•力学

•电磁学

•振动

上册

质点运动学质点与质点系动力学刚体力学基础机 械 振 动 基 础

力学

物体位置随时间的变化

力学 运动学

动力学（即在什么条件下，作什么样的运动）

经典力学宏观

低速

—— 研究机械运动的规律

— 研究如何描述物体的机械运动— 研究机械运动的内在规律

—— 尺寸不太小（与原子、分子比）

—— 速度不太大（与光速比）

确定质点位置的方法质点的位移、速度和加速度切向加速度和法向加速度

圆周运动的角量表示

§ 1.1 确定质点位置的方法

一、质点的概念

(1) 理想模型 ( 为了简化问题 )(2) 条件 研究的问题中大小和形状不起显著作用

•只具有质量 , 大小和形状可以忽略的几何点

物体：具有大小、形状、质量和内部结构的物质形态。

一般情况下，物体各部分的运动不相同，在运动的过程中大小、形状可能改变，这使得运动问题变得复杂。

可以作为质点处理的物体的条件：大小和形状对运动没有影响或影响可以忽略。研究地球公转

3

8

104.6

105.1

E

ES

RR

1104.2 4

地球上各点的公转速度相差很小，忽略地球自身尺寸的影响，作为质点处理。

研究地球自转

Rv

地 球 上 各 点 的 速度 相 差 很 大 ， 因此 ， 地 球 自 身 的大 小 和 形 状 不 能忽 略 ， 这 时 不 能作质点处理。

除车轮外，汽车各部分运动情况完全相同，车轮的运动是次要的，此时可把汽车作为质点处理。

研究汽车在平直道路上运动

涉及转动问题，汽车各部分运动情况不同，各个车轮受力差异很大，不能把汽车做质点处理。

研究汽车突然刹车“前倾”或转弯

质点是从实际中抽象出的理想模型，研究质点的运动是为了抓住事物的主要矛盾进行研究分析。

参考系：描述物体运动时，被选作参考的物体，称为参考系。 要定量描述物体的位置与运动情况，就要运用数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。 常用的坐标系有直角坐标系 (x,y,z) ，极坐标系(,) ，球坐标系 (R,, ) ，柱坐标系 (R, ,z ) 。

xy

z

o

z

R 参考方向

z

o

R

xy

在运动轨道上任一点建立正交坐标系 , 其一根坐标轴沿轨道切线方向 , 正方向为运动的前进方向；一根沿轨道法线方向，正方向指向轨道内凹的一侧。

n

显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。

自然坐标系

n

切向单位矢量 法向单位矢量 n

·

x

z

y

z( t )

y( t )

x( t )

r( t )

P( t )

0

二、确定质点位置的方法P 点位置 :

1 、坐标法

P 点的位置可用坐标

（ x,y,z) 确定。

2 、自然法：

+

在已知的运动轨迹上任选一故定点 o, 为自然坐标的原点，运动轨迹的长度 s , 为 p 点的自然坐标。

o sp

o

x

y

z

i

k

j

在直角坐标系中，用来确定质点所在位置的矢量，叫做位置矢量，简称位矢。位置矢量是从坐标原点指向质点所在位置的有向线段。

r

P(x,y,z)

rx /cos ry /cos rz /cos

OPr 位置矢量

3 、位矢法

kzjyixr

r 222 zyxrr

从 O 指向P

方向：大小 :

x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t )

三、质点的运动学方程

ktzjtyitxtr

)()()()(

• 直角坐标

1 . 运动学方程 :

• 自然坐标系 )(tfs

·

y( t )

r( t )

P( t )

0

z( t )

z

y

x

x( t )

• 运动方程的矢量式

质点的位置随时间按一定

规律变化，位置用坐标表示为时间的函数，叫做 运动方程。

注意运动方程与轨道方程区别

x=Rcos t

y=Rsin t

x2+y2=R2

轨迹方程

2. 轨道方程 : 质点在空间运动所经过的路迹，

在运动方程中消去时间 t . 得到质点的轨迹方程。

如 :( 消去 t)

求：写出以 v0初速度作平抛运动的质点的运动方程。

解：建立坐标系x

y

0 0v

tvx 0 2

21

gty

0z

jgtitvr 2

0 21

y

x0 0v

jgtitvr 2

0 21

x

y

00v

x0

y0

jgtyitvxr

2

000 21

注意：不同的坐标系对同一运动的描述不同。

例 : 一质点 作匀速圆周运动，圆周半径为 r, 角速度 分别写出用直角坐标、为式、自然坐标表示的质点运动方程。

topo

t r x cos

t r y sin jyixr

j t r i t r

sin cos

trs

P(x,y)

so

y

r

o x

·

直角坐标

位置矢量

自然坐标

)(Br

BΔS A

)(Ar r

Δ位移反映质点位置变化的物理量，

从初始位置指向末位置的有向线段。

AB

r

Δ

注意区分 、r

Δ r

rΔ

o

Ar

Br

r

ΔAB rr

一 、 位移§1.2 位移 .速度 .加速度

大小 :A-B 间的直线距离方向 : 由 A B

r

路程 : 内质点在轨道上经过

的路径长度

A Bs 曲线长

路程是标量

t

Δrr(1)

r(2) 0

Δr

(2 ) . sr

0r

0s

A(B)

dsrd

sr ？

位矢增量的大小( 位移大小 )位矢大小的增量

注意 : (1) 位移与过程无关

ΔS1 = ΔS2

A BΔS2

1s ABrrr

21

二 . 速度二 . 速度

速度是描述质点位置随时间变化的快慢和方向的物理量。

tΔ

Δ rv

1.平均速度

2.平均速率t

vs

Δ

Δ

平均速度是矢量，其方向与位移的方向相同。平均速率是标量。平均速度的大小并不等于平均速率。例如质点沿闭合路径运动。

3. 瞬时速度

o

)(tr

P1tttt

t Δ

Δ

0Δ

)()(lim

rrv

当 t0时， P2 点向 P1 点无限靠近。

P2P2P

2

P2

P2

P2P2

P2

)( tt r

)0( tr

)0( tr

P2

)( tt r

)0( tr

tdd r

tt Δ

Δ

0Δlim r

瞬时速度方向：r

的极限方向

即沿 P1 点的切线并指向前进方向

dt

rd

k

dt

dzj

dt

dyi

dt

dx

kji zyx

222

zyx

速度的大小表示为

速度的方向由下式决定

vxvcos

vv ycos

vv zcos

直角坐标中的速度：

描写沿轨道运动的快慢瞬时速率 :

vst

ds

t

sv

t

0

lim

注意 : 1. 速率即速度的大小是算术量，恒取正值

td

rd

td

rd

.2 ？ v

td

rd

rvtd

rd

Δv

v (t )

v (t+Δt )

x

r(t+Δt )r(t)

y

z

P2

P1

0

v (t )

v (t+Δt )· ·

三、 加速度 ---- 描述质点速度变化情况 ( 大小 . 方向 )1. 速度增量

)()( ttt

注意 的方向

2. 平均加速度

ta

大小

方向t

的方向

x

r(t+Δt )r(t)

y

z

P2

P1

0

v (t )

v (t+Δt )· ·3. 瞬时加速度令 t 0

dt

d

ta

t

0

lim2

2

dt

rd

与a

方向是否一致？其方向是 0t

时 v

的极限方向 ,

指向曲线凹的一边 .

加速度与速度的夹角大于90 ，速率减小。

加速度与速度的夹角等于90 ，速率不变。

v

g g

v

v

远日点 近日点

v

v

v

v

v v

v

g

g

g

gg

g g

g

加速度与速度的夹角小于 900 ，速率增大。

kdt

dj

dt

di

dt

da zyx

kajaiaa zyx

222

zyx aaaaa

的极限方向

方向 :

大小 :

指向轨迹曲线凹的一面

a

axcosa

aycos a

azcos

dt

vda

a

直角坐标中的加速度

注意：容易出错的地方

)m(jyixr

R

van

2

zkyjxir

（ m）

tn aaa

22tn aaa tn aaa

运动学中的两大类问题1.微分法

)(trr

)(),( tat已知 求任意时刻

dt

rd

2

2

dt

rda

2.积分法 已知初始条件 )()(, 00 ttaar 或及

求任意时刻 )(, tr

dt

da

dtad

t

dtadt

00

dt

rd

tr

r

dtrdt

00

t

dtat0

0)(

t

dtrtr0

0)(

例 : 质点沿 x 轴作匀变速直线运动，加速度为 a ， t=0 时坐标为 , 速度为 ，求运0x 0v动方程及速度 v.

o xv

dt

dva adtdv

v

v

t

adtdv0 0

at v v 0

dt

dxv dtatvdx )( 0

由速度的定义

dtatvdxx

x

t

)(0 0

0

200 2

1attvxx

dx

dvv

dt

dx

dx

dv

dt

dva

adxvdv v

v

x

x

adxvdv0 0

)(2 020

2 xxavv

例 : 已知 : 质点的运动方程 2225 ttx (SI)

求 : (1) 质点在第二秒末 av `

(2) 质点作什么运动。 （ 3 ） 第二秒内位移及平均速度 （ 4 ） 第一秒内位移 及第一秒内路程

解 : （ 1 ）瞬时速率： ttd

xdv 42 smv /62422

加速度： 2/4 sma (2) 令 mxsttv 5.5,5.0,042.0 )5.0(

st 5.0 0v0a 匀减速

t=0.5sX

xt=0s t=0.5s

st 5.0 0v0a 匀加速

（ 3） m

xxx

4)125()22225( 22

)1()2(

smt

xv /4

12

4

（ 4）

0)5()12125( 2)0()1( xxx

mxxxxS 15.05.0)5.0()1)0()5.0 （（

x

t=0.5s Xt=1s

5.5m5m

t=0.5s

5m 5.5m

t=0s

例 mktjtittr 3253 已知

求 （ 1 ） t = 3 s 时的速度；（ 2 ） 1s ~4s 内的平均速度解（ 1 ）

dt

rdtv

ktjti

2323

127633 mskjiv

kjir

64111242

kjir

431

1414

41

rr

v

363159 kji

12153 mskji

一质点某时刻位矢 ，其速度的大小为),( yxr

22 )()(dt

dy

dt

dx

dt

rd

dt

rd

dt

rd

（ A）

（ B ）

（ C ） （ D ）

（ A ）

（ D ）

质点作平面曲线运动，则

vvvv

, vvvv

,

vvvv

,vvvv

,（ C ） （ D ）

（ B ）（ A ） （ B ）

思考题

思考题 2

小结1 、位置矢量： kzjyixr

r 222 zyxrr

方向：大小 :

2 、位移矢量： )()( trttrr

kzzjyyixxr

121212

2122

122

12 zzyyxxr

r

大小方向 :

3 、速度 dt

rd

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dxv

222

zyx

vxvcos

vv ycos

vv zcos

大小方向

速度

4 、加速度dt

da

kdt

dj

dt

di

dt

da zyx

思考 ： 一质点一恒定速率 v 在圆周轨道上运动，已知时刻 t 质点 在 A 点 ; 在时刻 t + t △ ，质点运动到 B 点 ，取圆心为位矢 r 的原点，写出时间 内

t

r

r v

v 以及任 意时刻 t 时 ,

dt

rd

dt

dr

dt

vd

dt

dv2

2

dt

rd

2

2

dt

rd 的值

v

oB

ro xA

§1.4 用自然坐标表示平面曲线 运动的速度和加速度

一、速度)()( tsttss

t

rv

t

0

lim

s

rs 0

lim

dt

dsv

t

s

s

rt

0lim

0s

1lim0

s

rs

zsp

x

)( ttr )(tr

r

v

y

q

o

s

dt

dsv

由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因此，自然坐标系中可将速度表示为：

由加速度的定义有

tv

dda v

dt

dtv

dd

二、 自然坐标系下的加速度

o

dds

n

P

n dd

ntt

d

d

d

d n

nr

v

以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物理意义：如图，质点在 dt 时间内经历弧长 ds，对应于角位移 d 。作出 dt 始末时刻的切向单位矢量，由矢量三角形法则可求出极限情况下切向单位矢的增量

d即 与 P 点的切向正交。因此

P

dd

on

P

a

na

ta

于是前面的加速度表达式可写为：

tva

dd R

van

2

即圆周运动的加速度可分解为两个正交分量：

nr

v

dt

dva

2

称切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢；

称法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的 快慢。

a

na

自然坐标系中总加速度为：

naaa

改变

速度大小

改变

速度方向

22naaa

a

an1tan

a

na

a

o o 两组单位矢量 ？ kji

与 n

的区别是什么？

加速度的大小和方向

二、圆周运动中的加速度

oo

pr

r

qr pq

p v

qv pq vvv

vvv n

ta

t

0

lim

t

va

t

0lim

qvTv

o

v

nv

E

p

q pv

t

vnt

0lim

t

vt

0lim

t

va n

tn

0

limdt

vd n

dt

vd n

的极限方向一致。 方向与 na

nv0t 时

00 t nv

oo

pr

r

qr pq

p vqv

na

qv

pv

Tv

nv

o

p

q

E

v

pp

n

r

r

v

v

v

r

svn

t

va n

tn

0lim

t

va

t

0

lim

t

s

r

vt

0lim

r

v2

t

vt

0lim

dt

dv

方向沿半径指向圆心称法向加速度

三角形 OPQ与

EPO 相似

称为切向 加速度，

方向沿圆周的切线。

a

2van

dt

dva

0a

为瞬时曲率半径

三、平面曲线运动运动中的加速度

力学中利用加速度与曲率半径的关系求曲线轨迹上各点的曲率半径。

22naaa

222

dt

dvv

22

2

dtdv

a

v

例题 质点沿半径 R=3m 的圆周运动，切向加速度 2/3 sma 0t 质点 在 p 点，速度 00 v

求：｛ 1｝ t=1 秒时质点速度和加速度的大小；

0R

P

+

解：dt

dva dtadv

tavdtadvt

v

0

0

R

ta

R

van

222

｛ 2｝第二秒内质点通过的路程

dt

dsv

tdt a dsst

00 ms 5.4123

2

1 22

vdtds

2

2

1tas

§1.5 圆周运动的角量表示一 . 圆周运动的角量描述一 . 圆周运动的角量描述

o x

y

用位矢、速度、加速度描写圆周运动的方法，称线量描述法；由于做圆周运动的质点与圆心的距离不变，因此可用一个角度来确定其位置，为角量描述法。

A ： t

B ： t+t

设质点在 oxy 平面内绕o点、沿半径为 R 的轨道作圆周运动，如图。以 ox 轴为参考方向，则质点的

角位置为 角位移为 规定反时针为正平均角速度为 t

角速度为tt

0

limtd

d

角加速度为

角 速 度 的 单位： 弧度 / 秒 (rads-1) ；角加速度的单位： 弧度 /平方秒 (rad s-2) 。

讨论： (1) 角加速度对运动的影响：

2

2

0lim dt

d

dt

d

tt

C 0 质点作匀速圆周运动C

C质点作匀加速圆周运动质点作变速圆周运动

)(2

2/

020

2

200

0

tt

tt

(2) 质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、角位移与角加速度的关系式为

)(2

2/

020

2

200

0

xxavv

attvxx

atvv与匀变速直线运动的几个关系式

比较知：两者数学形式完全相同 ,说明用角量描述 , 可把平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。

R

O x

二 . 线量与角量之间的关系二 . 线量与角量之间的关系

圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。

+

0

0+t+t

B

tA

图示 一质点作圆周运动：在 t 时间内，质点的角位移为，则 A、 B间的弧将满足下面的关系

AB

两边同除以 t，并取极限得到速度与角速度之间的关系：

Rs

dt

dva

R

van

2

（ 2 ）

（ 3 ）

dt

dR

Ra

v 2Ran

tR

t

stt

00

limlim

R v

（ 1）

例 半径 r =0.2 m 的飞轮，绕 o 轴转动。 M 点的

运动方程 tt 42 求 M 点 的速度和加速度。v

R

x0

Mna

a

a

sradtdt

d42

22 sraddt

d

smtrrv 4.0)42(

s m r a4. 0

22 8.0 smran 222 89.0 smaaa n

2 aatg n04.63

R

o在 t 时刻，质点运动到位置 s 处。其速度为：

ss解：先作图如右， t = 0 时，质点位于 s = 0 的 p点处。

n

τ

P

（ 1 ） t 时刻质点的总加速度的大小； （ 2 ） t 为何值时，总加速度的大小为 b ； （ 3 ）当总加速度大小为 b 时，质点沿圆周运行了 多少圈。

例 一质点沿半径为 R 的圆周按规律 运动， v0 、 b 都是正的常量。求：

2/20 bttvs

btvdt

dsv 0

n

τ

a

a

22nτ aaa

（ 2 ）令 a = b ，即

bR

bRbtva

220 )()( R

o

s

（ 1 ） t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小 :

t

v

d

d

R

v2

2

2

d

d

t

s b

Rbtv 2

0)(

R

bRbtv 220 )()(

n

τ

（ 3 ）当 a = b 时， t = v0/b ，由此可求得质点历经 弧长为

/220 bttvs

它与圆周长之比即为圈数：

R

sn

2

R

o

s

bvt /0

bv /220

Rb

v

4

20

n

τ

得

1. 质点作匀变速圆周运动，则切向加速度的大小和方向都在变化法向加速度的大小和方向都在变化切向加速度的方向变化，大小不变切向加速度的方向不变，大小变化

质点作匀变速圆周运动，速度的大小方向都在变化；切向加速度和法向加速度的大小方向都在变化。

R

o

思考题

2. 判断下列说法的正、误：a. 加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。b. 平均速率等于平均速度的大小。

d. 运动物体的速率不变时，速度可以变化。例如：物体做抛体运动，加速度恒定，而速度方向改变。

c. 不论加速度如何，平均速率的表达式总可以写成2/)( 21 vvv , 其中 v1 是初速度， v2 是末速度。

tsv /依据 平均速率 t /rv

平均速度的大小

2. 判断下列说法的正、误：a. 加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。b. 平均速率等于平均速度的大小。

d. 运动物体的速率不变时，速度可以变化。 例如：物体做抛体运动，加速度恒定，而速度方向改变。

c. 不论加速度如何，平均速率的表达式总可以写成2/)( 21 vvv , 其中 v1 是初速度， v2 是末速度。

tsv /依据 平均速率 t /rv

平均速度的大小

思考题

本章小结1 、位置矢量： kzjyixr

r 222 zyxrr

方向：大小 :

2 、位移矢量： )()( trttrr

kzzjyyixxr

121212

r

xcos

r

ycos

r

ycos

2122

122

12 zzyyxxr

r

大小方向 :

r

x

cos

r

y

cos

r

z

cos

3 、速度 dt

rd

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dxv

222

zyx

vxvcos

vv ycos

vv zcos

大小方向

速度

dt

dsv

直角坐标

自然坐标 大小方向

速度 dt

dsv

（定义式）

（运动的分解）

的极限方向

方向 :

大小 :

指向轨迹曲线凹的一面

a

a

axcosa

aycos

a

azcos

222

zyx aaaaa

4 、加速度dt

da

kdt

dj

dt

di

dt

da zyx

直角坐标

自然坐标 dt

dvn

r

va

2

（定义式）

大小方向

加速度22naaa

t

n

a

a1tan

5 、匀加速直线运动，抛体运动

6 、圆周运动的角量描述dt

d

dt

d

Rv Ra

2Ran

角量与线量的关系

讨论

aa

na ta na ta

质点沿固定的圆形轨道， 若速率 v 均匀增加， at 、 a

n 、 a 以及加速度与速度间的夹角中哪些量随时间变化？

R

van

2

tat

n

a

atg

变化

均匀 = 不变 变化 变化

22nt aaa