Вписанные и описанные

окружности.

Основные определения.

O

A B

C

D

• Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности, а многоугольник называется описанным около этой окружности.

D

C

AB

O

• Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности, а многоугольник называется вписанным в эту окружность.

Теоремы.

Определение: В любой треугольник можно вписать окружность и только одну.

Доказательство: 1) При доказательстве теоремы мы

обозначим буквой О точку пересечения биссектрис треугольника ABC.

A

C

K

L

M

O

B

Проведём из точки О перпендикуляры ОК, ОL и OM к сторонам АВ, ВС и СА.

Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L , М, т.к. они перпендикулярны к радиусам ОK, ОL и OM.

Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС.

2) А если предположить, что в треугольник можно вписать две окружности, то можно доказать, что они совпадут. 

Замечание…

В отличии от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

Примите к сведенью.

В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

A

C B

a D

b

a

bc

c

d

d

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Обратное утверждение:

Определение: около любого треугольника можно описать окружность и только одну.

Доказательство:

1) При доказательстве теоремы мы обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам данного треугольника и проведём отрезки OA, OB и OC. Т. к. точка О равноудалена от вершины треугольника ABC, то OA = OB = OC.Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника АВС.

Теорема доказана.

2) А если допустить, что около треугольника можно описать две окружности, то можно доказать, что они совпадут.

A

B

C

O

Замечание…

В отличии от треугольника около четырёхугольника не всегда можно описать окружность.

Примите к сведенью.

В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 1800.

Обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 1800, то около него можно описать окружность.

АВС - равностор.

Окр. (O; r) - впис.

P = 12 см

Задачка…Дано:

Найти: r впис. окр.- ?

O

A

B

C

Решаем уравнение и получаем

ВН = 6 (см)

АВ2 = ВН + АН2

АВ = 1/3 12 = 4

О принадлежит BH – медиане,

высоте и бис-се АВС –

прямоугольный; АВ –

гипотенуза; АН = ½ АВ.

АВС - равностор. бис-сы –

медианы и высоты, они

равны.

Окр. (О; r) - впис. О -

точка пересечения

Бис-с этого треугольника.

Решение:

О – точка пересечения медиан.

ВО/ВН = 2/1; 2ОН = ВО

3ОН = ВН

ОН = 6 : 3 = 2 (см)

ОН АС, т.к. ВН – высота АС – касательная к окр. (О; r) ОН = r (ОН – r окр.)

Задачка…Дано:

Окр. (O; r) - опис.

АВС – впис.

АВ – диаметр окр.

ВС = 1340

Найти: углы треугольника

A

B

C

O

Решение:

ВС лежит против А;

ВС = 1340 А = 134 : 2 = 670

АВ – диаметр окр. АСВ = 900

А + В + С = 1800 (по теореме о сумме углов

треугольника)

С = 900 ; А = 670 В = 1800 – 900 – 670 = 230