유클리드 호제법에 대하여

과 목 명 : 수학사발 표 자 : 수학과 4 학년 김은미

과 목 명 : 수학사발 표 자 : 수학과 4 학년 김은미

유클리드 호제법이란 ?

주어진 두 개의 정수 a, b 에 대하여 a, b 의 최대공약수를 찾는 방법을 말한다 . 소인수분해가 쉽지 않은 두 양의 정수나 인수분해가 쉽지않은 두 다항식의 최대공약수는 유클리드의 호제법을 이용해서 계산하면 쉽게 계산할 수 있다 .

유클리드 호제법의 원리를 간단히 설명하면 두 수가 있을 때 한 수를 다른 수로 나누었을 때의 검산식을 생각해 보자 .

예를 들어 a 를 b 로 나누었더니 몫이 q 이고 나머지가r 이 되었다면 a = bq + r 의 식이 성립한다 . 이 때 , a 와 b 의 최대공약수는 b 와 r 의 최대 공약수와같다 (r 이 0 인 경우에 a 와 b 의 최대공약수는 b 가 된다 ) 라는 것이 유클리드 호제법의 원리이다 .

증명을 하기 전에 간단한 예제를 통해 알아보기로 하자 ...

EX) (33, 18) 의 공약수를 구하라 .33, 18 의 최대공약수를 d 라고 하면 , 33 = 18×1 + 15 이므로 18, 15 의 최대공약수도 d 이다 . 18 = 15×1 + 3 이므로 15, 3 의 최대공약수도 d 이다 . 15, 3 의 최대공약수는 3 이므로 , d = 3 임을 쉽게 알 수 있다 .

이 방법을 우리가 흔히 사용하는 방법으로 구해보면…

33 181

18

15

115

3515

0

33 을 18 로 나눈다 .( 몫 1, 나머지 15)18 을 15 로 나눈다 .( 몫 1, 나머지 3)15 를 3 으로 나눈다 .( 나누어 떨어짐 )

마지막 나눗셈의 제수 ( 나누는 수 ) 가최대공약수 즉 , (33, 18)=3

a = qb + r ( a,b,q,r 은 임의의 정수 )a 와 b 의 최대공약수는 b 와 r 의 최대 공약수와 같다( 증명 )우리는 gcd(a,b)=gcd(a-qb,b) 임을 보이면 충분하다 . gcd(a,b)=d , gcd(a-qb,b)=s 라고 하자 1) d ≤ s 임을 보일것이다 . d I a & d I b & d l qb => d I a-qb따라서 d 는 b 와 a-qb 의 공약수S 는 a-qb 와 b 의 최대공약수이므로 d≤s 임을 알 수 있다 .

a = qb + r ( a,b,q,r 은 임의의 정수 )a 와 b 의 최대공약수는 b 와 r 의 최대 공약수와 같다( 증명 )우리는 gcd(a,b)=gcd(a-qb,b) 임을 보이면 충분하다 . gcd(a,b)=d , gcd(a-qb,b)=s 라고 하자 1) d ≤ s 임을 보일것이다 . d I a & d I b & d l qb => d I a-qb따라서 d 는 b 와 a-qb 의 공약수S 는 a-qb 와 b 의 최대공약수이므로 d≤s 임을 알 수 있다 .

유클리드 호제법을 증명해보자 .

2) d ≥ s 임을 보일것이다 s I a-qb & s I b & s I qb => s I (a-qb)+qb=a 따라서 s 는 a 와 b 의 공약수이다 . d 는 a 와 b 의 최대공약수이므로 d ≥ s 임을 알 수 있다 .

1), 2) 에 의해서 d ≤ s , d ≥ s 이므로 d=s

2) d ≥ s 임을 보일것이다 s I a-qb & s I b & s I qb => s I (a-qb)+qb=a 따라서 s 는 a 와 b 의 공약수이다 . d 는 a 와 b 의 최대공약수이므로 d ≥ s 임을 알 수 있다 .

1), 2) 에 의해서 d ≤ s , d ≥ s 이므로 d=s

유클리드 호제법 gcd(a,b)=gcd(a-qb,b) 을 이용하여gcd(2424869,9509) 를 계산해보기로 하자 ..

gcd( 2424869, 9509) = gcd( 2424869-255 ×9509, 9509)= gcd ( 74, 9509)= gcd (74 , 9509-128×74 )= gcd (74, 37)= gcd (74-2×37, 37)= gcd(0 , 37)= 37따라서 gcd(2424869,9509)=37 임을 구할 수 있다 .

흔히 사용하는 방법을 써 보자

2424869 9509

-1901800

200

523069

50 -

475450476195-47545

74

100

-7400

2109 20-1480

629 8-592

372-74

0

최대 공약수

참고문헌www.banyo.ms.kr/no1122/number/uclid.htm< 수학의 천재들 >, 오승재 , 경문사

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