多媒体辅助教学数学课件：多媒体辅助教学数学课件：函数的单调性函数的单调性

波阳一中数学教研组 陈建文波阳一中数学教研组 陈建文

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多媒体辅助教学数学课件：多媒体辅助教学数学课件：函数的单调性函数的单调性

向各位数学界的同仁们学习！向各位数学界的同仁们学习！

我市某水库我市某水库 88 月月 11 日日 00 时的水位距警戒线时的水位距警戒线 4.4.55 米。据气象部门预报米。据气象部门预报 88 月月 11 日后我市区域仍将日后我市区域仍将持续降雨，水库水位将以每天持续降雨，水库水位将以每天 0.50.5 米的速度上涨，米的速度上涨，若全市抗洪紧急动员后，全体抗洪人员到位还需若全市抗洪紧急动员后，全体抗洪人员到位还需11 天。天。

问：最迟到几号如果下雨仍不止，全市将发布紧问：最迟到几号如果下雨仍不止，全市将发布紧急动员令？急动员令？

解答：如果下雨仍不止，解答：如果下雨仍不止， 88 月月 1010 日日 00 时水库水时水库水位将达到警戒线。最迟位将达到警戒线。最迟 88 月月 99 日日 00 时，全市将发时，全市将发布紧急动员令。布紧急动员令。

分析：可应用函数 分析：可应用函数 y=0.5xy=0.5x ，当，当 xx 增大时、增大时、 yy 随之增随之增大。 大。 故 故 x= 9x= 9 （天）时，（天）时， y= 4.5y= 4.5 （米）（米）

实例分析

函数的单调性函数的单调性

研究下列函数的图象：

（1）y = x2 （2）y = x 3 （3）y = x

1

y

xo

y

xo

y

xox2x1

x1x2

X -2 -1 0 1 2

y 4 1 0 1 4

X -2 -1 0 1 2

y -8 -1 0 1 8

X -2 -1 0 1 2

y -0.5 -1 1 0.5

图像特征：

a bOx

y

y = f (x)

x2x1

f(x1) f(x2)

增函数

y = f (x)

x2x1

f(x1) f(x2)

减函数

Ox

y

a b

如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量值 x1 和 x2 ，　当 x1 < x2 时，都有 f (x1) < f (x2) , 则 y = f (x) 叫做增函数，

　当 x1 < x2 时，都有 f (x1) > f (x2) , 则 y = f (x) 叫做减函数。

例例 11 ：如图是定义在闭区间：如图是定义在闭区间 [-5,5][-5,5] 上的函数上的函数 y=y=f(x)f(x) 的图象，根据图象说出的图象，根据图象说出 y=f(x)y=f(x) 的单调区间，的单调区间，以及在每一个单调区间上， 以及在每一个单调区间上， y=f(x)y=f(x) 是增函数还是是增函数还是减函数。减函数。

单调增区间是 单调增区间是 [-2,1), [3, 5][-2,1), [3, 5] 。。

答：答：函数函数 y=f(x)y=f(x) 的单调区间有的单调区间有 [-5,-2),[-2,1), [1,3), [-5,-2),[-2,1), [1,3), [3,5][3,5],, 其中 单调减区间是 其中 单调减区间是 [-5, -2), [1,3) [-5, -2), [1,3) ，，

注意！用逗号间隔开

例例 22 ：证明函数：证明函数 f(x)=3x+2f(x)=3x+2 在在 RR 上是增函数。上是增函数。

f(xf(x11)-f(x)-f(x22)=(3 x)=(3 x11 +2)-(3 x +2)-(3 x22+2)+2)

由由 xx11<x<x22 ，得 ，得 xx11- x- x22 <0 <0

即 即 f(xf(x11)<f(x)<f(x22))

证明： 证明： 设设 xx11,x,x22 是是 RR 上的上的任意任意两个实数，且 两个实数，且 xx11<x<x22 ，，

= 3( x= 3( x11- x- x22))

于是 于是 f(xf(x11)-f(x)-f(x22)<0)<0

所以，函数所以，函数 f(x)=3x+2f(x)=3x+2 在在 RR 上是增函数上是增函数。。

取值取值

定号定号

变形变形作差作差

判断判断

例例 33 ：判断函数：判断函数 f(x)=1/xf(x)=1/x 在在 (-∞,0)(-∞,0) 上的单调上的单调性。性。

例例 33 ：判断函数：判断函数 f(x)=1/xf(x)=1/x 在在 (-∞,0)(-∞,0) 上的单调上的单调性。性。

f(xf(x11)-f(x)-f(x22)=1/x)=1/x11 –– 1/ x 1/ x22

由由 xx11<x<x22 <0 <0 ，得 ，得 xx2 2 - x- x11 > 0 > 0 而而 xx1 1 xx2 2 >>00

即 即 f(xf(x11)>f(x)>f(x22))

证明： 证明： 设设 xx11,x,x22 是是 (-∞,0)(-∞,0) 上的上的任意任意两个实数，两个实数，

且 且 xx11<x<x22 ，，

=(x=(x2 2 - x- x11 )/ x )/ x1 1

xx2 2

于是 于是 f(xf(x11)-f(x)-f(x22)>0)>0

所以，函数所以，函数 f(x)= 1/xf(x)= 1/x 在在 (-∞,0)(-∞,0) 上是单调减函上是单调减函数数。。

取值取值

定号定号

变形变形作差作差

判断判断

想一想？

例例 33 ：证明函数：证明函数 f(x)=1/xf(x)=1/x 在在 (-∞,0)(-∞,0) 上是减函上是减函数。数。想一想想一想：在课本：在课本 5959 页例页例 33

已证明函数已证明函数 f(x)=1/xf(x)=1/x 在在 (0(0 ，，+∞)+∞) 上也是减函数。上也是减函数。

在整个定义域内在整个定义域内

f(x)=1/xf(x)=1/x 是不是减函数呢？是不是减函数呢？

反例：反例：取取 xx11= - 1 , x= - 1 , x22=1=1 ，则，则 f(-1)=-1,ff(-1)=-1,f(1)=1(1)=1

可见 可见 xx1 1 << xx2 2 时时 ; f(x; f(x11) > f(x) > f(x22)) 不一定成不一定成立。立。

课堂小结课堂小结

2. 2. 单调性的证明步骤。单调性的证明步骤。

1. 1. 函数单调性定义、图象特征、范围。函数单调性定义、图象特征、范围。 设设定义域为定义域为 II 。在。在 II 内某个区间上内某个区间上的的任意两任意两个自变量个自变量 xx11 、、 xx22 的值，当的值，当 xx11<x<x22 时，都有时，都有 f(xf(x11)<f)<f(x(x22)) ，那么就说，那么就说 f(x)f(x) 在这个区间上是在这个区间上是增增函数。函数。

如果对于属于如果对于属于定义域定义域 II 内某个区间内某个区间的的任意两任意两个自变量个自变量 xx11 、、 xx22 的值，当的值，当 xx11<x<x22 时，都有时，都有 f(xf(x11)>f)>f(x(x22)) ，那么就说，那么就说 f(x)f(x) 在这个区间上是在这个区间上是减减函数。函数。

取值取值 定号定号变形变形作差作差 判断判断

课外作业课外作业1.1. 课本课本 6060 页练习页练习 4 4

2. 2. 求求 y=-xy=-x22-6x+10-6x+10 的单调增区间、单调减区的单调增区间、单调减区间。间。

3. 3. 研究函数研究函数 f ( x ) = x +1/x f ( x ) = x +1/x 在其定义域内的在其定义域内的单调性单调性

3. 可利用函数的图象直接判断函数的增减性。

4. 用特殊的反例可否定函数的增减性

再见再见江西省波阳县第一中学 陈建文江西省波阳县第一中学 陈建文