第五章 量子力学的表象变换与矩阵形式

1.量子态的不同表象， 幺正变换

2.力学量的矩阵表示

3. 力学量的表象变换

5.1.1 坐标表象通过坐标变换 , 以引进量子力学中的表象及表象变换的概念 .

表象 : 量子力学中的态和力学量的具体表示方式称为表象 .

x1

x2

x’1

x’2

A1A’1

A2

A’2

A

e1

e2

e’1

e’2θ

θO

平面坐标系 x1 和 x2 的基矢 e1

和 e2 ，长度为 1 ，彼此正交，即 )2,1,( ),( jiijji ee （ 1

）平面上的任何一个矢量都可用它们来展开 ,

2211 eeA AA （ 2）A1 和 A2 表示矢量 A 在两个分量坐标上的投影。

5.1 量子态的不同表象， 幺正变换

假设另一个 x’1x’2 直角坐标系，由 原来的坐标系顺时针旋转 θ 角 , 其基矢为 e’1e’2, 满足

)2,1,( )','( jiijji ee （ 1’）

在此坐标中，矢量 A 表示成

'' 2211 eeA AA （ 2’）

'' 22112211 eeeeA AAAA （ 3）对上式分别用 e’1, e’2 点乘

) '()'(

) '()'(

2221212

2121111

eeee

eeee

AAA

AAA（ 4）

写成矩阵的形式

2

1

2

1

2212

2111

2

1

cossin

sincos

)'()'(

) '()'(

A

A

A

A

A

A

eeee

eeee

（ 5）

2

1

2

1 )(A

AR

A

A

R （ θ ）称为变换矩阵元，是两个坐标系基矢之间的标积。当 R 确定后，任何两个坐标系之间的关系也就确定了。

其转置矩阵表示为

cossin

sincos~R

（ 6）

x1

x2

x’1

x’2

A1A’1

A2

A’2

A

e1

e2

e’1

e’2θ

θO

变换矩阵 R 与其转置矩阵之间的关系为

1~~ RRRR

因为 R ＊ =R ，

（ 7）

5.1.2 Representation Theory ( 表象理论 ) 一个粒子的态完全可由归一化的波函数 ψ(r,t) 来描述，

将 ψ(r,t) 称为坐标表象。下面将讨论用动量为变量描述波函数。 将 ψ(r,t) 还可表示成

dpxtpc

pdxpi

tpctx

p

xx

)(),(

)exp(),()2(

1),(

2/1

在整个动量空间积分。 c(p,t) 为展开系数， ψp(r ) 是动量的本征函数。

),exp()2(

1)(

2/1xp

ix xp

（ 11 ）

（ 12 ）

显然， c(p,t) 描述的粒子态与 ψ(r,t) 描述的粒子态同样完整。 已知 c(p,t) ，就可以求出 ψ(r,t) ，反之也一样。即 c(p,t) 和 ψ(r,

t) 描述的是粒子态同一个状态。因此，将 c(p,t) 称为粒子态的动量表象。

,)(),()2(

1),(

2/1dxxtxtpc p

如果已知 ψ(r,t) 就可以通过上式得到 c(p,t) ，反过来也成立。

,),(),( 3232pdtcrdt pr

（ 13 ）

（ 14 ）

,),())(,( 3 pdtcitc p ppr

那么在动量表象中，坐标的平均值可以表示为

其它观测量的平均值类似可表示出。

,),())(,( 3 pdtcitcp p pp

如果 ψ(x,t) 描述的状态是动量 p’ 的自由粒子的状态

),exp()(),( ' tEi

xtx pp

,)'()()(),(''

'

tEi

p

tEi

p

pp

eppdxxextpc

在动量表象中，具有确定动量 p’ 的粒子波函数是函数。

0,0

0,{)(

x

xAxex

x

例题：一维粒子运动的状态是

解：由于波函数为归一化，首先要对波函数进行归一化

1)(22 dxAxedxx x

33

22

0

22 4,14

1

AAdxexA x

求 1 ）粒子动量的几率分布；

2 ）粒子的平均动量)()!1(

10

0

1 Ndxex x

0,0

0,4{)(

3

x

xxex

x

)()2(

4),(

2/1

3

dxxxetpc px

2

3

dxexe xpx x

)p(

1

2

2

2x

3)(

3

dxxe xpx

)()!1(1

0

0

1 Ndxex x

)p(

1

2)(

2x

3

xpc

动量的几率分布为 )p(

1

2)(

4x

32

xp pcw

动量的平均值为 )(ˆ)(* xpxp

xx exi

xex

ixp

)1(2

)(4

)(ˆ33

dxexxi

xpxp x 22

0

3

)(4

)(ˆ)(

考虑任意力学量 Q 本征值为 1, 2,…, n…, 对应的正交本征函数 u1(x), u 2 (x),… u n (x) …, 则任意波函数（ x ）按Q 的本征函数展开为

),(),( xuatx nn

n

下标 n 表示能级，上式两边同乘以 u*m(x), 并积分

,),()()( dxtxxuta mm

粒子态完全由 an 完全集确定，即能量表象。

（ 16 ）

（ 17 ）

3. 能量表象

dxxuxutatadxtx nmnm

mn )()()()(),( *

,

*2

)()()()( *

,

* tatatatan

nnmnnm

mn

1),(2 dxtx因为

1)()(* tatan

nn所以

2

na 是对应力学量 Q 取不同能量本征值的几率

)..(),...(),(),( 321 tatatata n数列

可表示成一列矩阵的形式

)(

)(

)(

2

1

ta

ta

ta

n

其共轭矩阵为一行矩阵 ),...(),...(),( *

2*

1* tatata n

1因为波函数是归一化的，表示成

例题 1 ：一维谐振子的能量表象中不同能量本征值的波函数

)2

1exp( 24

0 x n=0:

2

10 E

xx )

2

1exp(

2

12 2

1 n=1: 2

31 E

....)2

1exp(

2

12)

2

1exp(

4),( 224 xxxtx

因为系统的波函数是正交归一的波函数，表示为

直角坐标系中，矢量 A 的方向由 i,j,k 三个单位矢量基矢决定，大小由 Ax,Ay,Az 三个分量（基矢的系数）决定。

在量子力学中，选定一个 F 表象，将 Q 的本征函数u1(x), u2(x),… un(x),… 看作一组基矢，有无限多个。大小由 a1(t), a2(t), …an(t),… 系数决定。

所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的空间函数，基矢是正交归一的波函数。数学上称为希尔伯特（ Hilbert ）空间 .

常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象

总结

例题 2 质量为 m 的粒子在均匀力场 f(x)=-F(F>0) 中运动，运动范围限制在 x0, 试在动量表象中求解束缚态能级和本征函数。

解： 势能为 V （ x ）＝ Fx ， 总能量为

Fxm

PVTH

2

2

在动量表象中， x 的算符表示为

xpi

p

x

ex

2/1)2(

1)(

)()2(

1)(

2/1xx

iex

ix

dp

dp

xpi

p

x

dp

dix ˆ

dp

dFi

m

PFx

m

PH

22ˆ

22

定态的薛定谔方程

)()()(2

2

pEpdp

dFip

m

p

)

6(exp)(

3

Epm

p

F

iAp

E 可由贝塞尔函数解出，基态能级为

3/122

1 )(8558.1m

FE

习题 4.1 求在动量表象中角动量 Lx 的矩阵元和 L2x 的矩阵元

)(y

zz

yipzpyL yzx

解： Lx 在动量表象中的矩阵元

rdrpzpyrrdrLrL pyzppxpxpp3

'*3

'*

' )()ˆˆ)(()(ˆ)(

rdez

yizpypxp

i

pzyx 3)'''(*

2/3)(

)2(

1

r

第一项

rdeypi

izpypxp

i

zpzyx 3)'''(

2/3*

)2(

1')(

r

'')(')( 3'

*ppzpzp yprdyp rr

第二项也可以导出，则 Lx 的矩阵元

rdrzpyprL pyzpxpp3

'*

' )()'')((

rdrpzpyr

dxxLxL

pyzp

pxpxpp

3'

2*

'2*

'2

)()ˆˆ)((

)(ˆ)(

4. 2 算符的矩阵表示设算符 F 有如下关系 ：

),(),(ˆ txtxF

在 Q 表象中， Q 的本征值分别为 Q1 ， Q2 ， Q3 ，…Qn…, 对应的本征函数分别为 u1(x), u2(x),… un(x),….

将 (x,t) 和 (x,t) 分别在 Q 表项中由 Q 的本征函数展开

),(),( xuatx mn

m

),(),( xubtx mm

m代入上式，

),,(),(ˆ txtxF

)(xub mm

m ),(ˆ xuaF mm

m

两边同乘以 u*n(x), 并在整个空间积分

dx )()(* xuxub mm

nm )()(ˆ)(* dxxutaFxu mm

mn利用本征函数 un(x) 的正交性

)( tbb nm

nmm )( )(ˆ)(* tadxxuFxu mmm

n

引进记号

)(ˆ)(* dxxuFxuF mnnm )( ˆ)(

nm

taFtb mm

n

这就是 ),(),(ˆ txtxF 在 Q 表项中的表述方式。表示成矩阵的形式：

)(

)(

)(

)(

2

1

2221

1211

2

1

ta

ta

FF

FF

tb

tb

（ 23 ）

矩阵 Fnm 的共轭矩阵表示为

)](ˆ)[( ** dxxuFxuF mnnm 因为量子力学中的算符都是厄米算符，

dxxuxuFdxxuFxuF nmmnnm )()](ˆ[ )](ˆ)[( ***

)(ˆ)(* dxxuFxu nmmnnm FF *

即

将满足该式的矩阵称为厄米矩阵

nmmnmn FFF **)~

(

若在转置矩阵中，每个矩阵元素用它的共轭复数来代替，得到的新矩阵称为 F 的共轭矩阵

nmmn FF ~Fnm 的转置矩阵为

mnnm FF *根据厄米矩阵的定义

所以 mnmn FF

5112 F 2112 5

1~FF

例如

*21*

**

12125

1)

~( FFF

例如

例题 （习题 4.2 ）求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元

能量表象 xa

n

a 2sin

1 2

222

8 a

nEn

xdxa

mx

a

nx

axdx

a

mxx

a

n

axmn )

2sin()

2sin(

1)

2sin(ˆ)

2sin(

1

xdxa

xa

x 2

sin1 2

11

xdx

ax

ax

ax

2

2sin

2sin

112

xdxa

xa

xa

x2

sin2

2sin

121

xdx

ax

ax

222 sin

1

xdxa

m

xx

a

n

a

ixp

mn)

2sin()

2sin()(

dxxa

mx

a

n

a

im)

2cos()

2sin(

2 2

xdxa

xaa

ip

2cos

2sin

2 211

xdxa

xaa

ip

2

2cos

2sin

212

xdxa

xaa

ip

2cos

2

2sin

2 221

xdx

ax

aa

ip

2

2cos

2

2sin

222

(x)dx)((x)dx)( mnmn uQxuQuxuQ mnm

Q 在自身表象中的矩阵元

)()( xuQxQu mmm

Qm 为 Q 在自身空间中的的本征值

nmmm QuxuQ (x)dx)( mn

如 X 在坐标空间中可表示为

)'(' xxxxmn

)'('dx(x)')( pp' ppppxp 动量 p 在动量空间中表示为

结论：算符在自身的表象中是一个对角矩阵

一维无限深势阱能量表象中能量的矩阵元

00

00

2

.1

E

E

Emn

一维谐振子能量表象中能量的矩阵元

02

50

002

3

mnE

两个矩阵的和为两个矩阵的分量之和。设 C 为两矩阵之和

Cmn=Amn ＋ Bmn （ 42 ）

两矩阵之积 k

knmkmn BAC

矩阵 Fpp’ 是动量空间。矩阵 F ＝（ Fmnδmn ）称为对角矩阵（ diagonal matrix ） ,

当 Fmn=1, 称为单位矩阵（ unit matrix ） , 表示为 I ＝ (δmn).

在动量空间中，算符 F 的矩阵元

dx(x)ˆ)( pp'' FxF PP

4.3 量子力学公式的矩阵表述1. 平均值公式

nnn xutatx )()(),(

m

mm xutatx )()(),( ***

dxxutaFxutatxFtxF nnm

nm

m )()(ˆ)()(),(ˆ),( *

,

**

)()(ˆ)()( *

,

* tdxaxuFxuta nnm

nm

m

nm

nmnm taFtaF,

* )()(

写成矩阵形式

)()(

)...(),...(),( 2

1

2221

1211**

2*1

tata

FF

FF

tatataF m

（ 51 ）

简写为 FF

例题 求一维无限深势阱中，当 n=1 和 n=2 时粒子坐标的平均值

解： xaa

xaa 2

2sin

1

2sin

1*

xdxa

xa

x 2

sin1 2

11

xdxa

xa

xa

x2

2sin

2sin

112

xdxa

xa

xa

x2

sin2

2sin

121

xdx

ax

ax

222 sin

1

)()(

)...(),...(),( 2

1

2221

1211**2

*1

tata

xx

xxtatatax m

2. The Eigenvalue Problem

在量子力学中最重要的问题是找算符的本征值和本征函数。

首先，算符 F 的本征函数满足

)()(ˆ xxF （ 54 ）

（ 55 ）

)()(

)()(

2

1

2

1

2221

1211

tata

tata

FF

FF

0)()(

2

1

2221

1211

tata

F

FF

FF

nn

0)()( n

nmnmn taaF

有非零解的条件是其系数行列式为零

0)det( knkn aA

（ 60 ）

这是一个线性齐次代数方程组

0

21

22221

11211

nnnn

n

n

FFF

FFF

FFF

这是一个久期（ secular ）方程。将有 1 ， 2 …. n n 个解 ,就是 F 的本征值。

例题： 求算符 x 在下面波函数中的本征值 , [-a,a]区间

解： 2

00

* 11x

ax

a

则 ,1

)()()()(0

*22

*11 a

tatatata

0ˆ11 dxxxxxa

a

5212 5

2ˆ adxxxxx

5221 5

2ˆ adxxxxx 0ˆ 22

22 dxxxxx

0

0

0

0

5

5

1

1

1

1

05

25

20

a

a

a

a

a

a

01

1

5

25

2

0

0

5

5

a

a

a

a

该行列式有解的条件是其系数行列式为零

102

25

4a 两个本征值分别为

5

5

2a

3. 矩阵形式的薛定谔方程

The Schrödinger Equation in Matrix Form薛定谔方程

Ht

i ˆ

（ 77 ）不显含时间的波

函数的能量表象 nn EH ˆ （ 78 ）

波函数根据哈密顿本征函数展开

n

nn xutatx )()(),( （ 79 ）

代入薛定谔方程

)()(ˆ)( xutaHxut

ai nn

nn

n

n

（ 80 ）

两边同乘以 mu 并积分

)()(

taHt

tai mmn

n

m

（ 81 ）

（ 82 ）

)()(ˆ)()()( ** tadxxuHxudxxuxut

ai n

nnmnm

n

n

)(

)()()(

2

1

2221

1211

2

1

tata

HH

HH

tata

dt

di

Hdt

di 简写为 H ，均为矩阵元。

例题： 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数

线性谐振子的总能量为

222

2

1

2xm

m

pH x

解法一：在动量表象中，x 的算符表示为： dp

dix ˆ

则 H 算符表示为 2

22

22

22ˆ

dp

dm

m

pH

定态的薛定谔方程写为

)()(2

1)(

2 2

222

2

pEcpcdp

dmpc

m

p

c （ p ）是动量表象中的本征函数

0)()2

(1

)(2

2

222

22

pcm

pE

mpc

dp

d

m

仿照一维谐振子坐标空间的求解方法可解出 c(p) 。

解法二 ,)(),()2(

1),(

2/1dxxtxtpc p

,)()2(

1),(

22

2

1

2/1dxexHeNtpc

xpi

n

x

n

x

,)()2(

),()

2

1(

2/1

22

dxxHeN

tpc n

xpi

xn x

当 n ＝ 0 时，

1)2(

),()

2

1(

2/10

0

22

dxeN

tpcxp

ix x

2)2(

),()

2

1(

2/11

1

22

xdxeN

tpcxp

ix x

讨论从一个表象变换到另一个表象的一般情况。

设算符 A 的正交归一的本征函数 ψ1(r ) ， ψ2(r ) ，… ψn(r );

设算符 B 的正交归一的本征函数 1(r ) ， 2(r ) ，… n(r ); )()(ˆ rr nnn AA （ 6

4 ）

)()(ˆ rr BB （ 66 ）

1. Unitary Transformation （幺正变换）

dVFrF nmmn ˆ)( （ 65 ）

算符 F 在 A 表象中

dVFrF ˆ)( （ 67 ）

算符 F 在 B 表象中

确定 Fmn 与 F 之间联系的转换矩阵。

将算符 B 的本征函数 (x) 用算符 A 的本征函数 n(x) 展开。

nn

nS

两边同乘以 并积分得

m

mnn

nm Sdx （ 69 ）

（ 68 ）m

m

mS ***

dxS nn 同理 dxS mm *

n

nmnnn

nmm

dVFSSdxSFSF mm ˆˆ

n

nmnSFSF m

（ 70 ）

dVFrF ˆ)(

)()( mm SS （ 71 ）

应用厄密共轭矩阵性质 nmmn LL

得到算符在两个表象中的变换矩阵

nmn

mnm SFSF )()()()(,

简写为 SFSF AB

这就是力学量 F从 A 表象变换到 B 表象的变换公式。

（ 72 ）

dVSSdVn

nnm

mm

m m

mmmm SSSSSS )(

因为 ψ 和 φ 都是正交归一的波函数，

nn

nS （ 68 ）m

m

mS ***

mn

mnnm SS,

S 与 S+ 的积等于单位矩阵。即SS+ ＝ I, S+ ＝ S-1

（ 74 ）

将满足上式的矩阵称为幺正矩阵 , 由幺正矩阵表示的变换称为幺正变换 .

物理意义 :

在不同的表象中几率是守恒的。如果一个粒子在态 φn 中的几率为 1 ， 在态 ψn 中的几率为 Sμn2,那么 , Sμ12, Sμ22,…, Sμn2,…

给出粒子在态 ψn 中出现的几率分布。下面的式子必定成立。

12

nnn

nn SSS

（ 75 ）

例题： 求转动矩阵 R( ）的特征值、特征矢量和幺正变换矩阵 .

cossin

sincos)(R解：设在 A 表象中

B 表象中特征矢为

2

1

b

bB 本征值为

2

1

2

1

cossin

sincos

b

b

b

b

ii ee 21 , 代入原方程，求解 b1 、 b2

12

1,,1, 121

iBbib 归一化当＝

ie

＝ ie

iBibb

1

2

1,,,1 221 归一化

变换矩阵

i

iBBS

1

1

2

121

i

iS

1

1

2

1

下面讨论态矢量 u(x,t)从 A 表象变换到 B 表象的公式

)()(),( xtatxu nn

n

)()(),( xtbtxu

dxtxuSx mmm

),()( **

)(* taS mmm

)(taS mmm

b=S+a

dxtxuxtb ),()()( * m

m

mS ***

总结：幺正变换的性质

1 ）幺正变换不改变算符的本征值

设算符 F 在 A 表项中的本征值方程为

aa AF a 为态矢

aSSFSbSFSbF AAB111 )()(

将 F 和 a从 A 表象变换到 B 表象 SFSF AB1

在 B 表象中 因为 b=S+a ＝ S －

1a

baSaSaFS A 111 bbFB

2 ）幺正变换下， 矩阵的迹（ trace) 不变。用 TrF 表示，定义为矩阵的对角单元之和。那么

TrFA=TrFB, 矩阵的积不依赖于特别的表象。

5.4 狄喇克符号

在经典力学中，体系的运动规律与所选取的坐标是无关的，坐标是为了处理问题方便才引进的。

同样，在量子力学中，粒子的运动规律与选取的表象无关，表象的选取是为了处理问题方便。

在经典力学中，常用矢量的形式讨论问题，并不指明坐标系。

同样，量子力学中描述态和力学量，也可以不用坐标系。

这样一套符号称为狄喇克符号。

1.右矢 (ket) > 和左矢（ bra ） <

左矢 < 表示右矢的共轭，例如 ψ ＊，表示为 <ψ ，是 ψ> 的共轭态矢。 <x´ 是 x´> 的共轭态矢。

量子体系的一切可能的态构成一个 Hilbert 空间， Hilbert 是一个以复量为基的一个有限的或无限的、完全的矢量空间。

< ψ φ > ＊＝ < φ ψ >

2. 标积

在 Hilbert 空间中。一个标积 (scalar product) 定义为一对函数 ψ和 φ 的乘积。标积记为 <ψφ>

一个量子态用右矢 > 来表示。例如用 ψ> 表示波函数 ψ 描述的状态。

标积运算规则： )(dV)(dV .1 *

)dVbdVa)dVb(a

or baba .2

2*

1*

21*

2121

若 <ψφ> ＝ 0 ，则称 <ψ 与 φ> 正交。若 <ψ ψ > ＝ 1 ，则称 ψ> 为归一化态矢。

mnmnm d .3 n*

表示态矢是正交归一的完备系

例题：轨道角动量 l=rp ，证明在 lz 的任何一个本征态下， lx 和 ly 的平均值为零

证明：设 m 为 lz= 的本征态，属于本征值状态为 m

mzmmmzmlml ,

因为对易关系xyzzy lillll

态下求平均值在 m

myzmmzymx llllli

0 mymmym lmlm

类似地，利用对易关系 yzxxz lillll

可以证明 0, ym l态下在

|A> 在 Q 表象中的分量为 a1(t), a2(t),..,

<B| 在 Q 表象中的分量为 b1(t) ＊ , b2(t) ＊ ,..,

n

nnbababaAB **22

*11

显然， BAAB

若算符 F 的本征组态矢是正交归一的，本征值分别为 Fi,Fj,…

ijji FF 若算符 F 的本征态矢是连续谱，

)'(' FF

2. 态矢在具体表象中的狄喇克表示方法

)'(' xxxx

坐标 x 的本征态矢正交归一的条件是，

)'(' pppp

动量 p 的本征态矢正交归一的条件是，

1),(),( * dxtxtx

波函数的归一化性表示为

因为波函数（ x,t ）可以用一组基矢展开)(),(

nnn xuatx

1,

*

,

* nm

nmnnm

m nmaaanma因为

这种性质称为本征值 n 的封闭性。

n

n na用狄喇克形式表示为

1n

nnmnnm

展开系数为 nan

n

n na

nan 将 代入上式，得

nnn

n nnnnna

,Inn 称为投影算符或单位算符

在连续谱的情况下，求和应换为积分

1'' xxdx 1''' ppdp

例题：两个态矢 |A> 和 | B> 在同一个表象 Q 中的标记

nanAnnA nnn

nbnBnnB nnn

naBnAnnBAB nnn

*)(

...

)(

)(

)...)()(( 2

1*

2*

1

*ta

ta

tbtbab nn

n

3. 算符在具体表象中的狄喇克表示方法

设算符 F存在如下关系 AFB ˆ

将态矢 A 、 B 分别在 Q 表象中展开

AnnAn BnnB

n

AnnFBnnnn ˆ

用 |m>左乘上式，再利用正交性

AnnFmBnnmnn ˆ

AnnFmBmn ˆ

nFmFmnˆ则 称为算符 F 在 Q 表象中的

矩阵元

nn

mnm aFtb )(

n

mFnnABmmB ˆ)( *

例题 薛定谔方程 EH ˆ 表示为

Ht

i ˆ

两边左乘以 < k |,

nnHkHkkt

i ˆˆ

kknk aHat

i

例题：对于（ l2,lz ）的共同本征态 Ylm(,), 计算 lx2 ly

2 的平均值，

对易关系xyzzy lillll

lmllllllmli xyzzyx )(2

lmlllml 22 )1( 解：

lmmllmlmmlml zz ,

lmllllmlmllllm xyzxzy

lmlllmmlmlillllm xyyzxy )(

lmlllmmlmlilmlmllllm xyyzxy )

lmlilm

lmlllmmlmlilmlmlllmm

y

xyyxy

)

)2

2

由于 2222222 )1( mllllll zyx

])1([2

22

22 mllll yx

FF̂例题 设算符 F 和 G 为任意算符，且

证明，对于 F 的本征态， GFFG 证明 设为 F 的本征态，本征值为，则有

F̂

两边取复共轭 F̂

FF̂ F̂

GFFG ˆˆ GG

GGFGGF ˆˆˆ

5.5 谐振子的升降算符

),()( 2/2

nnn HeN

一维谐振子的归一化本征函数为（ 43 ）

（ 44 ）

11 2

1 nnn HnHH

H 多项式有如下关系存在

11 2

1

2

nnn

nn

nnn

n

122 （ 4

6 ）

（ 45 ）

)(2 1 nn nH

d

dH

11 2

1

2

nnn

nn （ 4

7 ）得到

减去（ 44 ）式 11 2

1

2

nnn

nn （ 44 ）

（ 44 ）与（ 47 ）式相加减，得

1)(2

1

nn n

11)(2

1

nn n

（ 48 ）

做如下替代

a)(2

1

a)(2

1

（ 4

9 ）

(48) 式变为 11 1 ,

nnnn nana （ 50 ）

将 â 称为降幂算符 (lowering operator), 将 â+ 称为升幂算符 .

1

nn na

由于本征值 n 是谐振子波函数的指数因子 , 因而我们定义一个数算符 N(number operator)

nn n ,

NaaN （ 52 ）

的本征值是 n, 本征函数是 ψn,

（ 51 ）nnn nanaa

1

2. Properties of the Operators â and â+

算符 â 和 â+相互共轭的 .

（ 51 ）

â 和 â+ 是实数 , 存在 â = â*, â+= (â+)*

（ 52 ）

11 1 ,

nnnn nana

（ 53 ）

用狄喇克算符表示为

1ˆ nnna

11ˆ nnna

（ 54 ）

1ˆ nxnnax

11ˆ nxnnax

通过进行 â +ψn 运算 ,我们可以计算从基态开始的所有本征函数

（ 56 ）

对 n ＝ 0, 00ˆ a 10ˆ a

11 1 ,

nnnn nana

（ 57 ）

2121ˆ a

332ˆ a

0)ˆ(!

1 nan

n

a)(2

1

a)(2

1

两式相加、减

),(2

1 aa

),(2

1

aa

xmx / ),(2

)(2

1 aam

aax

),(2

)(2

aam

aax

),(2

)(2

ˆ aam

iaam

ix

ipx

222

2

1

2xm

m

pVTH

),(2

aam

x

),(2

ˆ aam

ip

222 )ˆˆ(22

1)ˆˆ(

22

1

aam

maam

mH

)ˆˆˆˆˆˆ(4

)ˆˆˆˆˆˆ(4

2222 aaaaaaaaaaaa

)ˆˆˆˆ(2

aaaa

nnn nanaa

1

nnn nnanaa 111 1

nnn aanaaaa )12()12()(

nn aaaaH )2

1()12(

2ˆ

naaH )2

1(ˆ

)2

1()

2

1(

NaaH

)2

1(

)2

1(

nE

ENH

n

nnnn

由此可计算出能量本征值

例题 对于谐振子的能量本征态 |n> ，计算 x, p ， x2 ， p2 的平均值及 x 、 p 。

),(2

aam

x解：因为 ),(

2ˆ aa

mip

)111()( 11 nnnnCnaaCnx

)111()(ˆ 22 nnnnCnaaCnp

0)111(1 nnnnnCnxnx

利用正交性，同样得到 0p

),12()(2

2221

22 naaCaam

x

),12()(2

2222

22 naaCaam

px

利用正交性，得到 0,022 nannan

)2

1(22 n

mnxnx

)2

1(22 nmnpnp

)2

1()( 222 n

mxxx

)2

1()( 222 nmppp

)2

1( npx

对于基态， n=0 ，刚好是测不准关系的下限

4. Interpretation of â and â+

我们知道谐振子的能量是等间隔的 , ψn 所具有的能量大于 nħω,

将该能量分成 n份，一份称为声子 (phonons), 那么将 ψn 称为 n声子态 (n-phonon state),

n 中表示声子数 ,

0 零声子态 (zero-phonon state) ，称为真空 .

11 ,1

nnnannna （ 66 ）

解释 : 如果 â 作用于波函数 , 则湮灭 (annihilate) 了一个声子 ,

因而称为 â湮灭算符 ; â+ 作用于函数 , 则产生一个声子 , â+产生算符 .

由于nnnN

N 称为声子数算符 (phonon number operator),

（ 67 ）

谐振子波场中的量子正是声子 . 如果与光子相类比的话 , 就更清楚了 .

â |3> Annihilation of a phonon

â +2 |1> Creation of two ohonons

谐振子的能级和声子的湮灭、产生示意图

En/ħω7/2

5/2

3/21/2

x

计算［ a,a+］ , ［ a,a+a］ , ［ a+,a+a］

5.6 力学量随时间的演化

厄米算符 L 其平均值为 dVLL ˆ （ 1 ）

因为波函数和算符都是时间相关的， 则平均值也是时间相关的。

dVt

LLt

dVt

LL

dt

d)ˆˆ(

ˆ （ 2 ）

第一项表示算符 L 的瞬时偏导数的平均值， 第二项积分则利用

（ 3 ）

Hi

tH

i

tˆ ,ˆ

应用算符 H 的厄密性得到

H=E

dVLHi

dVt

LL

dt

d ]ˆ,ˆ[ˆ

（ 4 ）

简化为

]ˆ,ˆ[ LHi

t

LL

dt

d

（ 5 ）

结论： 平均值随时间的变化就等于 的平均值。L̂ dtLd /ˆ

若 L 不显含时间，即 0t

L （ 6 ） ]ˆ,ˆ[ LHi

Ldt

d

0],[ HL如果 则 0dt

Ld

6.2 Ehrenfest’s Theorem

考虑坐标、动量的时间导数都不显含时间，则下式成立

]ˆ,ˆ[ˆ

xHi

dt

xd

]ˆ,ˆ[ˆ

xx pH

i

dt

pd

对其它分量， 有类似的成立。为了考察它们的对易性，我们考虑粒子在一个势垒中，其哈密顿量为

),,(ˆ)ˆˆˆ(2

1ˆ 222 zyxVpppm

H zyx

]ˆ)ˆ(ˆ[2

1],ˆ(

2

1],ˆ[ 22

xxxx pxipxpm

xpm

xH

x

V

ipzyxVpH xx

ˆ]ˆ),,,(ˆ[]ˆ,ˆ[

x

V-

dt

p̂d ,

ˆ x

m

p

dt

xd x

位置和动量之间的关系与经典力学中的坐标与动量之间的关系一致。

]ˆ,ˆ[ˆ

xHi

dt

xd

]ˆ,ˆ[ˆ

xx pH

i

dt

pd

m

p

ipxpippxi

mx

xxxx

ˆˆˆˆ)ˆ[(

2

1 2

xxx F

m

p

dt

xd

x

V-

dt

p̂d ,

ˆ x

形式与经典的牛顿方程相似。

对三维的位置和动量，有

)()(V

-dt

d , rr

r

pv

prFV

mdt

d

这就是 Ehrenfest’s theorem

)(dt

d

2

2

rpr

Fdt

dm

6.3 Laws of Conservation

则该算符对时间的导数为零，其运动可视为常数 , 即匀速运动。

]ˆ,ˆ[ˆ

LHi

t

L

dt

dL

如果一个算符本身不显含时间， 即 0/ˆ tL

0]ˆ,ˆ[ LH它又与 H 对易，

算符 H 是总能量算符，显然 H 与它本身对易。即使它显含时间 , 其运动仍为常量，这就是能量守恒定律。

匀速运动的算符对我们量子力学的进一步学习非常重要。

1. 守恒量

动量算符 P 不显含时间，如果 V ／ x=0, 则tconspx tanˆ

称为动量守恒定律 .

对中心力 , 势能只是半径 r 的函数 , 角动量算符2

,22ˆ

L

与势能 V(r ) 对易。整个哈密顿量为)(2/ˆˆˆ 2 rVmrLTH

因此 有 0]ˆ,ˆ[ 2 LH 角动量守恒定律成立。

还可得出 0],ˆ[0],ˆ[ 2 ZZ LHLL

2. The Virial Theorem

位力定律是从动能算符和势能的平均值得到的公式

)(ˆ2 rr VT

既在经典力学中成立，又在量子力学中成立。在经典力学中，

的瞬时平均值在周期运动中为零。p r 时间导数 t d/ ) (p r

在量子力学中， 我们考虑 的表观值。t p r d/ ) (

0 ] , [1

Hi dt

d

dt

dp r p r p r

最后一个等式证明如下

0ˆ)(

ˆˆ]ˆ,ˆ[

EE

EEEE

EE

EEH

pr

prprpr

0)((2

)()ˆˆˆ(

),,(2

ˆˆˆ,ˆˆˆ]ˆ,[

222

222

rVriTi

z

Vz

y

Vy

x

Vxippp

m

i

zyxVm

ppppzpypxH

zyx

zyxzyx

pr

得到位力定律。我们注意到，从 得到的结果一样，因为它们都与 H 算符对易。如果是势能为球对称势阱。有位力定理得到

rppr ˆˆ开始与

VnT 2 对所有的 n 都成立 , 当然 <|V|> 的表观值存在 .

)(ˆ2 rr VT

The Schrödinger Representation

前面我们应用了与时间相关的态函数 ψ(r,t) 描述物理系统的动力学演化，这样，我们将不显含时间 的力学量的平均值及几率分布随时间的演化，完全归为波函数随之间的演化。而力学量算符则不随时间变化， 因而应用算符来描述不显含时间的物理量，我们将这种描述方式称为薛定谔表象或薛定谔图像。

))(),(()( tLttL

H

ti ˆ

],[1

)( HLidt

Ldmn

波函数和算符不是实际观测的对象，实际观测的对象为波函数的几率分布和平均值的变化。

为了解释这两种不同的表象，我们有时也称为图像。我们来看算符 L 的矩阵元

在描述一个系统时，这两个表象是完全等价的。它们有同样的表观值、同样的谱。从一个表象转变为另一个表象由时间相关的幺正矩阵实现。

The Heisenberg Representation

The Heisenberg Representation( Heisenberg Picture ) 是薛定谔图像的逆过程。波函数不随时间变化，算符却随时间变化 即由与时间相关的算符来描述物理系统的动力学演化过程。

dVtrLtrL nmmn ),(ˆ),()(

)exp()(),( tEi

t mmm rr

dVrtEEi

Lr

dVtEi

rLtEi

rtL

nnmm

nnmmmn

)(])(exp[ˆ)(

)exp()(ˆ)exp()()(ˆ

dVrtLrL nHmmn )()(ˆ)(ˆ

对波函数，我们写出它的能量表象

定态的时间相关性与指数因子有关，将（ 93 ）代入到（ 92 ）

（ 92 ）

（ 93 ）

（ 94 ）

（ 95 ）

在推导过程中矩阵元并没有发生变化，（ 92 ）和（ 95 ）只是时间相关性不同，（ 92 ）中式波函数与时间相关，而（ 95 ）是算符与时间相关。