ηνηο εθαηό

γ) Πόζεο εκέξεο δέρηεθε ε Ππξνζβεζηηθή ππεξεζία ηνπιάρηζηνλ 7 θιήζεηο;

δ) Αλ ε ππεξεζία δηαζέηεη ζπλνιηθά 10 απηνθίλεηα θαη γηα θάζε θιήζε κπνξεί λα

έρεη ζηε δηάζεζε ηεο 1 απηνθίλεην, πόζεο εκέξεο ζπλνιηθά δελ είρε δηαζέζηκν

απηνθίλεην;

6. Να ζπκπιεξσζεί ν παξαθάησ πίλαθαο, ν νπνίνο παξνπζηάδεη ηηο βαζκνινγίεο 50

θνηηεηώλ ζην κάζεκα ηεο ηαηηζηηθήο

Βαζκός λi Ni fi% Fi%

0 3

1 18

2 10

3 22

4 6

5 21

6 4

7 22 72

8 84

9 47 94

10

ύλνια

α) Να παξαζηαζνύλ ηα δεδνκέλα ζε δηάγξακκα ζπρλνηήησλ

β) Να γίλεη ην πνιύγσλν αζξνηζηηθώλ ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ επί ηνηο εθαηό

γ) Πνην πνζνζηό ησλ θνηηεηώλ πνπ έγξαςαλ ηνπιάρηζηνλ 7;

δ) Αλ ε ζρνιή ζέιεη λα δώζεη βξαβείν ζην 16% ησλ παξαπάλσ θνηηεηώλ ηη βαζκό

πξέπεη λα έρνπλ γξάςεη απηνί θαη πόζνη είλαη ζε αξηζκό;

7. Οη παξαθάησ αξηζκνί δίλνπλ ζε cm ηα αλαζηήκαηα ελόο δείγκαηνο 40 καζεηώλ

ελόο ζρνιείνπ

159 168 162 183 180 179 153 168 170 170

172 175 175 181 165 166 171 185 169 180

180 182 160 159 175 167 162 174 174 187

192 166 172 167 187 177 178 174 171 177

α) Να ππνινγίζεηε ηε δηάκεζν

β) Να νκαδνπνηήζεηε ηα αλαζηήκαηα ζε θιάζεηο πιάηνπο 5cm θαη λα πξνζδηνξίζεηε

γξαθηθά ηε δηάκεζν. Να ζπγθξίλεηε ηα δύν απνηειέζκαηα

8. Να ζπκπιεξσζεί ν παξαθάησ πίλαθαο

Βαζκνί

Κεληξηθέο ηηκέο

i

πρλόηεηεο

i

i

if %

iF %

[2,4) 20

[4,6) 60

[6,8) 15

[8,10) 25

ύλνια

9. Να ζπκπιεξσζεί ν πίλαθαο:

Γηαζηήκαηα Κεληξηθέο

Σηκέο

i

πρλόηεηα

i

Αζξνηζηηθή

ζπρλόηεηα

i

ρεηηθή

ζπρλόηεηα%

if %

Αζξνηζηηθή

ζρεηηθή

ζπρλόηεηα%

iF %

[1,3) 15

[3,5) 25

[5,7) 18

[7,9)

[9,11) 6 90

[11,13)

ύλνια 40

10. Να ζπκπιεξσζεί ν πίλαθαο:

Βαζκόο

i

πρλόηεηα

i

Αζξνηζηηθή

ζπρλόηεηα

i

ρεηηθή

ζπρλόηεηα

if %

Αζξνηζηηθή ζρεηηθή

ζπρλόηεηα

iF %

0 3

1 12

2 8

3 22

4 6

5 21

6 4

7 22 72

8 84

9 47 94

10 50

αζξνίζκαηα

ΜΔΣΡΑ ΘΔΖ

Σα κέηξα ζέζεο, ηα ρξεζηκνπνηνύκε γηα ηελ πεξηγξαθή ηνπ «θέληξνπ» ησλ

παξαηεξήζεσλ. Καζνξίδνπλ θαηά κέζν όξν απόζηαζε ησλ παξαηεξήζεσλ από ηελ

αξρή ησλ αμόλσλ.

Μέζε ηηκή Ζ κέζε ηηκή δίλεηαη από ηνπο εμήο ηύπνπο:

xxx

...21

ή αιιηώο

k

i

ixi1

Δπίζεο έρνπκε

ixi

k

i

1

δειαδή xifik

i

1

ηαζκηθός κέζος Αλ νη ηηκέο x1, x2,…,xλ ελόο ζπλόινπ δεδνκέλσλ έρνπλ

δηαθνξεηηθή βαξύηεηα κε ζπληειεζηέο αληίζηνηρα w1, w2,…,wλ, ηόηε

ρξεζηκνπνηνύκε ηνλ ζηαζκηθό κέζν πνπ δίλεηαη από ηνλ ηύπν

www

wxwxwx

...

...

21

2211

Δπηθραηούζα ηηκή Α) Αλ έρνπκε δηαθεθξηκέλεο ηηκέο, ηόηε ε

επηθξαηνύζα ηηκή, είλαη ε ηηκή κε ηε κεγαιύηεξε ζπρλόηεηα

Αλ έτοσκε περηζζόηερες παραηερήζεης κε ηε κεγαιύηερε ζστλόηεηα ηόηε

έτοσκε περηζζόηερες από κηα επηθραηούζες ηηκές θαη ε θαηαλοκή ολοκάδεηαη

δηθόρσθε, ηρηθόρσθε θ.η.ι.

Β) Αλ έρνπκε θιάζεηο γηα λα ππνινγίζνπκε ηελ επηθξαηνύζα ηηκή, ζα πξέπεη

πξώηα λα θαηαζθεπάζνπκε ην ηζηόγξακκα ζπρλνηήησλ. Βξίζθνπκε ην

δηάζηεκα κε ηελ κεγαιύηεξε ζπρλόηεηα θαη κεηά, ελώλνπκε ην άλσ δεμί άθξν

ηεο πξνεγνύκελεο ξάβδνπ κε ην άλσ δεμί άθξν ηεο ξάβδνπ κε ηελ

κεγαιύηεξε ζπρλόηεηα θαη ελώλνπκε επίζεο ην άλσ αξηζηεξά άθξν ηεο

ξάβδνπ κε ηελ κεγαιύηεξε ζπρλόηεηα κε ην άλσ αξηζηεξά άθξν ηεο επόκελεο

ξάβδνπ. Ζ ηεηκεκέλε ηνπ ζεκείνπ ηνκήο ησλ δύν απηώλ επζπγξάκκσλ

ηκεκάησλ είλαη ε επηθξαηνύζα ηηκή.

λi

Αλ έτφ περηζζόηερες επηθραηούζες θιάζεης επαλαιακβάλφ ηελ παραπάλφ

δηαδηθαζία γηα θαζεκηά θαη ε θαηαλοκή ολοκάδεηαη δηθόρσθε, ηρηθόρσθε,…

Γηάκεζος δ Α) Αλ έρνπκε δηαθεθξηκέλεο ηηκέο θαη ηηο δηαηάμνπκε ζε

αύμνπζα ζεηξά, ηόηε ε δηάκεζνο είλαη:

δ = ε κεζαία παξαηήξεζε, αλ ην πιήζνο ησλ

παξαηεξήζεσλ είλαη πεξηηηό

δ = ην εκηάζξνηζκα ησλ δύν κεζαίσλ παξαηεξήζεσλ, αλ ην

πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ είλαη άξηην

Β) Αλ έρνπκε θιάζεηο ηόηε γηα λα ππνινγίζνπκε ηελ

δηάκεζν, ζα πξέπεη πξώηα λα θαηαζθεπάζνπκε ην ηζηόγξακκα αζροηζηηθώλ

ζτεηηθώλ ζστλοηήηφλ Fi% θαη ην αληίζηνηρν πνιύγσλν. Καηόπηλ, ζα

θέξνπκε από ην ζεκείν 50% ζηνλ άμνλα ησλ ς, παξάιιειε επζεία ζηνλ άμνλα

ησλ ρ. Ζ ηεηκεκέλε ηνπ ζεκείνπ ηνκήο ηεο επζείαο απηήο θαη ηνπ πνιπγώλνπ

αζξνηζηηθώλ ζπρλνηήησλ, είλαη ε δηάκεζνο.

Fi%

ΜΔΣΡΑ ΓΗΑΠΟΡΑ

Σα κέηξα δηαζπνξάο εθθξάδνπλ ηηο απνθιίζεηο ησλ ηηκώλ κηαο κεηαβιεηήο γύξσ από

ηα κέηξα θεληξηθήο ηάζεο.

Γηαθύκαλζε s² Ζ δηαθύκαλζε δίλεηαη από ηνπο εμήο ηύπνπο:

22

2

2

12 ... s

ή αιιηώο )(1

2

1

1

22

i

i

xi

xis

ή όηαλ έρνπκε πίλαθα ζπρλνηήησλ ή νκαδνπνηεκέλα δεδνκέλα ηόηε ρξεζηκνπνηνύκε

ηνπο ηύπνπο 2

1

2 )(1

xixisk

i

ή αιιηώο )(1

2

1

1

22

ixi

ixisi

i

Σσπηθή απόθιηζε s είλαη ίζε κε ηελ ηεηξαγσληθή ξίδα ηεο δηαθύκαλζεο

2ss

Δύρος ηοσ δείγκαηος R είλαη ε δηαθνξά ηεο κεγαιύηεξεο ηηκήο από ηελ

κηθξόηεξε.

σληειεζηής κεηαβιεηόηεηας CV είλαη ην πειίθν:

Αλ ο ζσληειεζηής κεηαβιεηόηεηας είλαη κηθρόηερος ηοσ 10%, ηόηε ο

πιεζσζκός ζεφρείηαη οκοηογελής.

CV = %100

s