第十三章

动能定理

第十三章

动能定理

功是代数量

§13-1 力的功

常力在直线运动中的功

单位 J （焦耳） 1 J = 1 N·m

sFsFW cos

δ cosw F s 元功

δ dw F r 即

变力在曲线运动中的功

2 2

1 112 δ ·dM MM MW w F r

d d d d

x y zF F i F j F k

r xi yj zk

记

2

112 ( d d d )MM x y zW F x F y F z 则

21 ~ MM力 在 路程上的功为F

)(2112 iii

zzgmW

1 、重力的功

质点系

iiC zmmz 由

重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。

)( 2112 CC zzmgW 得

)(d 21122

1zzmgzmgW z

z

mgFFF yyx 0

2 、弹性力的功弹簧刚度系数 k(N/m)

0( ) rF k r l e

弹性力

弹性力的功为

2

112

1d

A

AW F r

n

2

10( ) d

A

rAk r l e r

21 1d d d( ) d( ) d

2 2r

re r r r r r r

r r r

因

022011 , lrlr 式中

rlrkW rr d)( 0122

1得

)(2

22

2112

kW即

弹性力的功也与路径无关

1

212 dzW M

3. 定轴转动刚物体上作用力的功

)( 1212 zMW则

zM若 常量

δ d d dt tw F r F s F R

由 RFM tz

得 dzw M

从角 转动到角 过程中力 的功为1 2 F

iM iF

作用在 点的力 的元功为

力系全部力的元功之和为

d ( )d

i

i C C i

w w

F r M F

4. 平面运动刚体上力系的功

2

1

δ d d d ( )n

i i i i C i iC ii

w F r F r F r X X

其中 d cos d ( )di iC i iC C iF r F M M F

d d di C iCr r r

i C iCv v v

由 两端乘 dt, 有

d di C CF r M

其中 : 为力系主失 , 为力系对质心的主矩 . RF

CM

当质心由 , 转角由 时 , 力系的功为21 ~ CC 21 ~

即 : 平面运动刚体上力系的功 , 等于刚体上所受各力作功的代数和 , 也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和 .

2 2

1 112 d d

C

R C CCW F r M

说明 :1 、对任何运动的刚体 , 上述结论都适用 ;

2 、 C 点不是质心 , 而是刚体上任意一点时 , 上述结论也成立 ;

3 、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。

§13-2 质点和质点系的动能

2

2

1iimT 2 、质点系的动能

1 、质点的动能 2

2

1 mT

单位： J （焦耳）

iCi mvvmTi

22

2

1

2

1

22222

2

1

2

1

2

1iiiiii rmrmvmT

（ 1 ）平移刚体的动能

（ 2 ）定轴转动刚体的动能

2

2

1 zJT 即

2

2

1CmvT 即

222 )(2

1

2

1 mdJJT Cp

即 : 平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和 .

22

2

1

2

1 CC JmvT 得

速度瞬心为 P

（ 3 ）平面运动刚体的动能

上面结论也适用于刚体的任意运动 .

d dt r d

dm F

t

将 两端点乘 ,

21d d( ), d ,

2m m F r w

由于

§13-3 动能定理1 、质点的动能定理

wm )2

1(d 2因此

d dm F r 得

上式称为质点动能定理的微分形式，即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。

122

12

2 2

1

2

1Wmm

称质点动能定理的积分形式 : 在质点运动的某个过程中 , 质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功 .

积分之 , 有

2 、质点系的动能定理

称质点系动能定理的微分形式 : 质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和 .

由 iii wm )2

1(d 2

iii wm )2

1(d 2

求和

iwT d得

称质点系动能定理的积分形式 : 质点系在某一段运动过程中 , 起点和终点的动能改变量 , 等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和 .

积分之 , 有

iwTT 12

3 、理想约束

光滑固定面固定铰支座、光滑铰链、柔索类等约束的约束力作功等于零 .

称约束力作功等于零的约束为理想约束 .

对理想约束 , 在动能定理中只计入主动力的功即可 .

内力作功之和不一定等于零 .

例 13-1 已知 :m, h, k, 其它质量不计 .

max求 :

解 :

,0,0 21 TT

max2

max 2)(00 k

hmg

kmghgmkk

mg2

1 22max

例 13-2 已知：轮 O 的 R1 、 m1 , 质量分布在轮缘上 ; 均质轮 C 的 R2 、 m2 纯滚动 , 初始静止 ;θ ,M 为常力偶。

求 : 轮心 C 走过路程 S 时的速度和加速度

SgSinmMW ·212

01 T

22

222

222

21

2112 )

2

1(

2

1

2

1)(

2

1 RmmRmT

轮 C 与轮 O 共同作为一个质点系解 :

1R

S

)32(

)(2

211

12

mmR

SSingRmMC

)32(4

· 21

2

2 mmSSingmM C )(a

22

11 ,

RRCC

1212 TTW

CC

CC SingmR

Mmm ·)32(2

12

121

121

12

)32(

)(2

Rmm

SinRgmMC

式 (a) 是函数关系式，两端对 t 求导 , 得

求 : 冲断试件需用的能量

701 292 例 13-3 冲击试验机 m=18kg, l=840mm, 杆重不计，

在 时静止释放，冲断试件后摆至

JWk 92.78得冲断试件需要的能量为

)cos1(00 1mgl

0,0 21 TT

kWmgl )cos1( 2

解 :

例 13-4 已知 : 均质圆盘 R,m,F= 常量 , 且很大 , 使 O

向右运动 , f, 初静止

求 :O 走过 S 路程时 ω 、 α

R 001 T

圆盘速度瞬心为 C ,

20

22

202 4

3)

2(

2

1

2

1 mmR

mT

解 :

12 TTW 2

04

32 mmgfsFS )(a

)2(3

20 mgfFm

s

mgfsFSW 2

T NF P F、 、 均不作功 .

注意 :

,SFW d1 、摩擦力 Fd 的功 S 是力在空间的位移，不是 受力作用点的位移 .

,, 00

r

a

r 将式 (a) 两端对 t 求导 , 并利用

)2(3

20 mgfF

ma 得

( ) 2d d d

SW F F S F R FS F S

R

不作功的力可不考虑 , 因此亦可如下计算 :

R

SRFRFSFFFW TT )()( dd

fsmgFS

SFFS

2

2

d

2 、亦可将力系向点 O 简化，即

例 13-5: 已知 : , 均质 ; 杆 m 均质 , =l , M= 常量 , 纯滚动 , 处于水平面内 , 初始静止 .

求 : 转过 φ 角的 ω 、 α

21,OO

21OO

21OO1r 1m

,01 T

221 )2

3

3(

2

1 lmm

研究整个系统

),(11

01101 r

l

rl

22

112011

22

2 )2

(2

1

2

1)

3(

2

1 rmm

mlT

解 :

MW WTT 12

221 )2

3

3(

2

1 lmm

M )(a

21)92(

12

lmm

M

21)92(

6

lmm

M

式 (a) 对任何 φ 均成立 , 是函数关系 , 求导得

注意 : 轮Ⅰ、Ⅱ接触点 C 不是理想约束 , 其摩擦力 Fs 尽管在空间是移动的 , 但作用于速度瞬心 , 故不作功 .

01 T

ABABC lCC 2

3

llB

OBB

AB

,

OBAB

例 13-6: 均质杆 OB=AB=l, m 在铅垂面内 ;M= 常量 , 初始静止 , 不计摩擦 .

2

)cos1(2l

mgMW 解 :

求 : 当 A 运动到 O 点时 , ？A

lABA 2·

22 2

1COBAB mTTT

12 TTW )cos1(

3

2

1 mglMmlAB

lABA 2·

22

3

4ABml 2

02

2

1

2

1OBABC JJ

d

WP

t

§13-4 功率、功率方程、机械效率

d

d t

rP F F v F v

t

1 、功率：单位时间力所作的功称功率

即 : 功率等于切向力与力作用点速度的乘积 .

由 , 得 dW F r

zz M

tM

t

WP

d

d

d

单位W（瓦特） ,1W=1J/S

作用在转动刚体上的力的功率为

2 、功率方程

n

ii

n

i

Pt

W

t

T

11

2

dd

d

称功率方程 , 即质点系动能对时间的一阶导数 , 等于作用于质点系的所有力的功率的代数和 .

无用有用输入 PPPt

T

d

d

或d

d

TP P P

t 无用输入 有用

3 、机械效率

机械效率输入

有效

P

P

有效功率t

TPP

d

d 有用有效

多级转动系统 n 2,1

例 13-7 已知 : 5.4 ,P kw输入 %30 输入无用 PP

min/r42,mm100 nd

若 ，求 F 的最大值。min/r112n

求 :切削力 F的最大值

解 : kw78.3 无用输入有用 PPP

有用有用 Pdn

ndFFP

60

30·

2

kN19.17min)/r42)(m1.0(

)kw78.3(sec)(60

F

kN45.6min)/112)(m1.0(

)kw78.3(sec)(60

rF

当 min/r112n 时

例 13-8: 已知 m . l0 .k . R . J

求 : 系统的运动微分方程。

RS 解 :

2

d

d

2

1

t

smT

2

2 d

d

2

1

t

s

R

Jm

t

sksp

t

smgp

d

d,

d

d 弹性力重力

2

d

d

2

1

tJ

d

d

Tp p

t 重力 弹性力

t

sks

t

smg

t

s

t

s

R

Jm

d

d

d

d

d

d

d

d2

2

2

ksmgt

s

R

Jm

2

2

2 d

d

,0 xS

kxkxkmgt

x

R

Jm

02

2

2 d

d

0d

d2

2

2

kx

t

x

R

Jm

令 为弹簧静伸长，即 mg=k , 以平衡位置为原点

0 0

§13-5 势力场 .势能 .机械能守恒定律1.势力场

0

0

d

d d d

M

M

M

x y zM

V F r

F x F y F z

势力场 :场力的功只与力作用点的始、末位置有关 , 与路径无关 .

2.势能

0M 称势能零点

, ,F F x y z

力场

（ 1 ）重力场中心势能

0

0dZ

ZV mg z mg z z

0 2 20d

2

r

r

kV F r

（ 2 ）弹性力场的势能

0 0 , 为零势能点 则

2

2k

V

（ 3 ）万有引力场中的势能

0 0 1 22

d dA A

rA A

fm mV F R e r

r

d dr r re由于 有

1 1 21 22

1

1 1d

r

r

fm mV r fm m

r r r

取零势能点在无穷远 1r

r

mfmV 21

0

di

i

M

iMV F r

质点

00 CCiii zzmgzzgmV 重力场

例 : 已知 均质杆 l, m 弹簧强度 k, AB 水平时平衡，弹簧变形 0

取弹簧自然位置 O 为零势能点 :

k

gmlk

lmglkV

82

1

22

1 22222

0

k

mg

20 ( ) 0AM F

由 得

22

2

12

1

20

220

20

20

2

lmgllk

mghkV

取杆平衡位置为零势能点 :

22

2

1lkV 即

质点系在势力场中运动 , 有势力功为

2112 VVW

3. 机械能守恒定律

由 1212 WTT

即 : 质点系仅在有势力作用下运动时 , 机械能守恒 . 此类系统称保守系统

2112 VVW 及

2211 VTVT 得

例：已知：重物 m=250kg, 以 v=0.5m/s匀速

下降，钢索 k=3.35× N/m . 610

求 : 轮 D突然卡住时，钢索的最大张力 .

,k

mgst

01 V

stst mgk max

22max2 2

V

卡住前

卡住时 :

0,2

12

21 TmT

kN45.2 mgkF st

解 :

得

stst g

2

max 1

kN9.16112

max

m

k

gmg

gkkF

ststst

022

2max

2max

ststst g

即

由 有2211 VTVT

stmg max

22mxa

2

200

2

1st

km

200

220 2

1

22

1 Jbk

J

取水平位置为零势能位置

0222

0 / Jkb

例 : 已知： m, , k 水平位置平衡 OD=CD=bOJ

求：初速 时， =?0

解 :

＊ 4. 势力场的其他质：

z

VF

y

VF

x

VF zyx

,,(1)

（ 2 ）势能相等的点构成等势面

（ 3 ）有势力方向垂直于等势能面，指向势能减小的方向

§13-6 普遍定理的综合应用动量、动量矩 动能

矢量，有大小方向内力不能使之改变只有外力能使之改变约束力是外力时对之有影响。不与能量相互转化，应用时不考虑能量的转化与损失。当外力主矢为零时，系统动量 守恒当外力对定点 O或质心的主矩为零时系统对定点或者质心的动量矩守恒。动量定理描述质心的运动变化动量矩定理描述绕质心或绕定点的运动变化。

非负的标量，与方向无关

内力作功时可以改变动能只有作功能改变动能理想约束不影响动能可进行动能转化应用时完全从功与能的观点出发

在保守系中，机械能守恒

动能定理描述质心运动及相对质心运动中动能的变化。

例 : 已知 均质园轮 m, r, R , 纯滚动

求 : 轮心Ｃ的运动微分方程

d

d

sP mg mg

t

d

d

sm g

t

dsin

d

smg

t

,4

3

2

1

2

1 222CCC mJmT 解 :

重力的功率

dsin

d

sm g

t

（ 很小）2

2

d d d, , ,sin

d d dC

C

s s s

t t t R r

03

2

d

d2

2

rR

gs

t

s

d3 d2 sin

4 d dC

C

sm mg

t t

pt

T

d

d

本题也可用机械能守恒定律求解 .

2

4

3,cos1 CmTrRmgV

0sin3

2

d

d2

2

gt

s得

0d

dTV

t

例 : 已知两均质轮 m ,R ; 物块 m , ｋ , 纯滚动 , 于弹簧原长处无初速释放 .

求：重物下降 h 时 ,v 、 a及滚轮与地面的摩擦力 .

01 T解 :

2

2222222

2

3

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

m

mRmmRmT

22 222

1khmghhkmghW

将式（ a ）对 t 求导 d d3 4

d d

hm mg kh

t t

12 TTW （ a）

22

2

32 mkhmgh

m

hkhmg

3

22

得m

khga

3

4

3

khmg

maFFS 3

4

62

1

RFFR

mRt s

2

2

1

d

dkhF 2其中

例 : 已知 l, m

求 : 杆由铅直倒下 , 刚到达地面时的角速度和地面约束力 .

cos

2

lCPCC 解 :

成 角时,01 T

22

222 cos3

11

2

1

2

1

2

1CCC mJmT

22cos3

11

2

1sin1

2 Cml

mg

l

gglC

3,3

2

1

(a)CN maFmg

(b)122

2mlJ

lF CN

时0

由 (a), (b), (c) 得4

mgFN

t nC A CA CAa a a a

由

tC CAa a、 n

A CAa a、其中 : 铅直 水平

2

laa t

CAC (c)

例 : 已知 轮 I :r, m1; 轮 III :r,m3; 轮 II :R=2r, m2;压力角（即

齿轮间作用力与图中两圆切线间的夹角）为 20 度 , 物块 :mA;

摩擦力不计 .

求 :O1 O2 处的约束力 .

其中22

,2

1,

22

111

2 rmJr

r OA

22232

211 2

1

2

1

2

1AAOOO mJJJT 解 :

233

222 2

1,

2

1rmJRmJ OO

hmMw Add

利用 2,

21

21

r

aA

其中 d2

1d rh

wt

T d

d

rmmmm

grmMa

A

AA

321 442

22

研究 I 轮

r

ramM

r

rmMP A

t1

12

121

ttn PPP 364.020tan

压力角为 20

rPMJ tO 11

011 gmPyF tO

r

ramMxF A

O1364.0

1

01

nO PxF

r

ramMgmyF A

O1

11

研究物块 A

gmamF

amgmF

AAT

AAAT

1

研究 II轮

02

nxO PF

r

ramMF A

xO10364

2

0322 TtyO FgmmPF

AAA ammr

MgmmmyF 13202

例 9 ：已知 ,m,R, k, CA=2R 为弹簧原长 ,M 为常力偶 .

求 : 圆心 C 无初速度由最低点到达最高点时 ,O 处约束力

2

22202

2 Rk

RmgMW

wTT 12

22

2 343.023

4kRRmgM

mR

2343.02 kRRmgM

01 T解 :

222222 4

3

2

1

2

1

2

1 mRmRmRJT O

45cosFRMJ

2

1222

2

3 2 RRRkMmR

2, RR CyCx

2

2

3

586.02

mR

kRM

得 OxOx makRF 586.0

45cosFmgFma OyCy

CyOy makRmgF 586.0

R

MkRmg 189.4043.1667.3

kRMR

196.03

2

45cosFFma OxCx

例 均质杆 AB,l, m, 初始铅直静止 , 无摩擦

求： 1.B端未脱离墙时 , 摆至 θ 角位 置时的　 , ,FBx ,FBy

2. B 端脱离瞬间的 θ １ 3. 杆着地时的 vC及 2

cos13

l

g sin2

3

l

g

2

la t

C

2

2l

anC

2

211 cos

2 2 3

l mlmg 解 :(1)

2cos2sin3

4

3

cossin

2

mgmg

aammgF nC

tCBy

CyBy mamgF

)2cos3(sin4

3

)sincos(

mg

aammaF nC

tCCxBx

(2) 脱离瞬间时 0BxF

1

2arccos

3

l

g

l

g cos1

31

(3) 脱离后 , 水平动量守恒 ,脱离瞬时

glvv CCx 3

1cos 1

gll

vC 2

1

2 1

杆着地时 , AC 水平 C B CBv v v

由铅直——水平全过程

222

2

1

2

1

2CCyCx Jvmv

lmg

2

lvv CBCy

01 T 12 TTW

式中12

,2

,3

1 2lJ

lvglv CCyCx

l

g

3

8

l

gvCy 3

8

2

1

glvvv CyCxC 73

122