Геометрија и физика

1

Геометрија иГеометрија и физикафизика

Љубиша НешићДепартман за физику, ПМФ у Нишу, Друштво

физичара Ниши

Одељење за ученике са посебним способностима за физику

http://www.pmf.ni.ac.rs/people/nesiclj

2

Чиме ћемо се бавити

• Еуклидска геометрија (Еуклид, Галилеј, Њутн, ...)• Псеудоеуклидска геометрија (Ајнштајн, Минковски)• Риманова геометрија (Ајнштајн, Риман)• Неархимедовска геометрија• Космологија

3

Кратка историја геометрије• Геометрија (грчки: γεω = земља, μετρεω = мерим,

geometria = земљомерство)• Геометрија је грана математике која се бави

проучавањем особина и међусобних односа просторних облика тј. геометријских тела и карактеристика простора.

• Чиме се бави физика?– Материја, простор, време, ...

• Геометрија је једна од најстаријих дисциплина математике.

• Целокупна физика и хемија је базирана на геометрији• Њутн, Ојлер, Гаус, Максвел, ...: су били велики

математичари и физичари• Геометрија се развијала углавном индуктивно – на

бази емпирије.– Нпр. мерењем је утврђен однос дужина страница

код троуглова – неједнакост троугланеједнакост троугла

4

Кратка историја геометрије

велике револуције у историји геометрије

‒ 300 п.н.е.: Еуклид – Грк – “отац” геометрије (еуклидска геометрија), књига Елементи, једна од најзначајнијих књига у историји математике

‒ 1600: Декарт – (“отац” модерне филозофије) развио је координатни систем који омогућује да се геометријски облици прикажу у облику алгебарских једначина

‒ 1900: Пoенкаре – развио топологију – битне су структуре (које се не мењају при деформацији тела) а не растојања

‒ Крофна и кафа из америчких филмова о полицајцима

‒ 1984. теорија струна

5

Еуклидска геометрија• Живео око 300. г. п.н.е• Рођен у Грчкој а на позив краља Птоломеја

одлази у библиотеку у Александрији• Дела

– Елементи (геометрија као наука о простору),– Дата (о условима задавања неког

математичког објекта)– Оптика (са теоријом перспективе)

• Елементи – Излагање је потпуно дедуктивно– Омогућује овладавање процедуром

извођења логичких закључака и повезивања нових знања са раније утврђеним чињеницама

– Садржана сва сазнања и открића до тог времена у геометрији, теорији бројева и алгебри

– Доказане 464 теореме на беспрекоран начин

6

Еуклидска геометрија• Изгледа да Еуклид није открио ниједан значајан

геометријски закон• Сматра се лидером прве револуције у поимању

простора и зачетник је апстракције и доказа• Појам просторапростора – поникао из појма места, Земље на

којој живимо.• Грчка достигнућа вуку корене из Вавилона и Египта• Египат – долина Нила• Геометрија као социјално-практични феномен

– Развој друштава и појава пореза је изазвала потребу за развојем геометрије

• Египат – површина круга је приближно једнака површини квадрата чија је основица 8/9 пречника

– ≈3,16!!!– То је око 0,6% мање од “праве” вредности

• Градња пирамида – велики архитектонско/геометријски изазов (основа квадратна а прочеља троугласта, висина 146 метара, ...)

7

Еуклидска геометрија - Египат

• Харпедонопт – човек који развлачи конопац са чворовима на тачно одређеним местима

• Три чвора чине темена троугла, ...• Ништа се није променило до данас: Ова Ова

процедура се и даље примењује ради провере процедура се и даље примењује ради провере особина простора!!!особина простора!!!

• Хипотенуза =“растегнуто спрам” (грчки)

8

Еуклидска геометрија - Вавилон

• Месопотамија, Хамураби, 2000 г.п.не.• Ванземаљци на растојању 37 650 000 000 000 000

км би кроз телескоп сада видели како се живело у то време

• Ми склапамо слику из археолошко-историјских извора

– Риндов папирус– Московски папирус

• Нису писали једначине али су знали за триплете бројева који су у складу са Питагорином теоремом (3,4,5/5,12,13/3456,3367,4825)

9

Еуклидска геометрија - Вавилон

• Одлике– Нису оставили у наслеђе опште правило већ само

решења одређених практичних проблема.– Као да нису ни марили за принципијелне

проблеме и решења• Пример: Проблем који није онеспокојавао

Вавилоњане и Египћане а код Грка изазивао трауме опасне по живот

– Колика је дијагонала квадрата чије странице су дужине 1?

– Вавилоњани: 1,4142129– Грци су увидели да овај број не може да се напише

као цео или као разломак!– “тачна” вредност: 1,414213652...

10

Рађање “праве” математике- Талес из Милета

• Талес (око 640. г.п.н.е.)– Бавио се трговином у богатом граду Талесу– Грци су уживали у међусобном дружењу и

разговорима– Први симпозијуми– “Симпозијум”=заједно пити

• Први Талесов успех – предвидео је помрачење Сунца 585. г.п.н.е.

• Египћанима показао како да измере висину пирамида на основу сличности троуглова

• У Грчкој проглашен за једног од седам мудраца• Предузео кораке у систематизацији геометрије• Задржао Египатски назив за своју математику

“мерење земље” али га је превео на грчки као “геометрија”

11

Рађање “праве” математике- Питагора

• Познавао Талеса• Открио да висина тона струне зависи од њене

дужине – прво емпиријско откриће природног закона

• Открио које бројеве може да добије ако поређа камичке у два реда по два, три реда по три, итд. Тако да свака слика представља квадрат.

• То су “квадратни” бројеви (4,9,16,...)• Ако се у сваком реду повећа број камичака за

један добијају се други бројеви, итд. (троугаони), ...

• Разне особине бројева су сматрали мистичним– Број 1 је имао везе са разумом, – 2 је био праведан број, (square deal)– 4 са правдом

• Питагорејци су увели назив “математика” – основа је грчка реч матема=наука.

• И исказ број је све.

12


• Чудан лик – изгледа да је био извор многих прича.

• Просудите сами:– Веровало се да је син божији (Аполонов)– Мајка му се звала Партенида (девица)– Пре путовања у Египат живео је на планини Кармел

као пустињак– Причало се да је могао да умири узбуркану воду и

да заузда ветар– Веровало се да је у стању да хода по води, ....– Проповедао је да треба волети своје непријатеље

– Веровао у реинкарнацију (Сидарта Гаутама Буда)

13


• Друштво питагорејаца - тајновитост је била веома важна

• Питагора је забранио одавање једног свог открића под претњом смртне казне

• Број је све.• Али – одређивање дијагонале квадрата дужине

страница 1– Вавилоњани су га израчунали до шестог децималног

места– Питагорејци су хтели тачно– Добијали су стално различите вредности– Запитали су се да ли такав број постоји.– Закључили су да не постоји и то доказали.– Питагора: неке дужине се не могу изразити бројем-

назване су алогон (нерационалан/ирационалан)– Друго значење – оно о чему не треба говорити.– Овај парадокс је открио један од ученика (Хипас) и био

убијен– Ирационални бројеви су утемељени тек крајем 19. века

(Кантор)

14

Еуклидска геометрија • Елементи једна од најчитанијих књига свих времена• 13 свитака пергамента• Систем ослобођен претпоставки заснованих на интуицији,

нагађања и непрецизности– 23 дефиниције (тачка, дуж, права, круг, прав угао, површина и

раван)• Упоредне праве – ”праве линије које се, будући да су на истој равни

и да се пружају у бескрај у оба смера, нигде не стичу”• Круг – “геометријски лик омеђен једном линијом (кривом) на тај

начин да су све дужи које до ње стижу из једне посебне тачке круга, назване средиште, једнаке дужине”

• Прав угао – када се једна дуж спусти на праву и са њом образује два једнака угла, сваки од тих једнаких углова јесте прав угао

– 5 геометријских постулата– 5 додатних постулата/очигледности

• Две ствари које су једнаке некој трећој ствари такође су међусобно једнаке

• Ако се зброје исте ствари, и збирови су им једнаки• Ако се одузму исте ствари, и разлике су им једнаке• Ствари које се поклапају једна с другом међусобно су једнаке• Целина је већа од дела

15

Еуклидска геометрија • 5 геометријских постулата

1. Ако се имају две тачке, међу њима се може повући дуж чији би крајеви оне биле

2. Свака дуж може се бесконачно продужити у оба смера

3. Око било које тачке као средишта може се направити круг било ког пречника

4. Сви прави углови су једнаки.5. Постулат је сам смислио: Ако нека права пресече две Ако нека права пресече две

друге праве на такав начин да је збир унутрашњих друге праве на такав начин да је збир унутрашњих углова са исте стране мањи до два права угла, онда углова са исте стране мањи до два права угла, онда ће се две пресечене праве једном сусрести (са те ће се две пресечене праве једном сусрести (са те стране)./стране)./Ако су дате права и тачка изван ње, постоји само једна права која пролази кроз дату тачку , а која је упоредна са датом правом.

– Није ни сањао да ће то довести до још једне велике револуције у геометрији

16

Ератостен• Александрија, 212. п.н.е. Иако

није пропутовао више од неколико стотина километара први је измерио обим Земље

– Сматра се оснивачем географије јер је увео систем географских ширина и дужина

– Директор библиотеке у Александрији

– Случајно је прочитао да у Сијени (Асуану) Сунчеви зраци једнога дана у години у подне не баца сенку

– Унајмио је “ходача” да премери растојање између Александрије и Сијене (5000 стадија је око 800 км)

– Обим Земље= 50х (око)800 км износи око 40 000 км

17

Крај Грчке и Египта

• До 2. века нове ере остварен велики напредак у математици, физици, картографији, инжењерству.

• Сазнало се да се материја састоји од недељивих састојака који су названи атоми

• Дошло се до појмова логика, доказ, развијене су геометрија и тригонометрија, дошло се надомак анализе

• Знало се да је свемир веома стар, да живимо на лоптастој планети чија је величина била позната.

• Да је настављен развој науке тим темпом на Месец би се слетело 1 миленијум раније вероватно

• Обрт који се десио је успон Рима који је освојио Грчку и Египат.

18


• Током 1100 година Рима (од 750 г.п.н.е.) није записана ниједна тереома – математичара није ни било(?!)

• За Грке је мерење удаљености било математички изазов– Заснивало се на сличности и подударност троуглова,

паралакси, ...• Пример из Римског уџбеника:

– Одредити ширину реке у моменту када је непријатељ заузео наспрамну обалу

– “непријатељ” је кључна променљива у Риму• Римске књиге су биле скраћене верзије Грчких

– Као наши “Прикази” књижевних дела који се читају уместо самих дела

19


• Аниције Манлије Торкват Северин Боатије – – Скраћена верзија Еуклидовог дела– Са дефиницијама и теоремама– Заменио приближне вредности тачним бројевима

• Један запис из књиге тог времена (Topographia christiana)– Земља је равна. Настањени део има облик

правоугла чија је дужина доструко већа од ширине. На северу су планине купастог облика око којих се окрећу Сунце и Месец.

20

Крај Рима• Пад Рима око 476. г.• У наслеђе су остали

– Камени храмови, позоришта, виле, водоводи, канализација, ..., са веома мало интелектуалних постигнућа

– Александријска библиотека је била спаљена • Више пута (Цезар 48.г.п.н.е., 391.г.н.е. хришћани, 642. г.

муслимани)

– Остали су фрагменти латинског превода Елемената са формулама, приближним вредностима, ..., без извођења.

– Грчка традиција апстракција и доказа је нестала– Паралелно је напредовала исламска цивилизација

а Европа је тонула у мрачно доба.

21

Наредна револуција - Декарт

• Крај 8. века – поновни почетак писмености у Европи - Карло Велики оснива дворске и црквене школе

• Из њих ничу универзитети (Болоња 1088.)• Трговина, путовања и крсташки ратови –

Европљани долазе у додир са Арапима• Ислам је сачувао веродостојне верзије грчких

дела

22


• Једна од предности губитка грчких дела – нестанак утицаја Питагоре на ирационалне бројеве

• Чак и док нису засновани како треба коришћени су у математици

• Има још примера – делта функција коју је увео Дирак, коришћена је још пре него што је формално математички добро заснована.

23


• Пре Декарта Никола де Орезмо је изумео графикон

• Правило да пређени пут са и без повећања брзине јесу у некој вези (тркање корњаче и зеца) је било уочено

• Орезмо га је доказао преко графикона – пређени пут је једнак површини испод графика

• Орезмо је такође открио везу пређеног пута и времена код равномерно убрзаног кретања (обично се приписује Галилеју)

24

Наредна револуција - Декарт• Пре Декарта Никола де Орезмо је

изумео графикон• Правило да пређени пут са и без

повећања брзине јесу у некој вези (тркање корњаче и зеца) је било уочено

• Орезмо га је доказао преко графикона – пређени пут је једнак поршини испод графика

• Орезмо је такође открио везу пређеног пута и времена код равномерно убрзаног кретања (обично се приписује Галилеју)

• Разумео и релативност кретања• Због репресије цркве није објавио

све своје резултате.

25

Наредна револуција – Декарт (1596.)

• Није био раноранилац• Да би путовао ступио је у војску• 1618. је на огласној табли у једном граду у Холандији

видео математички проблем чије се решење тражило• Грчка геометрија му се није свиђала, деловала му је

незграпна и тешка• Нису му се свиђале дефиниције преко описа јер су

гломазне• Трагао је за једностанијим и елегантнијим доказима

(Декарт је био знаменит по својој математичкој лењости)

26

Декарт versus Еуклид

где је r неки константан број.

• Еуклид– Круг је геометријски лик омеђен једном линијом (кривом) на

тај начин да су све дужи које до ње стижу из једне посебне тачке унутар круга назане средиште све једнаке дужине

• Декарт– Круг чине сви x и y који задовољавају однос

222 ryx

27

Само Декарт

• Декарт је простор приказао бројевима а геометрију исказао алгебарским појмовима

• Раван је претворио у графикон са две ортогоналне осе које је назвао x и y оса. Положај неке тачке је одређен паром (x,y).

• Картезијанске координате• Постоји недоумица око тога ко је први то изумео Декарт или Пјер де Ферма• Док Декарт није друге цитирао Ферма уопште није објављивао• Иначе још је Птоломеј увео географске координате за позиције на Земљи

али није видео њихов значај ван глобуса.• Декартов напредак је тако више везан за примену координата а не на сам

изум.

28

Декарт и Еуклид

• Питагорина теорема ...• Садржана је у горњој слици практично• Удаљеност две тачке је функција разлике координата.Удаљеност две тачке је функција разлике координата.• Ово тврђење је кључ за разумевање природе еуклидске и осталих Ово тврђење је кључ за разумевање природе еуклидске и осталих

геометрија. геометрија. • Декарт и физика

– Формулисао закон преламања светлости у његовом садашњем тригонометријском облику (Снелијус – Декартов закон)

– Први целовито објаснио физику дуге– Моја свеколика физика није ништа друго до геометрија.

• 19 година није објављивао своју координатну геометрију плашећи се католичке цркве.

222 ryx 222 ryx

29

Декарт и Галилеј• 19 година није објављивао своју координатну геометрију плашећи се католичке

цркве.• 1633. године је скоро одлучио да објави али се тада појавила књига Галилеја

Расправа о два главна света (геоцентризам против хелиоцентризма)• Црква је спалила само ову књигу а аутор је постао опрезнији јер је осуђен на кућни

притвор• 1637. објављује књигу са уводом на 78 страна

– Изворни назив: Пројекат универзалне науке која би могла да уздигне нашу природу до највишег степена савршенства.

– Данас је позната под називом Расправа (или Расправа о методу)– Чак није написао ни своје име на насловној страни али је из предговора било јасно ко је

аутор.– Садржала је опасну филозофску премису: разумом и посматрањем се може

установити истина.

222 ryx 222 ryx

30

Декарт• Последње године свог живота провео је на шведском двору• Умро 11. 2. 1650. • 1663. г. Католичка црква забрањује његова дела.

222 ryx 222 ryx

31

Релативности и геометрија

Прича о релативности не почиње са Ајнштајном, чак ни са Њутном већ са Галилеом.

32

Системи референце

Један посматрач види да лопта иде горе-доле по правој линији.

Други види да лопта иде по параболи.

Ко је у праву??

Галилео је размишљао о томе зашто исти догађај изгледа различито различитим посматрачима.

33

Обоје су у праву – то знамо!

Галилео је дефинисао правило по коме се прелази из једног система у други (користимо Декартове координате!).

S’ се креће дуж x-осе брзином V у односу на S.

34

Веза два ИСР – Галилејеве трансформације

ИСР – инерцијални систем референце

35

Не постоји апсолутно кретање

Њутн је артикулисао ове идеје у исказ да не постоји “апсолутно кретање” или апсолутни систем референце.

Сви ИСР су еквивалентни, и сви закони Сви ИСР су еквивалентни, и сви закони физике (механике) имају исту форму у физике (механике) имају исту форму у свим ИСРсвим ИСР..

Галилејев принцип релативности – Не Не постоји (механички) оглед којим може да постоји (механички) оглед којим може да се установи да ли се ИСР у коме се он се установи да ли се ИСР у коме се он изводи креће или мирује.изводи креће или мирује.

Кретање по инерцији = кретање константном брзином, тј. без убрзања.

36

Њутн о геометрији• Просторне координате јесу релативне (зависе од

избора ИСР) али растојања у простору између две тачке не зависе од избора ИСР. Време је једно и апсолутно.

• Какве су особине простора и времена у односу на просторно-временско померање?– Простор је хомоген и изотропан– Време је хомогено– Последице су необично важне – то су закони одржања

у механици.• Закон одржања импулсаЗакон одржања импулса• Закон одржања момента импулсаЗакон одржања момента импулса• Закон одржања енергије Закон одржања енергије

37

Простор Њутнове механике

• Простор у коме важи Питагорина теорема – простор је “раван” (најлакше се види код кретања у две димензије)

• Има потпуно исте (монотоне) особине када се гледа из било ког ИСР

• Сем тога и Њутнови закон изгледају исто (у свим ИСР)

• Еуклидска геометрија – инерцијалност

38

Нова револуција – Гаус и Риман

• Еуклидов простор је “владао” 2000 година• Верзија 2. простора? Па било је време за њу.• Чиме смо овладали у међувремену

– Знамо како је настао Сунчев систем– Умемо да опловимо глобус и да га картографишемо– 5. постулат... Хм– Столећима је третиран као теорема и покушавали су

да га докажу• 5. Постулат Ако нека права пресече две друге праве на такав Ако нека права пресече две друге праве на такав

начин да је збир унутрашњих углова са исте стране мањи до начин да је збир унутрашњих углова са исте стране мањи до два права угла, онда ће се две пресечене праве једном два права угла, онда ће се две пресечене праве једном сусрести (са те стране).сусрести (са те стране).

39


• Карл Фридрих Гаус (30. април 1777.), Брауншвајг• Таленат за аритметику је показао већ са три године• Са 12 година критикује Елементе• Доводи у сумњу 5. постулат препостављајући закривљеност простора• Формулисао је логички целовиту геометрију без постулата о

паралелама• Наполеон је поштедео Гетинген – “ту живи највећи математичар свих

времена”• 1824. г. “Претпоставка да је збир углова у троуглу мањи од 180о

води до посебне геоеметрије, различите од наше (еуклидске), која је сасвим целовита и коју сам ја разрадио на потпуно задовољавајућ начин”.

• Није објавио радове али Јанош Бољаи (1823) и Николај Иванович Лобачевски јесу – формуисали су нееуклидске просторе (закривљене).

40


• Георг Фридрих Бернард Риман (1826.), • Гаусов студент• Генерализовао идеје о (кривим) просторима• Постоје и они код којиј је збри углова у троуглу већи од 180о

41

Нееуклидски простори

• Збир углова у просторима је мањи или већи од 180о

• “паралелне линије дивергирају или конвергирају”

• Али какав је физички (реални) простор?

• Па физика се још неко време задржала на равним равним али не потпуно еуклидским просторима

42

Ајнштајн 1905.

• С(пецијална) Т(еорија) Р(елативности)= СТР• Галилеј и Њутн

– Не постоји експеримент у механици којим може да се Не постоји експеримент у механици којим може да се утврди да ли се ИСР креће или не. (Галилејев принцип утврди да ли се ИСР креће или не. (Галилејев принцип релативности)релативности)

• Ајнштајн – и он има своје постулате– Не постоји експеримент у физицифизици којим може да се

утврди да ли се ИСР креће или не. (Ајнштајнов принцип релативности)

– Брзина светлости у вакууму је највећа брзина у природи Брзина светлости у вакууму је највећа брзина у природи и не зависи од тога да ли се њен извор или пријемник и не зависи од тога да ли се њен извор или пријемник крећу.крећу.

43

Простор СТР• Зове се простор Минковског, и има 4 координате

(ct,x,y,z)• Хомоген је и изотропан, као и време

– Следи да важе закони одржања– Раван је– Веза ИСР је задата другачијим законом

трансформације (Лоренцовим)• Да ли у њему важи Питагорина теорема?• Ако важи и он је еуклидски • Како да проверимо? • Основни услов – “растојање” између ма које две

тачке не сме да зависи од тога из ког ИСР га посматрамо/меримо

• Величина која се не мења у СТР је (у равни) задата изразом

)(' vtxx

)(' 2cxvtt

zz

yy

'

'

22 /1

1

cu

44

Простор СТР• “Растојање” може да буде позитивно,

негативно и нула!!!• Простор је раван раван али није прави

еуклидски-зове се псеудоеуклидскипсеудоеуклидски• Пример са слике: А(4,1); B(4,6), C(7,6)

45

Простор СТР

• Простор је раван раван али није прави еуклидски-зове се псеудоеуклидскипсеудоеуклидски

• Пример са слике: А’(1,7); B’(4,10), C’(7,7)

46

Простор СТР

• Равни псеудоеуклидски псеудоеуклидски простор је омогућио да се опишу скоро све интеракције у физици – сем једне

• У ЦЕРНу проверавамо да ли је све то добро• Шта ћемо са још једном интеракцијом?• Ајнштајн је размишљао од 1905. до 1915. и формулисао

уз много мука О(пшту) Т(еорију) Р(елативности)= ОТР• Њен простор више није ни (псеудо)еуклидски а ни

раван• Срећом по Ајнштајна теорију таквих простора је развио

Риман

47

Убрзани системи референце - инерцијалне силе

• А.А: Седео сам на столици у Патентном заводу у Берну када ми је наједном синуло: ако неко слободно пада, неће осећати своју тежину.

48

Гравитација и убрзани системи референце

• Не постоји експеримент којим би могла да се утврди разлика између униформног убрзања и хомогеног гравитационог поља.

• Оглед са падањем динамометра у хомогеном пољу теже.

49

Геометрија простор-времена

•Локална расподела масе и енергије одређује геометрију простор-времена. •Паралелне линије остају паралелне, конвергирају или дивергирају

50

Геометрија простор-времена•Како да знамо какав је наш простор?•Треба измерити углове у довољно великом троуглу и сабрати их.•Па то су радили и у Египту - Харпедонопт – човек који развлачи конопац са чворовима на тачно одређеним местима

51

Важно питање – како изгледају праве линије на закривљеним

површима - ?

52


површима - ?• Праве линије ?!• Како знамо да је нешто право?• “Нанишанимо”• Али то значи да пратимо путању светлости• Светлост увек иде путањом која је најкраћа

између две тачке• Праве линије - линије најкраћег растојања

(геодезијске линије)

53


површима?

Еуклидска геометрија

54

Кривина површи – кад се гледа споља може да буде привидна!

55

Кривина површи – кад се гледа споља може да буде привидна!

• Цилиндар можемо да размотамо и без деформација од њега направимо раван. Следи да цилиндар није закривљена површцилиндар није закривљена површ!

56

Геометрија универзума

57

“Касни” Ајнштајнови радови

• Последњих 30 година живота...• Уједињење гравитације са осталим силама• 1919. математички је обједињен

електромагнетизам са гравитацијом (Теодор Калуца)

• 1926. (Ото Клајн) добио сличан резулата• Обе теорије су функционисале у 5

димензија

58

Теорија струна

59

Теорија струна

• Едвард Витен, добио Филдсову награду

60

Хармоници жице која осцилује:

61

Теорија струна• Честице су геометријски објекти

- струне које вибрирају различитим фреквенцијама

• Зашто је потребна?• Да би се гравитација некако

описала заједно са другим интеракцијама – не сме да буде нулте дистанце међу честицама

62

63

Шта је још остало?

• Постоје.• То су тзв. Неархимедова поља бројева.• Како се добијају?

anbNnabRba ||,,,

• Да ли има још неких чудних простора?• Рецимо таквих у којима не важи Архимедова

аксиома о измерљивости?

64

65

Неархимедове геометрије• Главна последица на простор време је да није

непрекидно.• А када важе такве геометрије?• И колико је изражена та прекидност?

Documents

Геометрија и физика