1

第十章 比例問題的推論

陳順宇 教授成功大學統計系

2

一組樣本比例的推論( 小樣本情形 )

3

例 10.4 、• 小華以擲此銅板實驗的數據作決策， 他擲此枚銅板 10 次，結果出現 8 次正面• 是否就表示我們所懷疑 〝此枚銅板出現正面的機率偏高〞 成立呢？• 也就是判定此枚銅板出現正面的機率 確實偏高呢？

4

令 n 次中投中次數為 X ，即

n

iiXX

1

5

X 是二項分配

),(~ pnBX

6

單尾檢定

5.0:

5.0:

1

0

pH

pH

7

我們懷疑〝此枚銅板不公正〞是不能成立

)5.0|8( pXP 101010

19109

28108 )5.0()5.0()5.0()5.0()5.0( CCC

101010

109

108 )5.0)(( CCC

0547.01024

56

1024

11045

8

(1) 例 10.2 ，投 10 球進 3 球，則 P 值

P 值 = )5.0|7()5.0|3( pXPpXP

= 8291100 )5.0()5.0()5.0()5.0()5.0()5.0(2

10

1

10

0

10

+ 283773 )5.0()5.0()5.0()5.0()5.0()5.0(8

10

7

10

3

10

+ 01019 )5.0()5.0()5.0()5.0(10

10

9

10

= 10)5.0(23

10

2

10

1

10

0

10

= 34375.01024352

1024)12045101(2

9

(2) 例 10.3 ，投 10 球只中 1 球

P值= 0219.0)5.0(1

10

0

102 10

10

例 10.5、 (例 10.2續 )

• 譽仁告訴他爸爸說他的 3 分球 命中率是 50% ，• 如果他爸爸懷疑譽仁是吹牛， ( 即認為譽仁 3 分球命中率不到 0.5) ，• 要譽仁投 10 球，結果 10 球命中 3 球， 是否有證據說明譽仁是吹牛的？

11

左尾檢定

5.0:

5.0:

1

0

pH

pH

12

P 值

P值 10)5.0(3

10

2

10

1

10

0

10

176.01024176

13

• 因 P 值 > 0.05 ， 所以沒有證據說譽仁的 3 分球 命中率不到 5 成

14

10.2 一組樣本比例的推論( 大樣本情形 )

)1 ,0(~ˆ

)1(N

pP

npp

15

p的1信賴區間 (ep̂ , ep̂ )

nppze )ˆ1(ˆ

2/

16

例 10.6 、• 如果譽仁在 3 分球線外投 100 球中 30 球 求譽仁 3 分球命中率 p 的 95% 信賴區間

17

由 10030p̂ 0 . 3 及 公 式 ( 1 0 . 6 ) 式 ， 得 誤 差 界 限 e 為

0898.096.1 100)7.0)(3.0( e

故 由 ( 1 0 . 5 ) 式 ， p 的 9 5 % 信 賴 區 間 為

( 0 . 3 - 0 . 0 8 9 8 , 0 . 3 + 0 . 0 8 9 8 ) = ( 0 . 2 1 0 2 , 0 . 3 8 9 8 )

18

虛無假設

00 : ppH

19

在虛無假設00:ppH為真下

)1,0(~/)1(

ˆ

00

0 Nnpp

pp

20

(1)左尾檢定

01 : ppH

21

左尾檢定的棄卻域

zz

22

npp

ppz

/)1(

ˆ

00

0

23

(2)右尾檢定 檢定成功的機會p是否大於0p，即對立假設為

01: ppH

右尾檢定的棄卻域為

zz

(10.9)

其中z為(10.8)式。

24

(3)雙尾檢定 檢定成功的機會p是否等於0p，即對立假設為

01: ppH

雙尾檢定的棄卻域為

2/|| zz

(10.10)

其中z為(10.8)式。

25

例 10.7 、 (例 1.9 續 )

• 試檢定台南市成年市民中教育程度大專( 及以上 ) 所佔比例高於 4 成 ?

26

檢定

4.0:

4.0:

1

0

pH

pH

27

5772.00693.0

04.0

50/6.04.0

4.044.0

z

28

沒有證據說台南市成年市民大專 ( 及以上 ) 的教育程度

所佔比例高於 4 成

因 645.15772.0 05.0 zz

29

例 10.8、• 假設小華擲 100 次此枚銅板， 結果擲出 80 次正面， 請問： 是否有證據說此銅板出現正面的 機率高於 0.5 ？

30

)5.0|80( pXP 100100100

10081

10080 )5.0)(...( CCC

101056.5

31

註 1： 以 第 六 章 6 . 4 節 常 態 分 配 校 正 公 式 求 二 項 分 配 之 近 似 值

)5.0|80( pXP )5.05.0100

5.05080

5.05.0100

50(

XP

9108.1)9.5()5

5.29( ZPZP

與 二 項 分 配 機 率 值 到 小 數 點 後 第 8 位 都 一 樣 為 0 。

32

註 2：• 如果擲的是一個出現正面的機率為 0.6 的銅板 100 次，

• 它會出現 80 次 ( 或以上 ) 正面的機率是多少？

33

機率值 )6.0|80( pXP

))6.0(...)4.0()6.0()4.0()6.0(( 100100100

198110081

208010080 CCC

= 0 . 0 0 0 0 1 6

34

以常態分配校正公式求二項分配之近似值

)6.0|80( pXP )4.06.0100

5.06080

4.06.0100

60(

XP

000034.0)98.3()899.4

5.19( ZPZP

35

例 10.9 、有人懷疑某銅板是不公正的 ?

5.0:

5.0:

1

0

pH

pH

36

• 假如他擲此銅板 10 次， 結果出現正面 9 次• 試問 H0是否顯著？ 又 P 值是多少？

37

有證據說銅板是不公正的

P 值= )9(2)9.0(̂2 XPpP

101010

109 )5.0)((2 CC

05.0022.01024/221024/)110(2

38

註 1：如以大樣本計算 z 值

10

5.05.0

5.09.0

)1(

ˆ

00

0

n

pp

ppz 025.096.153.2108.0

5.0

104.0z

39

註 2：如以大樣本計算 P 值

P 值= 0114.0)53.2|(|)108.0|(| ZPZP

40

例 10.10 、• 大華公司產品不良率高達 10 ％， 公司提出改善計畫後• (1) 由生產線隨機抽樣 400 個產品， 得樣本不良率為 8% ， 試檢定此改善策略是否有效 ?

41

• (2) 若抽樣 400 個產品， 試問樣本不良率要多少以下 才能有證據說改善策略有效 ?

42

(1) 檢定此改善策略是否有效 ?即檢定

1.0:

1.0:

1

0

pH

pH

43

(a) 檢定

n

pp

ppz

)1(

ˆ

00

0

400

9.01.0

1.008.0

33.13.0

)02.0(20

44

沒有證據說改善策略有效

645.133.1 05.0 zz

45

(b) P 值

P 值= )32()08.0400( XPXP

kk

kkC

40032

0

400 )9.0()1.0( )36

4032

9.01.0400

1.0400(

X

P

0918.0)33.1()3

4( ZPZP

46

即沒有證據說改善策略有效

因05.00918.0，所以0H不顯著

47

(2) 若抽樣 400 個產品，則檢定的 z 值

)1.0ˆ(3.0

20

4009.01.0

1.0ˆ

pp

z

48

也就是抽樣 400 個產品，樣本不良率要在 0.075 以下，才能有證據說改善策略有效

645.1)1.0ˆ(3.0

20 p

20

3.0645.11.0ˆ p

即 樣 本 不 良 率

075325.020

3.0645.11.0ˆ p

49

例 10.11 、

再以投籃為例，• 如譽仁投 100 球進 30 球， 試檢定譽仁 3 分球命中率是否等於 0.5 ？

50

405.0

2.0

100)5.05.0(

5.010030

z

51

有足夠證據說譽仁 3 分球命中率不等於 0.5

96.14|| z

52

例 10.12 、 (例 10.11 續 )

再以譽仁投籃為例，• 譽仁說 3 分球命中率至少 5 成， 但爸爸懷疑他的命中率不到 5 成， 要譽仁投球，結果投 100 球進 30 球，• 試問是否已有證據說譽仁吹牛？

53

檢定譽仁吹牛，即檢定

5.0:

5.0:

1

0

pH

pH

54

可下譽仁 3 分球命中率不到 5 成的結論

因 645.105.0 z ，而由上例算出

05.0645.14 zz

55

例 10.13 、• 兄弟、統一兩隊在職棒元年比賽 20 場• 試問兄弟在這 20 場中至少要贏幾場以上 才能顯示該年兄弟對統一比賽時 勝率超過 5 成？

56

5.0:0 pH 對 5.0:1 pH

57

)1,0(~)1(

NpX

npp

58

645.15.0

05.0

20)5.01(5.0

z

x

59

即

2015.0645.15.0 x

化簡得棄卻域為

6839.0x 或 678.13 ix

也就是兄弟要在 2 0 場中至少要贏 1 4 場，才表示該年對統一的勝率顯著高於 5

成。

60

例 10.14、• 某次選舉有甲、乙兩位候選人， 民意調查有效樣本為 1000 ， 支持甲有 550 人， 支持乙有 450 人，• 是否有證據說甲的得票率高於乙？

61

檢定甲的得票率是否高於乙，即檢定

5.0:

5.0:

1

0

pp

H

H

62

16.30158.005.0

1000)5.0)(5.0(

5.055.0 z

63

因 645.116.3z ，故有足夠證據說甲的得票率高於乙

64

例 10.15 、 (例 1.9 續 )

• 試檢定台南市成年市民 高中職與大專 ( 及以上 ) 這兩種教育程度

所佔比例是否相等 ?

65

檢定

5.0:

5.0:

1

0

pp

H

H

66

9863.038/5.05.0

5.042.0

z

67

• 因

• 故不顯著， 即無證據說台南市成年市民中 高中 ( 職 ) 與大專此兩種的教育程度 所佔比例有顯著差異。

96.19863.0|| 025.0 zz

68

樣本數• 如果在民意調查中， 我們想使某候選人的樣本得票率與 真正開票後的得票率 p

誤差在 e=0.03 之內的機會有 95% ，• 試問我們應調查多少個樣本數 n ？

69

樣本數的決定

n = 2

22/ )̂1(̂

e

ppz

70

• 如事先未知，則由下式

• 因此以最壞的情形， p=0.5 代入 (10.12)式

)5.0)(5.0()ˆ1(ˆ pp

71

樣本數

n = 2

22/ )5.0)(5.0(

e

z

72

因05.0，查表96.1025.0z ，及03.0e ，所以所需樣本數最多需要

n = 106811.10672

22

)03.0(

)5.0()96.1(

73

註 1：• 若誤差界限要 由 e=0.03 降為 0.01

• 則樣本數增加 8 倍，變為 9604

74

註 2：• 若要求誤差界限仍為 e=0.03 ， 但信賴度提高至 99% ，• 則樣本數最多需要

n = 2

22

)03.0(

)5.0()57.2( = 1835

75

註 3：• 如果已知候選人甲的得票率不會超過 3成

在 95% 信賴度與 3% 誤差界限下• 抽樣樣本數為

8974.8962

2

)03.0(

)7.03.0()96.1( n

76

10.4 二組獨立樣本比例之推論( 大樣本情況 )

• 某公司產品過去不良率過高，• 經理要求研發單位研究提出改善對策，吾人關心的問題是

2p小於1p

77

檢定

H0：p1 = p2 對 H1：p1 > p2

78

),1(~,,, 121 1pBXXX

iid

n

),1(~,,, 221 2pBYYY

iid

n

79

),(~ 2ˆˆ21 2121

ˆˆppppNPP

80

22ˆˆ 21 yxpp

2

22

1

21

nn

2

22

1

11 )1()1(npp

npp

81

經標準化

)1,0(~2

)21(21

)11(1

2121 )(ˆˆN

npp

npp

ppPP

82

21pp 的 1 信賴區間

)ˆˆ ,ˆˆ( 2121 eppepp

2

22

1

11 )ˆ1(ˆ)ˆ1(ˆ2/ n

ppn

ppze

83

例 10.16 、• 浩仁、譽仁兩兄弟比賽 3 分球， 浩仁投 150 球中 36 球， 譽仁投 100 球中 30 球，• 試求浩仁與譽仁 3 分球命中率相差的 95% 信賴區間？

84

兩人樣本命中率的相差

06.03.024.0ˆˆ10030

15036

21 pp

85

誤差界限

1129.005758.0960.196.1 100)7.0)(3.0(

150)76.0)(24.0(

86

21pp的95% 信賴區間

(-0.06-0.1129 ,-0.06+0.1129)

• 即信賴區間為 (-0.1729 , 0.0529)

87

2. 檢定

對於檢定兩組獨立樣本的比例 p1 與 p2 相等與否的問題，因 H0為真時

p1 = p2 ，

88

標準誤

2121

)1()1(ˆˆ n

ppn

ppppS

89

綜合樣本比例

21

2211 ˆˆnn

pnpnp

90

檢定統計量

z =

21

)1()1(

21ˆˆ

npp

npp

pp

91

例 10.17 、 (例 10.16 續 )

• 檢定浩仁、譽仁兩兄弟 3 分球 命中率是否有顯著差異？

92

雙尾檢定

211

210

:

:

ppH

ppH

93

綜合樣本比例

264.025066

1001503036

p

94

z 值

0545.10569.0

06.0

100)736.0)(264.0(

150)736.0)(264.0(

3.024.0

z

95

我們下兩兄弟的 3 分球命中率沒有顯著差異的結論

96.10545.1|0545.1||| 025.0 zz

96

例 10.18 、• 張三、李四分別對候選人甲 做民調，各抽 1000 人，• 張三調查結果有 550 人支持候選人甲， 李四調查結果有 450 人支持候選人甲，• 請問兩人調查結果支持候選人甲的比例是否有顯著差異？

97

兩人調查的樣本數為

100021 nn

兩人調查候選人甲的樣本數支持率分別為

55.01000

550ˆ 1 p ， 45.0

1000

450ˆ 2 p

故綜合樣本比例為 5.02000

450550

p

98

z 值

))(1(

ˆˆ

21

11

21

nnpp

ppz

47.45.0

1.0500

)(5.05.0

45.055.0

10001

10001

99

因96.147.4，故兩人調查結果支持候選人甲的比例有顯著差異

100

例 10.19 、• 若由甲、乙兩生產線分別 隨機抽樣 100 個、 200 個產品， 結果分別有 5 個與 20 個不良品，• 請問 (1) 是否乙生產線的不良率顯著高於 5 ％？

(2) 甲、乙兩生產線的不良率 是否有顯著差異？

101

檢定

05.0:

05.0:

21

20

pH

pH

102

1467.30154.0

05.0

20095.005.0

05.01.0

z

103

有足夠證據說乙生產線的不良率顯著高於 5 ％

645.12467.3 05.0 zz

104

(2) 即檢定

211

210

:

:

ppH

ppH

105

甲、乙兩生產線的不良率

05.0100

51̂ p ， 1.0

200

202̂ p

106

綜合樣本比例

0833.0300

205

p

107

z 值

))(1(

ˆˆ

21

11

21

nnpp

ppz

4792.10338.0

05.0

)(9167.00833.0

1.005.0

2001

1001

108

甲、乙兩生產線的不良率沒有顯著差異

96.14792.1|| z

109

第十章 摘要

110

1.

• 社會科學的問卷調查與工業品管產品的不良率是常遇到的比例問題，

• 基本上處理比例的統計推論原理• 與前兩章連續型資料 平均數統計推論相似。

111

2.

• 想知道男女生對某法案贊成比例 是否一致？• 或是想知道某種品管改善方案 是否可以降低不良率？

• 這些問題都是比例檢定問題。

112

3. 有關比例的檢定

• 在大樣本情況下， 則利用中央極限定理求值做決策。

113

4. 做民意調查時樣本數的決定

• 與誤差及信賴區間有關，• 例如估計得票率，若想估計誤差 控制在 3% 以內， 信賴度 95% ， 需要有效樣本數是 1068 。

114

5.

• 注意兩組樣本 比例檢定問題與 兩組比例相差的信賴區間• 標準差算法不同處。