Спектральный анализ Быстрая свертка Фильтрация

Спектральный Спектральный анализанализБыстрая свертка Быстрая свертка ФильтрацияФильтрация

Лектор: Лукин Алексей СергеевичЛектор: Лукин Алексей Сергеевич

ПланПлан

Спектральный анализСпектральный анализ►Мощность сигнала, теорема ПарсеваляМощность сигнала, теорема Парсеваля►Спектрограммы, усреднение во времениСпектрограммы, усреднение во времени►Частотно-временное разрешениеЧастотно-временное разрешение

Быстрая сверткаБыстрая свертка►Свертка в частотной областиСвертка в частотной области► Разбиение ядраРазбиение ядра

ФильтрацияФильтрация►Основные понятияОсновные понятия►Фильтры для изображений, их частотные Фильтры для изображений, их частотные

характеристикихарактеристики►Применения: эквалайзеры, реверберацияПрименения: эквалайзеры, реверберация

Мощность и амплитуда Мощность и амплитуда

Мощность пропорциональнаМощность пропорциональнаквадрату амплитудыквадрату амплитуды

RMS RMS сигналасигнала(среднеквадратичное значение)(среднеквадратичное значение)

Окна при вычислении Окна при вычислении RMSRMS

Вычисление Вычисление RMS RMS в реальном временив реальном времени

N

i

ixN

RMS1

2][1

222 ][]1[)1(][ nxnRMSnRMS

(пропорционально амплитуде)

(экспоненциальное окно)

N

i

ixN

P1

2][1

Теорема Парсеваля Теорема Парсеваля

Энергия сигнала равна энергии спектраЭнергия сигнала равна энергии спектра(возможно, с точностью до множителя,(возможно, с точностью до множителя, зависящего от нормализации зависящего от нормализации в формулах преобразования Фурье) в формулах преобразования Фурье)

Применение теоремы для оценки энергии Применение теоремы для оценки энергии различных частотных составляющих различных частотных составляющих сигналасигнала

Пример:Пример:

вычисление вычисление THDTHD ((total harmonic distortion)total harmonic distortion)

ki

kXix22 ][][

%100total

distortion

RMS

RMSTHD

Спектральный анализСпектральный анализ

Как вычислить и отобразить спектр сигнала?Как вычислить и отобразить спектр сигнала?

1.1. Взять нужный отрезок сигнала длины Взять нужный отрезок сигнала длины 22mm; ; если нужный если нужный отрезок короче – дополнить его нулямиотрезок короче – дополнить его нулями

2.2. Если нужно – умножить сигнал на весовое окно, Если нужно – умножить сигнал на весовое окно, плавно спадающее к краям. Обычно это улучшает плавно спадающее к краям. Обычно это улучшает свойства спектрасвойства спектра

3.3. Вычислить Вычислить FFTFFT

4.4. Перевести комплексные коэффициенты в полярную Перевести комплексные коэффициенты в полярную форму: получить амплитуды и фазыформу: получить амплитуды и фазы

5.5. Отобразить график зависимости амплитуды от частотыОтобразить график зависимости амплитуды от частоты

Примеры весовых окон

Свойства ДПФСвойства ДПФ

ЛинейностьЛинейность

Комплексное ДПФ от вещественного сигнала обладает Комплексное ДПФ от вещественного сигнала обладает симметрией относительно коэффициента симметрией относительно коэффициента kk = = NN/2. /2. Таким Таким образом, только половина коэффициентов являются образом, только половина коэффициентов являются значимыми.значимыми.

Периодическое продолжение сигналаПериодическое продолжение сигнала

Циклический сдвиг отсчётов сигнала не изменяет Циклический сдвиг отсчётов сигнала не изменяет амплитудного спектра, а меняет только фазовыйамплитудного спектра, а меняет только фазовый

1

0

2exp

1][

N

kk kn

N

iX

Nnx

1

0

2exp][

N

kk kn

N

inxX

Размытие спектраРазмытие спектра

Как выглядит спектр синусоиды, если её частота Как выглядит спектр синусоиды, если её частота совпадает/не совпадает с базисными частотами ДПФ?совпадает/не совпадает с базисными частотами ДПФ?

нет окна (прямоугольное окно)

Размытие спектраРазмытие спектра

Размытие спектра: весовые окнаРазмытие спектра: весовые окна► Умножение сигнала на весовое окно устраняет разрывы Умножение сигнала на весовое окно устраняет разрывы

в периодическом продолжении сигнала, делая его в периодическом продолжении сигнала, делая его более гладкимболее гладким

► Боковые лепестки спектра синусоиды подавляются Боковые лепестки спектра синусоиды подавляются (в (в зависимости от типа весового окна)зависимости от типа весового окна)

► Главный лепесток спектра синусоиды расширяется Главный лепесток спектра синусоиды расширяется (чем (чем уже окно во временной области, тем сильнее расширение в частотной уже окно во временной области, тем сильнее расширение в частотной области)области)

нет окна (прямоугольное окно) окно Кайзера (Kaiser), β = 15

Весовые окнаВесовые окна

Весовые окна уменьшают эффект размытия спектра, Весовые окна уменьшают эффект размытия спектра, подавляя боковые лепестки за счёт расширения подавляя боковые лепестки за счёт расширения главного лепесткаглавного лепестка

окно Хэмминга (Hamming)



окно Хана (Hann)



окно Блэкмана (Blackman)



окно Кайзера (Kaiser), β = 15


Прямоугольное (нет окна) Hamming

Blackman Kaiser

Формулы и картинки: http://en.wikipedia.org/wiki/Window_Function


Отображение спектра звукаОтображение спектра звука► Спектр – график зависимости амплитуды от частотыСпектр – график зависимости амплитуды от частоты► Низкие частоты – слева, высокие – справаНизкие частоты – слева, высокие – справа► Часто применяется логарифмический масштаб частот Часто применяется логарифмический масштаб частот

и амплитуди амплитуд: “log-log-: “log-log-спектрспектр””► Временное и частотное разрешение спектраВременное и частотное разрешение спектра

Децибелы:0

1lg20A

AD

A1 – амплитуда измеряемого сигнала,A0 – амплитуда сигнала, принятого за начало отсчета (0 дБ)Разница на 6 дБ – разница по амплитуде в 2

раза,разница на 12 дБ – разница по амплитуде в 4 раза.Часто за 0 дБ принимается либо самый тихийслышимый звук, либо самый мощный звук,который может воспроизвести аудиоустройство.


Примеры звуков и их спектровПримеры звуков и их спектров

Песня (стерео запись)

Нота на гитаре


Отображение спектра звука: спектрограмма Отображение спектра звука: спектрограмма (сонограмма)(сонограмма)► Спектрограмма – график зависимости амплитуды от Спектрограмма – график зависимости амплитуды от

частоты и от времени, показывает изменение спектра частоты и от времени, показывает изменение спектра во времениво времени

► Short Time Fourier Transform (STFT)Short Time Fourier Transform (STFT)

m

miemwmnxnSTFT ][][],[




► Short Time Fourier Transform (STFT)Short Time Fourier Transform (STFT)

m

miemwmnxnSTFT ][][],[




► Низкие частоты снизу, высокие – сверхуНизкие частоты снизу, высокие – сверху► Время идет по горизонталиВремя идет по горизонтали► Амплитуда – яркость или цветАмплитуда – яркость или цвет► Частотное и временное разрешениеЧастотное и временное разрешение

Спектрограмма Осциллограмма (форма волны)


Примеры звуков и их спектрограммПримеры звуков и их спектрограмм

Нота на гитаре


Спектрограммы шумаСпектрограммы шума

Типы шумов: белыйТипы шумов: белый ( (постоянная постоянная PSD)PSD), розовый, розовый ( (3 3 дБ/окт.), коричневый (6 дБ/окт.)дБ/окт.), коричневый (6 дБ/окт.)

Вариация и усреднение спектрограммВариация и усреднение спектрограмм

Построение Построение спектрограммспектрограмм

Мел-шкала частотМел-шкала частот Недостаточное частотное разрешение на НЧ, Недостаточное частотное разрешение на НЧ,

недостаточное временное разрешение на ВЧнедостаточное временное разрешение на ВЧ

Обычная спектрограмма,окно 512 точек

Обычная спектрограмма,окно 4096 точек


Адаптивное частотно-временное разрешение Адаптивное частотно-временное разрешение спектрограммспектрограмм

Критерий оптимальности: максимально компактная Критерий оптимальности: максимально компактная локализация энергии локализация энергии (минимальное размытие (минимальное размытие спектрограммы)спектрограммы)

Адаптивная спектрограмма,разрешение зависит от частоты

Адаптивная спектрограмма,оптимальное разрешение


Критерий оптимальности: максимальное Критерий оптимальности: максимальное компактирование (локализация) энергиикомпактирование (локализация) энергии

6 ms 12 ms 24 ms 48 ms 96 ms

лучшееразрешение

n

i

n

iri

L

Lr

rian

a

nanorm

anormS

1

2

1,

2

1

,

)(

)(r

rSr minarg0

Здесь aai,ri,r – амплитуды STFT в блоке разрешения rr, Sr – мера размытости спектра для данного разрешения rr, rr00 – лучшее разрешение, для которого размытость минимальна.

Свертка и фильтрация Свертка и фильтрация

Основные терминыОсновные термины►Свертка Свертка ((convolution)convolution), фильтрация, фильтрация (filtering)(filtering)

►ФильтрФильтр (filter)(filter), ядро фильтра, ядро фильтра (kernel)(kernel)

►Импульсная, частотная и фазовая характеристикиИмпульсная, частотная и фазовая характеристики (impulse, frequency, phase response)(impulse, frequency, phase response)

Применения фильтрацииПрименения фильтрации►Анти-алиасинг изображений, нахождение границАнти-алиасинг изображений, нахождение границ►Звуковой эквалайзерЗвуковой эквалайзер►Моделирование реверберации помещенияМоделирование реверберации помещения

][][][ nxnhny

k

khknxny ][][][

Быстрая сверткаБыстрая свертка

Прямое вычисление: Прямое вычисление: M·N M·N умножений (умножений (M – M – размер ядра размер ядра свертки, свертки, N – N – длина сигнала)длина сигнала)

Теорема свертки: сверткаТеорема свертки: свертка** во временной области во временной области эквивалентна умножению в частотной области, а эквивалентна умножению в частотной области, а умножение во временной области эквивалентно умножение во временной области эквивалентно сверткесвертке** в частотной области. в частотной области.

Алгоритм быстрой свертки:Алгоритм быстрой свертки:1.1. Вычислить спектры сигнала и ядра сверткиВычислить спектры сигнала и ядра свертки (FFT) (FFT)

2.2. Перемножить эти спектрыПеремножить эти спектры

3.3. Вернуть полученный спектр во временную область Вернуть полученный спектр во временную область ((IFFT)IFFT)

Почему это быстрее?Почему это быстрее? Потому что переход в частотную Потому что переход в частотную область и обратно быстрый: область и обратно быстрый: FFTFFT

* Речь идет о т.н. круговой свертке* Речь идет о т.н. круговой свертке

Быстрая сверткаБыстрая свертка

Как изменяется длина сигнала при свертке? Она Как изменяется длина сигнала при свертке? Она увеличивается на длину ядра минус 1 увеличивается на длину ядра минус 1 (т.к. каждый (т.к. каждый входной отсчет превращается в ядро и они складываются с входной отсчет превращается в ядро и они складываются с наложением)наложением)

Значит, если взять сигнал длины Значит, если взять сигнал длины N, N, ядро длины ядро длины M M и и произвести свертку через произвести свертку через FFT FFT размера размера N, N, то результат то результат свертки свертки (длины (длины N+M-1)N+M-1) не поместитсяне поместится в результате в результате IFFT IFFT ((длины длины N)N). . Произойдет Произойдет круговая сверткакруговая свертка (заворачивание (заворачивание

результата по времени)результата по времени)..

Следовательно, для предотвращения круговой Следовательно, для предотвращения круговой свертки надо взять размер свертки надо взять размер FFT FFT как минимум как минимум N+M-1N+M-1

Вычисление сверткиВычисление свертки

Быстрая сверткаБыстрая свертка через через FFTFFT► Неоптимальна по скорости, когда длины сигнала Неоптимальна по скорости, когда длины сигнала

и ядра сильно различаютсяи ядра сильно различаются► Неприменима при потоковой обработке Неприменима при потоковой обработке (когда (когда

входной сигнал поступает в реальном времени и его длина входной сигнал поступает в реальном времени и его длина неизвестна)неизвестна)

Секционная сверткаСекционная свертка► Используем свойство линейности и Используем свойство линейности и

инвариантности к сдвигу: разбиваем сигнал на инвариантности к сдвигу: разбиваем сигнал на блоки и делаем быструю свертку блочноблоки и делаем быструю свертку блочно

► Увеличение длины каждого блока на Увеличение длины каждого блока на M–1 M–1 → → сложение результатов с перекрытием сложение результатов с перекрытием (метод (метод OLA: OLA: overlap-add)overlap-add)

Подробности – см. в методичке

))(())(( nhFFTnxFFTIFFT

Разбиение ядраРазбиение ядра

Проблема секционной свертки: сигнал надо Проблема секционной свертки: сигнал надо накапливать блоками, сравнимыми по накапливать блоками, сравнимыми по размеру с длиной ядра свертки размеру с длиной ядра свертки (иначе – (иначе –

неэффективно) неэффективно) → задержки при → задержки при real-timereal-time Partitioned convolutionPartitioned convolution (свертка с разбиением ядра)(свертка с разбиением ядра)

►Цель – уменьшение задержкиЦель – уменьшение задержки►Недостаток – некоторое увеличение времени Недостаток – некоторое увеличение времени

обработкиобработки )(...)(...)()()( 1 nhnxnxnhnx m Секционная свертка:

)(...)(...)(...)()()( 11 nhnhnxnxnhnx km Разбиение ядра:

(раскрываем скобки)

ФильтрацияФильтрация

Получение частотной характеристики по Получение частотной характеристики по ядруядру1.1. Дополнение нулямиДополнение нулями

2.2. FFTFFT

3.3. Берем модули комплексных коэффициентовБерем модули комплексных коэффициентов

Свертка = умножение спектра сигналаСвертка = умножение спектра сигналана частотную характеристику фильтрана частотную характеристику фильтра

* =Перемножение амплитуд = сложение децибелов

Виды фильтровВиды фильтров

Идеальные и реальные фильтры, виды Идеальные и реальные фильтры, виды искаженийискажений

FIRFIR ((finite impulse response)finite impulse response) и и IIR IIR (infinite i. r.)(infinite i. r.) фильтрыфильтры Линейность ФЧХ Линейность ФЧХ («линейность фазы»)(«линейность фазы»)

Построение фильтровПостроение фильтров

Простейший НЧ-фильтр – Простейший НЧ-фильтр – windowed sincwindowed sinc

Метод спектральной инверсииМетод спектральной инверсии**

► Вычитание фильтра из единичного импульсаВычитание фильтра из единичного импульса – – вычитает его АЧХ из единичнойвычитает его АЧХ из единичной

► Инверсия каждого второго отсчета в фильтре – Инверсия каждого второго отсчета в фильтре – разворачивает АЧХ фильтра по частотеразворачивает АЧХ фильтра по частоте

)()sin(

nwn

n

* Применим для фильтров с линейной ФЧХ* Применим для фильтров с линейной ФЧХ


Метод весового окнаМетод весового окна► Построение фильтра с линейной фазой по Построение фильтра с линейной фазой по

произвольной заданной частотной произвольной заданной частотной характеристикехарактеристике

► Частотная характеристика приближается с Частотная характеристика приближается с любым заданным уровнем точностилюбым заданным уровнем точности

Более сложные методыБолее сложные методы► Чуть меньшее число точек ядра при соблюдении Чуть меньшее число точек ядра при соблюдении

той же частотной характеристикитой же частотной характеристики► Специальные требования Специальные требования (к фазовой характеристике, к (к фазовой характеристике, к

монотонности частотной характеристики и т.п.)монотонности частотной характеристики и т.п.)


Метод весового окна Метод весового окна (идея метода – взять обратное (идея метода – взять обратное FFT FFT от требуемой АЧХ)от требуемой АЧХ)

1.1. Дана требуемая АЧХ (частотная характеристика)Дана требуемая АЧХ (частотная характеристика)2.2. Произвольно выбираем размер Произвольно выбираем размер FFT N FFT N и берем и берем

амплитуды коэффициентов Фурье по АЧХ амплитуды коэффициентов Фурье по АЧХ ((N/2+1 N/2+1 точка)точка)

3.3. Записываем нули в фазы и делаем Записываем нули в фазы и делаем IFFTIFFT

4.4. Циклический сдвиг ядраЦиклический сдвиг ядра

5.5. Применение весового окнаПрименение весового окна6.6. Контроль реальной полученной АЧХ Контроль реальной полученной АЧХ (см. получение (см. получение

АЧХ по ядру фильтра)АЧХ по ядру фильтра)

7.7. Если АЧХ недостаточно соответствует Если АЧХ недостаточно соответствует требованиям – увеличиваем размер требованиям – увеличиваем размер FFT FFT и снова и снова конструируем фильтрконструируем фильтрПодробности – см. в методичке

Единичный импульсЕдиничный импульс

Простейшее размытиеПростейшее размытие

Двумерные фильтрыДвумерные фильтры

],[ nm

121

232

121

15

1],[ pkKer

Константное размытие 3х3Константное размытие 3х3

Константное размытие 5х5Константное размытие 5х5


SumpkKer

1],[

SumpkKer

1],[

Повышение четкостиПовышение четкости

Выделение границВыделение границ


121

2222

121

10

1

010

141

010

ТиснениеТиснение

Пример спектра изображенияПример спектра изображения


010

101

010

Эквалайзеры Эквалайзеры

Эквалайзер – устройство коррекции тембра Эквалайзер – устройство коррекции тембра сигнала, изменяющее амплитуды его сигнала, изменяющее амплитуды его частотных составляющихчастотных составляющих

Изначально применялись для выравнивания Изначально применялись для выравнивания АЧХ неидеального звукового трактаАЧХ неидеального звукового тракта

Вскоре стали использоваться и творчески, Вскоре стали использоваться и творчески, для создания нужных тембров или для создания нужных тембров или аккуратного совмещения инструментов в аккуратного совмещения инструментов в фонограммефонограмме

АЧХ АЧХ

Амплитудно-частотная характеристика Амплитудно-частотная характеристика ((frequency response)frequency response)

Добротность (Добротность (Q) Q) определяет ширину полосы определяет ширину полосы воздействиявоздействия

Виды эквалайзеров Виды эквалайзеров

По управлению АЧХ:По управлению АЧХ:►ПараметрическиеПараметрические: можно выбирать одну из : можно выбирать одну из

имеющихся форм АЧХ и задавать ее параметры: имеющихся форм АЧХ и задавать ее параметры: центральную частоту, коэффициент усиления и центральную частоту, коэффициент усиления и добротностьдобротность

► ГрафическиеГрафические: пользователь «рисует» требуемую : пользователь «рисует» требуемую АЧХ непосредственно на дисплее или с помощью АЧХ непосредственно на дисплее или с помощью набора регуляторов усиления на различных набора регуляторов усиления на различных частотахчастотах

►ПараграфическиеПараграфические: гибрид предыдущих: гибрид предыдущих По принципу действия:По принципу действия:

►АналоговыеАналоговые: состоят из конденсаторов, катушек : состоят из конденсаторов, катушек индуктивности, операционных усилителейиндуктивности, операционных усилителей

►ЦифровыеЦифровые: используют : используют FIR FIR или или IIR IIR фильтрыфильтры

ФЧХ и ГВЗ ФЧХ и ГВЗ

Фазово-частотная характеристика Фазово-частотная характеристика ((phase phase response)response)

►Изменение фазы в зависимости от частотыИзменение фазы в зависимости от частоты Групповое время задержки Групповое время задержки ((group delay)group delay)

►Задержка различных частотных составляющихЗадержка различных частотных составляющих

АЧХ ФЧХ ГВЗ

Импульсная Импульсная характеристикахарактеристика

Конечная (Конечная (FIR)FIR)►Легко достичь линейной ФЧХЛегко достичь линейной ФЧХ

БесконечнаяБесконечная (IIR) (IIR)►Нелинейная ФЧХНелинейная ФЧХ

Звон фильтров (Звон фильтров (ringing)ringing)

MkM

kkii hxy

Nk

kikNk

kiki yaxby10

Линейная ФЧХ Нелинейная ФЧХ

Измерение Измерение реверберацииреверберации

Импульсный отклик помещенияИмпульсный отклик помещения Реверберация: прямой звук, ранние и Реверберация: прямой звук, ранние и

поздние отраженияпоздние отражения


Способы измерения импульсного отклика:Способы измерения импульсного отклика:►Единичный импульс Единичный импульс (плохое соотношение (плохое соотношение

сигналсигнал//шум)шум)

►Звук стартового пистолета Звук стартового пистолета / / лопающегося лопающегося воздушного шарика воздушного шарика (неровный спектр, маленькая (неровный спектр, маленькая энергия на НЧ)энергия на НЧ)

Шум измеряемого залаИспользуются материалы Дэвида Гризингера (Lexicon)

Стартовый пистолет


Способы измерения импульсного отклика:Способы измерения импульсного отклика:►Белый шум, Белый шум, MLS-MLS-последовательности последовательности

(чувствительны к нелинейным искажениям)(чувствительны к нелинейным искажениям)

►Скользящий тон (Скользящий тон (swept sineswept sine, «плавающий , «плавающий синус»синус»))

ДеконволюцияДеконволюция(обратная свертка)(обратная свертка)

Скользящий тон

РеверберацияРеверберация

Что почитать:Что почитать:►Дэвид Гризингер: Дэвид Гризингер: http://world.std.com/~griesngr/

►Ирина Алдошина: Ирина Алдошина: http://www.625-net.ru/archive/z0803/aldo.htm

Documents

Спектральный анализ Быстрая свертка Фильтрация