第十章第十章 證券投資組合證券投資組合

第一節 證券投資組合之報酬率第二節 證券投資組合之風險第三節 效率投資組合第四節 證券投資組合之應用

第一節第一節 證券投資組合之報酬率證券投資組合之報酬率

◎ N 種證券之證券投資組合期望報酬率的公式如下：

E (Rp) = j=1

N wj‧ E (Rj)， (10 1)

E (Rp) = j=1

N wj‧ E (Rj)， (10 1)

其中 E (‧ ) 為數學期望值， wj 為購買第 j 種證券的比重

ProtfolioC股票

B股票A股票

答： E (Rp) = 1 N

j=1

N E (Rj) =

1 N

(6% + 6.2% + 6.4%)

= 6.2%。

例 1、年初購買同樣金額的 X、Y、Z 三種債券，

年底到期，票面利率各為 6%、6.2%、6.4%，則期望報酬率為何？

第二節 證券投資組合之風險第二節 證券投資組合之風險1. 證券投資組合範例

表表 10.1 10.1 AA 、、 BB 、、 CC 證券之報酬證券之報酬率率

個股 % 證券組合月 A B C AB AC1 8.80 4.40 -3.80 6.60 2.50

2 8.02 4.01 -3.02 6.02 2.50

3 -3.50 -1.75 8.50 -2.63 2.50

4 9.48 4.74 -4.48 7.11 2.50

5 -7.80 -3.90 12.80 -5.85 2.50

6 9.00 4.50 -4.00 6.75 2.50

均數 4.00 2.00 1.00 3.00 2.50

標準差 7.61 3.81 7.61 5.71 0.00

Portfolio

(1) 證券組合 AB

%

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

1 2 3 4 5 6

A

B

報酬率

A標準差 = 7.61%B標準差 = 3.81%

月

圖 圖 10-1(A) 10-1(A) AA 與 與 BB 證券之報酬率證券之報酬率

◎ 證券組合 AB 的報酬率為證券 A 與證券 B 之平均。

%

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

1 2 3 4 5 6

報酬率

標準差

證券組合

= 5.71%

0.5A + 0.5B

圖 圖 10-1(B) 10-1(B) ABAB 證券投資組合之報酬率證券投資組合之報酬率

(2) 證券組合 AC

%

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

1 2 3 4 5 6A

C

報酬率

標準差 = 7.61%A

標準差C = 7.61%

圖 圖 10-2(A) 10-2(A) AA 與 與 CC 證券之報酬率證券之報酬率

◎ 證券組合 AC 的報酬率固定為 2.5% ，呈一條線，標 準差為 0 。

%

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

1 2 3 4 5 6

證券組合

標準差

報酬率

0.5A + 0.5C

= 0

圖 圖 10-2(B) 10-2(B) ACAC 證券投資組合之報酬證券投資組合之報酬率率

2. 證券的相關性

表表 10.2 10.2 AA 、、 BB 證券組合之報酬率證券組合之報酬率 個股 證券組合 %

月 A B 0.8A+0.2B 0.6A+0.4B 0.4A+0.6B 0.2A+0.8B1 8.80 4.40 7.92 7.04 6.16 5.282 8.02 4.01 7.22 6.42 5.61 4.813 -3.50 -1.75 -3.15 -2.80 -2.45 -2.104 9.48 4.74 8.53 7.58 6.64 5.695 -7.80 -3.90 -7.02 -6.24 -5.46 -4.686 9.00 4.50 8.10 7.20 6.30 5.40均數 4.00 2.00 3.60 3.20 2.80 2.40標準差 7.61 3.81 6.85 6.09 5.33 4.57

例 1、表 10.2 列出 A、B 兩種證券比重不同時的證券組合報

酬率：

0.00

2.00

4.00

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00

報酬率

風險

0.2A+0.8B

0.8A+0.2B

A B 1與 之相關係數為

0.6A+0.4B0.4A+0.6B

◎ A、 B 兩種證券的相關係數為 1 ：

圖 圖 10-3 10-3 AA 、、 BB 證券組合之報酬率與風險證券組合之報酬率與風險

例 2、表 10.3 列出 A、C 兩種證券比重不同時的報酬率：

表表 10.3 10.3 AA 、、 CC 證券組合之報酬率證券組合之報酬率

個股 證券組合 %月 A C 0.8A+0.2C 0.6A+0.4C 0.4A+0.6C 0.2A+0.8C1 8.80 -3.80 6.28 3.76 1.24 -1.282 8.02 -3.02 5.81 3.60 1.40 -0.813 -3.50 8.50 -1.10 1.30 3.70 6.104 9.48 -4.48 6.69 3.90 1.10 -1.695 -7.80 12.80 -3.68 0.44 4.56 8.686 9.00 -4.00 6.40 3.80 1.20 -1.40均數 4.00 1.00 3.40 2.80 2.20 1.60標準差 7.61 7.61 4.57 1.52 1.52 4.57

◎ A、 C 兩種證券比重不同時的報酬率及其風險狀況：

0.00

2.00

4.00

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

報酬率

風險

0.8A+0.2C

0.6A+0.4C

0.4A+0.6C

0.2A+0.8C

0.5A+0.5C

A C - 1與 證券相關係數為

圖 圖 10-4 10-4 AA 、、 CC 證券組合之報酬率與風險證券組合之報酬率與風險

3. 證券組合變異數

◎ 以 Rx 及 Ry 代表 X 及 Y 兩種證券的報酬率，x2 及 y2

代表變異數 (證券的風險)。投資相同金額於 X 及 Y 兩種證券的變異數如下：

p2 = Var (wxRx + wyRy)

= wx2‧ x2 + wy

2‧ y2 + 2 wx wy Cov (Rx, Ry) ， (10 2)

p2 = Var (wxRx + wyRy)

= wx2‧ x2 + wy

2‧ y2 + 2 wx wy Cov (Rx, Ry) ， (10 2)

其中 wj 為投資於證券 j (x 或 y) 的比重，wx + wy = 1；

Cov (Rx, Ry) = xy = 1 N

i=1

N

(Rxi x)(Ryi y)， (10 3) Cov (Rx, Ry) = xy = 1 N

i=1

N

(Rxi x)(Ryi y)， (10 3)

其中 x 為證券 x 之母體均數，N 為母體的總數。

Cov (Rx, Ry) 為 Rx 與 Ry 的「共變數 (Covariance)」，代表兩者之間相互變動的趨勢，計算公式如下：

◎ 「相關係數」之定義： xy = Cov (Rx, Ry)

x‧ y [Cov (Rx, Ry)

= xy‧ x‧ y]，代入證券組合變異數的公式可得：

p2 = wx2‧ x2 + wy2‧ y2 + 2 xy wx wy x y ， (10 4) p2 = wx2‧ x2 + wy2‧ y2 + 2 xy wx wy x y ， (10 4)

◎ 當 xy = 1，代表 X 及 Y 兩種證券完全相關：

p2 = wx

2‧ x2 + wy

2‧ y2 + 2 wx wy x y = (wx x + wy y)2

p2 = wx

2‧ x2 + wy

2‧ y2 + 2 wx wy x y = (wx x + wy y)2

當 xy = 0，代表 X 及 Y 兩種證券相關性為 0：

p2 = wx2‧ x2 + wy2‧ y2 p2 = wx2‧ x2 + wy2‧ y2

當 xy = 1，代表 X 及 Y 兩種證券完全負相關：

p2 = wx2‧ x2 + wy2‧ y2 2 wx wy x y = (wx x wy y)2 p2 = wx2‧ x2 + wy2‧ y2 2 wx wy x y = (wx x wy y)2

◎ 當證券的相關係數愈低，可分散風險的能力就愈高： xy = 1 xy = 0 xy = 1

─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─

(wx x + wy y)2 wx2‧ x2 + wy2‧ y2 (wx x wy y)2

證券組合風險 0

證券組合報酬率 E(R)

‧

‧ X

Y

降低風險%增 加

= -1.0xy

= 1.0xy

= -1.0xy 證

券的權數

Y

= 0xy

圖 圖 10-5 10-5 兩種證券之相關係數與風險兩種證券之相關係數與風險

例 3、[證券組合標準差] 下表為 X、Y 股票於 5 個月

以來的報酬率，兩者報酬率的均數皆為 15%，標準差 22.6%。

股 票 1 2 3 4 5 均 數 S.D.

X 40% 10% 35% 5% 15% 15% 22.6%

Y 28% 20% 41% 17% 3% 15% 22.6%

答： sxy = 1

n 1 i=1

n

(Rxi －R x)‧ (Ryi －R y)

= 1 4 [(0.40 0.15) (0.28 0.15) + ( 0.10 0.15) (0.20 0.15)

+ (0.35 0.15) (0.41 0.15) + ( 0.05 0.15) ( 0.17 0.15)

+ (0.15 0.15) (0.03 0.15)] = 0.034，

相關係數：rxy = sxy

sx‧ sy =

0.034 (0.226)(0.226)

= 0.6657。

4. 證券數目及風險 投資組合風險

系統性風險

非系統性風險

10 20 30 證券數目0

增加證券數目可降低0風險，但無法降為

圖 圖 10-6 10-6 投資組合之證券數目與風險投資組合之證券數目與風險 ◎ 陰影區域為「系統性風險系統性風險 (Systematic Risk(Systematic Risk) 」。

◎ 因證券數目增加所降低的風險為「非系統性風險非系統性風險

(Unsystematic Risk(Unsystematic Risk) 」

第三節第三節 效率投資組合效率投資組合 1. 效率組

合

效率前緣

投資組合風險 0

投資組合期望報酬率 E(R)

A C

Z

8%4% 12%

(Efficient Frontier)

‧

‧ ‧

D‧

在相同的報酬率之A下， 的風險較低

B在相同的風險之下， 的C C D報酬率大於 ， 又大於

‧B

F‧

E‧

10%

14%

8%

18%

4%

圖 圖 10-7 10-7 效率組合效率組合

◎ 比較圖 10-7 中的投資組合如下：

A A 與與 CC ：兩者的期望報酬率相同 (10%) ，但 A 的標準差 (4%) 小於 C 的標準差 (8%) ，表示 A 比 C 要有 效率。

B B 與與 CC ：兩者的標準差相同 (8%) ，但 B 的期望報酬率 (18%) 大於 C 的期望報酬率 (10%) ，表示 B 要 比 C 更有效率。 C C 與與 DD ：兩者的標準差相同 (8%) ，但 C 的期望報酬率 (10%)

大於 D (4%) ，表示 C 要比 D 更有效率；由於 B 優

於 C ，因此 B 要比 D 更有效率 。 ◎ 弧線弧線 就是就是「「效率前緣效率前緣 (Efficient Frontier)(Efficient Frontier) 」」

效率前緣

A

P‧ I1

I2

I3

( )無異曲線

( )甲投資人 惡風險程度較高

效用增加

( )乙投資人 惡風險程度較低

期望報酬率E(R)

投資組合

效率前緣

A

P‧

‧

( )無異曲線

J1

J2

J3

‧E

效用增加

期望報酬率E(R)

投資組合

投資組合風險 0投資組合風險 0

2. 效率組合之選擇

圖 圖 10-8 10-8 投資人對效率組合的選擇投資人對效率組合的選擇

效率前緣

投資組合期望報酬率 E(R)

A

M

投資組合風險 0

Rf

N‧‧L

‧ W

E(Rm)

m

‧

‧

3. 資本市場線

圖 圖 10-9 10-9 無風險利率與效率組合無風險利率與效率組合

◎ N N 點比點比 L L 點有效率點有效率

效率前緣

投資組合期望報酬率 E(R)

A

M

投資組合風險 0

Rf

借入

借出

W‧資本市場線

(CML)

m

E(Rm) ‧

‧

圖 圖 10-10 10-10 無風險利率與效率組合無風險利率與效率組合

◎ ：資本市場線資本市場線 (Capital Market Line)(Capital Market Line) ， 斜率：

◎ M 點為「資本市場線資本市場線 (CML)(CML) 」與「效率前緣效率前緣」的切點， 為「市場投資組合市場投資組合 (Market Portfolio)(Market Portfolio) 」。

[E(RM) Rf]/m RfW

第四節 證券投資組合之應用第四節 證券投資組合之應用 例 1、[證券投資組合] A、B、C、D 四種股票的報酬率：

表表 10.4 10.4 證券投資組合的報酬率及標準差證券投資組合的報酬率及標準差 個股 % 證券組合 %

週 A B C D ABC ABD ACD BCD1 2.45 4.16 3.68 -1.24 3.43 1.79 1.63 2.202 8.92 3.20 6.78 2.56 6.30 4.89 6.09 4.183 -3.56 1.34 1.55 -1.45 -0.22 -1.22 -1.15 0.484 9.45 -6.89 4.56 10.46 2.37 4.34 8.16 2.715 -5.22 -3.11 -4.30 -16.50 -4.21 -8.28 -8.67 -7.976 6.21 4.32 9.65 9.58 6.73 6.70 8.48 7.857 0.56 2.73 2.34 6.57 1.88 3.29 3.16 3.888 -2.36 0.58 -5.67 -8.75 -2.48 -3.51 -5.59 -4.619 -2.77 -1.45 2.56 11.32 -0.55 2.37 3.70 4.14

10 1.26 -1.80 3.12 6.90 0.86 2.12 3.76 2.7411 -1.22 -2.63 -4.58 4.56 -2.81 0.24 -0.41 -0.8812 11.33 3.55 -1.32 18.96 4.52 11.28 9.66 7.0613 15.87 5.21 7.95 22.34 9.68 14.47 15.39 11.8314 -7.98 1.28 9.43 -16.24 0.91 -7.65 -4.93 -1.8415 4.22 1.02 -1.50 6.98 1.25 4.07 3.23 2.1716 4.67 0.56 3.22 11.58 2.82 5.60 6.49 5.1217 -3.27 -6.97 6.47 7.68 -1.26 -0.85 3.63 2.3918 2.67 1.25 4.32 -4.59 2.75 -0.22 0.80 0.33均數 2.29 0.35 2.68 3.93 1.77 2.19 2.97 2.32標準差 6.31 3.56 4.65 10.59 3.56 5.70 5.87 4.54

◎ 以 A、 B、 C、 D 其中的三種股票作為證券組合 ( 共有 4

種組合 ) ：

圖 圖 10-11 10-11 證券組合的報酬率及標準差證券組合的報酬率及標準差

0

1

2

3

0 2 4 6 8

ABC

BCD ABD

ACD

平均報酬率

標準差

◎ 比較證券組合比較證券組合 BCDBCD ( (pp = 2.32% = 2.32% ，， pp = 4.54%) = 4.54%) 及及 ABDABD ((pp = 2.19% = 2.19% ，， pp = 5.70%) = 5.70%) ABDABD 不屬於效率組合。不屬於效率組合。

-20%

0%

20%

40%

60%

80%

0% 25% 50% 75% 100%

臺灣

墨西哥智利泰國

菲律賓

馬來西亞

印度約旦

巴西

阿根廷

年標準差

年平均報酬率

圖 圖 10-12 10-12 開發中國家股市的報酬率及標準開發中國家股市的報酬率及標準差差

(1986 (1986 年年 7 7 月至月至 1991 1991 年年 6 6 月月 ))

例 2、[國際證券投資組合] 開發中國家的年報酬率

及標準差：

圖圖 10-13 10-13 單一市場與國際市場之效率組合單一市場與國際市場之效率組合

◎ 同時投資於國際市場，可供選擇的證券數目愈多，證券

之間的關聯性愈低，更能夠降低風險：

單一市場

投資組合期望報酬率 E(R)

M

投資組合風險 0

國際市場

W‧‧