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経営システム工学入門実験ロジスティクス　第３回

２０１０／７／１２担当教員　森戸　晋・本間 裕大

担当助手　村田　康一協力：　森戸研究室修士学生

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郵便局 X

〒

郵便局 Y

〒

郵便局 Z

〒

郵便局 A

〒

郵便局 B

〒郵便局 C

〒

郵便局 D

〒

140

120 270

250

7050

出超局（都会）

入超局（田舎）

+100

+250

+150

10

1010

20

90

120

30 40

130 16090 70

40

100

20

60

-180

-90 -120

-110

パレット回送問題

3

4

パレット回送問題のデータ

実パレット 局間移動量 送出量 受取量X Y Z A B C D 合計 合計 送出－受取

X 140 100 70 50 30 60 450 350 100Y 120 250 180 130 160 150 990 740 250Z 90 270 100 70 80 40 650 500 150A 50 120 40 10 50 30 300 480 - 180B 40 90 30 10 10 30 210 300 - 90C 30 70 50 70 20 90 330 450 - 120D 20 50 30 50 20 120 290 400 - 110

受取量計 350 740 500 480 300 450 400 3220 3220 0

5生産計画問題（２製品、３リソース）

大久保工場では、鉄鋼、電力、労働力という３種類のリソースを使って、２種類の製品を生産しています。この工場では、いま来週の生産計画を立てようとしています。手持ちのリソースの範囲で、利益最大とする生産計画を求めてください。

　 　　　製品１ 製品２ 　　　　来週使えるリソース

許容上限 鉄鋼 １ ２ １４ 電力 １ １ ８

労働力 　 ３ １ １８利益 　 ２ 　３

6数理計画問題（最適化問題）の定式化 変数 (variables) の定義

なにが制御可能か。なにを動かして最適化を達成しようとするのか。　

目的関数 (objective function) の定義計画をどう評価するのか。評価値を大きくしたいのか、小さくしたいのか。

制約条件 (constraints) の定義どのような制約条件があるのか。

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線形計画問題 変数（決めること）

製品１の生産量 ｘ１

製品２の生産量 ｘ２

最大化 ｚ＝２ ｘ１ ＋ ３ ｘ ２ （目的関数：利益）

制約条件 ｘ１ ＋ ２ ｘ ２ ≦ １４ （鉄鋼） ｘ１ ＋ ｘ ２ ≦ ８ （電力） ３ ｘ１ ＋ ｘ ２ ≦ １８ （労働力） ｘ１，ｘ２≧０ 　（非負条件）

8線形計画問題（ＬＰ）(Linear Programming)

目的関数、制約条件がすべて線形関数からなる 変数は、原則として非負の実数（連続変数） 最大化

　ｚ　＝ Σ j=1,...,n ｃｊ ｘｊ

制約条件 Σ j=1,...,n ａｉｊ ｘｊ ＝ ｂｉ , i=1,...,m 　　　　 ｘｊ ≧０ , j=1,...,n

9ソルバー使用上の留意点• 「変化させるセル」（変数セル）はなるべく一箇所にま

とめる– 複数の部分に分かれている場合はコンマ区切り

• 式をコピーする場合は、セルの相対参照と絶対参照を使いわける（セルの絶対参照切替は F4 ）

• 「オプション」で、「線形モデルで計算」と「非負数を仮定する」にチェックを忘れずに

• 整数条件や０－１条件が必要なときは、制約条件の指定の中で、変化させるセルを「区間」（＝整数）または「デー」（０－１）に

10輸送問題 (Transportation Problem)

X工場 Y工場 Z工場 供給量輸送量 A処理場 18

(xij) B処理場 9C処理場 12D処理場 11

必要量 10 25 15

問題のシナリオ： 早稲田工業では、４ヵ所の原料処理場 A,B,C,Dで処理された原料を使って、3つ

の工場 X,Y,Zで生産を行っている。7月の処理場、および工場の生産計画はすでに決まっている。この

原料の輸送は危険を伴うため、非常にコストがかさむ。輸送費は、輸送量＊輸送単価で計算できる。

各処理場から工場に送ることのできる原料の供給量、各工場が生産に必要とする原料の必要量が下表

のように与えられ、さらに、各処理場から各工場までの輸送単価が既知であるとき、延輸送距離（輸

送距離＊輸送量）が最小となる輸送計画を求めたい。

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処理場 B

処理場 C

処理場 D

工場 X

工場 Y

工場 Z

処理場 A 必要量

供給量

１０

２５

１５

１８

　９

１２

１１ 枝上に輸送距離

６

１５ ４

５６

６３

８７ ２

１０

輸送問題

12輸送問題(Transportation Problem)

変数（決めたいこと）処理場ｉから工場ｊへの輸送量ｘ ij （≧０）

制約条件１）処理場ｉからの輸送量は処理場ｉの供給量以下２）工場ｊへの輸送量は、工場ｊの必要量以上

目的関数（評価尺度；狙い）延輸送距離を最小化

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輸送問題の数式による表現

変数ｘ ij = 処理場ｉから工場ｊへの輸送量≧ 0

目的関数　　最小化　 6 ｘ AX+ ｘ AY+ 5 ｘ AZ+ 4 ｘ BX+5 ｘ BY+…+2 ｘ DY+10 ｘ DZ 　 （延輸送距

離）

制約条件ｘ AX+ ｘ AY+ ｘ AZ≦18 （処理場 A の送出量≦処理場 A の供給

量）．．．

ｘ AX+ ｘ BX+ ｘ CX + ｘ DX≧15 （ 工場 X への輸送量≧工場

X の必要量）．．．

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輸送問題の数式による表現 データ

処理場ｉの供給量 ai，　工場ｊの必要量ｂｊ

処理場ｉから工場ｊへの距離ｃ ij 　 変数

ｘ ij = 処理場ｉから工場ｊへの輸送量≧ 0 目的関数　　最小化　 ΣiΣ ｊｃ ijｘ ij 　　（延輸送距離）

制約条件Σ ｊｘ ij ≦ai 　（処理場ｉから送り出される量≦処理場ｉの供給量）

Σiｘ ij ≧ ｂｊ （ 工場 j へ輸送される量　　　 ≧工場ｊの必要量）

15パレット回送問題の言葉による表現

流れの特徴：　都会から地方へのものの流れが、地方から都会へのものの流れより多い

特徴によって生じる問題：　ほっておくと、都市のパレットあるいはケース（以下、パレット）がなくなる

対策：　余っているところから、足りないところに効率よく送る

16コンピュータに問題を解かせる コンピュータに輸送問題を解かせるために

は、解法が必要 解法については、「基礎OR 」などで学習 数理計画を解くためのパッケージ

① EXCEL のソルバー（小規模な問題）②商用数理計画パッケージ　　 CPLEX 、 OPL 、 Xpress ー MP 、．．．

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今日の演習・宿題 「鉄鋼電力労働力の生産計画問題」、「輸

送問題」をソルバーで解く（すでに終了）

（実験後半）さまざまな問題を（数理計画で定式化して）ソルバーで解く

宿題は、レポートとして提出締切 7 月 1 ９日（月） 13時提出箇所：実験室レポートボックス

18演習：　数理計画問題集　　　（問題１～１５）

全員以下の問題は解いてください（１）問題２（パレット）、問題５（速達配

達）（２）問題６（レポート）、問題７（コンサー

ト）、問題８（ハブ）の少なくとも一つ（３）問題９（施設配置）、問題１２（農場経

営）の少なくとも一つ 班内で手分けしてできるだけ多くの問題を解くようにしてください

19宿題 1-1 　（問題 16 ）

（問題 16 ）乗捨てレンタカーの回送R 社は、北海道の函館、室蘭、千歳、小樽、札幌、旭川、帯広に営業所を構え、 50台の車で観光客相手にレンタカー事業を営んでいる。週末に車を借り出した客の多くが、最終旅行地近くの営業所に車を乗り捨てていくため、週明けの車の配置が週末の需要と著しく異なる。このため、毎週、週の半ばに週末の需要に合わせて、社員が手分けして車を 1 台ずつ回送している。 R 社の社長は、常々、回送にかかる手間や時間、それに費用をもっと節約できないものかと考えている。

右の表で、ある週の各営業所における週明けの配置と週末の需要 ( 台数 ) と、各地点間の（最短）距離 (km) が与えられている。どうしたら適切な回送計画が立てられるだろうか ?

レンタカーの週明けの配置と週末の需要

函館 室蘭 千歳 小樽 札幌 旭川 帯広週明け配置 10 1 25 2 6 2 4週末の需要 4 4 13 3 15 8 2

始点 終点 函館 室蘭 千歳 小樽 札幌 旭川 帯広函館 0 191 278 273 309 447 600室蘭 191 0 87 161 125 263 416千歳 278 87 0 74 38 176 329小樽 273 161 74 0 36 174 327札幌 309 125 38 36 0 138 291旭川 447 263 176 174 138 0 179帯広 600 416 329 327 291 179 0

各営業所間の（最短）距離（ km ）

20宿題 1-2 　（問題 17 ）（問題 17 ）駅伝レースの出場順序 W 大学の競走部では、今年も大学対抗

の駅伝レースに参加することになった。この駅伝は、 1 チーム 5 人編成の 5 区間レースである。起伏の激しさが区間ごとに異なり、選手によって区間ごとの走行タイムがかなり違うため、選手登用の優劣がチームの成績に大きく影響する。 A ・ B ・ C ・ D ・ E の 5 人の選手を選抜し、各区間ごとに選手の走行タイム ( 分 ) を計ったところ、以下の表の結果を得た。どの選手をどの区間に出場させるのが最適か。

区間1区 2区 3区 4区 5区

A 22.2 33.2 16.6 39.3 50.3選 B 21 32.8 16.7 40.2 51.2手 C 24.6 36.1 18.5 37.4 46.4

D 26.0 35.2 19.1 36.9 45.7E 22.5 33.6 17.5 37.8 49.0

選手の区間別走行タイム ( 分 )

21宿題２

　　身近な問題、高尚な問題等、何でもよいですから、最適化問題として捉えられる（現実的な）問題のシナリオを提示し、数理計画問題として定式化して下さい。定式化では、変数が何、目的関数が何で、制約条件が何かを簡潔、かつ、正確に示して下さい。また、小規模な問題でもよいので具体的なデータを与えて、 EXCELソルバーで解き、その結果をもとに簡単なレポートをまとめてください。

22EXCEL ソルバーの設定

　　今日の実験では、 EXCEL ソルバーを使います。 EXCEL のメニューバーの「データ」を選択し、ツール内に「ソルバー」のアイコンが作られていることを確認してください。

　　アイコンが作られていない場合のソルバーの設定については 実験演習ＨＰ の表の下

　　　　　｜ＰＣ関連マニュアル｜ の左メニューの　

　　　４．（１）ソルバー・分析ツールのＰＤＦ資料内の　５．３　で確認ができます。