Модели межотраслевого баланса

Модели

межотраслевого баланса

Модели межотраслевого баланса

1. Основные допущения и предпосылки.1. Рассматривается производственный сектор экономики.2. Производственный сектор экономики разделен на отдельные отрасли. Каждая отрасль производит один вид продукта.

2. Основные понятия и постановка задачи.n – количество отраслей в производственном секторе экономики;

y = {y1,y2,…,yn}Т – вектор конечных продуктов (конечный спрос). yi- количество продукта в стоимостном выражении отрасли i,

которое необходимо для нужд экономики.Сюда не вход продукция i-ой отрасли, которая необходима для удовлетворения потребностей производственного сектора.

Xp ={x1

p,x2p,…,xn

p}Т – вектор промежуточного спроса.Здесь xi

p – количество продукции отрасли i, которое необходимо для всех отраслей производственного сектора.

X={x1,x2,…,x3}Т – вектор валового выпуска продукции.xi- количество продукции отрасли I, которое необходимо для обеспечения конечного и промежуточного спросов экономики.


Задачи межотраслевого баланса.

1. Определение количества валового продукта X={x1,x2,…,x3}Т, производственного сектора экономики по известному конечному спросу y = {y1,y2,…,yn}Т.

2. Как распределить по отраслям производства промежуточный продукт каждой отрасли.

Статическая модель межотраслевого баланса (СММБ)

Для решения поставленных задач необходимо найти функции:

x1=f1(y1,y2,…,yn)

x2=f2(y1,y2,…,yn)

xn=fn(y1,y2,…,yn)

И функции φij(xj) j=1,2,…,n, которые определяют, какое количество продукта отрасли i необходимо отрасли j для выпуска своей продукции в объеме xj.


2.1. Построение функции φij(xj).

Пусть функции fi(y1,y2,…,yn) известны.

Тогда очевидно, что xi=xip +yi или

xip =yi –xi (2.1)

Пусть xij – часть величины xip, которая необходима для

отрасли j, чтобы обеспечить выпуск своей продукции в количестве xj.

Тогда должно выполняться равенство:

xip=xi1+xi2+…+xin=Σxij (2.2)

Xij-зависит от xj, чем больше выпуск продукции, тем больше ресурсов для этого необходимо:

xij =φij(xj)


Примем, что φij(xj) – линейная функция вида:

φij(xj)=bij + aijxj (2.3)

Коэффициент bij можно определить из условия, если xj=0, то xij=0. Другими словами. Если отрасль ничего не произ-водит, то ей не нужны и ресурсы. Следовательно, bij=0.

Окончательно: xij = aijxj (2.4)

Определение. Коэффициенты aij в равенстве (2.4) называются технологическими коэффициентами прямых затрат.

Коэффициент aij численно равен тому количеству продукции отрасли i, которое необходимо отрасли j для производства единицы своей продукции.

Определение. Матрица А={aij} называется матрицей прямых материальных затрат.

Определение. Матрица Х={xij} называется матрицей межотраслевых поставок.


Если значения коэффициентов aij известны тогда можно записать:

xip = Σaijxj i=1,2,…,n

А величина валового выпуска из (2.1) есть:

xi = Σaijxj + yi, i=1,2,…,n (2.5)

Определение. Выражение (2.5) называется точечной моделью «затраты-выпуск» или статической моделью межотраслевого баланса.

Модель впервые была предложена В.Леонтьевым.Модель представляет собой систему из n уравнений с n

неизвестными.


В векторной форме модель (2.5) имеет вид:AX + Y = X (2.6)

Определение. Форма (2.6) называется канонической или структурной формой статической модели межотраслевого баланса.

Решив уравнение (2.6) относительно Y получим:Y = (E – A)X (2.7)

где Е единичная матрица.Тогда решение задачи 1 получим в следующем виде: X = (E-A)-1Y (2.8) или X = BY (2.9)Определение. Форма (2.9) СММБ называется приведенной формой модели

«затраты-выпуск». Модель (2.9) позволяет определить валовой выпуск продукции

производственного сектора экономики по заданному конечному спросу.Значения технологических коэффициентов aij определяются методами

эконометрики по результатам наблюдений за функционированием экономики.

Определение. Матрица Xp={xij} называется матрицей межотраслевых поставок (межотраслевых потоков).


Свойства технологических коэффициентов

По определению все yi≥0 и xj≥0 тогда следует:

aij ≥0 при всех i и j

xii=aijxi ≤ xi

т.к. поставки самому себе по определению меньше валового выпуска. Следовательно: 0≤aij≤1.

Главное свойство – матрица А не имеет нулевых столбцов.

Экономически это означает, что ни одна отрасль не может что-либо производить ничего не потребляя.


Рассмотрим матрицу межотраслевых поставок X={xij}

Ее столбец j представляет собой затраты отраслей производственного сектора на валовый выпуск xj отрасли j.

Очевидно, что валовый выпуск всегда больше суммы промежуточных затрат, т.е:

n

iijjj xxz

1

Величина zi называется добавленной стоимостью отрасли j или вновь созданной стоимостью и включает в себя оплату труда рабочих в отрасли j, амортизационные отчисления и прибыль отрасли j.


Примеры. Фрагменты матриц технологических коэффициентов для экономик СССР (1972г) и Японии (1980)

i\j Тяжелая промышл. Легкая промышл. Сельское хозяйство

Тяжелая промышл. a11=0.4339 a12=0.0397 a13=0.1145

Легкая промышл. a21=0.0185 a22=0.3166 a23=0.0396

Сельское хоз. a31=0.0085 a32=0.2586 a33=0.2020

i\j Тяжелая промышл. Легкая промышл. Сельское хозяйство

Тяжелая промышл. a11=0.2311 a12=0.0433 a13=0.1158

Легкая промышл. a21=0.0980 a22=0.4525 a23=0.0683

Сельское хоз. a31=0.1645 a32=0.0004 a33=0.1078

СССР

Япония


Коэффициенты полных материальных затрат.Рассмотрим приведенную форму модели «затраты-выпуск»

в точечном (координатном) виде:

xi = Σbijyj Зафиксируем номер J, а значениям конечных спросов

присвоим следующие значения: y1=0,y2=0,…,yj=1,yj+1=0,…,yn=0

Тогда получим: xi=bij (2.10)

Следовательно, bij есть количество валовой продукции отрасли i, которое необходимо для выпуска единицы конечной продукции отраслью j.

Определение. Коэффициенты bij называются коэффициентами полных материальных затрат, а матрица B={bij} мультипликатором Леонтьева.


AEbB ij

1

Пример. Для матрицы технологических коэффициентов экономики СССР построить матрицу полных затрат.

Матрица В равна:

282514874003590

081504970105020

265102036077721

798002586000880

039606834001850

114500397056610

202002586000880

039603166001850

114500397043390

100

010

001

1

...

...

...

AEB

...

...

...

...

...

...

AE

(2.11)

В таб. (2.11) каждый коэффициент bij – это количество продукции (в руб.) отрасли i необходимое для обеспечения выпуска конечной продукции отраслью j на один рубль.


Пример (Продолжение).

Сопоставляя значения коэффициентов матриц А и В, видно, что полные затраты выше прямых (например, b12/a12=5.1). Это согласуется с экономическим смыслом этих коэффициентов.

Коэффициенты bij позволяют вычислять валовые выпуски x1, x2, x3 по заданным значениям их конечной продукции:

y.y.y.x

y.y.y.x

y.y.y.x

3213

3212

3211

282514874003590

081504970105020

256102036077721

Зная валовые выпуски отраслей легко рассчитать элементы матрицы межотраслевых поставок:

xij=aij*xj

Статическая модель межотраслевого баланса в натуральном выражении

Введем матрицу цен на продукцию P={pij}, при этом pii>0, а pij=0,при i≠j и xi

*, yi* валовой и конечный спросы на продукцию

отрасли i. Тогда можно записать связь между соответствующими продуктами в виде:

xi=piixi*; yi=piiyi

* или в векторном виде: X=PX*, Y=PY*.Подставив полученные выражения в (2.6), получим: APX* +PY* = PX* (2.12) Умножив обе части уравнения (2.11) на P-1, получим: Р-1АРХ* +Р-1РY* = P-1PX* или A*X* +Y* = X*Здесь А*=Р-1АР={aij*} –матрица технологических коэффициентов

в натуральном выражении.

По своим свойствам матрицы А и А* не отличаются.

Статическая модель межотраслевого баланса в натуральном выражении

*AEbBгде

YBX

ij*

***

1

Можно по аналогии перейти от структурной формы модели в натуральных показателях к приведенной:

Связь между матрицами В и В* задается выражением:

PBPB* 1

Обычно СММБ составляются одновременно в натуральном и стоимостном выражениях.

Таблица тождества межотраслевого баланса

№ отрасли

№ отрасли

Отрасли как потребители Конечный спрос

Валовый

выпуск

1 … J … n Y x

Отр

асли

как

пр

оизводи

тели

1 x11 … x1j … x1n y1 x1

… … … … … … … …

j xi1 … xij … xin yi xi

… … … … … … … …

n xn1 … xnj … xnn yn xn

Добавленная стоимость

z1 … zj … zn

Валовый выпуск XT

x1 … xj … xn

Труд L1 … Lj … Ln Ly Lx

Таблица межотраслевого баланса

Анализ таблицы межотраслевого баланса

n,...,,iприyxx i

n

jijj 21

1

Таблица межотраслевого баланса наглядно воспроизводит качественную и количественную структуры межотраслевых связей.

Так строка i показывает распределение валового выпуска отрасли i. При этом имеет место равенство

Столбец j описывает производственные затраты отрасли j на выпуск ее продукции. При этом справедливо равенство:

n,...,,jприzxx j

n

iijj 21

1

(2.13)

(2.14)

Тождество (2.14) – баланс затратТождество (2.13) – баланс выпуска

Анализ таблицы межотраслевого баланса

n,...,,izxyx i

n

kkii

n

kik 21

11

Из соотношений (2.13) и (2.14) вытекают два тождества:

Тождества (2.15) означают, что производственные затраты отрасли i, увеличенные на добавленную стоимость ее продукции, равны стоимости выпуска этой продукции

Просуммировав (2.15) по i, получим второе тождество:

(2.15)

zy ii (2.16)

Тождество (2.16) означает, что общая сумма конечных спросов равна общей сумме добавленных стоимостей

Равенства (2.15-2.16) называют тождествами межотраслевого баланса

Documents

Модели межотраслевого баланса