概 率 论 —— 研究和揭示随机现象数量规律性 的一门数学学科

第一章 随机事件与概率 随机事件随机事件的频率与概率古典概型与几何概型条件概率事件的独立性

随机事件随机事件★ 现象——现象分为确定性现象和随机现象。

随机现象——在个别试验中，其结果呈不确定性， 在大量重复试验中，结果又具有统计规律性。

* 随机现象的结果是偶然性的，但在随机试验下

呈必然性

偶然性——取值不同

必然性——用概率表示

★ 随机试验

—— 揭示随机现象的统计规律

1 ）试验可在同样条件下重复进行

2 ）试验结果的已知性和未知性

3 ）每次试验只能出现结果中的一个

★ 样本空间

所有可能结果放在一起构成的集合，记为 。★ 样本点

每一个可能的结果，记为 。

★ 随机事件

事件常用大写字母 A 、 B 、 C 等表示

样本空间的一个子集，简称事件。

例 1.一袋中有三个白球（编号 1，2，3）与二个黑球（编号 4，5），现从中任取两个，观察两球的1）颜色；2）号码。

注：同一随机试验可能有不同的样本空间。即样本点和样本空间是由试验内容而确定的。

例 2 一个盒子里有 10 个完全相同的球，分别标为号码 1 ， 2 ， 3…. ， 10 ，从中任取一个球，令

i ＝ { 取得球的标号为 i ｝

A ＝｛标号为 3 ｝

B ＝｛标号为偶数｝

C ＝｛标号为奇数｝A －基本事件 B ， C －复杂事件

－ 必然事件， －不可能事件

事件间的关系和运算

事件 A发生——

在试验中出现 A 中所包含的某一个基本事件

一、事件间的关系

1 ）包含

2 ）相等

3 ）并

4 ）交

5 ）互不相容

6 ）对立（互斥）

7 ）完备事件组

事件包含

事件Ａ包含事件Ｂ，就是指Ｂ发生必导致Ａ发生。

表示为

例如：抛骰子时，

Ａ＝“出现偶数点”，Ｂ＝“出现４点” ，则

BA

BA

事件相等

事件Ａ等于事件Ｂ，就是指Ａ包含 B，Ｂ也变化Ａ。

表示为：Ａ＝Ｂ

事件并 事件Ａ与事件Ｂ的和，就是指Ａ发

生，或Ｂ发生。

表示为： BA

例如抛骰子时， “ ”Ａ＝ 出现２点或４点 ， “ ”Ｂ＝ 出现２点或６点 ；则 BA “ ”＝ 出现偶数点

事件交

事件Ａ与事件Ｂ的积，就是指Ａ、Ｂ都发生。 表示为：ＡＢ或 BA 例如抛骰子时：

“ ”Ａ＝ 出现２点或４点 ， “ ”Ｂ＝ 出现２点或６点 ；

“ ”则ＡＢ＝ 出现两点

互不相容

事 件 Ａ 与 事 件 Ｂ 互 斥 ( 互 不 相 容 ) ， 就是 指 Ａ 与 Ｂ 不 会 同 时 发 生 。

表 示 为 ： AB 如 果 Ａ 与 Ｂ 为互 斥 事 件 ， Ａ 与 Ｂ 的 和 可 表 示 为 ： Ａ ＋Ｂ

例 如 抛 骰 子 时 ： “ ”Ａ ＝ 出 现 ２ 与 ４ 点 ， “ ”Ｂ ＝ 出 现 ３ 点 与 ５ 点 ；

则 Ａ 与 Ｂ 为 互 斥 事 件 。

对立事件

事件Ａ与事件Ｂ为对立事件，就是指Ａ与Ｂ不同时发生，但必发生一个。

表示为： AB且 BA ；记Ａ＝B或

Ｂ＝A “ ”例如抛骰子时：Ａ＝出现偶数点，

“ ”Ｂ＝出现奇数点； 则Ａ与Ｂ互为对立事件。

完备事件组

nAAA ,,, 21 两 两 互 斥 完 备 事 件 组 ， 就 是 指 事 件

组 中 每 两 个 都 是 互 斥 事 件 ， 并 且

n

iin AAAA

121

例 如 ： iA “ ”＝ 出 现 ｉ 点 …ｉ ＝ １ ， ２ ， ， 6 。

621 ,,, AAA 为 两 两 互 斥 完 备 事 件 组

定 义 可 以 推 广 到 无 穷 多 个 事 件 的 情 况

事件的运算法则

对 于 任 意 三 个 事 件 Ａ ， Ｂ ， Ｃ ， 满 足 下 列 运 算 ：

（ １ ） 交 换 律 ABBA ； BAAB

（ ２ ） 结 合 律 CBACBA , BCACAB

（ ３ ） 分 配 律 BCACCBA

（ ４ ） 对 偶 律 BABA , BAAB

例：

1 ） A 与 B 发生， C 不发生

2 ） A ， B ， C 至少两个发生

3 ） A ， B ， C 恰好两个发生

4 ） A ， B ， C 有不多于一个事件发生

（二）事件间的运算（二）事件间的运算

1.交换律:AB=BA, ABBA

2 .结合律 : CBACBA )()( CBACBA )()(

3 .分 配 律 : )()()( CABACBA )()()( CABACBA

* AB+C=(A+C)(B+C)

4. ·德 摩根律： BABA , BABA

5.对立事件的性质： .,, AAAAAA

nn

nn

AAAAAA

AAAAAA

.......

......

2121

2121

（对偶律）

吸收律：

AAAA

AAAAAA

ABBAAABAA

BABAAAABA

0

)4

)()3)()3

)2)1

BA,

BABAABBA

ABBABABA

)()2

)()1

例 1.1.4 设 是随机事件，试证：

CBACBA )()(

,AB AC BC

ABBA )(

ABBA )(

例 1.1.5 试问下列命题是否成立：

（ 1 ）

( 2 ) 若 且 , 则( 3

)

( 4 )

例题

例例 １１ ： 设 Ａ 、 Ｂ 、 Ｃ 为 任 意 三 个 事 件 ， 写 出 下 列 事 件 的 表 达 式 ：

（ １ ） 恰 有 二 个 事 件 发 生 ；

（ ２ ） 三 个 事 件 同 时 发 生 ；

（ ３ ） 至 少 有 一 个 事 件 发 生 。

解 ：（ １ ） BCACBACAB

（ ２ ） ABC

（ ３ ） CBA

随机事件的频率与概率

概率的统计定义 古典概型 概率的性质 概率的计算

概率的统计定义

设事件Ａ在ｎ次试验中出现了ｒ次，则比值 r/n

称为事件Ａ在ｎ次试验中出现的频率。而在同一组条件

下所作的大量重复试验中，事件Ａ出现的频率总是在区

间[0,1]上的一个确定的常数ｐ附近摆动，并且稳定于

ｐ，则ｐ称为事件Ａ的概率。

古典概型

如果随机试验满足以下条件： (1) 有限性。只有有限多个不同的基本事件。 （ 2 ）等可能性。每基本事件出现的可能性相等。 则称之为古典概型。

在一个装有 5 个白球， 6 个蓝球的袋中随机抽取三个球；

在 100 件产品，不放回地随机抽取五件产品。

古 典 概 率 定 义 ： 在 古 典 概 型 中 ， 如 果 基 本 事 件 的 总 数 为 ｎ ，事 件 Ａ 所 包 含 的 基 本 事 件 个 数 为 ｒ （ r < = n）， 则 定 义 事 件 Ａ 的概 率 P ( A ) = r / n .即

基本事件总数

中包含的基本事件个数A

n

rAP

概率性质（ 1 ） 对 任 一 事 件 Ａ 有 ： 10 AP

（ 2 ） .0,1 PUP

（ 3 ） 若 事 件 Ａ 与 Ｂ 互 斥 ， 则 BPAPBAP

推 广 （ 概 率 加 法 定 理 ）：

对 于 n 个 两 两 互 斥 的 事 件 nAAA ,,, 21 ， 有

)()()()( 1121 nn APAPAPAAAP

（ 4 ） 对 于 任 意 事 件 Ａ ， 有

APAP 1

（ 5 ） 对 于 任 意 事 件 Ａ 、 Ｂ ， 则 有

ABPAPBAP

（ 6 ） 对 于 任 意 事 件 Ａ 、 Ｂ ， 则 有

ABPBPAPBAP

概率计算

例 1 ：某车间有男工７人，女工４人，现要任选三个代表前往先进单位参观学习，问３个代表中至少有一个女工的概率是多少？

解 ： 设 Ａ ＝ ｛ 代 表 中 至 少 有 一 女 工 ｝

kA ＝ ｛ 恰 有 ｋ 个 女 工 ｝ 3,2,1k

Ａ ＝ 321 AAA , 321 ,, AAA 两 两 互 斥

321 APAPAPAP

788.0

311

34

311

17

24

311

27

14

C

C

C

CC

C

CC

例 2 ：袋中有 a个数白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出ｍ (m<=a+b) 个球，且每次取出的球不再放回去，求第ｍ次取出的球是白球的概率？

解 ： 设 Ｂ ＝ ｛ 第 ｍ 次 取 出 的 球 是 白 球 ｝

基 本 事 件 总 数 ：m

baAn

事 件 Ｂ 包 含 的 基 本 事 件 数 ：1

11

11

mba

mbaa aAACr

ba

a

mbabababa

mbababaa

A

aA

n

rBP m

ba

mba

121

121

11

注 ： 本 例 说 明 按 上 述 规 则 抽 签 ， 每 人 抽 中 白 球 的 机 会

相 等 ， 同 抽 签 次 序 无 关 。

概率公式

条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式

条件概率

在事件Ｂ已经发生的条件下，事件Ａ的概率称为条件

概率，记作 BAP 且有

BPABP

nr

nr

r

rBAP

B

AB

B

AB 。

例１：例１：一家有二个小孩，已知此家有一个女孩，问另一个是女孩的概率？

解： 样本空间：Ｂ＝ 女，女，女，男，男，女

有利事件：Ａ＝ 女，女

则

3

1BAP

乘法公式

定 理 ： 若 对 任 意 两 事 件 Ａ ， Ｂ 都 有 0,0 BPAP ， 则

BAPBPABPAPABP

例例 ２２ ：： 一 批 产 品 的 次 品 率 为 ４ ％ ， 正 品 中 一 等 品 率

为 ７ ５ ％ ， 现 从 这 批 产 品 中 任 意 取 一 件 ， 试 求 恰 好 取

到 一 等 品 的 概 率 。

解 ： 记 Ａ ＝ ｛ 取 到 一 等 品 ｝， Ｂ ＝ ｛ 取 到 次 品 ｝，

B ＝ ｛ 取 到 正 品 ｝。

则 04.0BP ， 96.0BP ， 75.0BAP

由 于 ， BA ， 故 BAA ， 于 是

72.075.096.0

BAPBPBAPAP

全概率公式

定理: 如果事件组 nAAA ,,, 21 构成互斥事件完备组，即满足

(1) nAAA ,,, 21 两两互斥且 niAP i ,,2,10 ；

(2)1

n

ii

A

则对任一事件Ｂ都有

1

.n

i ii

P B P A P B A

一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的５０％，另两家工厂的产品各占２５％。已知甲、乙、丙各厂产品合格率分别为 0.9 、 0.8 、 0.7 ，试求此批货的合格率。

解 ： 设 Ａ １ ＝ ｛ 晶 体 管 产 自 甲 厂 ｝ ， Ａ ２ ＝ ｛ 晶 体 管 产 自 乙 厂 ｝ ，

Ａ ３ ＝ ｛ 晶 体 管 产 自 丙 厂 ｝ ， Ｂ ＝ ｛ 晶 体 管 是 合 格 品 ｝ 。

则 25.031 APAP ， 50.02 AP ， 90.01 ABP ，

80.02 ABP ， 70.03 ABP ， 且 321 ,, AAA 组 成 互 斥 完 备 事件 组 。 由 全 概 率 公 式 得 ：

80.070.025.080.050.090.025.0

332211

ABPAPABPAPABPAPBP

贝叶斯公式

定 理 如 果 事 件 组 nAAA ,,, 21 构 成 互 斥 完 备 事 件 组 ， 即 满 足

（ １ ） nAAA ,,, 21 两 两 互 斥 且 niAP i ,,2,1,0 ；

（ ２ ） UAn

ii

1

则 对 任 一 事 件 Ｂ 都 有

i

n

ii

jj

j

ABPAP

ABPAPBAP

1

, nj ,,2,1

两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为 0.05 ，第二台出现废品的概率为 0.02 ，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为 5:4 。

求 （１）任意地从这些零件中取出一个合格品的概率；

（２）若已知取出的一个零件为合格品，那么，它是由哪一台机床生产的可能性较大。

解 ： 设 工的该零件是由第一车床加1A ，

工的该零件是由第二车床加２ A ， 该零件是合格品B 。

9

51 AP ，

9

42 AP ， 95.0| 1 ABP ， 98.0| 2 ABP 。

（ １ ）

900

86798.0

9

495.0

9

52211

ABPAPABPAPBP

（ ２ ） 867

475

867

90095.0

9

5111

BP

ABPAPBAP ；

867

395

867

90098.0

9

4222

BP

ABPAPBAP

因 此 ， 由 第 一 台 生 产 的 可 能 性 较 大 。

事件的独立性

两个事件的独立性 多个事件的独立性 n 重贝努利试验

两个事件的独立性

定义 若两事件Ａ，Ｂ满足 BPAPABP ，则

称Ａ，Ｂ（或Ｂ，Ａ）相互独立。简称独立。

定理 若对事件 ,A B；Ａ，B ；A，Ｂ；A，B 中

有一对是相互独立的，则另外三对事件也是相互独

立的。

多个事件的独立性定 义 设 nAAA ,,, 21 是 n 个 事 件 ， 若 对 所 有 可 能 的 组 合

nkji 1 成 立 着

jiji APAPAAP （ 共2nC 个 ）

kjikji APAPAPAAAP （ 共3nC 个 ）

nn APAPAPAAAP 2121 （ 共 nnC 个 ）

则 称 nAAA ,,, 21 相 互 独 立 。

定理 设 n 个事件相互独立，那么，把其中任意 m 个事件相应换成它们的对立事件，则所得的 n 个事件仍然是相互独立的。

例题 1

解 ： 记

。敌机被击中，Ｃ＝乙击中敌机，Ｂ＝甲击中敌机Ａ＝

8.05.06.05.06.0 BPAPBPAPABPBPAPBAPCP

甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为 0.6 ，乙击中敌机的概率为 0.5 ，求敌机被击中的概率。

例题２例题２

设某型号的高射炮发射一发炮弹击中飞机的概率为 0.6,

现在用此型号的炮若干门同时各发射一发炮弹，问至少需要设置几门高射炮才能以不小于 0.99 的概率击中来犯的敌机（各门高射炮的射击相互独立）？

解 ：． 设 需 要 设 置 n 门 高 射 炮 数 ，

记 niiA i ,,2,1 门炮击中敌机第 ， ，敌机被击中A 则 有

nAAAA 21

依 题 意 就 是 要 找 到 能 使 下 式 成 立 的 n

99.021 nAAAPAP

99.04.011

111

21

2121

n

n

nn

APAPAP

AAAPAAAPAPAP

即 得 ： 026.5

3979.0

2

4.0lg

01.0lgn

故 至 少 需 设 置 6 门 高 射 炮 。

重复独立试验做 n个完全重复条件的试验，且满足两个条件：

（１） 每次试验条件相同，因此各次试验中同一个事件

的出现概率相等；

（２） 各次试验结果相互独立；

满足这两个条件的 n次重复试验，称为 n重独立试验。

特别，如果每次试验只有两个结果，即只有两个可能事件

Ａ与 A，且 pAP ， qpAP 1 ，则这 n 重独立试验又称为 n重复贝努利(Bernoulli)试验，或称为贝努利概

型。

二项概率公式

设一次试验中，事件Ａ出现的概率为 10 ppAP ，则在 n 重贝努利试验中，事件Ａ恰好出现 k 次的概率 kPn 为

knkknn qpCkP ， nk ,,2,1,0

式中 APpq

1 。

注 ：由 于 上 式 刚 好 是 二 项 式 nqp 的 展 开 式 中 的 第 1k

项 ， 故 我 们 把 它 称 为 二 项 概 率 公 式 。 顺 便 指 出 ：

100

n

k

nknkkn

n

kn qpqpCkP

例题例题 33 某车间有 12 台车床，每台车床由于种种原因，时常需要停车，设各台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任意时刻处于停车状态的概率为 1/3 ，求任意时刻车间里有 2 台车床处于停车状态的概率。

解 ：把 任 一 时 刻 对 一 台 车 床 的 观 察 看 成 是 一 次 试 验 ，试 验结 果 只 有 停 车 或 开 车 两 种 可 能 ，且 各 车 床 的 停 车 或 开 车 是 相 互独 立 的 ， 故 我 们 可 用 二 项 概 率 公 式 计 算 ， 得

1272.0

3

11

3

12

21222

1212

CP