ТРУДЫ - mathdep.ifmo.rumathdep.ifmo.ru/files/treatise/ТРУДЫ_2011.pdf · А.Н. Скорынина Спектральный анализ модели ветвящихся

ТРУДЫ студенческого центра

прикладных математических

исследований

НИУ ИТМО

Санкт-Петербург

2011

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

ТРУДЫ студенческого центра

прикладных математических

исследований

СБОРНИК СТАТЕЙ

кафедра высшей математики

НИУ ИТМО

Санкт-Петербург

2011

ТРУДЫ студенческого центра прикладных математических

исследований. Сборник статей / Под ред. И.Ю. Попова – СПб: НИУ ИТМО,

2011, 134с.

В сборнике собраны статьи, отражающие научные результаты студентов и

аспирантов, полученные ими в ходе работы в студенческом центре

прикладных математических исследований.

В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в

результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым

присвоена категория «Национальный исследовательский университет».

Министерством образования и науки Российской Федерации была

утверждена Программа развития государственного образовательного

учреждения высшего профессионального образования «Санкт-

Петербургский государственный университет информационных технологий,

механики и оптики» на 2009–2018 годы.

© Санкт-Петербургский национальный

исследовательский университет информационных

технологий, механики и оптики, 2011

©Авторы, 2011

Содержание М.И. Гаврилов, С.И. Попов

Многочастичные квантовые состояния и хранение частиц в нанослоях 4

И.В. Гончарова

Построение математической модели струнного музыкального инструмента с

объемным резонатором 15

Т.И. Зайцева

Оценка величины зазора при разрыве бесстыкового пути 19

М.О. Ковалева

Модель возрастной структуры изолированной популяции 23

М.А. Колмогоров

Непрерывная форма метода резиновой ленты для расчета минимального

энергетического пути. 35

К.Н. Кызьюрова

Математическое моделирование течения жидкости, вызванного стокслетом,

в конусе 39

Р.Д. Нергачев, А.И. Трифанов, Д.Ю. Филиппов

Разность резольвент самосопряжённых расширений гамильтониана

упрощенной модели взаимодействия атом-поле 49

С.А.Осипов

Модель туннелирования через двумерный периодический массив квантовых

точек в магнитном поле. 53

С.И.Попов, И.О.Бережной

Функция Грина для модели слоистой Земли 58

К.В.Правдин

Явно решаемые модели в задачах о метаматериалах 67

О.А. Родыгина

Стоксово течение в нанотрубке, вызванное солитоном 72

А.Н. Скорынина

Спектральный анализ модели ветвящихся полос графена 80

П.И. Смирнов

Спектральная задача для квантового графа типа цепочки колец с

разветвлением 90

А.А. Сотникова

Оптимизация параметров оптоволокна для уменьшения ошибок при

распределении квантового ключа 96

А.Г. Субаев

Непрерывный спектр оператора Шредингера для соединенных

полукристаллов с потенциалами Кронига-Пенни 109

А.И. Трифанов

Фазовое преобразование квантовых состояний поля резонатора как эффект

дискретного фотодетектирования 117

А.М. Чиркин

Задача преследования объекта методом погони и методом последовательного

сближения 125

4

УДК 517.958

МНОГОЧАСТИЧНЫЕ КВАНТОВЫЕ СОСТОЯНИЯ

И ХРАНЕНИЕ ЧАСТИЦ В НАНОСЛОЯХ.

М.И.Гаврилов, С.И.Попов

Рассмотрен точечный спектр двухчастичной задачи в нанослоях с возмущениями- локальными

искажениями границы и отверстем связи между двумя слоями. Использовано приближение Хартри. Расчеты

проведены методом конечных элементов.

Вступление.

Известно, что искривленные квантовые слои способны удерживать частицы. Это

связано с тем, что соответствующий гамильтониан имеет непустой дискретный спектр. При

этом увеличение кривизны ведет к увеличению мощности множества точек дискретного

спектра. Вопрос о количестве частиц, которые могут быть удержаны в искривлении

волновода (слоя) или его границы важен для многих физических приложений, в частности,

для увеличения количества водорода, хранящегося в межслоевом пространстве.

Гамильтониан плоского бесконечного слоя не имеет связанных состояний. В работе

предложена и исследована модель двухчастичной системы в искривленном квантовом слое и

изучена связь между геометрией искривления слоев, интенсивностью взаимодействия частиц

и возможностью удерживать несколько частиц в области искажения границ слоев.

Многочастичная квантовая задача рассмотрена методом Хартри. Собственные функции и

собственные значения многочастичного гамильтониана находятся методом конечных

элементов. Найдена область на плоскости параметров системы («величина искажения

границы – интенсивность взаимодействия частиц»), соответствующая возможности

удержания частиц. Результаты могут быть использованы при создании соответствующих

наноустройств. Разработанный метод может применяться при анализе спектра других

многочастичных систем.

1. Математическая модель искривленного волновода.

Чтобы оценить количество нейтральных частиц (фермионов), которые могут

находиться в связанном состоянии в окрестности искривленной части слоя, достаточно

найти размерность подпространства дискретного спектра для одночастичного гамильтониана

и воспользоваться принципом Паули. Если слой переходит в себя при сдвиге вдоль одной из

осей, то задача сводится к двумерной (задача об искривленной полосе). Рассмотрим именно

этот случай. Пусть - полоса в 2 постоянной ширины 2d a .(рис.1) Пусть ось . С

точностью до евклидова преобразования полоса однозначно задается полушириной a и

кривизной ( )s s

, заданной на , где s - длина кривой. Будем предполагать, что

выполнены следующие условия регулярности а) несамопересекающаяся; б) 1a

, в)

финитна и

2 , ', 'C - ограничены.

5

Рис. 1

Пусть 2 1m . Используя естественные ортогональные координаты ( , )s u

в ,

сводим одночастичный гамильтониан к оператору

2 2(1 ) ( , )s s uH u V s u

на 2( ( , ))L a a

с потенциалом 2 2

2 3 4

( ) "( ) 5 "( )( , ) ,

4(1 ( )) 2(1 ( )) 4(1 ( ))

s u s u sV s u

u s u s u s

который определен и существенно самосопряжен на

2( ) { : , ( , ) 0, }D H f f C f s a Hf L .

Представляя оператор в виде разложения по модам, сводим задачу к одномерной. [2-

4]. Здесь используем оценки Бирмана-Швингера. Мажорируем потенциал V :

2 2 2

2 3 4

"( )( ) 5 "( ), 1

4 2 4

a ss a sW a

.

Пусть для 2,3...j

2

2

2

2

0, ( 1) ,2

( )

( ), ( 1) .2

j

j Wa

W s

W s j Wa

Тогда количество N нейтральных частиц с полуцелыми спинами S , которые могут

быть удержаны в связанном состоянии в окрестности искривления слоя оценивается [1]

следующим образом:

22 2

2

( ) ( )

(2 1) 1 ( )( ) j

W s s t W t dsdt

N S W s dsW s ds

.

Здесь границы слоя предполагались непроницаемыми (граничное условие Дирихле). В

рамках такого же подхода можно анализировать и другие условия. В частности,

полупрозрачную границу можно рассматривать как дельта-потенциал, сосредоточенный на

кривой (см., например, [5]).

6

В случае заряженных частиц (протонов) необходимо учитывать их взаимодействие

друг с другом (отталкивание). При этом возможна ситуация, когда дискретный спектр

оказывается пуст. А именно, N частичный гамильтониан данной системы имеет пустой

дискретный спектр, если

22 2( 1)( )

22 7 18 2

e N N eT N W N N

a

для некоторого 2max 2 ,596 ,b e

где 2b - диаметр носителя функции

, e -

заряд частицы,

1

1

2 , 2 ,

( )

2 , 2 1,

n

m

m

n

m m

m

N n

T N

N n

m упорядоченные собственные значения лапласиана Дирихле для области

3 3

, ,2 2

a a

.

2. Одночастичная задача для искривленного волновода.

Задачу о двух взаимодействующих частицах в двумерном волноводе с искажением

границы будем решать методом Хартри. Соответствующая одночастичная задача

рассмотрена в [6] в рамках вариационного подхода. Рассматриваемая область задается

следующим образом: 2{( , ) : 0 (1 ( ))},x y R y a f x

supp 0[ , ], ( ).f b b f C R

Пробная функция, которую можно считать приближением собственной функции,

ищется в виде

1

1

(1 ( )) ( ), ,

( ), .h x b

f x y x b

e y x b

Здесь

22

22,

'

fz

a f

выбираем из условия

22 2

22

2 12 3 0, ,

1 3 4n

nz z K K

n

7

Которое может быть выполнено, если 2 23 0,z z K в частности, при

выполнении этого условия можно взять ,z что соответствует минимуму параболы.

2sinn

ny

a a

.

222 2 2

1 1 2

1, ( 3 ).

2h d f d z z K

a z

Оценка расстояния связанного состояния от границы непрерывного спектра дается

неравенствами

24 44 2 5 4 2 5

0 12

1( ) ( ),

4d f O E d f O

a

2 2

0 2 2

43 .

bd

a a

Далее рассмотрим волновод длины 2k, ширины 2a с синусообразной деформацией

высоты d и ширины 2b:

( )( ) sin , .

2

x bf x d x b

b

(рис. 2). На краях волновода

заданы условия Неймана, на остальных границах условия Дирихле:

, 0.E

(3.1)

Рис. 2

Для нахождения связанных состояний системы методом конечных элементов,

необходимо преобразовать задачу к вариационной постановке. Для этого умножим исходное

уравнение (3.1) на функцию

и проинтегрируем по области Ω:

( , ) ( )

.

a E d

E dx x y y

(3.2)

Теперь вместо решения задачи в частных производных, будем рассматривать задачу

минимизации функционала (3.2). Указанный минимум и дает искомое значение.

Для численного решения использовался программный пакет FreeFem++ с

библиотекой ARPACK для нахождения собственных значений матрицы. Область Ω

разбивается на треугольные подобласти с заданными на них квадратичными функциями

(рис. 3).

8

Рис. 3

Была написана соответствующая программа для вычисления собственных состояний.

Зависимость энергии от высоты деформации показано на рис. A1.

Рис. А1. Зависимость собственного состояния E от величины

искажения границы волновода d.

3. Двухчастичная задача в волноводе с искажением границы.

Рассмотрим задачу о двух взаимодействующих частицах в двумерном волноводе с

искажением границы:

1 2 1 2( , )

0

V r r

-

уравнение Шредингера двух взаимодействующих частиц.

Обычно такие уравнения решаются переходом к новым координатам (центру масс),

но в нашем случае после перехода переменные не разделяются из-за наличия краевых

условий.

Поэтому решение уравнения будем искать методом Хартри. Для этого искомую

волновую функцию представим в виде:

9

1 2 1 1 2 2( , ) ( ) ( )r r r r ,

где 1 и 2

- одночастичные функции, а 1r и 2r - радиус-векторы соответствующих частиц.

Тогда исходная задача сводится к системе уравнений относительно функций 1 и 2

:

1 1 2 2 1 1 1 1 1

2 2 1 1 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( )

r U r r E r

r U r r E r

(4.2)

где

2

1 2 3( ) ( ) ( , )n n n n nU r r u r r dr

,

а 1 2( , )u r r- потенциал межчастичного взаимодействия. Например, для кулоновского

отталкивания он будет иметь вид

2

1 2

1 2

( , )e

u r rr r

.

Тогда система уравнений будет выглядеть так:

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )2

( ) ( ) ( ) ( )2

r U r r E rm

r U r r E rm

2 22 2

1 1 2 2 2 2 2 1 1 1

1 2 1 2

( ) ( ) , ( ) ( ) .e e

U r r dV U r r dVr r r r

При -взаимодействии система уравнений (4.2) примет вид:

22

1 1 0 2 1 1 1 1 1 1

22

2 2 0 1 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )2

( ) ( ) ( ) ( )2

r U r r E rm

r U r r E rm

2 2

1 1 0 2 2 1 2 2 2 2 0 1 1 1 2 1( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) .U r U r r r dV U r U r r r dV

Алгоритм решения таков:

Для начала приведем нашу систему к вариационной форме (вместо краевой

задачи для уравнения Шредингера будем решать задачу об экстремуме интегрального

функционала) для использования метода конечных элементов.

В результате система уравнений (4.2) будет иметь вид:

2

1 1 0 2 1 1 1 1 1 1 1

2

2 2 0 1 2 2 2 2 2 2 2

( ) 0,

( ) 0.

U dr E dr

U dr E dr

(4.3)

10

В качестве начального приближения для собственной функции берем решение

одночастичной задачи без потенциала.

Найденное решение подставляем в (4.3) и повторяем процедуру.

Алгоритм заканчивается, когда с заданной точностью будут повторяться

значения для энергии.

Связанные состояния соответствуют значению энергии ниже границы

непрерывного спектра(2 ).

При фиксированной геометрии волновода сходимость данного алгоритма ухудшается

с ростом энергии межчастичного взаимодействия 0U. В силу монотонности этого

поведения, методом дихотомии возможно численно найти значение 0U, обеспечивающее

гарантированное наличие связанного состояния. Варьируя величину деформации, можно

получить зависимость соответствующей нижней оценки для энергии взаимодействия (рис.

А2).

Рис. А2. Нижняя оценка границы области существования связанных состояний U0 в

зависимости от величины искажения границы волновода d

Была написана соответствующая программа для вычисления собственных состояний в

двухчастичной задаче для искривленного волновода.

Также в приложении А приведены примеры различных параметров волновода, при

которых частицы ведут себя по-разному:

1. Рис. А3. 0U(потенциал межчастичного взаимодействия)=1, d(высота

искривления волновода)=1. Частицы «накладываются» друг на друга.

2. Рис. А4. 0U=100, d=1. Частицы разлетаются в разные стороны.

3. Рис. А5. 0U=700, d=1. Одна частица застревает в бугорке, вторая улетает на

бесконечность.

4. Рис. А6. 0U=-1, d=1. Частицы «накладываются» друг на друга.

11

Рис. А3 Рис. А4

Рис. А5 Рис. А6

4. Расчет связанных состояний в системе связанных волноводов.

Для исследования возможности построения квантовых операций при «волноводной»

интерпретации очень важно знание коэффициентов прохождения и отражения в системе при

различных значениях ее параметров. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Рис. 4

Рассмотрим систему двух волноводов, связанных через отверстия, с условиями

Дирихле на границе (рис. 4):

, 0.E

(5.1)

При этом допускается, что в области связи могут быть введены некоторые

дополнительные условия, зависящие только от вертикальной координаты, например,

потенциал, электрическое поле, и др. Пусть ширины верхнего и нижнего волноводов равны

d+ и d− соответственно, b = 2a – ширина окна, возможно также существование L – высоты

области связи (если область связи отсутствует, то L = 0). Положим также полную энергию

пролетающей частицы равной 2k . Будем рассматривать решения, не имеющие особенностей

в угловых точках областей.

12

Для нахождения связанных состояний системы методом конечных элементов,

необходимо преобразовать задачу к вариационной постановке. Для этого умножим исходное

уравнение (5.1) на функцию φ и проинтегрируем по области Ω:

( , ) ( ) ( )a E d E dx x y y

(5.2)

Теперь вместо решения задачи в частных производных, будем рассматривать задачу

минимизации функционала (5.2). Указанный минимум и дает искомое значение.

Для численного решения использовался программный пакет FreeFem++ с

библиотекой ARPACK для нахождения собственных значений матрицы. Область Ω

разбивается на треугольные подобласти с заданными на них квадратичными функциями

(рис. 5).

Рис. 5

Для численного поиска перепишем уравнение (5.2) в виде:

( )d dx x y y

(5.3)

где σ – сдвиг, определяющий область поиска собственных значений.

Обозначим левую часть выражения (5.3) как OP, а правую – B. На краях волноводов

зададим условие Неймана, так как они лучше отвечают отсутствию границ в задаче. Для

задания условий Дирихле в дискретизированной задаче, в соответствующих элементах

матрицы OP установим очень большие значения (1030). Заметим, что так как решается

уравнение вида w = OP−1Bv, к матрице B их добавлять не надо, в противном случае будут

получаться только ложные маленькие собственные значения(порядка 10−30),

соответствующие E = 0. Для хранения матрицы OP используется «контурная» структура

данных (skyline matrix), при которой для каждой строки хранится только список элементов

от первого ненулевого столбца до последнего. Матрица B более разрежена, поэтому для ее

описания достаточно представления {индекс _→ значение}. Для получения обратной

матрицы OP−1 используется LUP-разложение.

Следует отметить, что метод конечных элементов в задаче на собственное значение

работает эффективнее, чем, например, аналитический метод разложения по полной системе

функций, когда решение ищется в виде ряда по некоторой полной системе функций,

рассматриваемая краевая задача сводится к бесконечной системе уравнений для

коэффициентов этих разложений, которая обрезается до конечного числа членов и решается.

Этот метод сталкивается с большими вычислительными трудностями. На рис. 6 показано

сравнение результатов, полученных методом конечных элементов, с результатами,

полученными асимптотическими методами.

13

Рис 6. Зависимость первого собственного значения от ширины окна 2a по

результатам численного моделирования(fem) и аппроксимации(approx).

Заметим, что метод конечных элементов также позволяет находить связанные

состояния не только для маленьких отверстий, но и для сравнимых с размерами системы

(рис. 7).

Рис. 7. Зависимость первого собственного значения от ширины окна 2а по

результатам численного моделирования.

Благодарности

Работа поддержана программами "Развитие научного потенциала российской высшей

школы" (проект 2.1.1/4215), "Научные и научно-педагогические кадры инновационной

России" (контракты P689 NK-526P, and 14.740.11.0879), грантом 11-08-00267 РФФИ.

Литература

[1] Exner P., Vugalter S.A. On the number of particles that a curved quantum waveguide can bind.

J. Math. Phys. 1999. V. 40 (10). P. 4630-4638.

14

[2] Seto N. Bargmann’s inequalities in spaces of arbitrary dimension. Publ. RIMS.1974. V. 9. P.

429-461.

[3] Klaus M. On the bound state of Schrodinger operators in one dimension. Ann. Phys (Leipzig).

1977. V. 108. P. 288-300.

[4] Newton R.G. Bounds for the number of bound states for Schrodinger equation in one and two

dimensions. J. Operator Theory. 1983. V. 10. P. 119-125.

[5] Лобанов И.С., Лоторейчик В.Ю., Попов И.Ю. Оценка снизу спектра двумерного

оператора Шредингера с потенциалом на кривой. ТМФ. 2010. Т. 162 (3). С. 397-407.

[6] Exner P., Vugalter S.A. Bound states in a locally deformed waveguide: critical case. Lett. Math.

Phys. 1997. V. 39. P. 59-68.

15

УДК 517.958

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СТРУННОГО

МУЗЫКАЛЬНОГО ИНСТРУМЕНТА С ОБЪЕМНЫМ РЕЗОНАТОРОМ

И. В. Гончарова

В настоящей работе рассмотрены основные моменты поведения звуковых волн в резонаторе

акустической гитары, и предложена первичная модель, позволяющая описать влияние резонатора на звук

инструмента. Конечной целью исследований является построение верной математической модели данного

инструмента.

1. Введение

В общем смысле гитару можно описать в виде нескольких параллельных струн,

закрепленных на упругом основании, имеющем массу и собственный набор характерных

(резонансных) частот.

Оптимально использовать дифференциальное уравнение в частных производных с

оператором Лапласа и начально-краевой задачей в одномерном случае (т.е. уравнение

колебаний струны):

2 2

2 2 2

1U U

x v t

(1)

Это удобно тем, что можно решать задачу как систему таких уравнений сразу для всех

струн гитары, при этом они могут взаимодействовать через опору, которая, в свою очередь,

должна представлять собой систему осцилляторов с набором собственных частот. Отбор

энергии из системы допустимо производить именно от опоры.

Для решения этой системы можно предложить метод конечных разностей; имеется

как минимум два классических решения: Даламбера (стоячая волна колеблющейся струны

представлена как суперпозиция двух движущихся волн) и Фурье (по сути, сведение задачи к

решению для набора осцилляторов). Последнее решение позволяет перейти от уравнения в

частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Более сложный в реализации, чем метод конечных разностей – метод конечных

элементов – позволяет получить некоторые преимущества в решении данной задачи

(например, такие, как отсутствие перехода от уравнений в частных производных к

обыкновенным, или работа с произвольной формой). На данный момент вопрос выбора

метода для решения остается открытым, так как в последнем случае алгоритмы

триангуляции поверхности не так хорошо реализованы автоматически, как того требует

задача, а первый не позволяет учитывать все необходимые условия.

В большей степени все осложняется тем, что корпус гитары – самая настоящая

механико-акустическая резонансная система, в которой появляются собственные колебания

воздуха в корпусе, самого корпуса и, в большей степени, передней деки. Кроме того, корпус

для современной гитары обладает свойством «среза» низких частот, отсекая лишние

обертоны. Основной вопрос заключается в том, как корректно и правильно описать влияние

резонатора на звучание.

16

2. Модель

У гитары больше энергия высших гармоник и основной тон струны моделирован

собственными частотами резонатора, кроме того, там, вероятно, имеет место быть частотный

фильтр вида:

( ) ( ) ( )b

ah t k f t d

(2)

где:

( ) 1b

ak d

(3)

По сути, это интеграл свертки сигнала с функцией фильтра ( f - сигнал, k - отклик

фильтра на сигма-функцию).

С помощью этого фильтра можно определить, каким образом резонатор влияет на

звучание струны. В сущности, он описывает задержку звука в резонаторе – есть время

задержки, ( )k - доля энергии, которая передается с задержкой .

Для звуковых волн действуют те же волновые законы, что и для света. Если в одном

из фокусов эллипса излучить звук, то он точно так же соберется в другом фокусе и вернется

в исходный, как и в случае распространения света. Выражаясь грубо, корпус гитары имеет

форму двух эллиптических цилиндров (схема ниже), при этом бридж и резонаторное

отверстие находится в фокусах большого эллипса, один фокус малого совпадает последним,

и еще один находится в месте крепления грифа.

Различие в размерах эллипсов объясняется тем, что для прохождения от верхнего

порожка до места, где закреплен гриф, звуку требуется определенное время, и оно в

точности равно разности времен между проходами большого и малого эллипса – именно

такое соотношение позволяет усилить мощность звука на срезе отверстия. Форма гитары

определяется необходимостью обеспечить условие софазности колебаний, доходящих до

отверстия от бриджа и грифа. Погрешности формы гитары (отклонения от эллиптических,

неточечность излучателей) выражается функцией ( )k и пределами a и b. Все эти искажения

17

формы ведут к расширению b-a: тон обогащается обертонами в ущерб эффективности

использования энергии (что приводит к ослаблению звука).

Как известно, законы отражений волн работают только в случае, когда длина волны

значительно короче радиуса кривизны отражающей поверхности. Самая верхняя нота

обычной гитары имеет частоту около 1 кГц, то есть длина волны равна 30 см, остальные

длиннее. Дифракция, конечно, здесь будет играть большую роль, но, ни волнового движения,

ни отражения это не отменяет, и вот почему. В корпусе акустические колебания строго

осесимметричны (по меньшей мере, в данной теории), следовательно, не будет градиентов

давления поперек фронта волны. Иначе говоря, вектор градиента давления всегда будет

коллинеарен вектору распространения волны, соответственно, там не столько существенна

дифракция. Поэтому данную методику имеет смысл применить для расчета задержки

сигнала в корпусе. Разумеется, это не исключает дифракцию после среза отверстия (снаружи

гитары дифракция практически эквивалентна точечному источнику, излучающему более или

менее равномерно в разных направлениях).

Если теория верна, то сигнал, зафиксированный в 1,5 м по нормали от деки, будет

иметь три всплеска (схема приблизительная):

1. Наружное излучение от деки в районе подставки

2. Наружное излучение от деки в районе крепления грифа (эта задержка равна

времени прохождения звука в материале грифа c, т.е. около 0,05/332 = 0,15 миллисекунды)

3. Излучение на срезе отверстия. Оно будет иметь размазанную форму, и иметь

задержку начала a примерно 0,4/332 = 1,2 миллисекунды.

Поскольку дека плоская, она не может излучать не перпендикулярно поверхности,

снаружи часть звука уходит за счёт дифракции на краях в сторону; но внутри звук попадает в

волновод между перпендикулярных передней деке обечаек, впоследствии отражаясь от

задней деки. Таким образом, на выходе суммируются энергии, полученные от бриджа и

верхнего порожка. Кроме того, внутрь излучают не только дека, но и остальные поверхности.

В излучении передней части деки они не суммируются: их энергия будет делиться между

двумя группами, со сдвигом по времени, равном замедлению в грифе.

18

В описанной модели имеется еще ряд недоработанных моментов. Корпус гитары –

очень непростой резонатор, который может резонировать в широком спектре; длина столба

колебаний меняется в зависимости от направления. Скорее всего, здесь первоочередной

целью является детальный разбор схемы распространения волны по передней деке. Так же

передняя дека служит звучащей мембраной, из чего нетрудно заключить, что все остальные

части не должны резонировать, чтобы не вносить излишних искажений, поэтому переднюю

деку делают из жёсткой и звонкой древесины, а заднюю и обечайки - из мягкой и глухой, тем

самым обеспечивая не отражение, а глушение звука задней стороны деки, что, очевидно,

направлено на борьбу с акустическим коротким замыканием на НЧ (можно предположить,

что отверстие служит фазоинвертором, настроенным на нижнюю частоту). Вывод из

вышесказанного очевиден – качество инструмента зависит от материала, из которого дека, в

большей степени влияющая на характер колебаний, изготовлена (учитывая анизотропию

дерева). Еще один важный вопрос – каким способом производятся возбуждения колебаний

струны. Возбуждение колебаний медиатором и возбуждение пальцами дают разный звук (в

свою очередь, каждый под собой подразумевает много разных способов, также на звук

влияет толщина и материал медиатора). Из всех способов можно выделить два основных

класса: щипок и удар: они различаются типом начального условия. В первом случае задается

начальная форма струны, во втором - начальное распределение скоростей.

Тем не менее, важнейшими составляющими звучание являются акустика и,

соответственно, форма, от которых стоит в первую очередь отталкиваться при переходе к

практическим расчетам.

Список литературы

[1] John C. Strikwerda. Finite difference schemes and partial differential equations. Wadsworth,

Brooks & Cole, California, US, 1989.

[2] Julius O. Smith. Physical modeling using digital waveguides. Computer Music J., 16(4):74–91.

[3] Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов – М.: Мир, 1979. – 392 С.

[4] Maria Pavlidou and Bernard E. Richardson. The string-finger interaction in the classical guitar:

theoretical model and experiments. In Proc. Int. Symposium Musical Acoustics, pages 55–60,

Edinburgh, UK, September 1997.

[5] Бутиков Е. И. Собственные колебания линейного осциллятора.

19

УДК 517.958

ОЦЕНКА ВЕЛИЧИНЫ ЗАЗОРА ПРИ РАЗРЫВЕ БЕССТЫКОВОГО ПУТИ

Т.И.Зайцева

Рассмотрена задача оценки зазора при разрыве бесстыкового пути. Путь рассматривается как весомый

полубесконечный стержень на упруго-демпфируемом основании. Получены статическое и динамическое

решение задачи. Показано, что при разрыве рельса коэффициент динамичности не превосходит 1,5

Ключевые слова: бесстыковой путь, разрыв, зазор

1.Введение

Безопасность движения на железных дорогах с бесстыковым путем определяется

величиной зазора, возникающего при разрыве рельсовой нити в случае ее перегрузки.

Считается, что при превышении зазором величины 6-7 см возможен сход поезда с рельсов.

Для ограничения величины зазора необходимо увеличивать жесткость подрельсового

основания, что ведет в свою очередь к увеличению напряжения в рельсах. Разрешение

указанного противоречия является основной задачей проектирования бесстыкового пути. В

литературе [1] имеются оценки величины статического зазора и на его основе подобраны

параметры крепления бесстыкового пути. Между тем, разрыв рельса происходит, обычно,

под поездом и в момент разрыва динамические смещения концов рельса превышают

статические. Именно динамические перемещения и будут определять возможность схода

поезда. Настоящая статья посвящена оценке динамического перемещения рельса при

разрыве

2. Постановка задачи

Для оценки динамических смещений рельса рассмотрим полубесконечный стержень,

лежащий на упругодемпфирующем основании. К свободному торцу стержня мгновенно

приложена нагрузка в виде напряжений, равных напряжениям разрыва рельса

Упругодемпфирующие свойства основания определяется видом и состоянием балласта.

Обычно жесткость состояния балласта составляет 20 кН/м2.Эта величина может меняться в

2-3 раза, возрастая для смерзшегося старого балласта и снижаясь для вновь уложенного

балласта. Параметры демпфирования балласта не приводятся в литературе, однако при

расчетах грунтовых сооружений затухания в грунте принимаются обычно порядка 10 от

критического значения (коэффициент неупругого сопротивления =0.2). При этом погонная

сила сопротивления Q, зависит от частоты колебаний и определяется следующим образом

tuK

Q

(1)

Уравнение колебаний рассматриваемой системы имеет вид

txxtt uuuFEuF (2)

Где -погонная жесткость,

F

K; -погонная вязкость

K ;

E-модуль упругости рельса, -плотность стали, F-площадь поперечного сечения

рельса

20

Уравнение (2)рассматривается при нулевых начальных условия и при следующих

граничных условиях

)t(E

ux

(3)

где -напряжение при разрыве рельсовой плети, -единичная функция Хевисайда

u(,t) = 0 (4)

3.Математическое решение задачи

Для решения задачи авторами использован операционный метод. Если принять, что

u(t) имеет изображение U(p), т.е. )p(U)t(u , то уравнение в изображениях примет вид

UpUUcUp xxx 22

(5)

Полученное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение второго

порядка по x. Его решение имеет вид

2222 )(

2

)(

1),(

vp

c

xvp

c

x

eCeCpxU (6)

Где 4

2 ,

2

v

Из условия равенства нулю смещения на бесконечности получаем С2 =0.

Таким образом, получаем

22)vp(c

x

1 eC)p,x(U

(7)

Граничное условие (4) в изображениях представимо в виде

pEc

vpCpxU

xx

1),( 0

2

0

(8)

Откуда

),0(),0(11

2

0 tuPU

c

vppEC

(9)

Переход от изображения к оригиналу, позволяет записать искомое решение в виде

00

0

( , ) ( )

t

v tu o t c e J t dtE

(10)

4. Оценка коэффициента динамики при разрыве рельсового пути

Для оценки коэффициента динамики рассмотрим статическую задачу разрыва рельса.

При этом уравнение для оценки смещения при разрыве рельса имеет вид

0 uuFE xx (11)

Это дифференциальное уравнение второго порядка по x

21

Его решение имеет вид

( )

Kx

E Fu x eK

EE F

(12)

При x=0, на торце стержня

.(0)стuE

(13)

Если поделить решение (10) на (13),получится формула для коэффициента

динамичности

0

0

( ) ( )

t

v tt c e J t dt (14)

5. Оценка коэффициента динамичности в зависимости от свойств подрельсового

основания

Жесткость подрельсового основания определяется параметрами K и b.Величина K

меняется в пределах от 1000-2500 кН/м2. Нижняя граница относится к свежеуложенному

балласту в летнее время, а верхняя граница относится к смерзшемуся старому балласту.

Характеристика затухания b является частотно зависимой. Из опыта можно замерить

коэффициент неупругого сопротивления балласта =0.2 - 0.4. При этом коэффициент

вязкого сопротивления изменяется в пределах от 10 до 25. На рис 1 приведены зависимости

изменения коэффициента динамики во времени при различных значениях К и b. Из рисунка

видно, что во всех случаях коэффициент динамики не превосходит 1,5. Причем наибольшее

значение коэффициента динамики имеет место для старого смерзшегося балласта.

Полученные результаты можно использовать при проектировании бесстыкового пути.

Kmax=2500кН/м3 bmax=25 Kmax=2500кН/м

3 bmin=10

Рис. 1.

0 0.167 0.333 0.5 0.667 0.833 10

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

t( )

t

0 0.167 0.333 0.5 0.667 0.833 10

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

t( )

t

22

6. Благодарности.

Автор выражает благодарность А.М.Уздину за помощь в проделанной работе. Работа

поддержана программой "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России"

(контракты P689 NK-526P, 14.740.11.0879).


[1] Цирулев В.А. О возможности применения бесстыкового пути в условиях БАМа. В сб.

«Проблемы проектирования и внедрения рациональных строительных конструкций и

сооружений в условиях Дальнего Востока и БАМа. Тезисы докладов Зональной научно-

технической конференции. Хабаровск, Хабаровский политехнический институт, 1976, с.53-

56

[2] Боченков М.С. Зазоры при изломе рельсовой плети // Труды ЦНИИ МПС, вып. 244. – М.,

1962. – С. 164-172.

[3] Крюков Е.П. «Брус в упругой среде, сопротивляющийся

продольнымсмещениям».Сообщение ЦНИИСа, №137,М.,1958,с.86

23

МОДЕЛЬ ВОЗРАСТНОЙ СТРУКТУРЫ

ИЗОЛИРОВАННОЙ ПОПУЛЯЦИИ

М.О.Ковалева

Введение

Математические модели генетики, как правило, не затрагивают вопрос о возрастной

структуре популяции и сводятся к системам дифференциальных или интегро-

дифференциальных уравнений, описывающих численности популяций или генотипических

групп [1,2]. Вопрос о возрастной структуре изучается в математической демографии [3].

Однако при учете конкуренции популяций вопрос о возрастной структуре приобретает

немаловажное значение, т.к. влияет на суммарную рождаемость в популяции. В статье

рассмотрена конечно-разностная модель, позволяющая описать возрастную структуру

изолированной популяции. Отметим, что подобная модель обобщается и на случай

нескольких конкурирующих популяций.

1. Конечно-разностная модель. Постановка задачи.

Пусть t - возраст популяции, - возраст индивидов, - количество особей в

популяции в момент времени t , имеющих возраст в промежутке .

Предположим, что концы промежутка лежат в отрезке 0, , а 0,t t , где - возраст

индивидов, условно принятый за максимальный, t- время жизни популяции (первоначально

величина неопределенная). Очевидно, что общая численность популяции в момент времени

t равна 0

,Y t y t d

. Исследуем, как меняется возрастная структура популяции, т.е.

зависимость функции ,y t от второго аргумента с изменением возраста популяции t .

Требование,чтобы функция ,y t принимала целочисленные значения, необязательно.

Предполагается, что эта функция может принимать любые действительные значения и

является непрерывно дифференцируемой в прямоугольнике 0, 0,t . В этом случае

от конечно- разностной модели можно легко перейти к дифференциальной модели.

Пусть отрезок 0, разбит точками 0 1, , , n ( 0 10 n ) на

n равных отрезков длиной . Таким образом, возрастную структуру популяции в

момент времени tможно разбить на n категорий с численностями

, , 0,1,2, , 1iy t i n .

Убыль численности i - ой категории популяции в момент времени t за счет

смертности за время определяется выражением

(1)

Положительную функцию k (коэффициент смертности) будем считать

независящей от возраста популяции t . Ее можно задавать аналитически или брать в

24

качестве ее значений значения статистических наблюдений. Очевидно, что k может

принимать значения от 0 до 1. Если функцию k моделировать аналитически, то следует

наложить естественное ограничение 1k . Приращение численности популяции может

осуществляться только за счет рождаемости, т.е. приращения численности нулевой

категории. Число новорожденных в i - ой категории популяции в момент времени

t определяется выражением

(2)

Неотрицательную функцию (коэффициент рождаемости) можно задавать

аналитически или ее значения брать из экспериментальных статистических данных.

Очевидно, что если функцию задавать аналитически, то положительной она будет на

промежутке ,í à÷ êî í , где ,í à÷ êî í - соответственно начало и конец репродуктивного

периода. На остальной части отрезка 0, положим ее равной нулю. При этом будем

считать

0êî í . (3)

В случае конечно-разностной модели ,í à÷ êî í должны совпадать с двумя из значений

i . Общее число новорожденных , 0y t в дифференциальной модели определяется

интегралом ,êî í

í à÷

y t d

, а в конечно-разностной модели – суммой

.

Таким образом, конечно-разностная модель эволюции возрастной структуры

популяции будет иметь вид

. (4)

Когда возраст индивидов увеличивается на , то на тот же промежуток времени

увеличивается и возраст популяции. Поэтому количество особей в 1i - ой категории в

момент времени равно количеству особей в i - ой категории популяции в момент

t за исключением убыли за счет смертности за промежуток времени . Для 0i

количество особей в первой категории в момент равно количеству новорожденных

, 0y t в момент времени t , т.е.

(5)

Если положить 0 0k , то формула (4) будет включать в себя формулу (5) как

частный случай.

В качестве начального условия для этой конечно-разностной модели выступает

возрастное распределение в начальный момент жизни популяции (0, )y , а точнее набор

значений (0, ); 0,1,2, ,iy i n .

25

Приведем теперь дифференциальную модель того же самого явления. Преобразуем

соотношение (4) к виду

Разделив это равенство на и устремив к нулю, получим

,y y

k y tt

. (6)

Это линейное уравнение в частных производных первого порядка для функции

,y t . В этом уравнении слева стоит производная по биссектрисе первого координатного

угла, в котором лежит прямоугольник 0, 0,t . На одной из сторон этого

прямоугольника ( 0t ) задана функция 0,y .

Если предположить, что возрастная структура популяции не меняется со временем, то

0y

t

и тогда получаем обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися

переменными

dy

k yd

, (7)

решение которого имеет вид

0

0 expy y k d

. (8)

Где количество новорожденных 0y определяется формулой

0êî í

í à÷

y y d

. (9)

Решение этого уравнения устойчиво по Ляпунову.

В случае, когда k является линейной функцией с

условиями 0 0; 1k k , т.е. k

, решение представляет собой функцию

Гаусса

2

0 exp2

y y

.

Это решение также является устойчивым.

2. Результаты расчетов

Нас интересует качественная картина изменения структуры популяции с ростом t .

Для простоты проведения расчетов примем.

Репродуктивный период: , максимальный возраст ,

, . (10)

26

Предполагаем, что коэффициент рождаемости изменяется по линейному закону и

удовлетворяет условию (3). Числовой коэффициент перед скобкой с линейной функцией

подбирается так, чтобы суммарная смертность в популяции в начальный момент,

уравновешивалась рождаемостью.

Начальное возрастное распределение в начальный момент жизни популяции

будет иметь вид, представленный на рис.1 (определяется гауссовым устойчивым решением

(8)), где – набор значений.

Рис. 1

Расчеты по конечно-разностной модели дают следующие результаты.

В t = 1 году наблюдается изменение графика относительно распределения в

начальный момент времени. Появившийся пик связан с появлением новорожденных у особей

репродуктивного возраста.

С течением времени этот пик смещается и сглаживается.

В t = 21 году снова появляется всплеск новорожденных, вызванный увеличением

числа особей репродуктивного возраста, привнесенных пиком, появившимся в t = 1 году,

который также с течением времени начинает смещаться и сглаживаться.

Эти изменения будут повторяться с периодом (время, необходимое для

того, чтобы новорожденная особь достигла репродуктивного возраста).

В рассматриваемом примере T= 20 лет.

Важно отметить, что каждый новый пик будет меньше предыдущего. Впоследствии,

эти изменения станут незначительными, и график возрастного распределения будет иметь

вид, близкий к начальному распределению.

Ниже приведены графики, иллюстрирующие описанный процесс (рис. 2, 3, 4, 5), где

–возрастное распределение в моменты времени t = 1, 10, 21, 40

соответственно, .

27

Рис. 2

Рис. 3

28

Рис. 4

Рис. 5

Далеепокажем, что решение является устойчивым относительно вносимых изменений

в коэффициент рождаемости.

Например, в рассмотренном примере (10), только для года увеличим

рождаемость в полтора раза:

. (11)

Аналогично решению примера (10), в t = 1 году наблюдается изменение графика

относительно начального распределения.

29

Но в t = 5 году, благодаря внесенному всплеску рождаемости, появляется еще один

пик.

В t = 21 году снова появляется всплеск новорожденных, вызванный увеличением

числа особей репродуктивного возраста. Увеличение числа особей происходит благодаря

пику, возникшему в t = 1 году.

В t = 25 году появляется пик, вызванный изменением числа новорожденных в t = 5

году.

Эти изменения будут повторяться с периодом . В рассматриваемом примере

T = 20 лет. Отметим, что в промежутки времени между появлением новых всплесков,

предыдущие начинают сглаживаться.Это приводит к тому, что каждый новый пик будет

меньше предыдущего. Впоследствии, эти изменения станут незначительными, и график

возрастного распределениябудет иметь вид, близкий к начальному распределению.

Ниже приведены графики, иллюстрирующие описанный процесс (рис. 6, 7, 8, 9, 10),

где – возрастное распределение в моменты времени t = 1, 5, 21, 41,

50 соответственно, .

Рис. 6

30

Рис. 7

Рис. 8

31

Рис. 9

Рис. 10

Аналогичным образом, можно продемонстрировать, как исчезают провалы на

возрастной кривой (демографические ямы).

Для этого, при тех же условиях, что и в примере (10), для годавдвое уменьшим

рождаемость

. (12)

На графике, представляющем решение данного примера, в t = 1 году появится пик,

который с течением времени будет смещаться по кривой и сглаживаться (рис. 11).

32

При этом, остальные возникшие изменения будут аналогичны изменениям,

вызванным краткосрочным увеличением рождаемости. Разницабудет заключаться в том, что

в случае (11) наблюдались пики рождаемости, а в данном случае – демографические ямы.

Следовательно, можно сделать вывод, что и разностная модель дает решения,

устойчивые относительно изменений, связанных с уменьшением или увеличением

рождаемости.

Ниже приведены графики, иллюстрирующие процесс (рис. 11, 12, 13, 14, 15),

где – возрастное распределение в моменты времени t = 1, 5,

21, 41, 60 соответственно, .

Рис. 11

Рис. 12

33

Рис. 13

Рис. 14

В примерах, рассмотренных выше, возрастная структура популяции с течением

времени возвращалась к начальному распределению. Всплески или провалы в рождаемости

не влияют не только на численность, но и на возрастную структуру популяции.

Но очевидно, что основным критерием стабильности числа особей в популяции

является равенство - суммарной смертности и -

суммарной рождаемости.

В случае, когда суммарная смертность значительно превышает суммарную

рождаемость, популяция вымирает.

Случай, когда суммарная рождаемость значительно превышает суммарную

смертность, ведет к неограниченному росту популяции.

34

Рис. 15

Заключение и дальнейшие перспективы развития модели

Модель интересно применить к случаю сосуществования нескольких ( 2n )

конкурирующих популяций. Например, для 2n получается система двух

дифференциальных уравнений

1 1

2 2

, ,

, ,

x xk t x t Y t x

t

y yk t y t X t y

t

(13)

Где 1 2 1 2, , ,k k - коэффициенты смертности и конкуренции, а ,Y t X t -

суммарные количества особей в популяциях. Конечно-разностный аналог системы (13)

удобнее и естественнее для проведения численных экспериментов, чем сама система.

В заключение выражаю благодарность доц. А.В.Норину за постановку задачи и

обсуждения полученных результатов.

Литература.

[1] Ю.М.Свирежев, В.П.Пасеков. “Основы математической генетики”, М., Наука, 1982.

[2] Н.С.Абросов, А.Г.Боголюбов. “Экологические и генетические закономерности

сосуществования и коэволюции видов”, Нов-к, Наука, 1988.

[3] economicus.ru/ivanov17/Vatnik_demography.pdf.

35

УДК 517.958

НЕПРЕРЫВНАЯ ФОРМА МЕТОДА РЕЗИНОВОЙ ЛЕНТЫ ДЛЯ

РАСЧЕТА МИНИМАЛЬНОГО ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ПУТИ.

М.А. Колмогоров

Предложен способ расчета пути (в многомерном пространстве параметров) реализации перехода

системы в новое состояние при условии минимизации энергетических перепадов. Метод основан на

вариационном подходе. Имеет сходство с лучевым методом в теории дифракции. Проведено сравнение с

результатами полученными методом резиновой ленты.

1. Введение

Одной из важных и часто встречающихся проблем в современной теоретической

химии, а также физике твердого тела, является проблема поиска пути трансформации

системы, соответствующего наименьшим перепадам энергии, что характеризует переход

системы атомов из одной стабильной конфигурации в другую. Такой путь обычно называют

«минимальный энергетический путь» («Minimum energy path», «MEP»). Он часто

используется для описания «координат перехода реакции» в процессах диффузии в твердых

телах, изменениях в структуре молекул, химических реакциях. Максимумы потенциальной

энергии, достигаемые на таком пути, являются седловыми точками и характеризуют энергию

активации.

Для поиска путей протекания реакции и соответствующих седловых точек было

предложено множество методов. Одним из наиболее точных является метод «резиновой

ленты» [1-5]. В нем рассматривается цепочка состояний системы («изображений», «images»),

лежащих на энергетической поверхности между начальной и конечной точками пути.

Изображений соединены между собой пружинами. При релаксации введенной таким образом

цепочки, изображения «скатываются» к минимальному энергетическому пути, реализуя, тем

самым, его конечное представление. В частности, при «простом методе резиновой ленты»

происходит минимизация объектной функции (1), при условии неподвижности начальной и

конечной точек 0R и pR . На рис.1 показан результат работы такого метода [1].

P

=i

ii

P

=i

ip RRPk

+RV=RRZ0

1

0

112

...

(1)

2. Непрерывная форма метода резиновой ленты

В данной работе мы рассматриваем способ расчета минимального энергетического

пути в непрерывном виде. На энергетической плоскости вводится траектория состояний

системы, которая при минимуме характеризующей ее энергии проходит вдоль такого пути.

Также потребуем, чтобы траектория стремилась минимизировать свою длину, подчиняясь

закону Гука (как натянутая резиновая лента). Энергетическая функция такой ленты

записывается следующим образом:

2

1

02

λ

k dRdλ U R +

dλ

Согласно теории вариационного исчисления, минимум данной функции достигается

при выполнении условий уравнения Эйлера-Лагранджа:

36

Рис.1. Начальная и конечная конфигурации системы с 16 изображениями.

2λ

2

λ

U R d R=

R dλ

10 10 R=RR=R λλ

в совокупности с краевыми условиями (начальное и конечное состояния системы) получаем

краевую задачу, решение которой аппроксимирует минимальный энергетический путь для

данной системы.

В отличие от метода с конечным числом изображений, в котором на каждом шаге

алгоритма мы применяем к изображению силу, описываемую вторым законом Ньютона (один

из методов релаксации), в нашем методе имеется единственная задача с граничными

условиями. Это, в частности, предотвращает эффект «скатывания» изображений с седловых

точек, который тем самым снижает точность их определения.

Точность найденного решения определяется погрешностями при решении

соответствующей краевой задачи. Для пути, определяемого приведенной выше формулой

(как и для простого метода резиновой ленты) характерны «срезания углов» - смещение пути

от седловой точки в направлении изначальной прямой, соединяющей точки. Эту проблему

частично можно решить, введя поправки в функцию энергии, учитывая только

тангенциальную составляющую силы упругости.

3. Пример расчета минимального энергетического пути

В качестве примера мы рассматриваем двухмерную задачу, аналогичную

рассматриваемой в методе резиновой ленты. Модель реализует реакцию между тремя

атомами A, B и C, расположенными на одной прямой. Связь может образоваться либо между

атомами A и B, либо B и C. Функция потенциальной энергии в форме LEPS выражается так:

37

2

1

111111111

-111

2

2

2

2

2

2

c+a+

JJ+

c+b+

JJ+

b+a+

JJ+

c+

J+

b+

J+

a+

J

c+

Q+

b+

Q+

a+

Q=rBCrAB,V

acabacbcbcabacbcab

acbcabLEPS

где функция Q выражает взаимодействие между электронными облаками и

нуклонами, а J — квантовомеханические обменные взаимодействия.

Q(r )=d

2 (3

2e−2α(r−r 0)

−e−α (r−r0)

) J (r )=d

4(e−2α(r−r0)

−6e−α (r−r0))

Значения параметров для данной реакции — a=0.05, b=0.30, c=0.05, dAB=4.746,

dBC=4.746, dAC=4.445, r0=0.742, α=1.942

Ниже представлены получившиеся пути при расчете обычным и непрерывным

методами эластичной ленты:

Рис. 2. Путь, найденный с помощью метода резиновой ленты (слева) и

предложенного метода непрерывной резиновой ленты (справа)

Как видно, наш метод дает верное приближение минимального энергетического пути.

4. Заключение

Предложен способ расчета пути (в многомерном пространстве параметров)

реализации перехода системы в новое состояние при условии минимизации энергетических

перепадов. Метод основан на вариационном подходе. Имеет сходство с лучевым методом в

теории дифракции. Проведено сравнение с результатами полученными методом резиновой

ленты.





38


[1] Hannes Jonssona, Greg Millsa and Karsten W. Jacobsenb, Nudged elastic band method for

finding minimum energy paths of transition, in « Classical and Quantum Dynamics in Condensed

Phase Simulations», 385 (World Scientific, Singapore, 1998)

[2] Graeme Henkelman and Hannes Jonsson. A dimer method for finding saddle points on high

dimensional potential surfaces using only first derivatives. Journal of Chemical Physics. 1999, 111

(15), 7010-7022.

[3] R. A. Olsen and G. J. Kroes, G. Henkelman, A. Arnaldsson, H. Jonsson, Comparison of methods

for finding saddle points without knowledge of the final states , Journal of Chemical Physics, 121

(20), 9776-9792

[4] Graeme Henkelmana and Hannes Jonssonb , Improved tangent estimate in the nudged elastic

band method for finding minimum energy paths and saddle points, Journal of Chemical Physics,

113 (22), 9901-9904

[5] Graeme Henkelman, Blas P. Uberuaga, Hannes Jonsson, A climbing image nudged elastic band

method for finding saddle points and minimum energy paths, Journal of Chemical Physics, 113

(22), 9978-9985

39

УДК 517.28

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ,

ВЫЗВАННОГО СТОКСЛЕТОМ, В КОНУСЕ

К.Н. Кызьюрова

[email protected]

Рассматривается осесимметричный поток Стокса в бесконечном правильном круговом конусе с

источником вихрей на своей оси (стокслетом), решается краевая задача для функции тока. Получена картина

линий тока. Выявлена вихревая структура потока. Результаты могут быть использованы для построения

нанореакторов при проведении химических реакций в строго локализованных наноразмерных

пространственных областях.

Ключевые слова: поток Стокса, стокслет, осесимметричное течение.

1. Введение

В настоящее время исследование течения жидкости в нанотрубках стало одним из

актуальных вопросов наногидродинамики. Течение такого рода происходит при малых

числах Рейнольдса, таким образом, инерционными членами можно пренебречь и

рассматривать медленные вязкие течения, описывающиеся уравнениями Стокса. Рассмотрим

следующий модельный объект: конус, у которого в некоторой точке на оси находится

точечная сила, стокслет, представляющая собой бесконечно малую область пространства и

приводящая в движение жидкость. Ранее было получено решение задачи о медленном

установившемся течении через конический диффузор [7]. Устойчивое осесимметричное

течение в бесконечном правильном круговом конусе при ненулевых числах Рейнольдса

также было исследовано [1]. Он нашел вид функции тока, решения уравнений Навье-Стокса,

а также его асимптотическое разложение.

Ползущий осесимметричный поток вязкой жидкости около вершины конуса

рассматривался в [24]. Он показал существование бесконечной последовательности вихрей

около вершины для значений полу-углов конуса меньше 80.9°. В [9] рассматривался

осесимметричный поток жидкости, вызванный вращением небольшой сферы с некоторой

угловой скоростью. Классический обзор этих и других результатов приведен в работе [8]. В

работе [16] была разработана теория, приводящая к новому множеству собственных функций

Стоксова потока, описывающих осесимметричные течения около вершины в конических

областях, образованных как пересечение конуса, кругового в поперечном сечении, и сферы,

центрированной в вершине конуса. Позже в [12] было найдено численное решение задачи о

возникновении вихрей в закрытом движущемся конусе вследствие вращения небольшой

сферы.

Вязкий Стоксов поток несжимающейся жидкости в круговом конусе, вызванный

ненулевой скоростью, установленной на границе конуса в пределах кольца

<a<r<a<0 21 , где r – расстояние от вершины конуса, рассматривался в [17]. Более того,

структуры типа конус в конусе и, соответственно, движение жидкости между двумя

соосными конусами под воздействием источника Q , находящегося в вершине внешнего

конуса, исследовалось в [6].

40

Движение жидкости под воздействием такой особенности как стокслет около

плоскости рассматривалось в статье [2]. [23] исследовали поток в сферической области,

вызванный стокслетом. Движение жидкости под воздействием стокслета в области между

двух плоскостей было изучено в [14], в области, ограниченной бесконечной трубой, – в [15].

Бесконечная цепочка из стокслетов рассмотривалась в [21].

С математической точки зрения стокслет может быть строго введен в рамках теории

самосопряженных расширений симметрических операторов [19] и [4].

Таким образом, интерес представляет исследование движения жидкости в конусе под

воздействием стокслета. В данной работе задача рассматривается в приближении Стокса.

Результат этой работы предлагает новый метод решения частного, осесимметричного, случая

течения жидкости, вызванного стокслетом, внутри конуса.

2. Формулировка задачи

Введем декартовы ),,( zyx и сферические координаты ),,( .

Рис. 1. Декартовы и сферические координаты для нашей задачи

Рассмотрим жидкость, покоющуюся в безграничном конусе (Рис. 1). Добавим

стокслет на ось конуса, в точку ),0,0(),,( 000 czyx в декартовой системе координат.

Стокслет – это точечная сила, приводящая в движение жидкость. Он задается

соответствующим тензором Озеена, являющимся функцией Грина, и определяет векторное

поле скоростей течения [2]

38

1

r

rr

rG

kj

k

jk

j

, 000 ,, zzyyxxr

. (1)

Компоненты скоростей в направлениях , и могут быть найдены через

преобразования физических координат вектора (Корн, 1968). Ограничимся рассмотрением

осесимметричного случая, т.е. компоненты скоростей стокслета зависят лишь от и .

Среди трех возможных видов стокслеты только один удовлетворяет условию 00 v . Это

стокслет с компонентами 3

3

3

2

3

10 ,, GGGv . Тогда компоненты в направлениях , и

выглядят следующим образом:

322

222

0

cos2

1cos3cos2

8

1

rcrc

crrcv

,

41

322

22

0

cos2

cos32sin

8

1

rcrc

rcrcv

,

00 v . (2)

Поток Стокса в осесимметричном случае характеризуется функцией тока , [7].

Компоненты скоростей в этом случае:

sin

12

v ,

sin

1v . (3)

Интересно найти линии тока жидкости, движимой стокслетом 0v . Поставим задачу.

Уравнение Стокса в осесимметричном случае следующее:

022 EE , (4)

где оператор 2E называется оператором Стокса и определен следующим образом:

sin

1sin22

22E . (5)

Предположим, что конус непроницаем, и на его границе выполняются условия

прилипания 0, v и 0, v .

Обратимся еще раз к стокслету 0v . Используя (3), заметим

,, . Таким образом, решив, например, уравнение в полных

дифференциалах, можно найти функцию 0 стокслета 0v , действующего во всем

пространстве:

22

22

0

cos2

sin,

ccr

. (6)

Рис.2. Линии тока стокслета, расположенного в точке )1,0,0( , действующего в

неограниченном пространстве.

Тогда общая функция тока будет иметь две аддитивные компоненты ~0 .

Оператор 2E линеен, следовательно 0~22

0

2222 EEEEEE . Граничные условия:

0,~,, 0

vvv . Можно убедиться, что функция тока 0 удовлетворяет

42

уравнению Стокса 022 EE . Зная функцию тока 0 и компоненты скоростей стокслета

0v и 0v , переформулируем задачу

0~22 EE

,,~0vv , ,,~

0vv . (7)

Общее решение уравнения (7) известно [7]

0

321 cos,n

n

n

n

n

n

n

n

n

n JDCBA

2

321 cos~~~~

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n HDCBA , (8)

где nJ и nH - функции Гегенбауэра первого и второго рода, соответственно. Они

линейно связаны с функциями Лежандра nP и nQ :

,2,12

,12

22

n

n

QQH

n

PPJ nn

nnn

n

0,,1 1010 HHJJ . (9)

Поскольку нас интересует гладкое решение (в природе переформулированной задачи

нет особенностей), то все коэффициенты с волной должны быть равны нулю [7], тогда

компоненты скорости движения жидкости имеют вид:

1

1

112 cos,~

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n PDCBAv ,

0

112

sin

cos)3()2()1(,~

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

JDnCnBnnAv

. (10)

Оставшиеся коэффициенты определим из двух граничных условий. Предположим,

что в нуле, 0 , особенности нет. Тогда 0, ss не участвуют в искомом решении и в

компонентах скоростей, и функция тока ~ выглядит следующим образом

0

2 cos,~

n

n

n

n

n

n JCA ,

0

1

2 cos,~

n

n

n

n

n

n PCAv ,

0

2

sin

cos)2(,~

n

nn

n

n

n

JCnnAv

. (11)

Разложим компоненты скоростей на границе по ортогональным полиномам Лагерра.

Поскольку система полиномов Лагерра с весовой функцией re полна в пространстве

,02L , то произвольная функция rf , определённая на промежутке ,0 и

удовлетворяющая некоторым условиям, которые будут описаны ниже, может быть

представлена в виде бесконечного ряда по полиномам Лагерра [13]

0k

kk rLprf , r0 , (12)

где коэффициенты kp определяются следующим образом:

43

01

!drrLrerf

k

kp k

r

k

. (13)

Существует теорема, утверждающая, что если функция rf кусочно-гладкая на

всяком открытом интервале a,0 и, кроме того, интеграл

0

2 drrfre r имеет конечное

значение, то ряд (12) с коэффициентами (13) сходится, и его сумма равна rf в каждой

точке r , где эта функция непрерывна. Для конкретных значений параметров угла раствора

конуса 2 и расположения стокслета, точки ),0,0( c , можно убедиться в том, что функции

скоростей стокслета на границе конуса ,0v и ,0v непрерывны и удовлетворяют

условиям теоремы, следовательно, разложение по полиномам Лагерра имеет место и

выглядит следующим образом:

0

0 ,n

nLnQv ,

0

0 ,n

nLnQv .

Попробуем также разложить по полиномам Лагерра компоненты составляющей

скорости жидкости ,~v и ,~v на границе:

n

n

nnnn PCPAPAv

1

11212 coscoscos,~ ,

n

n

nnnn JCJAnv

0

22 coscos2sin

1,~ . (15)

Для этого воспользуемся известным разложением степенной функции по полиномам

Лагерра. В частности, если показатель степени – целое положительное число, то ряд

содержит конечное число членов

s

n

n

n

s

npn

Lss

0 !1

1!1

,

,...2,1,0;1;0 s (16)

Проведем разложение по простейшим полиномам Лагерра, то есть по таким

полиномам rLrL nn 0 , для которых 0 . Тогда выражение для степенной функции

упрощается:

s

n

n

n

s

ns LCs0

1! . (17)

Теперь будем рассматривать конечные суммы из m слагаемых ряда вместо

бесконечных сумм, и после некоторых преобразований получаем следующие выражения для

скоростей на границе: разложение скоростей стокслета 0v и 0v :

m

n

nLnQv0

0 , ,

44

m

n

nLnQv0

0 , ,

разложение дополнительных компонент скорости v~ и v~ :

0

1

11212 !coscoscos,~ LnPCPAPAvm

n

nnnn

m

k

k

m

kn

k

nnnnn

kLCnPCPA

1

112

1!coscos1 ,

0

0

22 !coscos2sin

1,~ LnJCJAnv

m

n

nnnn

m

k

k

m

kn

k

nnnnn

kLCnJCJAn

1

22 !coscos21 , (19)

и после некоторых преобразований получим системы линейных алгебраических уравнений

для отыскания соответствующих констант.

Далее аргумент cos функций Лежандра и функций Гегенбауэра опустим для

краткости.

Система для определения коэффициентов mC и 2mA :

!

1112

m

mQPCPA

m

mmmm

,

2!

sin11

22

mm

mQJCJA

m

mmmm

.

Последующие коэффициенты можно последовательно найти, используя уже

вычисленные, то есть, для любого 1,1 mk :

!

!11

112

112k

CnPCPAkQ

PCPA

m

kn

k

nnnnn

k

kkkk

,

2!

!2sin11

22

1

22

kk

CnJCJAnkQ

JCJA

m

kn

k

nnnnn

k

kkkk

. (21)

Последние несколько коэффициентов находятся однозначно через все предыдущие

010 AA ,

cos

!01

112

2

m

n

nnnn nPCPAQ

A ,

221

22

02

!20sin

JA

nJCJAnQ

C

m

n

nnnn

. (22)

45

3. Результаты

Рис. 3. Линии тока под воздействием стокслета, находящегося в точке )4,0,0( в

конусе с углом раствора 5

2

.



2

.



2

.

4. Выводы

В работе рассмотрен вопрос о движении жидкости в наноразмерном конусе. В

результате моделирования движения жидкости в приближении Стокса было обнаружено

46

образование вихрей. В [18] впервые была выявлена последовательность образующихся

вихрей в остром угле. Позже подобное течение наблюдалось многими авторами, например,

[5], [15], [19]. В данной работе рассматривалось осесимметричное течение внутри конуса под

воздействием стокслета. Используемый метод позволяет получить функцию тока в

некоторой ограниченной области относительно (область сходимости рядов). Получены

картины линий тока для таких областей (Рис. 3-5), отличающихся друг от друга углом

раствора конуса. Полученные результаты согласуются с результатами [16], [22], [12]. Можно

заметить, что интенсивность вихрей существенно уменьшается с отдалением от вершины

конуса. Сама картина течения зависит от выбранного вида стокслета (Рис. 2). Также важно

отметить, что стокслет – не источник массы, а источник вихрей, поэтому в фиксированном

объеме масса сохраняется. Клеточная структура течения характерна для потока Стокса. Для

малых углов раствора конуса можно видеть вертикальную (по оси конуса) клеточную

структуру в области, близкой к стокслету (Рис. 3-4). Для больших значений углов появляется

горизонтальная ячеистая структура (Рис. 5).

Этот эффект может быть интересен с точки зрения нанохимических реакций.

Экспериментально было обнаружено, что при течении в наноканалах происходит разделение

компонентов жидкости ([10],[3]). Этот вопрос имеет ряд трактовок, однако, окончательно

вопрос о природе химического разделения при течении в наноканале не решен. Решение

вопроса об образовании вихрей в конической геометрии может способствовать построению

теории течения многокомпонентных жидкостей, приводящего к их химическому

разделению. Такая теория может стать основой для развития мембранной техники

разделения компонентов с использованием наноканалов. Возможный ответ на этот вопрос:

вихрь может быть причиной разделения компонент жидкости за счет их различной

плотности. В свою очередь, он может вызывать химические реакции в разных частях вихря,

то есть играть роль нанореактора.

5. Благодарности

Данная работа была поддержана программой “Развитие научного потенциала

российской высшей школы” (проект 2.1.1/4215), “Научные кадры инновационной России”

(контракты П689 НК-526П и 14.740.11.0879), грант РФБР 11-08-00267.

47

6. Список литературы

[1] Ackerberg R.C. 1965 The viscous incompressible flow inside a cone, J. Fluid Mech., 21, part 1,

47-81

[2] Blake J.R. 1971 A note on the image system for a stokeslet in a no-slip boundary, Proc. Camb.

Phil. Soc., 70, 303-10

[3] Chivilikhin S.A., Popov I.Yu. and Gusarov V.V. 2011 Planar flows in nanoscale regions,

Nanosystems: Phys. Chem. Math., 2, 3, 49-52

[4] Gugel Yu.V., Popov I.Yu. and Popova S.L. 1996 Hydrotron: creep and slip, Fluid Dyn. Res., 18,

199

[5] Hackborn W.W. 1990 Asymmetric Stokes flow between parallel planes due to a rotlet, J. Fluid

Mech., 218, 531-46

[6] Hall O., Gilbert A.D. and Hills C.P. 2009 Converging flow between coaxial cones, Fluid Dyn.

Res., 41, 011402

[7] Happel J. and Brenner H. 1965, Low Reynolds Number Hydrodynamics, (Prentice-Hall; Engle-

wood Cliffs, N.J.)

[8] Hasimoto H. and Sano O. 1980 Stokeslets and eddies in creeping flow, Ann. Rev. Fluid Mech.,

12, 335-363

[9] Kim M.U. 1977 Slow viscous rotation of a sphere on the axis of a circular cone, J. Korean Phys.

Soc., 10, (2), 54-8

[10] Kononova S.V., Korytkova E.N., Romashkova K.A., Kuznetsov Yu.P., Gofman I.V.,

Svetlichnyi V.M., Gusarov V.V. 2007 Nanocomposite on the basis of amide imide resin with

hydrosylicate nanoparticles of different morphology, J. Appl. Chem., 80, (12) 2064-70

[11] Korn G.A. and Korn T.M. 1968, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers,

(McGraw-Hill, New York)

[12] Lecoq N., Masmoudi K., Anthore R. and Feullebois F. 2007 Creeping motion of a sphere along

the axis of a closed axisymmetric container, J. Fluid Mech., 585, 127-52

[13] Лебедев Н.Н. 1963, Специальные функции и их приложения (Второе издание), (М.-Л.:

ГИФМЛ)

[14] Liron N. and Mochon S. 1976 Stokes flow for a stokeslet between two parallel flat plates, J.

Eng. Math., 10, No. 4

[15] Liron N. and Shahar R. 1978 Stokes flow due to a stokeslet in a pipe, J. Fluid Mech., 86, part 4

727-44

[16] Liu C.H. and Joseph D.D. 1978 Stokes flow in conical trenches, SIAM J. Appl. Math., 34, No.

2

[17] Malyuga V.S. 2005 Viscous eddies in a circular cone, J. Fluid Mech., 522, 101-16

[18] Moffatt H.K. 1964 Viscous eddies near a sharp corner, Arch. Mech. Stosow., 2, 365-72

[19] Popov I.Yu. 1993 Operator extensions theory and eddies in creeping flow, Phys. Scr., 47, 682

[20] Popov I.Yu. 1996 Stokeslet and the operator extensions theory, Rev. Mat. Univ. Compl.

Madrid, 9, (1) 235-58

[21] Pozrikidis C. 1996 Computation of periodic Green's functions of Stokes flow, J. Eng. Math.,

30, 79-96

[22] Shankar P.N. 2005 Moffatt eddies in the cone, J. Fluid Mech., 539, 113-35

48

[23] Usha R. and Nigam S.D. 1993 Flow in a spherical cavity due to stokeslet, Fluid Dyn. Res., 11,

75-8

[24] Wakiya S. 1976 Axisymmetric flow of a viscous fluid near the vertex of a body, J . Fluid

Mech., 78, 737-47

49

УДК 517.958

РАЗНОСТЬ РЕЗОЛЬВЕНТ САМОСОПРЯЖЁННЫХ РАСШИРЕНИЙ

ГАМИЛЬТОНИАНА УПРОЩЕННОЙ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ АТОМ-ПОЛЕ

Р.Д. Нергачев, А.И. Трифанов, Д.Ю. Филиппов

Получен явный вид для разноcти резольвент самосопряжённых расширений модельного оператора для

атома, взаимодействующего с электромагнитным полем.

1. Введение

Рассматривается неймановская теория расширения операторов, применённая к

гамильтониану упрощённой модели взаимодействующей системы A FH H атом – поле. При

этом за гамильтониан атома берётся одномерный дифференциальный оператор 2

2A

dH

dx ,

исходно определённый на пространстве функций, квадратично интегрируемых на интервале

( , )a b . Электромагнитному полю будет соответствовать оператор чисел заполнения †a a в

представлении пространства Фока, в котором он имеет вид бесконечной диагональной

матрицы.

Одной из задач ставится получение выражения для разности резольвент двух

произвольных самосопряжённых расширений оператора, полученного из исходного

гамильтониана сужением его таким образом, чтобы фиксированный вектор A FH H

становился дефектным. Так, оператор AH сужаается на множество функций из 2L ,

обращающихся в нуль в какой-либо точке внутри исходного интервала. В выводе

соотношения между самосопряжёнными расширениями рассматриваемого оператора будет

использоваться формула М.Г. Крейна о связи обобщённых резольвент таких расширений.

2 Схема получения выражения для резольвент

Мы будем использовать оператор вида A FH H , где

2

2,A

dH

dx ( ) { ( , ) | ( , ) : ( ) 0}AD H f a b y a b f y ;

†ˆ ˆ

AH a a , где

†

1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 3 0ˆ ˆ

0 0 0

a a

n

50

0 1 0 0

0 0 2 0

0 0 0ˆ

0 0 0 0

an

, †a - эрмитово сопряжённый к a .

Рассмотрим оператор *

AH , сопряжённый к AH . Его область определения будет шире,

чем у исходного оператора AH ; её можно получить интегрированием по частям.

*( )AD H можно представить в виде

*( ) ( )A AD H D H N N , где

N - дефектные подпространства оператора AH , определяемые как

*ker( )AN H iI . Они характеризуют, насколько рассматриваемый оператор

“отклоняется” от самосопряжённого. Индексы дефекта – (2,2).

Введём в N базисные элементы:

(1)

(2)

sin( ),

0,

0,

sin( ),

A

A

x a x y

x y

x y

b x x y

Произвольно выбранные дефектные элементы оператора FH будем обозначать (1)

F

Обозначим за A тензорное произведение A FA H H , а за ,A A - его произвольные

самосопряжённые расширения. Тогда резольвенты соответствующих расширений связаны

следующей формулой Крейна:

1

1 1 1 1 1( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )ÃA A A iI A P Q P I A P P A iII A I AI I I

гд

е Q - оператор, действующий в iN по формуле , s sr rQ , P - ортопроектор в

H на iN , оператор пересчитывает друг в друга дефектные подпространства:

(1) (1)11 12

12 21(2) (2)21 22

,

Тогда общее выражение для Q следующее:

(1) (1) (2) (1) (1) (2) (2) (2)Q

Резольвента произведения будет иметь вид:

1 2

2( )

i j

i ji j

P PR A

В матричном виде R(A) выглядит следующим образом:

51

1

( , )

(

0

(

,

2) 0

)

j j

j

j j

j

j j

A I

Оператор Вейля-Титчмарша, входящий в формулу Крейна, будет иметь вид:

(1) (1) (2) (1) (1) (2) (2) (2)

2(1) (1) (2) (2) (1) (1) (2) (2)

2

1

0

( , )( , ) ( , ) (1 ) ( , ) (

( )( ) 0 0

( ) ( )

0)

0

,

0

j j

jj

T Q P I A I

x

PA

Собирая получившиеся слагаемые вместе, получаем:

(1) (1) (2) (2) (1) (1) (2) (2)

1 1 1 1

2 2

2 2

(, )

(, )

2

(, )( , ) ( ,

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

0

0

( ) ( ) ( )() ( , ) ( , )

Г

j

j

j j

j

j j

j

j j

j j

A A AI I I IiI A PT P A iI A

i Sx x

) 0

0 0

(, )

j

j j

j

i

52

0

1( ) 0

2

( ) ( )2

(, )

(, )

2

(, )(1) (1) (2) (2)

(, ) (, )

(,(1) (1) (2) (1) (1) (2) (2) (2) (1) (1) (2) (2)

( ) (, ) (, )

1

( )

j

AГ j

j j

j

j

ijx

jI

j

j j

j

j

2)(1) (1) (2) (2

0

( )

2

(

)(1 ) (, ) (, )

2

(, )(1) (1) (2) (2)

(, ) )( )2

(, )

0 0

j

xj

j j

j

ijx j

Окончательно получаем выражение для резольвенты:

(, ) (, ) (, )(1) (1) (2) (2) (1) (1) (2) (2)

(, ) (, ) (, ) (, )

(,(1) (1) (2) (1) (1) (2) (2) (2) (1) (1) (2

2 2

( ) ( )( )

) (2)( ) (, ) (, )

( )2 2

( )

i ij j

j j j j j j

j j j

j

jx x

0

( )

2)(1) (1) (2) (2)

(1 ) (, ) (, )2

(

20

, )

j

xj

j

j

j

j

j

3. Заключение

Был получен явный вид для разноcти резольвент самосопряжённых расширений

рассматриваемого оператора. В будущем это позволить проанализировать спектр

расширений, его отличия от исходного оператора, сдвиг собственных чисел.

Список литературы:

[1] Ахиезер Н. И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Н.И. Ахиезер,

И.М. Глазман. –М.: Наука, 1996. – 554 с.

[2] Крейн М. Г. Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых

операторов и её приложения. // Мат. сб. – 1947. –Т.20, N 3. –С.365 -404

[3] Павлов Б.С. Теория расширения и явнорешаемые модели. // УМН. – 1987. –Т. 42, N

6. –С.99 -131

53

МОДЕЛЬ ТУННЕЛИРОВАНИЯ ЧЕРЕЗ ДВУМЕРНЫЙ

ПЕРИОДИЧЕСКИЙ МАССИВ КВАНТОВЫХ ТОЧЕК

В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

С.А. Осипов

Введение

Необычные спектральные свойства двумерных систем носителей заряда в постоянном

магнитном поле привлекают повышенное внимание, как математиков, так и физиков.

Уже на протяжении нескольких десятилетий известно, что движение электронов

обладает замечательными свойствами. Их коллективное поведение приводит к ситуации,

когда перенос заряда хорошо описывается в терминах квазичастиц. Они могут обладать

положительным, отрицательным, а также не целым зарядом. Особый интерес представляют

явления, наблюдаемые при наличии сильных магнитных полей и при низких температурах.

Это как раз те условия, при которых наблюдается целое или дробное квантование

холловской проводимости.

Благодаря высокой чистоте изготовления и совершенству кристаллической структуры

наноэлектронных устройств, проявляются их главные особенности: во-первых, большая

длина свободного пробега электронов(~ см); во-вторых, относительно большая длина

волны Ферми (~ см). Эти характеристики позволяют реализоваться режиму

электронного баллистического транспорта, при котором рассеяние на примесях играет

пренебрежимо малую роль. По этой причине стандартный подход к теории

электропроводности, основанный на решении уравнения Больцмана становится неприменим.

В этом случае проводимость σ описывается формализмом Ландауэра-Бюттикера, в рамках

которого σ непосредственно выражается через коэффициенты прохождения FE E

T E

. В

случае одного канала она принимает вид[1]

2

1e1T T

h

Коэффициент прохождения Т зависит не только от размера, но и от геометрии

наноструктуры. В сужения квантовых каналов на него сильное влияние будет оказывать

эффект туннелирования через одиночную примесь при нахождении FE вблизи резонанса

Брейта-Вигнера[1].

В силу описанных выше обстоятельств, адекватным математическим аппаратом

построения моделей баллистического транспорта в наноэлектронных устройствах становится

теория потенциалов нулевого радиуса.

В моей работе я опишу модель двумерного периодического массива квантовых точек

с двумя контактами.

Описание модели

Здесь мы введем и опишем простейшие свойства квантовомеханического

гамильтониана заряженной (заряд ) бесспиновой частицы массы , находящейся в

54

постоянном и однородном магнитном поле В. Будем считать В параллельным вектору

стандартного базиса пространства 3R : kB B , 0B . Отделяя свободное движение

вдоль оси , получаем гамильтониан в пространстве состояний 2 2L R , где —

плоскость , натянутая на векторы :

1 1

0 2 eH m p c A

Здесь ip h — двумерный оператор импульса, — векторный потенциал поля

rotB A который, разумеется, определен неоднозначно. Чаще всего выбирают в одной из

следующих форм:

В каждом из этих случаев оператор самосопряжен в существенном на ,

изменение калибровки приводит к замене оператора на унитарно эквивалентный ([2]). В

дальнейшем, если не оговорено противное, используется симметричная калибровка. Введем

стандартные обозначения:

Далее, через будем обозначать величину

0

B

где знаки выбираются так, чтобы выполнялось неравенство e 0B . Величина равна

числу квантов потока поля через единичную площадку в . Чтобы упростить формулы,

будем пользоваться в дальнейшем системой единиц, в которой . Тогда с

учетом введенных обозначений гамильтониан запишется в виде

22

0

1[

2]i ixH y

x y

Спектр чисто точечный и состоит из бесконечно вырожденных собственных

чисел (уровней Ландау) [3]:

1

2l l

Далее нам потребуется функция Грина оператора (т.е. ядро резольвенты

10

0R z H z

), она имеет вид [4]:

2( )1 21 12 2 2

( , , ) (2 ) ( )exp[ ^ ] ( ;1; ( ) )i jr rz zo i j i j i jG r r z ir r r r

55

В этой формуле Г(x) - Г-функция Эйлера, ( , , )a c x - вырожденная

гипергеометрическая функция второго рода[5].

Рассмотрим двумерный периодический массив квантовых точек . Центры квантовых

точек совпадают с узлами квадратной кристаллической решетки.

Зафиксируем два базисных вектора из таких, что для любого мы

имеем уникальное представление 1 1 2 2a a , где целые. Гамильтониан массива

квантовых точек запишем в форме

( )oH H V r

Для определения его функции Грина используем формулу Крейна из теории

самосопряженных расширений операторов[6,7] 1

1 2 1 2 1 2

,

( , ; ) ( , ; ) [ ( ) ] ( , ; ) ( , ; )o o oG r r E G r r E Q E A G r E G r E

Q(E) ‒ это Q-матрица Крейна, которая для нашей модели имеет диагональный

вид[10] ( ) ( ) ijQ E q E .

12 2 2

(( ) log( ) 2) ( )( )mEmEq E C

, 2 2

04 ‒ постоянная Эйлера-Маскерони.

Элементы эрмитовой матрицы , параметризующей самосопряженные расширения

оператора определяются из условия, что гамильтониан системы должен быть

инвариантен к действиям группы магнитных трансляций[8].

, ,exp[ ( ( )) ]zA i e A

В моей модели учитывается только взаимодействие между ближайшими соседями,

поэтому элементы определяются из следующих соотношений

,0 1 2 2 2 1 1( ( ,0)( ( ,1) ( , 1)) ( ,0)( ( ,1) ( , 1)))A g

здесь константа, определяющая силу взаимодействия.

Гильбертово пространство “внутренних состояний” устройства обозначим .

Пространство состояний каналов , . Таким образом,

пространство состояний системы представляет собой прямую сумму

Если каналы заперты(контакты разомкнуты), то гамильтониан системы

представляет собой прямую сумму

Здесь оператор есть оператор в пространстве с условием Неймана

в точке 0(т.е. отсутствие тока через соответствующие контакты); - гамильтониан

заряженной частицы в наноэлектронном устройстве.

Вид функции Грина хорошо известен:

56

1( , ; ) (2 ) [exp( | |) exp( ( ))]G x y i k ik x y ik x y

где 2k , Im 0k . Таким образом,

1( ,0; ) exp( ( ))G x E ik ik x y

Воспользуемся следующей формулой для расчета коэффициента прохождения

T(E)[1]: 2

41

2

| |

|det[ ( ) ]|( )

B

E Q E AT E

Элементы матрицы находим следующим образом [8]:

( ) ( , , )ij

i jQ E G r r E

Рисунок 1. Зависимость ширины запрещенной зоны от силы магнитного поля

Серии расчетов позволили выявить интересный физический эффект: отсутствие

прохождения в определенном диапазоне энергий, зависящем только от величины магнитного

поля.


[1] В.А.Гейлер, И.Ю. Попов, Баллистический транспорт в наноструктурах: явнорешаемые

модели, ТиМФ Том107, №1 фапрель, 1996 12 – 20

[2] Рид M., Саймон В., Методы современной математической физики, т. 1, Мир, М., 1977

[3] V.A. Geyler, The two-dimensional Schrodinger operator with a uniform magnetic field, and its

perturbation by periodic zerorange potentials, St. Petersburg Math. J. 3 (1992) 489-532.

[4] Малкин И. А . , Манько В. И., Динамические симметрии и когерентные состояния

квантовых систем, Наука, М., 1979

[5] Бейтмен Г., Эрдейи А , Высшие трансцендентные функции, т. 1, Наука, М., 1973

[6] V.A. Geyler, I.Yu. Popov, The spectrum of a magneto-Bloch electron in a periodic array of

quantum dots: explicitly solvable model, Z. Phys. B 93 (1994) 437-439.

[7] Крейн М.Г., Лангер Г.К. Функциональный анализ и его приложения 1971, Т.5 № 125

57

[8] V.A. Geyler, The two-dimensional Schrodinger operator with a uniform magnetic field, and its

perturbation by periodic zerorange potentials, St. Petersburg Math. J. 3 (1992) 489-532.

58

УДК 517.958

ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЛЯ МОДЕЛИ СЛОИСТОЙ ЗЕМЛИ.

С.И.Попов, И.О.Бережной

Построена функция Грина для модели слоистой сферически симметричной, невращающейся, идеально

упругой и однородной Земли. Разработана программа расчета функции Грина.

1 Введение

Одним из основных методов решения математических задач сейсмологии является

аппарат функций Грина. Наиболее часто рассматривается времязависящая функция Грина

, задающая поле перемещений для точечного источника, действующего в момент

времени в положении в направлении [5]. С точки зрения математики, такая функция Грина

является решением уравнения

где -- тензор упругих постоянных, -- поле плотностей. Так как землетрясение как правило

вызывается точечным источником, то такого рода функция Грина позволяет объяснять

особенности сейсмограмм, восстанавливать по данным наблюдений тензор напряжённости в

эпицентре землетрясения и т.п. Однако в математической физике вообще и квантовой механике

в частности хорошо себя зарекомендовали времянезависящие функции Грина. Полагая в

вышеприведённом уравнении колебательный характер решений с частотой , мы получаем не

содержащее времения уравнение

являющееся по определению уравнением на функцию Грина оператора Ламе, которое очевидно

не содержит времени. Как нам известно из примеров квантовой механики, применение теории

М.Г.Крейна, теории граничных троек и метода сужения-расширения операторов позволяет

относительно легко явно находить собственные моды при разнообразных возмущениях

физических параметров [1]. Модель сферически симметричной изотропной однородной Земли в

настоящий момент исследована весьма подробно [7]. Однако в настоящий момент накоплено

множество наблюдений собственных мод Земли, а также открыты незатухающие собственные

колебания [8], которые показывают некоторое отличие реальных собственных мод от

предсказаний вышеуказанной модели. Поэтому задача о выяснении отклонения внутренней

структуры Земли от идеально симметричной является одной из наиболее актуальных. Отметим,

что классические методы сейсмологии, основанные на теории возмущений, требуют множество

не всегда физически обоснованных допущений, а потому не слишком продуктивны. Аппарат

времянезависящих функций Грина и теории расширений операторов предлагают

альтернативный подход, который может оказаться более плодотворным. Однако чтобы

применить этот аппарат, необходимо явно знать, или уметь быстро вычислять функцию Грина.

Для жидких тел такая задача сводится по существу к нахождению функции Грина оператора

Лапласа, которая известна для множества конфигураций [3]. Однако уже для изотропного

однородного шара функция Грина оператора Ламе оказывается достаточно сложной.

Достаточно близким приближением к реальной Земле является сферически симметричная

59

модель, состоящая из изотропных однородных слоев [7]. Собственные моды такой модели были

найдены в [2], однако функция Грина в связи с громоздкостью вычислений не была найдена.

Настоящая статья призвана восполнить этот пробел. Мы описываем способ получения

времянезависящей функции Грина слоистой Земли, а также предлагаем программу,

позволяющую вычислять эту функцию Грина.

2 Теоретическая часть

2.1 Функции Грина для слоистой Земли

Мы рассматриваем функцию Грина для слоистой Земли в рамках приближения PREM (

Preliminary Reference Earth Model). Далее мы будем рассматривать жидко-твердые границы, как

то: граница внутреннего ядра и граница ядра-мантии. Так же в рамках данной модели считается

что Земля покрыта равномерным слоем воды, толщиной в 3 километра. Имеются также

несколько твердо-твердых границ, включающих в себя разрыв Moho, на глубине в 24,4

километра и разрывы верхней мантии на глубинах в 220, 400 и 670 километров.

Полярные координаты ,,r вместе с началом координат в центре SNREI (сферически

симметричной, невращающейся, идеально упругой и однородной) Земли. Последняя

характеристика имеет два значения начальная сила изотропна и вследствие этого отклоняющая

сила 0= , и тензор упругости 4 порядка однороден в форме

kjliljkilkjilkji ,,,,,,,,,3

2=

(1)

В общем, SNREI Земля полностью описывается в терминах плотности p , однородной

несжимаемости и жесткости , как функции расстояния r от центра. Переменные и

могут быть переписаны в виде: скорости волны сжатия

pi /

3

4= и скорости сдвиговой

волны p

= .

Гравитационное поле =g

в модели SNREI Земли в каждой точке направленно к

центру.

dr

dgrgg

==,ˆ=

(2)

Скалярнное ускорение гравитации g удовлетворяет дифференциальному уравнению 1 порядка

Gpgrg 4=2 1 (3)

'2'

02

'2'

02

4=)(,

2=)( drpr

r

Grdrpr

r

Grg

rr

(4)

Однородное уравнение баланса:

0=gp (5)

где начальное гидростатическое давление. Это уравнение также может быть представлено в

виде

60

'=)( gdrrpa

r (6)

где мы используем начальное условие что на границе со свободным пространством 0=)(ap

2.2 Уравнение движения

Уравнение движения и граничные условия для свободных колебаний в SNREI Земли

может быть выражено в следующем виде

lmlmlmlm PYWCVBUPS =,= (7)

где U(r),V(r),W(r);P(r) собственные функции зависящие только от радиуса. Скалярные lmY и

векторные сферические гармоники lmlmlm CBP ,, степени <<0 l и порядка lml <<

определяются следующим образом:

lm

llmd

d

ml

ml

l

lY 2||

1/2

)sin(sin

1)sin(

|)!|(

|)!|(

!2

1

4

12=,

(8)

lmm

ml

mlm

<,0sin2

0<,1

0<,cos2

и

,ˆ=),(,,=),(,,ˆ=),( 11

lmllmlmllmlmlm YrkCYkBYrP (9)

Где безразмерный оператор касательной к вектору 1)sin(ˆˆ=l и

ˆ)sin(ˆ=ˆ 1

lr поверхностный градиент и кривая единичной сферы и

1)(= llk (10)

Сила сцепления оказываемаяна людую сферическую поверхность выражается в терминах

смещения скаляров U, V и W:

lmlmlm TCSBRPTr =ˆ (11)

где

kVUrUR

2

3

2

3

4= 1 (12)

UkrVrVS 11= (13)

WrWT 1= (14)

Динамические граничные условия выражающие неразрывность сцепления на различных

границах подразумевают, что

0,=== TSR где r=a (свободное пространство) (15)

SSd=r0,=][=][=][

TSR (твердое-твердое тело) (16)

FSd=r0,===][ TSR

(жидкость – твердое тело) (17)

61

Сдвиговое сцепление S и T равны 0 на всем протяжении жидкого региона в силу исчезновения

жесткости, 0= . Следовательно две величины UkrVrV 11 и WrW 1 должны исчезать на

твердой стороне границы жидкость-твердое тело.

2.3 Функция Грина. Тороидальные колебания

Рассмотрим сперва слагаемые соответствующие тороидальным волнам(W) в неком

однородном слое под номером n

0=1)(2 2221

nnnn WrllWrW (18)

Представим nW как линейную комбинацию сферических функций Бесселя

n

ln

n

lnn

rnb

rjarW

=)( (19)

где

Бесселя функция ясферическаlj

порядка 2 Бесселя функция ясферическаln

Тороидальное сцепление nT связанное с nW выражается в виде

n

ln

n

ln

nn

ln

n

lnnnn

rnb

rja

rrnlb

rjlarWrWT

11

11 1)(1)(==

(20)

Функция Грина для n-ого слоя записывается в форме

qrr

nbr

ja

qrr

nbr

ja

qrWn

ln

n

ln

n

ln

n

ln

>,

<,

=),(

(21)

Где q-месторасположение точечного возмущения.

Граничные условия:

1=),(),(

),(=),(

0=0=

0=0=

qrqr

qrqr

rTrT

qrWqrW

(22)

Чтобы найти слагаемые Функции Грина, соответствующие тороидальным колебаниям, нам

нужно найти коэффициенты ,i ia b , где i=3..8, кроме номера слоя с особенностью, в нем нам

необходимо найти , , ,n n n na a b b . То есть, 14 неизвестных. Оценим количество уравнений,

задающих условия на границах слоев. Фактически (если считать, что точка возмущения

разбивает слой на два), мы имеем 7 слоев и 8 границ (две внешние и шесть внутренних). На

внешних границах, краевое условие задается одним уравнением (T=0). На внутренних границах

– 2 уравнения (для T и W, условие непрерывности или скачок, в зависимости от наличия

62

особенности на границе). Получаем систему из 14 уравнений с 14 неизвестными. Была написана

программа для решения данной системы. Матрица системы сильно разрежена. Систему решаем

стандартными математическими пакетами.

2.4 Функция Грина. Сферические волны

Уравнения для сферической модели сводятся к системе 6 связанных уравнений первого

порядка для величин U,V,P,R,S, и B в форме

,3

4

3

2

3

4

3

2

3

42=

1

1

1

1

1

RVrkUrU

(23)

,= 111 SVrUkrV (24)

,1)(4= 1 BPrlUGP (25)

VrkgkUrgrR

2

1

1212

3

46

3

4124= (26)

,1)(3

44 111

1

BPrlSkRr

VrkrUrkgrkS

2

11

2222

1

1

3

4

3

142

3

46= (27)

,33

4

3

2 111

1

PrkSrRrk

.1)(41)(4= 111 BrlVrFkUrlGB (28)

Для однородной Земли Grg

3

4= , где G гравитационная постоянная. Все зависимые

величины в системе определены везде в ar 0 , за исключением касательного смещения V,

которое испытывает скачкообразный разрыв на границе жидкость-твердое тело: 0=][

V при

FSdr = и 0=][=][=][=][=][

BSRPU при SSdr = и FSdr = .

Граничные условия на поверхности Земли однородны:

;=0ïðè=== arBSR (29)

Дополнительно, сдвиговое сцепление должно исчезать на границе жидкость-твердое тело

;=0ïðè= FSdrS (30)

В PREM приближении Земля имеет 8 однородных слоев. В n-ом слое система имеет 6 линейно

независимых решений niZ ,

63

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

T

S

R

P

V

U

Z

,

,

,

,

,

,

, =

Где

),()(= 1

1

3,

1, rjrjrlU nlnnnln

n

n

),()(= 1

1

3,

1, rjkrjrkV nlnnln

n

n

),(4=3,

1, rjGP nlnn

n

n

),()(22)(1)(23

4= 1

1222

1

3,

1, rjrkrjrllR nlnnnnlnnnnnn

n

n

),(1)(2)(1)2(= 1

122

3,

1, rjrkrjrlkS nlnnnnlnnn

n

n

),()1)((4= 21

3,

1, rjlkrGB nlnn

n

n

),()(= 1

1

4,

2, rnrnrlU nlnnnln

n

n

),()(= 1

1

4,

2, rnkrnrkV nlnnln

n

n

),(4=4,

2, rnGP nlnn

n

n

),()(22)(1)(23

4= 1

1222

1

4,

2, rnrkrnrllR nlnnnnlnnnnnn

n

n

),(1)(2)(1)2(= 1

122

4,

2, rnrkrnrlkS nlnnnnlnnn

n

n

),()1)((4= 21

4,

2, rnlkrGB nlnn

n

n

Где

,3

8

2

3

16

2

1

2

3

16

2=

2

2

2

2

2

2

2

2

22

nn

n

n

n

n

n

n

n

GkGG

(31)

1).(=),()(4

3=

2

2221 lG nn

n

nnnn

(32)

64

Решения (1,n) отличаются от (3,n) и (2,n) отличаются от (4,n) различным выбором знака в 31

,= 1

5,

l

n lrU

,= 1

5,

l

n krV

,3

4= 2

5,

l

nn rlGP

,1)(2= 2

5,

l

nn rllR

,1)(2= 2

5,

l

nn rlkS

,1)(3

81)(2= 12

5,

l

nn rlGllB

,1)(= 2

6,

l

n rlU

,= 2

6,

l

n krV

1),1)(3

4= (2

6,

lrlGP nn

,2)1)((2= 3

6,

l

nn rlllR

,2)(2= 3

6,

l

nn rlkS

,1)(4= 2

6,

l

nn rlGB

В жидких слоях 0=

22

2222242

9

32489=

kGG (33)

сцепление S и T равны 0 в жидких регионах, и мы имеем 4 дифференциальных уравнения в

системе. Так как 0=S , следовательно, получается алгебраическое уравнение

)(1

= 1

2RPgUkrV

(34)

Мы можем исключить V и получить систему из 4 дифференциальных уравнений относительно

U,P,R,B:

,)(2= 222212211222 rkRrkUrgrkU (35)

,1)(4= 1 BPrlUGP (36)

,)1)(()4(= 1222222222212 BPrlgrkRgkUrgkgrR

(37)

BrlPrkGRrkGUrlgrkGB 12222221222 1)(44)1)((4=

(38)

Четыре линейнойных независимых решения (3,n) (4,n) включают в себя

. (39)

и 21)(4

3= nn G Аналогично строятся решения для (5,n) (6,n) для U,P,R,B

Мы предполагали здесь, что гравитационный потенциал в системе 23-28 в n-ом слое

65

выглядит как:

Grg nn

3

4=

Чтобы построить функцию Грина, поместим источник в точку r=q. Поместим точку в n-ый слой.

Затем мы разделим слой на два подслоя по поверхности r=q и наложим условия скачка на

значения R и S b непрерывности на остальные переменные

0=][=][=][=][=][1,=][

BSPVUR .

Слагаемые для функции Грина будем искать способом, аналогичным решению этой

задачи в 2.3. Разница лишь в количестве уравнений и неизвестных. Ранее, каждую из функций

(U,V,P,R,S, и B) мы представили в виде суммы 6 слагаемых для каждого слоя

( 1 6,na , 1,2,8n ). В центре Земли (первый слой) решение не должно иметь особенности,

поэтому в этом слое отсутствуют слагаемые с функцией Бесселя 2-го рода и с отрицательными

степенями (в этом случае, мы будем искать коэффициенты 1,3,5a ). Во втором и восьмом

(жидких) слоях отсутствуют сдвиговые напряжения, поэтому не будет слагаемых с функцией

Бесселя 1-го и 2-го рода с (в этом случае, будем искать коэффициенты 3 6a ). В остальных

слоях присутствуют все 6 коэффициентов. Итого, мы получили 41 коэффициент + 4 или 6

коэффициентов для точки с особенностью (в зависимости от того, в жидкий или твердый слой

мы добавляем возмущение).

Оценим количество уравнений, задающих условия на границах слоев. На границах

твердое-жидкое (а таких 3) у нас по 5 уравнений ([ ] = [ ] = [ ] = [ ] = 0U P R B

, S=0).

Условия на функцию V нет, так как она может иметь скачок. На границе твердое-твердое (таких

4) заданы по 6 уравнений ([ ] = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] = 0U V S P R B

). На поверхности

– 2 уравнения ( = = 0R B ). Также мы имеем 6 (или 4) уравнений для слоя, в котором

находится особенность и разбивает его на два. В результате, мы получили такое же количество

уравнений, как и неизвестных коэффициентов. Получаем систему из 47(45) уравнений с 47(45)

неизвестными. Была написана программа для решения данной системы. Матрица системы

сильно разрежена. Систему решаем стандартными математическими пакетами.

3 Заключение

В этой статье была аналитически рассчитана функция Грина для модели сферическо-

симметичной слоистой Земли путем разложения в ряд по сферическим гармоникам и была

предложена программа, осуществляющая ее расчет.


[1] Ю. Н. Демков, В. Н. Островский. "Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике"

(Изд. ЛГУ, 1975), 240 стр

[2] F. A. Dahlen, Jeroen Tromp. Theoretical Global Seismology. 1998. 944 pp.

[3] C. Grosche, F. Steiner. Handbook of Feynman Path Integrals.

[4] B.L.N. Kennett. The Seismic Wavefield. Cambridge University Press 2001.

66

[5] Keiiti Aki, Paul G. Richards. Quantitative Seismology. 2002

[6] Daniel R. Lynch. Numerical partial differential equations for environmental scientists and

engineers. 2004. Springer. 413 pp.

[7] International Handbook of Earthquake and Engineering Seismology. Edited by William H. K. Lee,

Hiroo Kanamori, Paul C. Jennings, and Carl Kisslinger. Academic Press.

[8] Kazunari Nawa, Naoki Suda, Yoshio Fukao, Tadahiro Sato, Yoshiaki Tamura, Kazuo Shibuya,

Herbert McQueen, Heikki Virtanen, Jussi Kaariainen. Incessant excitation of the Earth’s free

oscillations: global comparison of superconducting gravimeter records. Physics of the Earth and

Planetary Interiors 120 (200), 289–297.

67

УДК 51-73

ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ

В ЗАДАЧАХ О МЕТАМАТЕРИАЛАХ

К.В. Правдин

[email protected]

В настоящей работе представлен обзор результатов статьи [1] о поведении электромагнитного поля

точечного потенциала при взаимодействии с метаматериалом. Описаны задачи для дальнейших исследований.

Ключевые слова: метаматериалы, коэффициент преломления, NIM, уравнения Максвелла, точечный

потенциал.

1. Введение

В последние годы материалы с отрицательным показателем преломления (negative

index materials, NIMs), вызывают большой интерес благодаря работам Веселаго [2] и Пендри

[3]. В общем случае NIM-системы характеризуются существованием таких частот ω, при

которых относительная электрическая проницаемость ε(ω) и относительная магнитная

проницаемость μ(ω) становятся отрицательными. Особенным является случай, называемый

NIM-ситуацией, когда обе величины для одной и той же частоты (NIM-частоты)

принимают значения –1 в противоположность случаю с вакуумом, когда они равны +1.

Существование материалов с отрицательным показателем преломления обсуждалось в

научной литературе с различных точек зрения [4]. В частности знак показателя преломления,

который следует выбрать при извлечении квадратного корня n , был предметом

дискуссий. При первом рассмотрении он равен +1 как для случая вакуума, так и для случая

NIM-системы. Однако для NIM-ситуации знак противоположный. Вычисления, основанные

на простейшей модели, в которой одна половина пространства состоит из вакуума (ε = μ = 1),

а другая заполнена NIM (ε = μ = –1 не зависимо от частоты), так же давали двусмысленные

результаты. Теоретические результаты, полученные на основе феноменологических

уравнений Максвелла, должны помочь разрешить эту проблему.

2. Обзор результатов теоретических исследований

2.1. Общая постановка

Отправной точкой теоретических исследований в статье [1] являются

феноменологические уравнения Максвелла

( , ) ( , )t t t x

D x H x , ( , ) ( , )t t t x

B x E x ,

( , ) 0t x

D x , ( , ) 0t x

B x , (1)

с материальными уравнениями

( , ) ( , ) ( , )t t t D x E x P x , 0

( , ) ( , ) ( , )t

et

t ds t s t P x χ x E x ,

( , ) ( , ) ( , )t t t H x B x M x , 0

( , ) ( , ) ( , )t

mt

t ds t s t M x χ x H x , (2)

где ( , )e tχ x и ( , )m tχ x – тензоры электрической и магнитной восприимчивостей.

Рассматривается рассеивающая (dispersive), непоглощающая (nonabsorptive) система.

Ставятся условия «причинности» (causality condition) и «пассивности» (passivity condition)

68

системы. Причинность означает, что ( , ) ( , ) 0e mt t χ x χ x для 0t t ( 0 0t ). Пассивность

предполагает, что электромагнитная энергия

2 21( ) { ( , ) ( , ) }

2em t d t t x E x H x (3)

не может возрастать как функция времени.

Вводя формализм дополнительных полей (auxiliary fields formalism, AFF) авторы

статьи показывают, что ( , )tE x и ( , )tH x имеют собственную временную эволюцию (proper

time evolution). Если они являются функциями, интегрируемыми в квадрате в начальный

момент времени, то они сохраняют свойство интегрируемости в квадрате в любой

следующий момент.

Уравнения Максвелла могут быть получены в эквивалентных выражениях при

помощи преобразования Лапласа

0

ˆ( ) exp[ ] ( )f z dt izt f t

, 1 ˆ( ) exp[ ] ( )

2f t dz izt f t

, (4)

где Γ – прямая от до , параллельная действительной оси и расположенная на

некотором расстоянии 0 от нее, z i , 0 (т.е. Im 0z ).

Рассматриваемая система предполагается изотропной (isotropic), т.е. ˆˆ( , ) ( , )t tχ x x U ,

где U – единичная матрица 3 3 . Электрическая и магнитная восприимчивости считаются

равными и состоящими из единственного терма Лоренца. Таким образом, электрическая и

магнитная проницаемости имеют следующий вид: 2

2 2

0

( ) ( ) 1

. (5)

Для такой системы частота ˆ , 2

2

0ˆ

2

является NIM-частотой, т.к.

ˆ ˆ( ) ( ) 1 .

После применения преобразования Лапласа для уравнений Максвелла авторы [1]

получают их в следующем виде:

ˆ( ) ( , ) ( , )e ez z z L E x g x , ˆ( ) ( , ) ( , )m mz z z L H x g x , (6)

где 2 1( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )e z z z z L ε x p μ x p ,

2 1( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )m z z z z L μ x p ε x p ,

1( , ) ( ,0) ( ) { ( , ) ( ,0)}e z iz i z g x E x p μ x H x ,

1( , ) ( ,0) ( ) { ( , ) ( ,0)}m z iz i z g x H x p ε x E x . (7)

Здесь ( )e zL и ( )m zL – электрический и магнитный операторы Гельмгольца, –

символ Леви-Чивита, i xp и ( ) i xp f f . В обозначениях

1( ) ( )e ez z R L , 1( ) ( )m mz z R L (8)

получаем выражения:

ˆ ( , ) ( ) ( , )e ez z z E x R g x , ˆ ( , ) ( ) ( , )m mz z z H x R g x . (9)

Далее вводится функция Грина

69

, ,( , , ) | |e m e mz G x y x R y , (10)

, ,( ) ( , , ) )e m e mz z L G x y x y U . (11)

Тогда ( , )tE x может быть найдено при помощи обратного преобразования Лапласа для

выражения

ˆ ( , ) ( , , ) ( , )z d z z E x yG x y g y , (12)

где ( , )zg y – некоторая конфигурация интегрируемого в квадрате начального поля или

источника плотности.

2.2. Слоистые системы

В статье [1] исследуются изотропные слоистые системы со следующей структурой:

3( , ) ( , ) ( )jz x z z x , 3( , ) ( , ) ( )jz x z z x , 3 jx M , (13)

где jM – слои, параллельные плоскости 1 2X X . По направлениям 1X и 2X

предполагается трансляционная инвариантность. Опуская индекс в третьей координате

( 3x x , 3y y ) для 1 2 3( , , )k k kk , 1 2 3( , ,0)k k κ

κ e k e , имеем

1( , , ) exp[ ( )] ( , , )

2z d i x y z

κG x y κ κ x y G , (14)

( , , ) ( , , , ) ( , , , )s px y z x y z x y z κ

G G G , (15)

3 3( , , , ) ( , , , )s sx y z G x y z κ κ

G e e e e , (16)

3 32 2( , , , ) ( , , , )

( ) ( )p x x p

i ix y z G x y z

x y

κ κG e e e e , (17)

где скалярные функции Грина sG и pG удовлетворяют следующим

дифференциальным уравнениям:

22

2

( , )( , ) ( , , , ) ( )

( , , )p

z x zz x z p p G x y z x y

x z

,

2( , , ) 1( , , , ) ( )

( , ) ( , )s

x zp p G x y z x y

x z x z

. (18)

2.3. Два полупространства, заполненные различными материалами

Авторы [1] рассматривают ситуацию с полупространствами 0x и 0x , которые

заполнены материалами с проводимостями

( ), 0( , )

( ), 0

z xx z

z x

,

( ), 0( , )

( ), 0

z xx z

z x

, (19)

и получают выражения для функций Грина sG и pG в общем виде.

Особый интерес представляет случай, когда область 0x состоит из вакуума и

начальное состояние содержится в этой области ( 0y ). Подобная ситуация реализуется,

70

если электромагнитный волновой пакет путешествует по направлению к материалу. В

подробном исследовании авторы получили точные формулы sG и pG для частот ˆz при

(radiative regime) и асимптотики sG и pG для частот ˆz при (evanescent

regime).

В случае «отражения» , 0x y (источник и приемник электромагнитного поля

находятся за пределами материала в вакууме) и на частоте ˆz отражение

отсутствует:

22

2 2

2 2

0

ˆ( ) 1

, (20)

2

ˆ( )ˆ ˆ( , , ) exp[ ( ) | |]

ˆ2pG x y i x y

i

,

1ˆ ˆ( , , ) exp[ ( ) | |]

ˆ2 ( )sG x y i x y

i

. (21)

При наблюдается затухание, типичное для evanescent-ситуации: 3 2ˆ

2 2 2

ˆ ˆ( ) ( ) 1ˆ ˆ( , , ) exp[ ( ) | |] exp[ ( )( )]

ˆ ˆ ˆ ˆ2 4 ( )( )

z

pG x y z x y x yz z

,

2ˆ

2

ˆ1 ( ) 1ˆ ˆ( , , ) exp[ ( ) | |] exp[ ( )( )]

ˆ ˆ ˆ2 ( ) 4 ( )( )

z

sG x y z x y x yz z

. (22)

В случае «преломления» 0x y (источник находится в вакууме, приемник – в

материале) и для частоты ˆz имеется два различных scattering-канала амплитуд

для отражения и преломления:

2

ˆ( )ˆ ˆ( , , ) exp[ ( )( )]

ˆ2pG x y i x y

i

,

1ˆ ˆ( , , ) exp[ ( )( )]

ˆ2 ( )sG x y i x y

i

. (23)

При наблюдается затухание: 3 2ˆ

2 2 2 2

ˆ( )ˆ( , , ) exp[ ( )( )]

ˆ ˆ4 ( )

z

pG x y z y xz

,

2ˆ

2 2 2

ˆ( )ˆ( , , ) exp[ ( )( )]

ˆ4 ( )

z

pG x y z y xz

. (24)

Т.к. функции Грина имеют полюсы в ˆz , то при восстановлении ( , )tE x

возникают незатухающие вклады, осциллирующие пропорционально ˆexp[ ]i t .

3. Перспектива исследований

Наиболее интересной для изучения является слоистая система, состоящая из одного

слоя метаматериала (single layer, slab), который находится в вакууме. Интерес вызван, в

71

первую очередь, идеей создания идеальной линзы («perfect lenses»). Среди многочисленных

работ по данной тематике наиболее полное исследование было представлено Коллином [5].

Также интерес представляет исследование слоистой системы, электрическая и

магнитная восприимчивости которой состоят из множества термов Лоренца.

Непосредственным продолжением работы [1] могло бы стать исследование функций

Грина в периодической слоистой системе, в которой слои из метаматериала чередуются со

слоями вакуума.


[1] Gralak B., Tip A. Macroscopic Maxwell’s equations and negative index materials. Journal of

mathematical physics, 2010, 51, 052902 1-28.

[2] Веселаго В.Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями ε и

μ. Успехи физических наук, 1967, 92 (3), 517-526.

[3] Pendry J.B. Negative Refraction Makes a Perfect Lens. Phys. Rev. Lett. 2003, 85 ,3966.

[4] Hooft G.W.’t Phys. Rev. Lett. 2001, 87, 249701; Valanju P.M., Walser R.M., ibid. 2002, 88,

187401; Garcia N., Nieto-Garcia M., ibid. 2002, 88, 207403; Nieto-Vesperinas M., J. Opt. Soc. Am.

A 2004, 21, 491; Maystre D., Enoch S., ibid. 2004, 21, 122; Stockman I. Phys. Rev. Lett. 2007, 98,

177404.

[5] Collin R.E. Frequency dispersion limits resolution in Veselago lens. PIER B 2010, 19, 233.

72

УДК 517.938

СТОКСОВО ТЕЧЕНИЕ В НАНОТРУБКЕ,

ВЫЗВАННОЕ СОЛИТОНОМ

О.А. Родыгина

Предложена явно решаемая модель течения в нанотрубке, вызванного упругим солитоном в ее стенке.

Математическая основа модели – теория самосопряженных расширений симметрических операторов.

Ключевые слова: солитон, стоксово течение, нанотрубка

Состояние и свойства вещества в наноканалах, в том числе связанные с его

массопереносом, очень специфичны, что определяется влиянием пространственных

ограничений в виде стенок наноканалов. Указанное влияние может зависеть как от их формы

и размеров пространственных ограничений, так и от химического состава, строения,

морфологии стенок. Экспериментально и теоретически было показано, что при уменьшении

размеров наноканалов до определенных значений вещество, находящееся в нем, изменяет

свое строение по сравнению с таковым в макроразмерном состоянии [1-3]. Возможно,

изменение и состава вещества вследствие перераспределения компонентов между веществом

в наноканале и сосуществующей с ним объемной фазой [4,5]. Как следствие указанных

изменений меняется поведение вещества в наноканалах. Кроме того, в процессе

перемещения вещества в наноканале также возможно изменение его строения, в частности,

вследствие образования динамических, например, вихреобразных, структур [6,7]. Изменение

состояния вещества в наноканале по сравнению с его макросостоянием определяет характер

и скорость его перемещения в канале, что может оказаться полезным для практического

применения [4].

Таким образом, эффекты, рассмотренные в вышеуказанных работах, определяются

составом, строением и механическим поведением стенок наноканалов. В связи с этим,

актуальным является изучение взаимного влияния массопереноса в наноканале и

механического поведения его стенок. Течения в нанотрубках очень специфичны и сильно

отличаются от классических. Теория таких течений еще не разработана. Имеется ряд

моделей, объясняющих некоторые свойства нанотечений [8]. В случае узких нанотрубок с

упругими стенками (например, углеродных) наблюдаются упругие волны в стенках трубки

[9], это может оказывать сильное влияние на характер течения в ней. В настоящей работе

предлагается явно решаемая модель такого течения. Показано, что распространяющийся в

стенке трубки солитон порождает течение в трубке.

Стенки нанотрубки можно рассматривать как систему периодических цепочек

молекул (атомов). Солитоны в длинных молекулярных цепях (в частности, спиральных,

геометрически похожих на нанотрубки) активно изучались [10]. Их обычно называют

«давыдовскими» солитонами. Подобные волны рассматривались и в нанотрубках [11]. Чтобы

описать такой солитон, можно рассмотреть экситон эффективной массы m ,

взаимодействующий со смещением ( , )u x t молекул масс M от равновесных положений в

точках x na . Гамильтониан имеет вид [10]

22 22 2

0

1 1( ( ) ) ,2 2

x tH Mu MV U dxa m

73

где - относительное уменьшение равновесного расстояния a между соседними

молекулами, xu , 0V - продольная скорость звука в линейной аппроксимации цепочки,

- энергия, которая характеризует взаимодействие экситона со смещением, ( )U -

безразмерный потенциал межмолекулярного взаимодействия, имеющий минимум при

0 , - нормированная экситонная волновая функция. Учитывая вид гамильтониана,

получаем систему:

2

0,2

t xxim

22

0 ( ) .tt xx xu V U uM

Система имеет устойчивое решение типа солитона с профилем , зависящим от U .

В частности, для кубической нелинейности 2 31

( )2 3

U

:

1/31/3 1/3 221 3 1

( )2 4 2 6

sch

.

Скорость V этого солитона такова:

1/3 2/3 2

0 2 2

0

1 3( ) ( / 6) / 5 2, , .

m M maV V

m M MV

Следует заметить, что солитон устойчив, если 0V V . Геометрически, этот солитон

выглядит как локальное расширение или сужение трубки, движущееся со скоростью V . Это

движение вызывает движение жидкости в окрестности солитона.

Для описания данного течения мы предлагаем модель, в которой локальное

возмущение границы заменяется точечным. Стоксовы течения с точечными возмущениями

(стокслетами, ротлетами и т.п.) рассматриваются во многих работах [12,13].

Математическую основу такой модели дает теория самосопряженных расширений

симметрических операторов [14].

Рассмотрим двумерное стоксово течение в полосе. Двумерное стоксово течение

описывается с помощью функции тока , удовлетворяющей бигармоническому уравнению.

Что касается граничного условия, более удобно рассматривать движущуюся границу и

покоящуюся сингулярность. В этом случае граничное значение нормальной производной

функции тока ненулевое (оно равно скорости стенки).

Опишем кратко модель точечного возмущения для двумерного течения Стокса. Мы

стартуем с оператора 2

0 , который является замыканием сужения 2 на множество гладких

функций, обращающихся в нуль в заданной точке. Область определения такого оператора

такова:

74

2 2

0 2 2( ) , ( ), ( ), (0) ' (0) '' (0) 0, , 1,2 .i i jx x xD u u L u L u u u i j

Модельный оператор 2

e строится как самосопряженное расширение

симметрического оператора 2

0 . Из-за соотношения 2 2 2*

0 0 e можно искать нужное

расширение среди сужений сопряженного оператора 2*

0 , область определения которого

состоит из функций вида

2 2

0

, 1 1

2 2

0 0

1 , 1

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ).

i j i

u u

ij x x i x

i j i

u u

i i ij ij i j

i i j

u x c g x c g x c g x

x a a x a x x u x

Здесь 1

0 0( ), 1, , 2 , ( )ij iiu D i j x гладкая срезающая функция:

( ) 1, 1, ( ) 0, 2.x x x x Модельный оператор (расширение) выделяется

заданием некоторой связи между коэффициентами в асимптотиках, например,

0 1 1 0 1 2 11 12 22 0 0 1 2 11 12 22, ( , , , , , ), ( , , , , , ), *u u u u u u u u u u u uU AU U c c c c c c U a a a a a a A A .

Описание всех возможных расширения см. в [15].

Функция тока для данного модельного оператора и дает искомую модель течения.

Пусть канал задается так: {( , ) : 0},{( , ) : 2}x y x x y x . В нашем случае есть два

точечных возмущения (ротлета) в противоположных точках стенок канала (0,0), (2,0) .

Линейность задачи позволяет рассматривать движущиеся стенки и покоящиеся ротлеты

вместо покоящихся стенок и движущихся ротлетов. Решение имеет вид суммы решений для

каждого из ротлетов:

( , ) ( , ,0,0) ( , ,2,0),

( , ,0,0) ( , ,0,0) ( ( , ,0, ) ( , ,2, )) ( ) .

x y x y x y

x y x y x y x y v d

Здесь ( , ,0,0)x y - решение, соответствующее ротлету в точке (0,0) . Решение

находится явно:

1

1

1 1 1 1( , ,0,0) Re[ ( [ sin( ) tan( ) cos( )] exp( )

2 2 2 2 2

1 1 1 1[ cos( ) cot( ) sin( )] exp( )

2 2 2 2

1 1 1 1( [ sin( ) tan( ) cos( )] exp( )

2 2 2 2

n n n n

n

n n n n

n n n n

n

x cx y A x x x y

B x x x y

a x x x y

b

1 1 1 1[ cos( ) cot( ) sin( )] exp( )) ( )].

2 2 2 2 2n n n n

cx x x y d v

Здесь ,n n комплексные корни уравнений :

75

sin 0,n n sin 0,n n

, , ,A B a b - некоторые константы (модельные параметры), ,c v - параметры течения,

c - поток через поперечное сечение канала, v - скорость ротлета (в нашем случае это

скорость стенки). Картина течения различна для различных значений параметров течения. В

частности, при 10, 10c v течение разбивается на три области (вихрь занимает все

сечение канала (Рис. 1). Для значений параметров течения, больших, чем 50, 50c v ,

вихрь разрывается потоком в центре канала (Рис. 2).

Рис.1

76

Рис.2

Для осесимметричного течения Стокса в цилиндре также может быть введена

функция тока , которая связана с компонентами скорости следующим образом:

1,r Qq q

r Q r

Функция тока удовлетворяет уравнению

2 0D , (1)

где 2 2

2 2

1D

r r r z

- оператор Стокса.

Выберем базис решения уравнения (1):

1 1 2 1( ) , ( )z zrJ r e rY r e являются решениями уравнения 0D (2),

где 1 1( ), ( )J r Y r функции Бесселя и Неймана первого порядка.

В качестве двух других функций базиса выберем решения уравнения 1D

Функция является решением уравнения (1), но не является решением уравнения (2).

Запишем следующим образом:

1 1 2 1( ) ( )U rJ r U rY r .

Получаем систему уравнений: ' '

1 1 2 1

' ' ' '

1 1 2 1 1

( ) ( ) 0

( ( )) ( ( ))

U rJ r U rY r

U rJ r U rY r rJ

Решив эту систему, находим значения для 1 2,U U :

77

2

1 1

1 ' '

1 1 1 1

2 2

1

2 ' '

1 1 1 10

( ) ( )

( )( ( )) ( ( )) ( )

( )

( )( ( )) ( ( )) ( )

r

o

r

r J r Y r drU

rJ r rY r rJ r rY r

r J r drU

rJ r rY r rJ r rY r

Таким образом, нашли еще два решения: 2

1 1

3 1 ' '

1 1 1 1

( ) ( )( )

( )( ( )) ( ( )) ( )

r

z

o

r J r Y r drrJ r e

rJ r rY r rJ r rY r

2 2

1

4 1 ' '

1 1 1 10

( )( )

( )( ( )) ( ( )) ( )

r

z r J r drrY r e

rJ r rY r rJ r rY r

Решения должны удовлетворять следующим граничным условиям:

( 1) 0

( 0) 0

( 0) 0

( 1) 0

rr

rr

rz

rz

Второе и третье граничные условия выполнены всегда.

Таким образом, получаем систему уравнений:

31

31

0

0

r r

z z

, при 1r .

Для того чтобы система имела нетривиальное решение, определитель должен быть

равен нулю: 2

31 1 1

1 1

( ) ( )( ) ( ) 0

2( )

r

o

r J r Y r drrJ r rJ r

r r

Подставляя асимптотику для функций Бесселя и Неймана, находим корни

1 1( ) 2 / ( ) cos( )

2 4

1 1( ) 2 / ( ) sin( )

2 4

v

v

J r r r v

Y r r r v

Решение имеет вид:

2

1 1 1 1

0

2

1 1 1 1

0

2( , ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) )exp( | |)

2

2( ( ) ( ) ( ) ( ) )exp( | |) ( )

2

r

n n n n n

n n

r

n n n n n

n n

cr z r a rJ r rJ r r J r Y r dr z

cb rJ r rJ r r J r Y r dr z d v

Здесь ,a b – некие константы, ,c v - параметры потока.

78

c - поток через поперечное сечение канала, v - скорость ротлета (в нашем случае это

скорость стенки).

Картина течения различна для различных значений параметров течения. В частности,

при 610 , 10a b , 5 210 , 10c v течение разбивается на три области (вихрь занимает все

сечение канала (Рис. 3)). Для значений параметров течения 5 3 2 210 , 8 , 10 , 10a b c v

вихрь разрывается потоком в центре канала (Рис.4).


Работа поддержана программами "Развитие научного потенциала

российской высшей школы" (проект 2.1.1/4215), "Научные и научно-

педагогические кадры инновационной России" (контракты P689 NK-526P, and

14.740.11.0879), грантом 11-08-00267 РФФИ.

Список литературы.

[1] Чернышева М.В., Киселева Е.А., Елисеев А.А., Лукашин А.В., Третьяков Ю.Д., Киселев

Н.А., Жигалина О.М., Крестинин А.В., Хатчисон Д.Л. // Альтер. энер. и экол. 2008. № 1. С.

22-29.

[2] Альмяшева О.В., Альмяшев В.И., Ершова А.А., Кириллова С.А., Красилин А.А., Попов

И.Ю., Свитенков А.И., Чивилихин С.А., Гусаров В.В. // Труды НИЦ фотоники и

оптоинформатики. 2009. В.1. С.109-124.

[3] Чивилихин С.А., Попов И.Ю., Гусаров В.В.// Докл.РАН, 2007. Т.412, N2. С. 201-203.

Рис.3

79

Рис.4

[4] Кононова С.В., Корыткова Э.Н., Ромашкова К.А., Кузнецов Ю.П., Гофман И.В.,

Светличный В.М. Гусаров В.В. //ЖПХ. 2007. Т. 80, №. 12. С. 2064-2070.

[5] Альмяшева О.В., Гусаров В.В. // Докл. РАН. 2009. Т. 424. № 5. С. 641-644.

[6] Гусаров В.В., Попов И.Ю.// Изв. вузов. Физика. 1995. Т.38, № 8. С. 69 -75

[7] Gusarov V.V., Popov I. Yu.// Nuovo Cimento. 1996. V. 18D. N 7. P. 799-805.

[8] Маслов В.П.// ТМФ. 2007. Т. 153, N 3. С. 1677-1796.

[9] Z.Insepov, D. Wolf, A. Hassanein// Nano Letters. 2006. V.6. N9. pp. 1893-1895.

[10] Давыдов А.С. Солитоны в молекулярных системах. Киев: Наукова Думка, 1988, 303 с.

[11] L.Brizhik, A.Eremko, B.Piette, W.Zakrzeski.// Int.J. Quant. Chem. 2010, v. 110, 10-24

[12] Popov I.Yu.// Physica Scripta. 1993. V. 47. P. 682-686.

[13] Gugel Yu.V., Popov I.Yu., Popova S.L.// Fluid Dyn. Res. 1996. V. 18 (40). P. 199-210.

[14] Павлов Б.С. // УМН. 1987. Т. 42. N 6. С. 99-131.

[15] Popov I.Yu.// Rev. Mat. Univ. Compl. Madrid. 1996. V. 9. N 1. P. 235-258.

80

УДК 517.938

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МОДЕЛИ

ВЕТВЯЩИХСЯ ПОЛОС ГРАФЕНА

А.Н. Скорынина

[email protected]

В работе выполнен спектральный анализ модели ветвящихся полос графена. Для решения

поставленной задачи применён метод с использованием матриц монодромии, который позволяет существенно

упростить процесс решения по сравнению с классическими методами, кроме того, используемый метод

универсален при рассмотрении различных моделей. Проанализирована зависимость спектра от параметров

системы, задающих геометрию модели, указаны ограничения на свободные параметры системы.

Полученные результаты могут быть использованы при разработке новых наноэлектронных устройств с

использованием графена и для исследования транспортных свойств электрона в графене.

Ключевые слова: спектральный анализ, оператор Шрёдингера, графен, матрица монодромии.

1 Введение

Графен представляет собой плоскую структуру углерода, в которой атомы лежат в

вершинах правильного шестиугольника. С момента открытия графена огромное количество

научных групп по всему миру сосредоточили свои силы на разработке новых способов

получения этого материала, исследовании химических и физических свойств и создании

новых наноустройств на его основе. Многие эксперименты указывают на особые свойства

графена [1, 2], однако, поскольку графен впервые был получен только в 2004 году, теория

графенов является на данный момент неполной и не позволяет объяснить часть

наблюдаемых явлений.

Графеновые наноленты - узкие полоски графена с шириной порядка 10-100 нм. Они

интересны тем, что обладают нелинейным законом дисперсии и полупроводниковыми

свойствами из-за наличия запрещённой зоны, которая зависит от ширины ленты и

расположения атомов на границах. Графеновые наноленты, благодаря этому,

рассматриваются как важный шаг в создании транзистора на основе графена, который будет

работать при комнатной температуре.

Если подробно охарактеризовать расположение атомов базиса в пределах одной

элементарной ячейки, то всю структуру графена можно получить трансляцией данной

ячейки, осуществляя параллельные переносы на векторы, называемые векторами

трансляций. Длины векторов основных трансляций называются периодами решетки.

Состояние полностью описывается волновой функцией, которая зависит от координат всех

частиц, его составляющих: как электронов, так и атомных ядер. Ввиду того, что масса ядер

намного больше массы электронов, можно считать, что координаты ионных остовов (ядер с

электронами внутренних оболочек, сильно связанных с ядром) можно считать точно

определенными. Если не принимать во внимание колебания кристаллической решетки, то

ядра будут располагаться в ее узлах.

Таким образом, задача сводится к решение уравнения Шрёдингера для

многоэлектронной волновой функции, находящейся в периодическом поле ионных остовов.

В решении этой задачи достаточно хорошие результаты даёт одноэлектронное приближение.

В этом приближении считается, что взаимодействие одного, выделенного, электрона со

всеми остальными можно приближенно описать с помощью эффективного потенциала,

который действует на выделенный электрон со стороны всех остальных. Иными словами,

81

предполагается, что потенциальная энергия электрона складывается из энергии

взаимодействия данного электрона с ядрами атомов и эффективной энергии его

взаимодействия с другими электронами кристалла. Таким образом, состояние каждого

электрона описывается стационарным уравнением Шрёдингера.

Уравнение Шрёдингера имеет решения не при любых значениях энергии, а лишь при

некоторых, которые называются собственными значениями. Важен тот факт, что

потенциальная энергия электрона обладает симметрией, то есть является периодической

функцией, обладающей периодом решетки. Эта периодичность определяет общий вид

волновых функций стационарных состояний электронов.

Актуальной задачей является изучение ветвящихся полос графена: модели, в которой

три полубесконечные полосы графена соединены так, как показано на рисунке 1. Решение

этой задачи поможет при исследовании более сложных геометрических структур графена.

Целью данной работы является выполнение спектрального анализа представленной

модели.

Поставлена задача построения и анализа модели ветвящихся полос графена. В работе

указываются ограничения на параметры модели, при которых у соответствующего оператора

имеется дискретный спектр, то есть имеются связанные состояния.

Рисунок 1. Модель ветвящихся полос графена

2 Модель ветвящихся полос графена

Спектральный анализ проводится с использованием теории матриц монодромии [3, 4].

Эта техника была опробована в предыдущих работах автора при изучении одномерных

полубесконечных кристаллов [5].

Состояние квантового электрона в одномерном кристалле описывается одномерным

стационарным уравнением Шрёдингера с периодическим потенциалом p(x):

( ) ( ) ( ) ( ), .f x f x p x Ef x E R (1)

Важен тот факт, что потенциальная энергия электрона обладает симметрией

кристалла, то есть является периодической функцией, обладающей периодом

кристаллической решетки. Эта периодичность определяет общий вид волновых функций

стационарных состояний электронов.

Метод решения поставленной задачи изучения дискретного спектра базируется на

теории самосопряженных расширений симметрических операторов, согласно которой задача

(1, 2) эквивалентна спектральной задаче, где оператор в 2( )L R имеет вид

2

2

dH

dx

82

с областью определения

2,1 2,2 , ,

, .

dom H f H R H R f nT f nT f nT n Z

nT n Z

2.1 Элементарная ячейка

Элементарная ячейка для модели (рисунок 1) выглядит следующим образом (рисунок

2), матрица монодромии имеет больший порядок, однако, общий метод решения задачи

базируется на представленном в [5].

Рисунок 2. Элементарная ячейка для модели ветвящихся полос графена

При изучении любой модели необходимо охарактеризовать его элементарную ячейку.

Выбрав элементарную ячейку (рисунок 2) периодической системы, находим матрицу

монодромии. Для этого вводим на каждом отрезке функции ( )if x , являющиеся решением

уравнения Шрёдингера (1) при 0p x

( ) cos sin

( ) sin cos , 1,..,5.

i i i

i i i

f x A kx B kx

f x Ak kx B k kx i

(3)

где 2k E .

Рисунок 3. Элементарная ячейка (стрелками указаны направления функций)

Обозначим период решётки T . Для каждой функции выберем направление на своей

области определения (отрезке), направления обозначены стрелками на рисунке 3. Таким

образом, в узле D функция 1f принимает значение 1f T , а функция

3f - значение 3 0f .

Ограничения, накладываемые условиями согласования в узлах ku , имеют вид:

83

1

,

0,

1,.., ,

, 1,..., .

i k j k

m

i k

i

f u f u

f u

k n

i j m

где n - число узлов,

m - число инцидентных узлу рёбер (отрезков).

Таким образом, составляем систему линейных уравнений

1 1 3

1 1 4

1 1 3 4

2 2 3 3

2 2 5

2 2 3 3 5

cos sin ,

cos sin ,

sin cos 0,

cos sin cos sin ,

cos sin ,

sin cos sin cos 0,

A kT B kT A

A kT B kT A

kA kT kB kT kB kB

A kT B kT A kT B kT

A kT B kT A

kA kT kB kT kA kT kB kT kB

(4)

задающую связи между функциями внутри элементарной ячейки.

По определению матрицы монодромии

4 1

4 1

5 2

5 2

( ) (0)

( ) (0).

( ) (0)

( ) (0)

f T f

f T fM

f T f

f T f

Решение системы (4) позволяет получить выражение для матрицы M:

1 3cos2 3sin sincos

2 2

1 3cos2 1 3cos2cos cos

2 2.

sin 1 3cos2 3sincos

2 2

1 3cos2 1 3cos2cos cos

2 2

kT kT kTkT

k k

k kT ctgkT kTk kT ctgkT kT

MkT kT kT

kTk k

k kT ctgkT kTk kT ctgkT kT

(5)

С помощью полученной матрицы монодромии возможно построить продолжение

функции на следующий шаг периода. Указанным образом решение распространяется на

каждую из трёх полубесконечных полос в рассматриваемой модели.

Необходимо учесть тот факт, что решение задачи (1, 2) ищется в пространстве

квадратично-интегрируемых функций, а потому естественным является накладываемое

ограничение на собственные числа матрицы (5): 1 .

Собственные числа матрицы (5) выглядят следующим образом:

2 2 2

1,2

12 4 cos 6cos2 2 7 8 cos 8 2 3 cos cos2 9cos4

4kT kT kT kT kT kT

(6)

84

2 2 2

3,4


4kT kT kT kT kT kT

(7)

Заметим, что coskT R . Действительно,

1 1

1 1

0 cos

0 , cos .2

k T k T

k E

E k R kT R

e eE k R k k i kT R

А потому собственные числа (6,7) можно переписать в виде:

1,2


4kT kT kT kT kT kT

3,4


4kT kT kT kT kT kT

Очевидные преобразования дают упрощённый вид собственных чисел:

2

1 1

1,2

2

2 2

3,4

82 4 cos 6cos2 ,

2 2

82 4 cos 6cos2 ,

2 2

b bsign kT kT

b bsign kT kT

(8)

где 1,2 7 8 cos 8 2 3 cos cos2 9cos4b kT kT kT kT .

Один из собственных векторов матрицы (5) имеет вид:

2

2

1

4 4 2 6cos2 cos 1 9cos2 sin 2 1 cos2 cos 1 3cos2 sec

2 2 4 cos 6cos2

4 11 2 4 3 2 cos2 cos 2 2 24cos2 9cos4

2 2 4 cos 6cos2 cos

6 2 4 cos 6cos2

2 2 4 co

kT kT kT kT c kT kT kT kT tgkT

k c kT kT

c c kT kT c kT kT

c kT kT sign kTX

c kT kT tgkT

k b

,

s 6cos2

1

kT kT

где 7 16cos2 8 cos 1 3cos2 9cos4 .c kT kT kT kT

2.2 Собственные значения

85

Достаточным условием наличия собственного значения у соответствующего

оператора Шрёдингера является наличие согласованных собственных векторов, которые

отвечают собственным значениям матриц монодромии, по модулю меньшим 1.

«Согласование» собственных векторов состоит в удовлетворении условий

«сшивания» в области соединения полос (рисунок 3). Эту область необходимо рассмотреть

отдельно.

Рисунок 3. Область соединения полос графена (пунктиром показана ось симметрии

области, стрелками – направление функции на отрезке).

На каждом отрезке определяем функцию ( )if x вида (3) и задаём для неё направление.

Используя условия согласования в узлах, получаем систему уравнений:

86

1 3

1 4

1 3 4

2 5

2 3 3

3 2 3 5

8 9

8 5 5

5 8 5 9

6 7

6 4 4

4 6 4 7

10 11

10 7 7

7

,

,

0,

,

cos sin ,

sin cos 0,

,

cos sin ,

sin cos 0,

,

cos sin ,

sin cos 0,

,

cos sin ,

A A

A A

B B B

A A

A A kT B kT

A kT B B kT B

A A

A A kT B kT

A kT B B kT B

A A

A A kT B kT

A kT B B kT B

A A

A A kT B kT

A

10 7 11

12 8 8

12 11 11

8 11 8 11 12

13 15

13 6 6

6 13 6 15

16 10 10

16 13

sin cos 0,

cos sin ,

cos sin ,

sin sin cos cos 0,

,

cos3 sin3 ,

3 sin3 3 cos3 0,

cos sin ,

cos

kT B B kT B

A A kT B kT

A A kT B kT

A kT A kT B kT B kT B

A A

A A kT B kT

A kT B B kT B

A A kT B kT

A A kT

13

10 13 10 13 16

14 17

14 12 12

12 14 12 17

18 9 9

18 14 14

9 14 9 14 18

sin ,

sin sin cos cos 0,

,

cos sin ,

sin cos 0,

cos3 sin3 ,

cos sin ,

3 sin3 sin 3 cos3 cos 0,

B kT

A kT A kT B kT B kT B

A A

A A kT B kT

A kT B B kT B

A A kT B kT

A A kT B kT

A kT A kT B kT A kT B

k

0, 0.T

(9)

Кроме того, используем тот факт, что система, обладает симметрией или

антисимметрией (ось симметрии показана на рисунке 3), что позволяет добавить ещё 2

уравнения:

15 18

16 17

15 18

16 17

( ) ( ),

( ) ( ),

( ) ( ),

( ) ( ).

f x f x

f x f x

f x f x

f x f x

(10)

87

Решая системы, получаем выражения для функций 15 16 17 18( ), ( ), ( ), ( )f x f x f x f x .

Вернёмся к исходной задаче и проверим наличие согласованных собственных

векторов у матриц монодромии для каждой полосы, отвечающих собственным значениям

матриц, по модулю меньшим единицы.

Рисунок 4. Нумерация полос в модели ветвящихся полос графена.

Пусть для полосы 1 (рисунок 4) собственный вектор представляется в виде:

1

1

2

2

( )

( ).

( )

( )

i

f T

f TX

f T

f T

(11)

Для полосы 2 (рисунок 4) и полосы 3 с учетом (9, 10) собственные вектора имеют вид:

15

15

16

16

17

17

18

18

( )

( ),

( )

( )

( )

( ).

( )

( )

i

i

f T

f TY

f T

f T

f T

f TZ

f T

f T

(12)

Так как четвертая координата каждого вектора равна 1, то для согласования

собственных векторов необходимо, чтобы выполнялось одно из следующих уравнений:

,

,

, 1,...,4.

j i

j i

Y X

Z X

i j

(13)

Таким образом, наличие согласованных собственных векторов задаётся системами

уравнений (11-13).

Вторым условием существования точечного спектра (кроме наличия согласованных

собственных векторов) является выполнение неравенства 1r , где r-индекс

соответствующего собственного вектора.

Проверим выполнение этого неравенства для всех собственных чисел (8). Несложные

математические преобразования приводят к следующим формулам:

88

1 1 1

2

3 2 2

4

1 0, ,

1,

1 0, ,

1,

b b R

b b R

Так как 1,2b определены выражениями (8) и принадлежат области действительных

чисел, то получаем, что собственные числа, отвечающие собственному вектору 1X и

3X ,

удовлетворяют необходимым условиям.

3 Выводы

В ходе работы проведён спектральный анализ модели ветвящихся полос графена. Для

решения поставленной задачи применён метод с использованием матриц монодромии,

который позволяет существенно упростить процесс решения по сравнению с классическими

методами, кроме того, используемый метод универсален при рассмотрении различных

моделей.

Проанализирована зависимость спектра от параметров системы, задающих геометрию

модели.

Полученные результаты могут быть использованы при разработке новых

наноэлектронных устройств с использованием графена и для исследования транспортных

свойств электрона в графене. Кроме того, с помощью данной модели возможно описание

прохождения электрона через область соединения различных кристаллов.

89


[1] Brey, L. Electronic States of Graphene Nanoribbons [Текст] / Luis Brey, H.A. Fertig Phys.

Rev. B 73, 2300-5, 2006.

[2] Wakabayashi, K. Electronic states of graphene nanoribbons with analytic solutions [Текст] /

Katsunori Wakabayashi, Ken-ichi Sasaki, Takeshi Nakanishi, and Toshiaki Enoki // Science and

Technology of Advanced Materials (STAM), Sci. Technol. Adv. Mater. 11 054504, 2010.

[3] Kurasov, P. Spectral Asymptotics for Schrodinger Operators with Periodic Point Interactions

[Текст] / P. Kurasov, J. Larsen // J. Math. Anal. Appl. – 2002. – № 266. – C. 127–148.

[4] Bronski, J. C.: Dislocation Defects and Diophantine Approximation / J. C. Bronski, Z. Rapti//

http://arxiv.org/ [Электронный ресурс], режим доступа http://arxiv.org/abs/0904.2582v1,

свободный, язык английский, последнее обращение (21.12.2011).

[5] Скорынина, А.Н. Точечный спектр оператора Шредингера для двух соединенных

полукристаллов c потенциалами Кронига–Пенни [Текст] / A.H. Скорынина // Научно-

технический вестник СПбГУ ИТМО. Выпуск 6.– СПб: СПбГУ ИТМО, 2010. с. 41–47.

http://arxiv.org/

http://arxiv.org/abs/0904.2582v1

90

УДК: 517-938

СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КВАНТОВОГО ГРАФА ТИПА

ЦЕПОЧКИ КОЛЕЦ С РАЗВЕТВЛЕНИЕМ

П.И. Смирнов

Разветвление цепочки колец рассматривается как квантовый граф. Для получения спектрального

уравнения используется метод трансферной матрицы. Доказано существование связанных состояний. Описан

дискретный спектр оператора Шредингера для данной системы. Найдена зависимость позиций собственных

значений от угла разветвления.

1. Введение.

Квантовый граф это широко используемая математическая модель для

наносистем(см., [1- 3]). С физической точки зрения наиболее интересны спектральные и

транспортные свойства системы. Также как и граф вида звезды, наша структура довольно

проста и не дает сплошного спектра. Ситуация меняется, когда мы рассматриваем

декорированный граф или граф с циклами, особенно не компактный (см., [4,5]). Для данной

системы возникает интригующей вопрос, касающийся существования связанных состояний.

Для начала рассмотрим периодическую цепочку спаренных колец, соединенных в точках

касания. Соответствующий оператор Шредингера имеет бесконечно вырожденные

собственные числа и абсолютно непрерывный спектр (см. [6]). В [6] также изучена цепочка

колец с изгибом. В этом случаи появляется дискретный спектр (связанные состояния). Эта

система, в некотором смысле, является моделью квантового волновода [7-9]. Преимущество

квантового графа - это его единичная размерность. Она позволяет написать спектральное

уравнение в явном виде. Другое достоинство - это возможность применить метод

трансферной матрицы (матрицы монодромии) для выведения спектрального уравнения. [10,

11].

В настоящей статье мы рассматриваем другую модификацию цепочного графа – Y-

разветвление цепочного графа с ветвями, присоединенными к базовому кольцу (см. Рис. 1).

Метод трансферной матрицы аналогичен тому, который используется в [6]. Мы получаем

спектральное уравнение и изучаем дискретный спектр соответствующего оператора

Шредингера. Также, мы исследуем зависимость позиций собственных чисел оператора от

угла разветвления.

2. Модель.

Рассмотрим граф , представляющий из себя разветвление цепочки колец единичного

радиуса (рис 1). Мы будем понимать эту модель, как базовое кольцо, к которому

присоединены три прямые полубесконечные цепочки - ветви. Углы между осями прямых

цепочек будем называть угловыми параметрами модели. Пусть на графе «живет»

квантовая бесспиновая нерелятивистская частица. Пространством состояний этой частицы

будет . Будем предполагать систему в отсутствии внешних полей. Что бы максимально

упростить рассмотрение, выберем такую систему единиц измерения, где физические

константы положим . Состояние частицы, живущей на , описывается

посредством волновой функции. На каждой дуге графа волновая функция частицы

представлена соответствующей компонентой (см. рис 1).

91

Рис. 1. Геометрия системы: базовое кольцо.

Теперь введем оператор Шредингера частицы. Для получения самосопряженного

оператора необходимо наложить соответствующие граничные условия в узлах графа. Для

этого используем так называемое d-соединение, характеризуемое условиями:

(1.1)

Где j, k индексируют множество дуг исходящих из вершины (в нашем случаи ) и

- это константа соединения, одинаковая во всех вершинах. Положим так

же . Определим гамильтониан системы как отрицательный лапласиан, действующий

как на каждом ребре графа. В область определения гамильтониана войдут все

функции из , удовлетворяющие граничным условиям (1.1) в узлах графа .

В виду периодичности модели, спектр оператора может быть вычислен с

использованием разложения Блоха-Флоке. Поскольку гамильтониан действует как

отрицательная вторая производная, каждая компонента собственной функции с энергией

является линейной комбинацией функций . Для положительных энергий

положим вещественным и положительным. Для отрицательных значений

положим . Случай обсудим отдельно. Для ненулевых энергий

находим компоненты волновой функции на базовом кольце в виде

92

(1.2)

и на ветвях

, (1.3)

где нумерует ветви, а нумерует кольца в пределах одной ветви.

Запишем условия d-соединения с параметром в точках контакта колец одной из

ветвей (прямой цепочки):

. (1.4)

Подставляя (1.3) в (1.4) , получим

и ,

откуда при мы получаем симметрию компонент волновой функции на верхней и

нижней дугах каждого кольца ветви:

и , (1.5)

. (1.6)

Далее будем полагать .

Используя условия соединения (3.4) и (3.5), мы приходим к матричной связи между

коэффициентами на соседних кольцах для всех :

(1.7)

или короче

. (1.8)

Матрицу будем называть трансферной матрицей. Иногда её также именуют

матрицей монодромии. Вектор полностью определяет волновую функцию на

j-ом кольце m-ой ветви и будет называться определяющим. Из соотношения (1.8) вытекает,

что компонента на первом кольце ветви определяет волновую функцию на следующем

кольце и так далее по цепочке цепочке на всей ветви.

Если система в стационарном состоянии описывается волновой функцией, то эта

волновая функция не должна неограниченно возрастать при удалении от центра системы на

бесконечность. Для этого необходимо, что бы при умножении определяющего вектора

93

на трансферную матрицу его модуль не возрастал. Это достигается только

тогда, когда вектор не содержит компонент, соответствующих собственным числам

трансферной матрицы, превосходящих по модулю единицу. Такому условию должны

удовлетворять определяющие векторы колец всех трех ветвей и, в частности, первых колец.

Далее будем считать, что определяющие векторы ветвей совпадают с точностью до

множителя с одним собственным вектором трансферной матрицы, собственное число

которого по модулю не превосходит единицу. Из этого условия следует, что компоненты

волновой функции на первых кольцах ветвей должны быть линейно зависимы:

,

, (1.9)

где , .

Теперь обратим своё внимания на базовое кольцо разветвления. Условия d-

соединения для него образуют систему

(1.10)

.

Введем следующие обозначения:

, (1.11)

и перепишем систему (1.10) с учетом (1.9):

, (1.12)

.

В результате решения системы имеем уравнение

, (1.13)

которое будем называть основным уравнением. Здесь введены обозначения

,

, .

В ходе выведения основного уравнения возникли дополнительные условия,

сужающие множество его решений по отношению ко множеству решений исходной системы

(1.12) (нас интересуют решения k при фиксированных остальных параметрах):

,

, (1.14)

94

. (1.15)

Обобщим полученные результаты в теореме.

Теорема 1. Если число является корнем основного уравнения,

удовлетворяющим условиям (1.14), (1.15), то энергии соответствует стационарное

состояние частицы, «живущей» на графе .

Замечание. Число может быть не только вещественным, но и комплексным.

Отрицательным значениям энергии соответствуют значения . Если

проделать такую замену в уравнении (1.13), то оно сохранит свой вид с точностью до

обозначений:

,

, .

Более того, необходимость в ограничении (1.15) отпадет, так как

.

Рис. 2. Зависимость расположения корней от углового параметра: линия 1

соответствует корню 0,636, 2 - 3,15, 3 - 6,078, 4 - 9,053, 5 - 12,04.






[1] P.Kuchment. J. Phys. A: Math. Gen. 38 (2005) 4887.

[2] P.Exner, J.P.Keating, P.Kuchment, T.Sunada, A.Teplyaev (Eds.). On Graphs and Its

Applications. AMS, Providence, RI, 2008.

[3] N.I.Gerasimenko, B.S.Pavlov. Teor. Mat. Fiz. 74 (1988) 345.

95

[4] M.Aizenman, J.H.Schenker. Lett. Math. Phys. 53 (2000) 253.

[5] J.Bruning, V.A.Geyler, I.S.Lobanov. Math. Notes. 77 (6) (2005) 932.

[6] P.Duclos, P.Exner,. O.Turek. J. Phys. A: Math. Theor. 41 (2008) 415206.

[7] P.Duclos, P.Exner. Rev. Math. Phys. 7 (1995) 73.

[8] I.Yu.Popov. Phys. Lett. A. 269 (2000) 148.

[9] E.S.Trifanova. Pisma v Zh. Tech. Fyz. 35 (4) (2009) 60.

[10] P.Kurasov, J.Larsen. J.Math.Anal.Appl. 266 (2002) 127.

[11] E.Korotyaev: Commun. Math.Phys. 213 (2000) 471.

96

ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ОПТОВОЛОКНА ДЛЯ

УМЕНЬШЕНИЯ ОШИБОК ПРИ РАСПРЕДЕЛЕНИИ

КВАНТОВОГО КЛЮЧА

А.А. Сотникова

1. Введение

Свойства оптического волокна (ОВ), используемого как информационный канал,

хорошо известны. Различные механические и термические воздействия на ОВ приводят к

появлению взаимодействия между ортогонально поляризованными модами, искажая тип

поляризации распространяющихся волн. В общем случае коэффициенты связи волн зависят

от частоты. Эта зависимость приводит к появлению поляризационной модовой дисперсии, то

есть зависимости групповой скорости волны в ОВ от состояния ее поляризации. В работе [1]

рассмотрен эффект возникновения оптической активности в скрученном одномодовом ОВ. В

работе [2] обсуждается влияние кривизны одномодового ОВ на появление в ОВ эффекта

двулучепреломления.

В протоколах квантовых коммуникаций (квантовая криптография, квантовая

телепортация, плотное кодирование [3], [4]) по ОВ передается квантовая информация,

закодированная в состояниях фотонов – кубитах. В настоящее время существуют несколько

практических схем квантовой криптографии. В работе [5] использовано кодирование

информации на поляризационных степенях свободы фотонов, в работе [6] представлена

схема, использующая фазовое кодирование. В работе [7] предложен протокол распределения

квантового ключа с помощью перепутанных по поляризации бифотонов (ЭПР протокол).

Практическая реализация квантовой криптографии по ЭПР протоколу предложена в работе

[8]. В идеале, в установке квантовой криптографии должны использоваться однофотонные

состояния оптической моды. В современных источниках перепутанных фотонов вероятности

генерации двух пар фотонов существенно ниже вероятности генерации бифотонов. Поэтому

системы квантовой криптографии на ЭПР протоколе ближе к идеальным системам.

В данной работе изучаются особенности искажения квантовой информации,

закодированной в поляризационных состояниях фотонов при их распространении по ОВ в

установке квантовой криптографии. Распределение квантового ключа осуществляется с

помощью перепутанных поляризационных состояний бифотонов. Для кодирования ключа

используется BB84 квантовый протокол. Ошибки в просеянном ключе, после этапа

согласования базисов, связаны с возможным перехватом информации, с несовершенством

аппаратуры и с шумами в квантовом канале. В литературе степень секретности

распределяемого ключа характеризуют синтетическим параметром – скоростью появления

ошибок в квантовых битах (английская аббревиатура QBER) [9]. QBER зависит от

относительной ошибки в квантовом ключе, оставшейся после этапа просеивания. В данной

работе аналитически изучается зависимость суммарной относительной ошибки в генерации

просеянного ключа от параметров ОВ. Вектор параметров ОВ вводится

феноменологически. Этот вектор полагается случайным, и его статистические

характеристики определяются технологией изготовления ОВ. В работе представлены два

случая: с учетом деполяризации состояния фотона и поглощения и без, когда в процессе

распространения меняется тип поляризации, что приводит к ошибкам в интерпретации

переданных кубитов. Для поиска относительной ошибки рассмотрена динамика во времени

97

матрицы плотности фотонов при фиксированном значении параметров . Рассмотрены

оптимальные стратегии выбора отрезков ОВ для квантовых каналов А и B.

2. Преобразование матрицы плотности фотонов без учета поглощения и деполяризации

Рис.1

Схема установки распределения квантового ключа с помощью перепутанных

фотонов. А – анализатор Алисы, B – анализатор Боба. СД – светоделитель, ПСД1,2 –

поляризационный светоделитель, Д1-Д4 – фотодетекторы в каналах A и B. Цифрами

пронумерованы пространственные моды и соответствующие входы и выходы

светоделителей.

Схема анализатора квантовых состояний фотонов, описанная в работе, представлена

на рис.1. Изучим закон распространения одиночных фотонов в представлении Шредингера.

Феноменологический гамильтониан фотонов в одномодовом ОВ в резонансном

представлении в подпространстве одного фотона имеет вид

1

2phH . (1)

Здесь - случайный вектор параметров ОВ

cos , sin cos , sin sinz x y, n n n n , (2)

- вектор, компонентами которого являются три матрицы Паули , ,x y z .

Параметры случайны и определяются технологией изготовления ОВ. Зададим состояние

фотона в начальный момент времени (на входе в канал) с помощью матрицы плотности

1

0 0 ,2

I p . (3)

Д4 2 B

Квантовый

канал B

Квантовый

канал A

ПСД1 ЭПР

источник

бифотонов

1 1 1

3

3

Д3

Д1

Д3

Д4

4

4

СД

ПСД2

Д2

2

2

2

А

Д2

Д1 ПСД2

ПСД1 СД

4

4

3

3

2

2

1 1 1

98

Здесь I - единичная матрица размерности 2 2 , 0p - начальный вещественный

вектор Блоха – Стокса. Матрица плотности фотона в момент времени t (на выходе

квантового канала или на входе в анализатор) равна

1

exp 0 exp ,2

ph pht iH t iH t I t p (4)

Так как [10]

1 1

exp exp2 2

i , t i , t W ,t

, (5)

где W ,t - матрица преобразования вектора при повороте системы координат на угол

t вокруг оси n (2), то вектор Блоха – Стокса для момента t равен

0 0T

t W ,t W ,t p p p . (6)

Обозначим ,V H - состояние одного вертикально (горизонтально)

поляризованного фотона в ОВ. В подпространстве одного фотона в моде операторы Стокса

выражаются через матрицы Паули 21 1 1 1

, , ,2 2 2 4

x x y y z zS S S S I . Базис

,V H является собственным для матрицы zS и 2S

,z zH H V V . (7)

Используя стандартные правила преобразования операторов рождения a† и

операторов уничтожения a фотонов в приближении линейной оптики [11], получим закон

преобразования базисных векторов ,V H с входа анализатора на его выход

1 3 21,1

1 3 41,1

ˆ ˆ ˆˆ 0 0 ,

2 2

ˆ ˆ ˆˆ 0 0 .

2 2

H

V

a a aH a

a a aV a

† † ††

† † ††

(8)

Используем формулу (4) для матрицы плотности фотона на входе в анализатор,

записанную в базисе (7), получим вероятности 1 2 3 4, , ,P P P P срабатывания детекторов

1 2 3 4, , ,D D D D , выраженные через координаты вектора Блоха – Стокса (6)

1 2 3 4

1 1 1 1, , ,

4 4 4 4

x z x zt t t tP P P P

p p p p. (9)

3.Вероятность ошибки на один кубит

Генератор, представленный на рис.1, является источником синглетных состояний

бифотонов

1

2A B A BAB

H V V H .

Здесь символами A и B отмечены фотоны в каналах А и B. На каждый посланный в

ЭПР канал бифотон (в случае идеальных детекторов и отсутствии потерь фотонов)

99

откликается один из четырех детекторов А и один из четырех детекторов B. Всего

анализаторы А и B фиксируют 16 парных событий – совпадений щелчков детекторов А и B.

Запишем начальную матрицу плотности бифотонов в виде

, ,

10 , ,

4A B A BAB AB

x y z

I I

e e . (10)

Матрица плотности бифотонов на входе анализаторов A и B (на выходе каналов A и

B) имеет вид (согласно (4), (5), (6))

, ,

1, ,

4A B A A B BAB

x y z

t I I W ,t W ,t

e e . (11)

Здесь ,A B - векторы параметров ОВ в каналах A и B (2). Используем правила

преобразования операторов рождения в линейных оптических элементах анализаторов A и B

(8), а также формулы (9), получим выражения условных нормированных матриц плотности

B

состояний фотона B, после срабатывания (“щелчка”) детектора A, имеющего номер

1,2,3,4 (детекторы AD

на рис.2)

1 1,

4 8B B B BAB

t I t

p . (12)

Здесь условные векторы Блоха – Стокса в канале B имеют вид

1

, ,

2

, ,

3 1 4 2

,

,

, .

B A Bxx y z

B A Bzx y z

B B B B

t W ,t W ,t

t W ,t W ,t

t t t t

p e e

p e e

p p p p

(13)

Возьмем шпур от правой части формулы (12), получим вероятности срабатывания

детекторов

, 1,2,3,4AD

в анализаторе A

1

, 1,2,3,44

AP

. (14)

С помощью формул (9), (12), (13) можно получить таблицу условных вероятностей

,

ABP

срабатывания детекторов

, 1,2,3,4BD

(при условии, что сработал какой-то

детектор

, 1,2,3,4AD

). В процессе просеивания при коммуникации по классическому

каналу, отбрасываются половина событий, когда одновременно срабатывают детекторы с

номерами противоположной четности

1 2 1 4 2 1 2 3

3 2 3 4 4 1 4 3

, , , ,

, , , .

A B A B A B A B

A B A B A B A B

D D D D D D D D

D D D D D D D D

(15)

Остальные 8 событий формируют квантовый ключ. Из-за ошибок в квантовом канале

возможны несовпадающие по номерам отсчеты в каналах A и B, имеющие одинаковые

четности. Это

1 3 3 1 2 4 4 2, , , .A B A B A B A BD D D D D D D D (16)

100

Предположим, что причина появления ошибки в ключе B связана со случайным

изменением состояния поляризации фотонов в каналах A и B при распространении бифотона

от генератора к анализаторам (анализаторы считаются идеальными). С помощью формул (9),

(12), (13) получим вероятность ошибки, определяемой событиями (16)

1

14 2

A B A Bxx zzerr

W ,t W ,t W ,t W ,tP

. (17)

Из (17) следует, что при условии A B , то есть в случае одинаковых искажений

поляризации в каналах A и B, ошибка 0errP . Похожее свойство синглетного состояния

отмечено в работе [12], где синглетное состояние бифотона названо “свободным от

коллективной декогеренции”.

Рассмотрим два, физически различимых случая. Первый случай - фарадеевское

вращение в ОВ. Второй случай - случайное двулучепреломление в ОВ. Используем

формулы (9), (12), (13), (17) и получим выражение для ошибки на один переданный бит по

ОВ со случайным двулучепреломлением BF при фиксированных значениях случайных

углов векторов ,A B

21 11 1 cos 1 cos cos

4 2

sin sin cos cos cos .

BF

err A B B A

A B B A B A

P t t

t t t t

(18)

Для ОВ со случайным эффектом Фарадея F ошибка (17) имеет вид

1 cos

4

A BF

err

tP

. (19)

4. Ошибка на один бит, усредненная по ансамблю отрезков оптоволокна для каналов A

и B.

Квантовые каналы A и B рис.1 естественно проектировать из отрезков ОВ,

выполненных по одной технологии. Каждая технология характеризуется законом

распределения случайных векторов ОВ (2), средним значением случайных параметров

, , , и их дисперсией. Предположим, что параметры , для ОВ, обладающего

эффектом двулучепреломления, распределены независимо, по нормальному закону. Выбор

отрезков ОВ для каналов A и B будем производить коррелированно, с коэффициентами

корреляции r (выбор параметра ) и r (выбор угла ). Окончательно усреднение ошибки

BF

errP (18) выполним по распределению

, , , , , , , , , , ,A B A B A B A Br r , (20)

где двумерное нормальное распределение

101

2 2

2 22 2

21, , , , exp

2 12 1

x x y x r x x y xx y r x

rr

.

(21)

Формула для среднего значения вероятности BF

errP имеет вид

2

2

2 2

22

2

2

1 11 exp 4 1 1 2cos exp

4 16 2

1 1exp 1 cos 2 exp 1

2 2

exp 1 exp 1

cos 2 exp 1 4cos exp .2

BF

errP r

r r

r r

r

(22)

Здесь введены безразмерные переменные

,t . (23)

Формула для среднего значения вероятности F

errP имеет вид

21

1 exp 14

F

errP r . (24)

Здесь введена безразмерная переменная

t . (25)

Как следует из формул (18), (19) средняя ошибка BF

errP не зависит от

математического ожидания угла , а средняя ошибка F

errP не зависит от математического

ожидания .


Используем правило подсчета вероятности Бернулли, получим соотношение для

средней относительной ошибки (QBER) в переданном квантовом ключе (среднее число

ошибок в просеянном ключе длиной 2N по отношению к длине просеянного ключа):

QBER 2 errP . (26)

Зависимость средней относительной ошибки (QBER) от параметра t при

передаче ключа по каналам A, B с эффектом двулучепреломления. Параметры графиков:

1. 0.03, 0.9, 0.3, 0.9r r

2. 0.03, 0.9, 0.03, 0.9r r

3. 1, 0.9, 0.03, 0.9r r

4. 0.03, 0.1, 0.3, 0.3r r

5. 0.03, 0.9, 0.3, 0.3r r

102

6. Критический уровень QBER, равный 0.11

0 5 10 15 20

0,00

0,04

0,08

0,12

6

5

4

3

2

1

QB

ER

Рис.2

На рис.2 представлены графики зависимости QBER от параметра t при

различных значениях параметров , , ,r r , рассчитанные по формулам (22), (26) (эффект

двулучепреломления). Как следует из рис.2 и формулы (22), при выполнении условия

24 1 1r (27)

средняя относительная ошибка в передаче кубита близка к

21QBER 1 exp 1

4r , (28)

что наблюдается на графиках 2, 3. Графики 1, 4, 5 демонстрируют осцилляционную

зависимость от параметра t , с амплитудой осцилляций, примерно равной 2 1 r .

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

0,00

0,04

0,08

0,12

4

3

2

1

QB

ER

Рис.3

Зависимость средней относительной ошибки (QBER) от параметра t при

передаче ключа по каналам A, B с эффектом Фарадея. Параметры графиков:

1. 0.8r 2. 0.95r 3. 0.99r

4. Критический уровень QBER, равный 0.11

103

На рис.4 представлены графики зависимости QBER от параметра t при

различных значениях параметра r , рассчитанные по формулам (24), (26) (эффект Фарадея).

В этом случае

21QBER 1 exp 1

2r . (29)

Средняя по ансамблю ошибка F

errP монотонно зависит от параметра t , не

проявляя осцилляций, даже при 0 . Отсутствие осцилляций объясняется тем, что каналы

A и B спроектированы из ОВ, выполненного по одной технологии.

6. Преобразование матрицы плотности фотонов с учетом деполяризации и поглощения

Гамильтониан взаимодействия мод (обобщение классического метода связанных

волн)

†

,, ,

1

2H V

V b b

k k

k

(30)

Здесь - вещественный вектор, характеризующий взаимодействие ортогонально

поляризованных мод с волновым вектором.

В качестве базисных состояний выберем три вектора 0 , 1 , 2

† †

1 0 , 2 0H VH b V b k k

С течением времени однофотонное состояние изменяется согласно квантовому

уравнению Лиувилля для шредингеровской матрицы плотности фотонов

0, , 0 .t

i V t tt

(31)

Здесь - супероператор релаксации, а t - матрица плотности фотона в момент

времени t .

Матрица плотности определяется четырьмя вещественными и двумя комплексными

функциями P t , 01 t , 02 t , tp

01 021 0 0 0 1 0 2 .

11 1 2 2 ,

2

t P t t t H C

P t t

p

Предполагается, что характер релаксации изотропный, в процессе релаксации

сохраняется число фотонов, но стремится к нулю степень поляризации поля (длина вектора

tp ).

Система уравнений

104

01 01 01 02

02 02 02 01

,

2 2

2 2

z x y

z x y

dP t P t

dt

d i it t i t

dt

d i it t i t

dt

dt t t

dt

p p p

+

Феномнологические скорости поглощения и деполяризации. Естественно

предположить изотропный механизм деполяризации

, , , 0

- скорость деполяризации, - скорость поглощения фотонов, 01 02, -

скорости разрушения корреляций с вакуумом

Решение системы уравнений

2 2 2 2 2 201 012 2

2 201 1 2

02 01 01 01 01

exp 0

12 2

exp 0

z x y z x yi it t

z

x y

P t t P

t c e c e

t i t t ti

t t W ,t

p p

Алиса с равной вероятностью 1 4 генерирует одно из четырех состояний

1 2

3 4

0 1 , 0 2 12

0 2 , 0 2 12

Полная вероятность ошибки при передаче одного (любого) кубита равна

1 2

2 , ,1 1exp 1 exp

4 2 4 2

x x z zz x

err

W ,t W ,tt tP P t t t

p p

Средняя длина просеянного ключа. N - полное число посылок.

2

det exp2 2

sift

N NN P t

7. Учет стохастичности параметров ОВ

Плотность вероятности компонент вектора имеет вид

105

2

3 2 23

1exp

22

.

Средний вектор Блоха-Стокса

exp 0 ,t t W ,t W ,t W ,t dV p p

Упрощенное выражение для матрицы W t получим в двух случаях.

Первый случай - - сильное взаимодействие мод, малый разброс параметров ОВ.

Тогда, в старшем порядке по параметру

2

, ,cos exp , 1,

2x x z z

tW t t W t

(32)

Второй случай - - малое взаимодействие мод по отношению к разбросу

параметров ОВ. Тогда, в старшем порядке по параметру

2

2

, ,

11 2 1 exp ,

3 2x x z z

tW t W t t

(33)

Анализ схемы передачи ключа показывает, что полная вероятность ошибки при

передаче одного (любого) кубита равна

1 41 11

4 2err z xP t t t

p p . (34)

Здесь 1 4

,z xt tp p - компоненты вектора Блоха (в анализаторе Б) при начальном

векторе Блоха 0p , который отвечает начальному состоянию 1 4, соответственно.

Усреднение errP t (34) с помощью формул (9), (32), (33) дает следующие результаты

, ,

1 11 exp

4 2err z z x x

P t W t W t t

.


Зависимость средней относительной ошибки в просеянном квантовом ключе QBER

при условии 1 в зависимости от угла t , здесь - среднее квадратичное

отклонение параметров оптоволокна, t - время задержки сигнала в квантовом канале, -

среднее значение модуля векторного параметра оптоволокна, - скорость деполяризации

излучения. Кривая 1 - 0.01, 0.01 , кривая 2 - 0.2, 0.2 , кривая

3 - 0.3, 0.01 , кривая 4 - 0.01, 0.3 .

На рис.4 зависимость средней относительной ошибки от угла, рассчитанная по

формуле

106

2

1 1 1QBER 1 1 cos exp exp

2 2 2

. (35)

0 2 4 6 8 10

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

4

3

2

1

QB

ER

Рис 4.

Как следует из рис.4., при условии такое значение QBER достигается при

малых значениях 1t и при больших значениях 2t , при условии

0.04 .

0 1 2 3 4 5

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

3

2

1

QB

ER

Рис 5.

Зависимость средней относительной ошибки в просеянном квантовом ключе QBER

при условии 1 в зависимости от угла t , здесь - среднее квадратичное

отклонение параметров оптоволокна, t - время задержки сигнала в квантовом канале, -

среднее значение модуля векторного параметра оптоволокна, - скорость деполяризации

излучения. Кривая 1 - 0.001 , кривая 2 - 0.3 , кривая 3 - 2 . QBER не

превышает 0.11 при условии 0.5t .

107

На рис.5 зависимость средней относительной ошибки от угла, рассчитанная по

формуле

2

21 1QBER 1 1 2 1 exp exp

2 3 2

. (36)

Выводы

В заключение отметим, что в работе рассмотрена оптимальная стратегия выбора

отрезков ОВ для квантовых каналов A и B, используемых для распределения квантового

ключа с помощью перепутанных поляризационных состояний бифотонов. Стратегия

позволяет минимизировать средние относительные ошибки в квантовом просеянном ключе,

возникающие вследствие влияния случайных характеристик ОВ на состояние поляризации

распространяющихся фотонов. Формулы (22), (24), (28), (29),(35),(36) по которым

рассчитаны рис.2-рис.5, записаны в безразмерных (относительных) переменных, что делает

их удобными для анализа величины ошибок для конкретного ОВ, для которого известны

значения феноменологических параметров . Ошибки в квантовом ключе могут быть

обнаружены в процессе процедуры исправления ошибок и усиления секретности. Эти

процедуры занимают время, и приводят к потере части переданного ключа. Правильный

выбор технологи изготовления оптоволоконного квантового канала позволит снизить

ошибки при распределении квантового ключа.

Работа поддержана в рамках ФЦП "Развитие научного потенциала высшей школы

России" проект No.2.1.1/9425, ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры

инновационной России" 2009-2013 г. (Гос. контракт No.П689 НК-526П/24 и 14.740.11.0679 ),

РФФИ 11-08-00267-a, НИОКР РК10186.


[1] R. Ulrich, A. Simon. Polarization optics of twisted single-mode fibers. Applied Opt. V. 18, p.

2241, (1979)

[2] R. Ulrich, S. C. Rashleigh, W. Eickhoff. Bending-induced birefringence in single-mode fibers.

Opt. Lett. V. 5, p. 273, (1980)

[3] M. A. Nielsen and I. L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge

University Press, Cambridge, 2000)

[4] D. Bouwmeester, A. Ekert, A.Zeilinger, The Physics of Quantum Information (Springer, Berlin,

2000)

[5] A. Muller, H. Zbinden, N. Gisin. Quantum cryptography over 23 km in installed under-lake

telecom fibre // Europhys.Lett. 1996. V.33. P.335 -339.

[6] Gregorie Ribordy, Jean-Daniel Gautier, Nicolas Gisin, Olivier Guinnard, Hugo Zbinden. Fast

and user-friendly quantum key distribution // J. Mod. Opt. 2000. V.47. P.517 – 531.

[7] Artur K. Ekert. Quantum Cryptography Based on Bells Theorem. Phys.Rev.Lett. v.67,p.661,

(1991).

[8] A. Poppe, A. Fedrizzi, R. Ursin, H. R. Bohm, T. Lorunser, O. Maurhardt, M. Peev, M. Suda, C.

Kurtsiefer, H. Weinfurter, T. Jennewein, A. Zeilinger. Practical quantum key distribution with

polarization entangled photons. Opt. Express, V. 12, p. 3865 (2004)

[9] Valerio Scarani, Helle Bechmann-Pasquinucci, Nicolas J. Cerf, Miloslav Dušek, Norbert

Lütkenhaus, Momtchil Peev. The security of practical quantum key distribution. Rev. Mod. Phys.,

V. 81, 1307, ( 2009)

108

[10] Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового

момента. (Изд-во «Наука», Ленингр. отд., Л., 1975).

[11] Ulf Leonhardt. Quantum physics of simple optical instruments. Rep. Prog. Phys. 66, p. 1207,

(2003)

[12] Paul G. Kwiat, Andrew J. Berglund, Joseph B. Altepeter, Andrew G. White. Experimental

Verification of Decoherence-Free Subspaces. SCIENCE, 290 ,p. 498, ( 2000)

109

УДК 517.28

НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ

СОЕДИНЕННЫХ ПОЛУКРИСТАЛЛОВ С ПОТЕНЦИАЛАМИ

КРОНИГА-ПЕННИ

А. Г. Субаев

[email protected]

Изучается непрерывный спектр оператора Шредингера для соединенных полукристаллов с

потенциалами Кронига-Пенни. Найдена зонная структура спектра, проанализирована её зависимость от

исходных параметров системы. Получены математические модели, позволяющие анализировать процесс

появления и исчезновения разрешенных зон, находить условия «схлопывания» зон в точку, следствием которых

является излучение квантов. Рассмотренная в работе модель может быть применена для описания нано- и

микроэлектронных систем, исследования полупроводниковых приборов с различными переходами.

1. Введение

Периодические структуры широко встречается в природе в форме кристаллов.

Кристалл можно рассматривать как периодически повторяющиеся в пространстве

одинаковые структурные единицы - элементарные ячейки кристалла, состоящие из одного, в

простейшем случае, или нескольких атомов каждая.

Для описания структуры любого кристалла необходимо характеризовать его

элементарную ячейку. Выбранную элементарную ячейку характеризуют тремя векторами

основных трансляций, совпадающими с ее тремя ребрами, сходящимися в одной точке.

Если подробно охарактеризовать расположение атомов базиса в пределах одной

элементарной ячейки, то всю структуру кристалла можно получить трансляцией данной

ячейки, осуществляя параллельные переносы на векторы, называемые векторами

трансляций. Длины векторов основных трансляций называются периодами кристаллической

решетки.

Характер заполнения зон электронами в кристалле определяет механизм

проводимости вещества, а потому задача определения этих зон очень важна.

Состояние кристалла полностью описывается волновой функцией, которая зависит от

координат всех частиц, его составляющих: как электронов, так и атомных ядер. Ввиду того,

что масса ядер намного больше массы электронов, можно считать, что координаты ионных

остовов (ядер с электронами внутренних оболочек, сильно связанных с ядром) можно

считать точно определенными. Если не принимать во внимание колебания кристаллической

решетки, то ядра будут располагаться в ее узлах. Таким образом, задача сводится к решению

уравнения Шредингера для многоэлектронной волновой функции, находящейся в

периодическом поле ионных остовов. В решении этой задачи достаточно хорошие

результаты дает одноэлектронное приближение. В этом приближении считается, что

взаимодействие одного, выделенного, электрона со всеми остальными можно приближенно

описать с помощью эффективного потенциала, который действует на выделенный электрон

со стороны всех остальных. Иными словами, предполагается, что потенциальная энергия

электрона складывается из энергии взаимодействия данного электрона с ядрами атомов и

эффективной энергии его взаимодействия с другими электронами кристалла. Таким образом,

состояние каждого электрона описывается стационарным уравнением Шредингера.

Уравнение Шредингера имеет решения, не при любых значениях энергии, а лишь при

некоторых, которые называются собственными значениями.

110

Важен тот факт, что потенциальная энергия электрона обладает симметрией

кристалла, т.е. является периодической функцией, обладающей периодом кристаллической

решетки. Эта периодичность определяет общий вид волновых функций стационарных

состояний электронов.

Основные квантово-механические системы эвристически задаются «одночастичным

многоцентровым гамильтонианом» вида

где через обозначен самосопряженный лапласиан в с областью определения

. Здесь d = 1, 2, 3 – размерность объемлющего конфигурационного пространства, Y –

дискретное (конечное или счетное) подмножество в – константа связи, приписанная

точечному источнику, находящемуся в точке y, а – это -функция Дирака в точке y (т. е.

единичная мера, сосредоточенная в y). Квантовомеханическая частица движется, таким

образом, под действием «контактного потенциала», созданного «точечным источником»

интенсивности , расположенным в точке y.

При изучении таких моделей ключевая идея состоит в том, что, коль скоро их

гамильтонианы корректно определены, они могут служить в качестве основы для построения

более сложных и более реалистических взаимодействий, которые можно получить

различными возмущениями, аппроксимациями и обобщениями гамильтониана H. Модели с

взаимодействиями такого вида встречаются в литературе под различными названиями,

такими как «модели точечных взаимодействий», «модели потенциалов нулевого радиуса»,

«модели -взаимодействий», «модели псевдопотенциалов Ферми», «модели контактных

взаимодействий».

Исторически первой работой о моделях такого вида, оказавшей заметное влияние,

была статья Кронига и Пенни 1937 года, в которой изучен случай d = 1, Y = Z с константой

, не зависящей от y. «Модель Кронига-Пенни» стала стандартной моделью, на

которую ссылаются в физике твёрдого тела. Это простая модель нерелятивистского

электрона, движущегося в жёсткой кристаллической решётке.

Любое возможное математическое определение самосопряженного оператора H,

отвечающего эвристическому выражению в пространстве , должно

учитывать тот факт, что оператор H совпадает с оператором на множестве

гладких в функций с компактным носителем, не содержащим точки y. При это

требование уже означает, что H совпадает с оператором с областью определения

, так как оператор в существенном самосопряжен при . В случае

d = 2, 3 существует однопараметрическое семейство самосопряженных операторов,

отвечающих эвристическому выражению . Параметром служит

«перенормированная константа связи» . В физических терминах, исходная константа связи

в эвристическом выражении должна быть «перенормирована» и, как

оказывается, имеет вид , где – бесконечно малая, а .

Математическое обоснование этого утверждения было получено с использованием теории

Крейна самосопряженных расширений.

В данной работе рассматривается спектральная задача для двух соединённых

одномерных полукристаллов.

111

Целью данной работы является изучение непрерывного спектра оператора

Шрёдингера для соединённых полукристаллов с потенциалами Кронига-Пенни.

2. Общая схема построения решения

Метод решения поставленной задачи базируется на теории самосопряженных

расширений симметрических операторов, согласно которой задача

с потенциалом

эквивалента спектральной задаче, где оператор в L2(R) имеет вид:

с областью определения

,

Найдём матрицу монодромии. Решим уравнение на отрезке [0, T]. Сначала

рассмотрим простейший случай, если потенциал нулевой:

где – матрица монодромии.

Исходная задача отличается от описанной выше наличием дельта-функции в точке x =

T, что эквивалентно выполнению условия

и матрица монодромии имеет вид

В результате матрица монодромии для исходной задачи выглядит следующим

образом:

где . То есть

Необходимым и достаточным условием существования непрерывного спектра

является равенство по модулю собственных чисел матрицы монодромии единице.

Собственные числа матрицы М:

112

Условие

эквивалентно условию

где

3. Модели соединенных полукристаллов

3.1. Модель с одной δ-функцией

Теперь рассмотрим два соединенных полубесконечных кристалла с периодами и

для положительной и отрицательной полупрямых соответственно с одной δ-функцией на

каждом из периодов.

Матрица монодромии для правой полупрямой:

и для левой полупрямой:

Собственные числа матрицы M:

Тогда D имеет вид:

Необходимое и достаточное условие существования непрерывного спектра:

Таким образом, непрерывный спектр определяется системой неравенств:

Нельзя не отметить факт того, что при наше решение совпадает с решением

модели Кронига-Пенни.

Положим для определённости и рассмотрим график допустимых областей.

113

Рис. 1. Красным и зеленым нарисованы графики . Жирной чертой выделены

разрешенные зоны.

3.2. Модель с одной -функцией

Теперь рассмотрим иную модель кристалла, отличие которой от предыдущей будет

заключаться в том, что в точке будет находиться -потенциал.

-потенциал соответствует выполнению следующих условий:

тогда матрица монодромии имеет вид:

Собственные числа матрицы M:

И в этом случае

В итоге система неравенств, дающая нам непрерывный спектр, выглядит следующим

образом:

Нельзя не отметить факт того, что при наше решение совпадает с решением

модели Кронига-Пенни.

Опять же положим и рассмотрим график допустимых областей:

114



3.3. Модель с двумя -функциями

Рассмотрим модель с двумя дельта-потенциалами на периоде. Меньшее расстояние

между потенциалами обозначим за , тогда большее, соответственно, будет равно

Матрица монодромии для этой модели:

где

Собственные числа матрицы:

И в этом случае

В итоге система неравенств, дающая нам непрерывный спектр, выглядит следующим

образом:

Опять же положим и рассмотрим график допустимых областей:

115



При мы попадаем в первый случай с удвоенным значением дельта-функции в

точке x = T.

Рис. 4. Вверху – зоны спектра при . Внизу – зоны спектра для задачи c

удвоенной дельта-функцией.

Полученные модели позволяют:

анализировать процесс появления и исчезновения разрешенных зон при

изменении параметров системы. В частности, параметра потенциала – α, изменение которого

возможно в ходе реальных экспериментов над соответствующими структурами.

находить условия «схлопывания» зоны в точку:

116

Заметим, что при исчезновении разрешенной зоны может наблюдаться переход

электронов на более низкие уровни (зоны) и, соответственно, излучение квантов.

Заключение

Рассмотренная модель описывает спектральные свойства двух соединенных

полукристаллов при потенциале Кронига-Пенни.

В ходе проделанной работы были получены следующие результаты:

Найдена зонная структура непрерывного спектра оператора Шрёдингера для

двух соединённых полукристаллов с различными периодами для трех случаев точечных

взаимодействий;

Проанализирована зависимость зонной структуры непрерывного спектра от

параметров системы;

Проверено соответствие с полученными ранее результатами.

Описаны условия возникновения и исчезновения зон в точку, открывающие

возможность излучения квантов света.

Рассмотренная в работе модель может быть применена для описания нано- и

микроэлектронных систем, исследования полупроводниковых приборов с различными

переходами.


[1] Kronig, R. de L.: Quantum Mechanics of Electrons in Crystal Lattices / R. de L. Kronig, W.G.

Penney. – Proc. Roy. Soc. (London) – 1931.– Vol. 130A.

[2] Альбеверио, С. Решаемые модели в квантовой механике / С. Альбеверио, Ф. Гестези, Р.

Хёэг-Крон, Х. Хольден: пер. с англ.– М.: Мир, 1991. – 568 с., ил.

[3] P. Kurasov. Spectral Asymptotics for Schrodinger Operators with Periodic Point Interactions /

P. Kurasov, J. Larsen // J. Math. Anal. Appl. – 2002. – Вып. 266. – с. 127–148.

[4] Korotyaev, E. Schrodinger Operator With Periodic Plus Compactly Supported Potentials on the

Half-line, arXiv:0710.2832v2 (2009).

[5] Korotyaev, E. Schrodinger Operator With Periodic Plus Compactly Supported Potentials,

arXiv:0904.2871v1 (2009).

[6] Korotyaev, E. Lattice Dislocations in a 1-Dimensional Model // Commun. Math. Phys. –2000,

Vol. 213, p.471-489.

[7] Gesztesy, F. Spectral properties of a class of reactionless Schrodinger Operators / F. Gesztesy,

P. Yuditskii // J. Funct. Anal. – 2006. – Vol. 241. – p. 486–527.

[8] Maioli, M. Absence of the absolutely continuous spectrum for Stark-Bloch operators with

strongly singular periodic potentials / M. Maioli, A. Sacchetti // J. Phys.–1998. – Vol. 31(3).

[9] Niikuni, H.: Absent Spectral Gaps of the Generalized Kronig-Penney Hamiltonians // Kyushi. J.

Math. – 2008. – Vol. 62. – p. 89-105.

[10] Пожарский, А. Полукристалл с сингулярным потенциалом в ускоряющем электрическом

поле // Теор. и мат. физ. – 2006. – Вып. 146(3). – с. 343-360.

[11] Пожарский, А. А. Кристалл с сингулярным потенциалом в однородном электрическом

поле // Теор. и мат. физ. – 2000. – Вып. 123(1). – с. 524-538.

[12] Bronski, J. C.: Dislocation Defects and Diophantine Approximation / J. C. Bronski, Z. Rapti//

arXiv:0904.2582v1 (2009).

117

ФАЗОВОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ ПОЛЯ

РЕЗОНАТОРА КАК ЭФФЕКТ ДИСКРЕТНОГО

ФОТОДЕТЕКТИРОВАНИЯ

А.И. Трифанов

[email protected]

Развиты методы, описывающие квантовые логические гейты, реализуемые на условных состояниях поля

резонатора. В качестве примера будет построена модель трехкубитового фазового гейта и произведен расчет ее

параметров. Операция основана на взаимодействии трех квантовых и двух классических мод резонатора с

шестью уровнями ридберговского атома, состояние которого на выходе регистрируется ионизационной

камерой.

1. Введение

Квантовые информационные технологии – это область, в которой для хранения,

передачи и обработки информации используются принципы квантовой механики [1].

Квантовая единица информации – кубит – может быть реализована в различных физических

системах. Здесь рассматривают: фотонные технологии, атомы и ионы в ловушках,

технологии ЯМР, сверхпроводимость, квантовые точки и т.д. [2]. В основе квантовых

оптических информационных технологий [3] лежит интерференция и взаимодействие

фотонов, в состояния которых закодирована информация [4, 5]. Преобразование состояний

кубитов происходит в квантовых логических устройствах – гейтах. Наиболее важными

являются универсальные гейты, которые позволяют реализовать базис логических

вычислений. Таковыми являются двухкубитовая операция контролируемого НЕ (CNOT) в

совокупности с однокубитовой операцией Адамара, а также трехкубитовая операция дважды

контролируемого НЕ (CCNOT). В основе оптической реализации преобразований CNOT и

CCNOT лежит, соответственно, двух- и трехкубитовая операция контролируемого

преобразования фазы (КПФ) на ( 2

Q и 3

Q соответственно). В случае трех кубитов ее

можно записать так

,1 ,1 ,11 2 3 1 2 3exp a b ca b c i a b c , , , 0,1a b c . (1)

Операция CCNOT достигается после двукратного применения операции Адамара (H) к

третьему кубиту:

(3)CCNOT I I H Q I I H . (2)

Как двух-, так и трехкубитовая реализации (КПФ) требуют сильного нелинейного

набега фазы на квантовых состояниях поля, который может быть получен за счет

взаимодействия фотонов с атомом в высокодобротном резонаторе [6, 7, 8]. После

взаимодействия состояние атома измеряется детектором, и возникающее условное полевое

состояние является результатом действия некоторого условного полевого оператора

(трансформера Крауса) на начальное состояние поля. В настоящей работе эта схема

используется для реализации трехкубитовой квантовой логической операции КПФ.

Предложенный метод разложения атомно-полевого оператора эволюции по операторам

Крауса позволил получить простые аналитические выражения для элементов этих

операторов. Вычислено время взаимодействия атома с резонатором, для которого

118

получившийся условный полевой оператор действует как КПФ с высокой вероятностью. При

этом качество операции также очень высоко.

Рис. 1 Схема атомных уровней с действующими полями.

2. Гамильтониан в представлении взаимодействия

Система, которую мы будем рассматривать, состоит из шести атомных уровней,

взаимодействующих с тремя квантовыми и двумя классическими полями резонатора (рис. 1).

Предполагается, что атом влетает в резонатор в основном состоянии 1A

. Под действием

квантового поля (а) с константой связи ag и частотой а он может быть переведен в

возбужденное состояние 2A

. Классические поля с частотами 1 и 2 действуют на

переходах 2 3A A и 2 5

A A . Переходы 3 4

A A и 5 6

A A взаимодействуют с

квантовыми полями (b) и (с), частоты которых b и c соответственно. Запишем

гамильтониан рассматриваемой системы:

A FH t H H V t . (3)

Здесь 6

1

A k kk

k

H E

и , ,

F m m m

m a b c

H a a

- гамильтонианы атомной и полевой подсистем в

отсутствие взаимодействия. Атомные проекторы kk Ak k , 1,2, ,6k действуют на

подпространствах, порожденных собственными значениями kE , ma и ma , , ,m a b c -

операторы рождения и уничтожения фотона в моде m. Оператор взаимодействия

c qV t V t V t состоит из двух частей, соответствующих классическому и квантовому

полю ( . .h c - обозначает эрмитово сопряжение; здесь и далее 1 ):

1 23 1 2 25 2exp exp . .сV t i t i t h c , (4)

21 43 65 . .q a a b b c cV t g a g a g a h c (5)

Здесь 1 , 2 - частоты Раби классических полей, а ag , bg , cg - константы связи

квантованных полей резонатора, sk As k , , 1,2, ,6s k - атомные операторы скачка.

Будем отсчитывать энергию от основного уровня 1 0E и перепишем (3) во вращающуюся

систему координат, используя унитарное преобразование W t :

H W t H t W t , (6)

где exp expW t iRt iQt и

119

22 1 33 1 44 2 55 2 66a a a b a a cR , (7)

a a a b b b c c cQ a a a a a a . (8)

Определим однофотонные отстройки k :

1 2 21 3 23 1 4 43

5 25 2 6 65

0, , , ,

, ,

a b

c

(9)

где sk s kE E - частота атомного перехода A A

s k . Многофотонные отстройки k

определим так:

1 1 2 2 3 2 3 4 2 3 4

5 2 5 6 2 5 6

, , , ,

, .

(10)

Во вращающейся системе координат гамильтониан (6) стационарен и имеет вид:

6

21 43 65 1 23 2 25

1

. . . . .k kk a a b b c c

k

H g a g a g a h c h c

(11)

3. Взаимодействие с детектором. Условная эволюция состояний поля

Здесь мы рассмотрим эволюцию атомно-полевой системы во времени с

использованием оператора развития U t . Он удовлетворяет следующему

дифференциальному уравнению:

, 0i U t HU t U It

. (12)

Для решения данного уравнения разложим U t в следующую линейную комбинацию

операторов:

6

, 1

skAs k

U t s k K t

, (13)

где skK t - трансформеры полевых состояний (операторы Крауса). Каждый из них

описывает условную эволюцию поля, когда атом, приготовленный в состоянии A

k после

взаимодействия, детектируется в состоянии A

s , , 1,2, ,6s k . В нашей системе 1A A

k ,

и мы можем записать:

6

1

1

1 sAs

U t s K t

. (14)

Подставляя (14) в (12) мы получаем следующую операторозначную систему

дифференциальных уравнений для 1s sK t K t :

120

1*1

111

* *2 22 1 21 *

3 31 3

1444

*1

50 55

1 666

0 0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

a a

a a

b b

b b

c c

c c

K tK tg a

K t K tg a

K t K tg ai

K tg aK t

K tg aK tK tg a

K t

, (15)

где необходимо умножать вектор элементов sK t на элементы матрицы слева. Верхний

индекс в круглых скобках обозначает соответствующий порядок производной по времени

sK t . Принимая 0s , 1,2, ,6s легко получить однородное дифференциальное

уравнение шестого порядка для оператора Крауса 1K t :

6 4 2

1 1 1 1 0K t pK t qK t rK t . (16)

Здесь p , q , r - независящие от времени операторнозначные коэффициенты:

2 2 2 2 2

1 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 1

2 2 2

,

,

.

a a a b b b c c c

b a a a b b c a a a c c b c b b c c

a b c a a b b c c

p g a a g a a g a a

q g g a a a a g g a a a a g g a a a a

r g g g a a a a a a

(17)

Заметим, что операторы p , q и r диагональны в базисе состояний Фока. В соответствие с

начальными условиями 1 0K также представляется диагональной матрицей в этом базисе.

Отсюда мы можем заключить, что матрица трансформера 1K t диагональна в любой

момент времени. Мы используем этот факт для реализации операции контролируемого

фазового преобразования 3

Q . Другие операторы 1sK t не сохраняют числа фотонов в

модах резонатора и, тем самым, описывают квантовые скачки. Благодаря тому, что матрица

оператора 1K t диагональна, решение уравнения (16) можно искать в стандартной форме:

6

1

1

expn n

n

K t C i t

, (18)

где nC - независящие от времени операторы, коммутирующие с операторнозначными

корнями характеристического уравнения, получающегося из (16):

6 4 2 0p q r . (19)

Для простоты вычислений мы в дальнейшем будем предполагать, что все операторозначные

корни уравнения (19) различны. Для того чтобы выразить nC через n используем

следующие начальные условия для операторов Крауса:

1 0K I , 1 0 0sK . (20)

Получающаяся система может быть разбита на две части:

a) неоднородная часть для 1 1 2B C C , 2 3 4B C C и 3 5 6B C C :

121

1 2 3

22 2 2

1 1 2 2 3 3

2 2 2 24 4 4

1 1 2 2 3 3 1 2

1,

,a a a

a a a a a a

B B B

B B B g a a

B B B g g a a a a

(21)

и

b) однородная часть для 1 1 2A C C , 2 3 4A C C и 3 5 6A C C :

1 1 2 2 3 3

3 3 3

1 1 2 2 3 3

5 5 5

1 1 2 2 3 3

0,

0,

0.

A A A

A A A

A A A

(22)

Требование к операторнозначным корням уравнения (19) дает тривиальное решения

системы (22). Тогда можно записать:

3

1

1

cosl l

l

K t B t

, (23)

где lB , 1,2,3l - решение неоднородной системы (21). Можно получить аналитические

выражения для элементов матрицы 1K t в базисе Фока (для простоты мы положим

2 2 2 2

a b cg g g g ). Обозначим 1 1,u u FK t u K t u , где a b cF F

u , 0,1m ,

, ,m a b c , 0,1, ,7u - десятичная запись состояния поля резонатора в вычислительном

базисе. В результате вычислений получим следующие выражения для матричных элементов:

1 1 1 100 11 22 331K t K t K t K t , (24)

2 2 21 2

1 44 44 1 244cosK t b b g t , (25)

1 2 3

1 55 55 1 55 255cos cosK t b b t b t , (26)

2

2 2 2 2 2 2 2

1,2 1 2 1 2 2

12 4

2g g

,

1 2 3

1 66 66 1 66 266cos cosK t b b t b t , (27)

2

2 2 2 2 2 2 2

1,2 1 2 1 2 1

12 4

2g g

,

1 2 3

1 77 1 77 2 77 377cos cos cosK t b t b t b t , (28)

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2,3 1 2 1 2 1 2

1, 2 4

2g g g

.

Здесь l

uub - соответствующий элемент матрицы lB , полученной из (21). Аналитические

выражения для других операторов 1kK t можно легко найти, зная 1K t и вычислив его

производные по времени.

4. Реализация фазового гейта

122

В этой части мы опишем результаты, которые следуют из анализа, проведенного в

предыдущем разделе. Как было указано выше, операция 3Q может быть реализована при

помощи трансформера 1K t . Для этого необходимо удовлетворить следующим условиям на

элементы 1 uvK t , 0,1, ,7u v в некоторый момент времени intt :

1 int 1 int 1 int00 11 661K t K t K t , 1 int 77

1K t , 1 int ,0

u v uK t

. (29)

Здесь мы подберем значения контролируемых параметров и времени взаимодействия,

которые, будучи подставленными в выражения (25) - (28), дадут искомое преобразование

полевых состояний. Вместе с этим мы получим оценки качества (fidelity) и вероятности

реализуемого контролируемого преобразования фазы. Для удовлетворения требованиям (29)

в нашем распоряжении имеются частоты Раби классических полей, однофотонные частоты

Раби квантованных полей, а также время взаимодействия атома и поля в резонаторе.

Заметим, что часть этих требований удовлетворяется автоматически (24) за счет «геометрии»

системы. Для простоты мы предположим следующее отношение между частотами Раби

квантовых и классических полей (для которых предыдущий анализ справедлив):

1 2 a b cg g g g . (30)

Отсюда получаются следующие аналитические выражения для элементов 1K t :

2

1 2441 cos 2 2

2

gK t t

, (31)

2

1 1 255 661 cos 2 cos 2

22

g gK t K t t t

, (32)

2 2 2

1 277cos cos 2 cos

2 22

g g gK t t t t

. (33)

Используя их, можно оценить время взаимодействия intt между атомом и полем в

резонаторе, необходимое для реализации операции 3

Q . Удовлетворяя (29) в нулевом

порядке по g , получим:

int 2

21 2t k

g

, 0,1,2,k (34)

Теперь вычислим вероятность операции контролируемого фазового преобразования и

ее качество, если время взаимодействия выбрано из (34). Вероятность реализации 3

Q равна

вероятности детектировать атом в его начальном состоянии 1A

. Выражение для нее можно

записать так:

7

2

1 1 1

0

0 0F f f uu uuu

P t Tr K t K t K t

. (35)

123

Здесь 0f - произвольная матрица плотности квантового поля резонатора в начальный

момент времени. Подставляя (34) в (35) и аналитические выражения для 1K t взятые из (24)

и (31) - (33) мы найдем, что intP t отличается от единицы на величину:

2

7

int 24

21 0f uu

u

gP t

, (36)

где мы произвели усреднение по быстрым осцилляциям . Разность 1 P t изображения

на рис. 2 в случае, когда 0f F соответствует чистому состоянию

1

1 00 01 10 112F a bc

. Для условного качества запишем:

c

F Q fF t Tr t . (37)

Здесь c

f t - условная матрица плотности поля после измерения:

1 1

1 1

0

0

fc

f

F f

K t K tt

Tr K t K t

, (38)

и 3 3

0Q fQ Q

- результат идеального преобразования 3

Q начального состояния

0f . Легко проверить, что int 1F t до второго порядка малости включительно. На рис. 3

изображена зависимость от времени качества преобразования, полученная в результате

численного счета с 0f F .

Рис. 2 Зависимость вероятности не

детектировать атом в состоянии 1A

от

времени взаимодействия (сплошная линия) и

ее аналитическая оценка, вычисленная для

момента времени intt t ; 10 g , 0j .

Рис. 3 Зависимость качества операции от

времени; 10 g , 0j .

5 Обсуждение и заключение

Рассмотрена реализация вероятностной условной операции КПФ в высокодобротном

резонаторе. Она преобразует трехкубитовое состояние, закодированное в числах фотонов

трех квантованных мод резонатора. В основе операции лежит условная эволюция квантовых

мод поля, определяемая результатом измерения состояния атома в ионизационной камере.

124

Для описания данной эволюции был использован формализм трансформеров Крауса. Он

упрощает анализ эволюции системы благодаря тому, что нет необходимости рассматривать

каждое инвариантное пространство гамильтониана отдельно. Простые аналитические

решения системы (15) получаются при допущении резонансного характера взаимодействия

атома с полями резонатора. Также благодаря тому, что времена релаксации атомной и

полевой подсистем существенно превышают длительность взаимодействия, становится

возможным рассматривать эволюцию системы в приближении оператора эволюции.

Совокупность трансформеров Крауса, соответствующих различным результатам

детектирования атома, содержит редуцированный оператор эволюции полевой подсистемы

1K t , а также операторы 1sK t, описывающие квантовые скачки в системе. Показано, что

преобразование КПФ может быть реализовано при помощи оператора 1K t ,

соответствующего детектированию атома в основном состоянии 1A

. Этот оператор

диагонален в базисе состояний Фока.

Исходя из вышесказанного можно сделать вывод, что операция фазового

преобразования очень просто реализуется, когда состояния кубитов представлены числами

фотонов в соответствующих резонаторных модах. Однако, следует отметить, что в этом

представлении реализация детерминированного однокубитового преобразования Адамара

является уже нетривиальной задачей (в силу того, что в ее процессе числа фотонов не

сохраняются). Использование приведенного выше алгоритма дает вероятность реализации

операции Адамара всего 0.5. Однако, эта проблема была разрешена в работе [7], где

предложен алгоритм, состоящий из трех шагов и используется то обстоятельство, что

операторы Крауса не образуют (полу)группу. На первом и третьем шагах алгоритма атом

взаимодействует с квантованным полем, тогда как на втором шаге взаимодействие с

квантовым полем выключается и на том же атомном переходе действует классическое ЭМ

поле.

1. Стин Э. Квантовые вычисления. – Ижевск: НИЦ. «Регулярная и хаотическая динамика»,

2000. 100 с.

2. O’Brien J. L. et. al. Quantum computers // Nature, 2010. V. 464. P 45 – 53.

3 O’Brien J. L. Optical Quantum Computing // Science. 2007. V. 318. P. 1567-1570.

4. Килин С.Я., Квантвая информация // Успехи физических наук. 1999. Т. 169. № 5. с. 507-

527.

5. O’Brien J. L. et al. Photonic quantum technologies // Nature Photonics. 2009. V. 3. P. 687 – 695.

6. Raimond J. M., Brune M., Horoche S., Colloquium: Manipulating quantum entanglement with

atoms and photons in a cavity // Rev. Mod. Phys. 2001. V. 73. P. 565 – 582.

7. Zubairy M.S., Kim M., Scully M.O., Cavity-QED-Based quantum phase gate // Phys. Rev. A.

2003. V. 68. P. 033820-1-6.

8. Chang J., Three-qubit phase gate based on cavity quantum electrodynamics // Phys. Rev. A.

2008. V. 77. P. 012329-1-8.

125

ЗАДАЧА ПРЕСЛЕДОВАНИЯ ОБЪЕКТА МЕТОДОМ ПОГОНИ И

МЕТОДОМ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО СБЛИЖЕНИЯ

Чиркин А.М.

Введение

Задача преследования имеет большую историю, но до сих пор не потеряла своей

актуальности. В связи с развитием ракетной техники и динамики управления летательными

аппаратами ее значимость только возрастает. Нас интересует вопрос о возможности

аналитического решения этой задачи при определенных условиях.

1. Постановка задачи

Будем рассматривать два объекта в пространстве, которые условно назовем

преследуемым и преследующим. Предположим, что траектория преследуемого объекта

известна, его скорость ограничена. Необходимо найти траекторию преследующего объекта

при условии, что модуль скорости его постоянен, и объект использует определенную

стратегию преследования.

Примем следующие обозначения:

вектор-функция g t задает траекторию преследуемого объекта,

вектор-функция f t задает траекторию преследующего объекта,

,f t g t - соответственно, скорости объектов,

v f t - модуль скорости преследующего объекта.

При этом все функции будем считать достаточно гладкими (вплоть до существования

вторых непрерывных производных).

В задаче необходимо для известной вектор-функции g t с начальным условием

0 0g t g найти некоторую траекторию f t с начальным условием 0 0f t f , для

которой существует такой момент времени fint , что выполнено равенство fin fing t f t .

Очевидно, что даже при постоянстве модуля скорости преследующего объекта задача может

иметь неединственное решение. Поэтому для однозначности получаемого решения

необходимо выбирать определенную стратегию преследования. Мы рассмотрим две такие

стратегии.

Введём вспомогательные обозначения:

R t g t f t - радиус-вектор расстояния между объектами,

arccosg t R t

tg t R t

- угол между R t и скоростью преследуемого объекта,

arccos

f t R tt

f t R t

- угол между R t и скоростью преследующего объекта,

126

g t f t - скалярное произведение и g t f t - векторное произведение.

Для краткости будем опускать аргумент t у функций, а начальные и конечные

значения функций обозначать нижними индексами 0 и fin .

Рис. 1. Условные обозначения.

Обратим внимание на определение R t и следующую из неё формулу:

R t g t f t

Умножим скалярно на R и поделим на R : R R g R f R

R R R

.

Отсюда получается, что всегда справедлива следующая формула:

cos cosR g f (1)

Если умножить векторно то же равенство на R , можно получить аналогичную

формулу:

R R g R f R

R R R

.

Тогда, если g t и f t находятся в одной плоскости, то и R находится в одной

плоскости с ними, и справедлива следующая формула:

sin sinR g f . (2)

Здесь - скорость изменения угла при векторе R в направлении R , иными

словами R - это радиальная скорость изменения вектора R . В случае, если векторы

127

g t и f t находятся в одной плоскости, этот угол можно представить в виде суммы

q , где q - угол при векторе g t .

Рис. 2. Взаимосвязь углов

2. Метод погони

Метод погони - самый естественный метод преследования. Он заключается в том, что

вектор скорости преследующего объекта всегда сонаправлен вектору расстояния между

ними, т.е. преследующий объект всегда движется в направлении преследуемого. Тогда

ff R

R

. (3)

Рис. 3. Метод погони

Впервые задача о нахождении так называемой кривой погони была поставлена ещё

Леонардо да Винчи и была решена французским физиком Пьером Бугером в 1732 году для

простейшего случая - движения преследуемого объекта вдоль прямой на плоскости. Сначала

кратко приведём решение, аналогичное решению Бугера. Пользуясь тем, что задача

двумерна, будем искать решение в комплексной плоскости.

128

Итак, предположим, что преследуемый объект движется по прямой Oy из начала

координат с постоянной скоростью a , т.е. g t iat , преследующий объект движется так,

что модуль вектора скорости постоянен 2 2

v x y , где x iy - положение на

комплексной плоскости преследующего объекта.

Запишем уравнение (6) в комплексном виде:

22

x i at yx iy v

x at y

. (4)

Поделим на :

y y at

x x

. (5)

Избавимся от параметра , учитывая, что модуль скорости постоянен:

0

2

1

x

x

dyv t x dx

dx

,

0

2

1 0

x

x

dy a dyx dx y

dx v dx

Для удобства обозначим dy

dx через y . Продифференцировав последнее выражение,

получим уравнение второго порядка для искомой траектории:

21

y a

vxy

. (6)

Проинтегрируем (6) и выразим :

1 1

2

a a

v vy cx xc

(7)

Константу можно найти, подставив в уравнение (7) правую часть уравнения (4) и

начальные условия 0 0y x y , 00

0

yy x

x и положив начальный момент времени 0 0t :

00 0

0

12

a a

v vy

cx xx c

Откуда

1

2 2

0 0 0 0

a

vc x y y x

(8)

Подставив константу, получаем:

.

Исходя из асимптотики задачи при знак при отрицательной степени должен

быть отрицательный в случае, если и положительный, в случае (преследуемый

объект движется в вертикальном направлении вверх и, значит, возрастает при )

129

(9)

Проинтегрируем это выражение. Учитывая, что решение различается в случаях,

если и .

При :

(10

)

При :

(

11)

Очевидно, в данном случае подразумевается . Легко понять, что для

достижения цели необходимо выполнение условия .

Рисунок. 4

На Рис. 4 изображены три линии погони при различных значениях и

фиксированном . На Рис. 5 изображены три линии погони при фиксированном и

различных значениях .

Попробуем найти траекторию преследователя как функцию времени, используя

уравнение (7):

130

0

2

0 0

1 11

a ax v v

x

x xt x c dx

v x c x

.

Откуда

0 0 0

1 1a a

x v v

x

x xt x c dx

v x c x

.

Рисунок. 5

Решение различается в случаях, если и .

При :

(12)

Для этого случая можно выразить через W-функцию Ламберта, обратную к функции

комплексной переменной. Опустив выкладки, приведём результат:

(

13)

При :

(

14)

131

Можно сделать обобщение на пространство , учитывая, что задача решена для

закона движения и начальных условий для преследователя .

Очевидно, что, если преследуемый объект движется по прямой в пространстве, а вектор

скорости преследующего всегда направлен в направлении преследуемого, то движение этих

двух объектов всегда происходит в одной плоскости. Таким образом, можно найти решение

для любых начальных условий, заменив координаты объектов с помощью матрицы

преобразования, производящей поворот и параллельный перенос.

В дальнейшем будет удобнее избавиться от переменной , выражая её через формулу

. Тогда уравнение (3) можно представить в следующем виде

.

(15)

Это дифференциальное уравнение можно привести к интегральному виду:

(16)

Доказательство:

Возьмём производную от функции :

.

Подставив это выражение в формулу (15), получим верное тождество.

Заметим, что по условию (3) в уравнениях (1) и (2) , . Рассмотрим

выражение под экспонентой в уравнении (16).

0 0 00 0 0

cosln ln ln

sin

t t t

t t t

R R Rgdt ctg dt ctg q dt

g R R R

0 0 0

0

00

sinln ln

sin

q q

q q

R Rctg d ctg dq ctg dq

R R

.

Таким образом, получаем

0 0

0

0

sinexp exp

sin

qt

t q

Rk t dt ctg dq

R

. (17)

132

Теперь предположим, что траектория прямолинейна. Тогда , и справедлива

формула

0

0

0

sinexp

sin

t

t

Rk t dt

R

. (18)

Подставив это выражение в (16), получим

(19)

(20)

Теперь поделим (1) на (2), имея в виду , и

Проинтегрируем по :

Сделаем второе ограничение -

Получим выражение для расстояния между объектами:

(21)

Можно получить уравнение для угла , подставив сюда (2):

1

0

0 0

sin1 cos

sin 1 cos

g

R

0

1

0 0

0 0

sin

2 1 cos

g gtg d

R

(22)

3. Метод параллельного сближения

Метод параллельного сближения заключается в том, что в любой момент времени

вектор расстояния между объектами параллелен сам себе, а значит и его производная всегда

параллельна самому вектору.

(23)

133

Кроме того, отсюда следует, что , и в любой момент времени находятся в

одной плоскости и, при этом, . Имея это замечание в виду, в уравнении

(1) выразим угол :

Умножим скалярно на и проинтегрируем:

Отсюда получаем формулу для расстояния в данном случае:

(24)

Рисунок 6. Метод параллельного сближения

Подставим полученный результат в уравнение (23) и получим ответ, так как по

условию задачи известны траектория и скорость . Вычисление интеграла необходимо

проводить для каждого конкретного случая.

(25)

Нетрудно заметить, что необходимым условием существования траектории для

метода параллельного сближения является неотрицательность подкоренного выражения:

(26)

Можно также вычислить время столкновения объектов, приняв в

уравнении (24):

134

(27)

Приведём результат численного счета по методу параллельного сближения

сделанный в системе GNU Octave для произвольной траектории .

В заключение автор выражает благодарность проф. Демину А.В. и доц. Норину А.В.

за постановку задачи и обсуждение результатов работы.

Рисунок 7.


[1] Weisstein, Eric W., “Pursuit Curve.”, March 16, 2008, From MathWorld-A Wolfram Web

Resource. http://mathworld.wolfram.com/PursuitCurve.html.

[2] J. C. Bartona1, C. J. Eliezer, “On pursuit curves”, The Journal of the Australian Mathematical

Society. Series B. Applied Mathematics, 41:03, (2000) (English) doi 10.1017/S03342700000112

http://mathworld.wolfram.com/PursuitCurve.html

http://dx.doi.org/1

Научное издание

ТРУДЫ

студенческого центра

прикладных математических исследований.

Сборник статей

Под редакцией Игоря Юрьевича Попова

Отпечатано в учреждении «Университетские телекоммуникации»

Адрес: 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 49

Documents

ТРУДЫ - mathdep.ifmo.rumathdep.ifmo.ru/files/treatise/ТРУДЫ_2011.pdf · А.Н. Скорынина Спектральный анализ модели ветвящихся