狭义相对论运动学基础

布朗运动 狭义相对论量子力学 广义相对论

爱因斯坦 ( A. Einstein )

1905 年创建的狭义相对论和 1916 年创建的广义相对论是爱因斯坦的最重要的科学研究成果，而 1921 年的诺贝尔物理学奖则是由于他提出了光的量子概念和发现了光电效应定律而获得的。列宁高度称誉他是一位伟大的自然科学革新家。

狭义相对论

The Special Theory of Relativi

ty

狭义相对论运动学

狭义相对论动力学

一、力学相对性原理（伽利略 Galileo 相对性原理）

在彼此作匀速直线运动的所有惯性系中，物体运动所遵循的力学规律是完全相同的，具有完全相同的数学表达式。即在研究力学规律时，一切惯性系是等价的。

§5.1 力学相对性原理 relativity principle of mechanics

经典力学时空观 space-time view of classical mechanics

§5.1 力学相对性原理 relativity principle of mechanics

经典力学时空观 space-time view of classical mechanics

在一切惯性系内的任何力学实验都不能确定该惯性系是静止的还是作匀速直线运动的，因此要确切知道某一惯性系本身是否“绝对静止”，则用任何力学实验都不可能办到。

惯 性 系 inertia system ：牛顿定律成立的参考系，叫惯性参考系，简称惯性系。

“ 一个远离其他一切物体，而且没有自转的物体是惯性参照系，一切相对于该物体做匀速直线运动的参照系也是惯性参照系。牛顿定律就是在这样的参照系中成立。”

伽利略实验

y

x

Z

o

S 系

二、伽利略变换 (Galilean transformation)

1 、 坐标系的建立

'x

'y

'z

'o

'S 系

在两个惯性系中考察同一物理事件

v

设惯性系 相对惯性系 S 以速度 u 作匀速直线运动s

当 时两坐标系的原点 O 与 相重合。

0tto

2 、实际观测

伽利略变换(Galilean transformation)

tt

zz

yy

tvxx

y

x

Z

o

S 系

'x

'y

'z

'o

'S 系

v

P(x, y ,z ,t ) tzyx ,,,

tt

zz

yy

vtxx

逆变换

正变换

3 、速度变换与加速度变换

tt

zz

yy

vtxx

tt

zz

yy

tvxx

zz

yy

xx

uu

uu

vuu

zz

yy

xx

uu

uu

vuu

zz

yy

xx

aa

aa

aa

zz

yy

xx

aa

aa

aa

v两个都是惯性系， 是恒量

在两个不同的惯性系中 aa

自不同的惯性系，所观测到的同一质点运动的加速度是相同的，即物体的加速度具有伽利略变换下的不变性。

三、牛顿定律具有伽利略变换不变性

S惯性系 Fm a

S惯性系 Fm a

amF

amF

FF

mm

牛顿力学规律（包括动量守恒定律、机械能守恒定律等）在伽利略变换下形式不变。

结论：

在牛顿力学中质量与运动无关力与参考系无关

四、经典力学的时空观1 、 事件所经历的时间与参照系的选择无关

,, 2211 tttt 1212 , tttttt tt 无论从哪个惯性系进行观测事件所经历的时间间隔都相同

2 、 空间两点间的距离与参照系的选择无关在 S 系，点 111 ,, zyx 222 ,, zyx与点 间的距离为：

2/1212

212

212 zzyyxxr

2/1212

212

212 zzyyxxr

间的距离为：在 系观测，点 111 ,, zyx 222 ,, zyx 与点'S

1212 xxxx

1212 yyyy

1212 zzzz rr

无论从哪个惯性系进行观测两点间的距离都相同

3 、经典力学的绝对时空观

在狭义相对论建立之前，科学家们普遍认为：时间和空间都是绝对的。可以脱离物质运动而存在，并且时间与空间没有任何联系。

牛顿说：“绝对的、真正的和数学的时间自身在流浙着，而且由于其本性，在均匀地、与任何其他外界事物无关地流浙着”； “ 绝对空间就其本质而言，是与任何外界事物无关、而且是永远相同和不动的。”——绝对时空观 absolute space-time view

显然，绝对时空观符合人们日常的经验和习惯。

§5.2 狭义相对论的基本原理 postulate of special relativity

洛伦兹坐标变换 Lorentz coordinate transformations

不同惯性系中电磁规律是否相同 ?如果不同，则必然导致各惯性系不等价——应存在一个特殊的惯性系（以太）， 没找到！如果相同，则坐标变换后方程组的形式应保持不变。

两种可能：

伽利略变换是正确的，麦克斯韦方程组必予以修正

麦克斯韦方程组是正确的，伽利略变换必予以修正

一、伽利略变换的困难1) 19 世纪成熟的电磁理论表明真空中光速 c 是常量。

伽利略变换：以 u 速度运动光源发出的光速不再是 c 。2) Maxwell 方程组对伽利略变换非协变—— 通过电磁实验可以找到“绝对参照系” , 迈克耳逊 -莫雷实验的“零”结果

物理学界大为震惊 : 实验结果与伽利略变换乃至整个经典力学不相容。 为了在绝对时空观的基础上统一说明这些实验结果，洛伦兹等人提出各种假设，但都没有成功。

1905 年 26岁的爱因斯坦，不固守传统的时空观，和经典力学的观念，在对实验结果和前人工作进行仔细分析和研究的基础上，另辟蹊径，从一个全新的角度考虑所有问题，提出两个基本假设。

二、爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设 Einstein’s two basic postulates of special relativity

1. 狭义相对论的相对性原理 在任何惯性系中，一切物理规律都相同，即具有相同的数学表达式。或：所有惯性系对于描述物理现象都是等价的。2. 光速不变原理 光在真空中的速度与发射体的运动状态无关，即在彼此作匀速直线运动的任一惯性系中，所测得的光在真空中沿各个方向的速率是相等的。

无须寻找特殊的惯性系（也无法寻找）

讨论讨论讨论讨论 1 、 Einstein 的相对性原理 是 Newton 理论的发展

一切物理规律

力学规律

2、光速不变原理与伽利略的速度相加原理针锋相对，否定了伽利略坐标变换，动摇了绝对时空观和经典力学体系。 观念上的变革

牛顿力学时间标度

长度标度

质量的测量

与参考系无关速度与参考系有关(相对性 )

狭义相对论力学

长度 时间 质量

与参考系有关光速不变

(相对性 )

时空观的革命

3、尊重事实，实践是检验真理的标准 光速不变是在实验基础上提出的，并不断被实验证实。 牛顿力学定律是经过长期实践检验的，它应是新坐标变换式和新的力学规律在一定条件下的近似。

4、创新就要勇于摒弃原有的东西

三、洛仑兹变换 Lorentz transformation

爱因斯坦根据两个基本假设，建立了新的坐标变换公式——洛仑兹变换式 洛伦兹为弥补经典理论的缺陷提出——但他不具有相对论思想——爱因斯坦是给予正确解释第一人。

某事件在 S 系中的时空坐标为（ x, y, z, t )同一事件在 系中的时空坐标为 tzyx ,,,S

y

x

Z

o

S 系

'x

'y

'z

'o

'S 系

vP (x, y ,z ,t )

tzyx ,,,

当 时两坐标系的原点 O 与 相重合

0tto

2

2

2

)(1

)(1

cvcvx

tt

zz

yycv

vtxx

逆变换

正变换

2

2

2

)(1

)(1

cvcxv

tt

zz

yycv

tvxx

洛仑兹变换 （ Lorentz transformation ）

2

2

2

1

1

cvx

tt

zz

yy

vtxx

正变换 逆变换

2

2

2

1

1

cxv

tt

zz

yy

tvxx

当 v <<c 时， =(v /c) 0 , 可得：

tt

zz

yy

vtxx

正变换 逆变换

tt

zz

yy

tvxx

伽利略变换

令 : , 则 :c

v

,dt

dxux ,

dt

dyu y

dt

dzuz

,td

xdux

,

td

ydu y

td

zduz

2

2

2

1

1

cvx

tt

vtxx

),(1

12

vdtdxxd

),(1

122dx

c

vdttd

dxcv

dt

vdtdx

td

xdux

2

x

xx

ucvvu

u

21

系S

系S

设一质点 P 在空间的运动，由速度的定义，从 S 和 系来看，其速度分别是：

S

§5.3 相对论速度变换公式 Velocity transform of relativity

2

2

11

x

yy

ucv

uu

2

2

11

x

zz

ucvu

u

x

xx

ucvvu

u

21

同样可得

洛仑兹速度变换式逆变换正变换

2

2

11

x

yy

ucv

uu

2

2

11

x

zz

ucvu

u

x

xx

ucvvu

u

21

2

2

11

x

yy

ucv

uu

2

2

11

x

zz

ucvu

u

x

xx

ucvvu

u

21

由洛伦兹变换，两个事件在不同惯性系中的时间与空间间隔的变换关系为：

2

2

12

1

xcv

t

ttt

2

12

1

tvx

xxx

两个事件中的时间间隔和空间间隔在不同惯性系中观测，所得结果一般并不相同。

12 xxx 12 ttt

空间间隔 时间间隔S 系

'S 系

一、同时的相对性

2

2

2

1

1

cvx

tt

zz

yy

vtxx

§5.4 狭义相对论时空观space-time view of special relativity

2

12212

121

)()(

xxcv

tttt

2

121212

1

)()(

ttvxx

xx

1 、同时不同地

0,0 1212 xxxttt

“ 同时”的相对性012 ttt

2、同时同地

0

0

12

12

xxx

ttt 012 ttt

“ 同时”是绝对的

设在惯性系 S 中，不同地点 x1 和 x2同时发生两个事件 :

2

2

2

1

1

cvx

tt

vtxx

3、有因果关系的事件（关连事件） ,时间次序不会颠倒

)1(1

)1(11

22

222

2

c

vut

t

x

c

vtxcv

tt

u 为质点相对于 S 系的速度 ; u≯.c , v≯.c ;

∴ t′必与 t 同号

在某个惯性系中同时发生的两个事件，在另一相对它运动的惯性系中，并不一定同时发生 --------同时的相对性

例如：在某处先发射一枚导弹，后击中目标，否则会违背因果关系，也与相对性原理相矛盾。

二、时间的膨胀 time dilation (运动时钟变慢 ）

在相对于 S 以速度 v 运动的惯性系 S′ 中的时间间隔：

2

2

2

12212

1211

)()(

xcv

txxcv

ttttt

12 xx 012 ttt

2

0

2 11

t时间膨胀

0

在某一参考系中，同一地点先后发生的两个事件的时间间隔 ------ 固有时 (原时 )0

2

2

1

c

vxt

t

三、长度收缩 length contraction ( 动尺变短 )1. 原长 (固有长度 )棒静止时测得它的长度

l

v

S S

设棒静止在 系中 固有长度 S l

同时测量 0t

不要求同时测 0 不一定t

事件 1 ：测棒的左端 11, tx

122 , ttx

12 xxl 12 xxl

系S 系S

11, tx 22 , tx 事件 2：测棒的右端

测得长度

2. 当 S′以速度 v 相对 S 系运动，棒沿 运动方向放置， S′系测得棒的长度为 l′

21 tt

由洛仑兹变换

21 ll

2

1212

1

xxxxl

这一现象称为物体沿运动方向的“长度收缩效应”

,ll

2

2

2

1

1

cxv

tt

zz

yy

tvxx

2

2222

111

1,

1

tvxx

tvxx

21

l

zzyy ,

所以垂直于运动方向（ v 方向）的长度是不变的

（ 1 ）只沿运动方向有“长度收缩效应”

（ 2）仅当 v 与 c 可以比拟时此二效应才明显 .

在低速下 伽利略变换

（ 3）“时钟变慢”和“长度收缩”都是相对论效应，并不是事物内部机制或钟的内部结构有什么变化，不能归之于某种物理的、化学的或其他什么原因， “时钟变慢” 意味着一切时钟、一切物理过程，化学过程甚至生命过程都必须按同一因子变慢，否则就可以依据这里的差别判断本系统的运动状态，这不符合相对性原理。

（ 4）运动是相对的， S′系中观察者看 S 系中的尺缩短了，钟变慢了；同时， S 系的观察者看 S′系中的尺也缩短了，钟也变慢了。

讨论讨论讨论讨论

（ 6）“观察者”与“观看者”

（ 5 ）时间与长度随惯性系的运动速率 v 而变化，这与牛顿的绝对时空观是不相容的。

v

o2

0 190 LL棒长2

0 190 LL棒长2

0 190 LL棒长

直到 1959年才注意到应区别二者相对论效应 : 长度缩短 ,立方变长方 ,圆变椭圆 ,这是在同一时刻测量运动物体的“真实”图像——观察者（测量者）当我们看到或拍摄一物体时，记录的是同时到达视网膜或底片的光子，这些光子并不是物体上各点同时发出的，较远的点较早发出的光与较近的点较迟发出的光同时到达，这是光学效应引起的畸变——观看者。

的情况可能存在棒长时当 0,90 L

y

xo

讨论讨论讨论讨论

例 5-1 在 K 系中观察到两个事件发生在空间同一地点，第二事 件发生在第一事件以后 2s ，在另一相对 K 系运动的 K `系 中观察到第二事件是在第一事件事件 3s 之后发生的， 求在 K ` 系中这两个事件的空间间隔。解：

2

2

2

1

1

cvx

tt

zz

yy

vtxx

正变换

2

121212

1

)()(

ttvxx

xx

3

5

22

2

11

xc

txcv

tt

2

1212

121

)()(

xxc

tttt

21

023

c

mc

xx 8

212 10531

20

例 5-2 乙乘飞行器相对甲沿 x轴作匀速直线运动。甲测得两个事件的时空坐标为 x1=6104m ， y1=z1=0 ， t1=2 10-4 s ； x2

=12 104m ， y2=z2=0 ， t2=1 10-4 s ，，如果乙测得这两个事件同时发生于 t` 时刻，求： 1 乙对于甲的运动速度是多少？ 2 乙所测得的两个事件的空间间隔是多少？

乙所测得这两个事件的时间间隔是

x

c

vtt 221

1

2

12212

121

xxcv

tttt

解： 1 设乙对甲的运动速度为 v ，由洛仑兹变换乙

x

甲

x

v

012 tt

2

2

442

44

1

)1061012()102101(

cvcv

2

cv

2 由洛仑兹变换

vtxx

21

1

乙所测得的这两个事件的空间间隔 :

2

121212

1

ttvxx

xx

m41020.5

例 5-3 设想一飞船以 0.80c 的速度在地球上空飞行， 如果这时从飞船上沿速度方向发射一物体，物体相对飞船速度为 0.90c 。求：从地面上看，物体速度多大？解：选飞船参考系为 系S

地面参考系为 系Sxu

vS

xcv 80.0 cux 90.0

x

xx

ucvvu

u

21 90.080.01

80.090.0

cc

c99.0

S

x

例 5-4 设想有一光子火箭以 v = 0.95c 的速率相对地球作直线运动，若火箭上宇航员的计时器记录他观测星云用去 10min ，则地球上的观察者测得此事用去了多少时间？

min01.32min95.01

10

1 22

t

t

即地球上的计时器记录宇航员观测星云用去了 32.01min ，似乎是运动的钟走得慢了。

解：由下式可得

2

0

2 11

t

例 5-5 + 介子静止时平均寿命 （衰变为 子与中微子）。若使用高能加速器把 +

介子加速到 。 求： +介子平均一生最长行程 。

s8106.2

cv 75.0

解：按经典理论 m85.5 vl

实验室测得 m6.05.8 l

相对论考虑时间膨胀

为原时运动的 +介子平均寿命：

51.175.011 22

可得： m83.8 vl

2

0

1

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