本 章 总 结

平面点集和区域

平面点集和区域

多元函数的极限

多元函数的极限

多元函数连续的概念多元函数

连续的概念

极 限 运 算极 限 运 算

多元连续函数的性质

多元连续函数的性质

多元函数概念多元函数概念

一、主要内容

全微分的应用全微分的应用

高阶偏导数高阶偏导数

隐函数求导法则隐函数求导法则

复合函数求导法则复合函数求导法则

全微分形式的不变性

全微分形式的不变性

微分法在几何上的应用微分法在

几何上的应用

方向导数方向导数

多元函数的极值多元函数的极值

全微分概念

全微分概念

偏导数概念

偏导数概念

1 、区域

设 ),( 000 yxP 是xoy平面上的一个点，是某一正数，与点 ),( 000 yxP 距离小于的点 ),( yxP的全体，称为点 0P的邻域，记为 ),( 0 PU ，

（ 1 ）邻域

),( 0 PU || 0PPP

.)()(|),( 20

20 yyxxyx

0P

连通的开集称为区域或开区域．（ 2 ）区域

（ 3 ）聚点 设 E是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点，如果点 P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集 E，则称 P为 E 的聚点.

（ 4 ） n 维空间 设n为取定的一个自然数，我们称n元数组

),,,(21 nxxx的全体为n维空间，而每个n元数组),,,(21 nxxx称为n维空间中的一个点，数ix称为该点的第i个坐标.

设 D是平面上的一个点集，如果对于每个点 DyxP ).( ，变量 z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称 z是变量 yx , 的二元函数，记为 ),( yxfz （或记为 )(Pfz ） .

2 、多元函数概念

定义

当2n时，n元函数统称为多元函数.

类似地可定义三元及三元以上函数．

定 义 设 函 数 ),( yxfz 的 定 义 域 为 ,D ),( 000 yxP

是 其 聚 点 ， 如 果 对 于 任 意 给 定 的 正 数 ， 总 存 在正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式

20

200 )()(||0 yyxxPP 的 一 切

点 ， 都 有 |),(| Ayxf 成 立 ， 则 称 A 为 函 数),( yxfz 当 0xx ， 0yy 时 的 极 限 ，

记 为 Ayxfyyxx

),(lim0

0

（ 或 )0(),( Ayxf 这 里 || 0PP ） .

3 、多元函数的极限

说明：（ 1 ）定义中 的方式是任意的；0PP

（ 2 ）二元函数的极限也叫二重极限 );,(lim0

0

yxfyyxx

（ 3 ）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．

4 、极限的运算

).0()()().3(

;)()().2(;)()().1(

,)(,)(0

BBAPgPf

BAPgPfBAPgPf

BPfAPfPP 则时，设

5 、多元函数的连续性

定义 设n元函数)(Pf的定义域为点集0,PD是

其聚点且DP0，如果 )()(lim00

PfPfPP

则称n

元函数)(Pf在点0P处连续.

设0P是函数 )(Pf 的定义域的聚点，如果)(Pf 在点0P处不连续，则称0P是函数 )(Pf 的间断点.

在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D上至少取得它的最大值和最小值各一次．

在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取得两个不同的函数值，则它在 D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次．

（ 1 ）最大值和最小值定理

（ 2 ）介值定理

6 、多元连续函数的性质

定义 设函数 ),( yxfz 在点 ),( 00 yx 的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量

),(),( 0000 yxfyxxf ，

如果x

yxfyxxfx

),(),(lim 0000

0存在，则称

此极限为函数 ),( yxfz 在点 ),( 00 yx 处对x的偏导数，记为

7 、偏导数概念

同理可定义函数 ),( yxfz 在点 ),( 00 yx 处对 y的偏导数， 为

yyxfyyxf

y

),(),(lim 0000

0

记为0

0yyxxy

z

，

0

0yyxxy

f

，

0

0yyxxyz

或 ),( 00 yxf y .

0

0yyxxx

z

，

0

0yyxxx

f

，

0

0yyxxxz

或 ),( 00 yxfx .

如果函数 ),( yxfz 在区域D内任一点),( yx 处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数

就是 x、 y的函数，它就称为函数 ),( yxfz 对自变量 x的偏导数，

记作xz

，

xf

， xz 或 ),( yxf x .

同理可以定义函数 ),( yxfz 对自变量y的偏导

数，记作yz

，

yf， yz或 ),( yxfy .

８、高阶偏导数

),,(2

2

yxfxz

xz

x xx

),,(2

2

yxfyz

yz

y yy

),,(2

yxfyxz

xz

y xy

).,(2

yxfxyz

yz

x yx

函数 ),( yxfz 的二阶偏导数为

纯偏导

混合偏导定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 .

如 果 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( yx 的 全 增 量),(),( yxfyyxxfz 可 以 表 示 为

)( oyBxAz ， 其 中 A , B 不 依 赖 于yx , 而 仅 与 yx , 有 关 ， 22 )()( yx ，

则 称 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( yx 可 微 分 ，yBxA 称 为 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( yx 的

全 微 分 ， 记 为 dz ， 即 dz = yBxA .

９、全微分概念

函数可微

函数连续

偏导数连续

函数可导

多元函数连续、可导、可微的关系

10 、全微分的应用

,),(),( yyxfxyxfdzZ yx

.),(),(),(

),(

yyxfxyxfyxf

yyxxf

yx

有很小时当 ,, yx

主要方面 : 近似计算与误差估计 .

11 、复合函数求导法则

定理 如果函数 )( tu 及 )( tv 都在点 t 可导，函数 ),( vufz 在对应点 ),( vu 具有连续偏导数，则复合函数 )](),([ ttfz 在对应点 t 可导，且其导数可用下列公式计算：

dtdv

vz

dtdu

uz

dtdz

．

以上公式中的导数 称为全导数全导数 ..dtdz

如 果 ),( yxu 及 ),( yxv 都 在 点 ),( yx

具 有 对 x 和 y 的 偏 导 数 ， 且 函 数 ),( vufz 在 对 应

点 ),( vu 具 有 连 续 偏 导 数 ， 则 复 合 函 数

)],(),,([ yxyxfz 在 对 应 点 ),( yx 的 两 个 偏

导 数 存 在 ， 且 可 用 下 列 公 式 计 算

xv

vz

xu

uz

xz

，

yv

vz

yu

uz

yz

.

12 、全微分形式不变性

无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的 .

z vu、 vu、

dvvz

duuz

dz

.

0),()1( yxF

隐函数存在定理1 设函数 ),( yxF 在点 ),( 00 yxP 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 0),( 00 yxF ，

0),( 00 yxFy ，则方程 0),( yxF 在点 ),( 00 yxP 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 )(xfy ，它满足条件 )( 00 xfy ，并

有 y

x

FF

dxdy

.隐函数的求导公式

13 、隐函数的求导法则

隐函数存在定理2 设函数 ),,( zyxF 在点 ,( 0xP), 00 zy 的某一邻域内有连续的偏导数，且 ,( 0xF

0), 00 zy ， 0),,( 000 zyxFz ，则方程 ,,( yxF0) z 在点 ),,( 000 zyxP 的某一邻域内恒能唯一确

定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),( yxfz ，它满足条件 ),( 000 yxfz ，

并有 z

x

FF

xz

， z

y

F

F

yz

.

0),,()2( zyxF

0),,,(

0),,,()3(

vuyxG

vuyxF

隐函数存在定理 3 设 ),,,( vuyxF 、 ),,,( vuyxG 在点 ),,,( 0000 vuyxP 的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且 0),,,( 0000 vuyxF , ),,,( 0000 vuyxG

0 ，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）

vG

uG

vF

uF

vuGF

J

),(),(

在点 ),,,( 0000 vuyxP 不等于零，则方程组 0),,,( vuyxF 、 0),,,( vuyxG在点 ),,,( 0000 vuyxP 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 ),( yxuu ，

),( yxvv ，它们满足条件 ),( 000 yxuu , vv 0

),( 00 yx ，并有

,),(),(1

vu

vu

vx

vx

GG

FFGG

FF

vxGF

Jxu

vu

vu

xu

xu

GG

FF

GG

FF

xuGF

Jxv

),(),(1

,),(),(1

vu

vu

vy

vy

GG

FF

GG

FF

vyGF

Jyu

.),(),(1

vu

vu

yu

yu

GG

FF

GG

FF

yuGF

Jyv

14 、微分法在几何上的应用

切线方程为 .)()()( 0

0

0

0

0

0

tzz

tyy

txx

法平面方程为

.0))(())(())(( 000000 zztyytxxt

(1) 　空间曲线的切线与法平面

).(),(),(: tztytx

( ２ ) 　曲面的切平面与法线

.0),,(: zyxF

切平面方程为

0))(,,(

))(,,())(,,(

0000

00000000

zzzyxF

yyzyxFxxzyxF

z

yx

法线方程为

.),,(),,(),,( 000

0

000

0

000

0

zyxFzz

zyxFyy

zyxFxx

zyx

15 、方向导数

.),(),(

lim0

yxfyyxxflf

的方向导数．沿方向则称这极限为函数在点在，时，如果此比的极限存趋于沿着当

之比值，两点间的距离

与函数的增量定义

lP

PlP

yxPP

yxfyyxxf

22 )()(

),(),(

记为

定理如果函数 ),( yxfz 在点 ),( yxP 是可微分的，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都

存在，且有 sincosyf

xf

lf

，

其中为x轴到方向L的转角．

.),,(),,(

lim0

zyxfzzyyxxflf

三元函数方向导数的定义

（ 其中 222 )()()( zyx ）

定义 设函数 ),( yxfz 在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 DyxP ),( ，

都可定出一个向量 jyf

ixf

，这向量称为函数

),( yxfz 在点 ),( yxP 的梯度，记为

),( yxgradf jyf

ixf

.

梯度的概念

函 数 在 某 点 的 梯 度 是 这 样 一 个 向 量 ， 它 的 方向 与 取 得 最 大 方 向 导 数 的 方 向 一 致 ,而 它 的 模 为 方向 导 数 的 最 大 值 ． 梯 度 的 模 为

22

|),(|

yf

xf

yxgradf .

梯度与方向导数的关系

16 、多元函数的极值

设函数 ),( yxfz 在点 ),( 00 yx 的某邻域内有定义，对于该邻域内异于 ),( 00 yx 的点 ),( yx ：若满足不等式 ),(),( 00 yxfyxf ，则称函数在 ),( 00 yx 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式

),(),( 00 yxfyxf ，则称函数在 ),( 00 yx 有极小值；

定义

极大值、极小值统称为极值.

使函数取得极值的点称为极值点.

定 理 1（ 必 要 条 件 ）

设 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( 00 yx 具 有 偏 导 数 ， 且

在 点 ),( 00 yx 处 有 极 值 ， 则 它 在 该 点 的 偏 导 数 必

然 为 零 ： 0),( 00 yxf x ， 0),( 00 yxf y .

多元函数取得极值的条件

定义　一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点 .

极值点注意 驻点

定理2（充分条件）设函数 ),( yxfz 在点 ),( 00 yx 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又 0),( 00 yxfx , 0),( 00 yxfy ， 令

Ayxfxx ),( 00 ， Byxfxy ),( 00 ， Cyxfyy ),( 00 ，

则 ),( yxf 在 点 ),( 00 yx 处 是 否 取 得 极 值 的 条 件 如 下 ：

（ 1） 02 BAC 时 有 极 值 ，

当 0A 时 有 极 大 值 ， 当 0A 时 有 极 小 值 ；

（ 2） 02 BAC 时 没 有 极 值 ；

（ 3） 02 BAC 时 可 能 有 极 值 .

求函数 ),( yxfz 极值的一般步骤：

第一步 解方程组 ,0),( yxf x 0),( yxf y

求出实数解，得驻点.

第二步 对于每一个驻点),( 00yx，

求出二阶偏导数的值 CBA 、、 .

第三步 定出 2BAC 的符号，再判定是否是极值.

拉格朗日乘数法 要找函数 ),( yxfz 在条件 0),( yx 下的可能极值点，先构造函数 ),(),(),( yxyxfyxF ，其中为某一常数，可由

.0),(

,0),(),(

,0),(),(

yx

yxyxf

yxyxf

yy

xx

解出 ,, yx ，其中 yx , 就是可能的极值点的坐标 .

条件极值：对自变量有附加条件的极值．

三、典型例题例 1 [ 解 ].

)(lim

22

00 yx

xxy

yx

求极限

例 2

.,,

)(),,(

2

2

2

3

yxz

yz

yz

fxy

xyfxz

求

，具有二阶连续偏导数设

[ 解 ]

例 2

解

.,,

)(),,(

2

2

2

3

yxz

yz

yz

fxy

xyfxz

求

，具有二阶连续偏导数设

)1

( 21

3

xfxfx

yz

,2

2

1

4 fxfx

)1

()1

( 2221

2

1211

4

2

2

xfxfx

xfxfx

yz

,2 2212

3

11

5 fxfxfx

xyz

yxz

22

)]([

2)]([4

22221

2

221211

4

1

3

xy

fyfx

xfxy

fyfxfx

)( 2

2

1

4 fxfxx

.24 2211

4

21

3 fyfyxfxfx

例 3

解

.,0),(

,sin,0),,(),,,( 2

dxdu

zf

xyzexzyxfu y

求且，具有一阶连续偏导数

设

,dxdz

zf

dxdy

yf

xf

dxdu

,cos xdxdy

显然

,dxdz求 得的导数两边求对 ,0),,( 2 xzex y

,02 321 dxdz

dxdy

ex y

于是可得 , ),cos2(1

2

sin

1

3

xexdxdz x

.)cos2(1

cos 2

sin

1

3 zf

xexyf

xxf

dxdu x

故

例 4

解

.,0,0,

.0),(

,0),,(

),,(

)(

dxdu

zh

yg

zxh

zyxg

yxfu

xu

试求且所确定

由方程组设函数

的函数．都看成是以及将方程组的变元 xzyu ,

得求导方程组各方程两边对 ,x

)3(.0

)2(,0

)1(,

dxdz

hh

dxdz

gdxdy

gg

dxdy

ffdxdu

zx

zyx

yx

,)3(z

x

hh

dxdz

得由 ,)2(y

x

zy

xz

gg

hg

hg

dxdy

得代入

.)1(zy

xzy

y

xy

x hg

hgf

g

gff

dxdu

得代入

解?

,,

),,(

0

0002

2

2

2

2

2

模此方向导数等于梯度的

具有什么关系时的方向导数，问的向径

处沿点在点求

cbar

zyxMcz

by

ax

u 例 5

,,,, 2

0

2

0

2

00000 0 zyxrzyxr

.cos,cos,cos0

0

0

0

0

0

rz

ry

rx

处的方向导数为在点M

coscoscos0

MMMM zu

yu

xu

ru

0

020

0

02

0

0

02

0 222rz

cz

ry

by

rx

ax

)(2

2

2

2

2

2

2

0

000

c

z

b

y

a

x

r

.),,(22

0

2

0

2000

0 zyx

zyxu

处的梯度为在点M

kzu

jyu

ixu

gradu MMMM

,222

20

20

20 k

cz

jby

iax

,24

2

4

2

4

2

000

c

z

b

y

a

xgradu

M

,时当 cba ,2 222

2 000zyx

agradu

M

,2)(

22

0

2

0

2

22

0

2

0

2

222

2

0

0

0

000

zyxazyx

zyxa

ru

M

,0

MM graduru

.,,, 模此方向导数等于梯度的相等时故当 cba

之间的最短距离．与平面求旋转抛物面 2222 zyxyxz例 6

解

.226

1

,022

,),,( 22

zyxd

dzyxP

yxzzyxP

的距离为到平面则上任一点为抛物面设

分析 :

最小．即

且使满足

，使得本题变为求一点

))22(61

(

226

10

,,),,(

22

22

zyxd

zyxdzyx

zyxzyxP

),()22(61

),,( 222 yxzzyxzyxF 令

)4(,

)3(,0)2)(22(31

)2(,02)22(31

)1(,02)22(31

22 yxz

zzyxF

yzyxF

xzyxF

z

y

x

.81

,41

,41

zyx解此方程组得

得

.64

72

41

41

41

61

min d

),81

,41

,41

(即得唯一驻点

处取得最小值．驻点，故必在

一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值

)81

,41

,41

(